【金版学案】2015届高考数学总复习 第九章 第四节 用样本估计总体课时精练 理
2015年高考数学考点分类自测 用样本估计总体 理
2015年高考理科数学考点分类自测：用样本估计总体一、选择题1．某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则x ＋y ＝ ( )789⎪⎪⎪⎪3 94 4 4 x 7 83yA ．12B ．13C ．14D ．152．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15. 5) 2 5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占 ( ) A.211B.13 C.12D.233．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是 ( )A.x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定 B ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定 C ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定 D ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定4．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.255．对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图所示，由图可知这一批电子元件中寿命在100～300 h 的电子元件的数量与寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是 ( )A.12B.13C.14D.166．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ( )A．90 B．75C．60 D．45二、填空题7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为________．8．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽查了50名学生，得到他们某一天各自课外阅读的时间数据如图所示，根据条形图可得到这50名学生该天每人的平均课外阅读时间为________h.9．某同学5次三级跳远成绩(单位：米)分别为x，y,10,11,9，已知这五次成绩的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．三、解答题10．某中学团委组织了“我对祖国知多少”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六组[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题．(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)(3)从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．11.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据右图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．12．已知某单位有50名职工，将全体职工随机按1～50编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名职工，各组内抽取的编号按依次增加5进行系统抽样.(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，求被抽取到的两名职工的体重之和大于等于154公斤的概率．详解答案一、选择题1．解析：∵中位数为85，∴4＋x＝2×5，解得x＝6.又平均数为85.5，∴73＋79＋3×84＋86＋87＋88＋93＋90＋y ＝855，∴y ＝7.故x ＋y ＝13.答案：B2．解析：由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求的概率为2266＝13.答案：B3．解析：依题意得x 甲＝15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，x 乙＝15(80×4＋90×1＋3＋4＋8＋9＋1)＝87，x 甲>x 乙；s 2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2]＝2，s 2乙＝15[(83－87)2＋(84－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2]＝9.2，s 2甲<s 2乙，因此甲比乙成绩更稳定．答案：A4．解析：由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，∴x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32.答案：A5．解析：面积之比为14，故数量之比为14.答案：C6．解析：由频率分布直方图可知，产品净重小于100克的频率是0.05×2＋0.1×2＝0.3，所以样本中产品的个数为360.3＝120，产品净重大于或等于104克的频率为0.075×2＝0.15，产品净重小于98克的频率为0.05×2＝0.1，∴产品的净重大于或等于98克而小于104克的频率为1－0.15－0.1＝0.75，则净重在此范围内的产品个数为120×0.75＝90.答案： A 二、填空题7．解析：支出在[50,60)的频率为1－0.36－0.24－0.1＝0.3， 因此30n ＝0.3，故n ＝100.答案：1008．解析：平均课外阅读时间为(0×5＋0.5×20＋1×10＋1.5×10＋2×5)÷50＝0.9 h 答案：0.99．解析：由于平均数为10，所以由平均数公式可得(x ＋y ＋10＋11＋9)×15＝10，则x＋y ＝20，又由于方差为2，则由方差公式可得[(x －10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×15＝2，整理得：x 2＋y 2＝208，易知2xy ＝192.所以有|x －y |＝x －y 2＝x2＋y2－2xy ＝4. 答案：4 三、解答题10．解：(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在[70,80)的频率是1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.频率分布直方图如图所示：(2)依题意，60分及以上的分数在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]这四个组，其频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75.所以估计这次考试的及格率是75%.利用组中值估算学生成绩的平均分，则有45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.所以估计这次考试的平均分是71分．(3)成绩在[40,50)的人数是60×0.1＝6，成绩在[90,100]的人数是60×0.05＝3，所以从成绩在[40,50)与[90,100]的学生中选两人，他们在同一分数段的概率是P ＝15＋336＝12.11. 解：(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． x －甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13.x －乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．12．解：(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码依次分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)这10名职工的平均体重为：x －＝110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，故样本方差为：s 2＝110×(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，其中体重之和大于等于154公斤的有7种．故所求概率P ＝710.。
2015届高考数学一轮总复习 10-2用样本估计总体
2015届高考数学一轮总复习 10-2用样本估计总体基础巩固强化一、选择题1．(2013·重庆理，4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：min).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8[答案] C[解析] 由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数16.8＝9＋15＋(10＋y )＋18＋245，可解得y ＝8，故选C.2．(2013·西宁模拟)已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于( )A ．±14B ．±12C ．±128D ．无法求解[答案] B[解析] 这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4，又因为这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝(3d )2＋(2d )2＋d 2＋0＋d 2＋(2d )2＋(3d )27＝4d 2＝1，解得d ＝±12.3．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( )A ．2B ．3[解析] 设x 1，x 2，x 3，x 4的平均值为x －，则 s 2＝14[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋(x 3－x －)2＋(x 4－x －)2]＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x －2)， ∴4x －2＝16，∴x －＝2，x －＝－2(舍)，∴x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为4，故选C.4．(文)(2013·辽宁理，5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60 [答案] B[解析] 由频率分布直方图知，低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B.(理)(2013·福建理，4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480[解析]由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图．由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()A．64 B．54C．48 D．27[答案] B[解析]前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.∵后五组频数和为62，∴前三组为38.∴第三组为22.又最大频率为0.32，故最大频数为0.32×100＝32.∴a＝22＋32＝54，故选B.6．(文)(2013·六安一模)如图是2012年某校举办“激扬青春，勇担责任”演讲比赛上七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数分别为()A.8587 B．8486C．8485 D．8586[答案] C[解析]由茎叶图知，评委为某选手打出的分数分别不79,84,84,84,86,87,93，去掉一个最高分和一个最低分后分数分别是84,84,84,86,87，所以中位数为84，平均数为15×(84＋84＋84＋86＋87)＝85.(理)(2013·山东滨州一模)如图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,1.6 D ．85,4[答案] C[解析] 去掉一个最高分93和一个最低分79，所剩数据的平均数x －＝84＋84＋86＋84＋875＝85，方差s 2＝15[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6，故选C.二、填空题7．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试．对200名学生测试所得数据作出频率分布直方图如图所示，若次数在110以上(含110次)为达标，则从图中可以看出高一学生的达标率是________．[答案] 80%[解析] 次数在110以上(含110次)的频率之和为(0.04＋0.03＋0.01)×10＝0.8，则高一学生的达标率为0.8×100%＝80%.8．(文)将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________．[答案] 60[解析] 由条件知，2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1×n ＝27，解得n ＝60.(理)容量为100的样本分为10组，若前7组频率之和为0.79，而剩下三组的频数成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组频数最大的一组的频率是________．[答案] 0.16或0.12[解析]后三组频数和为100(1－0.79)＝21，设这三组频数依次为a、ap、ap2(a、p∈N*且p>1)，由题意设得，a＋ap＋ap2＝21，∵p>1，∴1＋p＋p2是21的大于3的约数，∴1＋p＋p2＝21或1＋p＋p2＝7，得p＝4或p＝2.当p＝4时，频数最大值为16，频率为0.16；当p＝2时，频数最大值为12，频率为0.12.9．(文)(2013·湖北理，11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示(1)直方图中x的值为________．(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．[答案](1)0.0044(2)70[解析]∵50×(0.0024＋0.0036＋0.006＋x＋0.0024＋0.0012)＝1，∴x＝0.0044.用电量在区间[100,250)内的频率为50×(0.0036＋0．006＋0.0044)＝0.7，∴户数为100×0.7＝70(户)．(理)(2013·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与18s之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为，那么成绩在[16,18]的学生人数是________．[答案] 54[解析] 成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为6＋31＋3＋7＋6＋3＝920，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×920＝54.三、解答题10．(2012·石家庄市二模)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准，用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，制作了频率分布直方图．(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超过标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨？并说明理由；(3)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数．(同一组中的数据用该区间的中点值代表)[解析] (1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5t.样本中月均用水量不低于2.5t 的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5t.(3)这100位居民的月均用水量的平均数为0．5×(14×0.10＋34×0.20＋54×0.30＋74×0.40＋94×0.60＋114×0.30＋134×0.10)＝1.875(t).能力拓展提升一、选择题11．(文)某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．45 [答案] A[解析] 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.(理)某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为( )A ．480B ．440C ．420D ．400[答案] D[解析] 设第一、第二、第三小组的频率构成的等比数列公比为q ，第三、第四、第五、第六小组的频率构成的等差数列公差为d ，则由题意知即⎩⎪⎨⎪⎧0.16＋0.16q ＋0.64q 2＋6d ＝1，0.16q 2＋3d ＝0.07. 消去d 得，16q 2＋8q －35＝0.∵q >0，∴q ＝54.∴第三组的频率P ＝0.16q 2＝0.25.设男生总数为x ，则x ×25%＝100，∴x ＝400.12．(2013·山东济南一模)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x －甲，x －乙和中位数y 甲，y 乙进行比较，下面结论正确的是( )A.x －甲>x －乙，y 甲>y 乙B.x －甲<x －乙，y 甲<y 乙 C.x －甲<x －乙，y 甲>y 乙 D.x －甲>x －乙，y 甲<y 乙 [答案] B[解析] 由茎叶图得x －甲＝19＋20＋21＋23＋25＋29＋32＋33＋37＋4110＝28，x －乙＝10＋26＋30＋30＋34＋37＋44＋46＋46＋4710＝35，y 甲＝25＋292＝27，y 乙＝34＋372＝35.5，∴x －甲<x －乙，y 甲<y 乙，故选B. 二、填空题13．(2013·福建莆田模拟)一组数据如茎叶图所示，若从中剔除2个数据，使得新数据组的平均数不变且方差最小，则剔除的2个数据的积等于________.[答案] 63[解析] 这组数据的平均数x －＝3＋8＋12＋11＋13＋16＋217＝12，由题意，剔除2个数据，平均数不变，且方差最小，则这两个数的和等于24且(x i －x －)2的和最大，所以这两个数为3与21，故剔除的2个数据的积等于3×21＝63.14．(文)(2013·徐州模拟)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人．则n 的值为________．[答案] 100[解析] 由条件知，1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝30n，∴n ＝100.(理)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．[答案] 600[解析] 成绩小于60分的学生频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2 故3000名学生中成绩小于60分的学生数为：3000×0.2＝600. 三、解答题15．(2013·东北三校联考)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5μm 的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095—2012，PM2.5日均值在35微克/m 3以下空气质量为一级；在35微克/m 3～75微克/m 3之间空气质量为二级；在75微克/m 3以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)：(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；(3)以这12天的PM2.5日均值来估计2012年的空气质量情况，估计2012年(按366天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级或二级．[解析] (1)空气质量为超标的数据有四个：77,79,84,88， 平均数为x －＝77＋79＋84＋884＝82.方差为s 2＝14×[(77－82)2＋(79－82)2＋(84－82)2＋(88－82)2]＝18.5.(2)空气质量为二级的数据有五个：47,50,53,57,68，任取两个有十种可能结果：{47,50}，{47,53}，{47,57}，{47,68}，{50,53}，{50,57}，{50,68}，{53,57}，{53,68}，{57,68}，两个数据和小于100的结果有一种：{47,50}， 记“两个数据和小于100”为事件A ，则P (A )＝110，即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为110.(3)空气质量为一级或二级的数据共8个，所以空气质量为一级或二级的频率为812＝23， 366×23＝244，所以，2012年的366天中空气质量达到一级或二级的天数估计为244天．16．(文)某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n 名同学进行调查．下表是这n 名同学的日睡眠时间的频率分布表.(1)求(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a 、b 的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．[解析] (1)由频率分布表可得n ＝60.12＝50.补全数据如下表频率分布直方图如下：(2)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧150(6×4.5＋10×5.5＋a ×6.5＋b ×7.5＋4×8.5)＝6.52，6＋10＋a ＋b ＋4＝50. 解得a ＝15，b ＝15.设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A ， 则P (A )≈15＋450＝0.38答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38.(理)某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180min 到330min 之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：(1)求分布表中s 、t (2)某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？(3)已知第一组的学生中男、女生均为2人，在(2)的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．[解析] (1)s ＝840＝0.2，t ＝1－0.1－s －0.3－0.25＝0.15.(2)设应抽取x 名第一组的学生，则x 4＝2040，得x ＝2.故应抽取2名第一组的学生．(3)在(2)的条件下应抽取2名第一组的学生． 记第一组中2名男生为a 1，a 2,2名女生为b 1，b 2，按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下： a 1a 2，a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，b 1b 2.其中既有男生又有女生被抽中的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种结果， 所以既有男生又有女生被抽中的概率为P ＝46＝23.考纲要求1．了解频率分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． 补充说明1．编制频率分布直方图的步骤如下：①求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差．②决定组距和组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组．组距＝极差组数.③将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一位小数分组；④列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表．将样本数据分成若干小组，每个小组内的样本个数称为频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率．频率反映数据在每组所占比例的大小．⑤绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图．2．频率分布折线图(1)把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布折线图实际上越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑的曲线就叫总体密度曲线．3．茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示，但当样本数据较多时，茎叶图就不太方便．4．方差是刻画一组数据离散程度的量，它反映一组数据围绕平均数波动的大小．方差越大，这组数据波动越大，越分散．讨论产品质量、售价高低、技术高低、产量高低、成绩高低、寿命长短等等问题，一般都是通过方差来体现．计算方差时，要依据所给数据的特点恰当选取公式以简化计算．备选习题1．从某女子跳远运动员的多次测试中，随机抽取20次成绩作为样本，按各次的成绩(单位：cm)分成五组，第一组[490,495)，第二组[495,500)，第三组[500,505)，第四组[505,510)，第五组[510,515]，相应的样本频率分布直方图如图所示．(1)样本落入第三组[500,505)的频数是多少？(2)现从第二组和第五组的所有数据中任意抽取两个，分别记为m、n，求事件“|m－n|≤5”的概率．[解析](1)由频率分布直方图可知，样本落入[500,505)的频率是1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.03)×5＝0.5，所以，样本落入[500,505)的频数是0.5×20＝10.(2)第二组中有0.02×5×20＝2个数据，记为a、b；第五组中有0.03×5×20＝3个数据，记为A、B、C.则{m，n}的所有可能结果为{a，b}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共10种．其中使|m－n|≤5成立的有{a，b}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共4种．所以事件“|m－n|≤5”的概率为P＝410＝25.2．(2013·烟台四校联考)据悉2012年山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0m(精确到0.1m)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示．已知从左到右前5个小组的对应矩形的高分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，且第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由． [解析] (1)由题易知，第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)×1＝0.14， ∴此次测试的总人数为70.14＝50.∴这次铅球测试成绩合格的人数为(0.28×1＋0.30×1＋0.14×1)×50＝36.(2)直方图中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相等，前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．。
2024年高考数学(人教B版)一轮复习学案第9章9.2用样本估计总体
§9.2 用样本估计总体考试要求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n 个数据的p %分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．知识梳理 1．百分位数设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的____________，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数．特别地，规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是________(即最大值)． 2．平均数、中位数和众数(1)平均数：x ＝ ．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最 的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的 (当数据个数是偶数时)． (3)众数：一组数据中出现次数 的数据(即频数最大值所对应的样本数据)． 3．方差和标准差 (1)方差：s 2＝或1n ∑i ＝1n x 2i －x 2.(2)标准差：s ＝ .4．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只需直接算出________对应的数字特征即可．(2)对于分层抽样的情况，我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m 个数，分别为x 1，x 2，…，x m ，平均数为x ，方差为s 2；第二层有n 个数，分别为y 1，y 2，…，y n ，平均数为y ，方差为t 2.则x ＝1m ∑i ＝1m x i ，s 2＝1m ∑i ＝1m (x i －x )2，y ＝1n ∑i ＝1n y i ，t 2＝1n ∑i ＝1n(y i －y )2.如果记样本均值为a ，样本方差为b 2，则可以算出 a ＝1m ＋n (∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1n y i )＝m x ＋n y m ＋n，b 2＝m [s 2＋(x －a )2]＋n [t 2＋(y －a )2]m ＋n＝1m ＋n ⎣⎡⎦⎤(ms 2＋nt 2)＋mn m ＋n (x －y )2.常用结论1．若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x ＋a . 2．数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1′＝x 1＋a ，x 2′＝x 2＋a ，…，x n ′＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．3．若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( ) (2)方差与标准差具有相同的单位．( )(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．( ) (4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( ) 教材改编题1．若数据x 1，x 2，…，x 9的方差为2，则数据2x 1，2x 2，…，2x 9的方差为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85，则这7次成绩的80%分位数为( )A ．88.5B ．89C ．91D ．89.53．某校体育节10名旗手的身高(单位：cm)分别为175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则中位数为________．题型一 样本的数字特征和百分位数的估计例1 (1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、25%分位数分别为( ) A ．92,85 B ．92,88 C ．95,88D ．96,85延伸探究 本例中，70%分位数是多少？________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：396275268225168166176173188168141157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征发生改变的是() A．极差B．中位数C．众数D．平均数听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华计算一组n个数据第p百分位数的步骤跟踪训练1(1)某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分150分)分别为85,90,93,99,101,103,116,130，则这8名学生数学成绩的75%分位数为()A．102 B．103 C．109.5 D．116(2)(多选)冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会．自1924年起，每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如图所示的频数分布折线图，则()A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差题型二总体集中趋势的估计例2为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的成绩(成绩均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的成绩都不低于60分，将这50名学生的成绩(单位：分)进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数；(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动成绩的平均数．若对成绩不低于平均数的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．跟踪训练2(2022·哈尔滨模拟)治理沙漠化离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度(单位：cm)，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值及众数、中位数；(2)若树苗高度在185 cm及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中用分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三总体离散程度的估计例3(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下．旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s21和s22.(1)求x，y，s21，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y－x≥2s21＋s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．跟踪训练3(2022·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
高考数学复习用样本估计总体专项提升题(有答案)
高考数学复习用样本估计总体专项提升题（有答案）样本的特征直接反映了总体的特征,我们通常用样原本频率和数字特征来评价总体的特征。
下面是查字典数学网整理的用样本估量总体专项提升题，请考生及时停止练习。
1.甲、乙两名篮球运发动每场竞赛的得分状况用茎叶图表示如右:那么以下说法中正确的个数为()①甲得分的中位数为26,乙得分的中位数为36;②甲、乙比拟,甲的动摇性更好;③乙有的叶集中在茎3上;④甲有的叶集中在茎1,2,3上.A.1B.2C.3D.42.一组数据的平均数是4.8,方差是3.6,假定将这组数据中的每一个数据都加上60,失掉一组新数据,那么所得新数据的平均数和方差区分是()A.55.2,3.6B.55.2,56.4C.64.8,63.6D.64.8,3.63.某中学高三(2)班甲、乙两名先生自高中以来每次考试效果的茎叶图如图,以下说法正确的选项是()A.乙先生比甲先生发扬动摇,且平均效果也比甲先生高B.乙先生比甲先生发扬动摇,但平均效果不如甲先生高C.甲先生比乙先生发扬动摇,且平均效果比乙先生高D.甲先生比乙先生发扬动摇,但平均效果不如乙先生高4.为了研讨某药品的疗效,选取假定干名志愿者停止临床实验.一切志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序区分编号为第一组,第二组,,第五组.以下图是依据实验数据制成的频率散布直方图.第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,那么第三组中有疗效的人数为()A.6B.8C.12D.185.(2021福建宁德模拟)对某商店一个月内每天的顾主人数停止了统计,失掉样本的茎叶图(如下图),那么该样本的中位数、众数、极差区分是()A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,536.某工厂对一批产品停止了抽样检测.以下图是依据抽样检测后的产品毛重(单位:克)数据绘制的频率散布直方图,其中产品毛重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],样本中产品毛重小于100克的个数是36,那么样本中净严重于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()A.90B.75C.60D.457.某赛季,甲、乙两名篮球运发动都参与了11场竞赛,他们每场竞赛得分的状况用右图所示的茎叶图表示,假定甲运发动的中位数为a,乙运发动的众数为b,那么a-b= .8.为了调查某厂工人消费某种产品的才干,随机抽查了20位工人某天消费该产品的数量,产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95],由此失掉频率散布直方图如图,那么由此估量该厂工人一天消费该产品数量在[55,70)的人数约占该厂工人总数的百分率是 .9.(2021广东,文17)某车间20名工人年龄数据如下表:年龄(岁) 工人数(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 算计 20(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;(3)求这20名工人年龄的方差.才干提升组10.在发作某公共卫生事情时期,有专业机构以为该事情在一段时间没有发作大规模群体感染的标志为延续10天,每天新增疑似病例不超越7人.依据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定契合该标志的是()A.甲地:总体均值为3,中位数为4B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体均值为2,总体方差为311.样本(x1,x2,,xn)的平均数为,样本(y1,y2,,ym)的平均数为),假定样本(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym)的平均数= +(1-),其中0,那么n,m的大小关系为()A.nm C.n=m D.不能确定12.(2021课标全国Ⅰ,文18)从某企业消费的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量目的值,由测量结果得如下频数散布表:质量目的值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8(1)在答题卡上作出这些数据的频率散布直方图;(2)估量这种产质量量目的值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)依据以上抽样调查数据,能否以为该企业消费的这种产品契合质量目的值不低于95的产品至少要占全部产品80%的规则?1.C 解析:由茎叶图可知乙的集中趋向更好,故②错误,①③④正确.2.D 解析:每一个数据都加上60时,平均数也应加上60,而方差不变.3.A 解析:从茎叶图可知乙同窗的效果在80~100分分数段的有9次,而甲同窗的效果在80~100分分数段的只要7次;再从题图上还可以看出,乙同窗的效果集中在90~100分分数段的最多,而甲同窗的效果集中在80~90分分数段的最多.故乙同窗比甲同窗发扬较动摇且平均效果也比甲同窗高.4.C 解析:设样本容量为n,由题意,得(0.24+0.16)1n=20,解得n=50.所以第三组频数为0.36150=18.由于第三组中没有疗效的有6人,所以第三组中有疗效的人数为18-6=12.5.A 解析:茎叶图中共有30个数据,所以中位数是第15个和第16个数字的平均数,即(45+47)=46,扫除C,D;再计算极差,最小数据是12,最大数据是68,所以68-12=56,应选A.6.A 解析:样本中产品毛重小于100克的频率为(0.050+0.100)2=0.3,又频数为36,样本容量为=120.样本中净严重于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)2=0.75,样本中净严重于或等于98克并且小于104克的产品的个数为1200.75=90.7.8 解析:由茎叶图可知,a=19,b=11,a-b=8.8.52.5% 解析:结合直方图可以看出:消费数量在[55,65)的人数频率为0.0410=0.4,消费数量在[65,75)的人数频率为0.02510=0.25,而消费数量在[65,70)的人数频率约为0.25=0.125,所以消费数量在[55,70)的人数频率约为0.4+0.125=0.525,即52.5%.9.解:(1)由图可知,众数为30.极差为:40-19=21.(2)1 92 8889993 0000011112224 0(3)依据表格可得:=30,s2=[(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30) 2+3(32-30)2+(40-30)2]=12.6.10.D 解析:依据信息可知,延续10天内,每天的新增疑似病例不能有超越7的数,选项A中,中位数为4,能够存在大于7的数;同理,在选项C中也有能够;选项B中的总体方差大于0,表达不明白,假设数目太大,也有能够存在大于7的数;选项D中,依据方差公式,假设有大于7的数存在,那么方差不会为3,故答案选D.11.A 解析:由题意知样本(x1,,xn,y1,,ym)的平均数为,又= +(1-),即=,1-=.由于0,所以0,即2n用样本估量总体专项提升题及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望对考生温习数学有协助。
2015届高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)用样本估计总体导学案(新人教A版)文
学案57 用样本估计总体导学目标： 1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．自主梳理1．在频率分布直方图中，纵轴表示__________________，数据落在各小组内的频率用________________表示，所有长方形面积之和________．2．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中________与________的差)； (2)决定________与________； (3)将数据________； (4)列________________； (5)画________________．3．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的________，就得频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着__________的增加，作图时____________增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．4．当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是统计图上没有原始数据丢失，二是方便记录与表示，但茎叶图一般只便于表示两位有效数字的数据．5．众数、中位数、平均数(1)在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数．(2)将一组数据按大小依次排列，把处在________位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)如果有n 个数x 1，x 2，……，x n ，那么x ＝____________叫做这n 个数的平均数． 6．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种____________． (2)标准差：s ＝ ________________________.(3)方差：s 2＝________________________________(x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．自我检测1．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组在频率分布直方图的高为h ，则|a －b|等于( )A ．hmB .h mC .mhD ．h ＋m2．(2010·福建)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A .91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和923．(2011·滨州模拟)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25 4．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A . 65B .65C . 2D ．25．(2010·江苏)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有______根棉花纤维的长度小于20 mm .探究点一 频率分布直方图 例1 (2011·福州调研)如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽多少人？(3)试估计样本数据的中位数．变式迁移1 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 值分别为( )A．0.27,78 B．0.27,83C．2.7,78 D．2.7,83探究点二用样本数字特征估计总体数字特征例2甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如表所示：s1、s2、s3()A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1变式迁移2甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：如果甲、乙两人中只有．探究点三用茎叶图分析数据例3随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．变式迁移3(2011·汉沽模拟)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512554528549536556534541522538乙：515558521543532559536548527531(1)用茎叶图表示两学生的成绩；(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．1．几种表示频率分布的方法的优点与不足：(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．(4)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·陕西)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x 和x B，样本标准差分别为s A和s B，则()AA.x A>x B，s A>s BB.x A<x B，s A>s BC.x A>x B，s A<s BD.x A<x B，s A<s B2．(2011·宁波期末)10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a 3．(2011·金华十校模拟)为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．274．下图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,4 5．(2011·四川)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A .16 B .13 C .12 D .23二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2010·天津)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为______和_________________________．7．(2010·福建)将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________．8．(2011·江苏)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．10．(12分)(2010·湖北)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在下面表格中填写相应的频率；(2)估计数据落在[1.15，中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．11．(14分)(2010·安徽)某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95， 91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表． (2)作出频率分布直方图．(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．学案57 用样本估计总体自主梳理1．频率与组距的比值 小长方形的面积 等于1 2.(1)最大值 最小值 (2)组距 组数 (3)分组 (4)频率分布表 (5)频率分布直方图 3.(1)中点 (2)样本容量 所分的组数5.(1)最多 (2)中间 (3)x 1＋x 2＋…＋x nn6.(1)平均距离(2)1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](3)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] 自我检测1．C 2.A 3.A 4.D 5．30课堂活动区例1 解题导引 (1)解关于图形信息题的关键是正确理解各种统计图表中各个量的含义，灵活运用这些信息和数据去发现结论．(2)在频率分布直方图中，最高矩形的中点对应值是众数；而中位数的左右两边的直方图面积相等；平均数是直方图的“重心”．解 (1)∵月收入在[1 000,1 500)的概率为0.000 8×500＝0.4，且有4 000人，∴样本的容量n ＝4 0000.4＝10 000；月收入在[1 500,2 000)的频率为0.000 4×500＝0.2； 月收入在[2 000,2 500)的频率为0.000 3×500＝0.15； 月收入在[3 500,4 000)的频率为0.000 1×500＝0.05. ∴月收入在[2 500,3 500)的频率为 1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.∴样本中月收入在[2 500,3 500)的人数为 0．2×10 000＝2 000.(2)∵月收入在[1 500,2 000)的人数为 0.2×10 000＝2 000，∴再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽取100×2 00010 000＝20(人)．(3)由(1)知月收入在[1 000,2 000)的频率为0.4＋0.2＝0.6>0.5， ∴样本数据的中位数为1 500＋0.5－0.40.000 4＝1 500＋250＝1 750(元)．变式迁移1 A [由频率分布直方图知组距为0.1.4．3～4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1. 4．4～4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3. 又前4组的频数成等比数列，∴公比为3. 从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33＝27. ∴a ＝0.27.根据后6组频数成等差数列，且共有100－13＝87(人)．设公差为d ，则6×27＋6×52d ＝87.∴d ＝－5，从而b ＝4×27＋4×32×(－5)＝78.]例2 B [由已知可得甲、乙、丙的平均成绩均为8.5.方法一 ∵s 21＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， ∴s 1＝120[5×(7－8.5)2＋5×(8－8.5)2＋5×(9－8.5)2＋5×(10－8.5)2] ＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120，∴s 2>s 1>s 3.方法二 ∵s 21＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2， ∴s 21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝54， ∴s 1＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120，∴s 2>s 1>s 3.] 变式迁移2 甲解析 x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25， s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定，故选甲． 例3 解题导引 茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助我们分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征．但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了．因为数据较多时，枝叶就会很长，需要占据较多的空间．解 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班．(2)x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，甲班的样本方差为 110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A ，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝25.变式迁移3 解 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示．(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 536＋5382＝537. 乙学生成绩的中位数为532＋5362＝534.甲学生成绩的平均分为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537，乙学生成绩的平均分为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537.课后练习区1．B [A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A <x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A >s B .]2．D [平均数a ＝110(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7.中位数b ＝15，众数c ＝17.∴c>b>a.]3．B [前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16. ∵后五组频数和为62，∴前三组为38.∴第三组为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32，∴a ＝22＋32＝54.] 4．C [去掉最高分93，最低分79，平均数为15(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝85＝1.6.]5．B [由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为2266＝13.]6．24 23解析 x 甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，x 乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.7．60解析 ∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数为2＋3＋420·n ＝27，故n ＝60. 8．3.2解析 x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165＝3.2. 9．解 (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为： 甲 10分 13分 12分 14分 16分 乙 13分 14分 12分 12分 14分甲、乙两人的平均成绩x 甲＝x 乙，都是13分，(4分)s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (8分)(2)由s 2甲>s 2乙，可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．(12分)10．解 (1)/组距)，故可得下表：(6分)(2)因为0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47.(9分)(3)因为120×1006＝2 000，所以水库中鱼的总条数约为2 000.(12分) 11．解 (1)(5分)(2)频率分布直方图如图所示．(10分)(3)答对下述两条中的一条即可：①该市有一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数为28，占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好．②轻微污染有2天，占当月天数的115；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的1730，超过50%；说明该市空气质量有待进一步改善．(14分)。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第九章 第四节 用样本估计总体 理
第四节 用样本估计总体知识梳理 一、统计1．统计图表包括条形图、折线图、扇形图、茎叶图．2．刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数．刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差．3．平均数的计算方法．(1)如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”．(2)当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′＝x 1－a ，x 2′＝x 2－a ，…，x n ′＝x n －a ，那么，x ＝x ′ ＋a . (3)加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次(f 1＋f 2＋…＋f k ＝n )，那么x ＝x 1f 1＋x 2f 2＋…＋x k f kn叫做这n 个数据的加权平均数．4．方差的计算方法．(1)对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，则s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]叫做这组数据的方差．方差的算术平方根s ＝x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2n称为标准差．(2)方差计算简化公式： s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]．(3)当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′＝x 1－a ，x 2′＝x 2－a ，…，x n ′＝x n －a ，则s 2＝1n[x ′21＋x ′22＋…＋x ′2n )－n x ′2]．二、总体分布1．总体：在数据统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体．1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释． 4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． 5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．2．频率分布的概念：频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小．一般用频率分布直方图反映样本的频率分布．3．画频率分布直方图的一般步骤：(1)计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差； (2)决定组距与组数； (3)将数据分组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图． 4．频率分布直方图中每个小矩形的宽度为Δx i (分组的宽度)，高为f iΔx i，小矩形的面积为相应的频率f i .5．频率折线图：在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左、右两边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，所得到的折线称为频率折线图．6．总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n 的样本，就是进行了n 次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布．7．总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围图形的面积．8．总体密度曲线函数y ＝f (x )的两条基本性质：①f (x )≥0(x ∈R )；②由曲线y ＝f (x )与x 轴围成面积为1.基础自测1．(2013·山东模拟)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2 D ．2解析：因为a ＋0＋1＋2＋35＝1，得a ＝－1，所以s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故选D.答案：D则样本在(20,50]上的频率为( )A ．12%B ．40%C ．60%D ．70%解析：一个容量为20的样本数据，据表知样本分布在(20,50]的频数3＋4＋5＝12，故其频率为1220＝0.6.故选C.答案：C3.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)；…；第五组[17,18)．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是____________人．解析：依题意所求人数为(0.16×1＋0.38×1)×50＝27. 答案：274.(2013·江苏南通二模)某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间(单位：分钟)用茎叶图表示(如图)，图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为________分钟．解析：由茎叶图知，7天中进行投篮训练的时间的数据为 64,65,67,72,75,80,81；所以该运动员的平均训练时间为：64＋65＋67＋72＋75＋80＋817＝72.答案：721．(2013·安徽卷)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班5名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86, 94,88,92,90，5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数解析：x 男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，x 女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，s 2男＝15(42＋42＋22＋22＋02)＝8，s 2女＝15(32＋22＋22＋32＋22)＝6.虽然x 男<x 女，但不能断定该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，所以只有选项C 正确．答案：C2．(2013·湖北卷)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示．(1)直方图中x 的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．解析：依题意有(0.006＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2＋x )×50＝1，得x ＝0.004 4. 用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.003 6＋0.006＋0.004 4)×50×100＝70. 答案：0.004 4 701．(2013·江门二模)为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是( )A ．30B ．60C ．70D ．80解析：由图可知：则底部周长小于110 cm 段的频率为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，则频数为100×0.7＝70株．故选C.答案：C2．(2013·江苏宿迁一模)已知某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，a,125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是________．解析：因为某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，a,125，其平均成绩x ＝124， 所以x ＝121＋127＋123＋a ＋1255＝124，解得a ＝124，所以这组数据的方差是s 2＝15[(121－124)2＋(127－124)2＋(123－124)2＋(124－124)2＋(125－124)2]＝4.答案：4。
【与名师对话】2015高考数学一轮复习9.2用样本估计总体课时作业理(含解析)新人教a版
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 9.2 用样本估计总体课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．(2013·厦门市高三质检)某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )A．20辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆解析：由图知车速大于或等于80 km/h的频率为0.1，被罚车辆大约为200×0.1＝20辆，选A.答案：A2．(2013·武汉调研测试)某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a 的值为( )A ．0.006B ．0.005C ．0.004 5D ．0.002 5解析：频率分布直方图中、各个矩形的面积和为1，所以20a ＋0.2＋0.3＋0.4＝1，∴a ＝0.005.答案：B3．(2013·安徽亳州高三摸底联考)样本中共有五个个体，其值分别为a,2,3,4,5，若该样本的平均值为3，则样本方差为( )A.65 B.65C. 2 D ．2 解析：由a ＋2＋3＋4＋55＝3得a ＝1∴方差S 2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.∴故答案为D. 答案：D4．(2013·石家庄第二次模拟)给定一组数据x 1，x 2，…，x 20，若这组数据的方差为3，则数据2x 1＋3,2x 2＋3，…，2x 20＋3的方差为( )A ．6B ．9C ．12D ．15解析：由D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)，可知2x 1＋3,2x 2＋3，…，2x 20＋3的方差为12.故选C. 答案：C5．(2012·陕西卷)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙解析：由题图可得x 甲＝34516＝21.562 5，m 甲＝20，x 乙＝45716＝28.562 5，m 乙＝29， 所以x 甲<x 乙，m 甲<m 乙．故选B. 答案：B6．(2012·安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由图可得，x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6，x 乙＝3×5＋6＋95＝6，故A 错；而甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 错；s 2甲＝4－6 2＋ 5－6 2＋ 6－6 2＋ 7－6 2＋ 8－6 25＝2，s 2乙＝3× 5－6 2＋ 6－6 2＋ 9－625＝2.4，故C 正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，故D 错．答案：C 二、填空题7．(2013·贵州省六校第一次联考)某同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为________．解析：由茎叶图可知该同学的分数由个位及十位数组成，个位数的平均数与十位数的平均数之和为该同学的平均数，所以平均分为：x ＝1×60＋4×70＋3×80＋1×909＋3×8＋2×9＋2×2＋1＋39＝670＋509＝80.答案：808．(2013·马鞍山第一次质检)已知总体的各个个体的值由小到大依次为3,7，a ，b,12,20，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a ＝________.解析：总体的中位数为a ＋b2＝12，即a ＋b ＝24，数据是从小到大排列的7≤a ≤b ≤12，∴a ＝b ＝12.答案：129．(2013·保定市高三第一次模拟)一个频率分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.6，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和是________．解析：由已知样本数据在[20,60)上的频率为0.6，故在[20,60)上的数据为30，则在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和为21.答案：21三、解答题10．为征求个人所得税法修改建议，某机构对当地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,4 000)的频率； (2)根据频率分布直方图估算样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？解：(1)居民月收入在[3 000,4 000)的频率为(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2. (2)第一组和第二组的频率之和为(0.000 2＋0.000 4)×500＝0.3， 第三组的频率为0.000 5×500＝0.25， 因此，可以估算样本数据的中位数为 2 000＋0.5－0.30.25×500＝2 400(元)．(3)第四组的人数为0.000 5×500×10 000＝2 500，因此月收入在[2 500,3 000)的这段应抽2 500×10010 000＝25(人)．11．某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命(单位：h)，可以把这批电子元件分成第一组[100,200]，第二组(200,300]，第三组(300,400]，第四组(400,500]，第五组(500,600]，第六组(600,700]，由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：(2)求图2中阴影部分的面积；(3)若电子元件的使用时间超过300h 为合格产品，求这批电子元件合格的概率． 解：(1)由题意可知0.1＝A ·100，∴A ＝0.001， ∵0.1＝B200，∴B ＝20，又C ＝0.1，D ＝30200＝0.15，E ＝0.2×200＝40，F ＝0.4×200＝80，G ＝20200＝0.1，∴H ＝10，I ＝10200＝0.05.(2)阴影部分的面积为0.4＋0.1＝0.5.(3)电子元件的使用时间超过300 h 的共有40＋80＋20＋10＝150个，故这批电子元件合格的概率P ＝150200＝34.[热点预测]12．(1)(2013·莆田质检)一组数据如茎叶图所示．若从中剔除2个数据，使得新数据组的平均数不变且方差最小，则剔除的2个数据的积等于________．(2)(2013·江门佛山两市质检)为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如下图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是( )A ．30B ．60C ．70D ．80解析：(1)这组数据的平均数x ＝3＋8＋12＋11＋13＋16＋217＝12，若剔除两个数据后平均数不变，则这两个数之和为24.若使方差最小，则这两个数应与12的差较大，所以剔除3和21，其乘积为3×21＝63.(2)100×(0.1＋0.2＋0.4)＝70. 答案：(1)63 (2)C。
【金版教程】2015届高考数学大一轮总复习 9-2(2)用样本估计总体限时规范训练 理
05限时规范特训A 级 基础达标1．[2014·四川模拟]有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的概率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( ) A.211B.13C.12D.23解析：大于或等于31.5的数据是最后的3组，故大于或等于31.5的数据约占12＋7＋366＝13. 答案：B2．为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示．据此可估计上学期该校400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为( )A ．100B ．160C ．200D ．28001234⎪⎪⎪⎪7 93 3 5 6 71 245 8 80 1 4 71 1 2解析：由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×820＝160.答案：B3．[2014·湖北模拟]有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A．18 B．36C．54 D．72解析：本题考查了频率分布直方图的有关知识．设样本数据落在区间[10,12)内的频率与组距的比为x，则(0.02＋0.05＋x＋0.15＋0.19)×2＝1，得x＝0.09，故样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.09×2×200＝36.答案：B4．[2012·山东高考]在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解析：本题考查众数、平均数、中位数及标准差的概念，考查推理论证能力．当每个样本数据加上2后，众数、平均数、中位数都会发生变化，不变的是数据的波动情况，即标准差不变．答案：D5．[2014·西安质检]某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：A.25B.725C.35D．2解析：x 甲＝7，s 2甲＝15[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2]＝25，x 乙＝7，s 2乙＝15[(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2]＝65，两组数据的方差中较小的一个为s 2甲，即s 2＝25.答案：A6．[2014·江南十校联考]已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：∵s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2]，∴2x (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)－4x 2＝16，∴8x 2－4x 2＝16，x ＝2，即x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，∴x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＋x 4＋24＝4，故选C.答案：C7．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为________.解析：因为甲班学生成绩的众数是85，所以由茎叶图可知，x ＝5.乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，x ＋y ＝8.答案：88．为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．某市抽取1000名年龄在[2,22](单位：岁)内的学生每天的零花钱，样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,14)内的频数为________．解析：由频率分布直方图的意义知4×(0.02＋0.03＋0.03＋0.08＋x)＝1，解得x＝0.09，所以样本数据落在[6,14)内的频数为1000×4×(0.08＋0.09)＝680.答案：6809．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得80分却记成了50分，乙实际得70分却记成了100分，更正后平均分为________，方差为________．解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.答案：70 5010．[2014·揭阳调研]某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．解：(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为425÷10＝0.016.11．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99；乙：110,115,90,85,75,115,110.(1)这种抽样方法是哪一种？(2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)将两组数据比较，说明哪个车间的产品较稳定．解：(1)因为间隔时间相同，所以是系统抽样．(2)茎叶图如下：(3)甲车间：平均值：x 1＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，方差：s 21＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋…＋(99－100)2]＝247.乙车间：平均值：x 2＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，方差：s 22＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋…＋(110－100)2]＝16007.∵x 1＝x 2，s 21<s 22，∴甲车间的产品较稳定．12．某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg)，获得的所有数据按照区间[40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的43倍．(1)求a ，b 的值；(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取2株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率．解：(1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有a ×5×20＝100a (株)，样本中产量在区间(50,60]上的果树有(b ＋0.02)×5×20＝100(b ＋0.02)(株)， 依题意，有100a ＝43×100(b ＋0.02)，即a ＝43(b ＋0.02)． ①根据频率分布直方图可知(0.02＋b ＋0.06＋a )×5＝1， ② 由①②得：a ＝0.08，b ＝0.04.(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0.04×5×20＝4(株)，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，产量在区间(55,60]上的果树有0.02×5×20＝2(株)，分别记为B 1，B 2.从这6株果树中随机抽取2株共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取2株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则P (M )＝915＝35.B 级 知能提升1．[2014·山西模拟]下图1是某县参加2011年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A n(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160 cm～180 cm(含160 cm，不含180 cm)内的学生人数，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是________．图1图2解析：由题意可知，本题是统计身高在160 cm ～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)内的学生人数，即求A 4＋A 5＋A 6＋A 7，故程序框图中的判断框内应填写的条件是“i ≤7”．答案：i ≤72．[2014·襄阳五中检测]对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________． 解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h ＝0.04.志愿者年龄在[25,35)的频率为5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.答案：(1)0.04 (2)4403．已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．⎪⎪⎪⎪8765⎪⎪⎪⎪10 3 6 8 92 5 79(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．解：(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为k ＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x ＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为：s 2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A ，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．故所求概率为P (A )＝410＝25.。
2015高考数学(理)一轮复习配套课件：9-2用样本估计总体
抓住2个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码
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第九章 统计、统计案例及算法初步
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分布的茎叶图如图．巳知记录的平均身高为 174 cm，但有一名运
动员的身高记录不清楚，其末位数记为 x，则 x 的值为 7 .
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考点 2 样本的数字特征
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01抓住2个必备考点
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【金版学案】2015届高考数学总复习 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课时精练试题
第四节基本不等式: ab ≤a ＋b2(a ,b ∈R ＋)题号 1 2 3 4 5 6 7 答案1．(2012·某某一模)已知a >0，b >0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式可知，a ＋b ＝2⇒ab ≤1，但ab ≤1不能推出a ＋b ＝2.故选A. 答案：A2．(2013·某某质检)已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：因为x <0，所以－x >0，所以x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2－x ·1－x －2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．答案：C3．(2013·某某质检)若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A.13B.12 C.34 D.23解析：因为0<x <1，所以f (x )＝x (4－3x )＝13×3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”，故选D.答案：D4．(2012·某某调研)设a ，b ，c ，d ∈R ，若a,1，b 成等比数列，且c,1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是( )A ．a ＋b ≤2cdB ．a ＋b ≥2cdC ．|a ＋b |≤2cdD ．|a ＋b |≥2cd解析：∵ab ＝1>0，∴a ，b 同号． ∴|a ＋b |＝|a |＋|b |≥2|a ||b |＝2.又c ＋d ＝2，∴(c ＋d )2＝4，即c 2＋d 2＋2cd ＝4.∴4－2cd ＝c 2＋d 2≥2cd ，得2cd ≤2， ∴|a ＋b |≥2cd .故选D. 答案：D5．(2012·某某质检)已知函数f (x )＝2x满足f (m )·f (n )＝2，则mn 的最大值为( ) A.12 B.14C.16D.18解析：由已知得2m·2n＝2m ＋n＝2，所以m ＋n ＝1，于是mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14.故选B.答案：B6．(2013·某某一模)设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为( )A ．3 B.92C ．5D ．7解析：由题意知，a ＞0，△＝16－4ac ＝0，所以ac ＝4，c ＞0，则1c ＋9a ≥2×9ac＝3，当且仅当1c ＝9a 时取等号，所以1c ＋9a的最小值是 3.故选A.答案：A7．(2013·某某卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.94解析：由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4yx－3≥1，当且仅当x＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2.所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.答案：C8．(2013·某某卷)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：由基本不等式性质，f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在4x ＝ax ，即x 2＝a4时取得最小值，由于x ＞0，a ＞0，再根据已知可得a4＝32，故a ＝36.答案：369．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是________．解析：∵x ＞0，∴x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，∴x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞10．(2013·某某模拟)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为__________．解析：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6.答案：611. (2012·某某八中月考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则log3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，可知当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取最大值，∴2a ＋4b ＝6，即1＝a ＋2b 3，所以1a ＋2b ＝a ＋2b 3a ＋2a ＋2b 3b ＝53＋2b 3a ＋2a 3b ≥2×23＋53＝3.∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥log 33＝2.故log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为2. 答案：212．(2013·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案：2013．围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m ，新墙的造价为460元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析：(1)因为利用的旧墙的长度为x 米，则以被利用的那部分旧墙为一边的矩形的另一边长为368xm ，于是y ＝180x ＋460(x －2)＋460×2×368x＝640x ＋232×82×10x－920＝640x ＋338 560x－920(x >0)．(2)∵x >0，∴640x ＋338 560x≥2640x ×338 560x＝29 440.∴y ＝640x ＋338 560x－920≥29 440－920＝28 520，当且仅当640x ＝338 560x，即x ＝23时，等号成立．∴当x ＝23 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是28 520元．14．(2013·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解析：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x x －12×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g (x )＝f x 2 000x ×10 000＝510x 2＋790x ＋9 000x＝50⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．。
2015届高考数学总复习 第九章 第四节 用样本估计总体课时精练 理
第四节 用样本估计总体1.如右图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm )画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )A ．161 cmB ．162 cmC ．163 cmD ．164 cm解析：通过茎叶图可知这10位同学的身高是155 cm ，155 cm ，157 cm,158 cm ，161 cm ，163 cm ，163 cm,165 cm,171 cm,172 cm.这10个数据的中位数是将这些数据从小到大(或从大到小)排列后中间两个数据的平均数，即为161 cm 和163 cm 这两个数据的平均数．故选B.答案：B2．(2013·辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.所以该班学生人数n ＝150.3＝50. 答案：B3．(2013·黄冈模拟)一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( ) A ．40.6,1.1 B ．48.8,4.4C ．81.2,44.4D ．78.8,75.6解析：记原数据依次为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则新数据依次为2x 1－80,2x 2－80,2x 3－80，…，2x n －80，且2（x 1＋x 2＋…＋x n ）－80n n＝1.2， 因此有x 1＋x 2＋…＋x n n ＝1.2＋802＝40.6，结合各选项知正确选项为A.答案：A4．下图是1,2两组各7名同学体重(单位：kg )数据的茎叶图．设1,2两组数据的平均数依次为x －1和x －2，标准差依次为s 1和s 2，那么( )A .x 1＞x 2，s 1＞s 2B .x 1＜x 2，s 1＜s 2C .x 1＞x 2，s 1＜s 2D .x 1＜x 2，s 1＞s 2解析：利用平均数公式和标准差公式计算得x 1＝61，x 2＝62，s 1＝ 3167，s 2＝ 3427.故选B. 答案：B5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x －，则( )A ．m e ＝m 0＝x －B ．m e ＝m 0<x －C ．m e <m 0<x －D ．m 0<m e <x －解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现次数最多，故m 0＝5，x －＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈ 5．97.于是得m 0<m e <x －.故选D.答案：D6．某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a 的估计值是( )A．130 B．140 C．134 D．137解析：由题意知，优秀的频率为0.2，故a的值在130～140之间，则(140－a)×0.015＝0.1，解之得a＝133.4.故选C.答案：C7．(2013·汕头二模)某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如图，据此可以了解分数在[50,60)的频率为________，并且推算全班人数为________．解析：根据频率分布直方图可知，分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，据此可以了解分数在[50,60)的频率为 0.08.由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为25.答案：0.08 258．(2013·徐州一模)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2 500,3 000)(元)内应抽出________人．解析：由直方图可得[2 500,3 000)(元)月收入段共有10 000×0.000 5×500＝2 500人，按分层抽样应抽出2500×10010 000＝25人．答案：259．(2013·辽宁卷)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x1，x2，x3，x4，x5，(x i∈N，且x1，x2，x3，x4，x5各不相同)，由题意(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.因为x1，x2，x3，x4，x5∈N，且各不相同．若使x5－7最大，只需(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2最小，显然(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.所以(x5－7)2≤14，因此(x5－7)2≤9，则x5≤10，x5∈N，经验证x5＝10时，x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8满足，所以样本数据中的最大值为10.答案：1010．某地区为了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人[8,9) 8.5 4在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图(注：符号“←”与“＝”的含义相同)，则输出的S的值是________．解析：由流程图可知，S ＝G 1F 1＋G 2F 2＋G 3F 3＋G 4F 4＋G 5F 5＝4.5×0.12＋5.5×0.20＋6.5×0.40＋7.5×0.2＋8.5×0.08＝6.42.答案：6.4211．某校高二年级研究性学习小组，为了分析2011年我国宏观经济形势，上网查阅了2010年和2011年2—6月我国CPI 同比(即当年某月与前一年同月相比)的增长数据(见下表)，但2011年4,5,6三个月的数据(分别记为x ，y ，z)没有查到．有的同学清楚记得2011年2,3,4,5,6五个月的CPI 数据成等差数列．(1)求x ，y ，z 的值；(2)求2011年2—6月我国CPI 的数据的方差；(3)一般认为，某月CPI 达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点则严重通货膨胀．现随机地从下表2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据，求相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的概率．附：我国20101个百分点＝1%)解析：(1)依题意得4.9,5.0，x ，y ，z 成等差数列，所以公差d ＝5.0－4.9＝0.1， 故x ＝5.0＋0.1＝5.1，y ＝x ＋0.1＝5.2，z ＝y ＋0.1＝5.3，(2)由(1)知2011年2—6月我国CPI 的数据为：4.9,5.0,5.1,5.2,5.3，其平均数为：x －＝15(4.9＋5.0＋5.1＋5.2＋5.3)＝5.1， 其方差为：s 2＝15[(4.9－5.1)2＋(5.0－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.2－5.1)2＋(5.3－5.1)2]＝0.02.(3)用(m ，n )表示随机地从2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据的基本事件，其中m 表示2010年的数据，n 表示2011年的数据，则所有基本事件有：(2.7,4.9)，(2.7,5.0)，(2.7,5.1)，(2.7,5.2)，(2.7,5.3)，(2.4,4.9)，(2.4,5.0)，(2.4,5.1)，(2.4,5.2)，(2.4,5.3)，(2.8,4.9)，(2.8,5.0)，(2.8,5.1)，(2.8,5.2)，(2.8,5.3)，(3.1,4.9)，(3.1,5.0)，(3.1,5.1)，(3.1,5.2)，(3.1,5.3)，(2.9,4.9)，(2.9,5.0)，(2.9,5.1)，(2.9,5.2)，(2.9,5.3)，共25种．其中满足相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的基本事件有： (3.1,5.0)，(3.1,5.1)，(3.1,5.2)，(3.1,5.3)，共4种，所以P ＝425＝0.16，即相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的概率为0.16.12. 为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数(1)表中m ，n ，M ，(2)画出频率分布直方图．(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？解析：(1)M ＝10.02＝50， m ＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N ＝1.0，n ＝250＝0.04. (2)(3)在153.5～157.5范围内最多．13．在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图．(2)这两个班参赛的学生人数是多少？(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？解析：(1)∵各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分布分别是0.30,0.15,0.10,0.05，∴第二小组的频率为：1.00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04，则补全的频率分布直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x ＝100. 所以这两个班参赛的学生人数为100人．(3)因为0.3×100＝30,0.4×100＝40，0.15×100＝15，0．10×100＝10,0.05×100＝5，即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30,40,15,10,5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．14．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm )(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．解析：(1)如下表所示．频率分布表(2)间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．。
2015届高考数学总复习第九章 第四节用样本估计总体精讲课件 文
变式探究 1．(2012· 山东卷)如图是根据部分城 市某年6月份的平均气温(单位：℃) 数据得到的样本频率分布直方图， 其中平均气温的范围是[20.5,26.5]， 样 本 数 据 的 分 组 为 [20.5,21.5) ， [21.5,22.5) ， [22.5,23.5) ， [23.5,24.5) ， [24.5,25.5) ， [25.5,26.5] ．已知样本 中平均气温低于22.5 ℃的城市个数 为 11 ， 则 样 本 中 平 均 气 温 不 低 于 25.5 ℃的城市个数为________．
(1) 分别计算 A ， B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位 数． (2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差． (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？
思路点拨：比较性能的稳定应比较极差和标准差． 解析：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98 ＝100， 8 100＋98 中位数为： 2 ＝99. B 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106 ＝100， 8 101＋97 中位数为： 2 ＝99.
点评：中位数是指把统计总体中的各个变量值按大小顺序排
列起来，形成一个数列，处于数列中间位置的变量值就称为
中位数．如果变量值的个数(即数列项数)为奇数时，处于中间 的位置的数即为中位数；如果变量值的个数为偶数时，中位
用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例3】 为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从 这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮 胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)： 轮胎A 96 112 101 97 94 108 105 100 96 103 93 86 97 98 106 轮胎B 108
2015高考数学一轮总复习课件：9.2 用样本估计总体
2. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．
3. 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解
释．
4. 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总
体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
5. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际
4 000 又月收入在[1 000，1 500)的有 4 000 人，故样本容量 n＝ 0.4 ＝10
000. 月收入在[1 500，2 000)的频率为 0.000 4×500＝0.2， 月收入在[2 000，2 500)的频率为 0.000 3×500＝0.15， 月收入在[3 500，4 000]的频率为 0.000 1×500＝0.05，
第四页，编辑于星期五：十二点 四十七分。
2. 频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ，就得频率 分布折线图． (2)总体密度曲线：随着 样本容量 的增加，作图时所分的组数增加， 组距 减 小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
B. 平均数
C. 中位数
D. 标准差
第二十八页，编辑于星期五：十二点 四十七分。
x1＋x2＋…＋xn
y1＋y2＋…＋ym
(1)x＝
n
，y＝
m
，
x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym
z＝
m＋n
，
nx＋my n
m
则 z＝ m＋n ＝m＋nx＋m＋ny.
n1 由题意知 0＜m＋n＜2，∴n＜m.
(2)对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准 差，众数、中位数、平均数都发生改变．
【师说 高中全程复习构想】(新课标)2015届高考数学 10.2 用样本估计总体练习
【师说 高中全程复习构想】（新课标）2015届高考数学 10.2用样本估计总体练习一、选择题1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( ) A.65 B.65C. 2 D ．2 解析：由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故选D. 答案：D2．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.4,124.5)内的频率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.5解析：依题意得，样本数据落在[114.4,124.5)内的频率为410＝0.4，选C.答案：C3．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是( )A ．12.5 12.5B ．12.5 13C ．13 12.5D ．13 13解析：根据频率分布直方图特点可知，众数是最高矩形的中点，由图可知为12.5，中位数是10＋0.5－0.20.1＝13.答案：B4．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92解析：中位数为12(91＋92)＝91.5；平均数为18(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.答案：A5．甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列叙述正确的是( )A ．x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定B ．x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲＜x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定解析：由题意可知，x 甲＝15×(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x 乙＝15×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.又由方差公式可得s2甲＝15×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，s2乙＝15×[(87－78)2＋(87－88)2＋(87－88)2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6，因为s2乙＜s2甲，故乙的成绩波动较小，乙的成绩比甲稳定．故选C. 答案：C6．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，纤维的长度小于20mm 的棉花根数为( )A ．20B ．30C ．40D ．50 解析：由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于20mm 的根数为(0.01＋0.01＋0.04)×5×100＝30(根)． 答案：B 二、填空题7．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝__________.解析：5个数据的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2. 答案：3.28．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a ，乙运动员的众数为b ，则a －b ＝__________. 解析：由茎叶图可知，a ＝19，b ＝11，∴a －b ＝8. 答案：89．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n 位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n ＝________.解析：设第1个小长方形的面积为S ，则4个小长方形的面积之和为4S ＋4×32×0.1，由题意知，4S ＋4×32×0.1＝1，∴S ＝0.1.又10n＝0.1，∴n ＝100. 答案：100 三、解答题10．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn 表示编号为n(n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5编号n 1 2 3 4 5 成绩xn7076727072(1)求第6(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解析：(1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75， 解得x6＝90.这6位同学成绩的方差s2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种， 所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.11．某电视台为宣传某某，随机对某某15～65岁的人群抽取了n 人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15,25) a 0.5 第2组 [25,35) 18 x 第3组 [35,45) b 0.9 第4组 [45,55) 9 0.36 第5组[55,65)3y(1)分别求出a ，b ，x ，y 的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人？(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率． 解析：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，再结合频率分布直方图可知n ＝250.025×10＝100，∴a ＝100×0.01×10×0.5＝5， b ＝100×0.03×10×0.9＝27， x ＝1820＝0.9，y ＝315＝0.2. (2)第2,3,4组回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：1854×6＝2人，第3组：2754×6＝3人，第4组：954×6＝1人．(3)设所抽取的人中第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1.则从6人中抽2人所有可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为315＝15.12．(2013·新课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解析：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3.y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x>y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2.,3.上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0.,1.上，由此可看出A药的疗效更好．。
2015届高考数学总复习配套课件：9-3 用样本估计总体
高效
训练
②分成甲级400千克，每千克售价2.00元，乙级200千克，每千克售
价1.00元．
山 东
两种出售方案的平均价格分别为 x 1和 x 2，则( )
金 太
阳
A. x 1> x 2
B. x 1＝ x 2
书
业
C. x 1< x 2
D. x 1与 x 2的大小不确定
有 限
公
司
菜 单 隐藏
第十四页，编辑于星期五：十点 十六分。
提素能
高效
训 练 越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程
度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但 山
东
在解决实际问题时，一般多采用标准差．
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十二页，编辑于星期五：十点 十六分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
3.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同
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第十九页，编辑于星期五：十点 十六分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干
考点 解密
[解析] (1)由频率分布直方图可知(2a＋0.04＋0.03＋0.02)×10＝1，
研考向 解得 a＝0.005.
要点
探究
(2)由频 率分布 直方图 估计 这 100 名学 生语文 成绩的平 均分 为
悟典题
金 太
每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
阳 书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十一页，编辑于星期五：十点 十六分。
高考总复习数学(理科)课时作业：第9章 第10讲 用样本估计总体 Word版含解析
第10讲用样本估计总体1．(2015年广东)已知样本数据x1，x2，…，x n的均值x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的均值为________．2．在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，且中间一组的频数为10，则这个样本的容量是________．3．(2016年江苏)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是____________．4．(2016年山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图X9-10-1，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5,30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()(导学号58940404)图X9-10-1A．56 B．60 C．120 D．1405．某学校组织学生参加英语测试，某班成绩的频率分布直方图如图X9-10-2，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是()图X9-10-2A．45人B．50人C．55人D．60人6．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如图X9-10-3.记甲、乙两人的平均得分分别为x甲，x乙，则下列判断正确的是()图X9-10-3A.x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定B.x甲<x乙，乙比甲成绩稳定C.x甲>x乙，甲比乙成绩稳定D.x甲>x乙，乙比甲成绩稳定7．惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图X9-10-4，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()图X9-10-4A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁8．(2015年山东)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图X9-10-5所示的茎叶图．考虑以下结论：图X9-10-5①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④9．(2014年陕西)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.x，s2＋1002B.x＋100，s2＋1002C.x，20D.x＋100，s210．(2016年山东济宁二模)在某校统考中，甲、乙两班数学学科前10名的成绩如下图X9-10-6：(导学号58940405)(1)已知甲班10位同学数学成绩的中位数为125，乙班10位同学数学成绩的平均分为130，求x，y的值；(2)设定分数在135分之上的学生为数学尖优生，从甲，乙两班的所有数学尖优生中任取两人，求两人在同一班的概率．图X9-10-611．(2016年四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5), [0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图X9-10-7所示的频率分布直方图．图X9-10-7(1)求直方图中的a值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．12．(2016年北京)某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图X9-10-8.(导学号58940406)图X9-10-8(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．第10讲 用样本估计总体1．11 解析：因为样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，所以样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为2x ＋1＝2×5＋1＝11，所以答案应填11.2．40 解析：设中间小长方形的面积为S ，则S ＝13(1－S )，3S ＝1－S .∴S ＝14，即频率＝14.∵频数＝10，∴样本容量＝频数频率＝1014＝40.3．0.1 解析：这组数据的平均数为15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，∴s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.4．D 解析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有200×(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝140(人)．故选D.5．B 解析：由图知，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3，则该班的学生人数为150.3＝50(人)． 6．B 解析：x 甲＝76＋77＋88＋90＋945＝85，x 乙＝75＋88＋86＋88＋935＝86，s 2甲＝15[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52， s 2乙＝15[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6， 所以x甲＜x乙，s 2甲＞s 2乙.故乙比甲成绩稳定．7．C 解析：由面积和为1，知[25,30)的频率为0.2，为保证中位数的左右两边面积都是0.5，必须把[30,35)的面积0.35划分为0.25＋0.1，此时划分边界为30＋5×0.250.35＝33.57.故选C.8．B 解析：甲地数据为26,28,29,31,31.乙地数据为28,29,30,31,32. 所以x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，s 2甲＝15×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6，s 2乙＝15×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2.所以s 甲>s 乙， 即正确的有①④.故选B.9．D 解析：由题可知x ＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，s 2＝110[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2]，月工资增加100元后：x ′＝(x 1＋100)＋(x 2＋100)＋…＋(x 10＋100)10＝x 1＋x 2＋…＋x 1010＋100＝x ＋100，s ′2＝110[(x 1＋100－x ′)2＋(x 2＋100－x ′)2＋…＋(x 10＋100－x ′)2]＝s 2.故选D.10．解：(1)123＋120＋x ＝2×125，解得x ＝7.110×2＋120×4＋130×2＋140×2＋54＋y ＝130×10，解得y ＝6.(2)甲班有两名数学尖优生，设为A 1，A 2，乙班有四名数学尖优生，设为B 1，B 2，B 3，B 4.从甲乙两班的数学尖优生中任取两人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种．其中两人在同一班的基本事件有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共7种．∴p ＝715，即两人在同一班的概率为715.11．解：(1)由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a ＋0.5×a ，解得a ＝0.30.(2)由(1)可知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x 吨．因为前5组的频率之和为 0．04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5， 而前4组的频率之和为0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5， 所以2≤x <2.5.由0.50×(x －2)＝0.5－0.48，解得x ＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨． 12．解：(1)由用水量的频率分布直方图可知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．。
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第四节 用样本估计总体1.如右图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm )画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )A ．161 cmB ．162 cmC ．163 cmD ．164 cm解析：通过茎叶图可知这10位同学的身高是155 cm ，155 cm ，157 cm,158 cm ，161 cm ，163 cm ，163 cm,165 cm,171 cm,172 cm.这10个数据的中位数是将这些数据从小到大(或从大到小)排列后中间两个数据的平均数，即为161 cm 和163 cm 这两个数据的平均数．故选B.答案：B2．(2013·辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.所以该班学生人数n ＝150.3＝50. 答案：B3．(2013·黄冈模拟)一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A ．40.6,1.1B ．48.8,4.4C ．81.2,44.4D ．78.8,75.6解析：记原数据依次为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则新数据依次为2x 1－80,2x 2－80,2x 3－80，…，2x n －80，且2（x 1＋x 2＋…＋x n ）－80n n＝1.2， 因此有x 1＋x 2＋…＋x n n ＝1.2＋802＝40.6，结合各选项知正确选项为A.答案：A4．下图是1,2两组各7名同学体重(单位：kg )数据的茎叶图．设1,2两组数据的平均数依次为x －1和x －2，标准差依次为s 1和s 2，那么( )A .x 1＞x 2，s 1＞s 2B .x 1＜x 2，s 1＜s 2C .x 1＞x 2，s 1＜s 2D .x 1＜x 2，s 1＞s 2解析：利用平均数公式和标准差公式计算得x 1＝61，x 2＝62，s 1＝ 3167，s 2＝ 3427.故选B. 答案：B5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x －，则( )A ．m e ＝m 0＝x －B ．m e ＝m 0<x －C ．m e <m 0<x －D ．m 0<m e <x －解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现次数最多，故m 0＝5，x －＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈ 5．97.于是得m 0<m e <x －.故选D.答案：D6．某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a 的估计值是( )A．130 B．140 C．134 D．137解析：由题意知，优秀的频率为0.2，故a的值在130～140之间，则(140－a)×0.015＝0.1，解之得a＝133.4.故选C.答案：C7．(2013·汕头二模)某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如图，据此可以了解分数在[50,60)的频率为________，并且推算全班人数为________．解析：根据频率分布直方图可知，分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，据此可以了解分数在[50,60)的频率为 0.08.由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为25.答案：0.08 258．(2013·徐州一模)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2 500,3 000)(元)内应抽出________人．解析：由直方图可得[2 500,3 000)(元)月收入段共有10 000×0.000 5×500＝2 500人，按分层抽样应抽出2500×10010 000＝25人．答案：259．(2013·辽宁卷)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x1，x2，x3，x4，x5，(x i∈N，且x1，x2，x3，x4，x5各不相同)，由题意(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.因为x1，x2，x3，x4，x5∈N，且各不相同．若使x5－7最大，只需(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2最小，显然(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.所以(x5－7)2≤14，因此(x5－7)2≤9，则x5≤10，x5∈N，经验证x5＝10时，x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8满足，所以样本数据中的最大值为10.答案：1010．某地区为了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人[8,9) 8.5 4在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图(注：符号“←”与“＝”的含义相同)，则输出的S的值是________．解析：由流程图可知， S ＝G 1F 1＋G 2F 2＋G 3F 3＋G 4F 4＋G 5F 5＝4.5×0.12＋5.5×0.20＋6.5×0.40＋7.5×0.2＋8.5×0.08＝6.42.答案：6.4211．某校高二年级研究性学习小组，为了分析2011年我国宏观经济形势，上网查阅了2010年和2011年2—6月我国CPI 同比(即当年某月与前一年同月相比)的增长数据(见下表)，但2011年4,5,6三个月的数据(分别记为x ，y ，z)没有查到．有的同学清楚记得2011年2,3,4,5,6五个月的CPI 数据成等差数列．(1)求x ，y ，z 的值；(2)求2011年2—6月我国CPI 的数据的方差；(3)一般认为，某月CPI 达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点则严重通货膨胀．现随机地从下表2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据，求相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的概率．附：我国20101个百分点＝1%)解析：(1)依题意得4.9,5.0，x ，y ，z 成等差数列，所以公差d ＝5.0－4.9＝0.1， 故x ＝5.0＋0.1＝5.1，y ＝x ＋0.1＝5.2，z ＝y ＋0.1＝5.3，(2)由(1)知2011年2—6月我国CPI 的数据为：4.9,5.0,5.1,5.2,5.3，其平均数为：x －＝15(4.9＋5.0＋5.1＋5.2＋5.3)＝5.1， 其方差为：s 2＝15[(4.9－5.1)2＋(5.0－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.2－5.1)2＋(5.3－5.1)2]＝0.02.(3)用(m ，n )表示随机地从2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据的基本事件，其中m 表示2010年的数据，n 表示2011年的数据，则所有基本事件有：(2.7,4.9)，(2.7,5.0)，(2.7,5.1)，(2.7,5.2)，(2.7,5.3)，(2.4,4.9)，(2.4,5.0)，(2.4,5.1)，(2.4,5.2)，(2.4,5.3)，(2.8,4.9)，(2.8,5.0)，(2.8,5.1)，(2.8,5.2)，(2.8,5.3)，(3.1,4.9)，(3.1,5.0)，(3.1,5.1)，(3.1,5.2)，(3.1,5.3)，(2.9,4.9)，(2.9,5.0)，(2.9,5.1)，(2.9,5.2)，(2.9,5.3)，共25种．其中满足相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的基本事件有： (3.1,5.0)，(3.1,5.1)，(3.1,5.2)，(3.1,5.3)，共4种，所以P ＝425＝0.16，即相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的概率为0.16.12. 为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数0.30(1)表中m ，n ，M ，(2)画出频率分布直方图．(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？解析：(1)M ＝10.02＝50， m ＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N ＝1.0，n ＝250＝0.04. (2)(3)在153.5～157.5范围内最多．13．在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图．(2)这两个班参赛的学生人数是多少？(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？解析：(1)∵各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分布分别是0.30,0.15,0.10,0.05，∴第二小组的频率为：1.00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04，则补全的频率分布直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人． ∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x ＝100. 所以这两个班参赛的学生人数为100人．(3)因为0.3×100＝30,0.4×100＝40，0.15×100＝15，0．10×100＝10,0.05×100＝5，即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30,40,15,10,5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．14．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm )(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．解析：(1)如下表所示．频率分布表 频(2)由频率分布表知，该厂生间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．。