高二数学定积分的简单应用综合测试题(有答案)
最新【强烈推荐】高二数学-导数定积分测试题含答案
高二数学周六（导数、定积分）测试题（考试时间：100分钟，满分150分）班级 姓名 学号 得分一、选择题(共10小题，每小题5分,共50分)1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-13. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+= ( )A ．3B ．23-C ． 13D ．32-4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 65．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A. 4 B. 52C. 3D. 27．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末8．函数313y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C. 极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程（ ）A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 （ ） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)11．函数32y x x x =--的单调区间为_________________________________。
1.7.1定积分的简单应用(李用)
O
1 xdx 1 x2dx
0
0
o y xx2
DA
S =
1(
0
x - x2)dx
23 ( x2
3
x3 3
)
|10
1. 3
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
x
D f (x) x2
定积分在物理中的应用
一、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
解: 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
A1
0 2
(0,0), (2,4), (3,9).
(x3 6x x2 )dx
y x2
A1
A2
3 0
(x2 x3 6x)dx
于是所求面积 A A1 A2
A2
y x3 6x
A
0
( 2
x3
6x
x2
)dx
3(x2 0
x3
6 x )dx
253 . 12
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S2 S1 y x 4
4
8
8
S S1 S2 4
0
2xdx [
8
4
2xdx ( x 4)dx]
高二定积分计算练习题
高二定积分计算练习题在高二数学学习中，定积分是一个重要的概念和工具，它在许多领域发挥着重要作用。
为了更好地理解和掌握定积分的计算方法，我们需要通过练习来提高我们的技能。
本文将为大家提供一些高二定积分计算的练习题，并且通过详细的解答来帮助大家掌握解题方法。
练习题1：计算定积分$\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)dx$解答：首先我们可以将被积函数展开成多项式的形式，即$3x^2 - 2x + 1$。
然后，根据定积分的定义，我们可以分别计算每一项的积分。
$\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)dx = \int_0^1 3x^2 dx - \int_0^1 2x dx +\int_0^1 1 dx$接下来，我们按照幂函数的积分公式进行计算。
$\int_0^1 3x^2 dx = [x^3]_0^1 = 1 - 0 = 1$$\int_0^1 2x dx = [x^2]_0^1 = 1 - 0 = 1$$\int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1$将上述结果代入原式中，得到$\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)dx = 1 - 1 + 1 = 1$练习题2：计算定积分$\int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx$解答：同样地，我们可以将被积函数展开成多项式的形式，即 $2x^3 -3x^2 + 4x - 1$。
然后，根据定积分的定义，我们可以分别计算每一项的积分。
$\int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx = \int_1^2 2x^3 dx - \int_1^2 3x^2 dx + \int_1^2 4x dx - \int_1^2 1 dx$接下来，我们按照幂函数的积分公式进行计算。
$\int_1^2 2x^3 dx = \left[\frac{2}{4}x^4\right]_1^2 = \frac{16}{4} -\frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$$\int_1^2 3x^2 dx = [x^3]_1^2 = 8 - 1 = 7$$\int_1^2 4x dx = [2x^2]_1^2 = 8 - 4 = 4$$\int_1^2 1 dx = [x]_1^2 = 2 - 1 = 1$将上述结果代入原式中，得到$\int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx = \frac{7}{2} - 7 + 4 - 1 =\frac{1}{2}$通过以上两个练习题的解答，我们可以看到定积分的计算过程其实就是将被积函数展开，并按照幂函数的积分公式进行计算。
高中数学定积分综合练习(含答案)
定积分综合练习一、选择题：1．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分 （ ）A ．dx x⎰101B ．dx x p⎰1C ．dx xp⎰10)1(D ．dx n x p ⎰10)(2．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10213．dx x |4|102⎰-=（ ）A ．321 B ．322C ．323D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ）A ．320gt B ．20gtC ．220gtD ．620gt5．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）A ．4B ．2C ．25D ．3 6．dx e e x x ⎰-+1)(=（ ）A ．e e 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ⎰--101 B ．()[]dx x x ⎰-+-2101 C ．()[]dy y y ⎰--2101 D ．()[]dx x x ⎰+--1019．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.2810．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）A ．⎰32dx x ρB ．()⎰+212dx x ρC ．⎰1dx x ρ D ．()⎰+321dx x ρ二、填空题：12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 14．按万有引力定律，两质点间的吸引力221r m m kF =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a ） ．三、解答题：15．计算下列定积分的值 （1）⎰--312)4(dx x x ； （2）⎰-215)1(dx x ； （3）dx x x ⎰+20)sin (π； （4）dx x ⎰-222cos ππ；16．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．17．求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.18．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功．19．设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且f ′（x ）=2x +2. （1）求y =f （x ）的表达式；（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.20．抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．OxyF ABCD E G图参考答案一、1．B ；2．C ；3．C ；4．C ；5．D ；6．D ；7．B ；8．C ；9．A ；10．A ； 二、11．dx x ⎰+1011；12．dx x ⎰-102)1(；13．dx x ⎰π20|cos |；14．)11(21ba m km -； 三、15．（1）（2）（3）（4）16．解：首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=01 23)2(dx x x x ⎰++-+20 23)2(1237=17．解：焦点坐标为)0,(a F ，设弦AB 、CD 过焦点F ，且OF AB ⊥． 由图得知：FBD FBE AGF ACF S S S S >=>，故AFBDOA ACFDOA S S >． 所求面积为：22 023842a dy a y a A a ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=． 18．解：物体的速度233)(bt bt dtdxV ='==．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．当x=0时，t=0；当x=a 时，311)(bat t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为3277130320302727727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====⋅==⎰⎰⎰⎰19．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1. （2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x t td )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(tt x x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0， ∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.20．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以32261)(b a dx bx ax S ab =+=⎰-(1) 又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组⎩⎨⎧+==+bx ax y y x 24得ax 2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0． 于是,)1(1612+-=b a 代入（1）式得： )0(,)1(6128)(43>+=b b b b S ，52)1(3)3(128)(+-='b b b b S ； 令S'(b)=0；在b ＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b ＜3时，S'(b)＞0；当b ＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且29max =S ．。
【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用10
10
未命名
一、单选题
1．定义 min a, b
a,a
b ，则由函数 f ( x)
min x2, 1 的图象与 x 轴、直线 x
2
b, a b
x
所围成的封闭图形的面积为
7
A．
12
【答案】 D
5
B．
12
1 C． ln 2
6
1 D ． ln 2
3
【解析】
由题意 f (x)
0
[ ,0] 2
0
cos2 tdt
2
C。
x 1 sin t ，则 dx costdt ，所以
0
1
1
(1 cos2t )dt
+ 1 sin2t|0
2
224
2
2
4 ，应选答案
10．若 sin2t cosxdx ，其中 t 0, ，则 t （ ）
0
2
A．
B．
C．
D．
3
2
3
【答案】 B
【解析】 试题分析： 因为 sin2t
(2) 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3) 确定被积函数；
(4) 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的
边界不同时，要分不同情况讨论．
6．设 A
x, y | 0
x m,0
y
n
1 ， s 为 e 1 的展开式的第一项（
A．
B．
C．
【答案】 C
【解析】
当0
数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案
数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为（）A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0，x=2，y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为（）A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（）A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x，y=cos x在区间(π4，5π4)内围成图形的面积为（）A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F(x)所做的功为（）A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是（ ）A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是．（ ） A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0)，若∫f 10(x)dx =f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．12. y =cos x 与直线x =0，x =π及x 轴围成平面区域面积为________．13. 由曲线y =|x|，y =−|x|，x =2，x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V =________．14. 两曲线x −y =0，y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________．15. 由曲线y =x 2和直线x =0，x =1，以及y =0所围成的图形面积是________． 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比：将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V =________．17. 在直角坐标平面内，由直线x=1，x=2，y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________．18. 在xOy平面上，将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为(1−y)π，试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为________．19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________．2ax2−a2x)dx，则f(a)的最大值为________．20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1：y2=2x与C2：y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程；(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．23. 已知曲线C:y=x2(x≥0)，直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积．24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到0.1m3）25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯，且z⋅z¯−3iz=10，求z；1−3ix所围成的平面图形的面积．(2)求曲线y=√x与直线x+y=2，y=−1326.（1）已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列．求n ．（2）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积： （1）y ＝sin x(π4≤x ≤π)，x =π4，y ＝0；（2）y ＝x 2，y ＝2x 2，x ＝1；（3）y ＝x 2，y =√x ．28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积．29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0． （1）求S 0．（2）求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积．30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示，给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？31. 已知曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M ． （1）求M 的面积；（2）若M 绕x 轴旋转一周，求由M 围成的体积．32. 已知f(x)为一次函数，且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， （1）求函数f(x)的解析式；（2）若g(x)=x ⋅f(x)，求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．33. 已知圆锥的高为ℎ，底半径为r ，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式． [提示：（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn ，2r n，3r n…，(n−1)r n，r ；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2，当n 越来越大时所趋向的值．]．34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线，使此切线与直线x =0，x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小．35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线，切点为A ．又L 与x 轴交于B 点，区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．36. 求曲线y =2x −x 2，y =2x 2−4x 所围成图形的面积．37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．38. 求下列曲线所围成图形的面积：曲线y=cos x，x=π2，x=3π2，y=0．39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2，x=5π4，y=0所围成的平面图形的面积．40. 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx ，即可得出结论． 【解答】解：由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4． 故选：D ． 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ，求出积分即得所求体积． 【解答】解：由题意几何体的体积； ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A ． 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：直线x =1，x =2，y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73，故选：C ．4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标，然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积，根据定积分的定义解之即可． 【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选：A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可． 【解答】解：设旋转体的体积为V ，则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10．故旋转体的体积为：3π10． 故选A ． 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ，然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x)，算出F(5π4)−F(π4)的值，即为所求图形的面积． 【解答】解：根据题意，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 （其中C 为常数） ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ，然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可． 【解答】解：根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C ．8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积 【解答】解：联立直线y =x −2，曲线y =√x 构成方程组，解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2，y =0构成方程组，解得{x =2,y =0,如图所示：∴曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103．故选B．9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段，然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积，从而求出所求．【解答】解：根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选：D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形，然后求出交点横坐标得到积分上下限，然后利用定积分表示出图形的面积，根据定积分的运算法则进行求解即可．【解答】解：画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称，交点的横坐标为−1，1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用 【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ，根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解．【解答】解：∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0)，∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c ．又∵f(x 0)=ax 02+c ．∴ x 02=13，∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33． 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍，最后结合定积分计算面积即可． 【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍， ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2．13.【答案】323π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象，根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论．【解答】解：曲线y=|x|，y=−|x|，x=2，x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2，高为4的圆柱，去掉2个底面半径为2，高为2的圆锥，则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π，故答案为：323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为3，积分下限为0，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为3，积分下限为0；两曲线x−y=0，y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92．15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案． 【解答】解：∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1)，∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13．故答案为：13．16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积． 【解答】解：根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2，故答案为：81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后根据定积分的定义求出面积即可． 【解答】解：由题意，S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2．故答案为：ln 2． 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即可得出结论． 【解答】解：(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的， 根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等， 即Ω的体积为π⋅√34=√34π． 故答案为√34π． 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积． 【解答】解：函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1，则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2， 则对应的切线方程为y −2=2(x −1)，即y =2x ， 由{y =x 2−x y =2x，解得x =3或x =0，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92，故答案为：92．20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式，然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值． 【解答】解：f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时，f(a)取最大值，最大值为29 故答案为：29三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解． 【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积． 【解答】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．24.【答案】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积 双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为10m 即2a =10，最下端的直径为12m ，最细处离地面6m ，即双曲线经过(−6, 6)，烟囱高14m ，即自变量范围为−6到8，由此利用定积分的值得到体积． 【解答】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)， 所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )， 则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)， 同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．【考点】 复数的运算 共轭复数复数代数形式的混合运算 定积分在求面积中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )， 则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)， 同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)， 直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．26. 【答案】解：（1）∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ，整理得n 2−9n +8=0，n 1=1（舍） n 2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A ，由几何概型的概率公式得： P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用 等差数列的性质几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】（1）由题意可得，C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12，解关于n 的方程即可；（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积，从而使问题解决． 【解答】解：（1）∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n，整理得n2−9n+8=0，n1=1（舍）n2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A，由几何概型的概率公式得：P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识求出结果．【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．28.【答案】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36．29. 【答案】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积 定积分在求面积中的应用【解析】（1）根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ，根据定积分的定义解之即可． 【解答】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ， 由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5． 若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 【解答】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5． 若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 31. 【答案】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3．【考点】用定积分求简单几何体的体积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】（1）求得交点坐标，可得积分区间，即可求M 的面积； （2）旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．【解答】 解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43； （2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3．32.【答案】 解：（1）设f(x)=kx +b ， ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1，∴ kx +b =(2k +2b)x +1，∴ k =−2，b =1， ∴ f(x)=−2x +1，；2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x ， ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240． 【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f(x)的解析式；（2）求出g(x)，应用定积分来求旋转体的体积．【解答】解：（1）设f(x)=kx+b，∵f(x)=x∫f2(t)dt+1，∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1，∴kx+b=(2k+2b)x+1，∴k=−2，b=1，∴f(x)=−2x+1，；2)g(x)=xf(x)=−2x2+x，∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240．33.【答案】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到【解答】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=22+√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．【解答】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2x −x0)即y=y02+2x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=2√2+√22．35.【答案】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)， 则{k =1aka +1=b ln a =b ，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】求出A 的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示． 【解答】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)， 则{k =1aka +1=b ln a =b，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．36. 【答案】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积． 【解答】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 37. 【答案】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab =t 则a +b =−3t+12，再利用构造法构造a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根，然后利用判别式可求出a ．b 的取值范围． 【解答】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解：根据对称性，得： 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍，最后结合定积分计算面积即可． 【解答】解：根据对称性，得： 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．39. 【答案】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2，x =5π4，y =0所围成的平面图形的面积【解答】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 40.【答案】 由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)． 由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ． 故k 的值为：k =1−√432．【考点】定积分的简单应用 【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ，根据直线y ＝kx 分抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值． 【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页，总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ． 故k 的值为：k =1−√432．。
(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．23．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．44．定积分= A ．B ．C ．D ．5．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．16．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．23．923-．323 D ．3537．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-8．设函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，计算11()d f x x -⎰的值为（ ）A．1eπe4 -+B．e1πe4-+C．e12πe-+D．e1πe2-+9．由直线0,,2y x e y x===及曲线2yx=所围成的封闭图形的面积为（）A．3 B．32ln2+C．223e-D．e10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．4B．2 C．43D．2311．设21,[0,1]()1,[1,0)x xf xx x⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩，则11()f x dx-⎰等于（）A．12π+B．122π+C．124π+D．14π+12．二维空间中圆的一维测度（周长）2l rπ=，二维测度（面积）2S rπ=，观察发现()S r l'=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S rπ=，三维测度（体积）343V rπ=，观察发现()V r S'=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V rπ=，猜想其四维测度W=（）.A．224rπB．283rπC．514rπD．42rπ二、填空题13．质点运动的速度()2183/v t t m s=-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______.14．120021sinx dx xdxπ--=⎰⎰______15．1321(tan sin)x x x x dx-++⎰的值为______________________16．)12111x dx--=⎰__________．17．已知函数2()2lnf x x x=-，若方程()0f x m+=在1[,]ee内有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围是__________．18．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．19．ππ(sin )d x x x -+=⎰________.20．已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-，直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21．已知函数()ln 3mf x x x x=++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的[]0,2m ∈，不等式()()1f x k x ≤+，对[]1,x e ∈恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知抛物线2:2C y x x =-+，在点(0,0)A ，(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l ．（1）求切线1l 和2l 的方程；（2）求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S ． 23．已知函数1()ln 2f x x x =-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间．24．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2AOB π∠=，EOF θ∠=（02πθ<<）.（1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？25．已知函数()xf x xea -=-有两个零点1x ， 2x .（1）求实数a 的取值范围； （2）求证： 122x x +>.26．如图，阴影部分区域是由函数cos y x =图象，直线1,y x π==围成，求这阴影部分区域面积。
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定积分测试题及答案班级： 姓名： 分数：一、选择题：（每小题 5 分）1 1-x 2dx （）1.A.0B.1C.D 42(2010 ·山东日照模考 )a ＝ 2xdx ，b ＝ 2e xdx ，c ＝2sinxdx ，则 a 、b 、c的大小关系是 ()A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b3.(2010 山·东理， 由曲线y ＝ 2，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为 ()7) x1 11 7 A. 12B.4C.3D.124．由三条直线 x ＝0、x ＝2、y ＝0 和曲线 y ＝ x 3所围成的图形的面积为()418A ．4B.3C. 5D ．65.(2010 湖·南师大附中 )设点 P 在曲线 y ＝ x 2 上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线 OP ，直线 y ＝x 2 及直线 x ＝2 所围成的面积分别记作 S 1，S 2.如图所示，当 S 1＝S 2 时，点 P 的坐标是 ()4 164 16 4 15 4 13 A.3，9B.5，9C.3，7D.5，76．(2010 ·湖南省考试院调研 )1 -1(sinx ＋1)dx 的值为 ( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线 y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是 ()3πA ．2πB ． 3πC. 2D ．π8．函数 F(x)＝ xt(t －4)dt 在[－1,5]上 ()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－ 32332C ．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值S n ＝2n 2＋n ，函数 f(x)＝ x1 9．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 t dt ，若13，则 x 的取值范围是 ()f(x)<a3－A. 6 ，＋∞B ．(0，e 21)C ．(e 11，e)D ．(0，e 11)10．(2010 ·福建厦门一中 )如图所示，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y ＝sinx(0≤x ≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在阴影部分的概率是 ()123πA. D.4．·吉林质检 函数x ＋2 －2≤x<0的图象与 x 轴所围 ) f(x) ＝π 11 (20102cosx 0≤x ≤2成的图形面积 S 为()31A. 2B ．1C ．4D.212．(2010 ·吉林省调研 )已知正方形四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)， B(1,1)，C(0,1)，曲线 y ＝x 2(x ≥0)与 x 轴，直线 x ＝1 构成区域 M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M 内的概率是 () 11 1 2A. 2B. 4C.3D.5二、填空题：（每小题 5 分）13.sinxdx= ______________14.物体在力 F(x)=3x+4 的作用下，沿着与 F 相同的方向，从 x=0 处运动到 x=4 处，力 F 所做的功为 ______________21x )dx15. (x______________116. 1e x )dx(e x ______________17.(2010 芜·湖十二中 )已知函数 f(x)＝3x 2 1＋2x ＋1，若 -1 f(x)dx ＝2f(a)成立，则 a ＝________.18．(2010 ·安徽合肥质检 )抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝1 围成的封闭4图形的面积为3，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则 l 的方程为 ______．19．(2010 ·福建福州市 )已知函数 f(x)＝－ x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域 (图1中阴影部分 )的面积为12，则 a 的值为 ________．20．如图所示，在区间 [0,1] 上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定 t 的值，使图中阴影部分的面积 S1＋S2最小为 ________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10A 11C 12 C 13.2 14.40 15 23 + ln 2 16.e- 1e 17.-1 或31 18.16x-8y+1=0 19.-1 20. 41。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)
一、选择题1．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．222024xdx x dx +-=⎰⎰( )A ．2π B ．12π+ C ．4π D ．π4．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-6．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．11)x dx -=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π 8．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ） A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y = ）A ．18B ．16C ．13D ．1210．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-11．计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．5312．下列积分值最大的是（ ） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C．-⎰D ．11edx x二、填空题13．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．14．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.15．由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________．16．若二项式261()5x x +的展开式中的常数项为m ，则21(2)d mx x x -=⎰_________．17．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．18．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．19．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．20．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值； （II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.22．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：x10 15 20 25 3035 40 y23022708 2996 3219 3401 3555 3689 10013102y z e =+ 2.49 2.993.554.004.494.995.49（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程； （ii ）40yx +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式：4z =，()721700ii x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑，320e =，()()()71721ˆiii ii x x z z bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.23．为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外壁建造单价为400元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式，并指出定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．24．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间． 25．计算下列定积分 （1） ()12xx e dx +⎰（2）2442cos tan 2x x dx ππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ （3）214x dx --26．已知函数()sin cos ,f x x x a x =+且()f x 在3x π=处的切线的斜率为6π.（1）求a 的值，并讨论()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； （2）设1()ln(1),0,01x g x mx x m x -=++≥>+，若对任意[)10,x ∈+∞,总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()g x f x ≥成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果.()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3．A解析：A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】22200112x == 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =，2OC =4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-=- 2220241122x dx ππ+-∴=+-=⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.4．A解析：A 【解析】试题分析：解：因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.5．A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。
高考定积分应用常见题型大全(含答案)
高考定积分应用常见题型大全（含答案）一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln25．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.513．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2A．4B．C．D．2π17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2故选B．点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）考点：定积分；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．解答：解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）考点：定积分的简单应用．分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．解答：解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x或y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．解答：解：∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图∵当0＜x＜1时，e x x＞e x，故有：∫01e x dx＞∫01e x dx点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．解答：解：∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，∴b＞a．故选A．点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．的值是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．故答案选A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．解答：解：===故选C．点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题意，，由此可求定积分的值．解答：解：由题意，=+=2﹣+4﹣2=3.5故选C．点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx转化成∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx=（2x+x2）|﹣21+（4x﹣x2）|12=7 故选A．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．积分=（）考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．故选B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可．解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=（﹣）|01+sinx=+1=故选D．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（1﹣cosx）dx即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积，就是：∫0（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|0=．故选B．点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．22考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2 dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．19．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0（﹣）dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．解答：解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×（2）2=4．∴k=3×4=12，则反比例函数的解析式是：y=．故选C．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16BC ．13D ．234．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰，c =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．26．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 AB．2C ．π23-Dπ38．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-9．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3B ．32ln 2+C ．223e -D ．e11．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 2212．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π二、填空题13．02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 15．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________． 16．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________． 17．已知()12111,a x dx -=+-⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________18．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．19．由直线0x =， 23x π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________．20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值， g （x ）=f （x ）﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有1212()()1g x g x x x ->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 22．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．23．求曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成图形的面积．24．已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-，求：由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.25．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 26．有一动点P 沿x 轴运动,在时刻t 的速度为v (t )=8t-2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致). (1)P 从原点出发,当t=6时,求点P 运动的路程; (2)P 从原点出发,经过时间t 后又返回原点,求t 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()0022321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰，⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，4π∴=⎰，()()121114313412f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰⎰.故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.2．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为()13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力4．C解析：C【解析】因为11113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰⎰,所以b ac <<,故选C.5．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.6．C解析：C 【解析】由题意得，2'()325f x x x =+- ，令5'()013f x x x >⇒><-或，故选C. 7．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.8．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112xx S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.9．B解析：B 【解析】由题意得4402cos2d sin 2|sin 12t x x x πππ====⎰．所以输入的1,2a b ==． 执行如图所示的程序，可得：①3,5,5,2a b S n ====，不满足条件，继续运行； ②8,13,18,3a b S n ====，不满足条件，继续运行；③21,33,51,4a b S n ====，满足条件，停止运行，输出4．选B ．10．A解析：A 【解析】如图所示，曲边四边形OABC 的面积为11121212ln 12(ln ln1)1232eedx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．11．B解析：B【解析】 【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =， 所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【解析】因为4328W r W r V ππ'=⇒==，所以42W r π=，应选答案D ． 点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：34418824W r dr r r πππ=⎰=⨯=，应选答案D ． 二、填空题13．【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案【详解】因为表示的是圆在x 轴及其上方的面积所以所以＝故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算考查了定积分的几何意义属于基础题 解析：21π+【分析】根据1(ln )x x'=以及定积分的几何意义可得答案.【详解】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，因为2224x dx --⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，所以2224x dx --⎰21222ππ=⨯⨯=，所以11edx x ⎰2224x dx -+-⎰＝12π+. 故答案为：21π+.【点睛】本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.14．【分析】转化为定积分求解【详解】如图：曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形因为曲线与直线及的交点分别为且所以由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查定积分的意义及计算 解析：12ln 22-【分析】 转化为定积分求解. 【详解】 如图：,曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCD S dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰，所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算.15．【解析】【分析】根据分的几何意义得到直线y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为【详解】根据余弦函数的对称性可得直线y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为故答案为：【点睛】本题考查【解析】 【分析】根据分的几何意义得到直线3x π=-，3x π=，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为3302cos 2sin |x d x ππ==⎰【详解】根据余弦函数的对称性可得，直线3x π=-，3x π=，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为3302cos 2sin |x d x ππ==⎰【点睛】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于中档题.16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17．－1【解析】表示圆上半圆的面积所以那么原二项式为的展开式中各项系数和令那么故填：-1解析：－1【解析】11111a dx --=+⎰， 1111|21dx x -==-⎰ ，1- ，表示圆221x y += 上半圆的面积2π，所以22a π=+ ，那么原二项式为932x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数和，令1x = ，那么932111⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭ ，故填：-1.18．【解析】试题分析：因为所以考点：定积分的计算【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分计算定积分首先要熟悉常见函数的导函数因题中恰好为的导函数所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换 解析：12【解析】 试题分析：因为，所以2sin cos t tdt π=⎰.考点：定积分的计算.【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分，计算定积分，首先要熟悉常见函数的导函数，因题中恰好为的导函数，所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换来求，因为，所以有2sin cos t tdt π=⎰22000111sin2sin22sin 244tdt td t udu πππ===⎰⎰⎰ 011cos |42u π-=. 19．【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为考点：定积分的几何意义 解析：3【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为223302sin 2cos |123S xdx x ππ==-=+=⎰．考点：定积分的几何意义．20．【解析】试题分析：由题意可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1先将y2=x 化成：联立的：因为x≥0所以解得：x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成解析：13【解析】试题分析：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，先将y2=x化成：，联立的：因为x≥0，所以解得：x=0或x=1，所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量：S（A）==．则点M取自阴影部分的概率为P（A）=考点：几何概型；定积分在求面积中的应用点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题三、解答题21．（1）单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；（2）7a≤-2【解析】试题分析：（1）由极值定义得f′（1）=6+m=0，解得m值，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先等价转化不等式：设0＜x1＜x2，g（x1）﹣x1＜g （x2）﹣x2．再构造函数h（x）=g（x）﹣x，转化为h（x）在（0，+∞）为增函数，利用导数研究h（x）导函数恒非负的条件，即得a的取值范围试题解：（1）∵f（x）=x3+x2+mx，∴f′（x）=3x2+3x+m，∵f（x）=x3+x2+mx在x=1处有极小值，∴f′（1）=6+m=0，得m=﹣6．∴f（x）=x3+x2﹣6x，则f′（x）=3（x2+x﹣2）=3（x﹣1）（x+2）．∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；（2）g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx=x3+x2﹣6x﹣x3﹣x2+x﹣alnx=﹣5x﹣alnx．假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有＞1恒成立，不妨设0＜x 1＜x 2，只要g （x 1）﹣g （x 2）＜x 1﹣x 2， 即：g （x 1）﹣x 1＜g （x 2）﹣x 2．令h （x ）=g （x ）﹣x ，只要 h （x ）在（0，+∞）为增函数即可． 又函数h （x ）=g （x ）﹣x=， 则h′（x ）==．要使h'（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，则需2x 3+3x 2﹣12x ﹣2a≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2a≤2x 3+3x 2﹣12x ．令t （x ）=2x 3+3x 2﹣12x ，则t′（x ）=6x 2+6x ﹣12=6（x+2）（x ﹣1）．∴当x ∈（0，1）时，t （x ）单调递减，当x ∈（1，+∞）时，t （x ）单调递增， 则t （x ）min =t （1）=﹣7． ∴2a≤﹣7，得a ．∴存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有＞1恒成立．22． 故()f x 的单调递减区间为()0,e ，极小值为2． 【解析】试题分析：（1）由切线与20x -=垂直，可知切的斜率为0，对()f x 求导，()0f e '=，代入可求得k 。
高二数学定积分试题
高二数学定积分试题1.根据定积分的定义，=( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D。
【考点】本题主要考查定积分的定义。
点评：简单题，明确定义及求定积分的方法步骤。
2.的值为（）A．0B．C．2D．4【答案】C【解析】===，故选C.【考点】本题主要考查定积分的计算公式。
点评：简单题，掌握积分公式。
3.一物体在力（力单位：，位移单位:m ）作用下沿与相同的方向由直线运动到处作的功是（）A．B．C．D．解析：【答案】C【解析】W=（J）,故选C.【考点】本题主要考查定积分的应用及定积分计算公式。
点评：简单题，理解功的导数是力，利用积分公式计算力做的功。
4.( )A．1B．C．D．【答案】B【解析】函数的图像是圆心为，半径为1的圆的上半部分.由定积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的，也即是，故选B.【考点】本题主要考查定积分的几何意义。
点评：简单题，利用定积分的几何意义计算定积分。
5.由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】两直线交于点..选取为积分变量，所求图形面积为=,故选A.【考点】本题主要考查定积分的计算公式及定积分的几何意义。
点评：简单题，掌握积分公式，理解定积分的几何意义。
6.将边长为1米的正方形薄片垂直放于比重为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由物理知识可知选A.【考点】本题主要考查定积分的应用及定积分计算公式。
点评：简单题，理解距离液面的距离与所受压力的关系，利用积分公式计算所受液压力。
7.将和式表示为定积分．【答案】.【解析】由定积分的定义知，和式可表示为.【考点】本题主要考查定积分的定义。
点评：简单题，明确定义及求定积分的方法步骤。
8.一轮船以v km／h的速度航行，每小时用煤0. 3+0.001v3t重，问：v为何值时，才能使轮船航行每千米用的煤最少?【答案】v为时，才能使轮船航行每千米用的煤最少.【解析】轮船航行每千米用的煤量,令,.故v为时，才能使轮船航行每千米用的煤最少.【考点】本题主要考查利用导数知识求函数最值，匀速运动问题。
高二数学导数定积分测试题含答案
高二数学 导数、定积分测试题（考试时间：100分钟，满分120分）姓名 高二（10）班使用 得分： 一、选择题(共10小题，每小题4分,共40分)1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2C ．2(x-1)D ．x-1 3. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+=A ．3B ．23-C ． 13D ．32-4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是A.0B.1C.3D.65．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 A.4 B. 52C.3D.27．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是A.4s 末B.8s 末C.0s 与8s 末D.0s,4s,8s 末8．函数313y x x =+- 有A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值2 9. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程（ ）A ． 2012gtB ．20gtC ． 2013gtD ．2014gt10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)11．函数32y x x x =--的单调区间为_________________________________。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．=（ ）A ．12πB．128π+C．68π+ D．64π+2．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+3．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-4．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．15．侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43CD6．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．17．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A．．9-．323 D ．3538．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．439．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-10．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．9211．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 12．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题13．已知曲线与直线所围图形的面积______.14．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________ 15．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______． 16．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________． 17．202x xdx -+=__________18．定积分()12xx e dx +=⎰__________．19．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．22．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；23．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为3（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积. 24．设函数()x x f x e e -=- （1）证明：'()2f x ≥；（2）若对任意[0,)x ∈+∞都有21(22)f x x e e ---<-，求x 的取值范围.25．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-. 26．已知()y f x =是二次函数，方程0f x 有两相等实根，且()22f x x '=+（Ⅰ）求()f x 的解析式．（Ⅱ）求函数()y f x =与函数241y x x =--+所围成的图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令21y x =-()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故1220113131122226812OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯+⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．B解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.3．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.4．B解析：B【解析】因为1y k x'=+,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离2d =，由勾股定理可得2221)()2a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．6．B解析：B 【解析】试题分析：解：∵3304S xdx =⎰=18，,∴a 1+a 2=32a q (1+q)=12，⇒2q 2-q-1=0，⇒q=1或q=12-，故选B考点：等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算点评：本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．7．C解析：C 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，所以围成的面积为()13122333232333x x x dx x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分.8．A解析：A 【解析】 试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.9．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e -==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用10．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。
高中数学人教A版2第一章导数及其应用定积分的简单应用【市一等奖】
定积分的简单应用同步练习1.由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )(x 2－1)d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x ||x 2－1|d x (x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案：C解析：解答: y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 分析： 函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰2.曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9答案：B解析：解答: 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2. ∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2(2x 2－14x 4)2＝8，故选B.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分3. 一物体以速度v ＝(3t 2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( ) A ． 31m B ．36m C ．38m D ．40m答案：B解析：解答: S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t)dt ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数4. 一物体在力F(x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J答案：C解析：解答: 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )31＝14(J)，故应选D分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用5. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t ，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )B ．3－32 2 C ．6＋3 2 D ．6－3 2答案：D解析：解答: ⎠⎛3636t dt ＝6t 63＝6－32，故应选D.分析： 产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分 6.如图所示，阴影部分的面积为( )A.ba ⎰f(x )d x B.ba ⎰g(x )d x C.ba ⎰[f(x )-g(x )]d x D.ba⎰[g(x )-f(x )]d x答案：C解析：解答:由题图易知，当x ∈[a ，b]时，f(x )>g(x )，所以阴影部分的面积为ba⎰[f(x )-g (x )]d x .分析：注意在这里式ba⎰[f(x )-g (x )]d x .中要保证 f(x )>g(x )对于任意x ∈[a ，b]恒成立7. 直线x =-1，x =1，y=0与曲线y=sin x 所围成的平面图形的面积表示为( ) A.11-⎰sin x d x B.10⎰sin x d x C.1-⎰2sin x d xD.1⎰2sin x d x答案：D解析：解答:选D.由于y=sin x ，x ∈[-1，1]为奇函数，当x ∈[-1，0]时，sin x ≤0；当x ∈(0，1]时，sin x >0.由定积分的几何意义，直线x =-1，x =1，y=0与曲线y=sin x 所围成的平面图形的面积为11-⎰|sin x |d x =1⎰2sin x d x .分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性 8. 由y=1x，x =1，x =2，y=0所围成的平面图形的面积为( )+ln2答案：A解析：解答: 选A.画出曲线y=1x(x >0)及直线x =1，x =2，y=0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积.所以S=21⎰1xd x =ln x 21=ln2-ln1=ln2分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用9.已知a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )，f(x )=a ·b ，则直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为( ) A.12B.34C.32D.32答案：C解析：解答: 选C.由a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )， 得f(x )=a ·b=2sin x cos x =sin2x ， 当x ∈[0,]2π时，sin2x ≥0；当x ∈3(,]24ππ时，sin2x <0. 由定积分的几何意义，直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为 20π⎰sin2x d x -342ππ⎰sin2x d x=-12cos2x |20π+12cos2x |342ππ=1+12=32. 分析：求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积. 10.若两曲线y=x 2与y=c x 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B.12D.23答案：B解析：解答: 选B.由23y x y cx⎧=⎨=⎩得交点(0，0)，211(,)c c ， 则S=1c ⎰(x 2-c x 3)d x=3411()340c x x c -=23，c=12. 分析：解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定11.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A.ca⎰f(x )d xB. ca⎰f(x )d x | C.b a ⎰f(x )d x +cb⎰f(x )d x D.cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x答案：D 解析：解答: s=()||cbf x dx ⎰=cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x ,故选D分析：函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰12. ⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝( )C ．2D ．1答案：B解析：解答:123011(2)203x dx x x +=+⎰＝73.分析： 定积分的求解运用到微积分基本定理。
高二数学定积分的简单应用综合测试题(有答案)
高二数学定积分的简单应用综合测试题（有答案）选修2-21.7定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为()A.abf(x)dxB.abg(x)dxC.abf(x)－g(x)]dxD.abg(x)－f(x)]dx答案]C解析]由题图易知，当x∈a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为abf(x)－g(x)]dx.2．如图所示，阴影部分的面积是()A．23B．2－3C.323D.353答案]C解析]S＝1－3(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－13x3－x2，则F(1)＝3－1－13＝53，F(－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.02(x2－1)dxB．|02(x2－1)dx|C.02|x2－1|dxD.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx答案]C解析]y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.4．设f(x)在a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为()A.abf(x)dxB．|abf(x)dx|C.ab|f(x)|dxD．以上都不对答案]C解析]当f(x)在a，b]上满足f(x)5．曲线y＝1－1681x2与x轴所围图形的面积是()A．4B．3C．2D.52答案]B解析]曲线与x轴的交点为－94，0，94，0故应选B.6．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是()A．31mB．36mC．38mD．40m答案]B解析]S＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 7．(2010•山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为() A.112B.14C.13D.712答案]A解析]由y＝x2y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112.8．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8JB．10JC．12JD．14J答案]D解析]由变力做功公式有：W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为()A.12B．3－322C．6＋32D．6－32答案]D解析]3636tdt＝66t63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为92a3，则直线l的方程为()A．y＝±axB．y＝axC．y＝－axD．y＝－5ax答案]B解析]设直线l的方程为y＝kx，由y＝kxy＝x2－2ax得交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)图形面积S＝∫2a＋k0kx－(x2－2ax)]dx＝k＋2a2x2－x332a＋k0＝(k＋2a)32－(2a＋k)33＝(2a＋k)36＝92a3∴k＝a，∴l的方程为y＝ax，故应选B.二、填空题11．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．答案]18解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2＝2xy＝x－4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝4－2(y＋4－y22)dy取F(y)＝12y2＋4y－y36，则F′(y)＝y＋4－y22，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.12．一物体沿直线以v＝1＋tm/s的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．答案]43解析]如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(01x2dx＋12dx－0214x2dx)＝43.14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝2t(0≤t≤1)at(1≤t≤2)bt(2≤t≤e)则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．答案]9－8ln2＋2ln2解析]∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；又1≤t≤2时，v(t)＝at，∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；又2≤t≤e时，v(t)＝bt，∴v(2)＝b2＝4，∴b＝8.∴路程为S＝012tdt＋122tdt＋2e8tdt＝9－8ln2＋2ln2.三、解答题15．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．解析]由y＝x＋3y＝x2－2x＋3解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积S＝03(x＋3)dx－03(x2－2x＋3)dx＝03(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x230＝92.16．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根．∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意有－1－t(x2＋2x＋1)dx＝0－t(x2＋2x＋1)dx，∴13x3＋x2＋x－t－1＝13x3＋x2＋x0－t即－13t3＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－132.17．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C 点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．解析](1)设A到C经过t1s，由1.2t＝24得t1＝20(s)，所以AC＝∫2001.2tdt＝0.6t2200＝240(m)．(2)设从D→B经过t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，所以DB＝∫200(24－1.2t)dt＝240(m)．(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．从C到D的时间为t3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程．解析]如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y －y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.令y＝0得x＝x02，即Cx02，0.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S＝S曲边△AOB－S△ABC.S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝13x30，S△ABC＝12|BC|•|AB|＝12x0－x02•x20＝14x30，即S＝13x30－14x30＝112x30＝112.所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.。
2019-2020学年高二数学选修2-2《1.7定积分的简单应用》测试卷及答案解析
3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（ ）
A．∫acf（x）dx
B．|∫acf（x）dx|
C．∫abf（x）dx+∫bcf（x）dx
D．
2019-2020学年高二数学选修2-2
《1.7定积分的简单应用》测试卷
一．选择题（共8小题）
1．如图所示，正弦曲线y＝sinx，余弦曲线y＝cosx与两直线x＝0，x＝π所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．1B． C．2D．2
2．如图，点M在曲线y＝ ，若由曲线y＝ 与直线OM所围成的阴影部分的面积为 ，则实数a等于（ ）
【解答】解：由曲线y＝x2﹣1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积为
S＝∫01（1﹣x2）dx+∫12（x2﹣1）dx
＝（x﹣ ）|01+（ ）|12
＝ + ﹣2﹣ +1
＝2
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用定积分求面积，同时考查了定积分的等价转化，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
9．如图所示，由直线x＝a，x＝a+1（a＞0），y＝x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即 ．类比之，若对∀n∈N+，不等式 恒成立，则实数k等于．
10．如图，在直角坐标系xOy中，将直线y＝ 与直线x＝1及x轴所围成的图形（阴影部分）绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝ π（ ）2dx＝ x3 ＝ ．据此类比：将曲线y＝x3（x≥0）与直线y＝8及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝．
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x2．设11130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>3．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．4．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-5．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+6．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰7．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<8．已知320n x dx =⎰，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．823B ．845C ．965-D ．8779．设21,[0,1]()1,[1,0)x x f x x x ⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于（ ）A ．12π+B ．122π+ C ．124π+ D ．14π+10．计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．5311．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a < D ．01a <<或0a <12．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．已知1211a x dx -=-⎰，则61[(2)]2a x xπ+--展开式中的常数项为______．14．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．15．若二项式62515x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则21mx dx =⎰__________． 16．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++________17．如图所示，则阴影部分的面积是 .18．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.19．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．20．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-. (1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.24．已知曲线C ：322321y x x x =--+，点1(,0)2P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.25．已知函数()3269f x x x x =-+-．若过点()1,P m -可作曲线()y f x =的切线有三条，求实数m 的取值范围．26．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112， 试求：（1）点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．2．D解析：D 【解析】根据微积分定理，13120022|33a xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。
(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．22．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 3．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 4．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 15．曲线x y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 6．121(1)x x dx --+=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π 7．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π8．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰9．由直线y= x - 4，曲线y =x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．40310．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．011．计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．5312．若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的取值范围是( )． A ．2[,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1)(1,3]3D ．(1,3]二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．15．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________ 16．曲线2y x x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.17．计算)2x dx ⎰=_____．18．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________．19．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．20．定积分1024x dx π⎫-⎪⎭⎰的值______.三、解答题21．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围； （2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 与2e的大小. 22．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值. （1）求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.23．已知321()2f x x x ax =+-. （Ⅰ）当4a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在()1,3上不单调，求实数a 的取值范围. 24．（2015秋•钦州校级期末）求曲线y=sinx 与直线，，y=0所围成的平面图形的面积．25．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-.26．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+2．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．3．D解析：D【解析】由题意得()22130f x x a x =+-≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即22max 13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2213131334,444y x a x =-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.4．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.5．A解析：A 【解析】试题分析：'0xxy e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程6．D解析：D 【解析】因1112221211111[1]1|12x x dx x dx x x dx-----+=-+=-⎰⎰⎰，故设sin,[,]22xππθθ=∈-，则122221221cos211cos sin cos(2)2sin2|442 x dx d d dππππππππθπθθθθθπθ-----+-====⨯+=⎰⎰⎰⎰，应选答案D。
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高二数学定积分的简单应用综合测试题（有答案）
选修2-2 1.7 定积分的简单应用
一、选择题 1．如图所示，阴影部分的面积为( ) A.abf(x)dx
B.abg(x)dx
C.ab[f(x)－g(x)]dx
D.ab[g(x)－f(x)]dx [答案] C [解析] 由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为ab[f(x)－g(x)]dx. 2．如图所示，阴影部分的面积是( ) A．23 B．2－3 C.323 D.353 [答案] C [解析] S＝1－3(3－x2－2x)dx 即F(x)＝3x－13x3－x2，则F(1)＝3－1－13＝53， F(－3)＝－9－9＋9＝－9. ∴S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故应选C. 3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.02(x2－1)dx B．|02(x2－1)dx| C.02|x2－1|dx D.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx [答案] C [解析] y＝|x2－1|将x 轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为( ) A.abf(x)dx B．|abf(x)dx| C.ab|f(x)|dx D．以上都不对 [答案] C [解析] 当f(x)在[a，b]上满足f(x)<0时，
abf(x)dx<0，排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，abf(x)dx 是两面积之差，排除B；无论什么情况C对，故应选C. 5．曲线y＝1－1681x2与x轴所围图形的面积是( ) A．4 B．3 C．2 D.52 [答案] B [解析] 曲线与x轴的交点为－94，0，94，0 故应选B. 6．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t ＝0s到t＝3s时间段内的位移是 ( ) A．31m
B．36m C．38m D．40m [答案] B [解析] S＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 7．(2010•山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712 [答案] A [解析] 由y＝x2y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112. 8．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F
相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( ) A．8J B．10J C．12J D．14J [答案] D [解析] 由变力做功公式有：W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)31
＝14(J)，故应选D. 9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B．3－322 C．6＋32 D．6－32 [答案] D [解析] 3636tdt＝66t63＝6－32，故应选D. 10．过原点的直线l 与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为92a3，则直线l的方程为( ) A．y＝±ax B．y＝ax C．y＝－ax D．y＝－5ax [答案] B [解析] 设直线l的方程为y＝kx，由y＝kxy＝x2－2ax得交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2) 图形面积S＝∫2a＋k0[kx－(x2－2ax)]dx ＝k＋2a2x2－x332a＋k0 ＝(k＋2a)32－(2a＋k)33＝(2a＋k)36＝92a3 ∴k＝a，∴l的方程为y＝ax，故应选B. 二、填空题 11．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________． [答案] 18 [解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2＝2xy＝x－4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝4－2(y＋4－y22)dy 取F(y)＝12y2＋4y－y36，则F′(y)＝y＋4－y22，从而S＝F(4)－F(－2)＝18. 12．一物体沿直线以v＝1＋tm/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________． 13．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________． [答案] 43 [解析] 如图，y＝1与y ＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(01x2dx＋12dx－0214x2dx)＝43. 14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝2t (0≤t≤1)at (1≤t≤2)bt (2≤t≤e) 则该物体在
0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：
s)______________________． [答案] 9－8ln2＋2ln2 [解析]
∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；又1≤t≤2时，v(t)＝at，∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；又2≤t≤e时，v(t)＝bt，∴v(2)＝b2＝4，∴b＝8. ∴路程为S＝012tdt＋122tdt＋2e8tdt＝9－8ln2＋2ln2 . 三、解答题 15．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积． [解析] 由y＝x＋3y＝x2－2x＋3解得x＝0及x ＝3. 从而所求图形的面积 S＝03(x＋3)dx－03(x2－2x＋3)dx ＝
03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx ＝03(－x2＋3x)dx ＝－13x3＋32x230＝92. 16．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，
且f′(x)＝2x＋2. (1)求y＝f(x)的表达式； (2)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． [解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax
＋b，又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等实根．∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c ＝1. 故f(x)＝x2＋2x＋1. (2)依题意有－1－t(x2＋2x＋1)dx＝0－t(x2＋2x＋1)dx，∴13x3＋x2＋x－t－1＝13x3＋x2＋x0－t 即－13t3＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t. ∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t
－1)3＝－1，∴t＝1－132 . 17．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离； (2)B、D间的距离； (3)电车从A站到B站所需的时间． [解析] (1)设A到C经过t1s，由1.2t＝24得t1＝20(s)，所以AC＝∫2001.2tdt＝0.6t2200＝240(m)． (2)设从D→B经过t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，所以DB＝∫200(24－1.2t)dt＝240(m)． (3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．从C到D的时间为t3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)． 18．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求： (1)切点A的坐标； (2)过切点A的切线方程． [解析] 如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20. 令y＝0得x＝x02，即Cx02，0. 设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S， S＝S曲边△AOB－S△ABC. S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝13x30，S△ABC＝12|BC|•|AB| ＝12x0－x02•x20＝14x30，即S＝13x30－
14x30＝112x30＝112. 所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y ＝2x－1.。