2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第一章 解三角形1.2.2 Word版含答案
高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形1.1.1含解析
01第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课时过关·能力提升基础巩固1在△ABC中,下列关系一定成立的是().A.a>b sin AB.a≤b sin AC.a<b sin AD.a≥b sin A答案:D2在△ABC中,若A=60°,a=4√3,b=4√2,则B等于().A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对答案:C3在△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系是().A.A>BB.A<BC.A=BD.不确定答案:A4在△ABC中,若a∶b∶c=2∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于().A.2∶5∶6B.6∶5∶2C.6∶2∶5D.不确定解析:由正弦定理,知sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶5∶6.答案:A5在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为. 解析:C=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得asinA =csinC,即20sin45°=csin60°,故c=20sin60°sin45°=20×√32√22=10√6.答案:10√66在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√3,b=1,A=π3,则B=.解析:由正弦定理得asinA=bsinB,所以√3sinπ3=1sinB,解得sin B=12,所以B=5π6或B=π6,又因为a=√3,b=1,所以B<A,所以B=π6.答案:π67在△ABC中,A=2π3,a=√3c,则bc=.解析:由正弦定理知sinAsinC =ac=√3,即sin C=sin2π3√3=12,又a>c,可得C=π6,∴B=π−2π3−π6=π6,∴b=c,即bc=1.答案:18在△ABC中,若B=2A,a∶b=1∶√3,则A=.解析:∵B=2A,∴sin B=sin2A,∴sin B=2sin A cos A,∴sinAsinB=12cosA.由正弦定理,得ab =sinAsinB=√3,∴1 2cosA =√3∴cos A=√32.又0°<A<180°,∴A=30°.答案:30°9在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°,求边c.解由三角形内角和定理,知A+B+C=180°, 故A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°)=30°.由正弦定理,得c=a·sinCsinA=5·sin105°sin30°=5·sin(60°+45°)sin30°=5·sin60°cos45°+cos60°sin45°sin30°=52(√6+√2).10在△ABC中,已知a=√2,b=2,A=30°,解此三角形.解由asinA =bsinB,得sin B=bsinAa=√2=√22.∵0°<B<180°,∴B=45°或B=135°.当B=45°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°.∵csinC=asinA,∴c=asinCsinA =√2sin105°sin30°=√2×√6+√2412=√3+1.当B=135°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+135°)=15°,∴c=asinCsinA =√2sin15°sin30°=√2×√6-√2412=√3−1.综上可得,B=45°,C=105°,c=√3+1或B=135°,C=15°,c=√3−1.能力提升1在△ABC中,A=60°,a=√13,则a+b+csinA+sinB+sinC等于().A.8√33B.2√393C.26√33D.2√3解析:由a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C,得a+b+csinA+sinB+sinC =2R=asinA=√13sin60°=2√393.答案:B2在△ABC中,若a=4,A=45°,B=60°,则b的值为().A.2√6B.2+2√3C.√3+1D.2√3+1解析:由正弦定理得,asinA =bsinB,则b=asinBsinA =4sin60°sin45°=2√6.答案:A★3在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果m=(a2,b2),n=(tan A,tan B),且m∥n,那么△ABC 一定是().A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形解析:由m∥n得a2tan B=b2tan A,结合正弦定理有sin 2Bsin2A =tanBtanA,∴sinBsinA=cosAcosB.∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A+2B=π.∴A=B或A+B=π2,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D.答案:D4在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3b cos A=c cos A+a cos C,则tan A的值是().A.-2√2B.−√2C.2√2D.√2解析:由正弦定理得b=2R sin B,c=2R sin C,a=2R sin A,则3(2R sin B)cos A=2R sin C cos A+2R sin A cos C,则有3sin B cos A=sin(C+A)=sin B.又∵sin B≠0,则cos A=13>0,∴A为锐角,∴sin A=√1-cos2A=√1-19=2√23,则有tan A=sinAcosA =2√2313=2√2.答案:C5在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=. 解析:由题意得A=180°-B-C=30°,则sin A=12,sin B=12,sin C=√32,∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶√3.答案:1∶1∶√36在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则asinA +b2sinB+2csinC=.解析:由正弦定理得asinA=2R=2,b2sinB=R=1,2csinC=4R=4,故asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.答案:77已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(√3,−1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且a cos B+b cos A=c sin C,则角B=.解析:由题意知m·n=0,∴√3cos A-sin A=0.∴tan A=√3,A=π3.又a cos B+b cos A=c sin C,∴由正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A=sin2C,即sin(A+B)=sin2C,sin(π-C)=sin2C,sin C=sin2C.∴sin C=1.∴C=π2.∴B=π6.答案:π6★8已知△ABC为锐角三角形,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2b sin A,求cos A+sin C的取值范围.解设R为△ABC外接圆的半径.∵a=2b sin A,∴2R sin A=4R sin B sin A.∵sin A≠0,∴sin B=12.∵B为锐角,∴B=π6.令y=cos A+sin C=cos A+sin[π-(B+A)]=cos A+si n(π6+A)=cos A+si nπ6cos A+co sπ6sin A=32cos A+√32sin A=√3sin(A+π3).由△ABC为锐角三角形,知π2−B<A<π2,∴π3<A<π2.∴2π3<A+π3<5π6,∴12<sin(A+π3)<√32.∴√32<√3sin(A+π3)<32,即√32<y<32.∴cos A+sin C的取值范围是(√32,3 2 ).。
【人教A版】高中数学：必修5全集第一章1.2第3课时三角形中的几何计算
2020年精品试题芳草香出品第一章 解三角形1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝35， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6. 答案：B2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°解析：4S ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以4·12bc sin A ＝2bc cos A ， 所以tan A ＝1，又因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝45°.答案：A3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C. 3 D ．2 3 解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32. 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113， 所以sin C ＝1213， 所以tan C ＝sin C cos C ＝－12＝－2 3. 答案：C5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.152 B.15 C ．2 D ．3 解析：因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，解得c＝2，b＝4，因为cos A＝78，所以sin A＝15 8，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×4×2×158＝152.答案：A二、填空题6．△ABC中，下述表达式：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(B＋C)＋cos A表示常数的是________．解析：①sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝2sin C，不是常数；②cos(B＋C)＋cos A＝cos(π－A)＋cos A＝0，是常数．答案：②7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a－b＝4，所以a＞b，又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.所以最大角为A，所以A＝120°，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，所以b2＋c2－a2＝－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，所以b＝10，所以a＝14，c＝6.故周长为30.。
人教A版高中数学必修5同步 解三角形
3
类型三 用正弦定理进行边角互化
角度1 运算求解问题
【典例】(2019·鹤岗高一检测)在锐角△ABC中,角A,B
sin A sin B
(3)√.在△ABC中,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
(4)×.由正弦定理知 a ,即b
sin A sin B
,所2以＝ 2 3
sin 30 sin B
sin B= 3 ,则B=60°或120°,又因为b>a,所以B>A,故
2
B=60°或120°.
2.在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,则b= ( )
【思维·引】方法一:边化角,即由正弦定理,令a=
2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(其中R是△ABC外接
圆的半径).代入等式左边进行化简;
方法二:角化边,即由正弦定理,令sin A= a ,sin B=
2R
b ,sin C= c .代入等式左边进行化简.
2R
2R
【证明】方法一:由正弦定理,令a=2Rsin A, b=2Rsin B,c=2Rsin C.代入得: 左边=2R(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin Csin Bsin A+sin Csin A-sin Csin B)=0=右边, 所以等式成立.
【思维·引】1.根据正弦定理可得 a c ,解三
sin A sin C
角方程可得角C.
2.根据题目条件,根据正弦定理可得sin C= c s i n B ,求
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
【试题】2019年新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案
【试题】2019年新课标人教A 版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝( )A ．． C D 2.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60 的视角，从B 岛望C 岛和A岛成75 视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里A. 65B. 35C. 25D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. mC. mD. 200m7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 39.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=︒=，则（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
高中数学第一章解三角形1.2第2课时测量高度角度问题课时跟踪训练含解析新人教A版必修
学习资料测量高度、角度问题[A组学业达标]1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．南偏西35°D．南偏西55°答案:D2．如图，从地面上C，D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于(）A．100米B．50错误!米C．50错误!米D．50（错误!＋1）米解析:设AB＝x m，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABC中,BC＝AB＝x，在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，所以DB＝错误!AB，即100＋x＝3x，解得x＝50(错误!＋1）m.所以山AB的高度为50(3＋1)米．答案：D3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度,在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为()A．20 m B．20 2 mC．20错误!m D．40 m解析：设高OP＝h，则OA＝h tan 60°＝3h，OB＝h tan 45°＝h。
在△AOB中，由余弦定理得402＝（3h）2＋h2－2·错误!h·h·cos 30°，解得h＝40。
故选D.答案：D4．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为（）A。
错误!B．错误!C.错误!D.错误!π解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝错误!＝错误!＝错误!，又α∈错误!,∴α＝错误!。
答案：C5.在地面上点D处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物的高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m解析：如图,设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m,∴OD＝20 3 m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60 m，∴AB＝OA－OB＝40 m，故选C。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
人教版高中数学必修5-1.2《解三角形》章末总结
人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习知识梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr(S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA ……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =Bbsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，。
高中数学人教A版必修5 1.2.2三角形中的几何计算学案
高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2解三角形的实际应用举例1.2.2三角形中的几何计算学案【课前自主学习】预习课本P16～18，思考并完成以下问题(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？(2)已知三角形的面积如何求其他量？【新知探究•夯实知识基础】三角形的面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高)．(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B.[点睛]三角形的面积公式S＝12ab sin C与原来的面积公式S＝12a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高．【学练结合】1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()解析：(1)正确，S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．答案：(1)√ (2)× (3)√2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝( ) A.32 B.332 C. 3D ．3解析：选B S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.3．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( ) A ．60°或120° B ．60° C ．120°D ．30°或150°解析：选A 由S △ABC ＝12bc sin A 得 32＝12×2×3×sin A ， 所以sin A ＝32， 故A ＝60°或120°，故选A.4．若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 解析：由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A 42＝1，sin A ＝817.答案：817【学以致用•探究解题方法】题型一 三角形面积的计算[典例] 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32.∵AB >AC ，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC ＝12AB·AC＝23；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC ＝12AB·AC sin A＝ 3.故△ABC的面积为23或 3.[解题规律总结][活学活用]△ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2A＝B＋C，a＝3，△ABC的面积S△ABC＝32，求边b的长和B的大小．解：∵A＋B＋C＝180°，又2A＝B＋C，∴A＝60°.∵S△ABC ＝12bc sin A＝32，sin A＝32，∴bc＝2.①又由余弦定理得3＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2×2×1 2，即b2＋c2＝5.②解①②可得b＝1或2.由正弦定理知asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝b2.当b＝1时，sin B＝12，B＝30°；当b＝2时，sin B＝1，B＝90°.题型二三角恒等式证明问题[典例]在△ABC中，求证：a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.证明：[法一化角为边]左边＝a－c(a2＋c2－b2)2acb－c(b2＋c2－a2)2bc＝a2－c2＋b22a·2bb2－c2＋a2＝ba＝2R sin B2R sin A＝sin Bsin A＝右边，其中R为△ABC外接圆的半径．∴a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.[法二化边为角]左边＝sin A－sin C cos Bsin B－sin C cos A＝sin(B＋C)－sin C cos Bsin(A＋C)－sin C cos A＝sin B cos Csin A cos C＝sin Bsin A＝右边(cos C≠0)，∴a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.[解题规律总结][活学活用]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .证明：法一：由正弦定理，得c －b cos Ab －c cos A＝2R sin C －2R sin B cos A 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (A ＋B )－sin B cos A sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C .法二：由余弦定理，得c －b cos Ab －c cos A ＝c －b 2＋c 2－a 22c b －b 2＋c 2－a 22b＝a 2＋c 2－b 22c b 2＋a 2－c 22b ＝a 2＋c 2－b 22ac b 2＋a 2－c 22ab＝cos B cos C.题型三 与三角形有关的综合问题命题点一：与三角形面积有关的综合问题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B －c ＝b 2. (1)求角A 的大小；(2)若b －c ＝6，a ＝3＋3，求BC 边上的高． 解：(1)由a cos B －c ＝b2及正弦定理可得， sin A cos B －sin C ＝sin B2，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin B2＋cos A sin B ＝0. 因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12， 因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，所以(3＋3)2＝b 2＋c 2＋bc ＝(b －c )2＋3bc ＝6＋3bc ， 解得bc ＝2＋2 3.设BC 边上的高为h ，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12ah ， 得12(2＋23)sin 2π3＝12(3＋3)h, 解得h ＝1. 命题点二：三角形中的范围问题2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)求3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围．解：(1)由正弦定理得：(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0， 即sin C (2cos B －1)＝0，∵sin C ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)由(1)知B ＝π3，∴C ＝2π3－A ， ∴3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈(1,2]， ∴3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围是(1,2]．命题点三：三角形中的最值问题3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc .(1)求角A 的大小；(2)当a ＝6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状． 解：(1)由sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc ，得sin (A －B )sin (A ＋B )＝sin B ＋sin Csin C .又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )．∴sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin B ＋2 cos A sin B ＝0， 又sin B ≠0，∴cos A ＝－12. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)S ＝12bc sin A ＝34bc ＝34×2R sin B ·2R sin C ＝3R 2sin B ·sin C ＝3R 2sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B＝32R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6－34R 2，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 由正弦定理2R ＝a sin A ＝6sin 2π3＝43，∴R ＝2 3.当2B ＋π6＝π2，即B ＝C ＝π6时，S max ＝33，∴△ABC 面积的最大值为33，此时△ABC 为等腰钝角三角形． 题点四：多边形面积问题4．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连接BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C . ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ，∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝20－16cos A，在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos C＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C.又cos C＝－cos A，∴cos A＝－12，∴A＝120°，∴S＝16sin A＝8 3.[解题规律总结]高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2应用举例1.2.2三角形中的几何计算同步检测基础达标题1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12 B.32 C.3 D．2 32．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－78 B.78C．－87 D.873．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A．135°B．45°C．60°D．120°4．在△ABC中，若cos B＝14，sin Csin A＝2，且S△ABC＝154，则b＝()A．4 B．3 C．2 D．15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40 3 B．20 3 C．40 2 D．20 26．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为________．7.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC ＝3，则AB＝________.8．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．9．在△ABC中，求证：b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2.10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．能力达标题1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( )A ．5B ．6C ．7D ．82．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152 B.15 C ．2 D ．33．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 5．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB ·AC ＝________. 6．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin A sin B ＝sin C tan C .(1)求a2＋b2c2的值；(2)若a＝22c，且△ABC的面积为4，求c的值．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2,2cos2B＋C2＋sinA＝4 5.(1)若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；(2)当△ABC的周长取最大值时，求b的值.高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2应用举例1.2.2三角形中的几何计算同步检测解析基础达标题1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12 B.32 C.3 D．2 3解析：选B S△ABC ＝12AB·AC·sin A＝32.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－78 B.78C．－87 D.87解析：选B设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cos θ＝4a2＋4a2－a28a2＝78.3．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A．135°B．45°C．60°D．120°解析：选B∵S＝14(a2＋b2－c2)＝12ab sin C，由余弦定理得：sin C＝cos C，∴tan C＝1.又0°<C<180°，∴C＝45°.4．在△ABC中，若cos B＝14，sin Csin A＝2，且S△ABC＝154，则b＝()A．4 B．3 C．2 D．1解析：选C依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋(2a)2－2×a×2a×14＝4a2，所以b＝c＝2a.因为B∈(0，π)，所以sin B＝1－cos2B＝154，又S△ABC ＝12ac sin B＝12×b2×b×154＝154，所以b＝2，选C.5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40 3 B．20 3 C．40 2 D．20 2解析：选A设另两边长为8x,5x，则cos 60°＝64x2＋25x2－14280x2，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.6．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为________．解析：∵cos C＝13，0<C<π，∴sin C＝223，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 37.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC ＝3，则AB＝________.解析：在△ADC中，cos C＝AC2＋DC2－AD22·AC·DC＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C<180°，∴sin C＝53 14.在△ABC中，ACsin B＝ABsin C，∴AB＝sin Csin B·AC＝5314×2×7＝562.答案：56 28．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b＝2，c＝3，cos A＝1 3，则a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝9，∴a＝3.又∵sin A＝1－cos2A＝22 3，∴外接圆半径为R＝a2sin A＝32·223＝928.答案：92 89．在△ABC 中，求证：b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.证明：左边＝b 2(1－2sin 2A )－a 2(1－2sin 2B )＝b 2－a 2－2(b 2sin 2A －a 2sin 2B )， 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ， ∴b 2sin 2A －a 2sin 2B ＝0，∴左边＝b 2－a 2＝右边， ∴b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．解：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， 由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9×sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°， 由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922，故BD 的长为922.能力达标题1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152 B.15 C ．2 D ．3 解析：选A 因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°， ∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.5．已知△ABC的面积S＝3，A＝π3，则AB·AC＝________.解析：S△ABC ＝12·|AB|·|AC|·sin A，即3＝12·|AB|·|AC|·32，所以|AB|·|AC|＝4，于是AB·AC＝|AB|·|AC|·cos A＝4×12＝2.答案：26．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ba＋ab＝6cos C，则tan Ctan A＋tan Ctan B＝________.解析：∵ba＋ab＝6cos C，∴a2＋b2ab＝6×a2＋b2－c22ab，∴2a2＋2b2－2c2＝c2，又tan Ctan A＋tan Ctan B＝sin C cos Asin A cos C＋sin C cos Bsin B cos C ＝sin C(sin B cos A＋cos B sin A)sin A sin B cos C＝sin C sin(B＋A)sin A sin B cos C＝sin2Csin A sin B cos C＝c2ab cos C＝c2aba2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝4.答案：47．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知sin A sin B＝sin C tan C.(1)求a2＋b2c2的值；(2)若a＝22c，且△ABC的面积为4，求c的值．解：(1)由已知sin A sin B ＝sin C tan C 得cos C ＝c 2ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，故a 2＋b 2＝3c 2，故a 2＋b2c 2的值为3.(2)由a ＝22c, a 2＋b 2＝3c 2得b ＝102c . 由余弦定理得cos C ＝255，故sin C ＝55. 所以12×22c ×102c ×55＝4，解得c ＝4.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2,2cos 2 B ＋C2＋sinA ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值. 解：2cos 2B ＋C 2＋sin A ＝45⇒1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45⇒sin A －cos A ＝－15. 又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝35，cos A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b 的取值范围为(0,2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103.(2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A (sin B ＋sin C ) ＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )]＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ] ＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010 ，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到． 此时b ＝asin A sin B ＝10.。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课教案_29
《海伦——秦九韶公式》教案【教学内容】人教A版普通高中课程标准试验教科书必修5 第一章“阅读与思考”海伦与秦九韶.【教学对象】高一学生.【教材分析】本节内容选自高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分的内容，在《高中数学新课程标准》中并没有做要求，教材中只占用一篇幅叙述了海伦公式与秦九韶公式（“三斜求积”公式）的记载历史，并未给出证明和应用.本节内容之前学生已经学习了解三角形，从而这节课是三角形面积公式的延续与拓展.本节课的主要设计对象为数学学习程度较好的学生——在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的学生，意在引领学生了解数学文化史，同时启发学生运用所学知识由“三斜求积”公推导海伦公式，并让学生从中体会数学之美.【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的三角形面积公式，余弦定理的推论，同角三角函数的平方关系以及平方差公式和完全平方公式.【教学目标】∙知识与技能：（1）会推导秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（2）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同.（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题.∙过程与方法：（1）经历推导秦九韶公式与海伦公式的全过程，培养学生严谨的的数学逻辑思维；（2）提高学生会应用海伦公式解决涉及到三角形三边与面积之间关系问题的能力.∙情感态度与价值观：（1）体会公式书写的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力.【教学重点】秦九韶公式与海伦公式的推导及其应用.【教学难点】秦九韶公式与海伦公式的本质.【教学方法】引导探究、实力应用.【教学过程】（一）旧知回顾1.三角形的面积公式：（1）ah S ABC 21=∆（h 为边a 上的高）； （2）==∆C ab S ABC sin 21 = . 2.余弦定理的推论：bca cb A 2cos 222-+=；=B cos ；=C cos . 3.同角三角函数的平方关系：+α2sin 1=.[师生活动]通过提问，让学生回答出本节课涉及到的已经学习过的公式.(二)新课引入【引例】问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。
高中数学第一章解三角形122高度角度问题课件新人教A版必修5
3．如图，位于 A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距
40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在 A 处南
偏西 30°且相距 20 海里的 C 处有一艘救援船，该船接到观测站
通知后立即前往 B 处救助，则 sin∠ACB＝
21
7
.
解析：在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余
解：如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台 风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD＝20，AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2，BC＝( 3＋1)×10 2.
在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
2．如图，D，C，B 三点在地面同一直线上，DC＝100 m， 从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是 60°，30°，则 A 点离地面的 高度 AB 等于( A )
A．50 3 m C．50 m
B．100 3 m D．100 m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC 为等腰三角形．所以 AC＝DC＝100 m， 在 Rt△ABC 中，AB＝ACsin60°＝50 3 m.
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一 建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、 俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即 可.
[变式训练 2] 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼， AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角 α ＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米， 则乙楼高 CD＝ 32 米．
人教a版必修5学案：第1章《解三角形》本章回顾(含答案)
本章回顾识结构点回放1．三角形中的边角关系设△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C.(1)三角形内角和定理A＋B＋C＝π.(2)三角形中的诱导公式sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin A＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，tan A＋B2＝cotC2.(3)三角形中的边角关系a＝b⇔A＝B；a>b⇔A>B；a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b.(4)三角形中几个常用结论①在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B(其余两个略)；②在△ABC中，sin A>sin B⇔A>B；③在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C. 2．正弦定理(1)正弦定理在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，则asin A＝bsin B＝csin C＝2R.其中R 是△ABC 外接圆半径． (2)正弦定理的变形公式正弦定理反映了三角形的边角关系．它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用． ①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；③sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； ④sin A sin B ＝a b ，sin B sin C ＝b c ，sin C sin A ＝c a . 3．余弦定理 (1)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.4．三角形的面积 三角形面积公式S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ；S △＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；S △＝12(a ＋b ＋c )r (r 为△ABC 内切圆半径)；S △＝abc4R (R 为△ABC 外接圆半径)；S △＝p (p －a )(p －b )(p －c ) ⎝⎛⎭⎫其中p ＝12(a ＋b ＋c ).5．解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按6．已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断在△ABC 中，以已知a ，b ，A 为例想方法一、构建方程(组)解三角问题 例1如图所示，设P 是正方形ABCD 内部的一点，P 到顶点A 、B 、C 的距离分别是1,2,3，求正方形的边长．解 设边长为x ，x >0， 在△ABP 中，cos ∠ABP ＝x 2＋22－124x ＝x 2＋34x，在△CBP 中，cos ∠CBP ＝x 2＋22－324x ＝x 2－54x，又cos 2∠ABP ＋cos 2∠CBP ＝1， ∴⎝⎛⎭⎫x 2＋34x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2－54x 2＝1.∴x 2＝5＋22或x 2＝5－2 2.所以，x ＝5±22， 即正方形的边长为5±2 2. 例2如图所示，测量人员沿直线MNP 的方向测量，测得塔尖A 处的仰角分别是∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，且MN ＝PN ＝500 m ，求塔高AB .分析 设AB ＝h ，则MB ，NB ，PB 都可用h 来表示，在底面△BMP 中，MN ＝PN ＝500 m ，借助△MNB 与△MPB ，利用公共角∠PMB ，结合余弦定理的推论得出方程可求解．解 设AB ＝h ，∵AB ⊥MB ，AB ⊥NB ，AB ⊥PB ， 又∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，∴MB ＝3h ，NB ＝h ，PB ＝33h .在△MPB 中，cos ∠PMB ＝MP 2＋MB 2－BP 22MP ·MB＝1 0002＋3h 2－13h 22×1 000×3h. 在△MNB 中，cos ∠NMB ＝MN 2＋MB 2－BN 22MN ·MB＝5002＋3h 2－h 22×500×3h. ∴1 0002＋83h 22 0003h ＝5002＋2h 21 0003h. 整理，得h ＝250 6.∴塔高AB 为250 6 m. 二、构建目标函数解三角问题例3 如图所示，已知⊙O 的半径是1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是⊙O 上半圆上的一个动点，以PC 为边作等边三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 的两侧．(1)若∠POB ＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示为关于θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．分析 四边形OPDC 可以分成△OPC 与△PCD .S △OPC 可用12OP ·OC ·sin θ表示；而求△PCD 的面积关键在于求出边长PC ，在△POC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决．解 (1)在△POC 中，由余弦定理， 得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ， 所以y ＝S △OPC ＋S △PCD＝12×1×2sin θ＋34×(5－4cos θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534. (2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答 四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.例4 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？分析 利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间t 的目标函数，注意到t ＝2时，乙到达A 处，此时，甲地、乙地、A 地三处构不成三角形，要注意分类讨论．如下图所示：解 设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t ≤2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AP ·AQ cos 120°＝ (20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝⎛⎭⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100.②当t >2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 60°＝221t 2－60t ＋100. 综合①②知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 (t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小．答 甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．三、利用等价转化思想解三角问题例5 在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin 2A －sin 2B ＋sin 2C ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，求证：△ABC 是等腰三角形或直角三角形．分析 从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定△ABC 为等腰三角形或直角三角形两种情况．因此，应综合应用正、余弦定理，先进行化简，再讨论．证明 应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为：a 2＋b 2－c 2a 2－b 2＋c 2＝2cos 2C2cos 2B，再由余弦定理将其变形为：2ab cos C 2ac cos B ＝cos 2Ccos 2B，整理得cos C cos B ⎝⎛⎭⎫b c －cos C cos B ＝0.∴cos C cos B ＝0或b c －cos Ccos B ＝0，若cos C cos B ＝0，则C ＝90°； 若b c －cos C cos B ＝0，依据正弦定理得sin B sin C ＝cos C cos B ， 即sin B cos B ＝sin C cos C ．所以sin 2B ＝sin 2C . 所以2B ＝2C 或2B ＋2C ＝180°，即B ＝C 或B ＋C ＝90°. 综上所述，△ABC 是等腰三角形或直角三角形．例6 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，a ＝43，B ＝45°，求△ABC 的面积．分析 解决本题的突破口是由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2联想到余弦定理，这就需要降次，自然就得进行等式的变形．变形后自然容易发现它与余弦定理的关系，进而应用余弦定理解决问题．解 因为a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，所以变形得(a ＋b )(a 2＋b 2－c 2－ab )＝0.因为a ＋b ≠0，所以a 2＋b 2－c 2－ab ＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又因为0°<C <180°，所以C ＝60°. 因为B ＝45°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(60°＋45°)＝75°.根据正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以b ＝a sin Bsin A ＝43×226＋24＝12－4 3.根据三角形的面积公式得S △ABC ＝12ab sin C ＝12×43×(12－43)×32＝36－12 3.四、构建辅助圆解三角应用题例7 (能力创新题)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ ⎝⎛⎭⎫其中sin θ＝2626，0°<θ<90° 且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析 第(1)问实际上就是求BC 长度，在△ABC 中，利用余弦定理求解即可；第(2)问警戒区域是以E 为中心的一个圆，半径为7(海里)，问题实质上可以看作直线BC 与圆E 是否有交点，因此可以构建辅助圆E 来求解．解 (1)如图所示，AB ＝402， AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626.由于0°<θ<90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5. 所以船的行驶速度为 1054060＝10523＝155(海里/小时)． (2)如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D .由题设有，x 1＝y 1＝22AB ＝40，x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013cos(45°－θ)＝30， y 2＝AC sin ∠CAD ＝1013sin(45°－θ)＝20.所以过点B 、C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35<7，所以船会进入警戒水域．五、利用正、余弦定理解平面几何问题例8 (竞赛竞技题)(斯特瓦尔特定理)在△ABC 中，D 是BC 边上一点，若BD ＝p ，DC＝q ，求证：AD 2＝b 2p ＋c 2q p ＋q－pq .证明 如图所示， 在△ABD 中， 由正弦定理：cos B ＝c 2＋p 2－AD 22cp.在△ABC 中，由余弦定理：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac.∴c 2＋p 2－AD 22cp ＝c 2＋a 2－b 22ca.∴c 2＋p 2－AD 2＝pa (c 2＋a 2－b 2)．∴AD 2＝c 2＋p 2－pa(c 2＋a 2－b 2)把a ＝p ＋q 代入后整理得：AD 2＝c 2－pp ＋q (c 2－b 2)－pq .即AD 2＝b 2p ＋c 2q p ＋q－pq .注 当D 为BC 中点时，p ＝q ，此时，AD ＝122b 2＋2c 2－a 2，即三角形中线长定理．斯特瓦尔特定理是三角形中线长定理推广，中线长定理是该定理的特例．思妙解1．构造三角形巧求代数式的值例1 设a ，b ，c 为正实数，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋ac ＋c 2＝16b 2＋3c 2＝27a 2＋ab ＋13b 2＝25，求ab ＋2bc ＋3ac 的值．解 a 2＋ac ＋c 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝42； 13b 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎫b 32＋c 2＝32； a 2＋ab ＋13b 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32－2a ·⎝⎛⎭⎫b 3cos 150°＝52.三个条件式的结构都类似余弦定理，于是可以构造直角三角形ABC ，使∠C ＝90°.AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，在直角三角形ABC 内作一点O ，使∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，则∠COA ＝120°，如图所示．OA ＝a ，OB ＝b3，OC ＝c .一方面：S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COA ＝12a ·b 3·sin 150°＋12·b 3·c ＋12·ca sin 120° ＝143(ab ＋2bc ＋3ac )． 另一方面：S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×4×3＝6.∴143(ab ＋2bc ＋3ac )＝6. 即ab ＋2bc ＋3ac ＝24 3. 2．构造四面体巧证不等式例2 设x >0，y >0，z >0，求证：x 2－xy ＋y 2＋y 2－yz ＋z 2>z 2－zx ＋x 2. 证明如图所示，构造四面体V —ABC ， 使∠AVB ＝∠BVC＝∠CVA＝60°，且VA＝x，VB＝y，VC＝z，由余弦定理得AB＝x2＋y2－2xy cos 60°＝x2－xy＋y2同理，BC＝y2－yz＋z2，CA＝z2－zx＋x2，在△ABC中，由于AB＋BC>CA，故有：x2－xy＋y2＋y2－yz＋z2>z2－zx＋x2.。
(新人教A版)高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题练习必修5
A 级 基础巩固一、选择题1．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( D )A ．10 kmB ． 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107 km ．2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( D )A ．γ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，γ[解析] 本题中a 、c 、β这三个量不易直接测量，故选D ．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A ．5 n mlieB ．5 3 n mlieC ．10 n mlieD ．10 3 n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300 m 和500 m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为( C )A ．500 mB ．600 mC ．700 mD ．800 m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120 m 由此可得河宽为(精确到1m)( C )A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝406．设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)．6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船的距离是( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13 km ．二、填空题7．在相距2km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是__6__km ．[解析] 如图所示，由题意易知C ＝45°，由正弦定理得AC sin60°＝2sin45°，从而AC ＝222·32＝6(km)．8．一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝__1063__cm ．[解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°， 由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B ，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°， AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°．在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h >6.5 n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．B 级 素养提升一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A 、B 两船的距离为( D )A ．2 3 kmB ．3 2 kmC ．15 kmD ．13 km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( A )A ．1762 n mile/hB ．34 6 n mile/hC ．1722n mile/hD ．34 2 n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．3．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( B )A ．10 kmB ．10 2 kmC ．15 kmD ．15 2 km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20( km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102( km)．二、填空题4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站107 n mile ，20 min 后测得海盗船距观测站20 n mlie ，再过__403__min ，海盗船到达商船．[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20 min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12．∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．5．如图，一艘船上午8∶00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile ，则此船的航行速度是__16__n mile/h ．[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8∶00在A 地，8∶30在B 地， ∴航行0.5小时的路程为8 n mile ， ∴此船的航速为16 n mile/h ． 三、解答题6．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29 800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665．C 级 能力拔高1．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图)．能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．[解析] 方案一：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算AM ，由正弦定理，得AM ＝d sin α2sin α1＋α2；第二步：计算AN ，由正弦定理，得AN ＝d sin β2sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos α1－β1．方案二：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算BM ，由正弦定理，得BM ＝d sin α1sin α1＋α2；第二步：计算BN ，由正弦定理，得BN ＝d sin β1sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos β2＋α2．2．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A 、B 相距10 n mile ，小船甲从海岛B 以2 n mile/h的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°方向也以2 n mile/h 的速度移动．(1)经过1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析] 经过1 h 后，甲船到达M 点，乙船到达N 点， AM ＝10－2＝8，AN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos60°＝64＋4－2×8×2×12＝52．所以MN ＝213．所以经过1 h 后，甲、乙两小船相距213海里．(2)设经过t (0<t <5)h 小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A 距离为AE ＝(10－2t )n mile ，乙船与A 距离为AF ＝2t n mile ，∠EAF ＝60°，∠EF A ＝75°，则由正弦定理，得AF sin45°＝AE sin75°，即2tsin45°＝10－2t sin75°，则t ＝10sin45°2sin75°＋2sin45°＝103＋3＝53－33<5．答：经过53－33小时小船甲处于小船乙的正东方向．。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课件_25
c
B
1 a2c2 4
1 4
a
2c
2
a2
c2 b2 2ac
2
1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2 ]
4
2
即 S 1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2] .
4
2
思考：除了 S 1 acsin B ，我们还学习过哪些三角形面积公式？ 2
方法：利用余弦定理求出 cos B ，再根据 S 1 acsin B 进行证明.
2
证明：由余弦定理： cos B a2 c2 b2 2ac
S 1 ac sin B 1 ac
2
2
1 cos2 B 1 ac 2
1
a2
c2 2ac
b2
2
C
b
a
A
秦九韶的“大衍求一术”
比西方 1801 年著名数学家高斯建立的同余理论早 554 年，被西方 称为“中国剩余定理”。
秦九韶的任意次方程的数值解
领先英国人霍纳 572 年。
秦九韶的三斜求积术
秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”， 虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与 海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空 白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学 水平。
2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的 一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水 平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜 幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
2019秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习(含解析)新人教A版必修5
第2课时 余弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos AD ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab答案：A2．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10)D ．(10，8)解析：只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧1＋a 2－322×1×a>0，12＋32－a22×1×3>0，1＋3>a ，1＋a >3，解得22<a <10.答案：B3．若三角形三边长分别为5，7，8，则其最大角和最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 解析：中间的角设为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，因为0°<θ<180°，所以θ＝60°， 所以最大角和最小角之和为120°. 答案：B4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋（2a ）2－ac 2a ·2a ＝5a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2·a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：C 二、填空题6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为________．解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.答案：π37．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sinC ，则cos A 的值为________．解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可． 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.答案：－ 148.如图所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ， sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析：因为sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，所以在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， 所以BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3， 所以BD ＝ 3. 答案： 3 三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得：sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)解：由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)可知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知和正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.因为0°<A <180°，所以A ＝120°. (2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ．① 由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1.② 由①②及sin A ＝32，得sin B sin C ＝14， 所以sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <60°，0°<C <60°， 所以B ＝C ，所以△ABC 是等腰三角形．B 级 能力提升1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ＝ac ，所以(a －c )2＝0，所以a ＝c ，因为B ＝π3，所以△ABC 的形状是等边三角形．答案：D2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，所以sin C ＝22， 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案： 33．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠ADB ＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解：在△ABD中，由余弦定理有：AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB.设BD＝x，有142＝102＋x2－2×10x cos 60°，得x2－10x－96＝0.所以x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，可得：BC＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课教案_1
我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”. 在他的著作《数书九章》里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里. 里法三百步. 欲知为田几何？ 答曰：田积三百一十五顷.” 这道题实际上是已知三角形的三边长，求三角形面积. 《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂 ，余半之，自乘于上. 以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方，得积.” 译成现代式子是])2([41222222b a c a c S -+-= 这个式子称为秦九韶“三斜求积”公式.通过上述证明可以看出：秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的! 从中充分说明我国古代已具有很高的数学水平.秦九韶 (约公元 1 2 0 2～ 1 2 61年 ) ，字道古，字道古,祖籍为鲁郡(今山东兖州)，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，是我国古代数学家杰出代表之一. 著有《数书九章》，全书为十八卷，共 81题，分九大类. 系统总结和发展了高次方程的数值解法（在必修三《算法初步》中有“秦九韶算法”）和一次同余问题的解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，对数学发展产生了广泛的影响，奠定了其时人难以望其项背的数学地位.他被外国科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”. 如果将秦九韶和意大利文艺复兴时期的风云人物相比,竟有几分相似:他多才多艺,懂得星占、数学、音乐、建筑,还擅长诗文,会骑术、剑术、踢球等.4. 海伦公式的应用示例海伦公式除了可以解决“已知三角形三边长求面积”的问题外，还有什么应用呢？例1 三边长a ，b ，c 的三角形，满足c>a>b ，2a=b+c ，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状.分析：由已知得，a=4，b+c=8，p=6，于是。
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_24
海伦—秦九韶公式【教学内容】数学必修五第一章《解三角形》阅读材料(人教A 版)【教学对象】高一学生【教材分析】在完成《解三角形》的学习之后，引领学生运用所学知识对秦九韶公式与海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美。
【学情分析】学生在进入本节课的学习之前，已经熟悉余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。
【教学目标】1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。
2、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。
3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】证明海伦—秦九韶公式的过程。
【教学难点、关键】海伦公式的本质。
【教学方法】引导探究、实例运用。
【教学过程设计】一、回顾旧知1、三角形面积公式。
通过提问，让学生回答出已经学习过的公式，板书：夹角的正弦两邻边高底⨯=⨯=∆2121ABC S . 2、余弦定理的变形：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=. 二、问题引出.,6,5,4,的面积求已知中问题：ABC c b a ABC ∆===∆运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？在黑板上演示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过程。
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261）在《数书九章》中记述“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，就面积的著名公式——秦九韶公式。
秦九韶公式：是三角形的三边，则中，在c b a ABC ,,∆老师擦掉公式，让学生试着默写出秦九韶公式，大部分学生无法完整默写。
秦九韶公式不够简洁不方便记忆的弊端。
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(二)学案新人教A版必修5(2021学年)
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1.1．2 余弦定理（二)［学习目标］ 1。
熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形。
2。
能应用余弦定理判断三角形形状.３。
能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1.ａ２=b2＋c2-２bc cos__A，b２＝ｃ2+ａ2－2ｃa cos_＿B，c２=ａ2+b2－2aｂcos＿＿C．2.cos A=错误!,ｃos B＝错误!,coｓC＝错误!.３．在△AＢC中,ｃ２=a2＋ｂ2⇔C为直角,ｃ2＞a2＋ｂ2⇔Ｃ为钝角;c2＜a2+ｂ2⇔C为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是＿＿＿___＿＿.（1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；（3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形;（４）已知一个三角形的三条边,解三角形.答案 (2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△AＢC中,cｏs２错误!＝错误!,其中a,b，c分别是角A，B，C的对边，则△ＡBＣ的形状为（ )A.直角三角形B．等腰三角形或直角三角形Ｃ．等腰直角三角形D．正三角形答案 A解析方法一在△ABC中，由已知得＼f(1＋ｃoｓＢ,2)=＼f(１，2）+错误!，∴cｏｓB=ac=错误!,化简得c２=a2+ｂ2。
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1
第2课时 高度问题
课时过关·能力提升
基础巩固
1在△ABC 中,a=5,sin A
A.
解析:
答案:
A
2从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α,β的关系是( ). A.α>β
B.α=β
C.α+β=90°
D.α+β=180°
解析:如图,在A 处望B 处的仰角α与从B 处望A 处的俯角β是内错角,根据水平线平行,得α=β.
答案:
B
3在200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为( ).
2
A
B
C
D
解析:由题意,可知∠BAC=30°,∠OAC=∠ACB=30°,AC
又∠B=120°,在△ABC 中,
由正弦定
BC
答案:
A
4如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角α=60°,在塔底C 处测得点A 的俯角β=45°.已知塔高为60 m,则山高为 .
解析:在△ABC 中,BC=60 m,∠BAC=15°,∠ABC=30°.
3
由正弦定理,得AC
∴CD=AC ·sin 45°=30
答案:30
5
如图,线段AB ,CD 分别表示甲、乙两楼,AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°,测得乙楼底部D 的俯角β=60°,已知甲楼高AB=24 m,则乙楼高CD= . 答案:
32 m
6如图所示,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面,在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°,且座位A ,B 的距离为1
解析:由题意知∠BAN=105°,∠BNA=30°.
由正弦定理,AN=2
4
在Rt △AMN 中,MN=260°=30(m).
故旗杆的高度为30 m . 答案:
30
7在湖面上高h m 处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中影子的俯角为β,则云距湖面的高度为 .
解析:如图,设湖面上高h m 处为A ,在A 处测得云C 的仰角为α,测得云在湖中影子D 的俯角为β,CD 与湖面交于M ,过A 的水平线交CD 于E.
设云高CM=x m,
则CE=(x-h ) m,DE=(x+h ) m,
AE
又AE
整理,得x
答案:
8如图,两点C ,D 与烟囱底部在同一水平直线上,利用高为1.5 m 的侧角仪器,在点C 1,D 1处测得烟囱的仰角分别是α=45°和β=60°,C ,D 间的距离是12 m .计算烟囱的高AB.(结果精确到0.01 m)
解如图,在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°
,
由正弦定理,
BC 1
=(1
从而A1B≈28.392(m),
因此AB=A1B+AA1≈28.392+1.5=29.892≈29.89(m).
答:烟囱的高约为29.89 m.
9如图,地面上有一旗杆OP,为了测得它的高度,在地面上选一基线AB,测得AB=20 m,在A处测得点P的仰角为30°,在B处测得点P的仰角为45°,同时可测得∠AOB=60°,求旗杆的高度.(结果精确到0.1 m)
5
6
分析设旗杆的高度为h ,由题意知∠OAP=30°,∠OBP=45°,旗杆OP 垂直于地面,即△AOP 和△BOP 都是直角三角形,在△AOB 中,可利用余弦定理构造方程求解. 解设旗杆的高度为h ,
由题意,知∠OAP=30°,∠OBP=45°.
在Rt △AOP 中,OA
在Rt △BOP 中,OB
在△AOB 中,由余弦定理,
得AB 2=OA 2+OB 2
-2OA ·
OB cos 60°, 即202
=
∴h 2
≈176.4,
∴h ≈13.3(m).
答:旗杆的高度约为13.
3 m.
能力提升
1有一长为10 m 的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长( ).
A.5 m
B.10 m
C.1
解析:如图,设将坡底加长到B'时,倾斜角为30°,在△ABB'中,∠B'=30°,∠BAB'=75°-30°=45°,AB=10 m.
7
在△BAB'中,由正弦定理,
得BB'
故坡底延长1m 时,斜坡的倾斜角将变为30°.
答案:
C
★2如图,在地面上共线的三点A ,B ,C 处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,
则建筑物的高度为( ).
A.1
B.2
C.2
D.3
解析:设建筑物的高度为h m,由题图知,PA=(2h )m,PB=
在△PBA 和△PBC 中,分别由余弦定理,
8
得cos ∠
PBA
cos ∠
PBC
∵∠PBA+∠PBC=180°, ∴cos ∠PBA+cos ∠PBC=0. ③
由①②③,解得h=3
h=-3
),即建筑物的高度为3
m.
答案:
D
3一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ,在B 点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是 .
答案:
50 m
4A ,B 是海平面上的两个点,相距800 m,在A 点测得山顶C 的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B 点测得∠ABD=45°,其中点D 是点C 在海平面上的射影,则山高CD 为 .
解析:如图,由于CD ⊥AD ,∠CAD=45°,
∴CD=AD.
因此,只需在△ABD中求出AD即可.
,
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°
∴CD=AD=800m.
答案:800
5如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿坡角为30°的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为.
解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°.
9
又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°.
又AS=1 000,
∴DC=ST=AS sin 30°=500.
在△ASB
故BS=2 000sin 15°
=2 000
在Rt△SDB中,BD=BS sin∠BSD
=BS sin 75°=500
故山高BC=BD+DC=500+500=1 000(m).
答案:1 000 m
★6如图,飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔25 000 m,速度为3 000 m/min.飞行员先在点A看到山顶C的俯角为30°,经过8 min后到达点B,此时看到山顶C的俯角为60°,求山顶的海拔高度.
10
(参考数据≈1.414≈1.732≈2.449)
解如图,过C作AB的垂线,垂足为D.
依题意,AB=3 000×8=24 000(m).
又∠BAC=30°,∠DBC=60°,则∠BCA=30°,
故BC=AB=24 000(m).
在Rt△CBD中,CD=BC·sin 60°≈24 000×0.866=20 784(m),
故山顶的海拔高度约为25 000-20 784=4 216(m).
11。