2020高考数学刷题首选第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试21两角和与差的正弦文

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高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时作业21同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理新人教A版

12．已知11＋－ttaannxx＝3＋2 2，则 sinx(sinx－3cosx)的值为________。
解析由11＋－ttaannxx＝3＋2 2得 tanx＝ 22，所以 sinx(sinx－3cosx)＝sin2x －3sinxcosx＝sins2ixn－2x＋3sicnoxsc2oxsx＝tanta2xn－2x＋3ta1nx＝13－ 2。
C．35
D．45
解析 sinα＝45，cosα＝35，sinα－2 0217π＝－cosα＝－35。故选 B。答案 B
4．若 cosπ2－α＝ 32，则 cos(π－2α)＝(
)
A．29
B．59
C．－29
D．－59
解析由 cosπ2－α＝ 32，得 sinα＝ 32。所以 cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×29－1＝－59。故选 D。
解析原式＝cosα sin2αco＋s2cαos2α＋sinα· sin2αsi＋n2cαos2α＝cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|，因为 α 是第二象限角，所以 sinα>0，cosα<0，所以 cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|＝－1＋1＝0，即原式等于 0。
答案 0
答案 A
7．已知
α∈23π，2π，且满足
cosα＋2
0217π＝35，则
sinα＋cosα＝(
)
A．－75
B．－15
C．15
D．75
解析因为 cosα＋2 0217π＝cosα＋1 008π＋π2＝－sinα＝35，且 α∈ 23π，2π，所以 sinα＝－35，cosα＝ 1－sin2α＝45，则 sinα＋cosα＝－35＋45＝ 15。故选 C。

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式课后作业理

3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73 B.73 C.57 D ．1答案 D解析由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.故选D.4．(2017·云南一检)cos π9·c os 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18答案 A解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9 ＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.故选A.5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin 20°12sin20°＝－4.故选D.6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛ π4－⎭⎪⎫β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 由－π2<β<0，得π4<π4－β2<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，代入上式，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝539，故选C.7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 A 解析 sin2αsin2β＝sin[α＋β＋α－β]sin[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βsin α＋βcos α－β－cos α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－βtan α＋β－tan α－β＝13.故选A.8．(2017·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z . ∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.故选A.10．(2018·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32 答案 D解析由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案－3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.13．(2017·江苏模拟)已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.答案π3解析因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案－142解析 ∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝ 1＋34＝72， ∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. B 级三、解答题15．(2017·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13>0，设x 1<x 2，则0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝13.16．(2017·黄冈质检)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a的取值范围．解 (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos 7π6－cos2x sin 7π6 ＝1＋32sin2x ＋12cos2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )的最大值为2时x 的取值集合为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1.∴当且仅当b ＝c ＝1时，取等号．又由b ＋c >a 得a <2.所以a 的取值范围是[1,2)．17．(2017·青岛诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋3a cos B ＝3c .(1)求角A 的大小；(2)已知函数f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋A 2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y ＝f (x )的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的最小正周期为π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵a sin B ＋3a cos B ＝3c ， ∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin C . ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋cos A sin B )．即sin A sin B ＝3cos A sin B .∵sin B ≠0，∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由A ＝π3，得f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝λ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π32－3＝λ2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋λ2－3，∴λ－3＝2，λ＝5.∴f (x )＝5cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3－12，从而g (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43ωx ＋π3－12，∴2π43ω＝π，得ω＝32， ∴f (x )＝52cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π3≤3x ＋π3≤11π6，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3≤32，从而－3≤f (x )≤53－24，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，53－24.18．(2017·江西南昌三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x－cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.。

2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件

(5)tan (α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan (α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
2.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
答案：C 【反思感悟】理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变换求值是关键.
【高分训练】
(2021 年泸州市模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图
是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成
一个大的正方形，若图3-3-1中直角三角形两锐角分别
为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为 9∶25，
答案：12
⊙三角变换与数学文化的创新问题新高考数学考查的学科素养提炼为理性思维，数学应用，数学探究和数学文化，其中数学文化作为素养考查的四大内涵之一，以数学文化为背景的试题将是新高考的必考内容.
[例 4]公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为 0.618，
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
θ＋cos θ)sin 2＋2cos θ
2θ－cos
θ 2
＝______.
解析：由 θ∈(0，π)，得 0＜2θ＜π2， ∴cos 2θ＞0，∴ 2＋2cos θ＝ 4cos22θ＝2cos2θ.
又(1＋sin θ＋cos θ)sin
解析：原式＝1－cos22α－π3＋1－cos 22α＋π3－sin2α＝1－ 12cos2α－π3＋cos 2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cos π3－sin2α＝1－ co2s2α－1－c2os 2α＝12.

2020年高考数学(文)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形含答案

专题03 三角函数与解三角形§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化：οοο3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xy αtan5．三角函数线：正弦线，余弦线OM ，正切线6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式．【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ．解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2(1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练．如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角，当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan =ο (2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正．(3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限，所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin 1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===，因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0，所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法：(1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值．解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ．因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π(Y B ．)4π5,π()2π,4π(YC ．)2π3,4π5()4π3,2π(YD ．)π,4π3()2π,4π(Y4．化简=+οο170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求(1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题．【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______； (3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______；(4)求值=+-οο15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα，所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1οοοοοοοοo【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用．例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3)=++οοο37tan 23tan 337tan 23tan o______．解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=οοο∴,37tan 23tan 3337tan 23tan οοοο-=+∴337tan 23tan 337tan 23tan =++οοοo ．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α＋tan β ＝tan(α ＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα，(2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα；∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα，又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα (2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x 原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值．解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α，原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( ) A ．sin15°－cos15° B ．sin15°＋cos15° C ．－sin15°－cos15° D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( )A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-οο10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______．三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π，定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x xx x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立，即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ，所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立，即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间， 2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合(2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y (4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x Θ设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]，因为⋅++-=23)21(22t y 结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法： (1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理． (2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域．例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕω B ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕω D ．6π,21-==ϕω解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω，当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y −−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin = −−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21，即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C (2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围．解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1．【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______．7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______．三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)．余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+=&. a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高.21=∆ABC S ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题．【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120° (2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______．解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a ο又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222ο=∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A οΘΘ. 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题．例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形解：(1)法一：BbA a sin sin =Θ，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ．法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ，所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和b c ＝321+，求∠A 和tan B 的值．解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为BBB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin οοο+⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A ，当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ．由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小．解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0，因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3，所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用．练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A ．35B ．45 C ．55 D ．65二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A . (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数与解三角形参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα 当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题 9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=，因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α，所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα，所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35，因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0，所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α，所以原式.52932534-=+-⨯= 练习3－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题5．2 6．2 7．)3π2sin(+=x y 8．]2,89[- 三、解答题9．解：x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2-=+-=＝)4π2sin(2-x . (1)Z ∈+=-k k x ,2ππ4π2，对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π， (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2，即Z ∈+≤≤+k k x k ,8π7π8π3π，f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π7π,8π3π[．10．解：(I)∵⋅+=+=-+=)3π2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f∴f (x )的最小正周期.π421π2==T当1)3π2sin(-=+x 时，f (x )取得最小值－2；当1)3π2sin(=+x 时，f (x )取得最大值2．(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π()().3π2sin(2)(x f x g x x f 又⋅=+=++=∴2cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(xx x x g).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-Θ∴函数g (x )是偶函数．11．解：(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯=a x x a x xx f ωωωω,1)6π2sin(2+++=a x ω由满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π，可得的最小正周期为π，所以ω ＝1．。

高考数学复习第三章三角函数解三角形第三课时两角和与差的正弦余弦和正切公式理市赛课公开课一等奖省名师优

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(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．
(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
cos 10° 3)·sin 50°
＝(tan
10°－tan
cos 60°)·sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60° cos 60°·sin
10° 50°
＝cossi1n0－°·c5o0s°60°·csoins 5100°°＝－2.
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法二：(tan 10°－
cos 10° 3)·sin 50°
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1．(2015·高考课标卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝
()
A．－
3 2
3 B. 2
C．－12
D.12
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解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.
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(1)由f(α)＝353，得sin α＝35. 又α是第一象限角，所以cos α＞0. 从而g(α)＝1－cos α＝1－ 1－sin2α＝1－45＝15.
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(2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1－cos x，
即 3sin x＋cos x≥1，于是sinx＋π6≥12，
答案：D
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2．化简：(1)(tan 10°－

2018年高考数学三角函数解三角形与平面向量21两角和与差的正弦余弦和正切公式试题文

考点测试21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、基础小题 1.sin20°cos20°cos50°＝( )A ．2 B.22 C. 2 D.12答案 D解析原式＝sin40°2cos50°＝sin40°2sin40°＝12.2．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A.45 B ．－83 C ．－237 D ．－247 答案 D解析 ∵α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，∴sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－34，于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故选D. 3．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 A解析由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3，故选A.4．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 答案 A解析 cos15°cos45°－cos75°sin45° ＝cos15°cos45°－sin15°sin45° ＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12，故选A.5．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215°答案 B解析 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，2sin 215°－1＝－cos30°＝－32，sin 215°＋cos 215°＝1.故选B. 6．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.7．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327答案 D解析 ∵cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝223，∴sin2α＝429，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 8.3－sin70°2－cos 210°＝________. 答案 2 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos20°＋12＝－3－cos20°＝2.二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725 答案 D解析解法一：sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.故选D.解法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35⇒cos α＋sin α＝325⇒1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.10．[2015·全国卷Ⅰ]sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.11．[2016·四川高考]cos 2π8－sin 2π8＝________. 答案22解析由二倍角公式易得cos2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 12．[2015·四川高考]sin15°＋sin75°的值是________．答案62解析 sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62. 13．[2015·江苏高考]已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝17－－1＋17－＝3.三、模拟小题14．[2017·河北唐山调研]sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝( ) A ．－12 B.32 C.22 D.12答案 D解析 sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝sin47°cos17°＋cos47°(－sin17°)＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12，故选D.15．[2017·合肥模拟]若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．7 B.17 C ．－7 D ．－17答案 B解析解法一：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即sin αcos βsin β－cos αsin 2β－cos αcos 2β－sin αsin βcos β＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B. 解法二：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B.16．[2016·洛阳统考]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3答案 B解析依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.17．[2017·江西九校联考]已知5sin2α＝6cos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )A ．－23 B.13 C.35 D.23答案 B解析由题意知10sin αcos α＝6cos α，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，cos α＝45，tan α2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13.18．[2017·长沙调研](1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)·(1＋tan18°)的值是( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 (1＋tan17°)(1＋tan28°)＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°，tan45°＝tan17°＋tan28°1－tan17°tan28°＝1，∴1＋tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝2，∴(1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)(1＋ta n18°)＝4，故选B.一、高考大题1．[2015·广东高考]已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．解 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3.(2)原式＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.2．[2014·江西高考]已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解 (1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.二、模拟大题3．[2016·深圳模拟]已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值； (2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解 (1)解法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α. 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，有1＋tan α1－tan α＝12.解得tan α＝－13.解法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtanπ4＝12－11＋12×1＝－13.(2)解法一：sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin α－cos α2cos α＝tan α－12＝－13－12＝－56.解法二：由(1)知tan α＝－13，得sin α＝－13cos α.∴sin 2α＝19cos 2α，1－cos 2α＝19cos 2α.∴cos 2α＝910.于是cos2α＝2cos 2α－1＝45，sin2α＝2sin αcos α＝－23cos 2α＝－35.∴sin2α－cos 2α1＋cos2α＝－35－9101＋45＝－56.4．[2017·广西南宁质检]已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin2x －cos2x )＋cos2x ＝12(sin2x ＋cos2x )＋12. 由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35，所以，f (α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得，f (x )＝12(sin2x ＋cos2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.5．[2017·合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求： (1)sin2α； (2)tan α－1tan α. 解 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2·－3212＝2 3.(或者∴2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝2 3.)6．[2017·江西八校联考]已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )＝2a ·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6.因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， ∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.。

2020高考数学核心突破《专题3 三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质》 (2)

专题三第1讲1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12 B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点，于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋ 2B ．32C ．6 2D ．－ 2解析由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f(3)＝2，f(4)＝0，f(5)＝－2，f(6)＝－2，f(7)＝－2，f(8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝2＋ 2.故选A.。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题附答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1)一、选择题1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形．故选C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π．其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】【分析】根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案．【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=，变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(,22o o o o B B +∈∴+∈，330))22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解．【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b cab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角．故选B ．【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．7．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．5-B ．CD 【答案】B 【解析】【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.8．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.9．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=，解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.10．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.11．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.12．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（） A ．12B ．14C 3D ．22【答案】A 【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 22111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（）ABCD【答案】A 【解析】【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u rsin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min 93555OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.14．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案. 【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.15．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =，当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.16．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．17．已知函数()3)(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟，故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈，故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.18．4cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ．【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.20．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈，又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数，所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-，则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。

高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课下层级训练20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(

课下层级训练(二十) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式[A 级基础强化训练]1．(2019·某某某某月考)计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( )A ．12 B ．33 C ．22D ．32A [－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝si n(47°－17°)＝sin 30°＝12.]2．若2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B ．32C ．233D ．2 3B [由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32.] 3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．23A [法一：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝12()1－sin 2α＝16. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22cos α－22sin α，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16.] 4．(2019·某某六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝ 1－cos 50°2，则有( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <bD [由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°，∴c <a <b .]5．(2019·某某某某模拟)若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )A ．－35B ．335C ．319D ．37D [由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得 tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°] ＝tan α＋80°－tan 60°1＋tan α＋80°tan 60°＝23－31＋23×3＝37.]6.sin 250°1＋sin 10°＝__________. 12[sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10° ＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12.]7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝__________.－1[cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1.] 8．(2019·某某某某统考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. －78 [依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.]9．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α－1－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.10．(2019·某某六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. [B 级能力提升训练]11．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.]12．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731D [由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725. ∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731.] 13．(2017·卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝__________.－79 [由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )， sin β＝sin α，cos β＝－cos α.又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.]14．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝__________.210 [∵α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35为正数， ∴α＋π6是锐角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝210.] 15．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝45.则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310. 16．(2019·某某枣庄质检)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4， π2(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值．解 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，∴1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425，又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725， ∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α＝255，∴sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.。

2020年高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第5讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件理

简写形式 Sα－β Cα－β
正切
Tα－β
2.二倍角的三角函数
三角函数
二倍角
正弦
sin 2α＝___2_s_in__α_c_o_s_α___
简写形式 S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切
T2α
3.降次公式
D
C B
考点 1 给角求值问题例1：(1)(2015 年新课标Ⅰ) sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝( )
第5讲两角和与差及二倍角的三角函数公式
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
1.两角和与差的三角函数
三角函数
两角和
正弦
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
余弦
cos(α＋β)＝_c_o_s_α__co_s__β_－__s_in__α_si_n__β_
简写式 Sα＋β Cα＋β
正切
Tα＋β
(续表) 三角函数正弦余弦
两角差 sin(α－β)＝sin αcos β－ cos αsin β cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
故选 D. 答案：D
答案：B
(3)(2015 年四川)sin 15°＋sin 75°＝________. 解析：方法一，sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝
【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已知角表示：

高考数学考点通关练第三章三角函数、解三角形与平面向量 18 同角三角函数基本关系式与诱导公式名师课件

B．
1 1＋k2
C．－
k 1＋k2
D．－
1 1＋k2
解析因为k＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，所
以tan40°＝－k，所以k<0，sin40°＝－kcos40°，sin140°＝
sin(180°－40°)＝sin40°，因为sin240°＋cos240°＝1，所以
k2cos240°＋cos240°＝1，所以cos40°＝
－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.
1 16．[2016·四川高考]sin750°＝____2____.
解析 sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.
三、模拟小题
17．[2017·沈阳育才中学模拟]已知锐角α满足5α的终边
上有一点P(sin(－50°)，cos130°)，则α的值为(
第2步精做大题·练能力
一、高考大题
本考点在近三年高考中未独立命题．
二、模拟大题
1．[2017·甘肃河西月考]已知
tanα tanα－6
＝－1，求下列各
式的值．
(1)23ccoossαα－＋34ssiinnαα； (2)1－3sinαcosα＋3cos2α.
解由tantaαn－ α 6＝－1，得tanα＝3. (1)23ccoossαα－＋34ssiinnαα＝23－＋34ttaannαα＝－175. (2)1－3sinαcosα＋3cos2α
D．sinα－cosα
解析
原式＝sin2α＋cos2
α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα 1＋sinα＋cosα
＝sin
α＋cosα2＋sinα＋cosα 1＋sinα＋cosα

202新数学复习第三章三角函数解三角形3.3.两角和与差的三角公式学案含解析

第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1。

利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。

S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。

T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

T2α：tan2α＝2tanα1－tanα错误!知识点二三角公式的变形技巧1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。

2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。

3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．4．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!知识点三三角恒等变换1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．2．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)(3)公式tan（α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）,且对任意角α，β都成立．（×)(4)公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（×)解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知（2)(3）（4)是错误的，(1）是正确的．2．小题热身(1)（2019·全国卷Ⅰ）tan255°＝(D)A．－2－错误!B．－2＋错误!C．2－错误!D．2＋错误!（2)若sinα＝错误!，则cos2α＝（B）A.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!(3）sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝错误!.(4）已知tan(α－错误!)＝错误!，则tanα＝错误!。

2020高考数学核心突破《专题三三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)

专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1．(1)要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( C ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数，再利用平移法则求解． (2)先求函数f (x )的解析式，再利用解析式求最值．解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度．故选C. (2)由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，14·2πω＝5π6－7π12，解得ω＝2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，可得2·7π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．突破点拨(1)由表中数据先写出A ，ω，φ的值，再由ωx ＋φ＝0，π，2π，求出其余值． (2)写出函数y ＝g (x )的解析式，由y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，利用整体思想建立关于θ的方程，根据k ∈Z 及θ＞0，求出θ的最小值．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点：一是函数名称是否一致；二是弄清由谁平移得到谁；三是左右的平移是自变量本身的变化．(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题，一般由函数的最值可确定A ，由函数的周期可确定ω，由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二三角函数的性质1. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．突破点拨(1)先将已知解析式化简，然后求解．(2)根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)与y ＝sin x 的关系求解．解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎝⎛⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 2. 设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．突破点拨(1)先用公式化简，再利用三角函数的性质求解． (2)将x ＝π8代入，求ω，则周期可求．解析由已知得f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，所以f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即f (x )取最大值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z . 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，其最小正周期为π.求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论．三角函数的综合应用【预测】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω＞0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．思维导航(1)解题导引：①先化简函数f (x )的解析式，再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式；②先求函数g (x )的解析式，再求在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． (2)方法指导：三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合，通过变换将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意整体思想的应用．规范解答(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2 ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)．根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1. 故函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数 g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象．根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. 【变式考法】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ (0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意，知 f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即y ＝g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .1．(教材回归)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意，故选A. 2．(2017·广西南宁质检)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度后，得到f (x )的图象，则( B )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称解析将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象对应的解析式为f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2－π3(k ∈Z )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称；令2x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称；f ⎝⎛⎭⎫7π3＝－12.故选B. 3．(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π；②直线x ＝π3是图象的一条对称轴；③在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数”的一个函数是( D )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3解析对于A 项，B 项，∵T ＝2π2＝π，故A 项，B 项不正确．对于C 项，若直线x ＝π3为其图象的一条对称轴，则π3×12＋π3＝k π，k ∈Z ，得π2＝k π，k ∈Z ，k 不存在，不满足题意，故C 项不正确．对于D 项，因为T ＝2π12＝4π，且由x 2＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π3，k ∈Z ；当k ＝0时，x ＝π3为图象的一条对称轴．由2k π＋π2≤x 2＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π3，4k π＋7π3，k ∈Z ，所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数，故D 项正确．故选D.4．(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数y ＝f (x )的图象向左平移4π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上的最大值为( C )A ．3B ．332C.322D ．22解析由图象可知函数y ＝f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3－π3＝4π， ∴ω＝12.又点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫0，－32在函数y ＝f (x )的图象上， ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，且|φ|<π2.∴φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， ∴g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－π6＝3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2，可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤－3，322，即g (x )的最大值为322.5．(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案 20.56．(高考改编)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是__②④__.解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，而⎣⎡⎦⎤0，π6⃘⎣⎡⎦⎤－512π＋k π，π12＋k π(k ∈Z )，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ，令－3＋a ＝3，得a ＝23，所以④正确．所以正确的判断为②④.7．(考点聚焦)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx ·cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 8．(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解析 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 9．(母题营养)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，求实数m 的最大值．解析 (1)因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ. 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得cos 2θ＝15.所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝2cos 2θ＋12(2cos 2θ－1)＝3cos 2θ－12＝110.(2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 依题意，得g (x )＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4，即g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，2m －π4. 又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以－π4＜2m －π4≤π2，即0＜m ≤3π8，故实数m的最大值为3π8.10．(母题营养)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域．解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，从而ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点，于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋2B ．32C ．62D ．－2解析由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2＋ 2.故选A.第2讲三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1．(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( A )A.17 B ．16C ．57D ．56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝( D )A.210B ．－210C ．－7210D ．7210突破点拨(1)注意到β＝(α＋β)－α，再结合已知条件求tan β的值． (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4，再实施运算．解析 (1)tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A.(2)∵α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45<32， ∴α＋π3是钝角，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35，cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫712π＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3·cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π4＝7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式，再利用同角三角函数基本关系式求解． (2)切化弦，转化为二倍角公式，再利用(1)的结论求解．解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin α cos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (2)降幂与升幂：通过二倍角公式得到． (3)弦、切互化：一般是切化弦．题型二解三角形1. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求解．(2)利用勾股定理得到边的一个方程，结合已知条件解方程组求得边长，然后求面积．解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.【变式考法】 (1)在本例条件下，求角B 的范围． (2)在本例条件下，若B ＝60°，b ＝2，求a 的值．解析 (1)因为b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －2ac2ac ＝0，又因为0<B <π，所以0<B ≤π2.(2)因为b 2＝2ac ，b ＝2，所以ac ＝1，又因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2＝3，所以a ＋c ＝5，所以a ＝5＋12或5－12. 2. △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．突破点拨(1)利用面积关系得边的关系，再利用正弦定理求解． (2)先利用面积比求BD ，再利用余弦定理求解．解析 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理，正弦定理可以将角转化为边，也可以将边转化成角，当涉及边的平方关系时，一般利用余弦定理，要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式，灵活选用．有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ，再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中，因为∠P AC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4，由余弦定理得PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos ∠P AC ，所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2AP ·(4－AP )·cos 60°，整理得AP 2－4AP ＋4＝0，解得AP ＝2，所以AC ＝2.所以△APC 是等边三角形，所以∠ACP ＝60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°.因为△APB 的面积是332，所以12AP ·PB ·sin ∠APB ＝332，所以PB ＝3.在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2AP ·PB ·cos ∠APB ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AB ＝19.在△APB 中，由正弦定理得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP，所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，AC <BC ，P 为BC 右上方一点，满足∠BPC ＝90°.(1)若BP ＝2，求AP 的长； (2)求△BPC 周长的最大值．解析由题意知1＝AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝2(BC ＝1舍去，则∠CAB ＝90°.又∠BPC ＝90°，且BP ＝2，所以∠PBC ＝45°，从而∠ABP ＝75°.连接AP ，由余弦定理得AP ＝3＋2－2×3×2×6－24＝6＋22. (2)由(1)可知BC ＝2或BC ＝1，又因为求△BPC 周长的最大值，所以BC ＝2，设BP ＝m ，PC ＝n ，则m 2＋n 2＝4.由于BC 长为定值，因此求△BPC 周长的最大值只需求BP ＋PC ＝m ＋n 的最大值即可．又4＝m 2＋n 2≥(m ＋n )22，则m ＋n ≤22，当且仅当m ＝n ＝2时取等号，此时△BPC 的周长取得最大值，为2＋2 2.1．(教材回归)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C＝2B ，则sin Bsin A＝( D )A.c 2a 2＋b 2－c 2 B ．b 2a 2＋b 2－c 2C.a 2a 2＋b 2－c2 D ．c 2a 2＋c 2－b2解析由已知，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以sin C sin B ＝2cos B ．由正弦定理及余弦定理，得c b ＝2×a 2＋c 2－b 22ac ，则b a ＝c 2a 2＋c 2－b2. 再由正弦定理，得sin B sin A ＝c 2a 2＋c 2－b 2，故选D.3．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.4．(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中，角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点，且CD ＝1，∠DBM ＝∠DMB ＝∠CAB ，则MA ＝__2__.解析如图，设∠DMB ＝θ，则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π2－2θ，∠AMB ＝π－θ，∠ABM ＝π2－2θ，在Rt △ABC 中，cos θ＝cos ∠CAB ＝ACAB ；在△CDA 中，由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ACsin 2θ；在△AMB 中，由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ABsin (π－θ)， ∴CD MA ＝AC ·sin θAB ·sin 2θ＝AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ＝12，从而MA ＝2. 5．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝__1__.解析在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos Ac ＝2×4×346＝1.6．(书中淘金)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB . ∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB ，得600sin 45°＝CBsin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.7．(考点聚焦)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值．解析 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 8．(教材回归)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 9．(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab . (1)若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；(2)若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C . 解析 (1)已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，结合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0，解得sin A ＝6±24. 因为0<A <π6，所以sin A <12，所以sin A ＝6－24.(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从而有3sin C ＋cos C ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1. 又π6<C ＋π6<7π6，所以C ＝π3.10．(2017·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理，得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3，因为a sin A ＝2sin π3＝43，所以由正弦定理得b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.方法二由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的取值范围．解析 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最大值为2，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a ，得a <2， ∴a 的取值范围是[1,2)．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解析 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A . ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.3．(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若C ＝2B ，求证：cos A ＝3cos B －4cos 3B ；(2)若b sin B －c sin C ＝a ，且△ABC 的面积S ＝b 2＋c 2－a 24，求角B .解析 (1)证明：∵C ＝2B ，∴A ＝π－3B ， ∴cos A ＝cos(π－3B )＝－cos(B ＋2B ) ＝－cos B cos 2B ＋sin B sin 2B ＝－cos B (2cos 2B －1)＋2sin 2B cos B＝cos B －2cos 3B ＋2cos B (1－cos 2B )＝3cos B －4cos 3B ， ∴cos A ＝3cos B －4cos 3B .(2)在△ABC 中，∵S ＝b 2＋c 2－a 24，∴S ＝b 2＋c 2－a 24＝12bc sin A .由余弦定理知b 2＋c 2－a 24＝12bc cos A ，∴12bc cos A ＝12bc sin A ，∴tan A ＝1，而A ∈(0，π)，∴A ＝π4.∵b sin B －c sin C ＝a ，由正弦定理，得 sin 2B －sin 2C ＝sin A ＝22， ∴cos 2C －cos 2B ＝ 2.∵2C ＝2π－2A －2B ＝3π2－2B ，∴－sin 2B －cos 2B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π4＝－1. ∵B ∈(0，π)，∴2B ＋π4＝3π2，∴B ＝5π8.4．(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，12，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2－cos A ＝12，bc ＝1，b ＋c ＝3，求a 的值．解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0，12代入f (x )的解析式，得sin φ＝12. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.又因为最小正周期T ＝π2×2＝π，所以ω＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以π6≤2x ＋π6≤13π6，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2或2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤3π2，13π6时，f (x )递增，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，π时，f (x )递增．所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6－cos A ＝32sin A ＋12cos A －cos A ＝32sin A －12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，所以A －π6＝π6或5π6，即A ＝π3或A ＝π(舍去)．又因为bc ＝1，b ＋c ＝3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝6，所以a ＝ 6. 5．(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．解析 (1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ，∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3.(2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1，又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6，∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 6．(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析 (1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ，∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ，即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2， ∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.第3讲平面向量题型一向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题：1. (1)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋k c)∥(2b－a)，则k＝－1613.(2)如图，E为平行四边形ABCD的边DC的中点，F为△ABD的重心，且AB→＝a，AD→＝b，则FE→＝23b＋16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解．(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解．解析(1)因为(a＋k c)∥(2b－a)，又a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－1613.(2)由F为△ABD的重心，得AF→＝23×12AC→＝13(a＋b)．又AE→＝AD→＋DE→＝b＋12a，所以FE→＝AE→－AF→＝23b＋16a.2．(1)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝12，y＝－16.(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__－3__.突破点拨(1)画出图形，利用向量加减法则求解．(2)利用向量的坐标运算求解．。

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第21讲两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理

D．－1
• 解析：原式＝sin 20°cos 70°－cos(180°－20°)sin 70° ＝sin 20°·cos 70°＋cos 20°sin 70°＝sin(20°＋70°)＝
sin 90°＝1.
2．(2017·四川成都模拟)已知锐角 α 满足 cos 2α＝cosπ4－α，则 sin 2α＝( A )
(2)(2015·广东卷)已知 tan α＝2，求值：
①tan
α＋π4；②sin2α＋sin
sin 2α αcos α－cos
2α－1.
解析：(1)∵α 为锐角，∴sin α＝
1－172＝4
7
3 .
∵α，β∈0，π2，∴0<α＋β<π.
又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2，∴cos(α＋β)＝－1114.
10°
＝sin 50°·ccooss6600°°c－os1100°°＝2sinc5o0s°1c0o°s 50°＝scions11000°°＝ccooss 1100°°＝1.
•二三角函数的条件求值
• 解三角函数求值问题的一般步骤 • (1)解给值求值问题的一般步骤： • ①化简条件式子或待求式子； • ②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数
所以
sin
α
＝
sin
α＋π6－π6
＝
sin
α＋π6
·cos
π 6
－
cos
α＋π6
·sin
π 6
＝
4 5
×
3 2
－ 35 ×
12 ＝
4 3－3 10 .
• 1．计算sin 20°cos 70°－cos 160°sin 7C0°的值为( )

小题透析-三角函数、解三角形与平面向量-【高考倒计时15天考前过关】2023年高考数学(新高考专用)

2
要点归纳
2.诱导公式的规律
三角函数的诱导公式可概括为“奇变偶不变,符号看象限”.其中“奇变偶不变”
π
的奇、偶分别是指2的奇数倍、偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.
要点归纳
3.与三角函数的奇偶性相关的结论
π
(1)若 y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+ (k∈Z);若 y=Asin(ωx+φ)为奇函数,
则 cos θ=
·
| ||b|
=
1 2+ 1 2
2
2
1+ 1
2
2
2+ 2
.
要点归纳
(7)三角形“四心”向量形式的充要条件
设 O 为△ABC 所在平面上一点,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,则
①O 为△ABC 的外心⇔|
|=|
②O 为△ABC 的重心⇔
+
③O 为△ABC 的垂心⇔
·
④O 为△ABC 的内心⇔a
取出来.
要点归纳
7.三角恒等变换的常用结论
1+cos2
1-cos2
2
2
(1)降幂公式:cos2α=
,sin2α=
.
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(4)辅助角公式:asin x+bcos x=
2+ 2
, cos
=
2+ 2
.
2
+
2 sin(x+φ)
其中 sin

2020年高考数学(文数)选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数含答案

（文数）选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）A. y=±2xB. y=±xC. y=±xD. y=±x2.已知焦点为F的抛物线的方程为，点Q的坐标为（3,4），点P在抛物线上，则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为（）A. 3B.C.D. 73.过双曲线的左焦点作倾斜角为30°的直线l，若l与y轴的交点坐标为（0，b），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4.椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为（0，），则实数m=（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，经过点P（2，-），渐近线方程为y=x的双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.6.设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7.已知四棱锥E-ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED=1，平面ECD⊥平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A. B. C. D. 18.已知正方形ABCD的边长为2，CD边的中点为E，现将△ADE，△BCE分别沿AE，BE折起，使得C，D两点重合为一点记为P，则四面体P-ABE外接球的表面积是（）A. B. C. D.9.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称10.要得到函数y＝-sin3x的图象，只需将函数y＝sin3x＋cos3x的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b=( )A. B. C. D.12.在中，角的对边分别是，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形13.函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 414.已知函数f(x)＝(x<－1)，则()A. f(x)有最小值4B. f(x)有最小值－4C. f(x)有最大值4D. f(x)有最大值－415.若曲线y＝x2与曲线y＝a ln x在它们的公共点P处具有公共切线，则实数a等于()A. 1B.C. －1D. 2答案和解析1.【答案】C【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e==2，即有c=2a，由c2=a2+b2，可得b2=3a2，即b=a，则渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：C．运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系可得b=a，再由近线方程y=±x，即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义，属于中档题．利用抛物线的定义进行转化，可知当三点共线时满足题设最小要求．【解答】解：如图所示:抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=-1,过点P作PM⊥l，垂足为M,则|PM|=|PF|,因为Q（3，4）在抛物线外，因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值,也即|PM|+|PQ|最小∴（|PM|+|PQ|）min=（|PF|+|PQ|）min=|QF|=.则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为．故选B．3.【答案】A【解析】解：直线l的方程为，令x=0，得．因为，所以a2=c2-b2=3b2-b2=2b2，所以．故选：A．求出直线方程，利用l与y轴的交点坐标为（0，b），列出关系式即可求解双曲线的离心率．本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力．4.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的性质及其几何意义的应用，是基本知识的考查，基础题．【解答】解：椭圆2x2-my2=1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m=，故选：A．5.【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y=x，设双曲线方程为：，双曲线经过点P（2，-），则有8-1=a，解可得a=7，则此时双曲线的方程为：，故选：B．设出双曲线的方程，经过点P（2，-），求出a的值，即可得双曲线的方程．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，注意双曲线离心率公式的应用．6.【答案】A【解析】解：当α∥β 时，因为m，n⊂α，故能推出m∥β且n∥β，故充分性成立．当m∥β且n∥β 时，m，n⊂α，若m，n是两条相交直线，则能推出α∥β，若m，n不是两条相交直线，则α与β 可能相交，故不能推出α∥β，故必要性不成立．故选：A．由面面平行的性质得，充分性成立；由面面平行的判定定理知，必要性不成立．本题考查平面与平面平行的判定和性质，充分条件、必要条件的定义域判断方法．7.【答案】B【解析】解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积==．故选：B．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．即可得出此时该四棱锥的体积．本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：如图，PE⊥PA，PE⊥PB，PE=1，△PAB是边长为2的等边三角形，设H是△PAB的中心，OH⊥平面PAB，O是外接球的球心，则OH=，PH=，则．故四面体P-ABE外接球的表面积是S=．故选：C．由题意画出图形，找出四面体P-ABE外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析，进行解答.【解答】解：将f（x）=2x的图象向右平移个单位，得g（x）=2（x-）=（2x-）=-2x，则g（x）为偶函数，在上单调递增，故A正确，g（x）的最大值为1，对称轴为2x=kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，当k=1，图象关于x=对称，故B错误,由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，函数g（x）单调递增，∴kπ≤x≤kπ+，k∈Z，∴g（x）在上不是单调函数，故C错误,函数的周期T=π，不关于点对称，故D错误 .故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象的平移变换，是基础题.由条件利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：因为，所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选C.11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式，是基础题．先求出sin B，再根据正弦定理求解即可.【解答】解：在△ABC中，，，则，，=，，.故选B．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与三角函数化简运算的能力，属于中档题．化简，得出A=或B=A，即可求解.【解答】解：∵c-a cos B=（2a-b）cos A，C=π-（A+B），∴由正弦定理得：sin C-sin A cos B=2sin A cosA-sin B cos A，∴sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=2sin A cosA-sin B cos A，∴cos A（sin B-sin A）=0，∴cos A=0，或sin B=sin A，∵在中，角的取值范围均为，∴A=或B=A或B=π-A（舍去），故选D．13.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点的求法，零点个数问题，考查数形结合以及计算能力，转化思想的应用．转化函数零点问题为方程的根的问题，通过两个函数的图象交点个数判断求解即可．【解答】解：函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数．令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，画出两函数的图象，如图．由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2x|＋x－2＝0的解的个数为2.故选B.14.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求函数最值的知识，属于中档题.利用“配凑”将函数化为基本不等式的形式，然后根据基本不等式进行计算即可.【解答】解：f(x)＝＝－＝－＝－＝－(x＋1)＋＋2，因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f(x)≥2＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．故f(x)有最小值4.故选A.15.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题.利用导数的几何意义求切线的斜率以及切线方程，即可得结论.【解答】解：∵曲线的导数为，∴在P（s，t）处的斜率为，又∵曲线y=a ln x的导数为，∴在P（s，t）处的斜率为,∴曲线与曲线y=a ln x在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，∴，并且，t=a ln s，即，∴，解得s2=e，∴a=1.故选A.。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第3讲

第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．已知sin(π2＋α)＝12，－π2<α<0，则cos(α－π3)的值是________．[解析] 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos(α－π3)＝12cos α＋32sin α＝－12.[答案] －122．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ＝________．[解析] 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.[答案] －7253．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A ＝________．[解析] tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－－2＋131－（－2）×13＝1.故A ＝π4.[答案] π44．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. [解析] tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan （α＋β）·tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.[答案] 3225．(2018·重庆巴蜀中学期中改编)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，则sin 2A ＝________．[解析] 由3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1得tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－33，又因为B ，C 为三角形内角，所以B ＋C ＝150°，A ＝30°，2A ＝60°，所以sin 2A ＝32. [答案]326．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(一))若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，则sin 2α＝________. [解析] cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝－14，则34cos 2α＋14sin 2α＝－14，可得⎩⎨⎧3cos 2α＋sin 2α＝－1，cos 22α＋sin 22α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，解得cos 2α＝－32，sin 2α＝12. [答案] 127.3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°＝________．[解析] 原式＝3sin 12°cos 12°－32（2cos 212°－1）sin 12° ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin （－48°）2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.[答案] －4 38．设θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________．[解析] 法一：由θ在第二象限，且tan(θ＋π4)＝12，因而sin(θ＋π4)＝－55，因而sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝－105.法二：如果将tan(θ＋π4)＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝12，求得tanθ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105. [答案] －1059．(2018·苏锡常镇四市高三调研)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________．解析：由sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6得2sin α＝33sin α＋3cos α，则(2－33)sin α＝3cos α，tan α＝sin αcos α＝32－33＝－3（2＋33）23，又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－3（2＋33）23＋2－31＋3（2＋33）（2－3）23＝23－4.答案：23－410．若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________．[解析] 因为0<α<π2，－π2<β<0，所以π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2，所以sin(π4＋α)＝1－19＝223，sin(π4－β2)＝ 1－13＝63，所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝539. [答案] 53911．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．[解] 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (π6)的值；(2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24)．[解] (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)，所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4)＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α)．因为sin α＝35，且α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45)＝10＋32－4620.1．(2018·江苏省四校联考)已知sin 2α＝13，则1tan α－1tan 2α的值为________．[解析] 因为1tan α－1tan 2α＝cos αsin α－cos 2αsin 2α＝sin 2αcos α－cos 2αsin αsin α·sin 2α＝1sin 2α＝3.[答案] 32．化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________．[解析] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12（1－sin 22x ）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[答案] 12cos 2x3．(2018·江苏省模拟考试)已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．[解析] 由cos(α＋β)＝sin αsin β得sin α＝sin βcos(α＋β)，即sin α＝sin βcosαcos β－sin 2βsin α，所以sin α(1＋sin 2β)＝sin βcos αcos β，可以化为sin αcos α＝sin βcos β1＋sin 2β，即tan α＝sin βcos β1＋sin 2β，也可以化为tan α＝sin βcos β2sin 2β＋cos 2β＝12tan β＋1tan β，因为β为锐角，所以tan β>0，所以tan α＝12tan β＋1tan β≤122tan β·1tan β＝24(当且仅当2tan β＝1tan β，即tan β＝22时取等号)，即tan α的最大值为24. [答案]244．如图所示，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知PA ＝5，PB ＝3，PC ＝1527，设∠APB ＝α，∠APC ＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．[解析] 因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以∠ABP ＝90°，所以cos α＝PB PA ＝35，sin α＝45，tan α＝43.因为cos ∠CPB ＝cos(α－β)＝PB PC ＝31527＝7210，所以sin(α－β)＝210，所以tan(α－β)＝17，tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝1.又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.[答案] π45．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－43＋310.6．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [解] (1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1，3]． (2)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.因为cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝cos α＋sin α2cos α，所以原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.。

2020高考数学刷题首秧第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试21两角和与差的正弦文含解析

考点测试两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、基础小题．设α，β是方程－＋＝的两根，则(α＋β)的值为( ) ．－．－．．答案解析由题意可知α＋β＝，αβ＝，(α＋β)＝＝－．故选．．若＝－，则α＋α的值为( )．－．－．．答案解析依题意得＝－(α＋α)＝－，所以α＋α＝．故选．．化简°°－°°的值为( )．．．－．－解析°°－°°＝°°－°°＝(°＋°)＝°＝，故选．．下列各式中，值为的是( )．°° ．°－°．°－．°＋°答案解析°°＝°＝，°－°＝°＝，°－＝－°＝－，°＋°＝．故选．．已知－＝，则＝( )．．．－．－答案解析解法一：因为－＝＋·＝(＋)＝，所以＋＝，＋＋＝，则＝－，即＝－．故选．解法二：＝－－＝－＝－－＝×－＝－．故选．．已知α－＋α＝，则α＋＝( )．－．．－．答案解析因为α－＋α＝，所以α＋α＋α＝，即α＋α＝，所以α＋＝，所以α＋＝－α＋＝－．故选．．已知α＝－，(α＋β)＝，则β的值为．答案解析β＝(α＋β－α)＝＝＝．．求值：＝．答案解析原式＝二、高考小题．(·全国卷Ⅲ)已知α－α＝，则α＝( )．－．－．．答案解析∵(α－α)＝－αα＝－α＝＝，∴α＝－．故选．．(·全国卷Ⅲ)若α＝，则α＝( )．．．－．－答案解析α＝－α＝－＝，故选．．(·全国卷Ⅱ)已知α－＝，则α＝．答案解析α－＝＝＝，解方程得α＝．．(·全国卷Ⅰ)已知α∈，，α＝，则α－＝．答案解析因为α∈，，且α＝＝，所以α＝α，又α＋α＝，所以α＝，α＝，则α－＝α＋α＝(α＋α)＝．．(·四川高考)－＝．答案解析由二倍角公式易得－＝＝．三、模拟小题．(·河北唐山调研)°°＋°(°＋°)＝( )．－．．．解析°°＋°(°＋°)＝°·°＋°(－°)＝(°－°)＝°＝．故选．．(·江西南昌一模)已知角α的终边经过点(°，°)，则(α－°)＝( )．．．－．－答案解析由三角函数的定义可知：α＝＝°，α＝＝°，则(α－°)＝α°－α°＝°°－°°＝(°＋°)＝°＝．故选．．(·广东省际名校联考二)若α＋＝，则－α＝( )．．－．．－答案解析∵α＋＝，∴α＋＝－α＋＝－α＝，∴－α＝－－α＝－．故选．．(·山西长治二模)已知α＝，α∈，，则α＋的值为( )．．．．答案解析∵α＝，α∈，，∴α＝，α＝αα＝××＝＝，α＝－α＝－×＝－＝，∴α＋＝×－×＝．故选．．(·河南洛阳二模)已知α＋α＝，则α＝．答案解析由α＋α＝，得α＋α＋α·α＝＋α＝，所以α＝，从而α＝－α＝－×＝．一、高考大题．(·江苏高考)已知α，β为锐角，α＝，(α＋β)＝－．()求α的值；()求(α－β)的值．解()因为α＝，α＝，所以α＝α．因为α＋α＝，所以α＝，所以α＝α－＝－．()因为α，β为锐角，所以α＋β∈(，π)．又因为(α＋β)＝－，所以(α＋β)＝＝，因此(α＋β)＝－．因为α＝，所以α＝＝－．因此(α－β)＝[α－(α＋β)]＝＝－．二、模拟大题．(·河北唐山调研)已知函数()＝＋，∈，且＝．()求的值；()若(θ)－(－θ)＝，θ∈，，求－θ的值．解()由＝，即＋＝，可得＝＝，解得＝．()由(θ)－(－θ)＝θ＋－－θ＋＝θ＝，解得θ＝．因为θ∈，，所以θ＝＝，所以－θ＝－θ＝θ＝×＝．．(·合肥质检)已知＝－，α∈，求：()α；()α－．解()＝＝＝－，即＝－．又因为α∈，故α＋∈，从而＝－，所以α＝α＋－＝－＝．()∵α∈，，∴α∈，π．又由()知α＝，∴α＝－，∴α－＝－＝＝＝－×＝．或者由()知α＋＝，所以α＝，所以α＝＝，α＝＝－，所以α－＝－＝＝＝．．(·山东桓台第二中学月月考)已知函数()＝＋(＋θ)为奇函数，且＝，其中∈，θ∈(，π)．()求，θ的值；()若α∈，π，＋＋α＋α＝，求α－α的值．解()因为()＝＋(＋θ)是奇函数，所以＋(＋θ)＝－＋·(－＋θ)，化简，整理得，θ＝，则有θ＝，由θ∈(，π)，得θ＝，所以()＝－＋．由＝，得－(＋)＝，即＝－．()由()知()＝－，＋＋α＋α＝⇒α＋＝α＋α，因为α＝α＋＝α＋＝α＋α＋，所以α＋＝α＋α＋．又α∈，π，所以α＋＝或α＋＝．由α＋＝⇒α＝，所以α－α＝－＝－；由α＋＝，<α＋<，得α＋＝－⇒(α－α)＝－⇒α－α＝－．综上，α－α＝－或α－α＝－．．(·广西南宁质检)已知()＝－．()若α＝，求(α)的值；()若∈，求()的取值范围．解()()＝(＋)＋·＝＋＋＝＋(－)＋＝(＋)＋．由α＝，得α＝＝＝，α＝＝＝－，所以，(α)＝(α＋α)＋＝．()由()得，()＝(＋)＋＝＋．由∈，得≤＋≤．所以－≤≤≤()≤，所以()的取值范围是．。

2020高考数学刷题首秧第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试21两角和与差的

考点测试21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、根底小题1．设tan α ,tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根 ,那么tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 A解析由题意可知tan α＋tan β＝3 ,tan αtan β＝2 ,tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3．应选A ．2．假设cos2αsin α－π4＝－22,那么cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12 C ．12 D ．72答案 C 解析依题意得cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22,所以cos α＋sin α＝12．应选C ．3．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( )A ．12B ．32C ．－12D ．－32 答案 A解析 cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12,应选A ．4．以下各式中 ,值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215° 答案 B解析 2sin15°cos15°＝sin30°＝12 ,cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32 ,2sin 215°－1＝－cos30°＝－32,sin 215°＋cos 215°＝1．应选B ． 5．cos π4－x ＝35 ,那么sin2x ＝( )A ．1128B ．725C ．－725D ．－1625 答案 C解析解法一：因为cos π4－x ＝cos π4cos x ＋sin π4·sin x ＝22(cos x ＋sin x )＝35 ,所以cos x ＋sin x ＝325 ,cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos x ＝1825 ,那么2sin x cos x ＝－725 ,即sin2x ＝－725．应选C ．解法二：sin2x ＝sin π2－2π4－x ＝cos2π4－x ＝2cos 2π4－x －1＝2×352－1＝－725．应选C ．6．cos α－π6＋sin α＝435 ,那么sin α＋7π6＝( )A ．－235B ．235C ．－45D ．45答案 C解析因为cos α－π6＋sin α＝435 ,所以32cos α＋12sin α＋sin α＝435 ,即12cos α＋32sin α＝45 ,所以sin α＋π6＝45 ,所以sin α＋7π6＝－sin α＋π6＝－45．应选C ． 7．tan α＝－2 ,tan(α＋β)＝17 ,那么tan β的值为________．答案 3解析 tan β＝tan(α＋β－α)＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3．8．求值：cos10°－3sin10°sin20°＝________．答案 2解析原式＝212cos10°－32sin10°sin20°＝2sin (30°－10°)sin20°＝2．二、高|考小题9．(2021·全国卷Ⅲ)sin α－cos α＝43 ,那么sin2α＝( )A ．－79B ．－29C ．29D ．79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin2α＝432＝169 ,∴sin2α＝－79．应选A ．10．(2021·全国卷Ⅲ)假设sin α＝13 ,那么cos2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89 答案 B解析 cos2α＝1－2sin 2α＝1－29＝79,应选B ．11．(2021·全国卷Ⅱ)tan α－5π4＝15 ,那么tan α＝________．答案 32解析 tan α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·ta n5π4＝tan α－11＋tan α＝15 ,解方程得tan α＝32．12．(2021·全国卷Ⅰ)α∈0 ,π2 ,tan α＝2 ,那么cos α－π4＝________．答案31010解析因为α∈0 ,π2 ,且tan α＝sin αcos α＝2 ,所以sin α＝2cos α ,又sin 2α＋cos 2α＝1 ,所以sin α＝255 ,cos α＝55 ,那么cos α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(sin α＋cos α)＝31010．13．(2021·四川高|考)cos2π8－sin 2π8＝________．答案22解析由二倍角公式易得cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22．三、模拟小题14．(2021·河北唐山调研)sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝( ) A ．－12 B ．32 C ．22 D ．12答案 D解析 sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝sin47°·cos17°＋cos47°(－sin17°)＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12．应选D ．15．(2021·江西南昌一模)角α的终边经过点P (sin47° ,cos47°) ,那么sin(α－13°)＝( )A ．12B ．32C ．－12D ．－32 答案 A解析由三角函数的定义可知： sin α＝cos47°sin 247°＋cos 247°＝cos47° , cos α＝sin47°sin 247°＋cos 247°＝sin47° ,那么sin(α－13°)＝sin αcos13°－cos αsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝12．应选A ．16．(2021·广东省际名校联考二)假设cos α＋π3＝45 ,那么cos π3－2α＝( )A ．2325B ．－2325C ．725D ．－725 答案 D 解析 ∵cos α＋π3＝45 ,∴cos α＋π3＝sin π2－α＋π3＝sin π6－α＝45 ,∴cos π3－2α＝1－2sin2π6－α＝－725．应选D ． 17．(2021·山西长治二模)sin α＝1010 ,α∈0 ,π2 ,那么cos2α＋π6的值为( ) A ．43－310 B ．43＋310 C ．4－3310 D ．33－410答案 A 解析 ∵sin α＝1010 ,α∈0 ,π2 ,∴cos α＝31010 ,sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35 ,cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×10102＝1－15＝45 ,∴cos2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310．应选A ． 18．(2021·河南洛阳二模)sin α＋cos α＝52,那么cos4α＝________．答案 78解析由sin α＋cos α＝52 ,得sin 2α＋cos 2α＋2sin α·cos α＝1＋sin2α＝54,所以sin2α＝14 ,从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×142＝78．一、高|考大题1．(2021·江苏高|考)α ,β为锐角 ,tan α＝43 ,cos(α＋β)＝－55．(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43 ,tan α＝sin αcos α ,所以sin α＝43cos α．因为sin 2α＋cos 2α＝1 ,所以cos 2α＝925 ,所以cos2α＝2cos 2α－1＝－725．(2)因为α ,β为锐角 ,所以α＋β∈(0 ,π)．又因为cos(α＋β)＝－55, 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255 ,因此tan(α＋β)＝－2．因为tan α＝43 ,所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247．因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan (α＋β)1＋tan2αtan (α＋β)＝－211．二、模拟大题2．(2021·河北唐山调研)函数f (x )＝A sin x ＋π3 ,x ∈R ,且f 5π12＝322．(1)求A 的值；(2)假设f (θ)－f (－θ)＝ 3 ,θ∈0 ,π2 ,求f π6－θ的值．解 (1)由f 5π12＝322 ,即A sin 5π12＋π3＝322 ,可得A sin 3π4＝2A 2＝322,解得A ＝3．(2)由f (θ)－f (－θ)＝3sin θ＋π3－3sin －θ＋π3＝3sin θ＝ 3 ,解得sin θ＝33．因为θ∈0 ,π2,所以cos θ＝1－332＝63, 所以f π6－θ＝3sin π2－θ＝3cos θ＝3×63＝6．3．(2021·合肥质检)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14 ,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 π2 ,求：(1)sin2α；(2)tan α－1tan α．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14 ,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12．又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3π2,故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π 4π3 ,从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32 ,所以sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12．(2)∵α∈π3 ,π2 ,∴2α∈2π3 ,π．又由(1)知sin2α＝12 ,∴cos2α＝－32,∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23．或者由(1)知2α＋π3＝7π6 ,所以α＝5π12 ,所以sin2α＝sin 5π6＝12,cos2α＝cos 5π6＝－32 ,所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝23．4．(2021·山东桓台第二中学4月月考)函数f (x )＝a ＋2cos 2x2cos(x ＋θ)为奇函数 ,且f π2＝0 ,其中a ∈R ,θ∈(0 ,π)．(1)求a ,θ的值；(2)假设α∈π2 ,π ,f α2＋π8＋25cos α＋π4cos2α＝0 ,求cos α－sin α的值．解 (1)因为f (x )＝a ＋2cos 2x2cos(x ＋θ)是奇函数 ,所以a ＋2cos 2x2cos(x ＋θ)＝－a＋2cos 2x2·cos(－x ＋θ) ,化简 ,整理得 ,cos x cos θ＝0 ,那么有cos θ＝0 , 由θ∈(0 ,π) ,得θ＝π2 ,所以f (x )＝－sin xa ＋2cos 2x2．由f π2＝0 ,得－(a ＋1)＝0 ,即a ＝－1．(2)由(1)知f (x )＝－12sin2x ,f α2＋π8＋25cos α＋π4cos2α＝0⇒sin α＋π4＝45cos α＋π4cos2α ,因为cos2α＝sin2α＋π2＝sin2α＋π4＝2sin α＋π4cos α＋π4,所以sin α＋π4＝85cos 2α＋π4sin α＋π4．又α∈π2,π ,所以sin α＋π4＝0或cos 2α＋π4＝58．由sin α＋π4＝0⇒α＝3π4,所以cos α－sin α＝cos 3π4－sin 3π4＝－2；由cos 2α＋π4＝58 ,3π4<α＋π4<5π4 ,得cos α＋π4＝－522⇒12(cos α－sin α)＝－522⇒cos α－sin α＝－52．综上 ,cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52． 5．(2021·广西南宁质检)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4． (1)假设tan α＝2 ,求f (α)的值；(2)假设x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12 π2 ,求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin2x －cos2x )＋cos2x ＝12(sin2x ＋cos2x )＋12．由tan α＝2 ,得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45 , cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35 , 所以 ,f (α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35．(2)由(1)得 ,f (x )＝12(sin2x ＋cos2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12．由x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12 π2 ,得5π12≤2x ＋π4≤5π4．所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12 , 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 2＋12．。

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考点测试21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、基础小题1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 A解析由题意可知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3．故选A ．2．若cos2αsin α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12 C ．12 D ．72答案 C 解析依题意得cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，所以cos α＋sin α＝12．故选C ． 3．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( ) A ．12 B ．32 C ．－12 D ．－32 答案 A解析 cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12，故选A ． 4．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215° 答案 B解析 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，2sin 215°－1＝－cos30°＝－32，sin 215°＋cos 215°＝1．故选B ．5．已知cos π4－x ＝35，则sin2x ＝( )A ．1128B ．725C ．－725D ．－1625 答案 C解析解法一：因为cos π4－x ＝cos π4cos x ＋sin π4·sin x ＝22(cos x ＋sin x )＝35，所以cos x ＋sin x ＝325，cos 2x＋sin 2x ＋2sin x cos x ＝1825，则2sin x cos x ＝－725，即sin2x ＝－725．故选C ．解法二：sin2x ＝sin π2－2π4－x ＝cos2π4－x ＝2cos 2π4－x －1＝2×352－1＝－725．故选C ．6．已知cos α－π6＋sin α＝435，则sin α＋7π6＝( )A ．－235B ．235C ．－45D ．45答案 C解析因为cos α－π6＋sin α＝435，所以32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即12cos α＋32sin α＝45，所以sin α＋π6＝45，所以sin α＋7π6＝－sin α＋π6＝－45．故选C ．7．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3解析 tan β＝tan(α＋β－α)＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3．8．求值：cos10°－3sin10°sin20°＝________．答案 2解析原式＝212cos10°－32sin10°sin20°＝2sin (30°－10°)sin20°＝2．二、高考小题9．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29C ．29D ．79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin2α＝432＝169，∴sin2α＝－79．故选A ．10．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89 答案 B解析 cos2α＝1－2sin 2α＝1－29＝79，故选B ．11．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan α－5π4＝15，则tan α＝________．答案 32解析 tan α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·tan5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32．12．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tan α＝2，则cos α－π4＝________．答案31010解析因为α∈0，π2，且tan α＝sin αcos α＝2，所以sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55，则cos α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(sin α＋cos α)＝31010． 13．(2016·四川高考)cos2π8－sin 2π8＝________．答案22解析由二倍角公式易得cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22．三、模拟小题14．(2018·河北唐山调研)sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝( ) A ．－12 B ．32 C ．22 D ．12答案 D解析 sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝sin47°·cos17°＋cos47°(－sin17°)＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12．故选D ．15．(2018·江西南昌一模)已知角α的终边经过点P (sin47°，cos47°)，则sin(α－13°)＝( ) A ．12 B ．32 C ．－12 D ．－32 答案 A解析由三角函数的定义可知： sin α＝cos47°sin 247°＋cos 247°＝cos47°， cos α＝sin47°sin 247°＋cos 247°＝sin47°，则sin(α－13°)＝sin αcos13°－cos αsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝12．故选A ．16．(2018·广东省际名校联考二)若cos α＋π3＝45，则cos π3－2α＝( )A ．2325B ．－2325C ．725D ．－725 答案 D解析 ∵cos α＋π3＝45，∴cos α＋π3＝sin π2－α＋π3＝sin π6－α＝45，∴cos π3－2α＝1－2sin 2π6－α＝－725．故选D ． 17．(2018·山西长治二模)已知sin α＝1010，α∈0，π2，则cos2α＋π6的值为( ) A ．43－310 B ．43＋310 C ．4－3310 D ．33－410答案 A解析 ∵sin α＝1010，α∈0，π2，∴cos α＝31010，sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×10102＝1－15＝45，∴cos2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310．故选A ． 18．(2018·河南洛阳二模)已知sin α＋cos α＝52，则cos4α＝________．答案 78解析由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin α·cos α＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×142＝78．一、高考大题1．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55．(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α．因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－725．(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，因此tan(α＋β)＝－2．因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247．因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan (α＋β)1＋tan2αtan (α＋β)＝－211．二、模拟大题2．(2019·河北唐山调研)已知函数f (x )＝A sin x ＋π3，x ∈R ，且f 5π12＝322．(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈0，π2，求f π6－θ的值．解 (1)由f 5π12＝322，即A sin 5π12＋π3＝322，可得A sin 3π4＝2A 2＝322，解得A ＝3．(2)由f (θ)－f (－θ)＝3sin θ＋π3－3sin －θ＋π3＝3sin θ＝3，解得sin θ＝33．因为θ∈0，π2，所以cos θ＝1－332＝63，所以f π6－θ＝3sin π2－θ＝3cos θ＝3×63＝6．3．(2018·合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求： (1)sin2α； (2)tan α－1tan α．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12．又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，所以sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12．(2)∵α∈π3，π2，∴2α∈2π3，π．又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23．或者由(1)知2α＋π3＝7π6，所以α＝5π12，所以sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝23． 4．(2018·山东桓台第二中学4月月考)已知函数f (x )＝a ＋2cos 2x 2cos(x ＋θ)为奇函数，且f π2＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若α∈π2，π，f α2＋π8＋25cos α＋π4cos2α＝0，求cos α－sin α的值．解 (1)因为f (x )＝a ＋2cos 2x2cos(x ＋θ)是奇函数，所以a ＋2cos 2x2cos(x ＋θ)＝－a ＋2cos 2x2·cos(－x ＋θ)，化简，整理得，cos x cos θ＝0，则有cos θ＝0，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin xa ＋2cos 2x2．由f π2＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1．(2)由(1)知f (x )＝－12sin2x ，f α2＋π8＋25cos α＋π4cos2α＝0⇒sin α＋π4＝45cos α＋π4cos2α，因为cos2α＝sin2α＋π2＝sin2α＋π4＝2sin α＋π4cos α＋π4，所以sin α＋π4＝85cos 2α＋π4sin α＋π4．又α∈π2，π，所以sin α＋π4＝0或cos 2α＋π4＝58．由sin α＋π4＝0⇒α＝3π4，所以cos α－sin α＝cos 3π4－sin 3π4＝－2；由cos 2α＋π4＝58，3π4<α＋π4<5π4，得cos α＋π4＝－522⇒12(cos α－sin α)＝－522⇒cos α－sin α＝－52．综上，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52． 5．(2018·广西南宁质检)已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4． (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin2x －cos2x )＋cos2x ＝12(sin2x ＋cos2x )＋12．由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35，所以，f (α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35．(2)由(1)得，f (x )＝12(sin2x ＋cos2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4．所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12．。