24.3锐角三角函数导学案
锐角三角函数导学案
25.2.1 锐角三角函数学习目标：1、理解正弦、余弦、正切、余切的概念；2、正弦、余弦、正切、余切的应用学习重点：正弦，余弦，正切、余切的概念学习难点：正弦、余弦、正切、余切的应用前置性作业：一、知识回顾1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c.(1)若a=3,b=4,则c= . (2)若a=3,c=4,则b= .2、小明放一个线长为120米的风筝，他的风筝线与水平地面构成30°角，他的风筝高度为多少？二、自主学习，合作探究1、概念学习如图，在Rt△ABC中，∠B的对边是，∠B的邻边是，AB称为。
2、大胆猜想，合理推证（1）在方格纸中，画一个锐角∠MAN，再在射线AM上任取两点B1 B2，并分别过B1＼B2作Ｂ１Ｃ１⊥ＡＮ，作Ｂ２Ｃ２⊥ＡＮ，垂足＼为C1、C2MN①测量并比较大小： ,②若改变∠MAN的大小，①中的结论还成立吗？从中你发现了什么？并将所得结果与你的同伴进行比较,（2）对于上述结论一定成立吗？能否给出证明？（3）在Rt△AB中，对于锐角∠A的每一个确定的值，其邻边与斜边、邻边与对边、对边与邻边的比值也是一个固定值吗？若是，能否给出证明。
（4）总结概念在Rt△ABC中，当锐角∠A的度数一定时，（1）把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的，记作sinA 即（2）把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的，记作cosA 即（3）把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的，记作tanA 即（4）把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的，记住cotA 即3、知识应用（1）、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AB=13,BC=5,则①、sinA= ; cosA= ; tanA= ; cotA=②sinB= ; cosB= ; tanB= ; cotB=ABC通过此题，你有什么发现？（2）、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，求BC、AC的值。
华师大版-数学-九年级上册-24.3.2特殊角的三角函数值 导学案
课题主备人参与者数学组成员课型新授课使用时间教者学习目标1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式3、了解锐角三角函数的增减性。
重难点重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。
．难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过教法探索式、启发式教学学法自主预习，合作探究教学准备1．教师准备：收集与本节有关的资料、制成教学课件。
2．学生准备：复习直角三角形的基本性质及三角函数的意义，•预习本节课内容。
．教学过程（主要环节）集体备课教师活动学生活动个性展示创设情境激趣导入1、直角三角形中30°的性质？2、在Rt△ABC中，∠C为直角，锐角A的三角函数是怎么定义的？记作定义正弦余弦正切3、一个锐角的三角函数值确定了吗？引导回顾学生思考，引入课题提出疑问探索新知探索一：探索30°、45°、60°特殊角的三角函数值1请同学们先分别画出含有30°45°60°的直角三角形,再分别求出它们的四个三角函数值。
（1）归纳结果:30°45°60°siaA教师引导、分析，设置问题，分组活动，指导探理解探究讨论方法小组交流cosAtanA（2）.请同学们熟记上表中的相关数据。
（3）.请同学们两个一组相互考考看，谁记得又快又准。
究。
合作交流尝试练习1、求下列各式的值：2sin30°- cos45°sin60°·cos60°tans45°- sin30°-cos60°45cos30sin45cos60cos45sin60cos45sin60cos+-+-+2、求出下列各锐角的度数：1sin2A=；3tan3B=；3、求出下列各锐角的度数：2-sin2=A315-asin2o=）（引导分析，示范解答。
24.3.1锐角三角函数第一课时(导学案)2022-2023学年华东师大版九年级数学上册
24.3.1 锐角三角函数第一课时（导学案）学习目标•理解什么是正弦函数和余弦函数；•能够根据给定角度计算出正弦值和余弦值；•掌握利用三角函数求直角三角形两个角的方法。
学习重点•正弦函数和余弦函数的概念；•角度与三角函数值之间的关系；•利用三角函数求直角三角形两个角的方法。
学习难点•如何准确地根据给定角度计算出正弦值和余弦值；•如何正确地利用三角函数求解直角三角形两个角。
学习内容1. 正弦函数和余弦函数的概念在平面直角坐标系中，以原点为顶点，终边经过某个角度的射线与x轴正半轴组成一个锐角三角形。
假设锐角三角形的一条直角边长度为a，另一条直角边长度为b，斜边长度为c，则根据三角形的定义可得：sinθ = a/ccosθ = b/c其中，θ为锐角三角形的那个锐角的角度，sinθ被称为θ的正弦值，cosθ被称为θ的余弦值。
2. 角度与三角函数值之间的关系在数学上，我们通常以度数或弧度来度量角度。
在度制下，一周的角度大小为360度；在弧度制下，一周的角度大小为2π弧度。
由于最小的角度单位是1度或1弧度，因此一个角度θ的正弦值sinθ和余弦值cosθ可以通过相应的三角函数表进行查找。
例如，当θ=30度（或π/6弧度）时，其正弦值为1/2，余弦值为√3/2。
3. 利用三角函数求直角三角形两个角的方法在锐角三角形中，如果已知其中两条边的长度，可以利用正弦函数和余弦函数求解该三角形的另一个角度。
例如，已知锐角三角形的一条直角边长度为3，斜边长度为5，求另一个锐角的角度。
我们可以利用余弦函数求解：cosθ = 3/5θ = cos⁻¹(3/5)利用计算器可得θ≈53.13度。
同样地，如果已知锐角三角形的另外一条直角边长度，也可以利用余弦函数或正弦函数求解该三角形的另一个角度。
学习方法和建议1.牢记正弦函数和余弦函数的定义和公式，熟练掌握角度与三角函数值之间的对应关系。
2.善于利用三角函数表和计算器，提高计算准确性和效率。
【新华东师大版】九年级数学上册：24.3《锐角三角函数1》教案+导学案
24.3 锐角三角函数（1）教学目标：1.直角三角形可简记为 Rt △ABC2.理解Rt △中锐角的正弦、余弦、正切的概念. 教学重点：三种锐角三角函数的定义. 教学难点：理解锐角三角函数的定义. 教学过程：一．复习提问：1.什么叫Rt △？它的三边有何关系？2.Rt △中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②222c b a =+ 二．新课探究：1.Rt △ABC 中,某个角的对边、邻边的介绍.2.如图,由Rt △AB1C1∽Rt △AB2C2∽Rt △AB3C3得,333222111k AC C B AC C B C A C B === 可见,在Rt △ABC 中,对于锐角A 的每一 个确定的值,其对边与邻边的比值是唯一确定的.同样,其对边与斜边,邻边与斜边,邻边与对边的比值也是唯一确定的. 3.锐角三角函数.的邻边的对边，的斜边的邻边的斜边的对边A A A A A A A A A ∠∠=∠∠=∠∠=tan cos ,sin分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切,统称为锐角∠A 的三角函数.显然,锐角三角函数值都是正实数,并且0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0. 4.根据三角函数的定义,我们还可以得出 1cos sin 22=+A A三．四种三角函数值例1.①求出如图所示的Rt △ABC 中,∠A 的三个三角函数值. 解：Rt △ABC 中,AB=22AC BC +=22815+=17 ∴sinA=178=AB BC ,cosA=1715=AB ACtanA=158=AC BC 。
8 ②若图中AC ︰BC=4︰3呢？15ABCA BCCC 32111B B 1C B A解：设AC=4κ,BC=3κ,则AB=5κ ∴sinA=53,cosA=54,tanA=43。
③若图中tanA=43呢？（解法同上） 例2.△ABC 中,∠B=90°,a=5,b=13,求∠A 的三个三角函数值.解：Rt △ABC 中,c=22a b -=22513-=12∴sinA=135,cosA=1312,tanA=125。
《锐角三角函数》导学案
第七章锐角三角函数〔 1〕正切函数学习目标1、认识锐角的正切的看法。
2、会求一个锐角的正切值。
3、经历操作观察思虑求解等过程，感觉数形结合的数学思想方法。
学习要点：锐角的正切的看法学习难点：锐角的正切的看法，感觉数形结合的数学思想方法知识要点在 Rt △ABC中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比值是∠ A 的正切，记作一、情境创立问题 1.我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为什么？观察斜坡的倾斜程度，你有什么发现？如何刻画斜坡的倾斜程度？如上图，这两个直角三角形中，∠ C=∠ C′ =90°，且有一条直角边相等，但斜边不相等，哪个坡更陡？①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们第一应思虑：当锐角固准时，两直角边的比值可否也固定？②给出正切看法：如图，在Rt △ABC中，，把∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作：tan A .二、典型例题例 1．依照以以下图中所给条件分别求出以以下图中∠A、∠ B 的正切值。
B A C1133A2CC1B B5A经过上述计算，你有什么发现？互余两角的正切值．例 2．如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， CD是 AB 边上的高， AC=3,AB=5，求∠ ACD 、∠ BCD的正切值。
文档结论：等角的正切值．例 3．如图〔 1〕，∠ A=30°，∠ C=90°，依照三角函数定义求出30°、 45°、 60°的正切值．BA C〔1〕〔2〕〔3〕例 4．如图，∠ A=15°，∠ C=90°，求出 15°正切值．BA C随堂演练1. 〔 1〕在直角三角形中，∠ =90°， =9,a =12, 那么tan A =， tan B=。
ABC C b〔 2〕如图，△ ABC的三个极点分别在正方形网格的格点上，那么tan A 的＝．〔 3〕在 Rt △ ABC中 , ∠ C=90° ,AC=12,tanA=2 ，那么 BC长为。
初中数学 导学案2：锐角三角函数
锐角三角函数复习学习目标:1、了解锐角三角函数的知识网络体系,理清各知识点之间的关系。
2、加深对概念的理解,在强化练习中抽取解题规律。
3、进一步培养运用解直角三角形知识分析问题、解决问题的能力。
导学流程：一、梳理有关知识点：（对照教材及网络图回顾思考有关知识点。
）1、三角比定义：在直角三角形ABC中，∠A的边与∠A的边的比叫∠A的正切，∠A的 ____与____的比叫∠A正弦.∠A的_______与_______的比叫∠A的余弦.2、特殊角的三角比3、解直角三角形：如图，在Rt△ABC中,∠ C＝90 º，各边分别为a，b，c。
(1)三边之间的关系:(2)锐角之间的关系:(3)边角之间的关系:（4）解直角三角形有几种情况？4、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念（1）仰角和俯角（2）坡度 i ＝ =（3）方位角点A 在点O 的 方向， 点B 在点O 的 方向。
二、基础巩固：（学生独立完成，集体订正。
） 1. Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=21则cosB=______. 2. P 是∠α边OA 上一点，P(3,4),sin α =______. 3. △ABC 中,( sinA-21)+( 23 - sinB)=0, △ABC 的形状是 _______.4、Rt △ABC 中，CD ⊥AB,则tanA= = =三、典型示例:（学生独立完成，集体交流展示）例题1：已知：如图1，△ABC 中,∠A=30°, ∠ACB=135°,AC=20 求：⑴ △ABC 的面积.⑵ 若将∠ACB=135°改为∠ACB=105°求△ABC 的面积.（图2）例题2：一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东45°，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30°，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导船部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？四、提升练习1、如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，求灯塔P 到环海路的距离PC （用根号表示）．PABC30°60°北B CDA2、某省要将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便A 、B 两地交通，学校准备在相处2km 的A 、B 两地之间修一条比直公路，经测量在A 地的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C 处有一个半径为的公园。
24.3 锐角三角函数 华师大版数学九年级上册教案
24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数第1课时锐角三角函数的定义※教学目标※【知识与技能】了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用.【情感态度】1.通过学习培养学生的合作意识.2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.【教学重点】锐角三角函数的概念.【教学难点】锐角三角函数的概念的理解.※教学过程※一、情境导入如图（1），图（2）都可以用来测量物体的高度.这两个问题的解决，将涉及直角三角形中的边角关系.直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题.二、探索新知1.某个角的对边、邻边的概念.在Rt△ABC中，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两边直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示（如图）.2.做一做.（1）画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算.（2）你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下.（3）若∠A=45°、60°时，则∠A对边与斜边之比是多少？结论：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A=30°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值.经过验证，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还是一个固定值，与Rt△ABC的大小无关.说明：观察图中的Rt△AB 1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3.∴==可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.同样，其对边与斜边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的.3.锐角三角形函数的定义∠A的正弦：sinA=∠A的余弦：cosA=∠A的正切：tanA=∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.4.知识拓展（1）正弦与余弦三角函数值的取值范围.∵直角三角形中，斜边大于直角边.∴0<sinA<1,0<cosA<1.(2)同角三角函数关系sin2α+cos2α=1;tanα=.(3)互余两角的三角函数值若α、β都是锐角，且α+β=90°,那么：sinα=cosβ,cosα=sinβ.三、巩固练习【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.解：AB==17,sinA=,cosA=,tanA=.【练习】1.如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，则：∠P的对边是，∠P的邻边是；∠M的对边是，∠M的邻边是.第1题图第2题图2.如图，在Rt△DEC中，∠E=90°，CD=10，DE=6.试求出∠D的三个三角函数值.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值：（1）a=3,b=4;(2)a=5,c=13.答案：1.MN PN PN MN2.由勾股定理,得CE=8,所以sinD=,cosD=,tanD=.3.(1)sinB=,cosB=,tanB=.(2)sinB=,cosB=,tanB=.四、应用拓展【例2】已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=3,求AB、AC的值.解：∵sinA=,∴AB=,∴AC=.【例3】如图，已知α为锐角，sinα=,求cosα、tanα的值.解：方法一：用定义法求解∵sinα=,∴设BC=3x,则AB=5x.由勾股定理，得AC=4x.∴cosα=,tanα=.方法二：用公式求解∵α为锐角，∴cosα==,tanα=.五、归纳小结1.正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个概念是学好本章的关键；2.正弦、余弦、正切实际上都是比值，没有单位，它们只与锐角α的大小有关，与三角形的边长无关；3.对于每一个锐角α的确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应.※课后作业※1.教材第111页习题24.3第1、2题.2.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=,求的值.第2课时特殊角的三角函数值※教学目标※【知识与技能】1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【过程与方法】培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.【情感态度】经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性，说理过程的严谨性，养成科学的、严谨的学习态度.【教学重点】特殊角的三角函数值.【教学难点】与特殊角的三角函数值有关的计算.※教学过程※一、复习引入在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,AB=2,求∠A、∠B的三个三角函数值.回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质.二、探索新知在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，如图，试求两个锐角的三个三角函数值.解：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.所以，若设30°角所对的直角边为1，即BC=1,则AB=2，由勾股定理得：AC=.由三角函数定义,得sin30°=.cos30°=.tan30°=.同理可得sin60°=,cos60°=,tan60°=.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°，如图，试求45°角的三角函数值.若设AC=BC=1.则AB=.易得sin45°=,cos45°=,tan45°=1.【例1】求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°.解：原式=.【例2】在Rt△ABC中，若sinA=,则cos的值是多少？解：由sinA=知A=60°.∴cos=cos30°=.三、巩固练习1.在△ABC中，若cosA=,tanB=，则此三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.用特殊角的三角函数填空：= = ;= = ;1= ;= .3.化简= .4.点M（-sin60°,cos60°）关于x轴对称的点的坐标是.5.求下列各式的值：（1）sin260°+cos260°;(2)2cos60°+2sin30°+4tan45°;(3).6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=.求∠A的大小.答案：1.A 2.sin60° cos30° sin45° cos45°tan45° tan60° 3. 4.5.(1)1 (2)6 (3)6.∠A=45°四、应用拓展1.你能求出tan15°的值吗？如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至D，使BD=AB，则∠D=15°.设AC=k,则AB=2k,BC=k,所以CD=BC+BD=BC+AB=(2+)k,所以tan15°===2-.2.仿上面的解题方法，易求tan22.5°=-1.※课后作业※1.教材第111页习题24.3的第3题.2.若∠A、∠B是△ABC的两个内角且满足关系式=0,求∠C的度数.3.若α为锐角，且tan2α-(1+)tanα+1=0.求α的度数.2.用计算器求锐角三角函数值※教学目标※【知识与技能】1.会使用计算器求锐角三角函数的值.2.会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角.【过程与方法】在做题、计算的过程中，逐步熟练计算器的使用.【情感态度】经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序.【教学重点】利用计算器求锐角三角函数的值.【教学难点】计算器的按键顺序. ※教学过程※一、复习引入填表：由上表我们可以直接写出30°，45°，60°角的三角函数值及由特殊值写出相应的锐角.对一些非特殊的角，怎样求它的三个三角函数值呢？二、探索新知1.求锐角三角函数值【例1】求sin63°52′41″的值（精确到0.0001）.解：如下方法将角度单位状态设定为“度”：再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897859012.∴sin63°52′41″≈0.8979.【例2】求tan19°15′的值（精确到0.0001）.解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,按下列顺序依次按键：显示结果为0.3492156334.∴tan19°15′≈0.3492.2.由锐角三角函数值求锐角.【例3】若tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1′）解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,按下列顺序依次按键：显示结果为36.53844577.再按键,显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.三、巩固练习1.利用计算器求下列三角函数值：（精确到0.0001）（1）sin24°;(2)cos51°42′20″;(3)tan70°21′.2.已知下列锐角α的各三角函数值，利用计算器求锐角α：（精确到1′）（1）sinα=0.2476;(2)cosα=0.4174;(3)tanα=0.1890.答案：1.（1）0.4067 (2)0.6197 (3)2.8006 2.(1)14°20′(2)65°20′(3)10°42′※课后作业※1.教材第111页习题24.3的第4、5题.2.比较大小.cos25° cos32°,tan29° tan39°.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=29，AC=25，求∠A的度数.。
华师大版数学九年级上册24.3《锐角三角函数(1)》导学案
24.3.1 锐角三角函数（1）一、课题：锐角三角函数（1）二、学习目标：1.掌握锐角三角函数的概念。
2.通过学习，培养学生学数学、运用数学的意识与能力。
三、重点、难点1.对锐角三角函数概念的理解是难点。
2.记准锐角三角函数中边与边的比是重点。
四、知识准备如图，已知B 1C 1⊥AC 2，B 2C 2⊥AC 2，求证：111AB C B ＝222AB C B五、预习案1．预习指导：（1）预习范围：P 105-P 107。
（2）注意锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切。
2．预习测试：(1) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当锐角A 的大小确定后，其对边与斜边的比值是__________的。
(2)如图，∠A 的对边是_________，∠A 的邻边是________，∠B 的对边是_________，∠B 的邻边是________。
(3)如图，在Rt △MNP 中，∠M ＝90°，则MN 是____的对边，是_____的邻边，MP 是____的对边，是_____的邻边，NP 是_________。
3．我的疑惑：六、探究案：1．概念：在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值，对边与邻边的比值以及邻边与对边的比值等都是唯一确定的，因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作：sinA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠, tanA=的邻边的对边A A ∠∠，cotA=的对边的邻边A A ∠∠ 如图，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别用a 、b 、c 表示，则 sinA=c a ,cosA=cb , tanA=b a ，cotA=ab 2．举例：例1：求出图中∠A 的四个三角函数值。
解：∵AC ＝15，BC ＝8∴AB ＝22BC AC + ＝22815+ ＝64225+ ＝289＝17∴sinA=AB BC ＝178,cosA=AB AC ＝1715, tanA=AC BC ＝158，cotA=BC AC ＝815 七、小结本节课，我们主要学习了锐角三角函数的概念。
《锐角三角函数》 导学案
《锐角三角函数》导学案一、学习目标1、理解锐角三角函数的定义，能够准确说出正弦、余弦、正切的概念。
2、掌握锐角三角函数的求值方法，会利用已知条件求出锐角的三角函数值。
3、能够运用锐角三角函数解决与直角三角形相关的实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）锐角三角函数的概念，包括正弦、余弦、正切的定义。
（2）特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值及其应用。
2、难点（1）理解锐角三角函数的本质，以及如何在直角三角形中准确地表示出三角函数值。
（2）运用锐角三角函数解决实际问题时，如何将实际问题转化为数学模型。
三、知识回顾1、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（勾股定理）。
2、相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
四、新课导入在生活中，我们常常会遇到需要测量高度、距离等问题，比如测量大树的高度、河流的宽度等。
而这些问题往往可以通过直角三角形的知识来解决。
今天，我们就来学习一种新的数学工具——锐角三角函数，它将帮助我们更方便、更准确地解决这类问题。
五、知识讲解1、锐角三角函数的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正弦，记作 sinA。
即 sinA ＝对边／斜边。
同理，如果一个锐角的邻边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的余弦，记作 cosA。
即 cosA ＝邻边／斜边。
如果一个锐角的对边与邻边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正切，记作 tanA。
即 tanA ＝对边／邻边。
例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 为锐角，BC 为∠A 的对边，AC 为∠A 的邻边，AB 为斜边。
则 sinA ＝ BC ／ AB，cosA ＝ AC ／ AB，tanA ＝ BC ／ AC。
九年级数学华东师大版上册24.3《锐角三角函数》优秀教学案例
2.掌握锐角三角函数的性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。
3.能够运用锐角三角函数解决实际问题，如计算三角形的边长和角度等。
4.能够运用锐角三角函数进行简单的几何证明和计算，提高解题能力。
（二）过程与方法
在过程与方法方面，本节课的教学目标是培养学生的探究能力和合作意识，使他们在理解的基础上能够灵活运用锐角三角函数知识。具体包括以下几个方面：
（三）小组合作
在小组合作方面，我将组织学生进行小组讨论和合作，培养他们的团队协作能力和沟通能力。例如，可以让学生分组讨论如何运用锐角三角函数解决某个实际问题，每个小组成员负责一部分内容的分析和解答，然后将结果进行交流和分享。通过这样的小组合作，学生能够相互学习、相互启发，培养他们的合作意识和团队精神。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会引导学生对所学知识进行总结和归纳。我会鼓励学生用自己的语言来表述对锐角三角函数的理解，帮助他们巩固所学知识。同时，我还会总结一些解题技巧和方法，让学生能够在解决类似问题时能够更加得心应手。
（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置一些与本节课内容相关的作业，让学生在课后进行练习和巩固。同时，我还会提醒学生要注意作业的质量和解题过程的规范性。在下一节课开始时，我会对作业进行讲评和小结，帮助学生发现自己的不足并及时进行改正。
（二）问题导向
在问题导向方面，我将设计一系列具有逻辑性和递进性的问题，引导学生主动探索和解决问题。例如，可以从简单的问题开始，让学生计算一个直角三角形中某个锐角的正弦值、余弦值和正切值，然后逐渐增加难度，让学生解决更复杂的实际问题。通过这样的问题导向，学生能够逐步建立起对锐角三角函数的理解和认识，提高他们的思维能力和创新意识。
福建省石狮市九年级数学上册24.3锐角三角函数(1)导学案(无答案)(新版)华东师大版
24.3.1锐角三角函数（1）【学习目标】1.认识锐角三角函数。
2.会求锐角三角函数值。
3.感受数形结合的便捷性。
【重点】锐角三角函数 【难点】求锐角三角函数。
【使用说明与学法指导】 认真阅读课本P 105-P 107，了解直角三角形锐角的邻边、对边；结合图形识记锐角三角函数，将书本中重要性质用双色笔画上横线；并完成导学案，完成过程中将疑惑记录在“我的疑惑”栏内，准备课上讨论质疑； 预 习 案 一、预习导学： 1.写出∠A 的邻边、对边、斜边。
∠A 的邻边是 ∠A 的对边是 2. 在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值。
3. 观察右图中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________， 所以111AC C B ＝_________＝____________．小结：在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值是 。
4.写出图1中锐角∠A 的四个三角函数，并说出它们的名称。
【预习自测】 1.2.在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角函数值（ ）A.都扩大2倍B.都缩小2倍C.不变D.都扩大4倍A C 图1二、我的疑惑合作探究探究一：根据三角函数的定义，证明：（1）A A 22cos sin +＝1， （2）tanA ·cotA ＝1．小结：探究二：新华都一楼至二楼电梯是如图所示的Rt △ABC ，求∠A 的四个三角函数值小结：【针对性训练】求出如图所示的Rt △DEC （∠E ＝90°）中∠D 的四个三角函数值．我本节课的收获与反思：解直角三角形（练习一）一、填空题1．在△ABC 中，AC=8，BC=6，AB=10，则△ABC 是 三角形.2．在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则=B tan ，=A cos .3．在△ABC 中，∠C=90°，21cos =A ，则=∠A 度. 4．用计算器计算：8339sin '︒= ，221220tan '''︒ = .（精确到0.0001） 5．用计算器计算：已知cos A = 0.4638，那么锐角A≈ .（精确到1°）6．若从点A 处测得点B 处的仰角为25°，则从点B 处测得点A 处的俯角为 .7．在Rt△ABC 中，∠C=90°，32tan =A ，则=A cot . 8．△ABC 中，若0)tan 1(21cos 2=-+-B A ，则∠C = 度. 9．等腰三角形顶角为120°，底边长为32，则腰长为 .AB C二、选择题10．在Rt△AB C 中，各边的长都扩大到原来的5倍，则角A 的四个三角函数值 ( )A ．不变B ．扩大5倍C ．缩小5倍D ．不能确定11．如图，斜坡AB的坡度i =，则B tan 的值为（ ）A．2 B．3 CD ．12 12．在下列条件中，不能．．解直角三角形的是（ ） A ．已知两锐角 B ．已知两条边C ．已知三条边D ．已知一边与一锐角13．△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于D ，则CBCD 等于 ( ) A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A cot三、解答题14．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B =30°,6=b ，解这个直角三角形.15．如图11所示，点P 表示广场上的一盏照明灯。
人教版九年级数学专题复习《锐角三角函数》学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版九年级数学专题复习《锐角三角函数》学习任务单及作业设计【学习目标】1.复习梳理锐角三角函数的有关知识，巩固解直角三角形的方法；2.提高数形结合的意识、转化的意识、方程的意识，能综合利用锐角三角函数、三角形全等、勾股定理等知识解决问题；3.进一步体会锐角三角函数在解决实际问题中的应用，提高应用意识.【学习准备】准备好复习学案。
边观看边梳理。
【学习方式和环节】观看视频课学习，适时控制播放，按老师指令完成相应的复习和梳理，学习环节主要有：复习梳理锐角三角函数相关知识→运用锐角三角函数知识解决问题→反思小结。
例1：在直角三角形ABC中，若∠A＝90°，，BC＝10.求（1）tanB 的值；（2）AC 的长和 AB 的长.例 2：如图，在三角形ABC中，若∠BAC＝105°，∠B＝45°,AB＝则 AC 的长为________；△ABC 的面积为____________.例 3：已知⊙O的半径为R，BC为⊙O的弦，BC＝a（a＜2R），点A在优弧BC上.则（1）sinA 的值为____________;（2）当∠BAC＝60°时，a:R＝_______;（3）当a=时，∠BAC＝______.例 4：如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处. 已知折痕，且.则矩形 ABCD 的周长为___________.例 5 如图,在一次数学课外实践活动中,要求测教学楼的高度AB.小刚在D处用高1. 5m 的测角仪CD,测得教学楼顶端A的仰角为30°,然后向教学楼前进40m到达E处,又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼的高度AB.【作业设计】1.计算：.2.如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC于E，设，AB=4，则 AD 的长为（）3.如图，某船以每小时 36 海里的速度向正东方向航行，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60°方向上，航行半小时后到达点 B，测得该岛在北偏东 30°方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁．若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．4.已知：如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，点 D 在 AB 的延长线上，CD是⊙O 的切线，过切点 C 作 CE⊥AB 于 E．若 CE=2，，求 AD 的长．【参考答案】1.解：原式=2. B3.解：法 1 过点 C 作 CH⊥AB，垂足为 H，在 Rt△CHB 中，∠BCH=30°，设 BH=x，则 CH=.在 Rt△ACH 中，∠CAH=30°，∴.∵AH=AB+BH，∴ 3x=18+x，解得 x=9．,∴船继续向东航行有触礁的危险．解：法 2 由题意知，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=30°．∴AB=BC=18．作 CH⊥AB 于 H，在 Rt△CBH 中，∵∠BCH=30°，.∵CH＜16，∴船继续向东航行有触礁的危险．4.解：如图，连接 OC∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥DC 于 C，∴∠OCD=90°．∵在 Rt△OCD 中，。
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课题：《24.3锐 角 三 角 函 数》
课型： 新授课 年级： 九年级
主备人： 严中益 备课时间： 2014 年 10 月 日
执教人： 执教时间： 年 月 日
教学目标：
1.使学生能正确掌握锐角的四个三角函数的定义，并能熟练计算一些直角三角形中锐角的四个三角函数；
2.掌握0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1, sin 2A ＋cos 2A ＝1,tanAcotA ＝1。
3.通过求具体的直角三角形中锐角的三角函数，得出0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1, sin 2A ＋cos 2A ＝1,tanAcotA ＝1。
4.培养学生勇于探索的精神和注意细节的习惯。
重 点：锐角三角函数定义的理解。
难 点：掌握锐角三角函数的表示方法及理解锐角三角函数的相关性质。
教学过程： 修改批注：
一、情境、复习引入
如图1所示是一个什么三角形？它可以表示为 ，它有哪些性质？
学生答案可能有：1.直角三角形，记为Rt △ABC ；2.∠A ＋∠B ＝90°，∠C ＝90°；3.AC 2＋BC 2＝AB 2；4. Rt △ABC 中30°的角所对的边是斜边的一半；5. Rt △ABC 中，斜边上的中线等于斜边的一半；……
表扬回答问题的同学：同学们真棒！接下来的表现肯定会更棒！
B 斜边c ∠A 的对边a
C B 图1
在Rt △ABC 中，我们把∠A 正对的边叫∠A 的对边，用a 表示，与∠A 相邻的直角边叫∠A 的邻边，用b 表示，直角C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示。
练习：如图，在Rt △MNP 中，∠N ＝90゜.∠P 的对边是__________,∠P 的邻边是_______________;∠M 的对边是__________,∠M 的邻边是_______________;
从同学们的回答可以看出我们已经学过了直角三角形角与角之间的关系、边与边之间的关系，那么直角三角形角与边之间会有什么样的关系？这就是这节课我们要探讨的问题——锐角三角函数（板书课题）。
二、自主探索
△ABC ∽△A ′B ′C ′
BC C B ''＝AC C A ''＝5001 '''
'C
A C
B ＝A
C BC 在Rt △ABC 中，∠A ＝34°时，不管这个直角三角形大小如何， ∠A 的对边与邻边的比值是一个固定的值．
1.认真观察图2，你能发现什么？
1. Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3，从而可得出什么结论？
111AC C B ＝2
22AC C B ＝333AC C B 由此，你能发现什么结论？可见，在Rt △ABC 中，只要锐角∠A 的值不变，不管它在什么样的直角三角形中，其对边与邻边的比值是唯一确定的。
你还能发现什么其他的结论吗？（引导：点拨观察其他边的比值）
︒34? A B C D E ︒34A ′ C ′
B ′
我们同样可以发现，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的。
由此，这几个比值都是锐角A 的函数，记作：sinA ， cosA, tanA ，cotA 。
即：sinA ＝
斜边的对边A ∠cosA ＝斜边的邻边A ∠tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠ 分别叫作锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数。
三、合作探究
如下图4所示：请同学们表示出∠A 的四个三角函数。
强调：锐角三角函数限定在直角三角形中，非直角三角形没有这个结论。
这四个三角函数相互之间联系紧密，容易混淆。
你能想出什么好方法帮助大家记忆吗？（给充分时间让学生交流、讨论，并抽同学展示他们的方法）老师这里也有一个便于记忆的方法：勾股相比为两切，斜边一出正、余弦。
四、展示点评
例1. 求图5所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值。
分析：先抽学生说一说解题思路，再板书解题过程。
解：AB ＝22AC BC +＝289＝17
sinA ＝178 cosA ＝17
15 tanA ＝158 cotA ＝815 问：从上面的结果并结合三角函数值的定义，你能确定正余弦的取值范围吗？四个三C
B 图4
a b c C
B A 图5 8 17 15
B
C
角函数值之间有什么关系？（鼓励并引导学生思考、发现）
（1） 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1,（2）tanAcotA＝1,sin2A＋cos2A＝1。
五、当堂检测1.已知：∠A为锐角
（1）tanA·cot20º=1，则锐角∠A=
（2）sinA=
2
2
，则cosA的值是。
（3）cot30º=3，则tan30º=。
2、在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=5,BC=12,那么下列∠A的四个三角函数中正确的是( ).
A. sinA=
13
5
B.cosA=
13
12
C. tanA＝
12
13
D.cotA＝
12
5
3、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍那么锐角A的正弦、余弦值（）
A、都扩大2倍
B、都缩小一半
C、没有变化
D、无法确定
4、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，指出∠A的对边、邻边。
5、4题中如果CD=1，AC=2，则sin∠ACD= sin ∠DCB= .
例2：在Rt△ABC中,∠C为直角,若sinA=
5
3
，求tanB的值。
用一用
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中折断倒下，树顶落在离树根12米处．cosB= ,大树在折断之前高多少？
六、小结反思（学生谈收获、体会）
七、课后反思。