6-2 最大项定义及其性质
2024版中职数学教学课件第6章数列
中职数学教学课件第6章数列目录•数列基本概念与性质•等差数列深入探究•等比数列深入探究•数列求和技巧与方法•数列极限初步认识•章节复习与总结PART01数列基本概念与性质数列定义及表示方法数列定义按照一定顺序排列的一列数。
数列表示方法通常用带下标的字母表示，如$a_n$，其中$n$为正整数，表示数列的第$n$项。
等差数列性质任意两项之差为常数。
等差数列的通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$为公差。
中项性质：若$m+n=p+q$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。
等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
等比数列性质任意两项之比为常数。
中项性质：若$m+n=p+q$，则$a_ma_n=a_pa_q$。
等比数列的通项公式：$a_n=a_1 times q^{(n-1)}$，其中$q$为公比。
数列通项公式与求和公式数列通项公式表示数列第$n$项与$n$之间关系的公式，如等差数列和等比数列的通项公式。
数列求和公式用于计算数列前$n$项和的公式。
对于等差数列，求和公式为$S_n=frac{n}{2}(a_1+a_n)$；对于等比数列，当公比$q neq1$时，求和公式为$S_n=a_1 times frac{q^n-1}{q-1}$。
PART02等差数列深入探究03等差中项的求法已知等差数列的两项，可以通过它们的算术平均数求出等差中项。
01等差中项的定义在等差数列中，任意两项的算术平均数等于它们的等差中项。
02等差中项与等差数列的关系等差中项是等差数列的重要性质之一，通过等差中项可以判断一个数列是否为等差数列，也可以求出等差数列的公差。
等差中项与等差数列关系1 2 3等差数列前n项和是指等差数列前n项的和。
等差数列前n项和的定义通过倒序相加法或错位相减法等方法，可以推导出等差数列前n项和的公式。
上海市文绮中学2025届高考临考冲刺数学试卷含解析
上海市文绮中学2025届高考临考冲刺数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=2．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+3．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π4．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．2]B ．(2,3]C ．2,5]D ．3,5]5．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）A ．21y x =+B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D ．y 6．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．17．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．D ．8．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<9．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ）A B ．2 C D ．210．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-11．已知函数()(1)(2)x ef x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）A ．32e e+B ．22e e +C ．32e e -D ．22e e -12．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第二章有理数及其运算(教案)
3.培养问题解决能力：结合实际情境，让学生学会运用有理数的知识和运算方法，形成解决问题的策略，增强数学应用意识。
4.增强数学交流能力：在学习过程中，鼓励学生用准确、简洁的语言表达数学概念和运算过程，提高数学交流能力。
在实践活动和小组讨论中，我发现学生们在解决实际问题时表现得相当积极。他们通过分组讨论和实验操作，不仅加深了对有理数运算的理解，还学会了如何将理论知识应用到生活实践中。这一点让我感到非常高兴，说明我们的教学策略是有效的。
然而，我也观察到有些学生在小组讨论中不够主动，可能是因为他们对问题不够了解，或者是对自己的答案不够自信。在未来的课堂中，我需要更多地关注这些学生，鼓励他们大胆地表达自己的观点，提高他们的自信心。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数运算的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第二章有理数及其运算（教案）
一、教学内容
《第二章有理数及其运算》
1.教材章节：本章为初中数学七年级上册第二章。
2.内容列举：
（1）有理数的概念：整数、分数的定义及其分类。
（2）有理数的性质：正负数的性质，相反数的性质，绝对值的定义及其性质。
（3）有理数的加减法运算：同号相加，异号相加，加减混合运算，加减运算的性质。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第六章 数列-第二节 等差数列
得1 = 2 ,所以 =
1 + − 1 ⋅ = ,
所以 = 2 2 ,
所以当 ≥ 2时, = − −1 = 2 2 − − 1 2 2 = 22 − 2 ,对 = 1也适合,
所以 = 22 − 2 ,
所以+1 − = 2 2 + 1 − 2 − 22 − 2 = 22 （常数）,
2 + 5 + 8 是一个定值,则下列各数也是定值的有() AC
A.5 B.6 C.9 D.10
[解析]由 + + = + + + + + = + =
+ = ,
可知 为定值, =
+
知识梳理
一、等差数列的有关概念
第2项
同一个常数
1.定义：如果一个数列从_______起,每一项与它的前一项的差都等于____________,那
∗
+1 − =
么这个数列就叫作等差数列.符号表示为______________（
∈
,为常数）.
+
=
2.等差中项：数列,,成等差数列的充要条件是________,其中叫作,的等差中项.
,所以
=
+
+
=
−
−
=
.故答案为 .
2 − 1
（2）已知{ }为等差数列,前项和为 ,若4 = 42 ,2 = 2 + 1,则 =_______.
[解析]设等差数列的首项为 ,公差为,由已知得
×
广西壮族自治区柳州市柳州高级中学2025届高三(最后冲刺)数学试卷含解析
广西壮族自治区柳州市柳州高级中学2025届高三（最后冲刺）数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 2．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2B ．2C ．0D ．1或23．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．1105．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．2156．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭7．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 9．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-10．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 11．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．3412．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．320二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
6-2 最大项定义及其性质
第六讲 逻辑函数的卡诺图表示※ 最大项定义及其性质 ※《数字电子技术基础》第六讲 逻辑函数的卡诺图表示█ 最大项定义 在n变量函数中，若M为n个变量之和，且这 n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现 一次，则称M为该组变量的最大项。
例：对四变量逻辑函数A + BC D （×）A + C + D （×） A ⋅ B + CD （×）A+ B +C + D A+ B +C + DA+ B +C + D（√） （√） （ √）《数字电子技术基础》第六讲 逻辑函数的卡诺图表示表1 三变量最大项编号表《数字电子技术基础》第六讲 逻辑函数的卡诺图表示思考：最大项与最小项之间存在什么关系？表2 三变量最小项与最大项对比表A 0 0 0 0 1 1 1 1B 0 0 1 1 0 0 1 1C 0 1 0 1 0 1 0 1最小项 A’B’C’ A’B’C A’BC’ A’BC AB’C’ AB’C ABC’ ABCM = m ,m = M最小项编号 最大项 最大项编号 M0 m0 A+B+C m1 A+B+C’ M1 m2 A+B’+C M2 m3 A+B’+C’ M3 i i i i M4 m4 A’+B+C m5 A’+B+C’ M5 M6 m6 A’+B’+C m7 A’+B’+C’ M7《数字电子技术基础》注：表2 中变量用’代表逻辑非。
第六讲 逻辑函数的卡诺图表示█ 最大项性质性质1：在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最 大项的值为0； 性质2：全体最大项之积为“0”； 即：( A + B) ⋅ ( A + B) = A性质3：某一最大项若不包含在F中，则必在F 中； 性质4：任意两个最大项之和为“1”； 性质5：只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相 同变量之和。
例：( A + B + C ) ⋅ ( A + B + C ) = [( A + C ) + B] ⋅ [( A + C ) + B] = A + C《数字电子技术基础》。
《电力系统暂态分析》第六章提纲
第六章 电力系统静态稳定第一节 概述一、运动系统稳定性的一般定义运动系统都存在稳定性问题。
定义如下：一个运动系统处于平衡状态，若遭受某种扰动，经过一定的时间变化后，能恢复到原有平衡状态或新的平衡状态下运行，则称该运动系统是稳定的，否则是不稳定的。
【例6-1】b二、电力系统稳定性的特定含义电力系统中发电机都是同步发电机，电力系统的平衡状态是指所有发电机以同步（相同）速度运行。
当电力系统处于某种平衡状态（即发电机以相同速度）运行，遭受某种扰动后，发电机的速度发生变化，经历一定时间速度的变化，若所有发电机能恢复到同步（相同）速度下运行，则该系统是稳定的，否则是不稳定的。
在正常运行时（平衡状态），发电机输入机械功率T P 等于发电机发出的电磁功率E P （机械损耗很小，因此忽略不计），即E T P P =，发电机保持恒定速度运行。
当受到某种扰动（例如：负荷波动，导线发热、电阻变化、短路、切除线路等），发电机输出功率E P 要发生变化，但T P 不能跟随变化（因为调速系统由机械组成，不能瞬间完成），导致输入与输出功率不平衡，从而引起速度的变化。
受扰动各发电机E P 变化不一样，因此各发电机速度变化不一样，经过一段时间调整，若能够恢复到相同速度下运行，则系统是稳定的，否则是不稳定的。
三、电力系统稳定性的分类按扰动量的大小，电力系统稳定分为⎩⎨⎧大扰动下的稳定—暂态稳定小扰动下的稳定—静态稳定小扰动—如负荷正常变化、导线发热引起参数变化等。
其扰动量很小，因而可以对描述系统运动过程的非线性微分方程进行线性化处理，从而可用线性系统稳定性理论进行分析。
大扰动—如短路、切机、投切线路、投切变压器等。
其扰动量大，因而不能对描述系统运动过程的非线性微分方程进行线性化处理，从而只能用非线性系统稳定性理论进行分析。
四、如何判别稳定1. 以速度，即各机组频率。
2. 以相对转子位置角)(ij t δ的变化过程，即摇摆曲线。
若)(ij t δ能够回复到某一个稳定值则系统是稳定的。
2021高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件文北师大版
又
1 a1
＝1，因此数列
1
an
是首项为1，公差为2的等差数列，所以
a1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n1－1.]
39
2．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． 求证：数列an－1 1是等差数列，并求{an}的通项公式．
40
[证明] 由题意知2an＝1＋anan＋1， ∴an＋11－1－an－1 1 ＝aan－n＋11－－1aan＋n－1－11 ＝an＋1·ana－n－ana＋n1＋－1 an＋1＝2ana－n－ana＋n1＋－1 an＝1. 又a1＝2，a1－1 1＝1， ∴数列an－1 1是首项为1，公差为1的等差数列．
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
12
二、教材改编
1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的( )
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49得n＝21，故选C.]
13
2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝( )
等差中项 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 法 等差数列
适合题型
解答题中 证明问题
30
通项公式 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成 选择、填
法 立⇔{an}是等差数列
空题中的
前n项和公 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整 判定问题
式法 数n都成立⇔{an}是等差数列
4
课前自主回顾
5
1．等差数列的有关概念
计算数学面试题目(3篇)
第1篇一、基本概念1. 定义一个集合A，包含元素{1, 2, 3, 4, 5}，请计算集合A的子集个数。
2. 请简述等差数列、等比数列、斐波那契数列的定义及其通项公式。
3. 请解释什么是数列的收敛性，并举例说明。
4. 请简述数列极限的定义及其性质。
5. 请解释什么是函数，并举例说明。
6. 请简述函数的连续性、可导性、可微性及其性质。
7. 请解释什么是线性方程组，并举例说明。
8. 请简述线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵求逆法等。
9. 请解释什么是矩阵，并举例说明。
10. 请简述矩阵的运算，如加法、减法、乘法、转置等。
二、计算题1. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 2n + 1，请计算数列的前10项之和。
2. 已知等差数列的首项为a1，公差为d，求第n项an的值。
3. 已知等比数列的首项为a1，公比为q，求第n项an的值。
4. 已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，请计算数列的极限。
5. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，请求f(2)的值。
6. 已知函数f(x) = 2x + 1，求f(-3)的值。
7. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1，求f'(x)的值。
8. 已知线性方程组：x + 2y = 52x - y = 1请用高斯消元法求解方程组。
9. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的转置。
10. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的逆矩阵。
三、应用题1. 小明家养了5只鸡和3只鸭，总共重60千克。
已知一只鸡重2千克，一只鸭重3千克，请计算鸡和鸭的重量各是多少。
2. 一个正方形的周长为20厘米，请计算正方形的面积。
3. 一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶了3小时，请计算汽车行驶的距离。
4. 一个长方体的长、宽、高分别为2米、3米、4米，请计算长方体的体积。
因数与倍数知识点归纳总结
因数与倍数知识点归纳总结1.引言1.1 概述概述部分的内容可以如下所示：引言部分是对文章主题的整体介绍，本文主题为因数与倍数的知识点归纳总结。
在数学中，因数与倍数是基本且重要的概念，涉及到数的整除性质以及数的倍增关系。
本文旨在对因数与倍数的定义、性质以及它们之间的关系进行详细总结，并探讨它们在实际生活中的应用场景和意义。
在日常生活中，我们常常会遇到各种与因数与倍数相关的问题，比如求一个数的所有因数、判断两个数是否互为倍数，以及在解决实际问题中如何利用因数与倍数来进行计算等等。
因此，了解因数与倍数的性质和用途对我们提高数学思维能力，解决实际问题有着重要的意义。
在本文的正文部分，将详细介绍因数和倍数的定义与性质。
首先，我们将介绍因数的定义与性质，包括最大公因数、素数因子分解和因子个数等内容。
然后，我们将着重介绍倍数的定义与性质，包括最小公倍数、倍增规律和倍数之间的关系等内容。
最后，在结论部分，将对因数与倍数的关系进行总结，并探讨其在实际生活中的应用场景和意义。
通过对因数与倍数的深入了解，我们可以更好地理解数的整除性质和倍增关系，从而在解决实际问题时更加灵活和高效。
总而言之，本文将对因数与倍数的知识点进行全面归纳总结，从概念的定义与性质到关系的探讨与应用场景的讨论，旨在帮助读者深入理解并灵活运用因数与倍数的相关知识，提高数学思维能力，解决实际问题。
文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本篇长文的主要结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分旨在引出本文要总结归纳的知识点——因数与倍数，并介绍本文的大致结构。
首先进行概述，简要介绍因数与倍数的基本概念以及其在数学中的重要性。
然后介绍文章的结构，即引言、正文和结论三个部分，以及各部分的内容概要。
正文部分是本文的核心部分，将详细阐述因数与倍数的定义与性质。
其中，2.1节将重点介绍因数的定义及其性质，解释什么是因数，因数与被除数之间的关系，并探讨因数与质因数、倍数的关系。
第六章第二节线性空间的简单性质及定义
例3，按通常多 项按通常多 数乘运乘运算， 1）数域 P上的一元多 项的一 P[x ] 即数域 P上一元多 项一元多项式 2)数域 P上次数等于定数 n（ n ≥ 1）的 多项式 全体所成的集合; 的集合是否 购集合是 P上的线的线性空
3）数域 P上次数低于定数n的多项多项式全体， 上0所成的集合P 上0所成的集合 解： 1） 构成线线性空间，可以验这两种运算满足线性空间 的8条运运算律 2）不是 线不是线性空间,因为它不含零多项不含零多零元素 （即使添上零也 构即使线性空间，因为两个n次多项多项式的 一定是n次多项多项。
由于该于该空间只有一 素， 而该 空间间中有必须 零元素 素 ，所以 a就是 V的零元素 。 这种由一个零元素组成 的 线性空间 称为 零 空间 。
5*线性空间的元素也称为向量（未必是 有序数组）。
线性空间有时也称为向量空间空间， 这里所谓的向量，笔记和中的向量涵义中的向的多。 以后用小写希腊后用αβγ ... ...代..代表线 V中的元素; 用小写拉丁字母kl数域P中的数。 V的零元素也称零向量，
2） 因为两个n阶可逆方阵的和未必是可逆的， 10 - 10 00 A = , B = 01 0 - 1 ∈ G L2 (P), 但A + B = 00 ∉ G L2 (P); 所以n阶方阵的加法不是G L2 (P)的一个代数运一个 G L2 (P)关于所给的运算不构成P上线线性空间
[x]
n
4）数域 P上次数不低于定数n的多项多项式全体
（3）P
[x] 构成线性空间。因为任给两个次数低于n的
n
多项式f ( x) g ( x)的和f ( x) + g ( x)及kf ( x)的次数 低于n多项式0。且多项式的运算显然符合线性空间的规律。 （4）不构成线性空间。因为两个次数不低于n的 多项式的和可能低于n.
2024年高考数学复习培优讲义专题40---二项式定理(含解析)
专题8-2 二项式定理16类常考问题汇总题型1 求展开式中的指定项 题型2 求指定项的系数 题型3 二项式系数最大的项 题型4 展开式所有项系数和 题型5 展开式二项式系数和 题型6 三项展开式问题题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型8 由项的系数或系数和确定参数 题型9 奇次项与偶次项的系数和 题型10 等式两边求导后求和 题型11 展开式系数最大的项题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑 题型13 赋值求系数和 题型14 整除和余数问题 题型15 二项式定理与杨辉三角 题型16 二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数n ，都有：()011*()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N −−+=+++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b −+=，其中的系数(0,1,2,,)rnC r n =⋯叫做二项式系数 2、二项式()n a b +的展开式的特点：（1）项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； （3）次数：a ，b 次数和均为n（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即r n rn nC C −= （5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数1122,n n nnCC−+相等，且最大3、二项展开式的通项：1(0,1,2,,)r n r rr n T C a b r n −+==公式特点：（1）它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是r n C ； （2）字母b 的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项 例：对于()n x a +（1）二项式系数之和为2n ，即012342n n nn n n n n C C C C C C ++++++=；（2）所有展开式系数和为(1)n b +，展开式为：()011*()n n n r n r rn nn n n n x b C x C x b C x b C b n N −−+=+++++∈，可以表示为：()1*01()n n n x b a a x a x n N +=+++∈，令1x =即可得出所有项系数和（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即02413512n n n n n n n C C C C C C −+++=+++=．知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第1r +项r n r r n C a b −的二项式系数是组合数r n C ，展开式的系数是单项式r n r r n C a b −的系数，二者不一定相等．（2）()n a b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法(,,0p q r ≥的整数且)p q r n ++=()[()]()n n r n r r r q n r q q r n n n r a b c a b c C a b c C C a b c −−−−++=++=+=（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果．题型1 求展开式中的指定项1．式子12(1)x −二项式定理展开中的第6项为 ．2．二项式5312x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为（ ）A ．160B ．80x −C ．380x D ．740x −3．533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，有理项是第 项．4．6232x x −⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中有理项的个数为 .题型2 求指定项的系数5．二项式5(2)x y −的展开式中，含2y 项的系数为 .6．在7(3)x −的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．21− B ．21C ．189D ．189−7．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．－150 B.150 C.－240 D.240重点题型·归类精练8．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．题型3 二项式系数最大的项9．已知二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n = . 10．()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．511．1nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .12．在()1nx +的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于 .题型4 展开式所有项系数和13．若32nx x 的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为（ ）A ．112B ．124C ．116D ．13214．在54(1)(12)x x ++−的展开式中，所有项的系数和等于 ，含3x 的项的系数是 ．15．若8231x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，其中a 为常数，则该展开式中4x −项的系数为16．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答）题型5 展开式二项式系数和17．（多选）已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的第三项的系数为45，则（ ）A ．9n =B ．展开式中所有系数和为1024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含3x 的项是第7项18．在32nx x ⎛ ⎝的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中7x 的系数为 （用数字填写答案）；19．若31nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中41x 的系数为 .20．（多选）在()521x −的展开式中，则（ ） A ．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B ．所有项的系数和为0 C ．常数项为1−D ．所有项的二项式系数和为6421．若2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的第一项为532x ，最后一项为51x −，则下列结论正确的是（ ）A ．5n =B ．展开式的第四项的二项式系数等于40−C ．展开式中不含常数项D ．展开式中所有项的系数之和等于3222．若()*31N nx n x ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．8C ．28D ．5623．在322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，若1056n n a b +=，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7题型6 三项展开式问题24．若0m ≠，且()622312112312x x m a a x a x a x a x −+=++++⋅⋅⋅+，则m 的值为 .25．6(21)x y −+展开式中含2x y 项的系数为 ． 26．()()6211x xx ++−的展开式中2x 的系数为（ ） A ．9B ．10C ．24D ．2527．3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭中常数项是 ．（写出数字）28．()52x y z −+的展开式中，3x yz 的系数为 ．29．已知()22121nx x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为27，则4x 项的系数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1530．若()522100121022x x a a x a x a x −+=++++，则5a = ．2x 2x − 2题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题31．()()4212x x −+的展开式中2x 的系数为 （用数字作答）．32．81()y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为 （用数字作答）．33．712(1)x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．7−B ．7C ．77D ．77−34．6211(2)2x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．18035．6(2)(2)x y x y −+的展开式中25x y 的系数是 ．（用数字填写答案）36．()3532()x x a −+的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中4x 的系数为（ ）A ．130−B ．46C ．61D ．19037．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x −+，则5a =（ ）A ．16B ．14C ．6−D ．10−题型8 由项的系数或系数和确定参数 38．设()2340123412nn n x a a x a x a x a x a x −=++++++，若0417a a +=.则n = .39．()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含7x 项的系数是（ ） A ．600−B ．840−C ．1080−D ．2040−40．已知()12nx +的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则3123nx x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x 的系数为（ ） A ．294−B ．826−C ．840−D ．854−41．若()421ax x −+的展开式中5x 的系数为56−，则实数=a ．42．42x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭−的展开式中的常数项与321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项相等，则a 的值为（ ）A ．3−B ．2−C ．2D ．343．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答）44．5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．40B ．160C ．0D ．32045．（多选）在()()5312x x a −−的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）A ．3a =B ．展开式中的常数项为32−C ．展开式中4x 的系数为160D ．展开式中无理项的系数之和为242−46．已知()2nx y −的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52x y 项的系数为（ ） A ．―4 B ．84C ．―280D ．56047．（多选）已知()31nx n x *⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项，则n 的可能取值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10题型9 奇次项与偶次项的系数和48．若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x −=++++++，则246a a a ++=（ ） A ．64B ．33C ．32D ．3149．若()()522701273321x x x a a x a x a x −−−=++++，则0246a a a a +++= ．50．()()41a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则=a （ ） A ．2− B ．2C ．3−D ．3 51．若()()()()20232202301220231111x m a a x a x a x ++=+++++++，且()()2220230220221320233a a a a a a +++−+++=，则实数m 的值为 .题型10 等式两边求导后求和52．（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x −=+−+−++−，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯53．（多选）已知多项式220121(12)(13),19m nn x x a a x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅+=−，则（ ）A ．12m n +=B ．12324n a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．24a =−D ．12323368n a a a na +++⋅⋅⋅+=−题型11 展开式系数最大的项54．在822x x ⎫⎪⎭的展开式中，①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项；55．212n x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则212nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项的系数为 .题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑56．已知()()()()21001210101111a a a x x x a x =+−+−+⋅⋅⋅+−+，则8a =________． 57．已知多项式()()()()10210012101111x a a x a x a x −=+++++++，则7a =（ ）A ．－960B ．960C ．－480D ．48058．(多选)已知923901239(25)(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x −=+−+−+−++− ，则下列结论成立的是A ．0191a a a +++=B ．876012382226256a a a a a +++++=C ．9012393a a a a a −+−+−= D ．123923918a a a a ++++=题型13 赋值求系数和59．若()42340123421x a a x a x a x a x −=++++，1234a a a a +++=________.60．若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x −=+−+−+−+−+−，则下列结论中正确的是（ ）A ．01a =B ．480a =C ．50123453a a a a a a +++++= D ．()()10024135134a a a a a a −++++=61．（多选）若202123202101232021(12)(R)x a a x a x a x a x x −=+++++∈，则（ ）A ．01220211a a a a ++++=−B ．20211352021312a a a a +++++=C ．20210242020132a a a a −++++= D ．123202123202112222a a a a ++++=− 62．已知5250125())(1)(1)(1)(x m a a x a x a x m R +=+−+−++−∈，若225024135()()3a a a a a a ++−++=则m ＝_________或_________.63．已知2323122202222312a a a a a x x x x x⎛⎫−=+++++ ⎪⎝⎭，则0121222221222a a a a ++++= A ．－1B ．0C ．1D ．2广东省二模T7改 64．已知2023220230122023(1)x a a x a x a x −=++++，（1）展开式中的二项式系数为________， （2）122023a a a =+++________，（3）2023202220210122023222a a a a =++++________，（赋值）（4）122023111a a a +++=________.（对称性）题型14 整除和余数问题 65．20233被8除的余数为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．766．二项式()20235x +展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ．67．108除以49所得的余数是 . 68．20242023被4除的余数为 .69．若2022n =，则1122155C 5C 5C n n n n n n n −−−++++除以7的余数是 .70．()2023678−除以17所得的余数为 .71．（多选）若()54325101051f x x x x x x =−+−+−，则（ ）A ．()f x 可以被()31x −整除B ．()1f x y ++可以被()4x y +整除C ．()30f 被27除的余数为6D ．()29f 的个位数为6题型15 二项式定理与杨辉三角72．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为（用最简分数表示）.73．如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前30项的和为（ ）A ．680B ．679C ．816D ．81574．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）A ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B ．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C ．记“杨辉三角”第n 行的第i 个数为i a ，则()11123n i ni i a +−==∑D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2:3题型16 二项式定理与数列75．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21N n n S a n =−∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2023nn n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.76．已知数列{}n a 的通项公式为121n n a −=+．求0121231C C C C nn n n n n a a a a +++++的值．77．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=−，514a =，426S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知011221C 3C 3C 3C 3C n n n n n n n n n n n b −−−=⋅+⋅+⋅++⋅+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .78．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()231n n S b =−，等差数列{}n c 中1123,5,27c c c c =++=. (1)求{}n b 和{}n c 的通项公式；(2)数列{}n b 与{}n c 的共同项由小到大排列组成新数列{}n a ，求数列}{n a 的前20的积20T . 79．已知数列{}n a 前n 项和232n n n S +=，{}n b 的前n 项之积()(1)*22N n n n T n +=∈. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式.(2)把数列{}n a 和{}n b 的公共项由小到大排成的数列为{}n c ，求1220c c c ++⋅⋅⋅+的值. 80．（多选）已知当0x >时，111ln 11x x x ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，则（ ） A ．188e 7>B ．1111ln8237++++> C ．111ln8238+++< D ．018888018C C C e 888+++<81．已知()20032001C 62nnnn a −⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭（1n =，2，⋯，95），则数列{}n a 中整数项的个数为（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16专题8-2 二项式定理16类常考问题汇总题型1 求展开式中的指定项 题型2 求指定项的系数 题型3 二项式系数最大的项 题型4 展开式所有项系数和 题型5 展开式二项式系数和 题型6 三项展开式问题题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型8 由项的系数或系数和确定参数 题型9 奇次项与偶次项的系数和 题型10 等式两边求导后求和 题型11 展开式系数最大的项题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑 题型13 赋值求系数和 题型14 整除和余数问题 题型15 二项式定理与杨辉三角 题型16 二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数n ，都有：()011*()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N −−+=+++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b −+=，其中的系数(0,1,2,,)rnC r n =⋯叫做二项式系数 2、二项式()n a b +的展开式的特点：（1）项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； （3）次数：a ，b 次数和均为n（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即r n rn nC C −= （5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数1122,n n nnCC−+相等，且最大3、二项展开式的通项：1(0,1,2,,)r n r rr n T C a br n −+==公式特点：（1）它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是r n C ； （2）字母b 的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项 例：对于()n x a +（1）二项式系数之和为2n ，即012342n n nn n n n n C C C C C C ++++++=；（2）所有展开式系数和为(1)n b +，展开式为：()011*()n n n r n r rn nn n n n x b C x C x b C x b C b n N −−+=+++++∈，可以表示为：()1*01()n n n x b a a x a x n N +=+++∈，令1x =即可得出所有项系数和（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即02413512n n n n n n n C C C C C C −+++=+++=．知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第1r +项r n r r n C a b −的二项式系数是组合数r n C ，展开式的系数是单项式r n r r n C a b −的系数，二者不一定相等．（2）()n a b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法(,,0p q r ≥的整数且)p q r n ++=()[()]()n n r n r r r qn r q q r n n n r a b c a b c C a b c C C a b c −−−−++=++=+=（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果．题型1 求展开式中的指定项1．式子12(1)x −二项式定理展开中的第6项为 ． 【答案】7792x −【解析】由()121x −，所以二项展开式的通项公式()121211C rr rr T x −+=⋅−⋅，012r ≤≤，r ∈Z ， 令=5r ，可得展开式的第六项为()5775121792C x x ⋅−⋅=−. 2．二项式5312x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为（ ）A ．160B ．80x −C ．380x D ．740x −【解析】【答案】C 【分析】根据二项式展开式公式即可求解. 【详解】因为()51531C 2kkkk T x x −+⎛⎫=⋅− ⎪⎝⎭，所以()2323533180C 2T x x x ⎛⎫=⋅−=⎪⎝⎭，故C 项正确. 3．533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，有理项是第 项．【解析】【答案】3 【分析】求出二项式展开式的通项公式，根据有理项的含义，确定参数的值，即可得答案.【详解】533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项511051362155C 3C 3kkkk k k k T x x x−−−+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅， 其中0,1,2,3,4,5k =， 当1k T +为有理项时，1056k−为整数，结合0,1,2,3,4,5k =， 所以2k =，即有理项是展开式中的第3项4．6232x x −⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中有理项的个数为 .重点题型·归类精练【答案】3【解析】展开式的通项为()2566633166C (2)(1)2C 0,1,2,,6rrr r r r rr T x x x r −−−−+⎛⎫=−=−= ⎪⎝⎭，要为有理项，则563r −为整数，故r 可取03,6,，共有3项有理项.题型2 求指定项的系数5．二项式5(2)x y −的展开式中，含2y 项的系数为 . 【答案】40【解析】二项展开式的通项为515C (2)r rr r T x y −+=−，令2r =，则2323235C (2)40T x y x y =−=.故答案为：40.6．在7(3)x −的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．21− B ．21 C ．189 D ．189−【解析】【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.【详解】由二项展开式的通项公式得11772277C 3()C 3(1)r r r r r r r x x −−−=−，令132r =得6r =，所以3x 的系数为667C 3(1)21−=.7．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．－150B.150C.－240D.240【答案】D【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6x 6－k ·(－2)k ·x －k2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240.8．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】162 5【解析】该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 【答案】162 5题型3 二项式系数最大的项9．已知二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n = . 【答案】6【解析】因为二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项， 所以n 为偶数且32n=，可得6n =. 10．()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】【答案】C【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n 为偶数，故142n+=，得6n =.故选：C11．1nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .【答案】12120x【解析】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即162n+=，所以10n =，所以317324101C 120T x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.12．在()1nx +的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于 . 【答案】11、12、13【解析】在()1nx +的展开式中，每项的系数等于其二项式系数， ①当只有第7项系数最大时，即只有6C n 最大时，则n ＝12；②当第6项和第7项的系数相等且最大时，即56n n C C =最大时，则n ＝11；③当第7项和第8项的系数相等且最大时，即67C C n n =最大时则n ＝13，综合①②③可得n 的值可能等于11、12、13， 故答案为：11、12、13.题型4 展开式所有项系数和13．若32nx x 的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为（ ）A ．112B ．124C ．116D ．132【答案】D【解析】32nx x 的第4项为：())3353133223111C C 22n n n nT x x x −−−+⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因其为常数项，则5n =.令1x =，可得展开式的各项系数的和为5111232⎛⎫−=⎪⎝⎭. 14．在54(1)(12)x x ++−的展开式中，所有项的系数和等于 ，含3x 的项的系数是 ． 【分析】用赋值法，令1x =求所有项的系数和；分析含3x 的项的构成，直接求得.【详解】解：423450123455(1)(12)a a x a x a x a x a x x x =+++++++−所以令1x =代入得：401235554(11)(12)2133a a a a a a =++++−+++=+=； 而333333354(2)22a C x C x x x =+−=−故答案为：33；22−.15．若8231x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，其中a 为常数，则该展开式中4x −项的系数为【分析】由1x =结合所有项的系数和得出1a =，再由二项展开式的通项求解即可.【详解】因为 8231x a x ⎫⎪⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，所以)81256a =，解得1a =，由题意得 82311x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x −项的系数与8311x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的6x −项的系数相同.8311x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项()318C 0,1,2,,8r r r T x r −+==，令36r −=−，得2r =，所以展开式中 4x −项的系数为28C 28=. 16．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答） 【分析】令1x =，则()()3112a +−即为展开式中所有项的系数和，可计算出a 的值，结合二项展开式的通项公式计算即可得.【详解】令1x =，则()()31120a +−=，即1a =−，则对31x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，有()()33321331C C 1kk k k kk k T x x x −−−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭， 令321k −=，即1k =，有()21123C 13T x x =−=，即有223T x x ⨯=， 令322k −=，则12k =，舍去； 故展开式中2x 的系数为3.题型5 展开式二项式系数和17．（多选）已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的第三项的系数为45，则（ ） A ．9n =B ．展开式中所有系数和为1024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含3x 的项是第7项【解析】【答案】BCD 【分析】由二项式定理相关知识逐项判断即可.【详解】3241n x x 展开式的第三项为：2422232232223412431C C C n n n n nnT x xx xx −−−==⋅=，所以第三项的系数为：2C 45n =，所以10n =，故A 错误；所以103241x x ，所以令1x =得展开式中所有系数和为1021024=，故B 正确； 展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C 正确；通项公式为(102101130323412411010101C CC rr r r rr rr r T x xxxx −−−+==⋅=，令1130312r −=，解得6r =，所以含3x 的项是第7项.故D 正确； 故选：BCD.18．在32nx x ⎛ ⎝的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中7x 的系数为 （用数字填写答案）； 【答案】280【解析】依题意可得2128n =，则7n =，所以732x x ⎛ ⎝展开式的通项为()()()7217732177C 2C 21rr r r r r r r T x xx −−−+⎛==− ⎝（07r ≤≤且N r ∈）， 令72172r −=，解得4r =，所以()4437757C 21280T x x =⨯⨯−=，所以展开式中7x 的系数为280.19．若31nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中41x 的系数为 .【答案】56 【分析】通过二项式系数和求出4n =，然后求出831x x ⎫⎪⎭展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即可.【详解】由31nx x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数之和为16，得216n =，所以4n =，则831x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848331881C C rr rrrr T x x x −−+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令8443r −=−，解得=5r ，故231nx x ⎫⎪⎭的展开式中41x 的系数为58C 56=. 故答案为：5620．（多选）在()521x −的展开式中，则（ ） A ．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B ．所有项的系数和为0 C ．常数项为1−D ．所有项的二项式系数和为64 【分析】根据二项式系数015555C ,C ,,C 的性质即可判断AD ；根据项的系数之和为(1)f 即可判断B ；根据二项式展开式的通项公式即可判断C.【详解】A ：所有项的二项式系数为015555C ,C ,,C ，最大的为25C 和35C ，对应的是第3项和第4项，故A 正确；B ：设5()(21)f x x =−，所有项的系数为015,,,a a a ， 所以5015(1)(211)1a a a f +++==⨯−=，故B 错误；C ：二项式展开式的通项公式为55C (2)(1)(0,1,2,3,4,5)rr r x r −−=， 令50r −=，解得=5r ，所以常数项为5055C 2(1)1⋅⋅−=−，故C 正确； D ：所有项的系数之和为0155555C +C C 232++==，所以D 错误.故选：AC21．若2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的第一项为532x ，最后一项为51x −，则下列结论正确的是（ ）A ．5n =B ．展开式的第四项的二项式系数等于40−C ．展开式中不含常数项D ．展开式中所有项的系数之和等于32【解析】【答案】AC 【分析】通过()551C 232,C nnnnna x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭计算可判断A ；直接求第四项的二项式系数可判断B ；求出展开式的通项，观察后可判断C ；令1x =，计算可判断D. 【详解】选项A ：依题意有()0551C 232,C nnnnna x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，解得5,1n a ==−，所以A 正确；选项B ：展开式的第四项的二项式系数应为35C 10=，故B 错误；选项C ：512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的通项()()55521551C 21C 2rr r r r r rr T x x x −−−+⎛⎫=⋅−=− ⎪⎝⎭， 由于r ∈N ，所以520r −≠，因此展开式中不含常数项，故C 正确；选项D ：令1x =，可得展开式中所有项的系数之和等于512111⎛⎫⨯−= ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC.22．若()*31N nx n x ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．8C ．28D ．56【解析】【答案】C 【分析】根据31nx x ⎫⎪⎭的展开式中所有项的二项式系数之和求出n 的值，从而写出231nx x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式，再令x 的指数为0，即可求解常数项．【详解】由()*31N nx n x ⎫∈⎪⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得216n =，所以4n =，则二项式831x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为(848331881C C rr rrrr T x x x −−+⎛⎫== ⎪⎝⎭（08r ≤≤且N r ∈），令8403r−=，解得2r =， 所以238C 28T ==，故831x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为2823．在322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，若1056n n a b +=，则n =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】【答案】B 【分析】依题意可得2n n a =，令1x =得到4n n b ，从而求出n .【详解】由32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令1x =可得各项系数之和为4n n b ，又各二项式系数之和为2n n a =，因为1056n n a b +=，则421056n n +=，解得232n =或233n =−（舍去）， 所以5n =.题型6 三项展开式问题24．若0m ≠，且()622312112312x x m a a x a x a x a x −+=++++⋅⋅⋅+，则m 的值为 .【答案】6−【解析】由题意得()62x x m −+的展开式中的常数项与一次项系数相等，则()6156C 1m m =−，解得6m =−或0（舍去）.25．6(21)x y −+展开式中含2x y 项的系数为 ． 【解析】6(21)x y −+展开式中，含2x y 的项是：()221264C C 2120x y x y −=−.故答案为：120−26．()()6211x x x ++−的展开式中2x 的系数为（ ）A ．9B ．10C ．24D ．25【答案】B 解析：()()()()()66662211111x xx x x x x x ++−=−+−+−，所以2x 的系数为()()22106661110C C C −+−+=；故选B27．3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭中常数项是 ．（写出数字）【答案】11【解析】3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中当2x ，1x −，2对应的次数分别为0，0，3和1，2，0时即为常数，所以常数项为212331C 23811x x ⎛⎫−+=+= ⎪⎝⎭．28．()52x y z −+的展开式中，3x yz 的系数为 ． 【答案】40−【解析】()52x y z −+的展开式通项为()515C 2rr rr A x y z −+=−+， ()2ry z −+的展开式通项为()()1C 2C 2r kr kkk k r k k k rr B y z y z −−−+=⋅−=⋅−，其中05k r ≤≤≤，k 、N r ∈，所以，()52x y z −+的展开式通项为()51,15C C 2r kr kr r k k r k r T x y z −−−++=−，由题意可得5311r r k k −=⎧⎪−=⎨⎪=⎩，解得21r k =⎧⎨=⎩，因此，()52x y z −+的展开式中3x yz 的系数为()2152C C 240⨯−=−.29．已知()22121nx x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为27，则4x 项的系数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．15【分析】先由展开式中各项系数和为27，求出3n =，直接求出展开式，得到4x 项的系数.【详解】由题意可得：令x =1可得()12111271n ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭，解得：3n =.所以原式为()()()333222221121211x x x x x x x x x x ⎛⎫−++=⨯++−++ ⎪⎝⎭.要求4x 项，只需求出()321x x ++展开式中2x 和5x 项.()()()()()()()()()312332120212223233331C 1C 1C 1C 1x x x x x x x x x x ++=+++++++()()()3224613131x x x x x x =++++++ 65432367631x x x x x x =++++++所以()322121x x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项为45411239x x x x −⨯=.30．若()522100121022x x a a x a x a x −+=++++，则5a = ．【解析】【答案】592− 【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.【详解】()5222x x −+表示5个因数()222x x −+的乘积.而5a 为展开式中5x 的系数，设这5个因数()222x x −+中分别取2x 、2x −、2这三项分别取,,i j k 个，所以5i j k ++=，若要得到含5x 的项，则由计数原理知,,i j k的取值情况如下表：2x 2x − 2i 个j 个k 个 0 5 0 1 3 1 212由上表可知)()()()()531132143315554532222232320240592C C C C C a −−=−+⋅−⋅+⋅−⋅=−+−+−=−.故答案为：592−.题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题31．()()4212x x −+的展开式中2x 的系数为 （用数字作答）．【答案】8−【解析】由题意得：()42x +展开式的通项为：414C 2rrr r T x−+=，当42r −=时，即：2r =，得：222234C 224T x x ==， 当40r −=时；即：4r =，得：40454C 216T x ==，所以得：()()4212x x −+展开式中含2x 项为：22216248x x x −=−，所以2x 的系数为：8−.32．81()y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为 （用数字作答）．【答案】-28【分析】()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +−+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x x ⎛⎫−++−+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x −=−，()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为-28故答案为：-2833．712(1)x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．7−B ．7C ．77D ．77−【答案】B【解析】()71x −的展开式通项为()()177C 1C rrr rr r T x x +=⋅−=−⋅，故()7121x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为()()23237721C 1C 7⨯−+−= 34．6211(2)2x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．180【解析】【答案】A 【分析】由题意可得所求的展开式中2x 的系数为6(2)x −展开式二次项系数与四次项系数的一半的和.【详解】6(2)x −展开式的通项公式为()61612C rr r rr T x −+=−， 则原展开式中2x 的系数为()()24422466112C 12C 2702−⨯+⨯−⨯=.35．6(2)(2)x y x y −+的展开式中25x y 的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】108−【解析】666(2)(2)(2)22()x y x y x x y y y x −++=−+，所以展开式中含25x y 的项有556C 2x xy 和()24462C 2y x y −， 所以25x y 的系数为542662C 2C 212120108−⨯=−=−，故答案为：108−36．()3532()x x a −+的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中4x 的系数为（ ）A ．130−B ．46C ．61D ．190【答案】A【解析】令1x =，则5(1)243a +=，解得2a =.所以()3532(2)x x −+展开式中4x 的系数是：414553C 2(2)C 2130⨯⨯+−⨯⨯=−. 37．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x −+，则5a =（ ）A ．16B ．14C ．6−D ．10−【解析】【答案】C 【分析】将()51x +展开，观察345,x x x , 的系数，对应()22x −的展开相乘，相加得到答案.【详解】解析：由题意，()()()()255221441x x x x x −+=−++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x −⋅⋅055546C x x +⨯=−，所以56a =−，故选：C.题型8 由项的系数或系数和确定参数 38．设()2340123412nn n x a a x a x a x a x a x −=++++++，若0417a a +=.则n = .【答案】4【解析】()12nx −展开式的通项公式为：()C 2rr n x −，分别令0,4r r ==，01a ∴=，4416C n a =， 则0417a a +=，即4116C 17n +=，解得：4n =.故答案为：4.39．()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含7x 项的系数是（ ） A ．600− B ．840− C ．1080− D ．2040−【答案】D【分析】利用赋值法令1x =由各项系数之和为1可求得2a =，由通项可得展开式中含7x 项的系数是2040−. 【详解】因为()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1， 令1x =，得5(1)1a −+=，解得2a =，所以()52232x x −+的展开式中含7x 项为()()()()32332122375253C 2C 32C 2C 32040x x x x x −⨯+−=−，所以该展开式中含7x 项的系数是2040−.40．已知()12nx +的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则3123nx x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x 的系数为（ ） A ．294− B ．826− C ．840− D ．854−【答案】D【分析】第一步：根据已知求得n ，第二步：分类求展开式中1x的系数，第三步：求和即可得解. 【详解】由题知，121C C 29n n ++=，解得7n =或8n =−（舍去）．则72x x ⎫⎪⎭的展开式的通项()73721772C 2C rr r r rr r T x x x −−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，当313x +中取3时，72x x ⎫⎪⎭的展开式中取含1x 的项，令7312−=−r ，解得3r =，()37332C 840⨯−=−； 当313x +中取31x 时，72x x ⎫⎪⎭的展开式中取含2x 的项，令7322r −=，解得1r =，()172C 14−=−． 所以3123nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为84014854−−=−. 故选：D ．41．若()421ax x −+的展开式中5x 的系数为56−，则实数=a ．【答案】2【解析】()()442211ax x x ax ⎡⎤−+=+−⎣⎦,所以()421x ax ⎡⎤+−⎣⎦的展开式的通项为:()()()()2221444C C C C C rr tttrr t r t r tr r r T x ax x ax a x−−+=−=−=−， 其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==，令25r t −=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩， 当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3143C C 12a a ⋅⋅−=−， 当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()343344C C 4a a ⋅⋅−=−， 因为5x 的系数为56−，所以312456a a −−=−，即33140a a +−=，即()()22270a a a −++=，所以2a =.42．42x x ⎛⎫⎪⎝⎭−的展开式中的常数项与321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项相等，则a 的值为（ ）A ．3−B ．2−C ．2D ．3【解析】【答案】D【分析】计算出两个二项式的常数项，从而得到关于a 的方程，解出即可. 【详解】42x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭−的展开式中的常数项为22424C ()24x x −=，321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项032233321C C 3a x a x ⎛⎫+−=− ⎪⎝⎭, 所以3324a −=,即3a =43．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答） 【答案】3− 【分析】令1x =，则()()3112a +−即为展开式中所有项的系数和，可计算出a 的值，结合二项展开式的通项公式计算即可得.【详解】令1x =，则()()31120a +−=，即1a =−，则对31x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，有()()33321331C C 1kk k k kk k T x xx −−−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭， 令321k −=，即1k =，有()21123C 13T x x =−=−，即有223T x x ⨯=−，令322k −=，则12k =，舍去； 故展开式中2x 的系数为3−.44．5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．40B ．160C ．0D ．320【解析】【答案】C 【分析】取1x =代入计算得到1a =，确定512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的通项，分别取3r =和2r =计算得到答案.【详解】5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，令1x =，可知23a +=，1a =，故5551111221222x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−=−+− ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的通项为()()55521551C 2C 21rr r r r rr r T x xx −−−+⎛⎫=⋅⋅−=⋅⋅− ⎪⎝⎭， 分别取3r =和2r =得到常数项为：()()32353252552C 21C 210−−⨯⋅⋅−+⋅⋅−= 45．（多选）在()()5312x x a −−的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）A ．3a =B ．展开式中的常数项为32−C ．展开式中4x 的系数为160D ．展开式中无理项的系数之和为242−【解析】【答案】BC【分析】先根据各项系数和结赋值法得2a =判断A ，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含4x 的系数及无理项系数之和判断BCD. 【详解】根据题意令1x =，得())5312x x a −的展开式中各项系数和为()511a −−=，则2a =，A 错误；则())()()553312122x x ax x −=−⋅，又)52x 的展开式的通项为()52152C k k k k T x −+=−，0,1,,5k =，所以展开式中的常数项为()55512C 32⨯−=−，B 正确；含4x 的项为()3334522C 160x x x −=⋅−，其系数为160，C 正确；展开式中无理项的系数之和为()()()()()024*********C 2C 2C 14080121⎡⎤−−+−+−=−++=−⎣⎦，D 错误. 故选：BC.46．已知()2nx y −的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52x y 项的系数为（ ）。
6-2第2单元_电场_电场强度
第2单元 电场 电场强度一、法拉第电场理论1．电荷周围有电场，电场是看不见摸不着的，但它却是客观存在的．2．电场对放入其中的电荷有力的作用(电场的力的性质)．3．放入电场中的电荷具有电势能，电势能的多少还与零势能面的选择有关(电场的能的性质)．二、电场强度1．定义放入电场中某一点的点电荷受到的电场力F 跟它的电荷量q 的比值，叫做这一点的电场强度．2．定义式：E ＝F q(1)场强是描述电场力的性质的物理量．电场中某点的场强与试探电荷(检验电荷)的电性和电量q 无关，与试探电荷所受的电场力F 无关．即使无试探电荷存在，该点的场强依然是原有的值．场强只是由电场本身的特性决定的．(2)试探电荷(检验电荷)：是一种理想化的模型．一般认为其电荷量很小，为研究问题而将其放入电场，对原有电场的分布无影响．(3)电场强度是矢量，规定电场中某点的场强方向，跟正电荷在该点的受力方向相同，与放在该点的负电荷受力方向相反．3．真空中的点电荷Q 形成的电场(1)距Q 为r 的P 点场强大小：E ＝k Q r 2.(2)场强的方向：如果Q 是正电荷，场强方向就是沿QP 连线背离Q ；如果Q 是负电荷，E 的方向就是沿着QP 连线指向Q .4．E ＝F q 和E ＝k Q r 2两个公式的比较(1)E ＝F q 是场强的定义式，是一个适用各种电场的普适公式；E ＝k Q r 2是由库仑定律和场强的定义式推导出来的，仅适用于真空中的点电荷形成的电场．(2)E ＝F q 中q 是引入的试探电荷，故E 与q 无关．而E ＝k Q r 2中Q 是产生电场的场源电荷．当r 不变时E 与Q 成正比．【考题随练1】 电场中有一点P ，下列说法正确的是( )A ．若放在P 点的试探电荷的电荷量减半，则P 点场强减半B ．若P 点没有试探电荷，则P 点的场强为零C ．P 点的场强越大，则同一电荷在P 点受到的电场力越大D ．P 点的场强方向为试探电荷在该点的受力方向【解析】 场强的大小和方向是由该点的电场本身决定的，与是否放入试探电荷无关．场强的方向规定为正电荷在该点受力方向，所以，A 、B 、D 三项错误．由E ＝F q 得F ＝qE .同一试探电荷，场强越大，电场力越大，C 项正确．【考题随练2】 下列说法正确的是( )A ．公式E ＝F q ，只适用于真空中点电荷产生的电场B ．由公式E ＝F q 可知，电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受电场力成正比C ．在公式F ＝k Q 1Q 2r 2中k Q 2r 2是点电荷Q 2产生的电场在点电荷Q 1处的场强大小；而k Q 1r 2是点电荷Q 1产生的电场在点电荷Q 2处场强的大小D ．由公式E ＝k Q r 2可知，在离点电荷非常近的地方(r →0)，电场强度可达无穷大【解析】 E ＝F q 适用于任何电场，A 项错；电场中某点电场强度由电场本身决定，B 项错；点电荷间的相互作用力是通过电场产生的，C 项对；E ＝k Q r 2是点电荷产生的电场中某点场强的计算式，当r →0时，所谓“点电荷”已不存在，该公式不适用．三、电场线1．定义为了形象的描绘电场，人为地在电场中画出一系列从正电荷出发到负电荷终止的曲线，使曲线上每一点的切线方向跟该点的场强方向一致，这些曲线就叫电场线．2．电场线的特点(1)静电场的电场线是不闭合的曲线，总是从正电荷(或无穷远处)发出，终止于负电荷(或无穷远处)．(2)在没有电荷的地方，电场线不会中断，也不会相交．(3)电场线的疏密表示场强的大小，电场线越密的地方，其场强就越大．(4)电场线上某点的切线方向即该点的场强方向也就是正电荷在该点所受电场力的方向，因此电场线不是电荷在电场中的运动轨迹．(5)电场线是为了形象的表示电场的方向和强弱引入的假想线，它不是电场中实际存在的线．3．几种典型电场的电场线分布如下图所示4．匀强电场(1)意义：在电场的某一区域里，如果各点的场强的大小和方向都相同，这个区域的电场就叫匀强电场．(2)实例：两块靠近的、大小相等且互相正对的平行金属板，若分别带上等量异种电荷，两板之间的电场为匀强电场如右图所示，这也是教科书中讲平行板电容器的一个原因．(3)电场线分布：均匀分布的相互平行的直线．【考题随练3】关于同一电场的电场线，下列表述正确的是()A．电场线是客观存在的B．电场线越密，电场强度越小C．沿着电场线方向，电势越来越低D．电荷在沿电场线方向移动时，电势能减小【解析】电场是客观存在的，而电场线是假想的，A项错．电场线越密的地方电场强度越大，B项错．沿着电场线的方向电势逐渐降低，C项对．负电荷沿着电场线方向移动时电场力做负功电势能增加，D项错．【答案】 C四、静电屏蔽1．定义由于静电感应，可使金属网罩或金属壳内的场强为零，遮挡住了外界电场对它们的影响，这种现象叫静电屏蔽．2．说明金属包皮或网罩只能屏蔽外来电场，但不能挡住内部电荷向外激发的电场．3．静电平衡的几个特点(1)处于静电平衡状态的导体其内部合场强为零．导体内无净电荷，电荷只分布在导体表面．(2)导体表面处场强与面电荷密度成正比．导体表面曲率大的地方电荷面密度也大．(3)处于静电平衡状态的整个导体是个等势体，它的表面是个等势面．处于静电平衡的导体，其外部表面附近任何一点的场强方向跟该点的表面垂直．地球是一个极大的导体，可以认为处于静电平衡状态，所以它是一个等势体．【考题随练4】(原创题)如下图所示，一电子射线演示仪简图．Ⅱ区为空金属壳体，关于电子的运动，以下说法正确的是()A．电子在Ⅰ区匀速运动B．电子在Ⅱ区匀速运动C．电子在Ⅲ区匀速运动D．电子在Ⅲ区匀加速运动【解析】由于Ⅱ区为空金属壳体，外电场被屏蔽．电子受电场力为零，做匀速直线运动．在Ⅰ区做加速直线运动．在Ⅲ区做减速直线运动，B选项正确．【答案】B高考调研规律(三十六)求合场强的四种特殊方法电场的叠加原理：如果有几个点电荷同时存在，它们的电场就互相叠加形成合电场．这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和．(1)同一直线上电场叠加，E 合＝E 1±E 2(同向则应相加，异向则应相减)．(2)不在同一直线上电场叠加，E 合用平行四边形定则求解．以上是求合场强最基本的方法，求合场强还有一些技巧型的方法如：对称法、补偿法、等效替换法、极限法、特值法、微元法等．1．对称法利用带电体电荷分布具有对称性，或带电体产生的电场具有对称性的特点求合场强的方法．【考题随练1】 如图所示，电量为＋q 和－q 的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有( )A ．体中心、各面中心和各边中点B ．体中心和各边中点C ．各面中心和各边中点D ．体中心和各面中心【解析】 两个等量同种电荷在其连线的中点处的合场强为零．两个等量同种正电荷在其连线的中垂线上的合场强沿中垂线指向远离正电荷的方向．两个等量同种负电荷在其连线的中垂线上的合场强沿中垂线指向负电荷的方向．在正方体的上面中心，上面的四个电荷分成两组产生的场强都是零，下面的四个电荷分成两组产生的场强等大反向，所以正方体的上面中心处的合场强为零，同理所有各面中心处的合场强都为零．在体中心，可以将八个电荷分成四组，产生的合场强为零．而在各边中心，场强无法抵消，合场强不为零．正确答案是D 项．【答案】 D【学法指导】 第一，电场的叠加遵从平行四边形定则；第二，利用对称法；第三，采用定性比较的方法，如右图所示，对于各边中点的场强，例如P 点场强，起决定作用的是该边两端的电荷，其中一个电荷在中点的场强就为kq a 2 2，而产生反方向场强的两个电荷，到P 点的间距大于a ，由此可判断在P 点的实际场强不为零．2．补偿法补偿法：题目所给的模型不是一个标准的模型，这时填补一些条件就可以成为学生常见的熟知的模型，最终将填补的模型产生的影响去掉即可．【考题随练2】 (2014·河北石家庄)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB 上均匀分布正电荷，总电荷量为q ，球面半径为R ，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有M 、N 两点，OM ＝ON ＝2R .已知M 点的场强大小为E ，则N 点的场强大小为( )A.kq 2R 2－EB.kq 4R 2C.kq 4R 2－ED.kq 4R 2＋E【解析】 首先进行补偿，如下图所示，右侧也有对称的q ，则可以将补偿后的圆，看成带电量为2q ，电荷中心在O 点，若将带电量为2q 的球面放在O 处．根据对称性可知，原来q 在圆心左侧2R 处产生的场强为E ，则补偿部分在N 点产生的场强也为E ，方向水平向右，但这是在完整圆环多补的，故E N ＝k 2q 2R 2－E ＝kq 2R 2－E ，A 选项正确．3．等效替换法等效替换法：一般情况下不同的带电导体会形成不同的电场，但有时不同的带电导体也能在某个区域形成相同的电场，只要形成的电场相同我们就可以将带电导体进行等效替换．将不熟悉的模型转化为熟悉的模型进行解题．【考题随练3】 电荷量为Q 的正点电荷距一很大的接地金属板的距离为a ，如右图所示，试求金属板对点电荷的静电力．【解析】 金属板由于静电感应，左侧出现正电荷，右侧出现负电荷，又由于金属板接地，所以正电荷消失．以现有知识，我们无法直接求解，但我们能想到，点电荷与带电平板间的电场线分布，跟在左侧与金属板距离相等的位置处放置一个等量负电荷时产生的电场线分布一致，如下图所示．由库仑定律，得F ＝k Q 2r 2，所以F ＝k Q 2 2a 2＝k Q 24a 2，方向垂直指向金属板．【学法指导】 本题从表面形式上看，很大的金属板上的负电荷与电荷量为Q 的正点电荷间的作用无从解决，但通过对称性，将非点电荷的情景构建为点电荷的模型来计算，不能不说这是一种利用对称性的巧妙构思．【考题随练4】 (2013·安徽)如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满z <0的空间，z >0的空间为真空．将电荷为q 的点电荷置于z 轴上z ＝h 处，则在xOy 平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷q 和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z 轴上z＝h 2处的场强大小为(k 为静电力常量)( )A ．k 4q h 2B ．k 4q 9h 2C ．k 32q 9h 2D ．k 40q 9h 2【解析】 根据题意可知，电荷q (不妨令带正电)与导体表面上的感应电荷共同激发的电场等效于如下图所示形成的电场．而这种电场进一步等效为如右图所示的情景．因此，在z 轴上z ＝h 2处的场强转换为＋q 在h 2处产生的沿－z 方向的场强E 1＝k q h 2 2和－q 在3h 2处产生的沿－z 方向的场强E 2＝k q 3h 2 2，故合场强E ＝k 40q 9h 2，D 选项正确，其他选项错误．4．极限特值法极限特值法：是把某个物理量推向极端，极端是一种特例，特例应包含在一般规律当中．对于许多选择题，利用极限法可以很容易的排除掉一部分选项，有时甚至可以排除掉三个选项．高考综合拓展(三十)电场力常考的四类题型电场强度是从力的角度描述电场的，只要题目中给出电场强度就意味着给出了电场力． 电场线生动形象的描述空间中电场强度的分布．电荷在电场中受到电场力的作用，解题时要准确的判断电荷所受电场力的大小及方向往往是解题的关键．1．电场力作用下的平衡问题合理的选择研究对象，按顺序受力分析，依据平衡条件列出平衡方程是解题的关键．【例1】 (2013·新课标全国Ⅱ)如右图所示，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a 、b 和c 分别位于边长为l 的正三角形的三个顶点上；a 、b 带正电，电荷量均为q ，c 带负电．整个系统置于方向水平的匀强电场中．已知静电力常量为k .若三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为( )A.3kq 3l 2B.3kq l 2C.3kq l 2D.23kq l 2【解析】 本题考查库仑定律、电场力、平衡条件及其相关知识点，意在考查考生综合运用知识解决问题的能力．设小球c 带电荷量为Q ，由库仑定律可知小球a 对小球c 的库仑引力为F ＝k qQ l 2，小球b 对小球c 的库仑引力为F ＝k qQ l 2，二力合力为2F cos30°.设水平匀强电场场强的大小为E ，对c 球，由平衡条件，可得QE ＝2F cos30°，解得E ＝3kq l 2，选项B 正确．2．电场力作用下的动态平衡【例2】 在匀强电场中，将质量为m ，带电量为q 的小球由静止释放，带电小球的运动轨迹为一直线，该直线与竖直方向的夹角为θ，如右图所示，则电场强度的大小为( )A ．有唯一值mg tan θ/qB ．最小值是mg sin θ/qC ．最大值mg tan θ/qD ．mg /q 【解析】 如右图所示，利用三角形定则，很容易判断出AB 跟速度方向垂直时，电场强度有最小值．【答案】 B3．利用电场线的分布研究电场力电场线是认识和研究电场问题的有利工具，必须掌握典型电场的电场线的分布，知道电场线的切线方向与场强方向一致，其疏密可反映场强大小．清除对电场线的一些错误认识．【例3】 等量异种点电荷的连线和中垂线如图所示，现将一个带负电的检验电荷先从图中的a 点沿直线移动到b 点，再从b 点沿直线移动到c 点，则检验电荷在此全过程中( )A ．所受电场力的方向不变B ．所受电场力的大小恒定C ．b 点场强为0，电荷在b 点受力也为0D ．在平面内与c 点场强相同的点总共有四处【解析】 如图所示，为等量异种电荷的电场线分布图，由图知从a 到b 、及从b 到c 的过程中，负电荷所受电场力均沿电场线的切线方向向上且不为0，选项A 正确，选项C 错误．从电场线的疏密可看出，全过程中场强一直在变大，故电场力F ＝qE 也变大，B 项错．与c 点场强相同的点从图上电场线的方向及疏密可看出关于b 对称的地方还有一处，D 项错．【答案】 A【学法指导】 场强是个矢量，即有大小又有方向，分别通过电场线的疏密与指向来反映．熟记几种常见的电场线分布图，用图像来直观反应规律是解决此类问题的捷径．如从图上可看出在两电荷连线的外侧还有两点的场强大小与c 点相等，但方向不同；此种题型有时也可运用平行四边形定则，通过场强的叠加来反应合场强的变化．4．电场力作用下的圆周运动如果是匀速圆周运动则应利用匀速圆周运动的条件合力大小不变方向始终指向圆心，进行受力分析时注意电场力即可．如果是非匀速圆周运动则应利用动能定理，其中求合力做功必然要分析电场力做功．如为匀强电场则可直接按功的定义来求，如果为非匀强电场则应用W ＝Uq 来求．【例4】 (2013·新课标全国Ⅱ)如图所示，匀强电场中有一半径为r 的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行．a 、b 为轨道直径的两端，该直径与电场方向平行．一电荷量为q (q >0)的质点沿轨道内侧运动．经过a点和b 点时对轨道压力的大小分别为N a 和N b .不计重力，求电场强度的大小E 、质点经过a 点和b 点时的动能．【解析】 本题主要考查受到约束的带电质点在匀强电场中的运动、牛顿第二定律、动能定理及其相关的知识点，意在考查考生灵活应用知识解决问题的能力．质点所受电场力的大小为F ＝qE ①设质点质量为m ，经过a 点和b 点时的速度大小分别为v a 和v b ，由牛顿第二定律，有F ＋N a ＝m v 2a r ②N b －F ＝m v 2b r ③设质点经过a 点和b 点时的动能分别为E k a 和E k b ，有E k a ＝12mv 2a ④E k b ＝12mv 2b ⑤根据动能定理，有 E k b －E k a ＝2rF ⑥联立①②③④⑤⑥式，得E ＝16q (N b －N a )⑦E k a ＝r 12(N b ＋5N a )⑧E k b ＝r 12(5N b ＋N a )⑨。
辽宁省凌源市第二高级中学2024学年十校联考数学试题试卷
辽宁省凌源市第二高级中学2024学年十校联考数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面ABCD ⊥平面,,ADEF AB AD CD AD ⊥⊥，且3,6,AB AD CD ADEF ===是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为（ ）A ．43B ．16C ．43π D ．8π2．()6321x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60B ．240C ．－80D ．1803．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（ ）A ．32cos 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．2cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．32cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<-B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 5．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．50,5⎛⎫⎪⎝⎭ D ．60,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭6．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．27．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ） A 5B ．3C 10D ．48．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件10．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．1212． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高数经管类上册
高数经管类上册高等数学（一）第一章函数与极限1.1 函数及其图象1.1.1 函数的概念函数是数学中的重要概念，广泛应用于经济学、管理学等各个领域。
函数的定义及其性质对于经管类学生来说非常重要。
1.1.2 基本初等函数及其图象在经济学和管理学中，经常会遇到常见的函数类型，例如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
初等函数及其图象的性质在解决实际问题时具有重要作用。
1.2 三角函数与反三角函数1.2.1 三角函数的定义与性质三角函数在统计学、金融学等领域具有广泛应用。
了解三角函数的定义及其性质对于经管类学生来说非常重要。
1.2.2 反三角函数的定义与性质反三角函数在微积分中经常使用，对于经管类学生学习高等数学提供了更多的工具与方法。
1.3 一元函数的极限与连续1.3.1 函数的极限概念在经济学中，经常需要研究函数在某些条件下的极限，以得出一些重要的经济定律或结论。
因此，掌握极限概念及其计算方法对于经管类学生非常重要。
1.3.2 函数极限的性质与运算法则函数极限具有一些特殊的性质和运算法则，在经济学研究中会经常涉及到。
掌握这些特性以及运算法则可以为经济学问题的解答提供便利。
1.3.3 函数连续的概念与性质连续函数是经济学研究中常用的数学模型之一。
理解连续函数的概念及其性质对于经管类学生来说非常重要。
第二章导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义与几何意义导数是微积分中的重要概念，在经济学和管理学中经常被用来衡量经济变量间的关系。
理解导数的定义以及几何意义对于经管类学生非常重要。
2.1.2 导数的基本运算法则与计算方法对于经济学和管理学中的问题，需要掌握导数的基本运算法则以及计算方法，以便解决实际问题。
2.2 微分中值定理与高阶导数2.2.1 微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的重要定理，通过该定理可以获得函数的一些重要性质，对于经管类学生学习高等数学具有指导意义。
2.2.2 高阶导数及其计算方法在实际问题中，有时需要计算高阶导数以得出更准确的结论。
9_第6_3_2 二项式系数的性质
0
49.
答案 D
1 |二项式系数的性质 1.对称性
与首末两端“①
等距离
”的两个二项式系数相等,即
Ckn
=
Cn-k n
.
2.增减性与最大值
当k<
n
2
1
时,
Ckn
②
随k的增加而增大
;当k>
n
2
1
时,
Ckn
随k的增加而减小.当n是偶
n
n -1
n1
数时,中间的一项③ Cn2 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项④ Cn2 与 Cn2
22k
,
10k2 143k-1 077 0,
所以 10k2 163k-924 0,
1 k 11,k N,
解得k=5,即第2×5-1=9项系数最大,T9=C820 ×312×28×x12y8.
方法总结 求二项式系数最大的项,利用性质知展开式的中间项(或中间两项)是二
项式系数最大的项.求展开式中系数最大的项,当展开式中有些项的系数是负数,有
相等,且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和
(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即⑤ C0n + C1n + C2n +…+ Cnn =2n . (a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即⑥
C0n + C2n + C4n +… =⑦ C1n + C3n + C5n +… .
于是
CC22rr 00
320-r 320-r
2r 2r
Cr 1 20
319-r
2r 1 ,
极限定义、四则运算
如果对任给正数 ，总存在正数 ，当 0<|x-x0|< ,有 |f(x)-A|<
,则称当 x x0时，f(x)的极限等于 A，记为
lim f (x) A
xx0
【例 3】证明 lim (x2 4) 0 x2
证明：任意给定正数 ，要使 | x2 4 || x 2 || x 2 |
当 n>N 时，有
| an A |
则称当 n 趋于无穷（大）时，数列an以常数 A 为极限（否则，
称数列极限不存在。记为
lim
n
an
A
或
an A
注：若数列an以常数 A 为极限，则an必有界；反之未必。
如果当n ,| an | ,此时称 an 为无穷大（量），记
lim
n
an
,有时也明确标出
x2 5x 2
【例 4】
lim
x
4
x3 3x4
2x 1
1
lim
4 x
2 x3
1 x4
x
3
1 x4
0
【例 5】
lim( 1 x1 1 x
1
3 x3
)
lim (x x11 x
2) x2
1
【例 6】
lim 1
n
2
... n2
n
lim
n
1 2
n(n 1) n2
1 2
【例 7】
lim
n
有|f(x)-A|< ,称 f(x) 在点 x0的右极限等于 A，记为
lim f (x) A
x x0
类似定义 lim f(x)=A 意义。 x x0 显然有 f(x)在 x0点极限存在的充要条件是 f(x)在 x0点左、
高数重点知识点总结大一
高数重点知识点总结大一高等数学作为大一学生的必修课程之一，是一门基础性极强的学科。
它涉及到各种数学概念、公式和计算方法，对于理工科学生来说尤为重要。
在这篇文章中，我将为大家总结一些高数的重点知识点，帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
一、极限和连续1. 极限的定义及其性质：极限是数列或者函数在某一点趋于的值，记作lim。
极限的性质包括极限唯一性、局部有界性、四则运算性质等。
2. 极限的计算方法：- 代入法：将变量代入函数中进行计算。
- 夹逼法：通过夹逼函数，求出极限值。
- 特殊函数的极限：如指数函数、对数函数等的极限计算方法。
3. 连续函数：连续函数是指在某个区间上无间断的函数。
连续函数的性质包括介值定理、零点存在定理等。
二、导数与微分1. 导数的定义及其性质：导数是函数在某一点的斜率，表示函数变化的快慢。
导数的性质包括线性性、求导法则、高阶导数等。
2. 常见函数的导数：- 幂函数的导数：幂函数的导数与指数函数的关系。
- 指数函数的导数：指数函数的导数与自然对数的关系。
- 对数函数的导数：对数函数的导数与指数函数的关系。
- 三角函数的导数：常见三角函数的导数公式。
3. 微分的定义及其应用：微分是导数与自变量的乘积，表示函数在某一点的变化量。
微分的应用包括近似计算、辨别函数的变化趋势等。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义及其基本公式：不定积分是函数的反导数，表示函数的原函数。
基本公式包括常数积分、幂函数积分、三角函数积分等。
2. 定积分的定义及其性质：定积分是函数在某个区间上的面积，表示变量的累积。
定积分的性质包括可加性、区间可加性、中值定理等。
3. 常见函数的定积分计算：- 幂函数的定积分：基本定积分公式的应用。
- 三角函数的定积分：常见三角函数定积分的计算方法。
- 指数函数的定积分：指数函数定积分的计算公式。
四、常微分方程1. 一阶常微分方程的解法：- 可分离变量方程的解法：将方程进行分离，变量分离后进行积分。
基本几何元素
基本几何元素【实用版】目录1.引言2.点的定义及其性质3.线的定义及其性质4.面的定义及其性质5.体的定义及其性质6.基本几何元素在实际应用中的例子7.结论正文几何学是数学中研究空间中点、线、面及其相关性质的学科。
基本几何元素包括点、线、面和体，它们是构成空间的基本单元。
本文将详细介绍这些基本几何元素的定义及其性质，并通过实际应用例子来加深理解。
首先，我们来讨论点的定义。
点是空间中具有特定位置的抽象概念，可以用来表示空间中的一个具体位置。
点没有长度、宽度和高度，只有位置。
在数学中，我们通常用有序数对或坐标来表示一个点。
接下来是线的定义。
线是空间中点移动的轨迹，可以看作是一维空间。
线由无数个点组成，但没有宽度和厚度。
在数学中，我们通常用两个点来表示一条线段，用一个点来表示一条射线，用两个方向来表示一条直线。
面的定义紧随其后。
面是空间中线的移动轨迹，可以看作是二维空间。
面由无数条线组成，具有长度和宽度，但没有厚度。
在数学中，我们通常用三个点来表示一个平面，用一个点和一个法向量来表示一个平面。
然后是体的定义。
体是空间中面的移动轨迹，可以看作是三维空间。
体由无数个面组成，具有长度、宽度和高度。
在数学中，我们通常用四个点或三个面来表示一个体。
基本几何元素在实际应用中有很多例子。
例如，在建筑设计中，点可以用来表示建筑物的具体位置，线可以用来表示建筑物的轮廓，面可以用来表示建筑物的立面，体可以用来表示建筑物的结构。
在计算机图形学中，点、线和面常用来表示二维图形和三维模型。
总之，基本几何元素是几何学的基础，它们在数学、物理、工程、建筑等领域有着广泛的应用。
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第六讲 逻辑函数的卡诺图表示
※ 最大项定义及其性质 ※
《数字电子技术基础》
第六讲 逻辑函数的卡诺图表示
█ 最大项定义 在n变量函数中，若M为n个变量之和，且这 n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现 一次，则称M为该组变量的最大项。
例：对四变量逻辑函数
A + BC D （×）
A + C + D （×） A ⋅ B + CD （×）
A+ B +C + D A+ B +C + D
A+ B +C + D
（√） （√） （ √）
《数字电子技术基础》
第六讲 逻辑函数的卡诺图表示
表1 三变量最大项编号表
《数字电子技术基础》
第六讲 逻辑函数的卡诺图表示
思考：最大项与最小项之间存在什么关系？
表2 三变量最小项与最大项对比表
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
最小项 A’B’C’ A’B’C A’BC’ A’BC AB’C’ AB’C ABC’ ABC
M = m ,m = M
最小项编号 最大项 最大项编号 M0 m0 A+B+C m1 A+B+C’ M1 m2 A+B’+C M2 m3 A+B’+C’ M3 i i i i M4 m4 A’+B+C m5 A’+B+C’ M5 M6 m6 A’+B’+C m7 A’+B’+C’ M7
《数字电子技术基础》
注：表2 中变量用’代表逻辑非。
第六讲 逻辑函数的卡诺图表示
█ 最大项性质
性质1：在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最 大项的值为0； 性质2：全体最大项之积为“0”； 即：
( A + B) ⋅ ( A + B) = A
性质3：某一最大项若不包含在F中，则必在F 中； 性质4：任意两个最大项之和为“1”； 性质5：只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相 同变量之和。
例：( A + B + C ) ⋅ ( A + B + C ) = [( A + C ) + B] ⋅ [( A + C ) + B] = A + C
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