八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.3.2公式法14.3.2.2运用完全平方公式分解因式课时作业人教版
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和 （或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。
三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。
方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。
五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。
在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。
熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。
掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。
人教版八年级数学上册14.3.2.2《运用完全平方公式因式分解》说课稿
人教版八年级数学上册14.3.2.2《运用完全平方公式因式分解》说课稿一. 教材分析《人教版八年级数学上册》第14章是关于因式分解的内容。
在本章节中，学生将学习并掌握完全平方公式，并运用完全平方公式进行因式分解。
14.3.2.2节《运用完全平方公式因式分解》是本章的重要内容，通过本节的学习，学生能够理解完全平方公式的含义，掌握运用完全平方公式进行因式分解的方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、代数式等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但对于完全平方公式的理解和运用，还需要通过本节课的学习来进一步巩固。
同时，学生对于新知识的学习兴趣和积极性需要教师的激发和引导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解完全平方公式的含义，掌握运用完全平方公式进行因式分解的方法。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握完全平方公式的运用。
2.教学难点：如何引导学生理解和运用完全平方公式进行因式分解。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板等教学工具，帮助学生直观地理解完全平方公式的运用。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习已学过的知识，引出完全平方公式，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生自主探究完全平方公式的含义和运用，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，提高团队合作精神。
4.教师引导：教师针对学生的学习情况，进行针对性的讲解和引导，帮助学生理解和掌握完全平方公式。
5.巩固练习：学生进行相关的练习题，检验自己对于完全平方公式的掌握程度。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容，加深对完全平方公式的理解。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第14章 整式的乘法与因式分解公式法(第2课时)教案
第十四章整式的乘法与因式分解14.3因式分解14.3.2公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式:a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是()（出示课件15）A.11B.9C.–11D.–9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a–4b+5=0，求2a 2+4b–3的值.（出示课件23）师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b–2)2=01020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩∴2a 2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a 2＋1B．a 2–6a＋9C．x 2＋5yD．x 2–5y 2.把多项式4x 2y–4xy 2–x 3分解因式的结果是()A．4xy(x–y)–x 3B．–x(x–2y)2C．x(4xy–4y 2–x 2)D．–x(–4xy＋4y 2＋x 2)3.若m＝2n＋1，则m 2–4mn＋4n 2的值是________．4.若关于x 的多项式x 2–8x＋m 2是完全平方式，则m 的值为_________．5.把下列多项式因式分解.(1)x 2–12x+36;(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3)y 2+2y+1–x 2;6.计算：(1)38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327.分解因式:(1)4x 2＋4x＋1；(2)13x 2–2x＋3.小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b 2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a 3b＋2a 2b 2＋ab 3的值．小聪:小明:参考答案：1.B2.B3.14.±45.解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6.解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17.解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 (2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28.解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
苏科版数学八年级上册第十四章14.3.2公式法
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第1课时运用平方差公式因式分解学习目标：1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．重点：运用平方差公式进行因式分解.难点：综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.一、知识链接1.什么叫多项式的因式分解?2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？① a(x+y)=ax+ay；①ax+ay=a(x+y)3. 20162+2016 能否被2016整除？4.计算：（1）（a+5）（a－5）=___________；（2）（4m+3n）（4m－3n）=___________．二、新知预习试一试：观察以上计算结果，并根据因式分解与整式乘法是互逆运算，分解下列因式：（1）a2－25=___________；（2）16m2－9n=___________．做一做：分解因式a2－b2=____________.要点归纳：a2－b2=____________.即两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的______的________.三、自学自测填一填：(1)(a＋2)(a－2)＝_____________；a2－4=___________；(2)(5＋b)(5－b)＝______________;25－b2=___________；(3)(x＋4y)(x－4y)=______________;x2－16y2=___________.四、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________一、要点探究探究点1：用平方差公式分解因式想一想：观察平方差公式a2－b2=（a+b）（a－b），它的项、指数、符号有什么特点？要点归纳：(1)左边是____次____项式，每项都是____的形式，两项的符号相反.(2)右边是两个多项式的____，一个因式是两数的____，另一个因式是这两个数的____．练一练：下列各式中，能用平方差公式分解因式的有()①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤1－14a2b2；⑥x2－4.A．2个B．3个C．4个D．5个方法总结:能用平方差公式分解因式的多项式具有以下特征：两数是平方，减号在中央．例1：分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.例2：分解因式：(1)5m2a4－5m2b4；(2)a2－4b2－a－2b.方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．例3：已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.例4：计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.针对训练1.下列因式分解正确的是( )A ．a 2＋b 2＝(a ＋b)(a ＋b)B ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)C ．－a 2＋b 2＝(－a ＋b)(－a －b)D ．－a 2－b 2＝－(a ＋b)(a －b)2.因式分解：(1)a 2－125b 2； (2)x －xy 2；(3)(2x ＋3y)2－(3x －2y)2； (4)3xy 3－3xy ；3.用简便方法计算：8.192×7－1.812×7.4.已知：|a-b-3|+（a+b-2）2=0，求a 2-b 2的值．二、课堂小结当堂检测 运用平方差公式分解因式 公式：a 2-b 2=______________.步骤：1.一提：提______；二套：套______；三查：检查每一个多项式是否都不能再分解因式.1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋92.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A．-21 B．21 C．-10 D．104.把下列各式分解因式：(1) 16a2-9b2=_________________;(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;(3) 9xy3-36x3y=_________________;(4) -a4+16=_________________.5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．8. (1)992-1能否被100整除吗？(2)n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时运用完全平方公式因式分解学习目标：1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．重点：掌握用完全平方公式分解因式.难点：灵活应用各种方法分解因式.一、知识链接1．前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？2．(1) 填一填：在括号内填上适当的式子，使等式成立：①(a＋b)2＝________；②(a－b)2＝________.③a2＋________＋1＝(a＋1)2；④a2－________＋1＝(a－1)2.（2）想一想：①你解答上述问题时的根据是什么？②第(1)①②两式从左到右是什么变形？第(1)③④两式从左到右是什么变形？二、新知预习1．观察完全平方公式：____________＝(a＋b)2；_____________＝(a－b)2完全平方公式的特点：左边：①项数必须是________；②其中有两项是________；③另一项是________．右边：________________________________________________.要点归纳：把a²+______+b²和a²-______+b²这样的式子叫作完全平方式.2．乘法公式完全平方公式与因式分解完全平方公式的联系是________．把乘法公式逆向变形为：a2＋2ab＋b2＝________； a2－2ab＋b2＝________.要点归纳：用完全平方公式因式分解，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.三、自学自测1．下列式子为完全平方式的是( )A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．若x2＋6x＋k是完全平方式，则k＝________．3.填空：(1)x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²(2)m² -6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )²(3)a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )²4.分解因式：a2－4a＋4＝________．四、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________二、要点探究探究点1：完全平方式例1：如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )A . 11 B. 9 C. -11 D. -9变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．探究点2：用完全平方公式进行因式分解议一议：(1)将一个多项式因式分解的一般步骤是什么？(2)应注意的事项有哪些？(3)分解因式的方法有哪些？要点归纳：（1）利用公式把某些具有特殊形式（如__________，__________等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（2）分解因式应根据多项式的特征，有公因式的一般先提_________,再套用公式，没有公因式的，则直接套用公式.分解因式应注意最后的结果中，多项式的每一个因式均不能再继续分解.例2：因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.例3：简便计算.(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.方法总结：在较为复杂的有理数运算中，通常要先观察式子的特征，利用因式分解将其变形，转化为较为简单的运算.例4：已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．.方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值．例5：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．1.下列式子中为完全平方式的是( )A．a2＋b2B．a2＋2a C．a2－2ab－b2D．a2＋4a＋42.若x2＋mx＋4是完全平方式，则m的值是________．3．分解因式：(1)y2＋2y＋1； (2)16m2－72m＋81.4．分解因式：(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9； (2)4xy2－4x2y－y3.A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________.5.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2.6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. （2）20142-2014×4026+20132.7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)2123 3x x-+.小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．。
八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解 14.3.2 公式法课件
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分解因式
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学前温故
(wēn ɡù)
新课早知
(a+b)(a-b)
1.因式分解的平方差公式:a2-b2=
平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的
2.下列各式运用平方差公式分解因式正确的是 (
A.x2-y2=(x+y)(x+y)
分析:(1)先提公因式x,再用平方差公式;(2)先提公因式3,再用完全平方公式.
解:(1)x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2);
(2)3x2-6x+3=3(x2-2x+1)=3(x-1)2.
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1
2
1.下列多项式,能用公式(gōngshì)法分解因式的是(
关闭
D
答案(dá
答案
àn)
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1
2
3
3.把mx2-6mx+9m分解(fēnjiě)因式,下列结果正确的是(
A.m(x+3)2
4
5
6
).
B.m(x+3)(x-3)
C.m(x-4)2 D.m(x-3)2
关闭
D
答案(dá
答案
àn)
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1
4.分解(fēnjiě)因式:a2-4b2=
).
D
A.x2-1
B.x2+2x-1
C.x2+x+1
D.4x2+4x+1
6.如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式(yīnshì)的
八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解 14.3.3 公式法(二)备课资
第十四章 14.3.3公式法（二）知识点1：利用完全平方公式分解因式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方,即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.归纳整理:利用完全平方公式分解因式时,必须具备以下几点:①首先利用完全平方公式分解因式的式子必须是三项式;②在三项式中必须含有两项是平方的形式,而且这两项的符号相同,另一项是写成平方项的两项的积的2倍;③当要分解的因式中含有公因式时,要先提出公因式,然后再利用公式法分解.知识点2：x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解一个含有一个字母的二次三项式,如x2+ax+b=0,若a=p+q,b=pq,则x2+ax+b可以分解为(x+p)(x+q)的形式,即x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),利用这个公式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.关键提醒:x2+(p+q)x+pq型的二次三项式的因式分解的关键是合理地将一次项系数拆成两个数的和,而常数项恰好又是这两个数的积,然后直接套用公式即可.考点1：利用完全平方公式法因式分解【例1】分解因式:(1)4x2-20x+25;(2) +ab+a2b2;(3)16(a+b)2+40(a2-b2)+25(a-b)2.点拨:(1)式中2x,5分别为公式中的a,b;(2)中ab,分别为公式中的a,b;(3)中将4(a+b)与5(a-b)看作公式中的a,b.解:(1)原式=(2x)2-2×2x×5+52=(2x-5)2;(2)原式=+2××ab+(ab)2=;(3)原式=[4(a+b)+5(a-b)]2=(4a+4b+5a-5b)2=(9a-b)2.考点2：因式分解的综合题【例2】把多项式x3-2x2+x分解因式结果正确的是( )A.x(x2-2x)B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1)D.x(x-1)2答案:D点拨：x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2,故选D.本题要进行多步因式分解,首先提取公因式,然后再用公式.。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.1平方差公式
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式学习目标 1.经历探索平方差公式的过程,进一步发展符号感和推理能力;会推导平方差公式,并能运用公 式进行简单的计算. 2.通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用, 认识平方差及其几何背景,使学生明白数形结合的思想.学习过程 一、自主学习 问题:你能口答下列各题吗? (1)2 001×1 999 (2)998×1 002 (3)403×397 二、深化探究 问题 1:多项式乘以多项式的法则是什么?(x+p)(x+q)与多项式乘以多项式的公式(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 一致吗?有什么特殊性?问题 2:计算下列多项式的积,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗? (1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y)问题 3:再举几个这样的运算例子.让学生独立思考,每人在组内举一个例子(可口述或书写), 然后由其中一个小组的代表来汇报.问题 4:请用语言叙述你发现的规律,并用数学符号表示出来.问题 5:以上结论正确吗?如何验证?三、练习巩固 【例 1】 运用平方差公式计算: (1)(3x+2)(3x-2); (2)(b+2a)(2a-b); (3)(-x+2y)(-x-2y). 【例 2】 计算: (1)102×98; (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).四、深化提高 1.下列计算对不对?如果不对,应怎样改正? (1)(x+2)(x-2)=x2-2; (2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4.2.计算: (1)(3a+2b)(3a-2b); (2)(2+3b)(-2+3b); (3)(a5-b2)(a5+b2); (4)61×59.3.计算:(1)(a-b)(a+b)(a2+b2);(2)(3x+4)(3x-4)-(2x-3)(3x-2).五、反思小结 1.口答:(1)2 001×1 999;(2)998×1 002;(3)403×397.2.具备什么特征的式子才能运用平方差公式进行计算?3.平方差公式中字母代表的意义是什么?4.在下一节课我们将研究(a+b)2 这种形式的运算?类比本节课,你将如何研究?参考答案 二、深化探究问题 1:略. 问题 2:解:(1)(x+1)(x-1)=x2+x-x-1=x2-12; (2)(m+2)(m-2)=m2+2m-2m-2×2=m2-22; (3)(2x+1)(2x-1)=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12; (4)(x+5y)(x-5y)=x2+5y·x-x·5y-(5y)2=x2-(5y)2. 问题 3:略. 问题 4:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2 问题 5:略. 三、练习巩固 【例 1】 解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4. (2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2. (3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2. 【例 2】 解:(1)102×98=(100+2)(100-2) =1002-22=10 000-4=9 996. (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+5y-y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. 四、深化提高 1.(1)× x2-4 (2)× 4-9a22.(1)(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2; (2)(2+3b)(-2+3b)=9b2-4; (3)(a5-b2)(a5+b2)=a10-b4; (4)61×59=(60+1)(60-1)=3 600-1=3 599. 3.(1)(a-b)(a+b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x-3)(3x-2) =9x2-16-(6x2-13x-6) =3x2+13x-10.。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.1平方差公式训练新人教版(20
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式同步训练（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式同步训练（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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14.2乘法公式14．2.1 平方差公式［学生用书P81］1．下列各式，能用平方差公式计算的是（) A．（x＋2y）(2x－y)B．（x＋y)（x－2y）C．（x＋2y）（2y－x)D．（x－2y)（2y－x)2.错误!错误!的结果是（）A.错误!x2－错误!y2 B。
错误!y2－错误!x2C.错误!x2－错误!y2 D。
错误!y2－错误!x23．填空:（1）（x＋y)(－x＋y)＝___;（2)(2x2－y)(－2x2－y）＝_ __；(3)错误!错误!＝____；(4）（__ _－2)（3x－2)＝4－9x2；(5）（x n＋y n）(x n－y n)＝___．4．计算：（1）（5a＋3b)（5a－3b）；（2)(1－mn）(mn＋1）；(3)(－7x2y－3b2）（7x2y－3b2）;（4）错误!错误!。
5．利用平方差公式计算下列各题: (1)10错误!×9错误!；（2）1 999×2 001。
6．[2016·湘西]先化简,再求值:(a＋b）（a－b）－b（a－b），其中a＝－2，b＝1。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式14.2.2.2添
第2课时添括号法那么知识要点根底练知识点1添括号法那么1.不改变代数式a2-(2a+b+c)的值,把它括号前面的符号变为相反的符号,应为(B)A.a2+(-2a+b+c)B.a2+(-2a-b-c)C.a2+(-2a)+b+cD.a2-(-2a-b-c)2.将多项式3x3-2x2+4x-5添括号后正确的选项是(B)x3-(2x2+4x-5)B.(3x3+4x)-(2x2+5)C.(3x3-5)+(-2x2-4x)x2+(3x3+4x-5)3.在以下各式的括号内填上适当的项.(1)x3-3x2y+3xy2-y3=x3+(-3x2y+3xy2-y3);(2)2-x2+2xy-y2=2-(x2-2xy+y2).知识点2添括号法那么在乘法公式中的应用4.为了应用平方差公式计算(m-n+1)(m-n-1),以下变形正确的选项是(A)A.[(m-n)+1][(m-n)-1]B.[m-(n-1)][m-(n+1)]C.[(m-n)-1]2D.[m-(n-1)]25.在(x+y+a-b)(x-y+a+b)的计算中,第一步正确的选项是(C)A.(x+b)2-(y-a)2B.(x2-y2)(a2-b2)C.(x+a)2-(y-b)2D.(x-b)2-(y+a)26.计算:先化简,再求值:x2-2x+1-2(x-1)2+x2,其中x=-2.解:x2-2x+1-2(x-1)2+x2=(x-1)2-2(x-1)2+x2=-(x-1)2+x2=2x-1,将x=-2代入,得原式=-5.综合能力提升练7.以下添加括号正确的式子是(D)x3-2x2-8x+6=7x3-(2x2-8x+6)B.a-b+c-d=(a-d)-(b+c)C.5a2-6ab-2a-3b=-(5a2+6ab-2a)-3bD.a-2b+7c=a-(2b-7c)8.当x=1时,ax+b+1的值为-2,那么(a+b-1)(1-a-b)的值为(A)A.-16B.-89.计算:(1)(3x-2y-1)2;解:原式=[(3x-2y)-1]2=(3x-2y)2-2(3x-2y)+1=9x2-12xy+4y2-6x+4y+1.(2)(a+2b-c)(a-2b-c);解:原式=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]=(a-c)2-(2b)2=a2-2ac+c2-4b2.(3)(a+2b-c)(a-2b-c)-(a-b-c)2.解:原式=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]-[(a-c)-b]2=(a-c)2-4b2-[(a-c)2-2b(a-c)+b2]=(a-c)2-4b2-(a-c)2+ 2b(a-c)-b2=-5b2+2ab-2bc.10.a2+b2=5,1-b=-2,求-1+a2+b+b2的值.解:∵a2+b2=5,1-b=-2,∴-1+a2+b+b2=-(1-b)+(a2+b2)=-(-2)+5=7.拓展探究突破练11.假设x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.(1)求xy的值;(2)求(x-1)(y-1)的值.解:(1)(x+2)(y+2)=xy+2(x+y)+4=12,将x+y=3代入,得xy=2.(2)(x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1=2-3+1=0.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
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第2课时运用完全平方公式分解因式
知识要点基础练
知识点1直接运用完全平方公式分解因式
1.下列多项式中,能用完全平方公式分解因式的是(C)
A.a2+4
B.a2+ab+b2
C.x2-x+
D.a2+4a+b2
2.若a=2,b=,则a2+4ab+4b2的值是(D)
A. B.13
C.15
D.25
【变式拓展】当a=9时,代数式a2+2a+1的值为100.
3.将下列各式分解因式.
(1)a2-14ab+49b2;
解:a2-14ab+49b2=(a-7b)2.
(2)4n2-12mn+9m2;
解:4n2-12mn+9m2=(2n-3m)2.
(3)a2-ab+b2;
解:a2-ab+b2=(a-b)2.
(4)-m2+10m-25.
解:-m2+10m-25=-(m-5)2.
知识点2先提公因式再用完全平方公式
4.分解因式3x2-6x+3的最终结果是(C)
A.3x(x-2)
B.3(x2-2x+1)
C.3(x-1)2
D.(3x-1)2
5.(贺州中考)将多项式2mx2-8mx+8m分解因式的结果是2m(x-2)2.
综合能力提升练
6.下列因式分解正确的是(D)
A.x2+4x+4=(x+4)2
B.4x2-2x+1=(2x-1)2
C.9-6(m-n)+(m-n)2=(3-m-n)2
D.-a2-b2+2ab=-(a-b)2
7.9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2因式分解的结果是(A)
A.(5a-b)2
B.(5a+b)2
C.(3a-2b)(3a+2b)
D.(5a-2b)2
8.当x=56,y=44时,则代数式x2+xy+y2的值为5000.
9.将下列各式分解因式.
(1)-6a2+12a-6;
解:原式=-6(a2-2a+1)=-6(a-1)2.
(2)3a3b-27ab3;
解:原式=3ab(a2-9b2)=3ab(a+3b)(a-3b).
(3)(x2+2)2-12(x2+2)+36;
解:原式=(x2+2-6)2=(x+2)2(x-2)2.
(4)(x2+2x)2-(2x+4)2.
解:原式=(x2+2x+2x+4)(x2+2x-2x-4)=(x+2)2·(x2-4)=(x+2)3(x-2).
10.已知正方形的面积是9a2+12ab+4b2(a>0,b>0),求该正方形的边长.解:∵9a2+12ab+4b2=(3a+2b)2,
∴正方形的边长为3a+2b.
11.若非零实数x,y满足4x2+y2=4xy,求的值.
解:∵4x2+y2=4xy,∴(2x-y)2=0,∴2x=y,∴=2.
12.在以下三个整式中,任取其中的两个进行和或差的运算,使得计算后所得的多项式分别满足相应的要求并解答:x4-2x2y2-y4,x4+y4,2x2y2.
(1)该多项式因式分解时,只运用了平方差公式;
(2)该多项式因式分解时,只运用了完全平方公式;
(3)该多项式因式分解时,既运用了平方差公式,又运用了完全平分公式.
解:(1)x4-2x2y2-y4+2x2y2=x4-y4=(x2+y2)(x+y)·(x-y).
(2)x4+y4+2x2y2=(x2+y2)2.
(3)x4+y4-2x2y2=(x2-y2)2=(x+y)2(x-y)2.
13.已知|xy-4|+(x-2y-2)2=0,求x2+4xy+4y2的值.
解:∵|xy-4|+(x-2y-2)2=0,∴xy=4,x-2y=2,
∴(x+2y)2-8xy=4,
解得(x+2y)2=36,故x2+4xy+4y2=(x+2y)2=36.
14.已知不等边△ABC的三边长分别为整数a,b,c,且满足a2+b2-4a-6b+13=0,求c的长.解:∵a2+b2-4a-6b+13=0,∴a2-4a+4+b2-6b+9=0,
∴(a-2)2+(b-3)2=0,得a=2,b=3.
∴1<c<5,∴c=4.
拓展探究突破练
15.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?不彻底.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果(x-2)4.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
解:(3)(x2-2x)(x2-2x+2)+1=(x2-2x)2+2(x2-2x)+1=(x2-2x+1)2=(x-1)4.。