2019-2020年高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.7离散型随机变量及分布列课件理

球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球
为止．若抽取的次数为 ξ，则表示“放回 5 个红球”事件的
是(
)
A．ξ＝4
B．ξ＝5
C．ξ＝6
D．ξ≤5
解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次
摸到红球，故 ξ＝6.
2．[2017·厦门质检]设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)
＝m23k(k＝1,2,3)，则 m 的值为(
)
17 A.38
27 B.38
17 C.19
27 D.19
解析 由分布列的性质得 P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝m×23＋m×232＋m×233＝3287m＝1.∴m＝2378.
3．设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量
X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X＝0)等于(
件是进口高端商品且国产高端商品少于 2 件”，事件 A1 为 “抽取的 3 件商品中，有 1 件进口高端商品，0 件国产高端
商品”，事件 A2 为“抽取的 3 件商品中，有 1 件进口高端
商品，1 件国产高端商品”，则
P(B)
＝
P(A1)
＋
P(A2)
＝
C51C212 C230
＋
C15C13C112 C320
E(X)＝200×110＋300×130＋400×160＝350.
命题角度 2 与独立事件(或独立重复试验)有关的分 布列问题
例 3 [2017·通化模拟]设某人有 5 发子弹，他向某一目 标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中 或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数 X 的分布列与期望．
[解] (1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数 为 x，∵0.20×1＝0.20<0.5，
且(0.40＋0.20)×1＝0.6>0.5，∴x∈[4,5]． 由 0.40×(5－x)＋0.20×1＝0.5，解得 x＝4.25， ∴该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是 4.25 米．
(2)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离 超过 4 米的概率为 P＝35，随机变量 X 的所有可能取值为－ 4，－2,0,2,4.
[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出 的是正品”为事件 A，P(A)＝AA12A25 13＝130.
(2)X 的可能取值为 200,300,400. P(X＝200)＝AA2225＝110，P(X＝300)＝A33＋AC1235C31A22＝130，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－130＝ 160.故 X 的分布列为
(1)若从这 20 件商品中按分层(分三层：进口高端与进口 非高端及国产)抽样的方法抽取 4 件，求抽取进口高端商品 的件数；
(2)在该批商品中随机抽取 3 件，求恰有 1 件是进口高 端商品且国产高端商品少于 2 件的概率；
(3)若销售 1 件国产高端商品获利 80 元，国产非高端商 品获利 50 元，若销售 3 件国产商品，共获利 ξ 元，求 ξ 的 分布列及数学期望 E(ξ)．
P(X＝－4)＝254＝61265， P(X＝－2)＝C14253351＝69265， P(X＝0)＝C24252352＝261265，
P(X＝2)＝C34251353＝261265， X 的分布列为
[解] 记“第 k 发子弹命中目标”为事件 Ak，则 A1， A2，A3，A4，A5 相互独立，且 P(Ak)＝23，P( Ak )＝13，k＝1,2,3,4,5.
(1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为 P(A1 A2 )＋P( A1 A2)＝P(A1)P( A2 )＋P( A1 )P(A2)＝23×13＋ 13×23＝49. 解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两 发子弹只命中一发的概率为 P＝C12×23×13＝49.
综上，X 的分布列为
X 的期望为 E(X)＝2×59＋3×29＋4×1801＋5×881＝28214.
命题角度 3 与统计数表有关的分布列问题 例 4 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研 究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水 平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据 统计结果绘制如下频率分布直方图：
称为离散型随机变量 X 的 概率分布列 ，简称为 X 的 分布列 ，有时为了表达简单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 表示 X 的分布列．
2．离散型随机变量的分布列的性质
(1) pi≥0(i＝1,2，…，n) ；
n
pi＝1
(2) i＝1
.
考点 3 常见离散型随机变量的分布列 1．两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为
(2)X 的所有可能值为 2,3,4,5.由互斥事件有一个发生与
独立事件同时发生的概率计算公式得
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P( A1 A2 )＝23×23＋13×13＝59，
P(X＝3)＝P(A1 A2
A3 )＋P( A1 A2A3)＝23×132＋13×232
[解] (1)由题意得，进口的商品有 15 件，其中 5 件是 高端商品，10 件是非高端商品，国产的商品有 5 件，其中 3 件是高端商品，2 件是非高端商品，若从这 20 件商品中 按分层抽样的方法抽取 4 件，则抽取进口高端商品的件数 为 1.
(2)设事件 B 为“在该批商品中随机抽取 3 件，恰有 1
3．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的．( √ )
4．从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员 的人数 X 服从超几何分布．( √ )
5．某人射击时命中的概率为 0.5，此人射击三次命中的 次数 X 服从两点分布．( × )
二、小题快练
1．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个
[解] 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， ∴m＝0.3.
首先列表为：
从而由上表得两个分布列为：
(1)2X＋1 的分布列： (2)|X－1|的分布列：
触类旁通 离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时 要注意检验，以保证每个概率值均为非负；
，其中 p＝ P(X＝1) 称为成功概率．
2．超几何分布
在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－ －kM， k＝0,1,2，…，m，其中 m＝ min{M，n} ，且
n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．
＝
55 190
＋
30 190
＝
1378，所以在该批商品中随机抽取 3 件，恰有 1 件是进口高
端商品且国产高端商品少于 2 件的概率是1378.
(3)由于这批商品中仅有 5 件国产商品，其中 3 件是高 端商品，2 件是非高端商品，那么，当销售 3 件国产商品时， 可能有 1 件高端商品，2 件非高端商品，或 2 件高端商品， 1 件非高端商品，或 3 件都是高端商品，于是 ξ 的可能取值 为 180,210,240.
(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他 到篮筐中心的水平距离的中位数；
(2)在某场比赛中，考察他前 4 次投篮命中时到篮筐中 心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到 篮筐中心的水平距离不少于 4 米的记 1 分，否则扣掉 1 分．用 随机变量 X 表示第 4 次投篮后的总分，将频率视为概率， 求 X 的分布列和数学期望．
[必会结论] 1．随机变量的线性关系 若 X 是随机变量，Y＝aX＋b，a，b 是常数，则 Y 也是 随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值． (2)随机变量 ξ 所取的值分别对应的事件是两两互斥的， 利用这一点可以求相关事件的概率．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”) 1．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变 量．( √ ) 2．离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所 刻画的随机现象．( √ )
(2)若 ξ 为随机变量，则 2ξ＋1，|ξ－1|等仍然为随机变量， 求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对 应的概率写出分布列．
【变式训练 1】 离散型随机变量 X 的概率分布规律为
P(X＝n)＝nna＋1(n＝1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P12<X<52的
值为(
)
2
3
A.3
B.4
4
5
C.5
D.6
解析 由1× 1 2＋2× 1 3＋3× 1 4＋4× 1 5×a＝1，知45a＝1. ∴a＝54.故 P12<X<52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝12×54＋16×54＝56.
考向 求离散型随机变量的分布列
命题角度 1 与互斥事件有关的分布列问题 例 2 [2015·安徽高考]已知 2 件次品和 3 件正品混放在 一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品， 检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时 检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直 到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 (单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)．
(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量 ξ 取每一个值 的概率 P(ξ＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)．