届数学解三角形应用举例
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。
《解三角形的实际应用举例》 知识清单
《解三角形的实际应用举例》知识清单一、解三角形的基本概念解三角形是指通过已知三角形的某些元素（如边、角），求出其余元素的过程。
在实际应用中，我们通常会利用正弦定理、余弦定理以及三角形的内角和定理来解决问题。
正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R\）（＼（R\）为三角形外接圆的半径）。
余弦定理：对于任意三角形，有\（a^2 ＝b^2 ＋c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cosC\）。
三角形内角和定理：三角形的内角和为\（180^｛＼circ}＼），即\（A ＋ B ＋ C ＝ 180^｛＼circ}＼）。
二、解三角形的实际应用类型1、测量距离问题（1）两点间不可到达的距离例如，要测量河两岸两点\（A\）、＼（B\）之间的距离，在河岸一侧选取一点\（C\），测出\（AC\）、＼（BC\）的长度以及\（＼angle ACB\）的大小。
利用余弦定理可以求出\（AB\）的长度。
假设\（AC ＝ m\），＼（BC ＝ n\），＼（＼angle ACB ＝＼theta\），则\（AB^2 ＝ m^2 ＋ n^2 2mn\cos\theta\），从而求出\（AB\）。
（2）两点间可到达但有障碍的距离比如，要测量两个山峰之间的距离，但是中间有山谷等障碍物阻隔。
可以在合适的地点选取观测点，测量出相关的边和角，然后通过解三角形计算出两点之间的距离。
2、测量高度问题（1）底部可到达的物体高度要测量底部可以到达的建筑物的高度，如塔高。
在塔底合适的位置测量出仰角，以及到塔底的距离，然后利用正切函数求出塔高。
假设在点\（C\）测得塔\（AB\）顶部\（A\）的仰角为\（＼alpha\），＼（BC\）的距离为\（d\），则塔高\（AB ＝ d\tan\alpha\）。
2025年高考数学总复习课件36第四章第七节解三角形应用举例
落实“四基”
自查自测
知识点 测量中的几个有关术语
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)东南方向与南偏东45˚方向相同．( √ ) (2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关
系．( √ ) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝
在△ACM中，由正弦定理得sinA6C0˚＝siAnM45˚，所以AC＝siAnM45˚·sin 60˚，
所以BC＝AC·sin 60˚＝siAnM45˚·sin260˚＝1002 2 × 34＝150(m)．
2
第七节 解三角形应用举例
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
测量高度问题的求解策略 (1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键． (2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图 形，一个空间图形，一个平面图形． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
(2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(方法一)在△ABD与△ACD中，
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
c2=
由余弦定理得൞
b2=
1 4 1 4
a2+1－2×
1 2
a2
+1－2×
1 2
a×1× cos a×1× cos
π－∠ADC ∠ADC，
，
整理得12a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2 3.
△ABC中，若AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，AD2＝14(b2＋c2
人教版九年级下册数学《解直角三角形应用举例》锐角三角函数研讨复习说课教学课件
学以致用
如图水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角∠B＝30°，背
水坡的坡度为1: 2 (坡面的铅直高度DF与水平宽度AF的
比)，坝高CE(DF)是45米，求AF、BE的长，迎水坡BC的长，
以及BC的坡度.
AF=45 2 m BE=45 3
BC=90m
= 1: 3
知识点二：坡度、坡角的实际应用
角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
1.坡度：我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 l 的比
叫坡度（或叫坡比）用字母 i 表示：
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个人简历：课件/jianli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯
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典例讲评
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡
AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i' =1:2.5,求坝底宽AD和斜坡AB
的长.
(精确到0.1m，tan18°26′ ≈0.3333，sin18°26′≈0.3162)
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第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。
解三角形的实际应用举例
C
(2) 已知两边和一边对角,
求其它元素。
A
B
C
• 余弦定理
c2 a2 b2 2abcosC
(1) 已知三边 , 求三个角;
A
B
C
(2) 已知两边和它们的夹角,
求其它元素。
A
B
C
例1、自动卸货汽车的车箱采用液压机构.设计时 需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车 箱最大仰角为60油泵顶点B与车箱支点A之间的 距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620， AC为1.40m,计算BC的长.
数学问题（画出图形）
检 验
数学结论
解三角形问题
谢谢
再见！
么 “ 来 两一 的 算 已度在形是 测 ， 部解世 记 圆 经及物的我解三 量 三 分三纪 载 内 取工理方国三角 ” 角 内角的，接得程学法古角学。学容形公正了《建中。代形？最才的问元六某周筑，很的三初被一题三边些髀等有早方角的看门是世 形 特算生 关就法学 理 作 数三纪 、 殊经产 向有在来 解 包 学角， 正 角》实 量测度自 是 括 分学十 的里际 的我量量希 解 三 学的二 正，中 计国方工腊 三 角 科基边 弦已， 算数面件角文 函 。本形有…有 也学的、形“ 数…问关的广要家知测的三和题于边泛用识刘量计角解之平长的到，徽距算形三一面时应解公在离，”角。测，用三元计和后和形什量就，角高
=3.571 ∴BC≈1.89(m)．
答：顶杆BC约长1.89m．
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如 视角，仰角，俯角，方位角等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决。
(完整版)解三角形应用举例
解三角形应用举例【重要知识】1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角；视线在水平线下方的叫做俯角。
2、方向角：方向角是正北方向或正南方向到目标方向线所成的锐角。
方向角α的取值范围是：︒<<︒900α；如：北偏东︒603、方位角：以指向正北方向的线作为︒0，顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角。
方位角的取值范围是：︒<<︒3600α如：目标S 的方向角是南偏西︒70，则目标的方位角为︒2504、坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示。
坡比是坡角的正切值。
【注】解题技巧：先确定方位，求边长，求角，再确定用正弦定理还是余弦定理。
1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，H 、G 、B 三点在同一条水平直线上。
在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是030ADE ∠=、045ACE ∠=、20CD m =，测角仪器的高是1h m =，求建筑物高度AB 。
水平线 仰角 俯角 ︒60 北 东 ︒250 北 S2、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是42m，∠BAC=45︒，∠ACB=︒75。
求A、B两点的距离.3、为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA=400m，CB=600m，∠ACB=60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m(A、D、E、B在一条直线上)，计算隧道DE的长.4、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在西偏北030的方向上,行驶82km 后到达B 处,测得此山顶在西偏北075的方向上,仰角为015,求此山的高度CD.5、如图所示，货轮在海上以h km /40的速度沿着方位角为︒140的方向航行。
_高中数学第一章解三角形2应用举例4课件新人教版必修
命题方向2 正、余弦定理在生产、生活中不易到达点测距 中的应用
要测量河对岸两地 A、B 之间的距离，在岸边选取相距 100 3 m 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°， ∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D 在同一平面内)，求 A、 B 两地的距离．
[分析] 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较 多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为 简便．
跟踪练习
如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个 声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当 时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
[解析] (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝ 1.5×20＝30(km)．
∴PB＝(x－12)km，PC＝(18＋x)km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122＝3x＋5x32. 同理，cos∠PAC＝723－x x. 由于 cos∠PAB＝cos∠PAC， 即3x＋5x32＝723－x x，解得 x＝1372(km)．
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－45×
22＋
22×35＝－
2 10 .
(2)由(1)知 cosC＝－102，∴sinC＝7102， 由正弦定理，得sAinBC＝sBinCA， ∴AB＝10×27102＝14.
2 ∴BD＝7.
在△BCD 中，由余弦定理，得
解三角形的实际应用举例
小结：
1、解决应用题的思想方法是什么？ 答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。 2、解决应用题的步骤是什么？ 实际问题 分析转化
数学问题（画出图形）
检 验
数学结论 解三角形问题
布置作业：课本P.70 习题B 1、2
课外探究：
如果要测量某铁塔的高度，但不能到达铁塔 的底部，在只能使用简单的测量工具的前提 下，你能设计出哪些测量方法？并提供每种 方法的计算公式。
思考与交流：
1、你能设计出别的测量方法吗？把你设 计的方案与本小组的同学讨论，看看是否 B 可行。
CD
C
90o
D
A
例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向西行 750 驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西 的 方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在北偏 0 西 的方向上,仰角为 8 ,求此山的高度CD.
B
C1
C
D1
D
A1 A
49028 35012
11.12 m
1.52m
B
49028
35 12
0
求A1B
D1
C1
A1
C 11.12 m D
A
1.52m
B
49028
35012
C1
求A1B
D1
A1
C1D1B 180 0 130 032,
解:
A C 11.12 m D 在BC1D1中,已知BC1D1 35012,
0 56
D
北
西
B
0 56
C
750
A
0 解:在⊿ABC中 A 15,0ACB 250 150 10, 根 据正弦定理,
解三角形在生活中的应用
c b sin B
c c sin C
所以
a sin A
b sin B
c sin C
可是在斜三角形中是否成立的问题，在高一 的学习中已经证明也是成立的。
4
实际测量的几个例子
问题1：测量书柜的高度
模型转化
H
α
β
a
5
为了避免测量误差，我们采取了多次测量求平均 值的方法
次数
长度单位：厘米（cm) 角度单位：度（）
374. 1
3.7
所以：使用我们的测角仪实际上还可以测量水平物体的长度， 实际上，这种测量方法还可以测量AB、CD间的距离，比如在河的一边， 测河的宽度。
15
1、我们设计的测角仪虽然不成熟，但我们自认为 在短距离的测量中它比光学测角仪有一定的优势， 而且通过对测角仪的设计与制做，体会了制做的乐 趣。做任何事不能等待，必须动手实践，当你使用 你自制工具工作时，工作变成了乐趣。 2、我们在实验中体会了测角仪的应用方法，结合 角三角形的数学知识，我们学会了用测角仪测量高 度，水平长度、水平宽度这三类问题，深刻体会了 我们的先辈仅用尺与测角仪进行地质测绘的过程， 而且深入理解了三角函数知识在实际生活中的作用。
基高 100 50.5 48.6 1745.7 17.5 1763.2 17.5 2
基高 50 48.6 47.7 1766.1 17.7 1783.7 17.7 3
11
数据比较，如下
1768.104 1764.64
1761.176 1757.712 1754.248 1750.784
1747.32 1743.856 1740.392 1736.928 1733.464
水平长度测量计算器
解三角形的应用举例(例题)
工程学
在桥梁、建筑和航空航天工程 中，解三角形是进行测量和设
计的重要工具。
航海学
在航海中，通过解三角形来计 算船只的位置、航向和航速。
解三角形的未来发展方向
计算机科学
随着计算机科学的发展，解三角 形算法可以与人工智能、机器学 习等先进技术相结合，实现更高
效、精确的解算。
物理学
在物理学中，解三角形可以应用于 量子力学、光学等领域，为物理实 验和理论提供更精确的数据支持。
三角形的定义和性质
三角形是由三个不在同一直线上的点 连接而成的平面图形。
三角形的性质包括：两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边；内角和 等于180度等。
02
三角形解法的基Biblioteka 步骤三角形解法的基本步骤解三角形是数学中一个非常重要的领域，它在实际生活中有着广泛的应用。下面通 过一个具体的例子来展示解三角形的基本步骤。
例题：已知一个直角三角形，其中一条直角边长度为3，斜边长度为5，求其他两边 长度。
首先，我们需要明确解三角形的基本步骤
三角形解法的基本步骤
1. 确定三角形类型
在这个例子中，已知三角形是一个直 角三角形，因此我们可以通过勾股定 理来求解其他两边长度。
2. 计算角度
3. 计算边长
利用勾股定理，我们可以计算出其他 两边长度。
已知直角边a=3，斜边c=5，代入公式得
$5^2 = 3^2 + b^2$
解得
$b^2 = 25 - 9 = 16$
三角形解法的基本步骤
所以，另一条直角边b=4。 综上所述，这个直角三角形的其他两边长度分别为4和3。
03
三角形解法的应用举例
测量问题
测量海岛
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用1．在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．2．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．5．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约高多少米？（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）6．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．7．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB 的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）8．给窗户装遮阳棚，其目的为最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内，现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，如图，已知窗户AB高度为h＝2米，本地冬至日正午时刻太阳光与地面的最小夹角α＝32°，夏至日正午时刻太阳光与地面的最大夹角β＝79°，请分别计算直角形遮阳篷BCD中BC、CD的长（结果精确到0.1米，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14）9．如图，秋千链子AB的长度为3m，静止时的秋千踏板（厚度忽略不计）距地面DE为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53°，求秋千踏板与地面的最大距离．（sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）10．如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD＝80°，（AB∥ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）11．如图，厂房屋顶人字架的跨度BC＝10m．D为BC的中点，上弦AB＝AC，∠B＝36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73．12．如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC＝60米，∠BCA＝62°，请你帮小颖算出河宽AB （结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）13．为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）14．2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）15CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17，cos10°＝sin80°＝0.98，sin20°＝cos70°＝0.34，tan70°＝2.75，sin70°＝0.94）16．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）17．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE＝1.8米，∠CDE＝60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB＝1.5米，CD＝1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）18．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）19．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）20．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）参考答案与试题解析1．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝2km，AE＝＝＝2km，∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝105°﹣60°＝45°．在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝2km，∴AD＝AE+DE＝（2+2）km，∴CD＝AD﹣AC＝2+2﹣1＝（2+1）km．答：隧道CD的长为（2+1）km．2．【解答】解：∵∠2＝45°∠3＝90°∴∠4＝45°∴∠2＝∠4即BD＝AD设BD＝AD＝xm，∵AC＝50m∴CD＝（x+50）m，在Pt△ACD中tan C＝，10x＝6x+3004x＝300x≈75.0．答：AD的长度为75.0m．3．【解答】解：过点B作BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，∵太阳光与水平线的夹角为30°，∴∠BFE＝30°，∵AC＝EF＝24m，∴BE＝EF•tan30°＝24×＝8（m），∴CD﹣BE＝（30﹣8）m．答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为（30﹣8）m．4．【解答】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3．∴AD2＝AE2+DE2＝（3）2+（3）2＝36，∴AD＝6，即梯子的总长为6米．∴AB＝AD＝6．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∴BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27，∴BC＝＝3m，∴点B到地面的垂直距离BC＝3m．5．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2（m），又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6≈5.1（m）．答：树的高度约为5.1米．6．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+60解之得：x＝30+30≈81.96．答：河宽约为81.96米．7．【解答】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x•sin45°，∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x•°﹣x•sin45°＝1.6，解得：x＝10，∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），EC＝EB﹣CB＝x•cos45°﹣x•cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m．8．【解答】解：根据内错角相等可知，∠BDC＝α，∠ADC＝β．在Rt△BCD中，tanα＝．①在Rt△ADC中，tanβ＝．②由①、②可得：．把h＝2，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14代入上式，得BC≈0.3（米），CD≈0.4（米）．所以直角遮阳篷BCD中BC与CD的长分别是0.3米和0.4米．9．【解答】解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．在Rt△ABC中，AB＝3，∠CAB＝53°，∵cos53°＝，∴AC＝3cos53°≈3×0.6＝1.8（），∴CD≈3+0.5﹣1.8＝1.7（m），∴BE＝CD≈1.7（m），答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．10．【解答】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+12°﹣80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h＝0.42+0.74＝1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．11．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝10米，∴DC＝BD＝5米，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∠B＝36°，∴tan36°＝，即AD＝BD•tan36°≈3.7（米）．cos36°＝，即AB＝≈6.2（米）．答：中柱AD（D为底边BC的中点）为3.7米和上弦AB的长为6.2米．12．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝60米，∠BCA＝62°，可得tan∠BCA＝，即AB＝BC•tan∠BCA＝60×1.88≈113（米），则河宽AB为113米．13．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x米．∵在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝x．同理，在直角△BCD中，BD＝＝x．又∵AB＝30米，∴AD+BD＝30米，即x+x＝10．解得x＝13．答：河的宽度的13米．14．【解答】解：过C作CD⊥，设CD＝x米，∵∠ABE＝45°，∴∠CBD＝45°，∴DB＝CD＝x米，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝x米，∵AB相距2米，∴x﹣x＝2，解得：x＝+1≈2.73，答：命所在点C与探测面的距离2.73米．15．【解答】解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD＝2米，BC＝4米，∠BCH＝30°，∠ABC＝80°，∠ACE＝70°∵∠BCH+∠ACB+∠ACE＝180°∴∠ACB＝80°∵∠ABC＝80°∴∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC过点A作AM⊥BC于M，∴CM＝BM＝2（米），∵在Rt△ACM中，CM＝2米，∠ACB＝80°∴∠ACB＝cos80°≈0.17∴AC＝＝（米），∵在Rt△ACE中，AC＝米，∠ACE＝70°∴∠ACE＝sin70°≈0.94∴AE＝×0.94＝≈11.1（米），∴AE+CD＝13.1（米），故可得点A到地面的距离为13.1米．16．【解答】解：设BM＝x米．∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝x米，∴BF＝BC﹣CF＝（4﹣x）米．∴EN＝DM＝BF＝（4﹣x）米．∵AB＝6米，DE＝1米，BM＝DF＝x米，∴AN＝AB﹣MN﹣BM＝（5﹣x）米．在△AEN中，∠ANE＝90°，∠EAN＝31°，∴EN＝AN•tan31°．即4﹣x＝（5﹣x）×0.6，∴x＝2.5，答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．17．【解答】解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，∴DF＝HG，在R t△ABC中，AC＝AB•sin∠B＝1.5×sin43°＝1.5×0.682≈1.023米，∵∠CDE＝60°，∴∠EDH＝30°，∴EH＝DE＝0.9米，∴DF＝GH＝EG﹣EH＝6﹣0.9＝5.1米，∴OF＝OA+AC+CD+DF＝1.5+1.023+1+5.1＝8.623m．答：灯杆OF至少要8.63m．18．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD＝x米．Rt△ADC中，∠DAC＝25°，所以tan25°＝＝0.5，所以AD＝＝2x．Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝＝，解得：x≈3．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．19．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.10．答：河宽为68.30米．20．【解答】解：如图，根据题意OA＝OA′＝80cm，∠AOA′＝35°，作A′B⊥AO于B，∴OB＝OA′•cos35°＝80×0.82≈65.6cm，∴AB＝OA﹣OB＝80﹣65.6＝14.4cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．。
2023届高考数学一轮复习讲义：第29讲 解三角形应用举例及综合问题
第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.➢考点1 解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.[典例]1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的,A B两点，点B在点A的正东方向上，A B C D四点在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在且,,,它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15 方向上，点D在它的北偏西75方向上，则,C D之间的距离为______km.2.(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)() A.346 B.373 C.446 D.4733．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ.则tanθ=______________.[举一反三]1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h，EG为测量标杆问的距离，记为d，GC、EH分别记为,a b，则该山体的高AB=（）A．hdha b+-B．hdha b--C．hdda b+-D．hdda b--2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）A．20m B．10m C．103D 103m3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A和临秀亭()B两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A、B两地之间的距离，某同学任意选定了与A、B不共线的C处，构成ABC，以下是测量数据的不同方案：①测量A∠、AC、BC；②测量A∠、B、BC；③测量C∠、AC、BC；④测量A∠、C∠、B．其中一定能唯一确定A、B两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75距离60海里处，小岛B 北偏东15距离30330-海里处有一个小岛 C .(1)求小岛A 到小岛C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船航行的方向.5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．➢考点2 求解平面几何问题1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BD ＝CD ＝1. (1)若AB ＝32，求BC ；(2)若AB ＝2BC ，求cos ∠BDC .2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D . (1)证明：AB DBAC DC=，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅； (2)若1AD =，23A π=，求DB DC ⋅的最小值.[举一反三]1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求ACAM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积．2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sinsin 2A Bb c B +=. (1)求角C ；(2)若AB 边上的高线长为23ABC 面积的最小值.3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.➢考点3 三角函数与解三角形的交汇问题（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π．(1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．[举一反三]1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC =，且3212A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值．2.（2022·山东淄博·三模）已知函数21()3cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，其图像上相2π44+(1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.➢考点1 解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D两点之间的距离，A B C D四点如图，在东西方向上选取相距1km的,A B两点，点B在点A的正东方向上，且,,,在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15 方向上，点D在它的北偏西75方向上，则,C D之间的距离为______km.【答案】2【分析】由题意确定相应的各角的度数，在ABC中，由正弦定理求得BC,△，求得答案.同理再求出DB，解DBC【详解】由题意可知，904545,9045135,9015105CAB DAB CBA ∠=-=∠=+=∠=+=,157590,15CDB DBA ∠=+=∠= ,故在ABC 中，1804510530ACB ∠=--=， 故sin sin BD AB DAB ADB =∠∠ ，1sin 452sin 30BC ⨯==，在ABD △中，1801513530ADB ∠=--=， 故sin sin BC AB CAB ACB =∠∠ ，1sin1352sin 30BD ⨯==，所以在DBC △中，90CBD ∠=，则22222CD BC DB =+=+= ,故答案为：2 2. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′，B ′，C ′满足∠A ′C ′B ′＝45°，∠A ′B ′C ′＝60°.由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′－CC ′约为(3≈1.732)( ) A.346 B.373C.446D.473答案 B解析 如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°， 则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°，所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝⎛⎭⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B 处，测得仰角为30°，再行走80米到点C 处，测得仰角为θ.则tan θ=______________. 【答案】37777【解析】首先得到60,603OA OB ==，然后由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠，2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，然后求出OC 即可【详解】如图，O 为楼脚，OP 为楼高，则60OP =，易得：60,603OA OB ==. 由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠， 2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，两式相加得：()22222230800OA OC AB OB OC +=+⇒=，则2077OC =，故60377tan 772077θ==.故答案为：37777 [举一反三]1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E 、H 、G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h ，EG 为测量标杆问的距离，记为d ，GC 、EH 分别记为,a b ，则该山体的高AB =（ ）A ．hdh a b+- B ．hdh a b-- C ．hdd a b+- D ．hdd a b-- 【答案】A 【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM ，即可得解. 【详解】连接FD ，并延长交AB 于M 点，如图，因为在Rt BMD △中tan h BDM b∠=， 所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠；又因为在Rt BMF △中tan hBFM a ∠=，所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠，所以||||||||BM a BM bMF MD d h h-=-=， 所以||hd BM a b =-，即||hdAB BM h h a b=+=+-，故选：A ． 2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB ，先在旗杆底端的正西方点C 处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D 处，在D 处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ） A ．20m B ．10m C ．103D 103【答案】B 【分析】根据条件确定相关各角的度数，表示出AB ，,AD AC 等边的长度，然后在ACD △中用余弦定理即可解得答案. 【详解】如图示，AB 表示旗杆，由题意可知：45,0,630ACB ACD ADB ∠=∠=∠=︒︒︒， 所以设AB x = ，则3,AD x AC x ==，在ACD △ 中，2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⨯⨯⨯∠ ,即2221(3)()(20)2202x x x =+-⨯⨯⨯ ，解得10x = ，（20x =-舍去），故选：B.3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案：①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ；④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________． 【答案】②③【分析】利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.【详解】对于①，由正弦定理可得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC A B BC =，若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC AB A AB=>，此时B 有两解， 则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于②，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC ABA C=可知AB 唯一确定； 对于③，若已知C ∠、AC 、BC ，由余弦定理可得222cos AB AC BC AC BC C +-⋅， 则AB 唯一确定；对于④，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定.故答案为：②③.4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75距离60海里处，小岛B 北偏东15距离30330海里处有一个小岛 C .(1)求小岛A 到小岛C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船航行的方向. 解：(1)在ABC 中，6030330，==AB BC 1807515120ABC ∠=-+=，根据余弦定理得：. 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2260(30330)260(30330)cos1205400=+-⨯⨯⋅=6=AC 所以小岛A 到小岛 C 的最短距离是6.(2)根据正弦定理得：sin sin AC ABABC ACB=∠∠30660120sin ACB=∠ 解得2sin ACB ∠=在ABC ∆中，,<BC AC ACB ∴∠为锐角45ACB ∴∠=1801204515CAB ∴∠=--=.由751560-=得游船应该沿北偏东60的方向航行答:小岛A 到小岛 C 的最短距离是6;游船应该沿北偏东60的方向航行.5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．【解】在BCD △中，1801803013515CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∵()sin sin15sin 4530CBD ∠=︒=︒-︒sin 45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒624-=， 由正弦定理sin sin BC CDBDC CBD=∠∠得()sin 50sin1355031sin 624CD BDC BC CBD ⋅∠︒===+∠-.在Rt ABC △中45ACB ∠=︒．∴()5031AB BC ==+．所以塔高AB 为()5031+米．➢考点2 求解平面几何问题[名师点睛]平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. [典例]1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BD ＝CD ＝1. (1)若AB ＝32，求BC ；(2)若AB ＝2BC ，求cos ∠BDC .解 (1)如图所示，在△ABD 中，由余弦定理可知，cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝⎝⎛⎭⎫322＋12－122×32×1＝34.∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD ＝34.在△BCD 中，由余弦定理可得，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ＝12＋12－2×1×1×34，∴BC ＝22.(2)设BC ＝x ，则AB ＝2BC ＝2x .由余弦定理可知， cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝（2x ）2＋12－122×2x ×1＝x ，①cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝12＋12－x 22×1×1＝2－x 22.②∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD .联立①②，可得2－x 22＝x ，整理得x 2＋2x －2＝0，解得x 1＝3－1，x 2＝－3－1(舍去).将x 1＝3－1代入②，解得cos ∠BDC ＝3－1.2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D . (1)证明：AB DBAC DC=，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅； (2)若1AD =，23A π=，求DB DC ⋅的最小值. 解：(1)在ABD △和BCD △中，可得BAD CAD ∠=∠，ADB ADC π∠+∠=， 所以sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠， 由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，sin sin AC DC ADC CAD=∠∠，两式相除得AB DB AC DC =，可得ABBD BC AB AC=+，AC DC BC AB AC =+， 又由cos cos ABD ABC ∠=∠，根据余弦定理得22222222AB BD AD AB BC AC AB BD AB BC+-+-=⋅⋅ 所以()()22222222BD DC BDAD AB BD AB BC AC AB AC BD BC BD BC BC BC=+-+-=+-- 代入可得222AC ABAD AB AC BD DC AB AC AB AC=+-⋅++ABAC AB AC BD DC AB AC BD DC AB AC AB AC ⎛⎫=⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪++⎝⎭.(2)由1AD =，23A π=及ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc += 根据基本不等式得bc b c =+≥，解得4bc ≥，当且仅当2b c ==时等号成立， 又由1AD =，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅，可得13DB DC bc ⋅=-≥， 所以DB DC ⋅的最小值是3.[举一反三]1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求ACAM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积． 解：（1）因为15sin B =，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以27cos 1sin 8B B =-=，因为2AB AC =，所以由正弦定理知sin 2sin C ABB AC==，即sin 2sin C B =，因为AM BM =，所以2AMC B ∠=∠，sin sin 22sin cos AMC B B B ∠==，在AMC 中，sin 2sin cos 7cos sin 2sin 8AC AMC B B B AM C B ∠====． （2）由题意知22AB AC ==，设BC x =，由余弦定理得222217cos 48x B x +-==，解得2BC =或32BC =．因为2AC BC ≤，所以2BC =，因为AM 为BAC ∠的平分线，BAM CAM ∠=∠所以11sin 2211sin 22ABM ACMAB AM BAM BM hS SAC AM CAM CM h⋅∠⨯==⋅∠⨯（h 为底边BC 的高）所以2BM AB CM AC ==，故1233CM BC ==，而由（1）知15sin 2sin C B ==1121515sin 1223ACM S AC CM C =⋅⋅=⨯⨯=△ 2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sinsin 2A Bb c B +=. (1)求角C ；(2)若AB 边上的高线长为23ABC 面积的最小值. 解：(1)由已知A B C π++=，所以sin sin cos 222A B C Cb b b π+-==， 所以cossin 2C b c B =，由正弦定理得sin cos sin sin 2CB C B =，因为B 、()0,C π∈，则sin 0B >，022C π<<，cos 02C>，所以，cos sin 2C C =，则cos 2sin cos 222C C C =，所以1sin 22C =，所以26C π=，则3C π=.(2)由11sin 22ABCSc ab C =⋅=，得4ab c =， 由余弦定理222222cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=， 即24c c ≥，因为0c >，则4c ≥，当且仅当4a b c ===取等号，此时ABC 面积的最小值为3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.解：(1)选①，由2sin cos sin b C B c B =+及正弦定理可得2sin sin cos sin sin B C C B C B +，所以，sin sin cos C B C B ，因为B 、()0,C π∈，所以，sin 0C >，则sin 0B B =>，所以，tan B =3B π∴=；选②，由cos cos 2B bC a c=-及正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-， 所以，()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=， A 、()0,B π∈，sin 0A ∴>，所以，1cos 2B =，则3B π=.(2)因为a c +=0a <<由已知AD DC =，即BD BA BC BD -=-，所以，2BD BA BC =+， 所以，()222242BD BA BCBA BC BA BC =+=++⋅，即())22222242cos33BD c a ac c a ac a c ac aa π=++=++=+-=-22993,344a a ⎛⎡⎫=+=+∈ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎭，所以，34BD ≤<➢考点3 三角函数与解三角形的交汇问题（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π．(1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围． 解：(1)211cos 21()cos sin 2222x f x x x x x ωωωωω-=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 显然()f x 的最大值为1，最小值为1-，则()()122f x f x -=时，12x x -的最小值等于2T，则22T π=，则22ππω=，1ω=；令2,6x k k ππ+=∈Z ，解得,122k x k ππ=-+∈Z ，则()f x 的对称中心为,0,122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；(2)()sin(2)16f A A π=+=-，22,62A k k πππ+=-+∈Z ，又()0,A π∈，则23A π=，由正弦定理得2sin sin sina b cA B C====，则2sin ,2sin b B c C ==， 则周长为2sin2sin 2sin 2sin 3a b c B CB B π⎛⎫++=+=+- ⎪⎝⎭sin 2sin()3B B B π==+，又03B π<<，则2333B πππ<+<，2sin()23B π+≤，故周长的取值范围为(.[举一反三]1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC =，且3212A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值． 解：(1)由图得2A =，32ππ3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，又2πT ω=，所以2ω=， 将点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()2sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即π,6k k Z ϕπ=+∈， 考虑到π02ϕ<<，故π6ϕ=，即()f x 的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2)由π3212A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3sin A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3A =， 因为ABC 为锐角三角形，且π3A =，故ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理，得sin sin sin 3a b c A B C ==所以2π1sin )1sin sin 333a b c B C B B ⎤⎛⎫++=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ 31π12sin cos 12sin 26B B B ⎛⎫⎛⎫=++⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π2sin (3,2]6B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ABC 周长的最大值为3. 2.（2022·山东淄博·三模）已知函数21()3cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，其图像上相2π44+ (1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长．解：(1)因为()211cos cos 2cos 222f x x x x x x ωωωωω=-+=-πsin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设函数()f x 的周期为T ，由题意222444πT ⎛⎫+=⎪+ ⎝⎭，即2224ππω⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1ω=， 所以()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)由()1f A =得：sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22,Z 62A k k πππ-=+∈，解得,Z 3A k k ππ=+∈， 因为[0,]A π∈，所以π3A =，因为A 的平分线AD 交BC 于D ，所以ABC ABD ACD S S S =+，即111sin sin sin 232626bc c AD b AD πππ=⋅⋅+⋅⋅，可得AD = 由余弦定理得：，()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，而12bc =，得()252b c +=，因此AD =。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
解三角形应用举例
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
解三角形应用举例(经典)
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有 一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速 度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿 着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要 多少时间才追赶上该走私船？
sin 380 5 3 14
解：设巡逻船沿AB方向经过x小时后在B处
求 的大小和建筑物AE的高。
A
B
2 4
C DE
练习2
某货轮在A处看灯塔S在北偏东 3 0 方向.它
以每小时36海里的速度向正北方向航行,经过
40分钟航行到B处看灯塔S在北偏东 7 5 方
向.求此时货轮到灯塔S的距离.
16.97米
练习3
某人在高出海面600m的山上P处，测 得海面上的航标A在正东，俯角为300， 航标B在南偏东600 ，俯角为450，求 这两个航标间的距离。
P
30 45
N
WC
AE
S
B
补例、如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC 的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°， 求AD的长．
分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC 长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长， 再解△ABD即可求出AD长．
解析：在△ABC中，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32 ＋52－2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：
所以，汽车的速度v AB t
练习1
如图,隔河看两目标A、B，但不能到达，
在岸边选取相距 3 千米的C、D两点，并测 得∠ACB=750,∠BCD=450,∠ADC=300，∠A
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届数学解三角形应用举例 The following text is amended on 12 November 2020.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( )答案 B解析 因为tan α＝34，所以cos α＝45.2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°. 在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 mD ．150 m 答案 A解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m. 4. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计 算出A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 mm答案 A解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°， ∴∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°. 在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×2212＝50 2 (m)．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________． 答案 203米、4033米解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan 60°＝203(米)，又CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 6． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶 4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 302解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．7. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．答案 82解析 在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)． 在△BCD 中，由正弦定理：BC sin∠CDB ＝BDsin∠BCD ，∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在 点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°， 由正弦定理，得BC sin∠BDC ＝CDsin∠CBD ，所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2 (m)．在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·tan∠ACB ＝152tan 60° ＝15 6 (m)．所以塔高AB 为15 6 m.9． (12分)如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长． 解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 在△ABC 中，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．30°或150° 答案 A解析 利用正弦定理可得2sin 45°＝2sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又∵∠A ＝45°，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝30°，故选A.2． 某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )B ．23或2 3D ．3答案 C解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°， 整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.3． 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直 线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案 A解析 如图，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．二、填空题(每小题5分，共15分)4． 一船由B 处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C 、D 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A 处，看见灯塔C 在它的南偏西60°方向，灯塔D 在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是______海里/小时． 答案 10解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是错误!＝10(海里/小时)．5． 某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米． 答案2063解析 如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ， 则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，∴AO ＝2063(米)．6． 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝_____. 答案 60°解析 S △ADC ＝12×2×DC ×32＝3－3，解得DC ＝2(3－1)，∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos 120°＝6，∴AB ＝ 6. 在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos 60°＝24－123，∴AC ＝6(3－1)，则cos∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，∴∠BAC ＝60°. 三、解答题7． (13分)如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰 角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝ km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等， 然后求B 、D 的距离(计算结果精确到 km ，2≈，6≈． 解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝. 又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin∠BCA ＝ACsin∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，即BD ＝32＋620≈(km)．故B 、D 的距离约为 km.。