福建省莆田一中11-12年高二上学期一段考数学理

莆田一中2011-2012学年度上学期第一学段考试试卷高二 数学必修3、选修2—1第三章 命题人 高二备课组 审核人 黄天华一、选择题（每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案）1．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号 可能为( ) A. 5，10，15，20 B. 2，6，10，14 C. 2，4，6，8 D. 5，8，11，14 2．从装有２个红球和２个黑球的口袋内任取２个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．恰有1个黑球与恰有2个黑球 B ．至少有1个黑球与至少有1个红球 C ．至少有1个黑球与都是黑球 D ．至少有1个黑球与都是红球3．已知x 与y 之间的一组数据如图所示，则y 与x 的线性回归方程为a bx y +=必过点（ ) A （2，2） B （1.5，0） C （1.5，4） D (1, 2)4．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的 直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若γββα⊥⊥,，则γα⊥B ．若αββα//,,//m m ⊄，则β//mC ．若αβα⊥⊥m ,，则β//mD ．若βαβα⊥,//,//n m ，则n m ⊥ 5．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（ ） A.23与26 B.31与26 C.24与30 D.26与306．取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（ ）A ．2π B ．2ππ- CD ．4π7．已知直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，又12AA AB=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 、1CD 所成的角的余弦值为（ ）15 C. 358．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正视图、 侧视图、俯视图相同如右图所示，且图中四边形ABCD 是 边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A.B.3C. 3D. 69．某店一个月的收入和支出总共记录了n 个数据n a a a ,,,21 ，其中收入记为正数，支出记为负数．1 2 42 03 5 6 3 0 1 1 412该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应 分别填入下列四个选项中的( )A ．A ＞0，V ＝S －TB ．A ＜0，V ＝S －TC ．A ＞0，V ＝S ＋TD ．A ＜0，V ＝S ＋T10．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈， 若满足1a b -≤，就称甲乙“心有灵犀”。

现任意找两人玩这个游戏， 则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A.19B.29C.718 D. 49二、 填空题（每小题4分，共20分.）11．将五进制数)5(1234化为十进制数为．12．在空间直角坐标系中，已知点)2,0,1(A ，)1,3,1(-B ，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________。

13．已知“经过点),,(000z y x P 且法向量为),,(C B A e =的平面的方程是0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ”。

现知道平面α的方程为12=+z x ，则过)3,2,1(M 与)4,2,3(N 的直线与平面α所成角的余弦值是 ．14．三条不共面的射线PC PB PA ,,两两之间的夹角都是060，则平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值是 ． 15．已知0{(,)|y x y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2()[,1]2P M ππ-∈，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）16．（ 14分）某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的月均用电量(单位：kw/h)，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1︰2︰3，试估计：（1）该乡镇月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是多少？ （2）该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少？（精确到0.01）17．（14分）某中学的高二(1)班男同学有36名，女同学有24名，老师按照分层抽样的方法组建了一个5人的课外兴趣小组．（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的甲同学得到的试验数据为74,72,70,70,69，第二次做试验的乙同学得到的试验数据为74,72,71,70,68，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.18．（ 14分）将一颗骰子先后抛掷两次，记下其向上的点数，试问： （1）“点数之和为6”与“点数之和为8”的概率是否一样大？从中你能发现什么样的一般规律？（直接写出结论，不必证明） （2）求至少出现一次5点或6点的概率．19．（ 14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(1) 求证：//AB 平面DEG ；(2) 求异面直线BD 与CF 所成角的余弦值.月均用电量ADE1B 1A 1CA20．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,2,BC BB ==0190BCC ∠=，AB ⊥侧面11BB C C.E 为棱1CC 的中点，（1）求证：1EA EB ⊥ ；（2）若AB ，求二面角11A EB A --的大小．21．（ 12分）如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱111C B A ABC -，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径。

（1）求证：平面1111BCC B ACC A ⊥（2）设1AA AB =，在圆柱1OO 内随机选取一个点，记该点取自三棱柱111C B A ABC -的概率为p 。

（i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；（ii ）记平面11A ACC 与平面1B OC 所成的角为θ(0<90)θ≤，当p取最大值时，求cos θ的值。

莆田一中2011-2012学年度上学期第一学段考试参考答案高二 理科数学1—5AACBB ， 6—10 B D C C D11．194， 12．)0,1,0(-， 13．53， 14．31， 15．[]1,016．解：（1）设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P ，2P ，3P. 由直方图可知，最后两个小矩形的面积之和为(0.0875＋0.0375)×2＝0.25. 因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P ＋2P ＋3P ＝0.75，即P ＝0.125. 所以3P ＋0.0875×2＝0.55.由此估计，该乡镇居民月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是55%. ……………7分（2）显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为0.5－P －2P ＝0.5－0.375＝0.125， 设样本数据的中位数为39.5＋x.因为正中间一个矩形的面积为3P ＝0.375，所以x:2=0.125:0.375，即x ＝23≈0.67.从而39.5＋x≈40.17，由此估计，该乡镇居民月均用电量的中位数约是40.17(kw/h). ………14分 17．解：（1）121605===m n P ，∴某同学被抽到的概率为121。

又2:324:36= ，∴男、女同学的人数分别为3，2。

……………5分 （2）设3个男同学记为3,2,1，2个女同学记为y x ,， 则选取两名同学的基本事件有：),(),,3(),,3(),,2(),,2(),3,2(),,1(),,1(),3,1(),2,1(y x y x y x y x 共10种，其中恰有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为53106==P 。

………10分 （3）可得：71=甲x ,71=乙x 2.32=甲s 42=乙s ∴甲同学的实验更稳定。

……………14分18．解：（1）本题的基本事件有36个记“点数之和为6”为事件A ，记“点数之和为8”为事件B 事件A 含有基本事件有5个（1，5）（5，1）（2，4）（4，2）（3，3） 事件B 含有基本事件有5个（2，6）（6，2）（3，5）（5，3）（4，4）365)()(==∴B P A P 一样大 ……………………8分 从中发现“点数之和为x ” 与“点数之和14－x ”概率一样大……………10分 （2）记事件C ：”至少出现一次5点或6点” 则事件B 含有基本事件有20个，953620)(==∴C P ………………14分 19．解： (1)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC . 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ， ∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG .…………7分 (2)∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得，B （2，0，0），D （0，2，2） C （2，4，0），F （0，3，0），， …8分 )0,1,2(),2,2,2(--=-=∴151553224=⨯-=∴ ∴异面直线BD 与CF 所成角的余弦值为1515……………14分20．（1） AB ⊥侧面11BB C C ，E B AB 1⊥又可知四边形B B CC 11为矩形，11,2,BC BB ==.E 为棱1CC 的中点，∴BE E B ⊥1∴ABE E B 平面⊥1∴AE E B ⊥1 即1EA EB ⊥……………6分（2）可知BA ,BC ,1BB 两两垂直，如图建立空间直角坐标系xyz B -∴A ，)0,1,1(E ，)0,2,0(1B则1(1,1,2),(1,1,0)AE B E =-=-，设平面1AEB 的法向量n 111(,,)x y z =，则⎧⎨⎩n n 100⋅=⋅=AE B E 111110x y x y ⎧+-=⎪∴⎨-=⎪⎩，取n =，∵(1,1,0)=BE ，1110BE B E ⋅=-=∴1BE B E ⊥，又11BE A B ⊥11BE A B E ∴⊥平面，∴平面11A B E 的法向量1,1,0BE =（），∴cos ,n BE =22BE n BE n=， ∴二面角11A EB A --为45°. ……………12分21．解：（1）因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥BC ，因为AB 是圆O 直径，所以BC ⊥AC ，又AC ⋂1AA A =，所以BC ⊥平面11A ACC ， 而BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11A ACC ⊥平面11B BCC 。