六阶抛物方程 行波解 不稳定性
数学物理方程第三版第一章答案(全)
数学物理方程第三版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
微分方程稳定性理论
一阶方程的平衡点及稳定性 dx/dt=f(x)---------自治方程
t
f(x)=0 的实根 x=x0------为平衡点
如果 lim x (t ) x0 则称 x0 是稳定,否则 x0 是不稳定的
f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0
则称 x0 是稳定 则称 x0 是不稳定的
fx A 1 g x1 f x2 g x2
q=detA
0 0 p0 ( x1 , x2 )
P ( f X1 g x2 ) P0 平衡点的稳定性判定与上一样
表四
1，2
p, q
平衡点类型
稳定性
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
p0
稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心
稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
1 2 0
1 0 2
1 2 0
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
p 0, q 0
1,2 i, 0
1,2 i, 0 1,2 i, 0
二阶方程的平衡点及稳定性
dx1 dt f ( x1 , x2 ) dx 2 g ( x1 , x2 ) dt
f ( x1 , x2 ) 0 0 0 0 0 的解 x1 x1 -----为平衡点,记为 p0 ( x1 , x2 x2 , x2 ) g ( x1 , x2 ) 0
一个广义双曲抛物系统的全局光滑解的存在性和指数稳定性
（） １
（） ２
与初值 条 件
ｆ ，） ，） （ ，０（） ０ ） ０ ∈ ０１ （ （ ０ ＝ ｖ ） ， （ ＞ ， ［， ， ｙ Ｊ ｘｘ ｏ
系统（） １ 是描述生物学中的趋化现象的一个重要的数学模型， 它跟下面的系统（ 密切相关． ４ ）
方程 ，可得
．
‘ ２ ＠一 ）， ２（ ） ＋ 告 ２一 ／ ４ ． 一 ＋ ＝ 舌 ２ ２ ） ２ ２ ｖ １ 古 ） ＿ Ｖ Ｖ ＋ 舌 ｘ ｘ －
对这个等式在区间 ［ １ ［，］ ０ ］ ｏＴ 上积分， ，ｘ 利用先验假定（ ， ９ 边界条件（２和 Ｙ ｕ ｇ不等式， ） １） ｏ ｎ 可得
对 ／ “ ＝Ｕ 即动能函数是线性的情形， （） ， 朱长江等人ｆ和郭军等人［ 分别研究了系统（） ７的初边值 问题
和柯 西 问题 ．文献 ［］ ４中，在初 始 值 的 范数 充 分 小 的假 定 下 证 明 了（） ８的初 边 值 问题 存 在 唯 一 的全 局 光
滑解． 文献［ 得￣ Ｔ（ 的柯 西问题具有大初值的解的整体存在性 ． ５ 】 Ｉ ７ Ｊ ） 至于行波解的稳定性， 可参 阅文献【】 ６． 本文 旨在研究非线性动能函数的情形，即 ｆ ｕ ＝ ． （） 我们证明 了系统（） １的初边值问题 的解的全局存 在性和指数稳定性． 值得一提的是， 我们只需要初始值 的 范数充分小， 而初始值 的 范数可以任意大， 并 且 也得 到 了解 的全局 指 数稳 定性 ．
ｓ ０ ｖ ｔｉ＋ Ｉ （ Ｉ ｔ （＋ Ｉ ） ｄ） ｕ ｒｌ ）２ Ｉ ｆ ￣ ≤Ｃ１ ｅ Ｉ ｐ ， ｌａ ｉ ）ｄ 甜 ｌ ｆ ｌ ．
摘
要 ：考虑 一个双曲抛 物 系统的初 边值 问题，当动能 函数为非线性 函数且初始值 的
#物理学硕士研究生培养方案
物理学硕士研究生培养方案（学科代码：0702 ）一、培养目标本学科培养的硕士研究生应是热爱祖国、崇尚科学，能自觉遵守学术道德和学术规范，学风严谨、踏实勤奋、积极进取，身心健康，有良好的团队协作能力；具备扎实的理论基础知识和熟练的数理推演能力，具备实验研究的设计和操作技能，并有一定的创新能力，熟练使用一门外语，有及时了解本专业前沿动态的能力；初步具有独立从事和物理学科相关专业的教学、科研和管理等方面的专业人才。
二、学科专业1. 理论物理（070201）2. 原子和分子物理（070203）3. 等离子体物理（070204）4. 凝聚态物理（070205）5. 光学（070207）三、学习年限及应修学分全日制硕士研究生的学习年限一般为3年。
在完成培养要求的前提下，对少数学业优秀、科研成果突出的硕士生，可推荐提前攻读博士学位或允许申请提前毕业，提前毕业期一般不超过1年。
如确需延长学习年限的，延长期一般不超过1年。
各专业的硕士研究生应至少须修满35学分，其中课程学习32学分，实践环节3学分。
四、课程设置及考核方式（具体见本学科课程设置和教学计划表）五、培养方式依据本学科理论物理、原子和分子物理、等离子体物理、凝聚态物理以及光学等专业特点，硕士研究生的主要培养环节由学院隶属的各研究所统筹安排，按导师及指导小组制定的具体培养计划执行。
基础理论课的教学采取教师讲授为主的方式进行，通过测试取得学分；专业课及专业选修课的教学采取教师讲授和小组讨论相接合的方式进行，通过测试（或考查）取得学分；实践教学环节中的科研实践要求研究生除参加研究小组、研究所乃至学院例行的学术讨论会外，还要求每个研究生在不同场合至少分别各作一次文献综述报告、开题报告以及课题进展报告等，并提交书面科研实践报告，经导师或指导小组认可合格后方能取得相应学分；教学实践由学院统一安排研究生各做一学期的助教工作，并取得相应学分。
在专业理论课程教学过程中要注重对研究生探究能力的培养，测试或考查中宜采用书面测试和课程论文（或专题报告）相结合的方式；在实验课程的教学过程中要注重理论联系实际，训练和发挥研究生的创造能力，师生密切配合，共同参和实验方案的设计、实验内容的确定、实验过程的实际操作以及实验结果的分析和讨论。
【国家自然科学基金】_神经传播方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
科研热词 误差估计 行波解 广义神经传播方程 齐次平衡原则 非协调元 神经模型 混合元 定性分析 nagumo方程 ls解法 lbb条件 huxley方程 h1-galerkin混合元 (g′/g)展开法
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4
科研热词 超收敛 类wilson元 广义神经传播方程 外推
推荐指数 1 1 1 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词 非线性 计量学 虚拟仪器 神经网络 神经冲动 神经传播型 电波传播 灰色系统理论 拟双曲方程 抛物方程 强解 小样本 孤波解 初边值问题 传播损耗 不确定度评定 rbf神经网络 nagumo方程 hodgkin-huxley方程
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
科研热词 非协调元 超收敛 自动波的传播 整合-激发模型 异步点火机制 广义神经传播方程 各向异性 半离散 人工神经元
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
科研热词 广义神经传播方程 非协调元 配置法 超逼近 超收敛 有限元 最优误差估计 数值分析 插值技巧 拟双曲方程 外推 各向异性 变网格 全离散 hermite型有限元 crank-nicolson格式
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
非线性微分方程解的稳定性.ppt
四、李雅普诺夫第二方法
讨论如何应用函数来确定非线性微分方程组的稳定性态
问题，为简单起见，我们只考虑非线性自治微分方程组
其中
dx f (x) dt
（7）
x1
x
x2
xn
f1(x1, x2 ,
f
(x)
f2 (x1,
x2 ,
fn (x1, x2 ,
, xn )
xn
)
xn
)
假设f (0) 0 且 f (x) 在某域G : x A ( A为正常数)内连续的偏导 数，因而方程组（7）的由初始条件x(t0 ) x0 所确定的解在原 点的某个邻域内存在且唯一。显然 x 0 是其特解。
时是定负的。
定理3 如果对微分方程组（7）可以找到一个定正函V数(x) ，其通过（7）
的全导数dV 为常负函数或恒等于零，则方程组（7）的零解为稳定
dt
的。如果有定正函V数(x) ，其通过（7）的全导数dV 为定负的，则方 dt
程组（7）的零解为渐近稳定的。
定理4 （零解稳定判别定理） 对系统
dx F (x), x Rn dt
• 3.线性问题是非线性问题的基础,在一定条件 • 下，非线性问题在局部可以转化为线性问题 • 来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一 • 个难题。
19世纪末20世纪初
Poincare(法国) 创立微分方程定性理论 Liapunov(俄国) 创立微分方程稳定性理论
Logistic方程 Logistic方程
的。
五、结论
本文简述了非线性系统，根据非线性稳定性定理对方 程解的稳定性作了分析，非线性系统主要采用李雅普诺夫 第二方法进行稳定性判断。李雅普诺夫第一方法是将非线 性方程线性化，然后根据线性化后的方程的稳定性就可以 知道原非线性方程在定点邻域内的稳定性。李雅普诺夫第 二方法是构造李雅普诺夫函数不求解方程，用类似能量函 数直接做出判断。
数学物理方程——6 行波法
u ( x) = =
=
1 2
1 2
1 2
[e
− ( x + at ) 2
+e +e
+e
− ( x − at ) 2
]+
1 2
1 2
1 2a
[e
[e
− ( x + at ) 2
− ( x + at ) 2
− ( x − at ) 2
− ( x − at ) 2
]+
பைடு நூலகம்]+
∫
x − at x + at
ξ = y − 3x ∂ 2u =0 η = y+x ∂ξ∂η u = f1 (ξ ) + f 2 (η ) = f1 ( y − 3 x) + f 2 ( y + x)
u ( x,0) = e
− x2
= f1 (−3x) + f 2 ( x)
∂u ( x,0) 1 ′(−3x) + f 2′ ( x) = 0 = f1 − f 1 (−3x) + f 2 ( x) = C ∂y 3 3 − x2 / 9 3 3 − x2 3 3 − x2 3 f1 ( x) = e − C f 2 ( x) = e + C f1 (−3 x) = e − C 4 4 4 4 4 4 3 −( y −3 x )2 3 3 −( y + x )2 3 3 −( y −3 x )2 3 −( y + x )2 u= e − C+ e + C = e + e 4 4 4 4 4 4
下午9时27分
数学物理方法
抛物型方程的稳定性分析
抛物型方程的稳定性分析抛物型方程在数学领域中占有重要的地位，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。
稳定性分析是抛物型方程中一个重要的问题，它与方程解的长期行为和数值计算精度密切相关。
在本文中，我们将探讨抛物型方程的稳定性分析，并讨论其在实际应用中的意义。
一、抛物型方程的定义及特性首先，我们了解一下抛物型方程的定义。
抛物型方程的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\nabla \cdot(D\nabla u)+f(x,t)$$其中，$u(x,t)$是未知函数，$D$是扩散系数，$f(x,t)$是源项。
抛物型方程通常描述一个物理量在空间上的扩散行为，例如热传导、扩散、电路中的RC电路等。
抛物型方程具有稳定性、收敛性和唯一性这些重要的特性。
其中，稳定性是指当微小扰动加入到初始解中时，解的长期行为是否能够保持不变的性质。
这种性质对于从数值上求解方程的问题尤为重要。
二、线性抛物型方程的稳定性分析接下来，我们探讨线性抛物型方程的稳定性分析。
对于一般的线性抛物型方程，$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\nabla^2u+f(x,t)$$其离散化的格式通常为：$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}=D\frac{u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n}{\Delta x^2}+f_j^n$$其中，$u_j^n$表示在第$n$个时间步、第$j$个网格点上的解，$f_j^n$表示源项的离散化表示。
我们用一个简单的一维热传导模型来说明稳定性分析的方法。
这个模型的方程为$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$我们将其进行离散化，得到$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}=D\frac{u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n}{\Delta x^2}$$为了研究这个模型的稳定性，我们需要考虑两个因素：1. $\Delta t$和$\Delta x$的取值。
几类非齐次偏微分方程周期行波解的存在性
几类非齐次偏微分方程周期行波解的存在性本文分四章,主要讨论了几类非齐次偏微分方程周期行波解的存在性.第一章,叙述了各种广义BBM方程和KdVB方程以及广义Boussinesq方程的周期行波解存在性的研究现状,并给出了本文的主要研究方法.第二章,研究了一类广义非齐次BBM方程(p(u))t +(f(u))x + ∈uxx + δuxxt + ku = h(x-βt),x ∈
R,t>0,和KdVB方程(p(u))t +(f(u))x + ∈uxx + δuxxx + ku = h(x-βt),x ∈R,t>0,的周期行波解的存在性,其中∈,和β是非零常数;p,f ∈C1(R),g,h ∈ C(R);不恒为0,以2T为周期(T>0),且具有以下性质(?)通过求解格林函数,将周期边值问题转化为相应的积分方程来研究.最后使用不动点定理得到了上述方程周期行波解的存在性,推广并改进了相应文献中的已有结果.第三章,研究了一类广义非齐次Boussinesq方程utt+[f(u)]tt-uxx +[9(u)]xx + uxxxx = h(x —βt)的周期行波解的存在性,其中u = u(t,x),f,p,h ∈ C2(R);h不恒为0,以2T为周期(T>0),且具有以下性质(?)通过使用格林函数方法及不动点理论,
得到了该方程周期行波解的存在性.第四章,总结前两章研究得到的结果,并给出自己对后续工作的想法.。
非线性偏微分方程
2
(3.4) (3.5)
∂u ∂ζ
+β
∂2 u ∂ζ
2
=0
(3.6)
+ 2 u2 − cu = A
1
(3.7)
βu2 + 6 u3 − 2 cu2 − Au = β 2
1
1
(3.8)
写成
1 2 1
u2 + r u = 0
(3.9) (3.10)
r u = 6β (u3 − 3cu2 − 6Au − 6β)
n i=0 k i xi
+ wt
(3.2)
n 是空间维数 k 是波矢 w 是频率 可将 NPDE 化为常微分方程（ODE） p u, uζ , uζ
ζ
,⋯ = 0
(3.3)
如对（3.3）直接积分与可直接积分求出通解 二、对 KDV 方程孤波解 KDV 方程 ut + uxx + βuxxx = 0 引入ζ = x − ct (3.4)代为 u−c 积分一次得 β 再乘 u 积分得
第一讲 概论
一、非线性偏微分方程（NPDE） 又称非线性数学物理方程又称非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程 领域如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。 二、方程的建立、分类 常微分方程 古典分类 分类 耗散结构 抛物型 双曲型 椭圆型 du = Lλ u + G(uλ ) dt 三、关于 NPDE 研究有重要科学意义及广泛应用背景。主要研究内容集中在两 个方面： 一是定性。主要研究解得存在性及状态。 二是定量。主要研究构建科学的精确解。 四、化繁为简 化偏微为常微 化高阶为低阶 化非线性为线性 第三讲 非线性偏微分方程行波解的直接积分法 一、思路：对 NPDE p u, ux
第五章偏微分方程的有限元法
有限元空间与基函数
针对椭圆型方程的特点，构造适当的有限元空间及 基函数，使得近似解能够较好地逼近真实解。
刚度矩阵与载荷向量
利用有限元基函数对椭圆型方程进行离散化 ，得到以刚度矩阵和载荷向量为未知量的线 性方程组。
抛物型偏微分方程的有限元法
时间离散与空间离散
抛物型偏微分方程涉及时间变量，需要采用合适的时间离散方案， 并结合空间有限元离散进行求解。
刚度矩阵反映了单元内部节点间的相 互作用力，需要根据形函数和单元刚 度矩阵进行组装得到整体刚度矩阵。
载荷向量组装
载荷向量反映了作用在节点上的外力 ，需要根据形函数和节点载荷进行组 装得到整体载荷向量。
边界条件处理与方程求解
边界条件处理
对于给定的边界条件，需要在整体刚度矩阵 和载荷向量中进行相应的处理，以保证求解 的正确性。常见的边界条件有Dirichlet边界 条件和Neumann边界条件。
分片插值
在每个单元内，选择基函数，用 单元基函数的线形组合来逼近单 元中的真解。
求解线性方程组
将问题的控制方程转化为等效的 线性方程组进行求解，得到每个 节点的待求量。
有限元法的发展历程
起源
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其 方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
素。
有限元法的实现过
04
程
网格划分与单元构造
网格划分
将求解区域划分为有限个互不重叠的子 区域，即单元。常见的网格划分方法有 结构化网格和非结构化网格。
VS
单元构造
对于每个单元，需要确定其形状、大小、 节点数及节点坐标等信息。常见的单元类 型有三角形、四边形、四面体等。
偏微分方程初步概要
西电应用数学系
3
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪。法国数学家
傅立叶，在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理 论》，在文章中他提出了三维空间的热方程。
今天，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的
角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、 级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行 发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
1.
1 E curl ( B), c t 1 B curl ( E ), c t div( E ) div( B) 0,
这里 E, B 分别为电场强 c 为光速. 度和磁场强度，
1873年，伦敦皇家科学院J.C.Maxwell’’用系统而精确的 形式表达了有关电和磁的全部定律’’。爱因斯坦称赞 它是“在牛顿以来物理上所经历的最深刻、最有成果的 一次真正观念上的变革”，它开辟了无线电时代的新纪 元。
n
, xn )
u c( x1, x j
, xn )u f ( x1,
, xn ),
主部
线性PDE的主部: 常系数线性PDE:
具有最高阶数偏导数组成的部分．
系数aij , bj , c均为常数.
不然称为变系数的．
齐次线性PDE:
f 0.
不然称为非齐次的．
西电应用数学系 12
2018/10/27
西电应用数学系
2018/10/27
15
5.
2u 2u 2 0 2 x y
Laplace Eq.
2 2 u u u 6. 2 2 t x y
Heat Eq. 热传导方 程
2018/10/27
西电应用数学系
16
孤立子理论初步
α
θ t + αθθ x + θ xxx = 0
为常数。
（KdV）
θ t − θ xxx = 0 θ t + θθ x = 0
（KdV）方程具有孤子解：
（1） （2）
（KdV）
θ ( x, t ) =
a, x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为常数。
12
α
a sec h [a ( x − 4a t − x0 )]
2 2 2
sec hx = 2(e + e )
为守恒密度。 证明 当 α = −6 KdV方程： （KdV）
θ t + αθθ x + θ xxx = 0
可以写成： θ t 故 I1 ≡ θ
1 2 2
+ (θ xx − 3θ ) x = 0
2
1 2 2 x
为守恒密度。将KdV方程乘以 θ ,得：
( θ ) t + (θθ xx − θ
故 I 2 ≡ θ 2 为守恒密度。
− 2θ ) x = 0
3
（KdV） θ t + αθθ x + θ xxx = 0 ∂ 将KdV方程乘以 θ 2 ，以及将其用算子 θ x ( ∂x ) 作用两边， 两式相加，得：
(θ + θ ) + (− θ + 3θ θ xx
3 1 2 2 x t 9 2 4 2
− 6θθ + θ xθ xxx − θ ) = 0
其中： 做变换：
θ
dθ
f (θ ) 3α
C3
=
∫
ξ
0
dξ
且
f (θ ) = −(θ − C1 )(θ − C2 )(θ − C3 )
项目名称非线性反应扩散方程理论及应用
一、项目名称：非线性反应扩散方程理论及应用二、提名者及提名意见(专家提名项目还应公示提名专家的姓名、工作单位、职称和学科专业)提名单位：陕西省教育厅提名意见：本项目是系统研究非线性反应扩散方程稳态解及大时间行为的原创性成果。
针对具有重要生物、几何背景的反应扩散方程开展了系列深入细致的研究。
率先提出了多资源空间异质恒化器模型，完整刻画了模型共存态的整体分歧结构，提出了扩散驱动的物种共存机制，激发和推动了空间异质恒化器模型的研究。
建立了系列具有抑制剂的空间异质恒化器模型，发展了相关模型稳态解性态的研究，揭示了抑制剂对物种共存的调节作用。
研究了有关二维Minkowski问题的非线性偏微分方程正解的存在性，建立了负指数的Sobolev不等式。
研究了相关反应扩散模型稳态解及大时间行为，揭示了趋化、化感、周期介质等因素对反应扩散系统整体解、行波解及空间斑图形成机制的影响。
8篇代表性论文主要发表于美国工业与应用数学学会会刊《SIAM J. Appl. Math.》、《SIAM J. Math. Anal.》、国际数学著名期刊《Adv. Math.》及《J. Differential Equations》、《Indiana Univ. Math. J.》等国际知名SCI刊物。
8篇代表性论文总他引232次，SCI他引162次；1篇代表性论文入选SCI高被引论文。
研究成果丰富了非线性反应扩散方程理论，多项研究工作处于国际领先水平，获得了2017年陕西高等学校科学技术一等奖。
提名该项目为陕西省自然科学一等奖。
三、项目简介本项目属于非线性反应扩散方程研究领域，是项目组近二十年来在该领域研究工作的总结。
项目组先后承担国家自然科学基金项目8项，承担教育部高等学校博士学科点专项科研基金、教育部新世纪优秀人才支持计划、教育部骨干教师资助计划、教育部优秀青年教师资助计划等项目5项。
反应扩散方程不仅具有强烈的实际背景，而且对数学分析也提出了许多挑战性的问题，一直是偏微分方程的重要研究方向。
数学物理方法严镇军
数学物理方法严镇军
严镇军是一位中国著名的数学物理学家，他在数学物理方法的研究和应用方面做出了重要的贡献。
严镇军的研究领域主要集中在非线性科学、非线性泛函分析、数学物理方程以及动力系统的理论和应用等方面。
他的研究成果在国内外学术界具有较高的影响力。
在数学物理方法方面，严镇军主要关注非线性偏微分方程的研究和解析方法。
他在研究非线性波动方程的行波解和解析方法方面做出了重要的突破，提出了严-本新变换方法，该方法能够得到精确的解析解，并且适用于多种非线性偏微分方程。
此外，严镇军还在非线性椭圆方程、非线性调和方程以及非线性抛物型方程等方面开展了深入的研究。
他提出了一种新的变分方法，可以有效地研究非线性椭圆方程和调和方程的解及其特性。
严镇军的研究成果不仅在理论上具有重要意义，也对实际问题的求解和应用具有重要的指导意义。
他的研究成果广泛应用于物理学、工程学、材料科学、生物学等领域，为解决复杂的实际问题提供了有效的数学物理方法。
总而言之，严镇军在数学物理方法的研究和应用方面做出了重要的贡献，他的研究成果为非线性偏微分方程的解析和数值解的求解，以及实际问题的物理建模和
数学处理提供了有效的工具和方法。
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
PSE在超音速边界层二次失稳问题中的应用
PSE在超音速边界层二次失稳问题中的应用
张永明;周恒
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】2008(0)1
【摘要】用抛物化稳定性方程(PSE)研究超音速边界层中的二次失稳问题.结果显示无论二维基本扰动是第一模态还是第二模态的T-S波,二次失稳机制都起作用.三维亚谐波的放大率随其展向波数和二维基本波幅值的变化关系与不可压缩边界层中所得类似.但是,即使二维波的幅值大到2%的量级,三维亚谐波的最大放大率仍远小于最不稳定的第二模态二维T-S波的放大率.因此,二次失稳应该不是导致超音速边界层转捩的主要因素.
【总页数】7页(P1-7)
【关键词】抛物化稳定性方程;二次失稳;基本扰动;亚谐波
【作者】张永明;周恒
【作者单位】天津大学力学系
【正文语种】中文
【中图分类】O357.41
【相关文献】
1.曲率对机翼边界层二次失稳影响 [J], 徐国亮;符松
2.高超声速边界层基频二次失稳条纹结构的稳定性 [J], 李玲玉;刘建新
3.PSE在可压缩边界层转捩问题中的应用 [J], 张永明;周恒
4.PSE在边界层中预测转捩位置的应用 [J], 李佳;罗纪生
5.二维超音速边界层中三波共振和二次失稳机制的数值模拟研究 [J], 董亚妮;周恒因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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六阶抛物方程论文：六阶抛物方程行波解的不稳定性
【中文摘要】近些年来,在半导体物理、薄膜的外延增长、图象处理等中都产生了用六阶抛物方程来描述的模型,因此很多数学工作者已经开始致力于对六阶抛物型方程
的研究.本文,我们考虑如下六阶抛物方程
行波解的不稳定性.其中g(u)=a(1-u2),a＞0是非线性函数.它来源于量子理论,这里
u(x,t)是曲面坡度.我们首先采用直接积分的方法得到了方程(1)存在满足条件的精确解,然后借助W. Strauss和G. Wang关于发展方程的重要引理这里L是一个线性算子,它在Banach空间X上产生了一个强连续半群e1L,F是一个强连续算子并且F(0)=0.引理：假设(i)X,Z是两个Banach空间,其中
X(?)Z并且(?)u(?)z≤c1(?)u(?)x对任意的u∈X.(ii)L在空间z上产生了一个强连续半群etL,并且半群etL见对所有的t＞0映Z 到X且∫01‖etL‖Z→Xxdt=C41,则,对(?)u(?)x＜ρ0,有‖F(u)‖z<co‖u‖Xa.
那么方程(2)的零解在空间X中...
【英文摘要】In recent years, many math models which are sixth-order parabolic equation are used to describe semiconductor physics, epitaxial thin film growth, image process-ing and so on. So many mathematician have dedicated to study sixth-order parabolic equations. In this paper, we consider the instability of traveling waves for the following sixth-order parabolic equation where g(u)=a(1-u2), a>0 is nonlinear function. It is derived from the quantum theory, and u(x, t) is surface slope. First, we use direct integral ...
【关键词】六阶抛物方程行波解不稳定性
【英文关键词】Sixth-order parabolic equation traveling wave solutions instability
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【目录】六阶抛物方程行波解的不稳定性中文摘要
4-6Abstract6-7§1 引言9-15§2 六阶抛物方程行波解的不稳定性15-36§2.1 问题的提出15§2.2 精确行波解15-17
§2.3 主要结果的证明17-36参考文献36-37。