广东省汕头市2017-2018学年高三普通高考第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018学年 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}2|02,|20A x x B x x x =<<=+-≥,则AB =（ ）A ．(]0,1B ．[)1,2C ．[)2,2-D ．()0,22. 已知复数31iz ai-=+是纯虚数, 则实数a =（ ） A ．3 B ．3- C ．13 D ．13-3. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和, 且满足等式：75689S a a a a =+++,则74a a 的值为（ ） A ．74 B ．47 C ．78 D ．874. 学校开展运动会活动, 甲、乙两位同学各自报名参加跳高、跳远游泳三个项目中的一个, 每位同学参加每个项目的可能性相同, 则这两位同学参加同一个体育项目的概率为（ ） A ．14 B ．13 C ．38 D ．235. 已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示, 网络上小正方形的边长为1,则该几何体的体积等于 （ ）A ．11πB ．5πC ．113π D ．3π 6. 已知圆22:3C x y +=,从点()2,0A -观察点()2,B a ,要使视线不被圆C 挡住, 则a 的取值范围是（ ） A．4,3,3⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎝⎭B ．()(),22,-∞-+∞C ．((),23,-∞-+∞ D ．((),43,-∞-+∞7. 如图, 在菱形ABCD 中,2,60,ABDAB E =∠=︒为CD 的中点, 则AD AE 的值是（）A ．5 C．6 8. 执行如图所示的程序框图, 则输出 S =（ ）A ．26B ．57C ．120D ．2479. 已知实数x 、y 满足条件2450x x y ax y ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩,若目标函数3z x y =+的最小值为5,则a 的值为（ ）A ．17-B ．2-C ．2D ．17 10. 已知直线6x π=是函数()()sin 22f x x πφφ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象的一条对称轴, 则()y f x =取得最小值时x 的集合为（ ） A ．7|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ B ．11|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ C ．2|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ D ．5|,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭11. 函数()f x 的部分图象如图所示, 则 ()f x 的解析式可以是（ ） A ．()sin f x x x =+ B ．()cos xf x x=C ．()cos f x x x =D ．()322f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12. 已知函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根, 则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 函数()xxf x e =在点()()1,1f 处的切线方程是 ． 14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 首项11a =,且满足：121n n S a +=-,则345a a a ++= ．15. 三棱锥D ABC -内接于表面积为100π的球面,DA ⊥平面ABC ,且8,,30AB AC BC BAC =⊥∠=︒,则三棱锥D ABC -的体积为 ．16. 已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F C 的准线和对称轴交于点M ,点P 是C 上一点, 且满足PM PF λ=,当λ取最大值时, 点P 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上, 则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足()cos 2cos c c B a b C ==-.（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的周长的最大值.18. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中,PA 垂直于直角梯形ABCD 所在的平面,,,BA AD BCAD M ⊥ 是PC 的中点, 且2,4AB AD AP BC ====.（1）求证：DM 平面PAB ； （2）求三棱锥M PBD -的体积.19. （本小题满分12分）菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒, 以防止害虫的危害, 但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药, 食用时需要用清水清洗干净, 下表是用清水x (单位：千克)清洗该蔬菜1千克后, 蔬菜上残留的农药y (单位：微克) 的统计表：（1）在下面的坐标系中, 描出散点图, 并判断变量x 与y 的相关性；（2）若用解析式2y cx d =+作为蔬菜农药残量y 与用水量x 的回归方程, 令2x ω=,计算平均值ω与y ,完成以下表格(填在答题卡中) ,求出y 与x 的回归方程. (,c d 精确到0.1)()图()III对于某种残留在蔬菜上的农药, 当它的残留量低于20微克时对人体无害, 为了放心食用该蔬菜, 请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1,参考数据2.236≈)(附：线性回归方程y bx a=+中系数计算公式分别为；1122211()()()()n ni i i ii in ni ii ix y nx y x x y ybx n x x x====---==--∑∑∑∑, a y bx=- )20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的焦距为2,左、右顶点分别为A、B,P 是椭圆上一点, 记直线PA 、PB 的斜率为1k 、2k ,且有1212k k =-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于M 、N 两点, 以M 、N 为直径的圆经过原点, 且线段MN 的垂直平分线在y 轴上的截距为15-,求直线l 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数()()()()22ln ,1212f x a x x g x x x λλ=-=-+--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）2a =时, 有()()f x g x ≤恒成立, 求整数λ最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 割线PAB 交圆O 于A 、B 两点,PO 交圆O 于C ,D 在AB 上,且满足2CD DA DB =.（1）求证：OD CD ⊥； （2）若226,,123PA AB PO ===,求PC 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 若倾斜角为3π的直线l 经过点()4,2P . （1）写出直线l 的参数方程, 并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ,求PA PB +的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()1f x x x a =++-.（1）当2a =时, 解不等式：()5f x ≥；（2）若存在0x R ∈,使得()02f x <,试求实数a 的取值范围.广东省汕头市普通高考2016年年第二次模拟考试数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.BAABD 5-10.DBBBC 11-12.CD 二、填空题（每小题5分，共20分）13.1y e=14.117 15.1 三、解答题（2）()()22222222cos ,3,33,12,c a b ab C a b ab a b ab a b a b a b =+-+-=+=++≥+≤+≤(当且仅当a b ==),ABC ∴∆ 的周长最大值为18. 解：（1）取PB 中点N ,连接,AN MN ,则11//,//,//22MN BC AD BC MN AD ∴,∴四边形MNAD 是平行四边形, ,DM AN DM ∴⊄ 平面PAB .AN ⊂平面PAB ,DM∴平面PAB .（2）1184,233BCD P BCD BCD S BC CD V S PA ∆-∆====,1118422233M PBDC PBD P BCD V V V ---===⨯=.19. 解：（1）负相关： （2）11,38y ω==()()()()()()()222221020716215914287512.008 2.03741072514c -⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-===-≈--+-+-++, 38 2.01160.0d y c ω=-=+⨯-,22.060.0 2.060.0y x ω∴=-+=-+.(3) 当20y <时,22.060.020, 4.5x x -+<>≈,∴为了放心食用该蔬菜, 估计需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.20. 解：（1）依题意,()(),0,,0A a B a -, 设(),P x y ,则有 22221x y a b +=,即()22222b y a x a=-,()2222222122222221,2b a x y y y b b a k k x a x a x a x a a a -====-∴=+-+-,又2222222,,2,1c a b c a b ==+∴==,即椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点为()00,Q x y ,联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得到()222124220k xkmx m +++-=,()22221621021k m m k ∆=-+>⇒<+ ①212121200022224222,,,121221212x x km m km mx x x x x y kx m k k k k +-+=-===-=+=++++ ② 因为以,M N 为直径的圆经过顶点,0OM ON ∴=,()()121212120,0,x x y y x x kx m kx m +=+++=()()()()2222222121222122410,01212k m k m k x xkm x x mm k k+-++++=-+=++,化简得22223k m =+ ③将将②式代入得到222131k m +=-代入①式得,212m >. 由于线段MN 的垂直平分线经过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭,00112y x k+∴=-,将②代入得到 2122k m += ④ 联立③④得13m =-或1,21,1,22m m k >∴==±,∴直线l 的方程为12y x =±+. 21. 解：（1）定义域为()()220,,'2a a x f x x x x-+∞=-=,0a ≤时,()()'0,f x f x < 在()0,+∞上单调递减；0a <时, 令()'0f x = ,得x =舍去负的).x ⎛∈⎝⎭上递增, 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭递减. （2）2a =时,()()()2222ln 121222ln 22x x x x x x x x λλλ-≤-+--+≥++,22ln 220,2x x x x x λ++>∴≥+在()0,x ∈+∞上恒成立, 令()22ln 222x x g x x x++=+,则()()()()22212ln '2x x x g x x x +--=+.令()()()22ln ,'10,h x x x h x h x x=--=--<∴在()0,+∞递减, 且0x →时,()h x →+∞,x →+∞ 时, ()h x →-∞,因此()h x 在()0,+∞必存在唯一零点, 不妨设()00h x =,即002ln x x =-,当()00,x x ∈时,()()()0,'0,h x g x g x >> 单调递增；当()0x x ∈+∞时,()()()0,'0,h x g x g x << 单调递减；因此()()000max 022000002ln 222122x x x g x g x x x x x x +++====++, ()0011111ln 20,10,1,122422h h x x ⎛⎫=->=-<∴<<<< ⎪⎝⎭,即()()max 1,2g x ∈,依题意有2λ≥,即整数λ的最小值为2.22. 解：（1）延长CD 交圆O 于E ,由相交弦定理得CD DE DA DB =,由已知2CD DA DB =,故CD DE =,即D 是CE 的中点, 由垂径定理得,OD CD ⊥,（2）延长PO 交圆O 于F ,由切割线定理得PC PF PA PB =,设圆O 的半径为r ,则()()221212663r r ⎛⎫-+=⨯+⎪⎝⎭,得8,4r PC =∴=. 23. 解：（1）直线l 的参数方程为4cos 3(2sin 3x t t y ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数), 即142(22x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数),曲线222:4cos ,4C x y x ρρθ=+=,∴曲线C 的直角坐标方程化为()2224x y -+=.（2）将1422x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C的方程得(2240t t +++=,,A B 两点在P 的同侧,12122PA PB t t t t ∴+=+=+=+24. 解：（1）125x x ++-≥,1x ≤-时,125,2,12x x x --+≥≤--<< 时,125,x x x +-+≥∈Φ,2x ≥时,125,3x x x ++-≥≥,{}|23x x x x ∴∈≤-≥或.（2）()()111,12x x a x x a a a ++-≥+--=+∴+<,∴a 的取值范围为31a -<<.。