2011华约基础 高校自主招生数学试题及解答

2011华约基础一、选择题1.设复数z 满足|z |<1且15||2z z +=，则|z | ＝ 4321A B C D 54322.在正四棱锥P －ABCD 中，M 、N 分别为P A 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦为1111A B C D 368123.已知1223+--=x x x y ，过点(－1, 1)的直线l 与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为A 2B1C 1D 2 - -4.若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为33133312A1,B ,C1,1D ,122222222--+ + 5. 如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点C ，⊙1O 、⊙2O 又和⊙O 内切，切点分别为A 、B,设∠AOB=α，∠ACB=β，则A,cos β+sin2α=0; B,sin β-cos 2α=0; C,sin2β+sin α=0; D,sin2β-sin α=0 6.已知异面直线a ，b 成60°角.A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个7.已知向量3131(0,1),(),(),(1,1)22a b c xa yb zc ==-=-++=r r r r r r则222x y z ++ 的最小值为43A1B C D 2328. AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=o，C 为抛物线准线与x轴的交点，则ACB∠的正切值为A B C D5339.如图，已知△ABC的面积为2，D、E分别为边AB、AC上的点，F为DE上一点，设ADAB=x,AEAC=y,DFDE=z，且y+z-x=0，则△BDF面积的最大值为F EDCBAA,827; B,1027; C,1427; D,162710. 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则A. 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B. 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C. 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形二、解答题11.已知△ABC不是直角三角形⑴求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCtan tantanB CA+,且sin2A,sin2B,sin2C的倒数成等差数列，求cos2A C-的值12. 已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处.（I）若b＝3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13. 已知函数21()(1)1()2xf x f fax b===+2，，3.令111()2n nx x f x+==，.(I)求数列{}n x的通项公式；(II)证明12112nx x xe+>L.14.已知双曲线221222:1(0,0),,x yC a b F Fa b-=>>分别为C的左、右焦点.P为C右支上一点，且使21212=,3F PF F PFπ∠∆又的面积为.(I)求C 的离心率e ；(II)设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.15. 将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率. (I)求p 1，p 2，p 3，p 4；(II)探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义. ##Answer## 1.【简解】15||2z z +=得25||1||2z z +=， |z | ＝2或12，因|z|<1,选D 2. 【简解】(法一)设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2.如图建立坐标系，则，312132(,,(,,222222DM AN =-=-u u u u r u u u r .设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==u u u u r u u u rg u u u u r u u u r .选B(法二)设底面边长为2，22.平移DM 与AN 在一起.即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q .于是QN ＝ DM ＝ AN .而P A ＝ PB ＝ AB ＝ 2，所以QN ＝ AN ＝ 3而AQ ＝ 5ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=. 选B3.【简解】设切点为)12,(020300+--x x x x ，223020--=x x k .另一方面，)1(1)12(002030---+--=x x x x k )2(00-=x x 223020--=x x .所以x 0＝1,所以1-=k .选C. 4.【简解】221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，选B5.【简解】连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=.选B 6.【简解】将a,b 平移到点A ，直线c 与它们成等角，c 在aAb 平面内射影c '在∠aAb 或其外交平分线上，根据cos ∠(c,a)=cos ∠(c,c ')cos ∠(c ',a)；∠(c,a)≥∠(c ',a)=30°；∠(c ',a)=30°或60°，前者满足条件，后者不不满足。

选B7. 【简解】由(1,1)xa yb zc ++=r r r 得3331)111222y z y z y z y z x x ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，选B8.【简解】焦点F （1，0），C （－1，0），AB 方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y 2 ＝ 4x 联立，解得A B (3+2+ (3-2- ，，于是22CA CB k k ==，tan 1CA CB CA CB k k ACB k k -∠==+ A (另法)如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝ 45°，EF ∥DA ，EF ＝ 2，AF ＝ AD ，BF ＝ BC ，求∠AEB .tan tan DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠===.类似的，有 tan tan BEF EBC ∠=∠=2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠， tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A9.【解析】BDF BDE BDE DF S S zS DE ∆∆∆==，(1)BDE ABE ABE BDS S x S AB∆∆∆==-， ABE ABC ABC AES S yS AC∆∆∆==，于是(1)2(1)BDF ABC S x yzS x yz ∆∆=-=-. 将11y z x y z x +-=+=+，变形为，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须12x y z +==，于是21(1)(1)2BDF S x x ∆=-+，解这个一元函数的极值问题，13x =时取极大值1627.选D 10.【解析】如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF 有可能与AC 重合)的∠D 一定是钝角.事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC ＝ 180°－∠B ，所以∠D 为钝角.这样就排除了B ，C.下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形.假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D ＝ 180°－∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形.选D. 11.【简解】⑴略⑵由已知tan tan tan tan A C A B C =++，与（I）比较知tan 3B B π==.又11222sin 2sin 2sin 2sin 3A CB π+===，sin 2sin 2sin 2sin 2A C A C +=，sin()cos()cos 2()cos 2()A C A C A C A C +-=--+，而sin()sin 2A C B +==，1cos 2()cos 22A CB +==-，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，cos 12A C -= 12. 【简解】不妨设水杯高为1.（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ 2 ：3.水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+g g(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上.设装x 克水.这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ a ：x .水杯的重心位置为12，水的重心位置为2x b ，水面位置为xb ，于是122x a x x b a x b+=+g g，解得x a 13.【简解】由12(1)1()1()21xf f a b f x x =====+2，得，3 (I)方法一：先求出123412482359x x x x ====，，，，猜想11221n n n x --=+.用数学归纳法证明.当n = 1显然成立；假设n = k 成立，即11221k k k x --=+，则122()121kk k k kk x x f x x +===++，得证. 方法二：121+=+n n n x x x 取倒数后整理得)11(21111-=-+nn x x ，所以 )11()21(1111-=--x x n n 所以12111+=-n x(II)方法一：证明12112n e x x x +>L .事实上，12111112(1)(1)(1)242n n x x x +=+++L L . 我们注意到2212(1)12(1)nna a a a +<++<+L ，，，（贝努利（Bernoulli ）不等式的一般形式：nx x n +≥+1)1(，x ),1(+∞-∈）于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nn n n n e x x x -+++-+<+=+<+<L L方法二：原不等式e n <+++⇔)211()211)(211(2Λ 1)]211()211)(211ln[(2<+++⇔n Λ1)211ln()211ln()211ln(2<++++++⇔n Λ构造函数)0()1ln()(>-+=x xx x g 01111)(<+-=-+='xxx x g ，所以0)0()(=<g x g所以)0()1ln(><+x xx 令n x 21= 则n n 21)211ln(<+1211212121)211ln()211ln()211ln(22<-=+++<++++++n n n ΛΛ14. 【简解】(Ⅰ)设|PF 2|=m,则|PF 1|=m+2a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理及三角形面积公式，得到：42c =2m +2(2)m a +-2m(m+2a)cos60°=2m +2am+42a ,12m(m+2a)sin60°2⇔m(m+2a)=122a ，代入得到e=c a =2 (Ⅱ)双曲线C 的方程为22223x y a a-=1当QF 2⊥x 轴时，∠QF 2A=90°，Q(2a,3a),∠QAF 2=45°，∠QF 2A=2∠QAF 2∠QF 2A=λ∠QAF 2,只能λ=2下面验证，在QF 2与x 轴不垂直时，∠QF 2A=2∠QAF 2是否成立设此时tan ∠QF 2A=-2QF ktan ∠QAF 2=QA ktan2∠QAF 2=2222tan 1tan QAF QAF ∠-∠1x a-+=tan ∠QF 2A2∠QAF 2,∠QF 2A ∈(0,π)，故2∠QAF 2=∠QF 2A总之，存在λ=2，使得对于双曲线第一象限内任意一点Q,22QF A QAF λ∠=∠恒成立15.【解析】(I)显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故161316314=-=p .(II)共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P .综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P .（4≥n ），④ (III)由(II)知=-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤，④－12×⑤，有=n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ）所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞….3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在.对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p .其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.。