北京市丰台区2019届高三上学期期末考试数学(理)试卷
2019.1丰台区高三期末练习理科数学试题【含答案】
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2019.01第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B =（ ） （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|22}x x -≤≤2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a =（ ） （A ）3（B ）13（C ）13-（D ）3-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）（A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）674．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =. 若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）90（D ）1865．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为（ ） （A ）2 （B（C）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）（A ）65（B ）54（C ）32（D ）528．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（ ）（A（B ）1 （C（D ）2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年1月北京丰台区高三数学理期末试卷及答案
D1 A1
为
2 （A） 2 （C） 2
（B）1 （D） 2
D
P
A
E
第二部分 （非选择题 共 110 分）
A
C1 B1
G
C F B
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 。
9．在极坐标系中，圆 C： 2sin 的圆心到点 (1,0)的距离为 ____． 10． (2x 1)5展开式中 x2的系数为 ____．
（ D）既不充分也不必要条件
7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆
OB 通过 O 处的铰链
与固定好的短杆 OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在
点 A ，另一端固定在点 B ，套上铅笔（如图所示） . 作图时，
使铅笔紧贴长杆 OB ，拉紧绳子，移动笔尖 M （长杆 OB 绕
O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分
12 秒旋转一周 . 已知时间 t 0
时，点
A 的坐标是
( 3 , 1) 2 2 ，则当 0 ≤ t ≤ 6 时，动点
A 的纵坐标
y 关于 t （单位：
秒）的函数的值域为 ____．
f (x) 14．已知函数
x3 3x, x ≥ a,
2x,
x a.
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为
结束
2
2
（A）2 （C） 2 2
（B） 5 （D） 2 3
2 正（主）视图
2 侧（左）视图
1
俯视图
6．设 a， b 是非零向量，则“ a b ”是“ a2 a b ”的
（ A） 充分而不必要条件
（ B ）必要而不充分条件
（ C）充分必要条件
丰台区高三期末(数学理)有答案.doc
正视图俯视图丰台区高三数学第一学期期末试卷（理科）201X.1一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．集合2{90}P x x =-<，{13}Q x x =∈-≤≤Z ，则P ∩Q =A ．{33}x x -<≤B ．{13}x x -≤<C ．{10123}-，，，，D ．{1012}-，，，2．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A3225+π B．3225π C．3225π D．12825π 3．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是A ．1x ∀>，210x -> B ．1x ∀>，210x -≤ C ．1x ∃>，210x -≤D ．1x ∃≤，210x -≤4．如果向量(,1)a k =与(61)b k =+，共线且方向相反，那么k 的值为 A ．-3B ．2C ．17-D ．175．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有 A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种6．设偶函数()f x 在[0)+∞，上为增函数，且(2)(4)0f f ⋅<，那么下列四个命题中一定正确的是A ．(3)(5)0f f ⋅≥B ．(3)(5)f f ->-C ．函数在点(4(4))f --，处的切线斜率10k < D ．函数在点(4(4))f ，处的切线斜率20k ≥7．程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 1，a 2，…，a n ，其中*n ∈N 且2010n ≤．那么数列{}n a 的通项公式为A ．123n n a -=⋅B ．31nn a =-C ．31n a n =-D ．21(3)2n a n n =+8．用m a x {}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A ．3512B ．5924 C ．578D ．9112二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．复数21ii+= ． 10．在△ABC 中，如果::3:2:4a b c =，那么cos C = ．11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， ．12．过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 ．13．已知x ，y 满足约束条件1260y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，， 那么3z x y =+的最小值为 ．14．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x=，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分 15.（本小题共13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．16.（本小题共14分）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，点D 在AB 上． （Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ；（Ⅱ）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ；（Ⅲ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值．17.（本小题共13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二AA 1BC DB 1C 1题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响． （I ） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18.（本小题共13分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点．（I ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率．19.（本小题共14分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （I ）求()f x 的单调区间；（II ）当0<a <2时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值．20.（本小题共13分）已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ； （Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第一学期期末理科参考答案及评分标准201X.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
北京丰台区2018-2019年高三数学上学期期末试卷（理）及答案
北京丰台区2018-2019年高三数学上学期期末试卷（理）及答案2019北京丰台初三（上）期末数学 2019.01下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. 如果∠A 是锐角，且sinA=,那么∠A 的读数时A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° 2. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，如果∠BOC=120°那么∠BAC 的度数是A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°3. 将二次函数y=x 2-4x+1化成y=a(x-h)2+k 的形式为 A. y= (x-4)2+1 B. y= (x-4)2-3 C. y= (x-2)2-3 D. y= (x+2)2-34.中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么EF 与CF 的比是A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 在反比例函数y=（x>0）的图像上，如果将矩形OCAD 的面积记为S 1,矩形OEBF 的面积为S 2,那么S 1，S 2的关系是A. S 1>S 2B. S 1=S 2C. S1<s2< p="">D. 不能确定6. 如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC=160°，OA=25m,OB=10cm,那么由,及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是A. 157cm2B. 314cm2C. 628cm2D. 733cm27. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，那么下列说法正确的是A. a>0,b>0,c>0B. a<0,b>0,c>0C. a<0,b>0,c<0D. a<0,b<0,c>08. 对于不为零的两个实数a,b，如果规定：a★b那么函数y=2★x 的图像大致是二、填空题（）9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=6，那么cosB= .10. 如果2m=3n，那么m:n= .11. 如果反比例函数y=,当x>0时，y随x的增大而减小，那么m的值可能是（写出一个即可）12. 永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌，如图，在A处测得∠CAD=30°没在B处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD约是米。
2019丰台区高三数学(理)期末试题及答案
丰台区2019年第一学期期末练习高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1 2.“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下 面程序框图计算该数列的第2016项，则判断 框内的条件是（A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（A ）21- （B ）2+1 （C ）2 （D ）2 5.函数()=sin 2+3cos 2f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是 （A ）23π （B ）712π （C ） 76π（D ）43π6. 若212x a dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b +=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为 （A ）32 （B ）12（C ）22 （D ）33？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京丰台区2018-2019年高三数学上学期期末试卷(理)及答案
2019北京丰台初三（上）期末数 学 2019.01下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1. 如果∠A 是锐角，且sinA=,那么∠A 的读数时A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° 2. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，如果∠BOC=120°那么∠BAC 的度数是A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°3. 将二次函数y=x ²-4x+1化成y=a(x-h)²+k 的形式为 A. y= (x-4)²+1 B. y= (x-4)²-3 C. y= (x-2)²-3 D. y= (x+2)²-34.中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么EF 与CF 的比是A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 在反比例函数y=（x>0）的图像上，如果将矩形OCAD 的面积记为S 1,矩形OEBF 的面积为S 2,那么S 1，S 2的关系是A. S 1>S 2B. S 1=S 2C. S1<S2D. 不能确定6. 如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC=160°，OA=25m,OB=10cm,那么由,及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是A. 157cm²B. 314cm²C. 628cm²D. 733cm²7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，那么下列说法正确的是A. a>0,b>0,c>0B. a<0,b>0,c>0C. a<0,b>0,c<0D. a<0,b<0,c>08. 对于不为零的两个实数a,b，如果规定：a★b那么函数y=2★x的图像大致是二、填空题（）9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=6，那么cosB= .10. 如果2m=3n，那么m:n= .11. 如果反比例函数y=,当x>0时，y随x的增大而减小，那么m的值可能是（写出一个即可）12. 永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌，如图，在A处测得∠CAD=30°没在B处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD约是米。
北京丰台区2019高三上期末考试数学理试题(解析版)
丰台区2019届高三上学期期末考试试题数学（理科） 2019.01 第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}- （D ）{|22}x x -≤≤答案：B考点：集合的运算。
解析：取集合A ，B 的公共部分即可，所以，A B ={1,0,1,2}- 2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3 （B ）13（C ）13-（D ）3-答案：D考点：复数的概念及其运算。
解析：(2i)(i)a -+＝21(2)a a i ++-，实部与虚部互为相反数， 所以，21(2)a a ++-=0，解得：3a =-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）67答案：B考点：程序框图。
解析：第1步：S ＝12，k ＝1＜4，k ＝k+1＝2第2步：S ＝23，k ＝2＜4，k ＝k+1＝3第3步：S ＝34，k ＝3＜4，k ＝k+1＝4 第4步：S ＝45，k ＝4＜4，否，退出循环，所以，S ＝45。
4．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 （A ）30 （B ）45（C ）90（D ）186答案：C考点：等差数列的通项公式，前n 项和。
解析：公差d ＝6－3＝3，3(1)33n a n n =+-⨯=，26n n b a n ==，数列{}n b 是以6为首项，6为公差的等差数列，前5项和为：S ＝545662´??＝90 5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为 （A ）2（B（C）（D）俯视图侧（左）视图正（主）视图答案：D 考点：三视图。
北京市丰台区2019届高三第一学期期末考试数学(理)试题(解析版)
北京市丰台区2018-2019学年度第一学期期末练习高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，可知该框图表示数列的前4项和，利用裂项相消法可得结果.【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求的前4项和，并输出，故选B【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A. 30B. 45C. 90D. 186【答案】C【解析】由，，，所以。
5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱的长，从而可得结果.【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中，与底面垂直，且，由勾股定理可得，所以最长的棱为，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市丰台区2019届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案1
北京市丰台区2019届高三上学期期末考试数学（理）试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，--（C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22a b >（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是 （A ）=a b（B ）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726． 如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)f fff ++++L 的值为（A ）1 （B ）-1 （C ）（D ）3-7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(gu ǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 （A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于 （A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值DCBA为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，ADsin B .（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C --求四棱锥P ABCD -的体积．CPGF DE QA17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项；（Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）北京市丰台区2019届高三上学期期末考试数学（理）试题参考答案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 1512．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分 因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =.因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =，PD DC ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则 ()()()00002201P ,,a F ,,B ,,，，． (7)分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r =, 则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n……………….11分解得a =2,所以2PD =．……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高， 所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分所以X 的分布列为：……………….14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ...................4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. . (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2x h x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )x x x h x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分 (1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分 ①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>， 所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -，当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -，当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. (13)分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. (4)分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r 的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明.（1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤,即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤,故01121k c ≤--≤.又因为+1=112k k c c --,所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时,M 的最小值为1故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M≥,当11 2c=时,可得当2n≥时, 1nc=,此时, M的最小值为1故M的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2………………13分。
2019年1月丰台区高三数学理期末试卷及答案
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2019.01第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|22}x x -≤≤2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3（B ）13（C ）13-（D ）3-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）674．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =. 若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 （A ）30 （B ）45 （C ）90（D ）1865．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为 （A ）2 （B（C）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（A ）65（B ）54（C ）32（D ）528．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为 （A（B ）1 （C（D ）2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市丰台区2019届高三上学期期末考试数学(理)---精校解析Word版
北京市丰台区2018-2019学年度第一学期期末练习高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，可知该框图表示数列的前4项和，利用裂项相消法可得结果.【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求的前4项和，并输出，故选B【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A. 30B. 45C. 90D. 186【答案】C【解析】由，，，所以。
【此处有视频，请去附件查看】5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱的长，从而可得结果.【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中，与底面垂直，且，由勾股定理可得，所以最长的棱为，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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丰台区第一学期期末练习高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B ）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或726． 如果函数()s i n 3c o s f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)f fff ++++L 的值为（A ）1 （B ）1（C （D ）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S|表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系Oy 中，AC 在轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值DCBA为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B =（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C --， 求四棱锥P ABCD -的体积．CBPGF DE QA17.（本小题共14分）数独游戏越越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生自同一所中学的概率； （Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用表示抽得甲中学的学生人数，求的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 1512．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分 因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分（Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =，所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =， P D D C^，PD Ì平面PDCQ ， 所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为,y ,轴正方向，建立空间直角坐标系． 设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，． (7)分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . (8)分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10PF ,,a uu u r =- ()120 FB ,,uu r =, 则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uu r n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令=1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --，所以得cos <,>||||⋅==m nm n m n ……………….11分解得a =2,所以2PD =． (13)分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分 （Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=. (2)分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ...................4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. . (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈， 则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分 (1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,l n )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>， 所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分 19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分 （Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明.（1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤,即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤,故01121k c ≤--≤.又因为+1=112k k c c --,所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾； 所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ........................10分（Ⅲ）2 (13)分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2019年1月丰台区高三数学理期末试卷含答案
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习高三数学（理科） 2019.01第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，那么{1,0,1,2,3}A =-{|22}B x x =-≤≤A B =（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0,1,2}-（C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|22}x x -≤≤2．若复数的实部与虚部互为相反数，则实数(2i)(i)a -+a =（A ）3（B ）13（C ）13-（D ）3-3．执行如图所示的程序框图，输出的的值为S （A ）34（B ）45（C ）56（D ）674．已知等差数列中，，.{}n a 13a =26a =若，则数列的前5项和等于2n n b a ={}n b （A ）30（B ）45（C ）90（D ）186主主k =1, S =0S =S+1k (k+1)k < 4k =k +1主主主主S 主主5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（A ）2（B 5（C ）22（D ）236．设，是非零向量，则“”是“”的a b =a b 2= aa b （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰OB O 链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定OA 在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图A B 时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆OB M 绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若OB O ，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率||10OA =||12OB =为（A ）65（B ）54（C ）32（D ）528．如图，在棱长为2的正方体中，分1111ABCD A B C D -,,E F G 别是棱的中点，是底面内一动点，若直线1,,AB BC CC P ABCD1主主主22M O BA与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值1D P EFG 1PBB 为（A 2（B ）1（C 2（D ）2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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北京市丰台区2018-2019学年度第一学期期末练习高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，可知该框图表示数列的前4项和，利用裂项相消法可得结果.【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求的前4项和，并输出，故选B【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A. 30B. 45C. 90D. 186【答案】C【解析】由，，，所以。
【此处有视频，请去附件查看】5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱的长，从而可得结果.【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中，与底面垂直，且，由勾股定理可得，所以最长的棱为，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在极坐标系中，圆C：的圆心到点的距离为____．【答案】【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心坐标，利用两点间距离公式即可得结果.【详解】化为，化为直角坐标为，即为，圆心坐标为，的直角坐标仍然是,所以与的距离为，故答案为.【点睛】利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．10.展开式中的系数为____．【答案】【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，所以的系数为，故答案为.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11.能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数．．的值依次为____．【答案】（答案不唯一）【解析】利用不等式的性质，找出一组符合题意的即可.【详解】要使“设是任意非零实数．若，则”是假命题，只需满足且即可，可取，故答案为（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查不等式的性质与应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.12.若满足则的最大值为____．【答案】1【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值，最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.13.动点在圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的值域为____．【答案】【解析】【分析】由12秒旋转一周，可得每秒旋转，由时，点的坐标是，可得当时，，由此可得求出的范围，结合正弦函数的单调性即可得结果. 【详解】因为动点12秒旋转一周，所以每秒旋转，设动点与正方向夹角为因为时间时，点的坐标是，所以当时，，所以，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数为当时，，即动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数值域为，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式，正弦函数的单调性与值域，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题.14.已知函数(1) 若，则函数的零点有____个；(2) 若存在实数，使得函数总有三个不同的零点，则实数的取值范围是____．【答案】(1). 2(2). 且【解析】【分析】(1)直接由或求解即可的结果；（2）问题等价于使得的图象的图象有三个交点，分类讨论，分别画出函数图象，利用数形结合可得结果.【详解】(1)由得或，因为无解，所以函数的零点有2个；（2）设,则,由,可得在递增，由,可得在上递减，函数在有极小值，在有极大值，若，画出函数的图象，如图，由图可知存在,使得的图象与的图象有三个交点，此时有三个零点；若，画出函数的图象，如图，由图可知存在,使得的图象与的图象有三个交点，此时有三个零点；若，画出函数的图象，如图，由图可知的图象与的图象最多有两个交点，不合题意；若，在上递增，在递减，的图象的图象最多有两个交点，不合题意，综上可得，实数的取值范围是且，故答案为(1). 2 (2). 且.【点睛】本题主要考查函数的零点、分类讨论思想的应用以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.在中，角的对边分别为，，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理列方程求解即可；（Ⅱ）由同角三角函数的关系求得，结合（Ⅰ）利用三角形面积公式求解即可.【详解】（Ⅰ）在△中，因为，，，由余弦定理，可得，所以，或（舍）．（Ⅱ）因为，所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由线面垂直的性质可得，由正方形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结果；（Ⅱ）正方形中，侧棱底面，以为轴建立坐标系，求出，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，则为平面的法向量，结合（Ⅱ），由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（Ⅰ）因为底面底面，所以，正方形中,，又因为，所以平面，因为平面，所以．（Ⅱ）正方形中，侧棱底面.如图建立空间直角坐标系，不妨设.依题意，则，所以 . 设平面的法向量，因为，所以，令，得，即，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以为平面的法向量，因为，且二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角与线面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.17.2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.（i）记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量的分布列；（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量的均值和的大小.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）.【解析】【分析】（Ⅰ）求得7个展区企业数共3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共家，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）（i）的可能取值为，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列；（ii）根据数学期望的实际意义（均值）求解即可.【详解】（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A,所以.（Ⅱ）（i）消费电子及家电备受关注的企业有家，医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共36家.的可能取值为0，1，2.所以随机变量的分布列为：（ii）。