1.3运动图象、追及相遇问题

命题点 2
速度图象的理解
3．甲、乙两质点同时沿同一直线运动，速度随时间变化的 vt 图象如图所示．关于两质点的运动情况，下列说法正确的是( )
A．在 t＝0 时，甲、乙的运动方向相同 B．在 0～t0 内，乙的加速度先增大后减小 C．在 0～2t0 内，乙的平均速度等于甲的平均速度 D．若甲、乙从同一位置出发，则 t0 时刻相距最远
画出物块的 vt 图象，如图乙所示． v1 v2 由图象中的几何关系可知 ＝ t′ t0－t′ 由图象中面积的物理意义及题意可知 1 1 (t ＋t′)v1＝ (t0－t′)v2 解得 v1＝2.5 m/s. 2 0 2 v1＋v2 v1 a1 1 (2)由于 a1＝ ，a2＝ ，故 ＝ . t0 t0 a2 3
2． （多选）如图所示，直线 a 和曲线 b 分别是在平直公路上行 驶的汽车 a 和 b 的位置－时间(xt)图线．由图可知( )
A．在 t1 时刻，a、b 两车的运动方向相反 B．在 t2 时刻，a、b 两车的运动方向相同 C．在 t1 到 t3 这段时间内，b 车做曲线运动 D．在 t1 到 t3 这段时间内，a、b 两车的平均速度相等
【答案】 (1)64.5 m (2)11 s
红对勾 P12 7.
(追者匀速，被追者匀减速)如图所示，A、B 两物体相 距 s＝7 m 时， A 在水平拉力和摩擦力作用下， 正以 vA＝4 m/s 的速度向右匀速运动，而物体 B 此时正以 vB＝10 m/s 向右 匀减速运动，加速度 a＝－2 m/s2，则 A 追上 B 所经历时间 是( ) A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s
【解析】
根据 vt 图线，甲、乙都沿正方向运动．t＝3 s 时，
甲、乙相遇，此时 v 甲＝30 m/s，v 乙＝25 m/s，由位移和 vt 图线所围 1 面积对应关系知，0～3 s 内甲车位移 x 甲＝ ×3×30 m＝45 m，乙车 2 1 位移 x 乙＝ ×3×(10＋25) m＝52.5 m．故 t＝0 时，甲、乙相距 Δx1 2 ＝x 乙－x 甲＝7.5 m，即甲在乙前方 7.5 m，B 选项正确；0～1 s 内，x 1 1 ′ ＝ × 1 × 10 m ＝ 5 m ， x ′ ＝ ×1×(10＋15) m＝12.5 m， Δx2＝x 甲 乙 2 2
【解析】 (1)物块的运动经历了两个过程，一是做初速度为零、 加速度大小为 a1 的匀加速直线运动；二是做加速度大小为 a2 的匀变 速直线运动，如图甲所示．两个过程的时间相等，位移大小相等 (设 为 s)，实际上第二个过程又可分为两个过程：先向前做匀减速直线 运动，速度减到零后做反向的匀加速直线运动．
【答案】
(1)2.5 m/s
1 (2) 3
1．读图
2．作图和用图 依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应 的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．
考点二
追及相遇问题
1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”． (1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或 (两者) 距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物 体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．追及相遇问题常见的情况 假设物体 A 追物体 B，开始时两个物体相距 x0，有三种常见情 况： (1)A 追上 B 时，必有 xA－xB＝x0，且 vA≥vB. (2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相 同，必有 xA－xB＝x0，vA＝vB. (3)若使两物体保证不相撞，则要求当 vA＝vB 时，xA－xB<x0，且 之后 vA≤vB.
【解析】 由 xt 图象的物理意义可知，图象的斜率的正负表示 速度的方向，即运动方向．t1 时刻，a 的斜率为正，b 的斜率为负， 因此两车的运动方向相反，由此可知 A 项正确；t2 时刻，a 的斜率为 正，b 的斜率为正，因此两车的运动方向相同，由此可知 B 项正确； 在 t1 到 t3 这段时间内，b 车的位置坐标均为正值，说明 b 车沿直线运 动，故选项 C 错误；在 t1 到 t3 这段时间内，a、b 两车运动的位移相 同，时间相同，则平均速度相等，故选项 D 正确．
3 4×－2×40.5－122 xmax＝ m＝64.5 m. 3 4×－2
最大值为
v1 (2)甲车运动的时间 t2＝ ＝8 s a1 v1 在甲车运动时间内，甲车位移：x1′＝ t2＝64 m 2 1 乙车位移：x2′＝v2t2＋ a2t2 ＝64 m 2 2 故甲车停止时，甲、乙两车仍相距 x＝40.5 m， 甲车停止时，乙车的速度：v2′＝v2＋a2t2＝12 m/s， 1 2 12 故 x＝v2′t3＋ a2t3即 40.5＝12t3＋ t3， 解得：t3＝3 s 2 2 乙车追上甲车的时间：t＝t2＋t3＝11 s.
A．物体做匀减速直线运动 B．物体在 10 s 末的速度为 15 m/s C．物体在 20 s 内速度的变化量大小为 20 m/s 3 D．物体在 10 s 末的加速度大小为 m/s2 3
【解析】
物体做加速度增大的减速直线运动， A 错；由于为
变加速直线运动，所以无法计算 10 s 末的速度，B 错；20 s 内速度 变化量大小为 20 m/s，C 正确；过 t 轴上的(10,0)作平行于 v 轴的直 线，此直线与曲线交于一点，连接原点 O 与此交点，则加速度大小 即为连线与 t 轴夹角 α 的正切，tan α＝
A．在时刻 t1，a 车追上 b 车 B．在时刻 t2，a、b 两车运动方向相反 C．在 t1 到 t2 这段时间内，b 车的速率先减少后增加 D．在 t1 到 t2 这段时间内，b 车的速率一直比 a 车的大
【解析】 本题运动图象为 xt 图象，图象中切线的斜率反映速 度的大小，a 做匀速直线运动，b 先正向运动速度减小，减到 0 后负 向运动速度增大，选项 B、C 正确，选项 D 错误．xt 图象中交点表 示相遇，所以在 t1 时刻 a、b 相遇，b 追上 a，选项 A 错误． 【答案】 BC
[解析] 由题意知，t＝5 s 时，物体 B 的速度减为零，位移 1 2 大小 xB＝ at ＝25 m，此时 A 的位移 xA＝vAt＝20 m，A、B 两物 2 Δs 体相距 Δs＝s＋xB－xA＝7 m＋25 m－20 m＝12 m， 再经过 Δt＝v A ＝3 s，A 追上 B，所以 A 追上 B 所经历时间是 5 s＋3 s＝8 s，选 项 B 正确．
表示速度
表示加速度 图线和时间轴围成的面积表 示位移
表示初位置 拐点表示速度变
表示初速度 拐点表示加速度变化， 交点表
化，交点表示相遇 示速度相等
[诊断小练] (1) 在 xt 图象中匀速直线运动是一条平行于时间轴的直 线．( ) )
(2)在 xt 图象中匀加速直线运动是一条倾斜的直线．( (3)在 xt 图象中斜率大小表示速度大小．( )
3．解题思路和方法 分析两物体 画运动 找两物体 列位移 ⇒ ⇒ ⇒ 的运动过程 示意图 位移关系 方程
命题点
追及相遇问题的理解及应用
7．甲、乙两车相距 40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车 在前，以初速度 v1＝16 m/s，加速度 a1＝2 m/s2 做匀减速直线运动， 乙车在后，以初速度 v2＝4 m/s，加速度 a2＝1 m/s2，与甲同向做匀 加速直线运动．求： (1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离； (2)乙车追上甲车经历的时间．
【答案】 ABD
(1)位移—时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化 的规律，并非物体运动的轨迹． (2)位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为 位移—时间图象只能表示物体运动的两个方向： x 坐标变大代表正方 向，x 坐标变小代表负方向． (3)位移—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的速度，斜 率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向．
第一章
运相遇问题
考点一
运动图象的理解和应用(高频3)
1.
2．两种图象的比较： 名称项目 轴 xt 图象 横轴为时间 t， 纵轴 为位移 x vt 图象 横轴为时间 t，纵轴为速度 v
线
倾斜直线表示匀速 倾斜直线表示匀变速直线运 直线运动 动
斜率 面积 纵截距 特殊点
1 2 解 法 二 ： 甲 、 乙 两 车 之 间 的 距 离 为 x ＝ v 1 t1 － a 1 t 1 ＋ x 0 － 2
1 2 v2t1＋ a2t1 2
32 即 x＝－ t1＋12t1＋40.5 2 －12 当 t1＝ s＝4 s 时，甲、乙两车之间的距离有最大值， 3 2×－2
[答案] B
8．(追者匀加速，被追者匀减速)(2017· 郑州质检)2016 年世 界中学生五人制足球锦标赛落下帷幕，代表中国参赛的河南男队 和河北女队取得了优异成绩．五人制足球的赛场长 40 m，宽 20 m，如图所示．在比赛中，攻方队员在中线附近突破防守队员， 将足球沿边路向前踢出，足球的运动可视为初速度为 v1＝6 m/s 的匀减速直线运动，加速度大小为 a1＝1 m/s2.该队员将足球踢出 后立即由静止开始追赶足球，他的运动可视为匀加速直线运动， 最大加速度为 a2＝1 m/s2， 能达到的最大速度为 v2＝4 m/s.该队员 至少经过多长时间能追上足球？
【解析】
(1)解法一：甲、乙两车速度相等时距离最大，设时
间为 t1 时，两车的速度相等，则：v1－a1t1＝v2＋a2t1 1 2 即 16－2t1＝4＋t1，解得：t1＝4 s 对甲车：x1＝v1t1－ a1t1＝48 m 2 1 对乙车：x2＝v2t1＋ a2t2 ＝24 m 故甲、乙两车相遇前相距的最大 2 1 距离： xmax＝x0＋x1－x2＝64.5 m.
【答案】 D
(1)速度—时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化 的规律，只能描述物体做直线运动的情况． (2)速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度． (3)速度—时间图线与 t 轴所围面积表示这段时间内物体的位移．