高一数学新课标高中数学人教A版必修四全册教案1.4.3正切函数的性质与图象

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高中数学必修四 (1.4.3 正切函数的性质与图象)教案新人教A版必修4

1.4.3 正切函数的性质与图象教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2πk ,0)k∈Z . (3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π-+k π,2π+k π),k∈Z 内都是增函数.(4)定义域根据正切函数的定义tan α=xy,显然,当角α的终边落在y 轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为k π+2π,k∈Z ,所以正切函数的定义域是{α|α≠k π+2π,k∈Z },而不是{α≠2π+2k π,k∈Z },这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x 大于2π-且无限接近2π-时,正切线AT 向Oy 轴的负方向无限延伸;当x 小于2π且无限接近2π时,正切线AT 向Oy 轴的正方向无限延伸.因此,tanx 在(2π-,2π)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R .问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-2π,2π］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-2π,2π)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠2π+k π(k∈Z )的图象,我们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4π-,-1),(0,0),(4π,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(4π-,-1),(0,0),(4π,1),再画两条平行线x=2π-,x=2π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助. 讨论结果:①略.②正切线是AT. ③略.④能,“三点两线”法. 提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质. ②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=2π+k π,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y 轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R ；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(2π-+k π,2π+k π),k∈Z ,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(2πk ,0),k∈Z . 问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性. 讨论结果:①略. ②略. 应用示例例1 比较大小.(1)tan138°与tan143°；(2)tan(413π-)与tan(517π-). 活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.解:(1)∵y=tanx 在90°<x<180°上为增函数, ∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.(2)∵tan(413π-)=-tan 413π=-tan(3π+4π)=-tan 4π, tan(517π-)=-tan 517π=-tan(3π+52π)=-tan 52π.又0<4π<52π<2π,而y=tanx 在(0, 2π)上是增函数,∴tan 4π<tan 52π.∴-tan 4π>-tan 52π,即tan(413π-)>tan(517π-).点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可. 例2 用图象求函数y=3tan -的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4 图5解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用图4知,所求定义域为［k π+3π,k π+2π)(k∈Z ). 点评:先在一个周期内得出x 的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种. 变式训练根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x 的集合. (1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0. 解:(1)tanx≥-1,∴x∈［k π-4π,k π+2π),k∈Z ; (2)x∈［k π-2π,k π-3π),k∈Z .例3 求函数y=tan(2πx+3π)的定义域、周期和单调区间. 活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将2πx+3π作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域. 解:函数的自变量x 应满足2πx+3π≠k π+2π,k∈Z , 即x≠2k+31,k∈Z . 所以函数的定义域是{x|x≠2k+31,k∈Z }. 由于f(x)=tan(2πx+3π)=tan(2πx+3π+π)=tan[2π(x+2)+ 3π]=f(x+2),因此,函数的周期为2.由-2π+k π<2πx+3π<2π+k π,k∈Z ,解得35-+2k<x<31+2k,k∈Z .因此,函数的单调递增区间是(35-+2k,31+2k),k∈Z .点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=ωπ. 变式训练求函数y=tan(x+4π)的定义域,值域,单调区间,周期性. 解:由x+4π≠k π+2π,k∈Z 可知,定义域为{x|x∈R 且x≠k π+4π,k∈Z }.值域为R .由x+4π∈(k π-2π,k π+2π),k∈Z 可得,在x∈(k π-43π,k π+4π)上是增函数. 周期是π,也可看作由y=tanx 的图象向左平移4π个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y=tanx 的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:∵函数y=tanx 是增函数,又1<2<3<4,∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.又∵函数y=tanx 是增函数,且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因. 解法一:∵函数y=tanx 在区间(2π,23π)上是单调递增函数,且tan1=tan(π+1),又2π<2<3<4<π+1<23π,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1,AT 2,AT 3,AT 4, ∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的. 知能训练课本本节练习1—5. 解答:1.在x 轴上任取一点O 1,以O 1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x 轴的直径,将⊙O 1分成左右两个半圆,过右半圆与x 轴的交点作⊙O 1的切线,然后从圆心O 1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于83π-,4π-,8π-,0,8π,4π,83π等角的正切线.相应地,再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动,使它的起点与x 轴上的点x 重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的图象.点评:可类比正弦函数图象的作法. 2.(1){x|k π<x<2π+k π,k∈Z };(2){x|x=k π,k∈Z };(3){x|2π-+k π<x<k π,k∈Z }.点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式. 3.x≠6π+3πk ,k∈Z . 点评:可用换元法. 4.(1)2π;(2)2π. 点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R 的周期T=ωπ得解. 5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tan π=0.(2)不会.因为对于任何区间A 来说,如果A 不含有2π+k π(k∈Z )这样的数,那么函数y=tanx,x∈A 是增函数;如果A 至少含有一个2π+k π(k∈Z )这样的数,那么在直线x=2π+k π两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性. 课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.。

高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象教案新人教A版必

正切函数的性质与图像一教材分析：《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。

一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

二教学目标（一）知识与技能目标：1.在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。

2.通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。

3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。

（二）过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（三）情感态度价值观目标在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三教学重点利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.四教学难点正切函数的单调性和值域五学法与教法学生已基本掌握正切函数的定义、诱导公式等知识；基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.但是由于该课涉及到的知识内容较多，特别是涉及到正切线时，学生会感到困难.我班学生有扎实的知识基础，学习的主动性和积极性也较高，已基本形成自主学习的习惯和能力.有合作学习的经验和氛围.因此学生学法为合作交流，教法为探究与发现式。

[课件精品]新课标高中数学人教A必修四全册课件1.4.3正切函数的性质与图象

3
的定义域、
值域，指出它的周期性、单调性.
讲授新课
例3.
求函数
y
tan
3
x
3
的定义域、
值域，指出它的周期性、单调性.
思考：你能判断它的奇偶性吗？
讲授新课
例3.
求函数
y
tan
3
x
3
的定义域、
值域，指出它的周期性、单调性.
思考：你能判断它的奇偶性吗？
非奇非偶函数
讲授新课
练习1. 求函数y
y
2
46
o
6
4
2
x
讲授新课
y
2
46
o
6
4
2
x
讲授新课
y
2
46
o
6
4
2
x
讲授新课
说明:
(1)正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
讲授新课说明:
(1)正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
(2)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
的图象，称“正切曲线”.
讲授新课
y
O
x
讲授新课
y
O
x
讲授新课
y
O
x
讲授新课
y
O
x
(3)正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.
讲授新课
例1. 比较tan 13 与tan 17
4 5 的大小.
讲授新课
例2. 求下列函数的周期：
讲授新课
例3.
求函数
y
tan

人教版数学必修四第一章1.4.3 正切函数的性质和图象经典教案

1.4.3正切函数的性质与图象一、教材分析《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展、对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教材采用了先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．二、教学目标（一）知识与技能1．理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质；2．能利用正切线画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征；3．能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题．（二）过程与方法1．通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力；2．利用诱导公式、正切线等探究正切函数的性质；3．经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力；4．在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想；5．通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题．（三）情感态度与价值观在得到正切函数图象的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图象让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣．通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的习惯，渗透由抽象到具体的思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识，同时，正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力，增强学生的学习兴趣．三、学情分析学生在知识上已经掌握了三角函数的定义，诱导公式，三角函数线，正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．四、教学重难点教学重点：正切函数的性质，用单位圆中的正切线作正切函数图象．教学难点：1．利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性；2．利用正切线及正切函数的奇偶性、单调性作⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 图象； 3．正切函数性质的简单应用．五、教学用具直尺，三角板，圆规，多媒体设备（PPT ）．六、教学过程（一）复习回顾（0.5分钟）回忆：在前面已经学习了哪几种三角函数的图象和性质?研究了它们的哪些性质?学生自由发言，互相补充，之后教师作口头梳理．设计意图：复习巩固已学知识，为后面教学作铺垫．（二）问题引入（4.5分钟）思考1：我们是先研究的正余弦函数的图象还是性质?能否采用同样的方法研究正切函数的图象与性质呢?学生口答后，教师指出：本节课我们将不从图象研究性质，而是从一个“全新”的角度来研究正切函数的性质．(给出课题，同时板书课题)设计意图：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面，同时培养学生的类比思维能力，引出这节课的课题和明确研究方向．思考2：我们学过有关正切函数的哪些性质？学生简单的口答后，提问学生回顾正切函数的定义、诱导公式、正切线等，教师在PPT 上给出单位圆，引导学生进行回顾，同时板书正切函数的定义域并强调用集合或区间表示．设计意图：为后面研究正切函数的性质、画图象作铺垫．思考3：要研究一个函数的性质，我们一般从哪些方面入手？学生自由发言，互相补充，之后教师给出下一个问题．思考4：在这众多的性质中，我们先研究哪个性质更好呢？教材中是先研究的哪个性质？（周期性）学生自由发言，教师稍作等候后对给出不同回答的同学进行提问，并做补充解释，让学生明白先研究周期性的原因：如果一个函数具有周期性，那么当研究清楚该函数在一个周期内的性质之后，就可以推广到整个定义域上，可以降低探究难度．在本节中，对探究单调性和图象等有所帮助．．设计意图：周期性是学生刚刚接触到的一个函数性质，相对其他性质还比较陌生，这样设计能让学生进一步体会到周期性在函数性质研究中的地位与作用．（三）探究新知1．性质（共12分钟）（1）周期性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有周期性？→周期是多少？→如何得到的？（tanx π)tan(x =+）→正切函数的周期是π．学生自由口答，教师可视情况进行提问，引导学生结合周期性的定义对正切函数的周期是π做一强调，指出与正余弦函数周期的不同，并板书性质．（2）奇偶性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有奇偶性？→是奇函数还是偶函数，为什么？→I x x x ∈∀=-，tan )tan(，→定义域关于原点对称→正切函数是奇函数．学生自由口答，若学生没提到检验定义域，则教师提醒学生要先检验定义域是否关于原点对称，并师生共同完成正切函数定义域的检验，为直观起见，可借助数轴．设计意图：强调判断奇偶性要先看定义域，同时先探究奇偶性对探究单调性有所帮助．（3）单调性（5分钟）思考5：既然正切函数的周期是π，那么我们只需要研究一个长度为多少的区间上的单调性？选择哪个区间好呢？学生思考后自由回答，若回答不准确，则教师引导学生选择包含原点的区间⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，因为原点附近的角是我们常见的角．思考6：这个区间能否根据我们已经得到的某一条性质进一步缩小呢？学生自由口答，教师较有指向性的提问，能使学生很容易发现“由于正切函数是奇函数，只需要探究它在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性”．思考7：如何探究正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性？已掌握的有关正切函数的知识中，可以用来比较正切值大小是什么？给学生充足的时间相互探讨，由于已学过的有关正切函数的知识只有“定义、诱导公式和正切线”，所以学生在简单的讨论交流之后应该很容易想到是正切线．教师引导学生借助正切线探究正切函数在单调性⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性，再根据奇偶性将结论推广到⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，再根据周期性将结论推广到整个定义域．设计意图：正切函数单调性的探究是本节课的难点，在本节课中利用已经得到的奇偶性和周期性，将需要研究的单调区间一步步缩小，之后再利用奇偶性和周期性，还原出正切函数在定义域上的单调情况，让学生体会到函数性质之间的联系，培养学生“从特殊到一般”“从局部到整体”的数学思维．另外，当明确了单调性之后，值域也能很容易得到．（4）值域（1分钟）正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的值域是R→正切函数的值域是R→无最大值和最小值． 2．图象（共11分钟）猜想：根据我们已经探究出的正切函数的性质，请同学们先猜想、想象一下正切函数的图象会如何呢？学生想象，稍后教师提问一名学生，让他口头表述自己想象的正切函数的图象，之后教师引导学生画图验证猜想．设计意图：猜想图象可使学生对性质进行整合，培养学生的想象能力．思考8：利用已知的性质，如何画函数的图象？可以先画怎样的一个区间内的图象？教师较有提示性的提问，学生很容易做出回答：由于正切函数的是周期为，所以只需要画出一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象．由于在探究单调性时就选取的⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，所以学生也能很容易想到先画出⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的函数图象．类比正弦函数图象的作法，利用单位圆中的正切线绘制()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ图象．（1）教师借助PPT ，引导学生按照下列步骤作图：（5分钟）①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆； ②选取特殊角：34606-4-3-ππππππ，，，，，，，分别在单位圆中作出正切线，以6π为例进行详细的步骤说明；③描点；（纵坐标是相应的正切线）④连线：当x 趋近于22-ππ或时，图象的走势如何？思考之后学生自由回答，教师引导学生理解22-ππ==x x 和是正切函数的两条渐进线．思考9：有时不需要画出正切函数精确的图象，只需画出简图，只需确定哪些点或线就能画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=22-,tan ππ，x x y 的简图？学生可看出有三个点很关键（0，0），），（14--π，），（14π，还有两条渐近线：2π-=x ，2π=x ．即“三点两线”．学生回答之后，教师板演画出草图．思考10：如何得到函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的图象？整个定义域上的图象呢？学生自由回答，根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象左右平移，得到正切函数()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，称为“正切曲线”．教师板演画出⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的草图．这时，学生可以拿出先前由性质推测的图象进行对比，自己找出问题，加以体会．设计意图：培养学生运用类比的方法解决问题的能力，形成对正切函数图象的感知．（2）观察图象，验证、丰富性质（4分钟）从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线()Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；图象关于原点中心对称，得到它的哪一性质——奇函数；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,22-ππππ，，没有减区间．设计意图：形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数的性质和图象，分析各个性质在图象上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图象，函数的图象是其性质的直观反应，培养学生的识图能力，利用正切函数的图象进一步加深对性质的理解，体会“数形结合”的思想，同时，由渐近线感知无限逼近的思想．追问：在整个定义域上是增函数吗？注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增．设计意图：避免一些错误认识，进一步加深对正切函数单调性的理解．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．追问：认真观察图象还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，，02π，无对称轴．强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x 轴的交点．3．例题分析（8分钟）例1．求函数y ＝tan （2πx ＋3π）的定义域、周期和单调区间．教师板演讲解，说明可将2πx ＋3π作为一个整体来处理，而不必设元，并写出解题过程，以规范学生的解题步骤．设计意图：巩固正切函数的定义域、周期性和单调性，渗透换元的思想．例2．比较大小()︒167tan 1︒173tan ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-411tan 2π 513tan π 学生思考后，举手发言，说明理由．教师提醒学生注意利用诱导公式将角度转化为同一单调区间后才能进行比较，并结合正切函数的图象加以说明．设计意图：深化对正切函数的单调性的理解和转化的思想．练习：（5分钟）1．观察正切函数的图象，写出使不等式3tan ≥x 成立的x 的集合．2．求函数x y 3tan =的定义域、值域、周期和单调区间．（学生板演）（四）小结1．正切函数的性质与图象；2．性质有助于更有效的作图，图象有助于更直观的研究性质；3．数形结合的思想方法；设计说明：从知识，方法，思想三个方面对本节课进行总结．（五）布置作业习题1．4，A组，8，9题，B组2题：其他题完成在书上．七、板书设计。

高中数学必修四教案-1.4.3 正切函数的性质与图象(7)-人教A版

正切函数的性质与图象【教学目标】1.掌握正切函数的性质；2.掌握性质的简单应用；3.会解决一些实际问题。

【教学重点】正切函数的性质的应用。

【教学难点】灵活应用正切函数的性质解决相关问题。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入：正切线：首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是AT 。

正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的性质： 1．定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且 2．值域：R ，3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y4．周期：π=T 5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减二、讲解范例：例1：用图象解不等式3tan ≥x解：利用图象知，所求解为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2,3ππππ 亦可利用单位圆求解。

例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ， ∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数。

高一下学期数学人教A版必修4第一章1.4.3 正切函数的性质与图象教学设计

《正切函数的性质与图象》教学设计一、教材内容分析：1、教学内容人教版A版，数学必修4，第一章，1.4.3“正切函数的性质与图象”《普通高中课程标准实验教科书·数学 4 （必修）》第一章第四节第三课时内容2、教材分析：本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后，又一具体的三角函数．正切函数的性质和图象是对前面已学函数以及三角函数知识的深化运用。

教材紧扣课题，先探究正切函数的性质，再作图，这与前面对正弦函数、余弦函数的研究恰好相反。

本节课提出先推导函数性质，再作图，又由图形发现新性质，再理性反思的处理方式，这样既能在性质的指导下，可以更加有效地作图，数形结合相得益彰，又能给学生提供更多研究数学问题的视角。

二、学习者特征分析：学生已经学习了正切的定义、单位圆中的正切线、诱导公式、正弦函数的图象和性质等，具备了学习本节课的知识基础．并且在学习基本初等函数时，已然形成了稳定的函数研究模式，即先画图、再性质．选择恰当的方法和过程来研究正切函数的性质，对学生来说也是一种考验。

三、教学策略选择与设计：我们知道研究函数常见两种方式，第一种方式是先根据函数解析式作出整体的函数图象．通过观察图象获得对函数性质的直观感性的认识，然后再把直观想象的内容用代数的语言加以抽象概括，进一步加以推理证明。

这种研究过程体现的思维模式是由“直观想象”到“抽象概括”，研究方法是由“整体”到“局部”；第二种方式是先用代数的语言抽象概括出函数的局部性质，再根据性质画出函数的整体图象，这种研究过程体现的思维模式是由“抽象概括”到“直观想象”，研究方法是由“局部”到“整体”；前面主要研究了正余弦函数的图象和性质，我们的研究方法是先画出函数的图象，观察图象得到函数的性质．这节课研究正切函数过程中要体会另一种思维模式，先研究函数的一些局部的抽象的性质，再通过性质画出函数的整体的直观的图象．使学生的研究函数的思维模式从“直观到抽象、整体到局部”突破到“抽象到直观、局部到整体”，研究过程也从“先图象后性质”突破到“先性质后图象”，这也是今后研究一个不熟悉的函数时的常用方法。

人教新课标版数学高一- 人教A版必修4教案 1.4.3正切函数的性质与图象

河北武邑中学课堂教学设计备课人授课时间
课题 1.4.3正切函数的性质与图象
教学目标
知识与技能了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．
能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．过程与方法学习正切函数的性质与图象时，应类比正余弦函数研究方法情感态度价值观数形结合应用能力
重点准确地整体把握正切函数的图象，结合图象记忆正切函数的有关性质难点抓住正切函数的图象具有渐近线这一明显特征
教学设计
教学内容教学环节与活动设计一、y＝tan x正切函数的图象
类比正弦函数图象的作法，作正切函数y＝tan x，
x∈⎝⎛⎭⎫
－
π
2，
π
2图象的步骤：
(1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点
O1，以O1为圆心作单位圆．
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边
的线．
(3)在x轴上，把⎝⎛⎭⎫
－
π
2，
π
2这一段分成8等份，依次确定
单位圆上7个分点在x轴上的位置．
(4)把角x的线向右平移，使它的起点与x轴上的
点x重合．
(5)用光滑的曲线
把正切线的终点
连接起来，就得到
y＝tan x，
x∈⎝⎛⎭⎫
－
π
2，
π
2的图
象，
教学内容教学环节与活动设计。

高中数学必修四 1.4.3 正切函数的性质与图象学案新人教A版必修4

1．4.3 正切函数的性质与图象基础梳理一、正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ． 2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数．练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z，在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增．二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交．思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝ 3. ∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C) A ．2π B ．π C.π2 D.π4解析：T ＝π2，故选C.2．下列命题正确的是(C) A ．正切函数在定义域内是增函数 B ．正弦函数在定义域内是增函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数解析：正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是(D)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4的值域为⎦⎥⎤3，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z) D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B.2．tan 600°的值是(D) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C)A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tan ωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为(C)A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则(A) A ．f (0)>f (－1)>f (1) B ．f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1) D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ， ∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫1－3π4，∴1－3π4，－1，0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0，∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2xtan x的定义域为(A)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π－π4，k ∈Z8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan x ≥－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .(2)在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式k π－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan 2x ≤－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2，即θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。

人教版高中数学高一A版必修4导学案 1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象1．能借助单位圆中的正切线画出y ＝tan x 的图象．2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，并掌握其应用．正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．正切函数y ＝tan x 的图象叫做________． (2)性质：如下表所示．(1)正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴． (2)正切曲线无限接近直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )．(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b 的周期是T ＝π|ω|.【做一做1－1】 y ＝tan x ( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数D ．在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数【做一做1－2】 f (x )＝tan 2x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【做一做1－3】函数y ＝3tan x －1的定义域是__________．答案：正切曲线 π2＋k π R π 奇－π2＋k π【做一做1－1】 C【做一做1－2】 B【做一做1－3】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，k ∈Z画正切函数的简图剖析：我们知道“五点法”可以快速画出正、余弦函数的图象的草图，正切函数的图象不是连续的曲线，不同于正、余弦函数的图象，需从正切函数的图象和性质上来分析，找出画简图的方法．由于正切函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以正切函数的图象被垂直于x 轴的无数条平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开．画正切函数的图象时，也是先画一个周期的图象，即函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，再把这一图象向左、右平移(每次平移π个单位长度)，从而得到正切函数的图象．通过函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的作图发现：函数的图象过⎝⎛⎭⎫－π4，－1，⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)三点，被直线x ＝±π2隔开，这样，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的简图．题型一求定义域和单调区间【例1】求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3的定义域，并指出它的单调性．分析：把3x －π3看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决．反思：求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，A ≠0，ω＞0的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是把“ωx ＋φ(ω＞0)”看作一个整体．令ωx ＋φ≠k π＋π2(k ∈Z )可解得该函数的定义域．题型二比较大小【例2】比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－17π5的大小．分析：先利用诱导公式转化为同一个单调区间上的两个角的正切值，再比较大小．反思：运用正切函数单调性比较tan α与tan β大小的步骤：①运用诱导公式将角α，β化到同一单调区间内，通常是化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内；②运用单调性比较大小．题型三求周期【例3】求下列函数的最小正周期：(1)y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋35； (2)y ＝|tan x |.分析：(1)利用T ＝π|ω|求解；(2)画出函数图象利用图象法求解．反思：函数y ＝A tan(ωx ＋φ)与函数y ＝|A tan(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期均为T ＝π|ω|. 题型四解不等式【例4】观察正切曲线，解不等式tan x ＞1.分析：先确定在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的x 值的范围，再写出不等式的解集．题型五易错辨析易错点忽视正切函数的定义域【例5】求y ＝11＋tan x的定义域．错解：∵1＋tan x ≠0，即tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4(k ∈Z )，即y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4，k ∈Z . 错因分析：错解忽略了tan x 本身对x 的限制．答案：【例1】解：要使函数有意义，自变量x 的取值应满足3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π3＋5π18，k ∈Z . 令k π－π2＜3x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，即k π3－π18＜x ＜k π3＋5π18(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )，不存在单调递减区间．【例2】解：tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－17π5＝－tan 2π5. ∵0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5.∴－tan π4＞－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－17π5. 【例3】解：(1)∵ω＝π3，∴最小正周期T ＝ππ3＝3.(2)函数y ＝|tan x |的图象是将函数y ＝tan x 图象x 轴下方的图象沿x 轴翻折上去，其余不变，如图所示．由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.【例4】解：函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的图象如图所示．作直线y ＝1，则在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，当tan x ＞1时，有π4＜x ＜π2.又函数y ＝tan x 的周期为π，则tan x ＞1的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫π4＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z . 【例5】正解：要使函数y ＝11＋tan x有意义，则应有⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z.1．函数y＝π2tan34x⎛⎫+⎪⎝⎭的最小正周期是()A.π6B.π3C.π3D.2π32．函数f(x)＝πtan4x⎛⎫+⎪⎝⎭的单调增区间为()A.πππ,π22k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.3πππ,π44k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z D.π3ππ,π44k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z3．函数f(x)的定义域为()A.πππ,π22k k⎛⎫-+⎪⎝⎭(k∈Z) B.πππ,π24k k⎛⎤-+⎥⎝⎦(k∈Z)C.πππ,π42k k⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k∈Z) D.πππ,π42k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭(k∈Z)4．函数y＝πtan4x⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域为__________．5．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．答案：1．B2．C利用整体思想，令kπ－π2＜x＋π4＜kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－3π4＜x＜kπ＋π4.3．B要使函数有意义，自变量x的取值应满足1tan0,ππ(Z),2xx k k-⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩≥解得kπ－π2＜x≤kπ＋π4(k∈Z)．4.π|π,Z4x x k k⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭要使函数有意义，自变量x的取值应满足x＋π4≠kπ＋π2(k∈Z)，解得x≠kπ＋π4 .5．解：∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又π2＜2＜π，∴π2-＜2－π＜0.∵π2＜3＜π，∴π2-＜3－π＜0，∴π2-＜2－π＜3－π＜1＜π2，又y＝tan x在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1.。

正切函数的图像与性质第一课时教案-人教A版数学高一必修4第一章1.4.3

第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.3 正切函数的图象与性质一、学习目标1.知识与技能(1)会用单位圆中的正切线作正切函数的图象，会用描点法作正切函数的简图. (2)会用正切函数的图象研究正切函数的性质. 2.过程与方法(1)理解并掌握作正切函数图象的方法. (2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法.二、重点、难点重点：正切函数的图象及其主要性质(包括周期性、奇偶性、单调性、值域、定义域)；深化研究函数性质的思想方法.难点：正切函数图象作法及其性质应用.三、教学方法自学检测法四、专家建议通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生探索精神和创新思维. 掌握利用图形之间的关系研究函数性质的方法。

五、教学过程●新知探究知识1 正切函数的图象我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的简图吗？怎样画. 【提示】能.三个关键点：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2.y ＝tan x (x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z )的图象知识2 正切函数的性质1.正切函数的定义域是。

x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .2.诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的性质。

周期性.3.诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的性质。

奇偶性.4.y ＝tan x 的性质(1)定义域是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值. (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是奇函数.(5)单调性：正切函数在每一个开区间k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)内都是增函数.●典例剖析类型1 与正切函数有关的定义域问题【例1】求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.【分析】由函数定义，得关于“tan x ”的不等式组，结合正切函数的性质，求x 的取值范围.【解析】由题意得⎩⎨⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，即－1≤tan x <1.在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，x 的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4，k ∈Z .【方法探究】1.求三角函数参与构成的函数的定义域，自变量必须满足以下几个方面：(1)若函数含有tan x ，则x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)分式形式的分母不等于零.(3)偶次根式的被开方数不小于零.(4)对数式中真数大于零.2.此类问题常常归结为解三角不等式(组)问题，这时可以利用基本三角函数的图象或单位圆中的三角函数线直观地求解集.【跟踪训练1】求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．【解】(1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠π2＋k π (k ∈Z)．∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z(2)由3－tan x >0，得tan x < 3.根据正切函数图象，得－π2＋k π<x <π3＋k π (k ∈Z)，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＋k π<x <π3＋k π，k ∈Z类型2 正切函数的单调性及应用【例2】 (1)比较下列两个数的大小(用“＞”或“＜”填空)： ①tan 2π7________tan 10π7. ②tan 6π5________tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间.【分析】 (1)首先把角转化到同一单调区间上，再根据单调性比较大小；(2)运用整体代换的思想求单调区间.【解析】 (1)①tan 107π＝tan(π＋37π)＝tan 37π.∵0＜27π＜3π7＜π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴tan 27π＜tan 37π.即tan 2π7＜tan 10π7. ②tan 65π＝tan(π＋π5)＝tan π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－135π＝tan(－3π＋25π)＝tan 25π. ∵0＜π5＜2π5＜π2且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴tan π5＜tan 2π5，即tan 65π＜tan(－13π5). 【答案】 ①＜ ②＜(2)令z ＝π4－2x ，则y ＝3tan(π4－2x )＝3tan z .由于函数y ＝3tan z 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，且z ＝π4－2x 是减函数得：－π2＋k π＜π4－2x ＜π2＋k π，k ∈Z ，即－π8－k π2＜x ＜3π8－k π2，k ∈Z .所以函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－k π2，3π8－k π2(k ∈Z )，也即(－π8＋k π2，3π8＋k π2)(k ∈Z )，无单调增区间.【方法探究】1.比较正切函数大小的步骤：(1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系.2.对于求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再由k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可.跟踪训练2：(1)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调区间及周期；(2)比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7的大小.【解】 (1)由k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2(k ∈Z )⇒ 4k π－4π3＜x ＜4k π＋8π3(k ∈Z )，3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递增，∴y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递减.∵T ＝π|ω|，∴T ＝π14＝4π，即周期为4π.(2)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π7＝tan π7，又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，而－π2＜－π5＜π7＜π2.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＜tan π7，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7. 类型3 正切函数图象的应用【例3】画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 【分析】【解析】由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π＜x ＜k π(k ∈Z )，其图象如图：由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，函数y ＝|tan x |的周期T ＝π.函数y ＝|tan x |的单调递增区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ).【方法探究】1.可用“三点两线法”作正切函数的简图：“三点”是指点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，“两线”是指直线x ＝－π2，x ＝π2.2.为了画出函数图象，有时需对给出的函数式进行变形、化简，在变形、化简过程中一定要注意等价变形.变式训练3：若把例题中“函数y ＝|tan x |”改为“函数y ＝tan|x |”，请回答同样的问题. 【解】 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示：由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，k π＋32π(k ∈N)；单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－32π，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).●易错警示误认为正切函数在定义域内是增函数致误【典例】关于正切函数的单调性，有下列命题： ①正切函数y ＝tan x 是增函数；②正切函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数；③正切函数y ＝tan x 在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内是增函数； ④正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是增函数.其中正确的是________(填序号).【错因分析】不能正确理解每个区间段内递增，与整个定义域内是否为增函数的联系. 【易错警示】正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数. 【正解】 (1)正切函数在定义域内不是增函数，如x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2；(2)正切函数在每一个开区间内图象从左向右是上升的，故③正确；(3)令x 1＝π4，x 2＝34π，虽有x 1<x 2，但tan x 1>tan x 2，故④错误.从而正确的命题只有③.【答案】 ③●课堂小结1.正切函数的图象：正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z . 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质：(1)函数y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，值域为R .(2)函数y ＝tan x 的最小正周期为π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为π|ω|. (3)正切函数在整个定义域内不具有单调性，但在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上递增，正切函数无单调减区间.六、板书设计正切函数的图象与性质1.f (x )＝tan(x ＋π)是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】 f (x )＝tan(x ＋π)＝tan x ，由tan(－x )＝－tan x 知f (x )为奇函数. 【答案】 A2.(2014·济南高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象的对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π8，0，k ∈Z 【解析】由2x ＋π4＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π8(k ∈Z ).∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π8，0，k ∈Z . 【答案】 D3.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为( )A.π6B.π2 C.π D.2π 【解析】知T ＝π2. 【答案】B4.求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域，并指出它的单调性. 【解】令3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z .令k π－π2＜3x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，即k π3－π18＜x ＜k π3＋5π18(k ∈Z ).∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )，无单调递减区间.八、课后延伸已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值.(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数.【分析】 (1)转化为二次函数求最值；(2)先求出tan θ的取值范围，进而求出θ的取值范围. 【解析】 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43；当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2 θ的图象的对称轴为x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。

[教案新课标高中数学人教A版必修四全册教案1.4.3正切函数的性质与图象.pdf

例 1 比较 tan − 13 与 tan − 17 的大小
4
5
解： tan − 13 = − tan ，tan − 17 = − tan 2 ，0 2 , y = tan x在 0,
4
4 5
5
45
2
内
单
调
递
增
，
tan tan 2 , − tan − tan 2 ,即tan − 13 tan − 17
3．作 y = tan x ，x − , 的图象 2 2
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
y = tan x x R ，且 x + k (k z)的图象，称“正切曲线”。
2
学海无涯
＜ 2
结合周期性，可知在 x∈ R，且 x≠kπ＋上满足的 x 的取值范围为(kπ，kπ＋ 2
)(k∈Z) 2
思考 2：你能用图象求函数 y = tan x − 3 的定义域吗？
解：由 tan x − 3 0 得 tan x 3 ，利用图象知，所求定义域为
k
+
3
解： 1 、由 3x − k + 得 x k + 5 ，所求定义域为
3
2
3 18
x
|
x
R, 且x
k 3
+
5 18
,k
z
2、值域为 R，周期T = ， 3
3、在区间 k − , k + 5 (k z)上是增函数。
3 18 3 18
思考 1：你能判断它的奇偶性吗？（是非奇非偶函数），

高中数学第一章三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图

1.4.3 正切函数的性质与图象
1.知识与技能
(1)会用单位圆中的正切线作正切函数的图象,会用描点法作正切函数的简图.
(2)会用正切函数的性质研究正切函数的图象.
2.过程与方法
(1)理解并掌握作正切函数图象的方法.
(2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法.
3.情感、态度与价值观
通过对正切函数从性质到图象,从图象到性质的探究学习,培养学生的探索精神和创新思维.
重点:正切函数的图象及其主要性质(包括周期性、奇偶性、单调性、值域、定义域);深化研
究函数性质的思想方法.
难点:正切函数图象作法及其性质应用.
正切函数图象的几何作法
类比正弦函数图象的作法,作正切函数y=tan x,x∈图象的步骤.
(1)建立平面直角坐标系,在x轴的负半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆.
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份,并作出相应终边的正切线.
(3)在x轴上,把这一段分成8等份,依次确定单位圆上7个分点在x轴上的位置.
(4)把角x的正切线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合.
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来,就得到y=tan x,x∈的图象,如图所示.
现在我们作出了正切函数一个周期上的图象,根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数y=tan x的图象,我们把它叫做“正切曲线”(如图所示),它是由被无数条直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无数条曲线组成的.。

人教版数学高一教学设计1.4.3正切函数的性质与图象

必修四第一章三角函数1．4.3正切函数的性质与图象讲解新课：1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.例题精讲［例1］在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.解：(1)在R 网sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =101033303==BC AB sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°10103=. 2010)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDAAC DCA AD sin sin =， ∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD 答：此时船距岛A 为1339+千米. ［例2］已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos2C A -，f (x )=cos B (CA cos 1cos 1+).。

高中数学第一章三角函数 1.4.3 正切函数的图像与性

§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。

正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

人教版高中数学1.4.3正切函数的性质与图象教案

1.4.3正切函数的性质与图象教学目的：知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；教学难点：正切函数的性质。

教学过程：一、复习引入：问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：．请同学们回忆正弦函数的性质。

下面我们研究正切函数的性质和图象．二、讲解新课：1．正切函数tan y x 的定义域是什么？zk k x x ,2|2．正切函数的奇偶性（1）定义域关于原点对称（2）)()(x f x f 3.正切函数的周期性（1）诱导公式x k x tan )2tan(正切函数是周期函数。

（2）利用定义域分析tan tan ,,2x x x R x k k z 且，∴是tan ,,2y x x R x k k z 且的一个周期。

是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tan y x ，x 2,0的图象说明：利用正切函数的奇偶性和周期性，画出R x x y tan ，且z kk x 2的图象，称“正切曲线”。

正切曲线是由被相互平行的直线2x k k Z 所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质引导学生观察，共同获得：（遵循：就近原则，以正为主）（1）定义域：))(2,2(Z k k k ；（2）值域：R 观察：当x 从小于z k k 2，2k x 时，tan x当x 从大于z k k 2，k x 2时，x tan 。

（3）周期性：T；（4）奇偶性：由x x tan tan 知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间z k k k 2,2内，函数单调递增。

（特别提示：正切函数不是单调函数）5.讲解范例：例1比较413tan 与517tan 的大小O0 232223y xx。

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。
3
说明：函数 y A tan x
A 0, 0 的周期 T
．
例 3：求函数 y tan 3x
的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，
3
解： 1 、由 3x
k
3
k
得x
2
3
5
，所求定义域为
18
2
x | x R,且x k 5 , k z 3 18
2、值域为 R，周期 T
，
3
3、在区间 k 3
解：画出 y＝tan x 在 ( －， ) 上的图象，在此区间上满足 22
＜
2
tan x＞ 0 的 x 的范围为： 0＜ x
结合周期性，可知在
x∈ R，且 x≠ kπ ＋上满足的 x 的取值范围为 ( kπ ， kπ ＋ 2
)( k∈ Z) 2
思考 2：你能用图象求函数 y tan x 3 的定义域吗？
k z ，x
2
k
时， tan x
2
当 x 从大于
k k z ，x
k 时，tan x
。
2
2
（3）周期性： T ；
（4）奇偶性：由 tan x
tan x 知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间 5. 讲解范例：
k , k k z内，函数单调递增。
2
2
例 1 比较 tan 13 与 tan 17 的大小
y tan x x R ，且 x
k k z 的图象，称“正切曲线”。
2
y
3
3
2
2
2
2
O
x
1
（ 3）正切曲线是由被相互平行的直线 x k
的。 4．正切函数的性质
引导学生观察，共同获得：
k Z 所隔开的无穷多支曲线组成 2
（1）定义域： x | x
k ,k z ；
2
（2）值域： R
观察：当 x 从小于 k
x
, 3 ,...... 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
22
3
2. 作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（
- π /2 ，π /2 ）的区间内的函数的
图象，然后再将它沿 x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正
切函数的图象。
五、作业《习案》作业十一。
4
1.4.3 正切函数的性质与图象
教学过程：
一、复习引入：
问题： 1、正弦曲线是怎样画的？
2 、练习：画出下列各角的正切线：
下面我们来作正切函数的图象．二、讲解新课：
1．正切函数 y tan x 的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
．
x|x
k ,k z
2
tan x
tan x x R, 且 x k
,k z ，
2
∴ 是 y tan x x R,且 x k
, k z 的一个周期。 2
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作 y tan x ， x
, 的图象 22
说明：（ 1）正切函数的最小正周期不能比
小，正切函数的最小正周期是
；
（ 2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
解：由 tan x 3 0 得 tan x 3 ，利用图象知，所求定义域为
k
,k
k Z，
3
2
亦可利用单位圆求解。
y y
3
T
3
0
Ax
0
x
32
四、小结：本节课学习了以下内容：
1. 因为正切函数 y tan x 的定义域是 { | x R, x k
, k Z} ，所以它的图象被 2
,k 18 3
5 k z 上是增函数。 18
思考 1：你能判断它的奇偶性吗？（是非奇非偶函数），
练习 1：求函数 y tan x
的定义域、周期性、奇偶性、单调性。
23
略解：定义域： x | x R且 x k
,k z 4
值域： R
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在 (k
3 ,k
4
) 上是增函数 4
练习 2：教材 P45 面 2、 3、4、 5、 6 题
4
5
解： tan 13 4
tan ，tan 17
4
5
2 tan ，0
2 , y tan x在 0,
5
45
2
内
单
调
递
增
，
tan
tan 2 ,
4
5
tan 4
tan 2 ,即 tan 13
5
4
tan 17 5
例 2：求下列函数的周期：
（ 1） y 3tan x 5
答： T 。
（2） y tan 3x 6
答： T