2018年高考数学一轮复习专题21简单的三角恒等变换教学案文!

专题21 简单的三角恒等变换1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin2α2； (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.高频考点一 三角函数式的化简与求值例1、(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α²cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝______________________________________________________________.答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝124cos 4x －4cos 2x ＋1 2³sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ²cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22 sin α＋cos α sin α＋cos α 2＋ cos 2α－sin 2α ＝268. 【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．【变式探究】(1)cos π9²cos 2π9²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9等于( ) A ．－18B ．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54B ．－54C.43D ．－43答案 (1)A (2)D解析 (1)原式＝cos π9²cos 29π²cos(－3π＋49π)＝－cos π9²cos 29π²cos 49π²sinπ9sinπ9＝－12sin 29π²cos 29π²cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 高频考点二 三角函数的求角问题 例2、(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4B.π4或3π4C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8 B ．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ²tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55³31010－255³(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ²tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.高频考点三 三角恒等变换的应用例3、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ 1－2a sin θ ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．【变式探究】(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】3.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【解析】法一、sin15sin75sin15cos1545)2+=+=+=法二、sin15sin75sin(4530)sin(4530)2sin45cos302+=-++==法三、sin15sin75+==.【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos1f x x x x=++的最小正周期是，单调递减区间是．【答案】π，]87,83[ππππkk++，Zk∈.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin6f x x xπ⎛⎫=--⎪⎝⎭，Rx∈(I)求()f x最小正周期；(II)求()f x在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II)max()4f x=,min1()2f x=-.【解析】(I) 由已知，有1cos21cos21113()cos22cos2222222xxf x x x xπ⎛⎫--⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+-⎪⎝⎭112cos2sin2426x x xπ⎛⎫-=-⎪⎝⎭.所以()f x的最小正周期22Tππ==.(II)因为()f x在区间[,]36p p--上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，11(),(),()34624f f fπππ-=--=-=，所以()f x在区间[,]34p p-最小值为12-.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p ，最大值为22-（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减. 【解析】（2）当2[,]63x ππ∈时，有023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减，综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减. （2014²全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】43【解析】 如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan∠APB ＝2tan∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43. （2014²全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，2]（2014²福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014²四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2014²天津卷）已知函数f (x )＝cos x ²s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.（2014²北京卷）如图1­2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC＝17. (1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1­2【解析】(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4 37.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37³12－17³32＝3 314.（2014²福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．【答案】2 3 【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12²AC ²BC sin C ＝12³4³23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.（2014²湖南卷）如图1­5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1­5(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，求BC 的长．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，sin∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin∠BAD cos∠CAD －cos∠BAD sin∠CAD＝32114³277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714³217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.故BC ＝AC ²sin αsin∠CBA＝7³32216＝3.（2014²四川卷）如图1­3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)图1­3【答案】601．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.2．已知sin2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 A3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( )A.118B ．－118C.1718 D ．－1718答案 D解析 cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.4．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos2α＝－255. ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255³⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55³1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.5．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ的值为________．答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∵sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________．答案 －210＝22³(35－45)＝－210. 8．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2α－β ＝－74. ∴tan(α－β)＝sin α－β cos α－β ＝－73.9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴． (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx- 21 - ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )． 又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45³32－35³12＝43－310.。