2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (17)

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2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷(十七)文科数学

2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（十七）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷1.已知集合{}{2,xP y y Q x y ====，则P Q =I （）A. []1,1-B. [)0,+∞C. (][),11,-∞+∞UD. (]0,1 2.计算21ii-（i 为虚数单位）等于（） A.1i -+ B. 1i -- C. 1i + D. 1i -3.已知一组数据点11223377(,),(,),(,),,(,),x y x y x y x y ⋅⋅⋅用最小二乘法得到其线性回归方程为24y x =-+，若数据1237,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则71i i y ==∑（）A ．2B ．11C ．12D ．144.经过原点且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程为( )A.22(1)(1)2x y -++= B.22(1)(1)2x y ++-= C.22(1)(1)4x y -++= D.22(1)(1)4x y ++-=5. 已知向量(1,3),(3,)a b m ==．若向量a b ⊥，则实数m 等于( )A ．3 3B ．-3 3C ． 3D ．－ 36.如图，在程序框图中，若输入6n =，则输出k 的值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.如图，正三棱柱111ABC A B C -中， E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1AB E8. 赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．413B C ．926D 9. 等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3711a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是( ).A. 7SB. 8SC. 13SD. 15S10. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则在区间[0,6]上函数()y f x =的图像与x 轴的交点的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．911.已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是（）ABC ．2D12.函数223,0,(),0,x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是（） A ．[1,)-+∞B ．[0,)+∞C ．[7,)-+∞D ．(,0]-∞第II 卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数3log ,0()41,0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩，则((2))f f -=_______．14. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次。

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天天练17 平面向量的大体定理及坐标表示小题狂练⑰一、选择题1．[2019·昆明调研]已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，那么|2a －b |＝( ) A. 2 B ．2 C.10 D ．10答案：C解析：由已知，易患2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，因此|2a －b |＝－32＋12＝10.应选C.2．[2019·桂林模拟]以下各组向量中，能够作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34答案：B解析：两个不共线的非零向量组成一组基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线，应选B.3．若是e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么以下说法中不正确的选项是( )①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )能够表示平面α内的所有向量；②关于平面α内任一贯量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③假设向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，那么λ1λ2＝μ1μ2.④假设实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，那么λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．② 答案：B解析：由平面向量大体定理可知，①④是正确的．关于②，由平面向量大体定理可知，一旦一个平面的基底确信，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．关于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不必然成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.应选B.4．[2019·天津红桥区模拟]假设向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，那么a ＋b 的坐标为( )A ．(1,5)B ．(1,1)C ．(3,1)D ．(3,5) 答案：A解析：∵向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，∴a ＋b ＝(1,5)．应选A.5．[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB→＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案：A解析：作出示用意如下图．EB→＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB → ＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 应选A.6．[2019·吉林一中等五校模拟]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且a ∥b ，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝( )A ．－13 B.13C.223 D ．－223答案：C解析：因为向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，因此13＝tan αcos α＝sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝1－sin 2α＝223.应选C.7．[2019·宜昌模拟]已知点A (1,3)，B (4，－1)，那么与AB→同方向的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案：A解析：因为AB →＝(3，－4)，因此与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.8．假设A ，B ，C ，D 四点共线，且知足AB →＝(3a,2a )(a ≠0)，CD →＝(2，t )，那么t 等于( )A.34B.43C ．3D ．－3 答案：B解析：因为A ，B ，C ，D 四点共线，因此AB →∥CD →，故3a ·t ＝2a ·2，t ＝43.应选B.二、非选择题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知a ＝(3，1)，假设将向量－2a 绕坐标原点O 逆时针旋转120°取得向量b ，那么b 的坐标为________．答案：(23，－2)解析：因为a ＝(3，1)，因此－2a ＝(－23，－2)，如下图，易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°.向量－2a 绕坐标原点O 逆时针旋转120°取得向量b ，由图可知，b 在第四象限，且与x 轴正半轴的夹角β＝30°，因此b ＝(23，－2)．10．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，那么m ＝________________. 答案：－6解析：由题意知－2m －12＝0，m ＝－6.11．设向量a ，b 知足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，那么a 的坐标为________．答案：(－4，－2)解析：因为b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，因此设a ＝(2λ，λ)(λ<0)，因为|a |＝2 5.因此4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.因此a ＝(－4，－2)．12．已知A (2,1)，B (3,5)，C (3,2)，AP →＝AB →＋tAC →(t ∈R )，假设点P 在第二象限，那么实数t 的取值范围是________．答案：(－5，－3)解析：设点P (x ，y )，那么由AP→＝AB →＋tAC →(t ∈R )，得(x －2，y －1)＝(1,4)＋t (1,1)＝(1＋t,4＋t )，因此⎩⎨⎧ x －2＝1＋t ，y －1＝4＋t ，解得⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝5＋t ，由点P 在第二象限，得⎩⎨⎧x ＝3＋t <0，y ＝5＋t >0，解得－5<t <－3，因此实数t 的取值范围为(－5，－3)．课时测评⑰一、选择题1．已知向量a ＝(－3，－4)，那么以下能使a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )成立的一组向量e 1，e 2是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－1,2)B ．e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6)C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1)D ．e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，e 2＝(1，－2)答案：C解析：作为基底，其应该知足的条件为不共线向量．A 中，零向量与任意向量共线；B 中，e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6)共线；C 中，e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1)不共线；D 中，e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，e 2＝(1，－2)共线．2．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)反向共线，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，那么点B 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5) 答案：A解析：依题意，设AB→＝λa ，其中λ<0，那么有|AB →|＝|λa |＝－λ|a |，即25＝－5λ，∴λ＝－2，AB→＝－2a ＝(－2,4)，因此点B 的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，应选A.3．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，那么向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2 答案：B解析：由题意可取e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，设a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，那么⎩⎨⎧ x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.4．[2019·重庆第八中学适应性考试(一)]已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )∥b ，那么m ＝( )A ．－23 B.23C ．－8D ．8 答案：A解析：由题意得a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )∥b ，因此43＝m －2－2，解得m ＝－23.应选A.5．[2019·湖南省五校联考]已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ知足OC →＋λOA →＋μOB →＝0，那么实数λ，μ的关系为( ) A ．λ2＋μ2＝1 B.1λ＋1μ＝1 C ．λμ＝1 D ．λ＋μ＝1 答案：A解析：解法一取特殊点，取C 点为优弧AB 的中点，现在易患λ＝μ＝22，只有A 符合．应选A.解法二依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得1＝λ2＋μ2.应选A.6.如图，OC →＝2OP →，AB →＝2AC →，OM →＝mOB →，ON →＝nOA →，假设m ＝38，那么n 等于( )A.12B.2334 D.4 5C.答案：C解析：因为AB →＝2AC →，因此C 为AB 中点，故OC →＝12OA →＋12OB →＝2OP →，因此OP →＝14OA →＋14OB .由OM →＝mOB →，ON →＝nOA →，因此OB →＝1m OM →，OA →＝1n ON →，因此OP →＝14m OM →＋14n ON →，因为M ，P ，N 三点共线，故14m ＋14n ＝1，当m ＝38时，n ＝34.应选C.7．[2019·安徽淮南模拟]已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 别离交于点M ，N ，且AM→＝xAB →，AN →＝yAC →(x ，y >0)，那么3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋233 答案：D 解析：如图．AC →＝1y AN →，AB →＝1x AM →，又∵AG →＝13AB →＋13AC →， ∴AG→＝13x AM →＋13yAN →，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y ＝1.∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取等号．应选D.8．[2019·福建质量检测]正五角星是一个超级优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密的关系．在如下图的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E为极点的多边形为正五边形，且PTAT ＝5－12.以下关系中正确的选项是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D.AT →＋BQ →＝5－12CR → 答案：A解析：由题意，知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →，RS SE ＝PT AT ＝5－12，因此SE →＝5＋12RS →，故A 正确；CQ →＋TP →＝PA →－PT →＝TA →＝5＋12ST →，故B 错误；ES →－AP →＝RC→－QC →＝RQ →＝5－12QB →，故C 错误；因为AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS→＝RD →－SD →，假设AT →＋BQ →＝5－12CR →成立，那么SD →＝0，不合题意，故D 错误．应选A.二、非选择题 9.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD→＝a ，AB →＝b ，假设AB→＝2DC →，那么AO →＝________(用向量a 和b 表示)．答案：23a ＋13b解析：由AB→＝2DC →知，AB ∥DC 且|AB →|＝2|DC →|，从而|BO →|＝2|OD →|.因此BO →＝23BD →＝23(AD →－AB →)＝23(a －b )，因此AO →＝AB →＋BO →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .10．[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．假设c ∥(2a ＋b )，那么λ＝________.答案：12解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，因此4λ＝2，得λ＝12.11．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC→＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；假设e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC→的坐标； (2)已知点D (3,5)，在(1)的条件下，假设ABCD 四点组成平行四边形，求点A 的坐标．解析：(1)AE→＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2) ＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2 ＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(2)∵ABCD 四点组成平行四边形，∴AD →＝BC →. 设A (x ，y )，那么AD→＝(3－x,5－y )，又BC →＝(－7，－2)，∴⎩⎨⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝7，点A (10,7)．。

2020《新高考全案》高考数学 17-2课外学生练与悟人教

第17章第2讲一、选择题1．设函数f(x)定义如下表，数列{x n}满足x0＝5，且对任意自然数n均有x n＋1＝f(x n)，则x2004的值为( )x 1234 5f(x)4135 2A．1 B．2C．4 D．5[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝2，x6＝f(x5)＝f(2)＝1，…猜想f(x)是以4为周期的周期函数∴x2004＝f(x2003)＝f(x3)＝5.故选D.[答案] D2．(2020·山东，10)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x.由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[解析] g(－x)＝[f(－x)]′＝f′(x)(－x)′＝－f′(x)＝－g(x)．故选D.[答案] D3．下列在向量范围内成立的命题类比地推广到复数范围内，仍然为真命题的个数是( )①|a·b|≤|a|·|b|；②|a＋b|≤|a|＋|b|；③a2≥0；④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2A．1 B．2C．3 D．4[答案] C4．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] ③正确． [答案] B5．(2007·广州一模)如图，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为hi (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14(ih i )＝2Sk .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则∑i ＝14(iH i )＝( )A.4VKB.3VKC.2VKD.V K[解析] V 三棱锥＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)＝13K (H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)＝13K ∑i ＝14(iH i ) ∴∑i ＝14(iH i )＝3VK，故选B.[答案] B6．(2020·湖北，10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过上图①中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378[解析] 根据图形的规律可知第n 个三角形数为a n ＝n n ＋12，第n 个正方形数为b n ＝n 2.由此可排除D(1 378不是平方数)．将A 、B 、C 选项代入到三角形表达式中检验可知，符合题意的是C 选项．[答案] C 二、填空题7．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，而DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．[解析] 由类比推理可知． [答案]AE EB ＝S △ACDS △BCD8．(2020·福建，16)观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2α－1；②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.[解析] 各式第一项系数依次为2,23,25,27，m ，依规律可得m ＝29＝512；各式中cos 2α的系数依次为2×12，－2×22,2×32，－2×42，p ，由规律推出p ＝2×52＝50；由各式系数和为1可推出n ＝－400，则m －n ＋p ＝962. [答案] 962.9．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．[解析] 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.[答案] 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝110．在Rt△ABC 中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则1h 2＝1a 2＋1b2；由此类比：三棱锥S －ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则得出的正确结论为________．[解析] 在Rt△ABC 中，CD 为斜边AB 边上的高．则CD ·AB ＝AC ·BC ∴1CD ＝ABAC ·BC故1h 2＝1CD 2＝AB 2AC 2·BC 2＝a 2＋b 2b 2·a 2＝1a 2＋1b 2在三棱锥S －ABC 中，由SA 、SB 、SC 两两垂直得V S －ABC ＝V C －SAB ，即13hS ABC ＝13(12SA ·SB )SC∴1h 2＝4S △ABC2SA 2·SB 2·SC 2＝4S △SAB 2＋S △SBC 2＋S △SAC 2a 2b 2c 2＝1a 2＋1b 2＋1c2.[答案]1h2＝1a 2＋1b 2＋1c2三、解答题11．用三段论证明函数y ＝－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数． [证明] 任取x 1、x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(－x 12＋2x 1)－(－x 22＋2x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)．因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0；因为x 1、x 2≤1，x 1≠x 2，所以(x 2＋x 1－2)＜0. 因此，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．于是根据“三段论”，得f (x )＝－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数．12．已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．[解] 类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．亲爱的同学请写上你的学习心得1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．。

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (3)

天天练3 函数的概念及表示小题狂练③一、选择题1．[2019·惠州二调]已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案：D解析：解法一由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.解法二因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x ＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2，所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4.2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.3．[2019·河南豫东、豫北十所名校段测]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f (x －4)，x ＞9，则f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为()A ．1B ．0C ．－2D ．2 答案：B解析：因为f (13)＝f (13－4)＝f (9)＝log 39＝2，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2log 313＝－2，所以f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2－2＝0.故选B.4．[2019·山东潍坊青州段测]函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 答案：A解析：函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x 的定义域为⎩⎨⎧x －1＞0，2－x ＞0的解集，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)．故选A. 5．[2019·福建省六校联考]下列函数中，满足f (x 2)＝[f (x )]2的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝|x ＋1|C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝e x 答案：C解析：解法一对于函数f (x )＝x 3，有f (x 2)＝(x 2)3＝x 6，[f (x )]2＝(x 3)2＝x 6，所以f (x 2)＝[f (x )]2，故选C.解法二因为f (x 2)＝[f (x )]2，对选项A ，f (22)＝ln4，[f (2)]2＝(ln2)2，排除A ；对选项B ，则有f (12)＝|12＋1|＝2，[f (1)]2＝|1＋1|2＝4，排除B ；对选项D ，则有f (12)＝e ，[f (1)]2＝e 2，排除D.故选C.6．[2019·重庆二诊]如图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )答案：D解析：A 到B 的映射为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D 表示A 到B 的映射．7．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 答案：D解析：因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x ＜5，所以0≤x ＋2＜7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1＜7，解得13≤x ＜83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.8．[2019·山东德州模拟]设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩∁R B ＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3) 答案：C解析：由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝log2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.答案：－7解析：∵ f (x )＝log2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴ 1＝log2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴ a ＝－7.10．[2019·南阳模拟]已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝－x －2x (x ≠0)解析：由题意知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，即f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，联立得，⎩⎨⎧f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，解得f (x )＝－x －2x (x ≠0)．11．[2019·河南开封模拟]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为________．答案：2解析：∵当x ≥2时，f (x )＝log 3(x 2－1)，∴f (2)＝log 3(22－1)＝1<2，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.12．[2019·湖北黄冈浠水县实验高中模拟]已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12解析：∵函数f (x )的定义域为(－1,0)，∴由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.课时测评③一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1答案：C解析：选项A 中，f (x )＝x 2的定义域是R ，g (x )＝(x )2的定义域是{x |x ≥0}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除A ；选项B 中，f (x )与g (x )定义域相同，但对应关系和值域不同，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除B ；选项D 中，f (x )＝x ＋1的定义域为R ，g (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除D ；选项C 中，f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0可化为f (x )＝|x |，所以其与g (t )＝|t |表示同一函数．故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x >0，x ，x ≤0，若f (a )＋f (3)＝5，则实数a ＝( )A ．2B ．－1C ．－1或0D ．0 答案：B解析：解法一因为f (a )＋f (3)＝5，又f (3)＝23－2＝6，所以f (a )＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝－1，a >0或⎩⎨⎧a ＝－1，a ≤0，解得a ＝－1，故选B.解法二因为f (3)＝23－2＝6，f (2)＝22－2＝2，所以f (2)＋f (3)＝2＋6＝8≠5，所以a ≠2，排除A ；因为f (0)＝0，所以f (0)＋f (3)＝0＋6＝6≠5，所以a ≠0，排除C ，D.故选B.3．函数f (x )＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C ．R D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)答案：D解析：要使函数f (x )有意义，只需⎩⎨⎧x ≠2，3x ＋1>0，所以x >－13且x ≠2，所以函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)，故选D.4．[2019·湖南邵阳模拟]设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4) 答案：B解析：∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.5．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5] 答案：C解析：∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.故选C.6．[2019·新疆乌鲁木齐一诊]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2，＋∞) 答案：A解析：当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1， ∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解．综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A. 7．[2019·定州模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2，x <0，－e x ，x ≥0，若f (f (t ))≤2，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2] B ．[ln2，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．[－2，＋∞) 答案：A解析：令m ＝f (t )，则f (m )≤2，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，log 2m 2≤2或⎩⎨⎧ m ≥0，－e m≤2，即－2≤m <0或m ≥0，所以m ≥－2，则f (t )≥－2，即⎩⎨⎧t <0，log 2t 2≥－2或⎩⎨⎧t ≥0，－e t ≥－2，即t ≤－12或0≤t ≤ln2，所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2]．故选A.8．[2019·福建福清校际联盟模拟]定义函数f (x )，g (x )如下表：则满足f (g (x ))>A ．0或1 B ．0或2 C ．1或7 D ．2或7 答案：D解析：由表格可以看出，当x ＝0时，g (0)＝2，f (g (0))＝f (2)＝0，同理g (f (0))＝g (1)＝1，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除A ，B.当x ＝1时，f (g (1))＝f (1)＝2，g (f (1))＝g (2)＝7，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除C.当x ＝2时，f (2)＝0，g (2)＝7，f (g (2))＝f (7)＝7，同理g (f (2))＝g (0)＝2，满足f (g (x ))>g (f (x ))．当x ＝7时，f (g (7))＝f (0)＝1，g (f (7))＝g (7)＝0，满足f (g (x ))>g (f (x ))．故选D.二、非选择题9．[2019·唐山五校联考]函数y ＝110x－2的定义域为________．答案：(lg2，＋∞)解析：依题意，10x >2，解得x >lg2，所以函数的定义域为(lg2，＋∞)．10．已知函数f (3x ＋2)＝x 2－3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝19x 2－13x 9＋319解析：设t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －232－3·t －23＋1＝19t 2－13t 9＋319，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝19x 2－13x 9＋319.11．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求f (x )的最大值．解析：由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2求得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73；由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，求出交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83.由图象可看出：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4⎝⎛⎭⎪⎫x ≥23x ＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<x <234x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤13f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.。

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (11)

天天练11 三角函数概念、同角三角函数基本关系式、诱导公式小题狂练⑪一、选择题1．[2019·湖北百所重点校联考]已知角θ的终边经过点P (x,3)(x <0)且cos θ＝1010x ，则x ＝( )A ．－1B ．－13C ．－3D ．－223 答案：A解析：由题意，得x x 2＋9＝1010x ，故x 2＋9＝10，解得x ＝±1.因为x <0，所以x ＝－1，故选A.2．[2019·泉州质检]若sin θtan θ<0，且sin θ＋cos θ∈(0,1)，那么角θ的终边落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：∵sin θtan θ<0，∴角θ的终边落在第二或第三象限，又sin θ＋cos θ∈(0,1)，因而角θ的终边落在第二象限，故选B.3．[2019·南昌调研]已知sin θ＝13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan θ＝( ) A ．－2 B ．－ 2C ．－24D ．－28 答案：C解析：通解由sin θ＝13且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知cos θ＝－223，∴tan θ＝－13223＝－24，故选C.优解如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝1，AB ＝22，易知sin A＝13，则tan A ＝122＝24，又sin θ＝13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝π－A ，故tan θ＝－24.4．[2019·潍坊统考]若角α的终边过点A (2,1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A ．－255B ．－55C.55D.255 答案：A解析：由题意知cos α＝25＝255，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.5．[2019·广西玉林陆川中学模拟]sin570°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32 答案：A解析：sin570°＝sin(720°－150°)＝－sin150°＝－12.故选A. 6．[2019·上海长宁、嘉定模拟]设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.7．[2019·长春检测]若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z 答案：D解析：当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z ，故选D.8．[2019·湖南株洲醴陵二中、四中模拟]已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( )A ．－35B ．－125 C.35 D.125 答案：A解析：由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A. 二、非选择题9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．答案：0解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.10．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．答案：2解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.11．[2019·保定模拟]已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin β的值为________．答案：13解析：2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0化为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝13.12．[2019·贵州贵阳模拟]设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号)．①cos(A ＋B )＝cos C ；②cos B ＋C 2＝sin A2；③sin(2A ＋B ＋C )＝－sin A .答案：②③解析：因为A ，B ，C 是△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2.所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，cos B ＋C2＝cos π－A 2＝sin A2，sin(2A ＋B ＋C )＝sin(A ＋π)＝－sin A .故②③恒成立．课时测评⑪一、选择题1．[2019·河北张家口月考]若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角答案：C解析：∵角θ满足sin θ>0，tan θ<0，∴θ是第二象限角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，∴θ2是第一或第三象限角．故选C.2．[2019·辽宁沈阳重点高中联考]设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 答案：A解析：b ＝cos55°＝sin35°>sin33°＝a ，c ＝tan35°>sin35°＝b ，∴c >b >a .故选A.3．若cos α＝－45，且α为第二象限角，则tan α＝( )A ．－43B ．－34 C.43 D.34 答案：B解析：因为cos α＝－45，且α为第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.4．若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α＝( ) A ．－1 B ．1C ．－25D ．－1或－25 答案：C解析：因为1＋cos αsin α＝3，所以cos α＝3sin α－1(sin α≠0)，所以sin 2α＋(3sin α－1)2＝1(sin α≠0)，即5sin 2α－3sin α＝0(sin α≠0)，所以⎩⎨⎧sin α＝35，cos α＝45，所以cos α－2sin α＝－25.5．[2019·长沙模拟]若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则下列结论成立的是( )A ．cos(A ＋B )＝cosC B ．sin(A ＋B )＝－sin CC ．sin A ＋B 2＝cos C 2D ．sin A ＋B 2＝－cos C 2 答案：C解析：cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，sin A ＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C2，故选C.6．[2019·兰州模拟]已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M (－3,4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ的值为( )A ．－12175 B.12175C ．－7975 D.7975 答案：A 解析：设O 为坐标原点，则由已知得|OM |＝5，因而cos θ＝－35，sin θ＝45，tan θ＝－43，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ＝925－1625－43＝－12175.7．[2019·江西联考]已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝( )A.25 B ．－25 C.25或－25 D ．－15 答案：B解析：∵sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，∴sin α＝－2cos α.再由sin 2α＋cos 2α＝1可得sin α＝255，cos α＝－55或sin α＝－255，cos α＝55，∴sin αcos α＝－25.故选B.8．[2019·福建莆田二十四中月考]一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6.解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C. 二、非选择题9.[2019·北京第三十五中学模拟]如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45解析：∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.10．[2019·天津质检]化简：sin (π－α)＋sin αcos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＝________. 答案：cos α 解析：sin (π－α)＋sin αcos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＝sin α＋sin αcos α(1＋cos α)tan α＝cos α. 11．[2019·山西孝义模拟]已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值．(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解析：∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.(2)∵sinα＝2cosα，∴tanα＝2，∴原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝4＋44＋1＝85.。

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (1)

天天练1 集合的概念与运算小题狂练①一、选择题1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝()A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案：C解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C.2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案：B解析：∵x2－x－2>0，∴ (x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.3．[2019·河南中原名校质检]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∩(∁U B)＝()A．{1} B．{2}C．{4} D．{1,2}答案：A解析：因为∁U B＝{1,3,5}，所以A∩(∁U B)＝{1}．故选A.4．[2019·河北衡水武邑中学调研]已知全集U＝R，集合A ＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的Venn图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个答案：B 解析：因为A ＝{x |0<x <9，x ∈R }，所以∁U A ＝{x |x ≤0或x ≥9}．题图中阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |－4<x ≤0，x ∈Z }＝{－3，－2，－1，0}，故该集合中共有4个元素．故选B.5．[2019·惠州一调]已知集合U ＝{－1,0,1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．∅D ．{－1}答案：D解析：∵A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0,1}，∴∁U A ＝{－1}，故选D.6．[2019·河北省五校联考(二)]已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则( )A ．A ∩B ＝{x |x <1} B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x |x <2}D ．A ∩B ＝{x |－2<x <1}答案：D解析：∵x 2－x －6<0，∴－2<x <3，∴B ＝{x |－2<x <3}，∴A ∪B ＝{x |x <3}，A ∩B ＝{x |－2<x <1}，故选D.7．[2019·江西赣州模拟]已知集合A ＝{x |－1≤lg x ≤1}，B ＝{x |2x <4}，则A ∩B ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪110≤x <2 B ．{x |0<x <2} C ．{x |2<x ≤10} D ．{x |0<x ≤10}答案：A解析：∵－1≤lg x ≤1，∴110≤x ≤10，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 110≤x ≤10.由2x <4知x <2，∴B ＝{x |x <2}，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪110≤x <2.故选A. 8．[2019·广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋2)≥0}，N ＝{x |－1≤x ≤2}，则(∁U M )∩N ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2]C ．[－1,1)D ．[1,2]答案：C解析：因为全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≤－2或x ≥1}，所以∁U M ＝{x |－2<x <1}．又N ＝{x |－1≤x ≤2}，所以(∁U M )∩N ＝[－1,1)．故选C.二、非选择题9．[2018·江苏卷]已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________.答案：{1,8}解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．10．[2019·南昌模拟]已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则集合B 的子集的个数为________．答案：8解析：∵集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，∴B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，∴集合B 有3个元素，∴集合B 的子集个数为23＝8.11．[2019·石家庄质检]已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝________.答案：(－2,2]解析：由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．12．[2019·辽宁省五校联考]已知集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]解析：集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]．课时测评①一、选择题1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4答案：A解析：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.2．[2019·湖南省名校联考]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x≥0}，B＝{x|1<x≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为()A ．[0,1)B ．(0,3]C ．(0,1]D ．[1,3]答案：C解析：因为A ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |1<x ≤3}，所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为∁U (A ∪B )＝(0,1]，故选C.3．设集合A ＝{x |－3≤x ≤3，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．无数个答案：B解析：∵A ＝{x |－3≤x ≤3，x ∈Z }，∴A ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∵B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，∴B ＝{1,2,5,10}，故集合B 中元素的个数是4，选B.4．[2019·四川广元第三次高考适应性统考(三诊)]已知集合A ＝{x |x 2－4x ＜0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．(－∞，4)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案：C解析：由已知可得A ＝{x |0＜x ＜4}．若A ⊆B ，则a ≥4.故选C.5．[2019·贵州遵义南白中学联考]已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＜0}，B ＝{x |log 12x ＞1}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案：A解析：由题意，得A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜12，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选A.6．[2019·河北唐山模拟]已知集合A ＝{x ∈N |x <3}，B ＝{x |x ＝a －b ，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1,2}B ．{－2，－1,1,2}C ．{1}D ．{0,1,2}答案：D解析：A ＝{x ∈N |x <3}＝{0,1,2}，B ＝{x |x ＝a －b ，a ∈A ，b ∈A }．由题意知，当a ＝0，b ＝0时，x ＝a －b ＝0；当a ＝0，b ＝1时，x ＝a －b ＝－1；当a ＝0，b ＝2时，x ＝a －b ＝－2；当a ＝1，b ＝0时，x ＝a －b ＝1；当a ＝1，b ＝1时，x ＝a －b ＝0；当a ＝1，b ＝2时，x ＝a －b ＝－1；当a ＝2，b ＝0时，x ＝a －b ＝2；当a ＝2，b ＝1时，x ＝a －b ＝1；当a ＝2，b ＝2时，x ＝a －b ＝0，根据集合中元素的互异性，B ＝{－2，－1,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．故选D.7．[2019·浙江教育绿色评价联盟模拟]已知集合P ＝{x ∈R |－2<x ≤3}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪⎪ 1＋x x －3≤0，则( )A ．P ∩Q ＝{x ∈R |－1<x <3}B ．P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x <3}C ．P ∩Q ＝{x ∈R |－1≤x ≤3}D ．P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x ≤3}答案：D解析：由1＋x x －3≤0，得(1＋x )(x －3)≤0且x ≠3，解得－1≤x <3，故P ∩Q ＝{x ∈R |－1≤x <3}，P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x ≤3}．故选D.8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0)∪(1,2]C ．[0,1]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案：B解析：由题意可知阴影部分对应的集合为[∁U (A ∩B )]∩(A ∪B )，A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]，∴A ∩B ＝[0,1]，A ∪B ＝[－1,2]，∴[∁U (A ∩B )]∩(A ∪B )＝[－1,0)∪(1,2]，故选B.二、非选择题9．[2019·无锡五校联考(一)]已知集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的最大值为________．答案：2解析：当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，若A ∪B ＝R ，则a －1≤1，∴1<a ≤2；当a ＝1时，易得A ＝R ，此时A ∪B ＝R ；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，若A ∪B ＝R ，则a －1≤a ，显然成立，∴a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]，则实数a 的最大值为2.10．[2019·内蒙古呼和浩特质量普查调研]已知集合A ＝{x |0<x <2}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |mx ＋1>0}，若A ∪B ⊆C ，则实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：由A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，得A ∪B ＝{x |－1<x <2}，∵集合C ＝{x |mx ＋1>0}，A ∪B ⊆C ，①当m <0时，x <－1m ，∴－1m ≥2，∴m ≥－12，∴－12≤m <0；②当m ＝0时，成立；③当m >0时，x >－1m ，∴－1m ≤－1，∴m ≤1，∴0<m ≤1，综上所述，－12≤m≤1.11．[2019·江西玉山一中月考(二)]已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．解析：(1)∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．∵log2x>1，即log2x>log22，∴x>2，∴B＝{x|x>2}．∴A∩B＝{x|2<x≤3}．∵∁R B＝{x|x≤2}，∴(∁R B)∪A＝{x|x≤3}．(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a的取值范围为(－∞，3]．实数a的取值范围为(－∞，3]．。

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (12)

天天练12 三角函数的图象与变换小题狂练⑫一、选择题1．[2019·陕西质检]为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案：D解析：函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．故选D.2．[2019·四川绵阳二诊]如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32 答案：D解析：∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53.∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.故选D.3．[2019·石家庄一检]若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112B.52C.12D.32 答案：B解析：函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.4．[2019·安徽合肥第一次教学质量检测]将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到函数y ＝cos2x ＋sin2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12 答案：D解析：y ＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∵将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ＋π4，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －φ＋π4的图象，即y ＝cos2x＋sin2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，∴当a ＝12，φ＝π2时两个函数解析式相同．故选D.5．[2019·福建莆田二十四中模拟]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－22 C.3 D ．－ 3 答案：D解析：∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴f (0)＝A cos φ＝0.∵A >0,0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx . ∵△EFG 是边长为2的等边三角形，∴y E ＝3＝A .又∵函数f (x )的最小正周期T ＝2FG ＝4，∴ω＝2π4＝π2.∴f (x )＝－3sin π2x .∴f (1)＝－ 3.故选D.6．[2019·贵阳监测]函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π6 B.π6 C ．－π3 D.π3 答案：D解析：根据图象可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，则ω＝2，当x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝π12时，函数取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3.7．[2019·合肥模拟]已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，ω＝－π6 答案：D解析：由已知条件得，π＝2πω，因而ω＝2，所以f (x )＝sin(2x＋φ)，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象，由题意知g (x )为偶函数，则2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π6.8．[2019·安徽蚌埠教学质量检测]已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3 D.3π 答案：B解析：当正弦值等于余弦值时，正弦值为±22.由题意，得等边三角形的高为2，边长为2×33×2＝263，且边长为函数y＝sin ωx 的最小正周期，故2πω＝263，解得ω＝6π2.二、非选择题9．如果将函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(－π<φ<0)的图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，且g (x )为奇函数，则φ＝________.答案：－π4解析：将函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(－π<φ<0)的图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )＝sin3x ＋π4＋φ(－π<φ<0)的图象，因为g (x )为奇函数，所以π4＋φ＝k π(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－π4.10．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________.答案：π6解析：两图象交点的横坐标为π3，有等式cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ成立，由φ的条件可知φ＝π6.11．[2019·保定模拟]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析：由两个三角函数的图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.12．[2019·江苏盐城模拟]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ，ω，φ为常数且A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．若f (α)＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值为________．答案：4＋335解析：由函数f (x )的图象知，A ＝2，最小正周期T ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝2，且－π2<φ<π2，∴φ＝－π6， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 由f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝65，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35.又∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin α＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×32＋45×12＝4＋335.课时测评⑫一、选择题 1．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12答案：B解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象，再将所得图象作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，故选B.2．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝5π12D ．x ＝－5π12 答案：D解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，再向左平移π4个单位长度，得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，结合选项知，只有D 选项代入有y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，因此x ＝－5π12是所得函数图象的一条对称轴．故选D. 3．[2019·福建厦门模拟]函数y ＝2cos x (0<x <π)和函数y ＝3tan x 的图象相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.3π2B.3π3C.2π2D.2π3 答案：A 解析：由2cos x ＝3tan x ，x ∈(0，π)，得2cos 2x ＝3sin x ，即2sin 2x＋3sin x －2＝0.解得sin x ＝12(sin x ＝－2舍去)．∵x ∈(0，π)，∴x ＝π6或x ＝5π6，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－3，∴S △OAB ＝32π.故选A.4．[2019·昆明调研]已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92 D ．6 答案：A解析：因为函数f (x )＝sin ωx 的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以2ω3π＝k π(k ∈Z )，即ω＝32k (k ∈Z ) ①，又函数f (x )＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，所以π4≤π2ω且ω>0，所以0<ω≤2 ②由①②得ω＝32，故选A.5．[2019·河北张家口模拟]已知ω>0，在函数y ＝4sin ωx 与y ＝4cos ωx 的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案：D解析：∵函数y ＝4sin ωx 与y ＝4cos ωx 的图象有交点，∴根据三角函数线可得出交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1π＋π4ω，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋5π4ω，－22，k 1，k 2都为整数．∵距离最短的两个交点的距离为6，∴这两个交点在同一周期内，∴36＝1ω2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π42＋(－22－22)2，解得ω＝π2.6．[2019·唐山摸底考试]把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝π6D ．x ＝－π12 答案：C解析：解法一将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，则x ＝π6，选择C.解法二将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，然后把选项代入检验，易知x ＝π6符合题意，选择C.7．[2019·河南八市重点高中第三次测评]函数f (x )＝4x －3tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )答案：D解析：因为函数f (x )＝4x －3tan x 是奇函数，排除B 、C ；通过特殊值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝π－3>0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3－33＝4π－933<0，故选D.8.[2019·河北武邑中学第五次调研]已知函数f (x )＝A sin π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24 答案：B 解析：过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B. 二、非选择题9．已知函数y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现不少于4次且不多于8次，则k 的值为________．答案：2或3解析：令y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos 2k ＋13πx －π6＝14.因为函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14的有2次，而区间[a ，a ＋3]的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使长度3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度，即2×2π2k ＋13π≤3且4×2π2k ＋13π≥3，解得32≤k ≤72，又k ∈N ，故k 的值为2或3.10．[2019·河北邯郸教学质量检测]已知函数f (x )＝－4cos (ωx ＋φ)e |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ＝________.答案：2 解析：∵f (0)＝0，∴cos φ＝0.∵0<φ<π.∴φ＝π2.∵2πω＝2，∴ω＝π.∴ωφ＝2.11．[2019·安徽示范中学模拟]已知a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，f (x )＝2a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)若g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，画出函数y ＝g (x )的图象，讨论y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数．解析：(1)∵f (x )＝2a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x －cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为f (x )max ＝2＋1.(2)g (x )＝f (x )，x ∈⎢⎡⎥⎤－π，π，利用“五点法”列表为：描点作图如下．函数y＝g(x)－m(m∈R)的零点个数，即函数y＝g(x)的图象与直线y＝m的交点个数．由图可知，当m<1－2或m>1＋2时，无零点；当m＝1－2或m＝1＋2时，有1个零点；当1－2<m<2或2<m<1＋2时，有2个零点；当m＝2时，有3个零点．。

2020届高考冲刺数学(文)“小题精练”含详细解答(共30份)

2020届高三数学（文）“小题速练”113. 14. 15. 16.1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,22. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+3. 已知12,e e 均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．256. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．949. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．2020届高三数学（文）“小题速练”1（答案解析）1.已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =I A ．∅ B ．{}2,1 C ．(){}2,1 D ．(){}1,2【答案】D ．【解析】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2．2.已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z = A ．34i ± B ．34i ±+ C ．43i ± D ．43i ±+【答案】A ．【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3.已知12,e e均为单位向量，若12-=e e 1e 与2e 的夹角为 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】C ．【解析】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4.函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为 A ．()0,1 B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B ．【解析】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2758-=1308-＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．5.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【答案】C ．【解析】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =． 6.若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【答案】D ．【解析】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-．所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7.已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8.已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．94【答案】B ．【解析】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得 AB =122y y ++=917244+=．9.某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描 C ．乙丁可能两门课都相同 D ．这四个人里恰有2个人选素描【答案】C ．【解析】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【答案】B ．【解析】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11.已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】A ．【解析】()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x ()min g x =．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=，或()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022********2000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为．【答案】4．【解析】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4． 14.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ．【答案】12．【解析】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()222343262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19．16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．【答案】12π．【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则1152O A BC ==，所以2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D △中，OD =，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π．ABC1OO EDP2020届高三数学（文）“小题速练”2题号123456789101112答案13. 14. 15. 16.一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2=-x}，N={x|lg x=0}，则M∪N=（）A. {−1,0}B. {−1,0，1}C. {0,1}D. {−1,1}2.已知i为虚数单位，若复数z=(1+i)21−i，则|z|=（）A. 2B. 1C. √2D. √33.已知曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为3x+y=0，则曲线的离心率为（）A. 2B. 2√3C. 3D. √104.下列函数中是偶函数，且在区间（0，+∞）上为单调增函数的是（）A. y=lnx2B. y=e x−e−xC. y=cosxD. y=x3+x5.已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是（）A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6.已知向量a⃗=(1，2)，b⃗ =(1，x)，若|a⃗−b⃗ |=a⃗⋅b⃗ ，则x=（）A. −3B. 13C. 3 D. 13或−37.从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，这个两位数是奇数的概率为（）A. 49B. 12C. 59D. 138.如图，小正方形方格边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 2π3B. 3π2C. π2D. 2π9.执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A. 36B. −36C. 45D. −4510.已知函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，ω＞0，A＜0）的部分图象如图所示，则A=（）A. −2B. −3C. −2√2D. −√6)，11.定义域为R的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），且在区间[0，1]上单调递减．设a=f(152 b=f（2+√2），c=f（8），则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. c>b>aC. b>c>aD. c>a>b12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，则直线C1N与l的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=x2+ln x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14.已知实数x，y满足{x+y≤3x−y≤0x−1≥0，则z=yx−1的最小值是______．15.已知抛物线y2=2px（p＞0），直线y=x-2与抛物线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点P（2，-2），则p=______．16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=√3ab+c2，AB=1，则AC+√3BC的最大值是______．2020届高三数学（文）“小题速练”2（答案解析）1.【答案】B【解析】∵集合M={x|x2=-x}={0，-1}，N={x|lgx=0}={1}，∴M∪N={-1，0，1}．2.【答案】C【解析】解：复数z====i-1，则|z|==．3.【答案】D【解析】∵曲线的一条渐近线方程为3x+y=0，∴b=3a，∴c==a，∴e==．故选：D．4.【答案】A【解析】A．函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=ln（-x）2=lnx2=f（x），则f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=2lnx为增函数，满足条件．B．f（-x）=e-x-e x=-（e x-e-x）=-f（x），则函数为奇函数，不满足条件．C．y=cosx在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．D．f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），函数为奇函数，不满足条件．5.【答案】D【解析】在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，在A中，甲的成绩的平均数为：=（5+6×2+7×2+8×2+9×2+10）=7.5，乙的成绩的平均数为：=（6+7×3+8×2+9×3+10×1）=8，∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A正确；在B中，甲的成绩的中位数为：，乙的成绩的中位数为：=8.5，∴甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B正确；在C中，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对分散，∴甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故B正确．在D中，甲的成绩的极差为：10-5=5，乙的成绩的极差为：10-6=4，∴甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D不正确．6.【答案】B【解析】向量，若，可得：，（x）．，解得x=-3（舍去）或x=．故选：B．7.【答案】A【解析】从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n=3×3=9，这个两位数是奇数包含的基本事件个数m=2×2=4，∴这个两位数是奇数的概率为p=．8.【答案】D【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，如图：V=π•12×4=2π，故选：D．由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，即可求出几何体的体积．9.【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=-1，n=2满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=3，n=3满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-6，n=4满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=10，n=5满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-15，n=6满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=21，n=7满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-28，n=8满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=36，n=9此时，不满足条件4n2≥2n，退出循环，输出S的值为36．10.【答案】C【解析】由图象可得T=-==•，解得ω=3．可得：f（x）=Acos（3x+φ），由于点（，0）在函数图象上，可得Acos（3×+φ）=0，解得：3×+φ=kπ+，即：φ=kπ-，k∈Z，又由于点（，-2）在函数图象上，可得Acos（3×+kπ-）=-2，k∈Z，可得：Acos（+kπ）=-2，k∈Z，解得：A=-2，或2（舍去）．11.【答案】D【解析】∵偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），∴f（x+1）=-f（-x）=-f（x），即f（x+2）=-f（x+1）=f（x），则f（x）为周期为2的周期函数，则c=f（8）=f（0），b=f（2+）=f（）=f（-）=f（2-），=f（8-）=f（-）=f（），∵0＜＜2-，且f（x）在区间[0，1]上单调递减．∴f（0）＞f（）＞f（2-），即c＞a＞b12.【答案】B【解析】∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，设AM∩CN=O，连结OP，∴C1N∥OP，∵OP⊂平面AMP，C1N⊄平面AMP，∴C1N∥平面APM，∵平面AMP与平面BNC1的交线为l，∴直线C1N与l的位置是平行．故选：B．13.【答案】3x-y-2=0【解析】f′（x）=2x+；故f′（1）=2+1=3；故函数f（x）=x2+lnx的图象在点A （1，1）处的切线方程为：y-1=3（x-1）；即3x-y-2=0；14.【答案】3【解析】作出实数x，y满足对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得（，），则AD的斜率k==3，即的最小值为：3，故答案为：3．15.【答案】1【解析】y2=2px（p＞0）和直线y=x-2联立，可得x2-（4+2p）x+4=0，△=（4+2p）2-16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=4+2p，x1x2=4，线段AB为直径的圆过点P（2，-2），可得AP⊥BP，即有•=-1，即为=-1，可得x1x2=-[x1x2+4-2（x1+x2）]，化为-4=8-2（4+2p），解得p=1．检验判别式大于0成立．16.【答案】2√7【解析】由a2+b2=ab+c2可得=，得cosC=，又0＜C＜π，∴C=，根据正弦定理可得==，∴AC=2sinB，BC=2sinA，∴AC+BC=2sinB+2sinA=2sin（-A）+2sinA=cosA+3sinA=2sin （A+φ）≤=2．2020届高三数学（文）“小题速练”313. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (2)

天天练2 常用逻辑用语小题狂练②一、选择题1．[2019·保定模拟]下列命题中是假命题的是( )A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x >0答案：C解析：因为log 21＝0，cos0＝1，所以选项A 、B 均为真命题，02＝0，选项C 为假命题，2x >0，选项D 为真命题．故选C.2．[2019·福建模拟]命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0，x 0x 0－1≤0 C ．∀x >0，x x －1≤0 D ．∀x <0，x x －1≤0 答案：B解析：易知命题的否定是∃x 0>0，x 0x 0－1≤0，故选B. 3．[2019·河南郑州模拟]下列说法正确的是( )A ．“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a >1，则a 2≤1”B ．“若am 2<bm 2，则a 4x 0成立D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题答案：D解析：“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故A 错；“若am 2<bm 2，则a 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫34x <1，因此x >0时均有3x <4x 成立，故C 错；“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题是“若α＝π6，则sin α＝12”为真命题，则D 正确．故选D.4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≤x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＞x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＞x 2C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n ＞x 20D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n ＞x 20答案：D解析：∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n ＞x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n ＞x 20”．故选D.5．[2019·成都市高中毕业班诊断性检测]若x 为实数，则“22≤x ≤22”是“22≤x 2＋2x ≤3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：由22≤x 2＋2x ≤3，解得1≤x ≤2，所以“22≤x ≤22”是“22≤x 2＋2x ≤3”的必要不充分条件，故选B.6．[2019·安徽淮南二中、宿城一中联考]命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b >2 012且a >－b ”的逆否命题是( )A ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a <bB ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a >bC ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a <bD ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a >b解析：根据逆否命题的定义可得命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b >2 012且a >－b ”的逆否命题是：若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a 2；命题q ：x ≤a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案：A解析：命题p ：|x ＋1|>2，即x <－3或x >1.∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，∴{x |x ≤a }{x |x <－3或x >1}，∴a <－3.故选A.8．[2019·豫西五校联考，4]若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)答案：C解析：由题意知∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)是真命题，故选C.二、非选择题9．[2019·江苏常熟中学阶段性抽测]命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是__________________．答案：若x 2－x <0，则x ≤2解析：命题的否命题需要同时否定条件和结论，则命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2－x <0，则x ≤2”．10．若“∀x ∈[－π4，π4]，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．解析：根据正切函数的性质可知，y＝tan x＋1在[－π4，π4]上的最小值为y＝tan(－π4)＋1＝0，∴m≤0.11．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．12．[2019·湘潭模拟]给出下列命题：①已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；②“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件；③“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)答案：①②解析：①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x<0”不能推出“ln(x＋1)<0”，但“ln(x＋1)<0”可以推出“x<0”，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，若其最小正周期为π，则2π2|a|＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b<0”，但由“a·b<0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a ·b <0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.课时测评②一、选择题1．已知二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3，函数g (x )＝kx －1，则“－6≤k ≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C解析：若f (x )≥g (x )，则x 2－(2＋k )x ＋4≥0，故“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”⇔[－(2＋k )]2－16≤0⇔－6≤k ≤2，所以“－6≤k ≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的充要条件，故选C.2．[2019·山东齐鲁协作体名校安丘一中模拟]“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(0,2]答案：A解析：由x 2－2x －3>0得x >3或x <－1.若“x <m －1或x >m＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则⎩⎨⎧m ＋1≤3，m －1≥－1且等号不同时成立，即0≤m ≤2.故选A.3．[2019·云南玉溪模拟]不等式x －1x >0成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1<x <0或x >1B ．x <－1或0<x <1C ．x >－1D ．x >1答案：D解析：由x －1x >0可知x 2－1x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1>0，x >0或⎩⎨⎧x 2－1<0，x <0，解得x >1或－1<x <0，不等式x －1x >0的解集为{x |x >1或－1<x <0}，故不等式x －1x >0成立的一个充分不必要条件是x >1.故选D.4．[2019·福建福州外国语学校模拟]命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若x ≥1且x ≤－1，则x 2>1C ．若－1<x <1，则x 2<1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1答案：D解析：由“若p ，则q ”的逆否命题为“若綈q ，则綈p ”，得“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．故选D.5．[2019·广西陆川模拟]已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是( )A ．“p ∨q ”为真命题B ．“p ∧q ”为真命题C ．“綈p ”为真命题D ．“綈q ”为假命题答案：A解析：由a >|b |≥0，得a 2>b 2，∴命题p 为真命题．∵x 2＝4⇔x ＝±2，∴命题q 为假命题．∴“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，“綈p ”为假命题，“綈q ”为真命题．综上所述，应选A.6．[2019·湖北部分重点中学联考]命题p ：x ，y ∈R ，x 2＋y 2<2，命题q ：x ，y ∈R ，|x |＋|y |<2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：如图所示：命题“x2＋y2<2”对应的图形为半径为2的圆的内部，命题“|x|＋|y|<2”对应的图形为边长为22的正方形的内部，x2＋y2<2对应的图形在|x|＋|y|<2对应的图形的内部，则命题“x2＋y2<2”是命题“|x|＋|y|<2”的充分不必要条件．故选A.7．[2019·广州模拟]已知p：(x＋3)(x－1)＞0，q：x＞a2－2a －2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．[－1,3]答案：C解析：由p：(x＋3)(x－1)＞0，解得x＜－3或x＞1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，pD q.所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选C.8．[2019·福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考]若命题“∃x0∈R,3x20＋2ax0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－3，3)B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－3，3]D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案：C解析：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则“∀x ∈R,3x 2＋2ax ＋1≥0”为真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得a ∈[－3，3]．故选C.二、非选择题9．命题“若直线l 与平面α平行，则平面α内存在无数条直线与直线l 平行”的逆命题为________．(用“真命题”或“假命题”填空)答案：假命题解析：原命题的逆命题：若平面α内存在无数条直线与直线l 平行，则直线l 与平面α平行．事实上，若平面α内存在无数条直线与直线l 平行，则直线l 与平面α平行或直线l 在平面α内，所以原命题的逆命题为假命题．10．[2019·山东菏泽第一中学月考]若命题“∀x ∈[2,3]，x 2－a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，4]解析：由题意得a ≤x 2在[2,3]上恒成立，而当x ∈[2,3]时，4≤x 2≤9，∴a ≤4.故实数a 的取值范围是(－∞，4]．11．已知p ：|x －8|≤2，q ：x －1x ＋1＞0，r ：x 2－3ax ＋2a 2＜0(a ＞0)．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，试求a 的取值范围．解析：命题p ：{x |6≤x ≤10}；命题q ：{x |x >1}；命题r ：{x |a <x <2a }．若记以上3个命题中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，所以有A ⊆C ⊆B ，结合数轴应有⎩⎨⎧1≤a ＜6，2a ＞10，解得5<a <6，即a 的取值范围是(5,6)．。

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (8)

天天练8 导数的概念与几何意义、导数的运算小题狂练⑧一、选择题1．[2019·重庆巴蜀中学模拟]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h的值为( ) A ．f ′(x 0) B ．2f ′(x 0) C ．－2f ′(x 0) D ．0 答案：B解析：lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝lim h →02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)．故选B. 2．[2019·河南平顶山调研]设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22 D ．ln2 答案：B解析：f ′(x )＝ln x ＋1.因为f ′(x 0)＝2，所以ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.故选B.3．[2019·河南濮阳第一高级中学检测(二)]已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，则实数a 的值为( ) A.23 B.12 C.34 D ．1 答案：B解析：由题意可得f ′(x )＝cos x －a sin x ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，得22－22a ＝24，解得a ＝12.故选B.4．[2019·山东枣庄三中质检]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案：B解析：由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选B.5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215 答案：C解析：f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.故选C.6．下列函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是( )A ．y ＝3ln x －xB ．y ＝e x ＋xC ．y ＝3x ＋2D ．y ＝x 3－x 2＋2x 答案：B解析：对于A ，因为y ＝3ln x －x ，所以y ′＝3x －1在(0，＋∞)上是单调递减函数；对于B ，因为y ＝e x ＋x ，所以y ′＝e x ＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数；对于C ，因为y ＝3x ＋2，所以y ′＝3在(0，＋∞)上是常函数；对于D ，因为y ＝x 3－x 2＋2x ，所以y ′＝3x 2－2x ＋2在(0，＋∞)上不单调．故选B.7.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列选项正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案：C解析：由题意知，(2，f (2))，(3，f (3))两点连线的斜率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，而f ′(2)、f ′(3)分别表示函数f (x )的图象在点(2，f (2))，(3，f (3))处切线的斜率，由图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)3－2<f ′(2)，即0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．8．[2019·宜昌调研]已知函数f (x )＝x ln x ，则f ′(1)＋f (4)的值为( )A ．1－8ln2B ．1＋8ln2C ．8ln2－1D ．－8ln2－1 答案：B解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝0＋1＝1，所以f ′(1)＋f (4)＝1＋4ln4＝1＋8ln2.故选B. 二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅱ]曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为________．答案：y ＝2x －2解析：∵y ′＝2x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.∴ 切线方程为y ＝2x －2.10．[2019·广西南宁三中模拟]曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是________．答案：12解析：因为f ′(x )＝1＋ln x ，且f (1)＝0，f ′(1)＝1，所以切线l 的斜率k ＝1，切线方程为y ＝x －1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝1，∴切线l 与两坐标轴的交点坐标分别为A (0，－1)，B (1,0)，则|OA |＝1，|OB |＝1，∴S △ABO ＝12×1×1＝12.11．[2019·重庆巴蜀中学模拟]曲线f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，1]解析：由题意，得f ′(x )＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P (t ，f (t ))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t >0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1.12．已知曲线y ＝13x 3上一点P 2，83，则过点P 的切线方程为________．答案：3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0解析：设切点坐标为x 0，13x 30，由y ′＝13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P 2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1或2，若x 0＝－1，所以过点P 的切线的斜率为1；若x 0＝2，则过点P 的切线的斜率为4.故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0.课时测评⑧一、选择题1．[2019·安徽蚌埠四校联考]若f ′(x 0)＝－3，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝( ) A ．－3 B ．－6 C ．－9 D ．－12 答案：B解析：f ′(x 0)＝－3，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－h )h ＝lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋lim -h →0 f (x 0－h )－f (x 0)－h＝2f ′(x 0)＝－6.故选B. 2．已知函数f (x )＝x (2 017＋ln x )，f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln2 D ．e 答案：B解析：由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x .由f ′(x )＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.3．[2019·山东潍坊中学月考(一)]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3xf ′(1)＋2ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案：B解析：∵f ′(x )＝3f ′(1)＋2x ，∴f ′(1)＝3f ′(1)＋2，解得f ′(1)＝－1.故选B.4．[2019·广州调研]已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A ．ln2B ．1C ．1－ln2D ．1＋ln2 答案：D解析：由y ＝x ln x 知y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，x 0ln x 0)，则切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)·(x －x 0)，因为切线y ＝kx －2过定点(0，－2)，所以－2－x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(0－x 0)，解得x 0＝2，故k ＝1＋ln2，选D.5．[2018·全国卷Ⅰ]设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x 答案：D解析：方法1：∵ f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴ f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴ a ＝1，∴ f ′(x )＝3x 2＋1，∴ f ′(0)＝1， ∴ 曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 故选D.方法2：∵ f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴ f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴ a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴ f ′(0)＝1， ∴ 曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.6．[2019· 安徽宣城六校联考]过函数f (x )＝13x 3－x 2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案：B 解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x－1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，则切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故选B. 7．[2019·广东七校联考]已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12 B.12<x 0<1C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3 答案：D解析：由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0<x <1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x ，则切线l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0<x 1<1，所以x 0>1，所以1＋ln2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln2x －1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x >0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln2<0，g (2)＝1－ln22<0，g (3)＝2－ln23>0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故2<x 0<3，选D.8．[2019·安徽蚌埠质检]已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0 答案：D解析：∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x ＝0有两个不同的解，即a ＝(1－x )e －x 有两个不同的解．设y ＝(1－x )e －x ，则y ′＝(x －2)e －x ，∴当x <2时，y ′<0，当x >2时，y ′>0，则y ＝(1－x )e －x 在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x ＝2时，函数y 取得极小值－e －2.又∵当x >2时总有y ＝(1－x )e －x<0且f (0)＝1>0，∴可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0.故选D.二、非选择题9．[2019·成都测试]已知函数f (x )＝x sin x ，则f (x )在x ＝π2处的导数为________．答案：1解析：∵f (x )＝x sin x ，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.10．[2018·全国卷Ⅲ]曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.答案：－3解析：∵ y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ，∴ 当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴ a ＋1＝－2，得a ＝－3.11．[2019·湖北孝感高中模拟]已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图象可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．。

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (20)

天天练20等差数列小题狂练⑳一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝() A．－12 B．－13C．12 D．13答案：B解析：通解设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.优解由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.2．[2019·湖南衡阳二十六中模拟]在等差数列{a n}中，a3＝1，公差d＝2，则a8的值为()A．9 B．10C．11 D．12答案：C解析：a8＝a3＋5d＝1＋5×2＝11，故选C.3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于()A．－1 B．1C．2 D．－2答案：D解析：由S3＝3a2＝6，得a2＝2，又a3＝0，所以公差d＝－2.4．[2019·南宁摸考]等差数列{a n}中，a3＋a7＝6，则{a n}的前9项和等于()A．－18 B．27C．18 D．－27答案：B解析：解法一设等差数列的公差为d，则a3＋a7＝a1＋2d＋a 1＋6d ＝2a 1＋8d ＝6，所以a 1＋4d ＝3.于是{a n }的前9项和S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×3＝27，故选B.解法二由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝a 3＋a 7＝6，所以数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×62＝27，故选B. 5．[2019·西安八校联考(一)]设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4<S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1 答案：B解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.6．[2019·茂名模拟]我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤答案：A解析：依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.7．[2019·贵州遵义模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 6是方程x 2－18x ＋p ＝0的两根，则S 9＝( )A ．9B ．81C ．5D ．45 答案：B 解析：由题意，根据根与系数的关系知a 4＋a 6＝18，故S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 4＋a 6)＝81.故选B.8．[2019·江西K12联盟质量检测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝( )A ．27B ．18C ．9D ．3 答案：A解析：∵等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 8＝9，∴3a 1＋12d ＝9，得a 1＋4d ＝3，即a 5＝3，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝27.故选A. 二、非选择题9．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝________.答案：100解析：∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列． ∵a 1＋b 1＝25＋75＝100，a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }的公差为0，∴a 37＋b 37＝100.10．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________.答案：20解析：解法一设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.解法二由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.11．[2019·广东深圳中学月考]已知数列{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 取到最大值的n 等于________．答案：6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 3＝7，2a 4＝10，故d ＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7－2(n －3)＝13－2n .令a n >0，得n <6.5.所以在等差数列{a n }中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使S n 取到最大值的n 的值为6.12．[2019·甘肃兰州月考]已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，若坐标为(a n ，S n )的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上，则数列{a n }的通项公式为________．答案：a n ＝n ，n ∈N *解析：因为以(a n ，S n )为坐标的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上，所以S n ＝12a n (a n ＋1)，即2S n ＝a 2n ＋a n,2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，两式相减得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－(a 2n ＋a n )，即(a n ＋1－a n －1)·(a n ＋1＋a n )＝0.因为a n >0，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 1＝1，所以数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，n ∈N *.课时测评⑳一、选择题 1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝ra n ＋r (n ∈N *，r ∈R ，r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：当r ＝1时，a n ＋1＝a n ＋1，显然数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以充分性成立；当数列{a n }为等差数列时，设公差为d ，则a n ＋1＝a n ＋d ＝ra n ＋r ，若r ≠1，则a n ＝r －d1－r，为常数，因此数列{a n }为常数列，则d ＝0，所以r1－r＝1，解得r＝12，必要性不成立，故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件．2．[2019·兰州市诊断考试]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＋a 7＝24，则S 9＝( )A ．36B ．72C ．144D ．288 答案：B解析：∵a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝24，∴a 5＝8，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×8＝72.3．[2019·河南郑州七校联考]在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54 答案：C解析：对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，即a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项a 1＝－2，公差d ＝12的等差数列．所以数列{a n }的前10项和S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－2)＋45×12＝52，故选C.4．[2018·全国卷Ⅰ]记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案：B解析：设等差数列{an }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B.5．[2019·湖北襄阳四校模拟]在等差数列{a n }中，已知|a 7|＝|a 12|，且公差d >0，则其前n 项和S n 取得最小值时n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：∵|a 7|＝|a 12|，且公差d >0，∴－a 7＝a 12，∴a 7＋a 12＝0.∴a 9＋a 10＝0，∴a 9<0，a 10>0.∴数列{a n }前n 项和S n 取得最小值时n 的值为9.故选C.6．[2019·丹东模拟]在等差数列{a n }中，公差d ≠0，若lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，且a 5＝10，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．40B ．35C ．30D ．25 答案：C解析：lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4⇒lg a 22＝lg a 1a 4⇒a 22＝a 1a 4⇒d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以a 1＝d ，又a 5＝a 1＋4d ＝10，所以a 1＝2，d ＝2，S 5＝5a 1＋5×42d ＝30.选C.7．[2019·辽宁大连第二十四中学月考]数列{a n}满足a1＝2，a2＝1并且1a n－1＝2a n－1a n＋1(n≥2)，则数列{a n}的第100项为()A.1100 B.150C.12100 D.1250答案：B解析：∵1a n－1＝2a n－1a n＋1(n≥2)，∴1a n＋1＋1a n－1＝2a n，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n为等差数列，首项为1a1＝12，第二项为1a2＝1，∴d＝12，∴1a100＝1a1＋99d＝50，∴a100＝1 50.8．[2019·天津月考]已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则a1＋a100等于() A．2 B．－2C．0 D．－1答案：B解析：由题意得函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称．由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，可得12(a50＋a51)＝－1，即a50＋a51＝－2.又数列{a n}是等差数列，所以a1＋a100＝a50＋a51＝－2.故选B.二、非选择题9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.答案：114解析：因为{a n}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3.又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114.10．[2019·九江模拟]已知数列{a n }为等差数列，a 1＝1，a n >0，其前n 项和为S n ，且数列{S n }也为等差数列，设b n ＝a n ＋22n ·a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.答案：1－12n (2n ＋1)解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≥0)，∵S 1＝1，S 2＝2＋d ，S 3＝3＋3d 成等差数列，∴22＋d ＝1＋3＋3d ，得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n 2，S n ＝n ，故数列{S n }为等差数列，b n ＝a n ＋22n·a n ·a n ＋1＝2n ＋32n(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1(2n －1)－12n (2n ＋1)，则T n ＝120－121×3＋121×3－122×5＋…＋12n －1(2n －1)－12n (2n ＋1)＝1－12n (2n ＋1). 11．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项的和，S 10＝S 22.(1)求S n ；(2)这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．解析：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即12(a 11＋a 22)2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)解法一由(1)知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 解法二由(1)知，令⎩⎨⎧a n ＝31＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·(－2)＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)，解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.。

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (14)

天天练14 三角恒等变换小题狂练⑭一、选择题1．[2018·全国卷Ⅲ]若sin α＝13，则cos2α＝( ) A.89 B.79C ．－79D ．－89 答案：B解析：∵sin α＝13，∴cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B.2．[2019·成都一诊]已知α为第二象限角，且sin2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )A.75 B ．－75 C.15 D ．－15 答案：B解析：因为sin2α＝2sin αcos α＝－2425，即1－2sin αcos α＝4925，所以(cos α－sin α)2＝4925，又α为第二象限角，所以cos α<sin α，则cos α－sin α＝－75.故选B.3．化简2cos x ＋6sin x 等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－xC ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 答案：B解析：2cos x ＋6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x ＋sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x .故选B.4．cos12°cos18°－sin12°sin18°的值等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 答案：D解析：cos12°cos18°－sin12°sin18°＝cos(12°＋18°)＝cos30°＝32，故选D.5．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A ．－429B ．－229 C.229 D.429 答案：A解析：∵sin(π－α)＝13，即sin α＝13，又π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝－429.6．[2019·四川联考]已知角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos2α＋cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3－2 2B ．－1C ．3－2 2D ．3＋2 2 答案：A 解析：由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63，∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3－2 2.故选A.7．[2019·山西省名校联考]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1 答案：C解析：由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－1，故选C. 8．[2019·广西桂林、贺州模拟]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则sin2α的值为( ) A.118 B ．－1718 C.1718 D ．－118 答案：B解析：∵3cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴3(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α－sin α)．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α－sin α≠0，∴cos α＋sin α＝26. 两边平方可得1＋sin2α＝118，解得sin2α＝－1718.故选B. 二、非选择题 9．[2019·荆州模拟]计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.答案：12解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝12.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 答案：32解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.11．[2019·山西康杰中学月考]若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.答案：43解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)·tan α＝43.12．已知f (x )＝sin x －23sin 2x2，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，函数f (x )的最大值减去最小值等于________．答案：2解析：f (x )＝sin x －23sin 2x 2＝sin x －3(1－cos x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，则f (x )的最大值与最小值分别为2－3，－3，因而f (x )的最大值减去最小值等于2.课时测评⑭一、选择题1．[2019·贵阳监测]sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32 答案：D解析：sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos30°＝－32.故选D.2．[2019·福建莆田第九中学模拟]若tan α＋1tan α＝103，α∈π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210 C.3210 D.7210 答案：A解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α>1.∴由tan α＋1tan α＝103，解得tan α＝ 3.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝22×2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝22×－21＋9＝－210.故选A.3．[2019·广州调研]已知α为锐角，cos α＝55，则tan α－π4＝( )A.13 B ．3C ．－13 D ．－3 答案：A解析：因为α是锐角，cos α＝55，所以sin α＝255，所以tan α＝sin αcos α＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝13，故选A. 4．[2019·广东潮州模拟]若cos2αsin α－cos α＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.12 B ．－12C.24 D ．－24 答案：C解析：∵cos2αsin α－cos α＝cos 2α－sin 2αsin α－cos α＝－(cos α＋sin α)＝－2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝24.故选C. 5．已知在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋cos A ＝( )A.33 B ．－33C.233 D.－233 答案：B解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝－13，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－π2＝－13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋cos A ＝sin A cos π6＋cos A sin π6＋cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－33.故选B.6．[2019·河北沧州教学质量监测]若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin 2(α＋β)＝( )A ．1 B.12 C.14 D ．0 答案：A解析：由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3. 两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1.7．[2019·丰台模拟]已知tan2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35 答案：A解析：由tan2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos x sin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A.8．[2019·嘉兴模拟]有四个关于三角函数的命题：①∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12；②∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0；③∀x ∈[0，π], 1－cos2x2＝sin x ；④sin x ＝cos y⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的序号为( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ 答案：A解析：因为sin 2x 2＋cos 2x 2＝1≠12，所以①为假命题；当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，所以②为真命题；因为 1－cos2x2＝1－(1－2sin 2x )2＝|sin x |＝sin x ，x ∈[0，π]，所以③为真命题；当x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y ≠π2，所以④为假命题．故选A.二、非选择题9．[2019·广西玉林陆川中学模拟]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π10－θ＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋θ＝________. 答案：2解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π10－θ＝0， ∴sin 2π5cos θ＋cos 2π5sin θ＋2sin 11π10cos θ－cos 11π10sin θ＝0，∴sin 2π5cos θ＋cos 2π5sin θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5sin θ－cos 2π5cos θ＝0.等式两边同时除以cos 2π5cos θ，得tan 2π5＋tan θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 2π5tan θ－1＝0，∴tan 2π5＋tan θ1－tan 2π5tan θ＝2，即tan 2π5＋θ＝2. 10．[2018·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．答案：3解析：由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，196π，∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3.11．[2019·江苏如东模拟]已知α，β都是锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解析：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13，所以－π2<α－β<0.由sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1和sin (α－β)cos (α－β)＝－13，解得sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1－110＝31010.因为α为锐角，sin α＝35，所以cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050.。

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (23)

天天练23不等式的性质及一元二次不等式小题狂练○23一、选择题1．若a>b>0，c<d<0，则一定有()A．ac>bd B．ac<bdC．ad<bc D．ad>bc答案：B解析：根据c<d<0，有－c>－d>0，由于a>b>0，故－ac>－bd，ac<bd，故选B.2．[2019·河南信阳月考]对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b，则1a>1b.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：因为ac2>bc2，可见c2≠0，所以c2>0，所以a>b，故①正确．因为a>b，c>d，所以根据不等式的可加性得到a＋c>b ＋d，故②正确．对于③和④，用特殊值法：若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，故③错误；若a＝2，b＝0，则1 b无意义，故④错误．综上，正确的只有①②，故选B.3．[2019·南宁二中、柳州高中两校联考(二)]设a>b，a，b，c∈R，则下列结论正确的是()A．ac2>bc2 B.a b>1C．a－c>b－c D．a2>b2答案：C解析：当c＝0时，ac2＝bc2，所以选项A错误；当b＝0时，ab 无意义，所以选项B 错误；因为a >b ，所以a －c >b －c 恒成立，所以选项C 正确；当a ≤0时，a 20的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) 答案：B解析：2x 2－x －3>0可化为(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >32或x <－1，所以不等式2x 2－x －3>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.故选B.5．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3 答案：D解析：由题意得，不等式x 2－2x －3<0的解集A ＝(－1,3)，不等式x 2＋x －6<0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.6．不等式x2x －1>1的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 答案：A解析：原不等式等价于x2x －1－1>0，即x －(2x －1)2x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.故选A. 7．[2019·成都一诊]若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞) 答案：B 解析：解法一当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x >0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，又－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．解法二设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1>0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立；当－a >0，即a <0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a <0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．8．[2019·安徽蒙城、淮南等“五校”联考]在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4] 答案：D解析：关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为1<x <a ；当a <1时，不等式的解集为a <x <1.要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2,4]，故选D.二、非选择题9．[2019·长春监测]已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是______________．答案：(－π，2π)解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎨⎧ m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.10．[2019·全国名校大联考]不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________．答案：{x |－a <x <3a }解析：∵x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )·(x ＋a )<0，a >0，∴－a <3a ，则不等式的解集为{x |－a <x <3a }． 11．给出下列四个命题：①若a >b ，c >d ，则a －d >b －c ； ②若a 2x >a 2y ，则x >y ；③若a >b ，则1a －b >1a；④若1a <1b <0，则ab b ，c >d ，所以－d >－c ，由同向不等式的可加性得a －d >b －c ，故①正确；因为a 2x >a 2y ，所以a 2>0，所以x >y ，故②正确；当b ＝0时，不等式不成立，故③不正确；因为1a <1b <0，所以b <a <0，所以ab 0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)·(－1)>0，得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m ，因为1x1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2，所以m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．课时测评○23一、选择题1．[2019·河南月考]若1b <1a <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |＝|a ＋b | 答案：A解析：由1b <1a <0可得a b 2，故A 错，故选A.2．[2019·豫西南联考]如果a >0>b 且a 2>b 2，那么以下不等式中正确的个数是( )①a 2b 0>1b ；③a 3<ab 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C解析：因为a 2>b 2，b <0，所以a 2b b 2，a ＞0，所以a 3>ab 2，故③错误；所以正确的个数为2，故选C. 3．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定答案：B解析：∵M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)又a 1，a 2∈(0,1)，故(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N . 4．[2019·广州模拟]已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12<x <－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >－13或x <－12 C ．{x |－3<x <2}D ．{x |x <－3或x >2} 答案：A解析：由题意得⎩⎨⎧5a ＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x －1>0，即(3x ＋1)(2x ＋1)<0，所以解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12<x <－13，故选A. 5．[2019·浙江名校协作体月考]以方程x 2＋px ＋1＝0的两根为三角形两边之长，第三边长为2，则实数p 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞－2]∪[2，＋∞)C ．(－22，22)D ．(－22，－2) 答案：D解析：设三角形的三边分别为a ，b ，c . 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－p ，ab ＝1，Δ＝p 2－4>0，a ＋b >2，|a －b |<2，所以p <－2，|a －b |2＝(a ＋b )2－4ab ＝p 2－4<4，解得－220的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1<x <12 C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1} 答案：A 解析：由题意，知ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则不等式2x 2＋bx ＋a >0，即2x 2＋x －1>0，则不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12，故选A.7．[2019·河南洛阳诊断]若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 答案：B解析：由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是⎩⎨⎧f (5)≥0，f (1)≤0，解得－235≤a ≤1，故选B.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞) 答案：C解析：函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1＝x 2－2ax ＋(a ＋1)(a －1)＝[x －(a －1)][x －(a ＋1)]，由f (x )<0，得a －1<x <a ＋1，则由f (f (x ))<0可得a －1<f (x )<a ＋1.又f (x )＝(x －a )2－1，所以当x ＝a 时，f (x )取得最小值－1，所以函数f (x )＝(x －a )2－1的值域为[－1，＋∞)．若原不等式的解集为空集，则不等式a －1<f (x )<a ＋1的解集为空集，所以(a －1，a ＋1)与函数f (x )＝(x －a )2－1的值域[－1，＋∞)的交集为空集，所以a ＋1<－1，a <－2.二、非选择题9．[2019·皖南八校联考]不等式5－xx －1≥0的解集是______________．答案：{x |1<x ≤5}解析：原不等式可化为x －5x －1≤0，解得1<x ≤5.10．[2019·河南豫北豫南名校精英联赛]不等式x 2－3|x |＋2>0的解集是______________．答案：(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)解析：由题意可知原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0，解得|x |<1或|x |>2，所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．11．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎨⎧m <0，Δ＝4－4m (1－m )<0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m .。

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷(浙江专用)(解析版)

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷（浙江专用）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a R ∈,复数122,12z ai z i =+=-，若12z z 为纯虚数，则a 的值为（） A ．0B ．1C ．3D ．5 【答案】B 【解析】由()()122(12)222(4)2241212(12)555ai i z ai a a i a a i z i i i +++-++-+====+--+，因为复数是纯虚数，所以1a =满足题意，故选B.2．函数()233sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（） A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为43π的偶函数【答案】A 【解析】()2323sin 3cos 323f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，3T π=，为偶函数.故选A. 3．已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（）A ．{}1AB ⋂=B ．R A B A ⋂=ðC ．()(]R 0,1A B ⋂=ð D ．A B =R U 【答案】B【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或ð 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ð ；R A B ⋃≠；故选B.4．点()1,1M 到抛物线22y ax =准线的距离为2，则a 的值为（） A ．1 B ．1或3 C ．18或124- D ．14-或112【答案】C 【解析】依题意可知0a ≠，抛物线的标准方程为212x y a= 当0a <时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a =-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得124a =-.当0a >时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a =-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得18a =.所以a 的值为18或124-.故选C. 5．若x y ，满足约束条件0300x y x y x m +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩,且2z x y =-的最大值为9．则实数m 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】画出可域如下图，其中x=m 是一条动直线，由于已知max 2x-9y =（），所以当29x y -=经过可行域某个顶点（或边界）时取到最大值，此时点A(3,-3)，所以m=3,选D.6．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A ．40B ．36C ．32D ．20 【答案】A【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种.故答案为A. 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为（） A ．-3B ．-5C ．-6D ．-9【答案】D【解析】由112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥可知12,3m m a a +==，设等差数列{}n a 的公差为d ，则1d =，∵0m S =，∴12m a a =-=-，则3n a n =-，(5)2n n n S -=，2(5)2n n n nS -=,设2(5)(),02x x f x x -=>，23'()5,02f x x x x =->，∴()f x 的极小值点为103x =，∵n Z ∈，且(3)9f =-，(4)8f =-，∴min ()9f n =-，故选D.8．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【答案】D【解析】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以()()(),1E p D p p ξξ==-,随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-,所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则()()()()1121E p p p p p p η=-+-=-,()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--, 当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确,故选D.9．在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上（包含端点），且2AC =，则()PB PD PA +⋅u u u v u u u v u u u v 有（） A ．最大值为12，没有最小值 B ．最小值为12-，没有最大值 C ．最小值为12-，最大值为4 D ．最小值为4-，最大值为12 【答案】C 【解析】如图：2PB PD PO +=u u u r u u u r u u u r 所以2PB PD PA PO PA +⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）,（1）当点P 在AO 上,设||[0,1]PO a =∈u u u r ,()22(1)PB PD PA PO PA a a +⋅=⋅=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当12a =时,有最小值12-;（2）当点P 在CO 上,设||[0,1]PO a =∈u u u r ,()22(1)PB PD PA PO PA a a +⋅=⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当1a =时,有最大值4;综上()PB PD PA +⋅u u u r u u u r u u u r 有最小值为12-,最大值为4.故选C. 10．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若存在过1F 的直线分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得221∠=∠BAF BF F ，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．(1,23]+B ．(1,25]+C ．(3,23]+D ．(3,25]+【答案】D 【解析】在2BAF V 和21BF F V 中，由221221,BAF BF F ABF F BF ∠=∠∠=∠,可得221BAF BF F V V ∽, 即有221212BF F A BA k BF BF F F ===,即为112212,2AB BF AF kBF BF kBF AF k c =-=⎧⎪=⎨⎪=⋅⎩ 121111222(1)21a BF BF a BF kBF a k BF a BF k-=-=∴-=∴=-Q ，， . 2112112211,,2BF AF kBF AF BF kBF AF a BF k BF -=∴=-∴-=-Q ,()222211a k c a k k ∴⋅-=--21,3a k e c a∴=<∴>-.1122()12,,253a a c a BF a BF c a e c a c a -⎛⎫-==≥+∴≤+ ⎪--⎝⎭故选D. 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020届高三数学小题狂练试题含答案(共40份)

2020届高三数学小题狂练一姓名得分1．已知2{230}A x x x =--≤，{}B x x a =<，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 .2．已知2()|log |f x x =，则=+)23()43(f f .3．若平面向量b 与向量a =(1,2)-的夹角是180o，且|b |=b = .4．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若αβ⊥，l β⊥，则l ∥α； ②若l α⊥，l ∥β，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若αβ⊥，α∥γ，则βγ⊥. 其中正确命题的序号是 .5．设函数()24xf x x =--，0x 是()f x 的一个正数零点，且0(,1)x a a ∈+，其中a ∈N ，则a = .6．已知α为第二象限的角，且53sin =α，则=+)4cos(πα . 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，3=a ，1=b ，则=c .8．已知函数()cos f x x x =，则'()3f π=_________.9．已知等差数列{n a }中，0n a ≠，若m ∈N ，1m >，2110m m m a a a -+-+=，2138m S -=，则m = .10．若关于x 的方程10kx +=有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是 .11．设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且2)1(->f ，mm f 3)2(-=，则m 的取值范围是 . 12．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 .答案 1．(3,)+∞ 2．1 3．(3,6)- 4．②④ 5．26． 7．28．12 9．10 10．1[,0)2-11．)3,0()1,(⋃--∞ 12．352020届高三数学小题狂练二姓名得分1．已知复数z 满足(2－i)z =5，则z = .2．已知向量24()，a =，11()，b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 . 3．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为_________.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则方程()1f x =的解集是 .5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -= .6．若三条直线320x y -+=，230x y ++=，0mx y +=不能构成三角形，则m 的值构成的集合是 .7．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 . 8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 .9．已知(1)(1)()sin 33x x f x ππ++=，则(1)(2)(2015)f f f +++=L .10．数列{}n a 中，11a =，1411++=+n n n a a a = .11．已知点G 是ABC ∆的重心，若120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u rg ，则||AG u u u r 的最小值是 .12．双曲线221x y n-=（1n >）的两焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F ∆的面积为 .答案1．2＋i 2．3- 3．294．{2,－12}5．326．{3-，1-，2} 7．7 8．4 9．010．1276411．23：1()3AG AB AC =+u u ur u u u r u u u r12．1：12PF PF +=1212S PF PF =g ，平方减2020届高三数学小题狂练三姓名得分1．若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值是 . 2．抛物线2y ax =（a 为非零常数）的准线方程为 .3．设函数()log a f x x =（0a >，1a ≠）满足(9)2f =，则(9)af 的值是 . 4．曲线C ：()sin xf x x e =+在0x =处的切线方程为 .5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3S ，9S ，6S 成等差数列，则数列{}n a 的公比q 为 .6．若a ，b≤m 的最小值是 .7．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点(1,1)A ，点M 是椭圆上的任意一点，则2MA MF +的最小值为 . 8．设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，则xy 的最小值为 . 9．若直线l 与圆224x y +=相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且12122x x y y +=，则AB = .10．小张、小李、小王三位同学在足球场上做传球训练，规定：持球的任何一人必须将球传给另两位同学中的一人．开始时球在小王脚下，传球4次后，则球仍然回到小王脚下的概率为 .11．已知()f x =||2x x a x -+，若()f x 在R 上恒为增函数，则a 的取值范围是 .12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在准线上，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =g ，则该双曲线的离心率等于 .答案 1．38 2．14y a=- 3．64．210x y -+=5．2-67．38． 16（去分母）9．2（2OA OB ⋅=u u u r u u u r ，3AOB π∠=）10．38（树状图，616）11．[2,2]-（x a ≥：0x a ≤；x a <：0x a ≥）12（由射影公式得222()a m c c c =+2222c a =+，222()a n c c c=-22b =，代入222216m n a b =）或（2ab h c=，中线PO c =，2222()a h c c =-）2020届高三数学小题狂练四姓名得分1．若集合2{5,log (3)}A a =+，集合{,}B a b =，{2}A B =I ，则A B U = . 2．若复数2(56)(3)i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m = . 3．若10≤≤x ，且21y x -≥，则2z x y =+的最小值为 .4．若函数32()f x ax x x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是 . 5．在等差数列{}n a 中，638a a a =+，则前9项之和9S = . 6．已知ABC ∆中，2a =，b =45A =︒，则B 等于 .7．曲线sin cos y t x x =+在0=x 处的切线方程为1+=x y ，则=t . 8．曲线C1+=上的点到原点的距离的最小值为_________.9．已知直线l 的倾斜角为︒120，与圆M ：0222=-+y y x 交于P ，Q 两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r（O 为原点），则l 在x 轴上的截距为 .10．如图，在ABC ∆中，1tan 22C =，0AH BC ⋅=u u u r u u ur ，0)(=+⋅CB CA AB ，则过点C 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为 .11．在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤，且对任意的正整数k ，该数列中恰有21k -个k ，则2015a 的值等于 .12．已知函数()f x 满足(2016)1f =，)1(-x f 为奇函数，)1(+x f 为偶函数，则(4)f 的值等于 .BACH答案1．{1，2，5} 2．2 3．1 4．1[,)3+∞ 5．0 6．60°或120° 7．1 8．429y b =+ 10．2 11．4512．1-：(1)(1)f x f x -=---，(1)(1)f x f x -=+，于是()(2)f x f x =---，(2)()f x f x -=，所以(2)(2)f x f x -=---，进而得周期为82020届高三数学小题狂练五姓名得分1．已知向量(1,3)m →=，(2,1)n a a →=-，若→→⊥n m ，则a = .2．已知7-，1a ，2a ，1-四个实数成等差数列，4-，1b ，2b ，3b ，1-五个实数成等比数列，则212b a a -= . 3．正方体的内切球与其外接球的体积之比为 .4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y +=下方的概率是 .5．若直线10x my ++=与线段AB 有公共点，其中(2,3)A -，(3,2)B ，则实数m 的取值范围是 .6．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，则双曲线22221y x a b-=的离心率为 .7．设x ，y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += .8．已知向量a r 与b r 的夹角为120o，||3a =r ，||a b +=r r ||b r = .9．在ABC ∆中，3sin 4cos 6A B +=，3cos 4sin 1A B +=，则C ∠等于 . 10．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 .11．函数()f x 对于任意x 满足()(2)1f x f x +=，且(1)5f =-，则((5))f f = . 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，定义在R 上的奇函数()g x 的图象过点(1,1)-且()(1)g x f x =-，则(2015)(2016)f f +=__________.答案 1．3 2．1-3．1∶ 4．165．1[2,]3-6 7．4 8．4 9．6π（若6A B π+=，1sin 2A <，4cos 4B ≤）10．22(2)(2)2x y -+-= 11．15-：1(1)5f -=-12．1-（由()(1)g x f x -=--得()(1)g x f x -=+，故(1)(1)f x f x --=+，于是(4)()f x f x +=，所以(1)(0)(0)(1)f f g g -+=+）2020届高三数学小题狂练六姓名得分1．设集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合=N M I . 2．已知∈x R ，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-121，[]120=，则使[]x -=13成立的x 的取值范围是 .3．定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)2(=f ，且)2()()2(f x f x f +=+，则(1)f = .4．已知ααcos sin 2=，则ααα2cos 12sin 2cos ++的值等于 . 5．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m = .6．若向量a v ，b v满足||a =v ||1b =v ，()1a a b +=v v vg ，则向量a v ，b v 夹角大小为 .7．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为 . 8．化简tan 70cos10tan 702cos 40-oo o o o= . 9．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，若当x ∈[1,1]-时均有1()2f x <，则实数a 的范围是 .10．已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 和为n S ，若以(,)n n a S 为坐标的点在曲线1(1)2y x x =+上，则数列{}n a 的通项公式为 . 11．已知02x π<<，且t 是大于0的常数，1()sin 1sin tf x x x=+-的最小值为9，则t = . 12．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，如果3(1)lg2f =，(2)lg15f =，则(15)f = .答案 1．}2,0{ 2．[4,5) 3．21 4．3 5．2 6．135︒ 7．128．29．1(,1)(1,2)2U 讨论最大值 10．n a n = 11．412．1（(3)()f x f x +=-）2020届高三数学小题狂练七姓名得分1．若集合{1,1}M =-，11{|242x N x x +=<<∈Z}，，则M N =I . 2．已知cos ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩则41()()33f f +-的值为 .3．已知()(1)(21)(31)(1)f x x x x x nx =+++⋅⋅⋅+，求=')0(f .4．设O 是ABC ∆内部一点，且2OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r，则AOB ∆与AOC ∆的面积之比为 .5．已知函数2()log 3f x x x =⋅+，直线l 与函数()f x 图象相切于点(1,)A m ，则直线l 的方程的一般式为 .6．扇形OAB 半径为2，圆心角60AOB ∠=︒，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为 .7．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 .8．已知ABC ∆的面积等于3，1BC =，3π=∠B ，则tan C 的值为 .9．如果圆2244100x y x y +---=上至少有三个点到直线l ：0ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是 .10．若函数)(x f 是定义在（0,+∞）上的增函数，且对一切0x >，0y >满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 .11．若直线6x π=是函数sin cos y a x b x =+图像的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 . 12．已知正实数x ，y 满足111x y +=，则9411y xx y +--的最小值为 .答案 1．{1}- 2．2 3．1 4．1∶25．(ln 2)3ln 210x y -+-=6．3（CD CO OD =+u u u r u u u r u u u r）7．(4,2)-8．- 9．5[,]1212ππ10．(0,2)11．150°（(0)()3f f π=）12．25：令10m x=>，10n y =>，则1m n +=，于是9411y x x y +--49449911m n m nm n n m++=+=+--25≥2020届高三数学小题狂练八姓名得分1．复数z 满足方程(2)z z i =+，则z = .2．设集合{|}M x x m =≤，{|2}xN y y -==，若M N ⋂≠∅，则实数m 的取值范围是 .3．若函数2()2x x af x a+=-是奇函数，则a = .4．抛物线24x y =上一点A 的横坐标为2，则点A 与抛物线焦点的距离为 . 5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“大于2的点数出现”，事件B 表示“大于2的奇数点出现”，则一次试验中，事件A B +发生概率为 .6．过点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则l 的方程为 . 7．若ABC ∆的三条边长2a =，3b =，4c =，则C ab B ca A bc cos 2cos 2cos 2++的值为 .8．已知函数)(x f 的导数()(1)()f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取到极大值，则常数a 的取值范围是 .9．已知二次函数2()f x ax bx c =++，且不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞+∞U ，若)(x f 的最大值小于2，则a 的取值范围是 .10．在OAB ∆中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，若AP mOA nOB =+u u u v u u u v u u u v（m ，n ∈R ），则n m -= .11．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，n T 为等差数列{}n b 的前n 项的和，若n m S T =2(1)n m m +，则510a b =_________.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，当[02]x ∈,时，tan [01),()(1)[12],x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈⎩,,,,则(5)6f π--=__________.答案 1．1i -+ 2．(0,)+∞ 3．1± 4．2 5．326．4y =或34130x y +-= 7．29 8．(1,0)- 9．(2,0)-10．1：连MN ，相似 11．920（59101921929a Sb T =） 12．3（()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-+，∴()(4)f x f x =-+((4))f x =--+，周期为4，(5)(1)(1)()tan 66666f f f f πππππ--=--=+===）2020届高三数学小题狂练九姓名得分1．函数()sin(2)f x x π=+的最小正周期是 .2．若直线210x ay +-=与01)1(=+--ay x a 平行，则a 的值为 . 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 .4．函数20.5()log (65)f x x x =-+的单调减区间是 .5．已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，则tan()4πα+值为 . 6．某人有甲、乙两只电子密码箱，欲存放三份不同的重要文件，则此人使用同一密码箱存放这三份重要文件的概率是 . 7．函数sin()cos()66y x x ππ=++的图象离原点最近的对称轴方程为 .8．在等比数列{}n a 中，0n a >，且211a a =-，439a a =-，则45a a += .9．若3213()32f x x x ax =-+在[1,4]-上是减函数，则实数a 的取值范围是 .10．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||b =r a b +=r r，则||a b -=r r .11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .12．对于任意两个实数a ，b ，定义运算“⊗”如下：,,,.a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数2()[(6)(215)]f x x x x =⊗-⊗+的最大值为_________.答案 1．22．123．1(0,)8-4．),5(+∞5．17 6．147．12x π=8．27 9．(,4]-∞- 10．2 11．36π 12．92020届高三数学小题狂练十姓名得分1．方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 . 2．已知复数i z24-=（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 .3．曲线x x f ln )(=在e x =处的切线方程为 .4．随机向一个正三角形内丢一粒豆子，则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 . 5．若双曲线122=-y x 右支上一点(,)A m n 到直线x y =的距离为2，则m n += .6．函数5x y x a+=-在(1,)-+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 7．ABC ∆中，AP 为BC 边上的中线，||3AB =u u u r ，2-=⋅，则||AC =u u u r.8．直线AB 过抛物线2y x =的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .9．设数列{}n a 的通项为210n a n =-（n ∈N *），则=+++||...||||1521a a a . 10．已知函数()cos f x x =（(,3)2x ππ∈），若方程a x f =)(有三个不同的实根，且三根从小到大依次构成等比数列，则a 的值为 .11．若函数()f x 满足(2)()1f x f x +=-+，且(1)2007f =-，则(2015)f = . 12．对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ= .答案1．11x = 2．(2,6) 3．0x ey -=4 5．126．(5,1]--7 8．549．130 10．21-（三根：α，2πα-，2πα+） 11．2008：(2)()1f x f x +=-+，(4)(2)1f x f x +=-++，4T =，(3)(1)1f f =-+ 12．8204：1+1+2(23-22)+3(24-23)+…+9(210-29)+10=1*21+2*22+3*23+…+9*29+102020届高三数学小题狂练十一姓名得分1．设集合1{|0}2M x x =-<，{}210N x x =+>，则M N =I . 2．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是 .3．过点(1,0)且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 . 4．若椭圆221x my +=（01m <<，则它的长轴长为 . 5．从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为 .6．已知复数11z i =-，2||3z =，那么||21z z -的最大值是 . 7．若函数213ln1xy x x+=+-的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m += . 8．设1232,2,()log (1),3,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()2f x >的解集为 . 9．若()sin()1f x A x ωϕ=++（0ω>，||<πϕ）对任意实数t ，都有ππ()()33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = .10．已知在同一平面上的三个单位向量a r ，b r ，c r，它们两两之间的夹角均为120o ，且 |1ka b c ++>r r r｜，则实数k 的取值范围是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =uu r uu u r，则直线AB 的斜率为 .12．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b m =（m ∈N *），则这样的三角形共有个（用m 表示）．答案1．11{|}22x x -<<2．133．4340x y --= 4．4 5．526．3+ 7．68．),10()2,1(+∞Y 9．1-10．{|0k k <或2}k >11．BH l ⊥，抛物线定义得sin 0.5BCH =，故倾斜角为60︒或120︒） 12．(1)2m m +（a m c ≤≤，则m c a m ≤<+，1a =时1个，…，a m =时m 个）2020届高三数学小题狂练十二姓名得分1．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z = .2．A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .3．底面边长为2的正四棱锥的体积为 .4．若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 .5．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 .6．数列{}n a 中，12a =，21a =，11112-++=n n n a a a （2n ≥，n ∈N ），则其通项公式为n a = .7．已知双曲线C 与椭圆221925y x +=有相同的焦点，它们离心率之和为145，则C 的标准方程是 .8．已知二次函数f x ()满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，则m n +的值等于 .9．已知函数()cos f x x ω=（0ω>）在区间π[0]4, 上是单调函数，且3π()08f =，则ω= . 10．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 cm2.11．设椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 .12．在ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r= .答案1．1i-2．803．4 345．1 96．2 n7．221 412y x-=8．1（1n≤）9．43或410．26π（补形）1112．7 2 -2020届高三数学小题狂练十三姓名得分1．函数2()12sin f x x =-的最小正周期为 .2．若函数()log (01)a f x x a =<<在闭区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = .3．函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为21,1[-]，则a b -的最大值和最小值之和为 .4．函数32()267f x x x =-+的单调减区间是 . 5．若2(3),6,()log ,6,f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则(1)f -的值为 .6．设等差数列{}n a 的公差0d ≠，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = .7．在直角坐标系xOy 中，i r ，j r分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角ABC ∆中，AB i j =+u u u r r r ，2AC i m j =+u u u r r r，则实数m = .8．若函数2()x f x x a=+（0a >）在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为 . 9．若不等式1,0ax x a >-⎧⎨+>⎩的解集是空集，则实数a 的取值范围是 .10．已知两圆1C ：22210240x y x y +-+-=，2C ：222280x y x y +++-=，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且2BC FB =u u u r u u u r，12AF =，则p 的值为 .12．从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点1F ，2F 的视角为直角，1AF 的延长线交椭圆于B ，且2AF AB =，则椭圆的离心率为__________.答案 1．π2．43．2π 4．[0,2]5．3 6．4 7．0或2-81-讨论a 9．(,1]-∞-10．5)1()2(22=-++y x （圆心在公共弦上，3λ=-）11．6：作AH Ox ⊥，30AFH ∠=︒，12sin 30622A p px =+︒=+，12cos 30A y =︒=12269-不扣分）：2AF m =，2BF =，24m a +=，故(4m a =-，12AF a m =-，22212(2)AF AF c +=2020届高三数学小题狂练十四姓名得分1．设集合{0,}P m =，2{|250,}Q x x x x Z =-<∈，若P Q ≠∅I ，则m 的值等于 .2．若函数sin3xy π=（0x t ≤≤）的值域为[1,1]-，则正整数t 的最小值是 .3．若函数23xy t =⨯+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围是 .4．已知()y f x =是奇函数，当0x <时，2()f x x ax =+，且(2)6f =，则a = . 5．A 是圆O 上一定点，在圆O 上其它位置任取一点B ，连接AB ，则AB 的长度不小于圆O 半径长度的概率为 .6．若数列}{n a 满足12,01,1,1,n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =，则2015a = .7．已知两点(2,0)A -，(0,2)B ，点C 是圆0222=-+x y x 上任意一点，则ABC ∆面积的最小值是 .8．已知1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ，且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .9．已知函数()f x ，()g x 满足(5)5f =，3)5('=f ，(5)4g =，1)5('=g ，则函数()2()f x yg x +=的图象在5x =处的切线方程为 .10．若存在[1,3]a ∈，使得不等式2(2)20ax a x +-->成立，则实数x 的取值范围是 .11．若实数a ，b 满足410ab a b --+=（1a >），则(1)(2)a b ++的最小值为 . 12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1⋅=c a ，1⋅=c b，||=c 正实数t ，1||t t++c a b 的最小值为 .答案1．1或2 2．53．(,2]-∞- 4．55．23 6．377．3-8．59．51630x y -+= 10．{|x 1x <-或23x >}补 11．27（消a ）12．2020届高三数学小题狂练十五姓名得分1．复数13i z =+，21i z =+，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第___ ___象限. 2．函数224x x y -=的值域是 .3．等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -= . 4．若不等式1420xx a +-->在[2,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为 .5．函数3sin(2)([0,])6y x x ππ=+∈的单调减区间是 .6．若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则这条直线在y 轴上的截距是 .7．若3()2f x x ax =--在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且sin cos cos A B Ca b c==，则A ∠= .9．实数x ，y 满足350x y --=，[1,3]x ∈，则2yx -的取值范围是 . 10．若33,0,()0,xx a x f x x a -+-<⎧=⎨≥⎩（0a >且1a ≠）是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是 . 11．已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += .12．已知点O 在ABC ∆内部，且有24OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OAB ∆与OBC ∆的面积之比为 .答案1．四 2．(0,4] 3．24 4．(,8)-∞ 5．2[,]63ππ6．1 7．(,3]-∞ 8．90o9．(,2][4,)-∞+∞U 10．2(0,]311．212．4∶1（OA OB BA =+u u u r u u u r u u u r ，1477OC OB BC BO BA BC =+⇒=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，平行四边形，相似三角形）2020届高三数学小题狂练十六姓名得分1．设复数112z i =-，2x x i =+（x ∈R ），若12z z 为实数，则x = . 2．双曲线过点P，且渐近线方程为y x =，则此双曲线的方程为 . 3．已知212cos2sin=+θθ，则cos 2θ= . 4．若关于x 的方程3sin 4cos 21x x m +=-有解，则实数m 的取值范围是 . 5．与圆22(3)(1)2x y -++=相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线共有________条.6．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r，||1a =r ，||2b =r ，且a r ⊥c r ，则a r 与b r 的夹角大小是 .7．在数列}{n a 中，21=a ，其前n 项和为n S ，若数列{}nS n是公差为2的等差数列，则}{n a 的通项公式为 .8．若函数2()lg 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是 .9．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =．若在区间[1,3]-内，方程()1f x kx k =++有4个实数解，则实数k 的取值范围是 .10．已知(,)P x y 满足约束条件30,10,10,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，(3,4)A ，则||cos OP AOP ⋅∠u u u r的最大值是 .11．抛物线C ：2y x =上两点M ，N 满足12MN MP =u u u u r u u u r，若(0,2)OP =-u u u r ，则||MN u u u u r = . 12．若0x y >>323xy y +-的最小值为 .答案 1．12-2．2212x y -=3．81-4．[2,3]- 5．3 6．120o7．42n a n =-8． 9．1(,0)3- 10．115：1(34)5x y +11(,)N m n ，(2,22)M m n +）12．10（4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x≥+，再求导）2020届高三数学小题狂练十七姓名得分1．集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =I ，则A B =U .2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是 . 3．若(1,1)a ∈-，则方程20x x a -+=有实根的概率等于 . 4．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 .5．若方程02)1(22=-+++a x a x 有一根比1大，另一根比1-小，则a 的取值范围是 .6．若函数()sin()f x x ωφ=+对任意的实数x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则)3(πf 的值等于 .7．若锐角α，β满足4)tan 31)(tan 31(=++βα，则βα+= . 8．设曲线3233+-=x x y 上任一点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .9．已知1F ，2F 为椭圆2212x y +=的两个焦点，过1F 作倾斜角为4π的弦AB ，则2F AB ∆的面积为 .10．已知()f x 为奇函数，且(31)f x +是周期为3的周期函数，(3)2f =，则(60)f 的值等于 .11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e ，且12||||PF e PF =，则e 的最大值为 . 12．已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n 为正整数），且26a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.答案1．{1，2，3} 2．2 3．584．)0,1[- 5．)0,1(- 6．1±7．3π 8．),32[)2,0[πππY9．4310．()f x 周期为9，(60)(3)f f =- 11．21+（2em m a -=，2em m c +≥，相除得11e e e +≥-） 12．22n n -（由1111n n n n a a n a a +++-=-+得)2(11111≥---=++n n n a n a n n ，令na b n n =，则)2(1111≥---=+n n b n n b n n ，故)1(111---=+n n n b n b n n ，…，1211223⨯-=b b ，累加得)1)(12(1++=+n n a n ，)3(22≥-=n n n a n ．又11a =，26a =也满足n n a n -=22，故对n ∈N *都有n n a n -=22）2020届高三数学小题狂练十八姓名得分1．已知全集2{2,4,1}U a a =-+，集合{1,2}A a =+，若}7{=A C U ，则实数a 的值等于 .2．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则该双曲线的准线方程是 .3．在数列{}n a 中，已知17a =-，25a =，且满足22n n a a +=+（n ∈N *），则12318a a a a ++++L = .4．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin = . 5．将3OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u r写成AM xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r 时，x y += .6．当228x x -<时，函数252x x y x --=+的最小值是 .7．若直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是 .8．已知函数()y f x =满足(3)(3)f x f x -=+，且有n 个零点1x ，2x ，…，n x （n ∈N *），则12n x x x +++L = .9．过抛物线24y x =的焦点F 作斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），若AF FB λ=u u u r u u u r (1)λ>，则λ= .10．若{|2}xx kx >=R ，则实数k 的取值范围是 .11．已知函数2()1f x x =-，()g x x =-，令{}()max (),()F x f x g x =（max 表示最大值），则()F x 的最小值是 .12．已知00(,)x y 是直线2x y a +=-与圆2222x y a a +=++的公共点，则00x y 的取值范围是 .答案 1．32．x = 3．1264 5．2- 6．3-7．12- 8．3n9．3+21y y -） 10．[0,ln 2)e （21log ln 2e =）1112．(,1][16,)-∞+∞U （自编：由d r ≤得a 的取值范围是6a ≤-或0a ≥，再用222000000()2x y x y x y +=++得00252ax y -=）2020届高三数学小题狂练十九姓名得分1．设a 是实数，且211ii a +++是纯虚数，则=a . 2．已知0a >，0b <，),(a b m ∈且0≠m ，则m1的取值范围是 .3．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=与直线(3)250m x y -+-=垂直的充要条件是 .4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（气球保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 . 5．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是R ，则m 的取值范围是 .6．已知α，β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α的值等于 . 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=（n =1，2，3，…），则410log S = .8．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 .9．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为E ，左准线与两渐近线的交点分别为A ，B 两点，若60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率e 等于 . 10．函数)sin()(θ+=x x f （||2πθ<）满足对任意x ∈R 都有)6()6(x f x f --=+ππ，则θ= .11．在△ABC 中，AB =2BC =，CA =BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，AB c =u u u r r，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r .12．过抛物线214y x =准线上任一点作该抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点__________.答案 1．1-2．),1()1,(+∞⋃-∞ab 3．3m =或2m =-4．22a π 5．[0,4] 6．1 7．9 8．0 9．210．6π-11．6-12．(0,1)（解法1：(,1)a -，2240i i x ax --=，122x x a +=，2222121212()248x x x x x x a +=+-=+，于是MN中点为22(,)2a a +，21122122MN y y x x a k x x -+===-，直线MN ：12ay x =+，过定点(0,1)．解法2：(,1)a -，1111()2y y x x x -=-，1111122y x a y --=-，11220ax y -+=．同理可得22220ax y -+=．故直线MN 方程为220ax y -+=，过(0,1)）2020届高三数学小题狂练二十姓名得分1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = .2．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小为 .3．设a 为常数，若函数1()2ax f x x +=+在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 .5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 .6．若1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有个.8．设P ，Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14+AC u u ur ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +，312121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 .12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时，()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________.DCQ BAP答案1．(0,1) 2．60︒ 3．),21(+∞4．),3[]1,(+∞--∞Y 5．(3,1)-- 6．)23,2[- 7．5（||[0,2]x ∈） 8．459．610．16（8xy x y =++，8xy ≥+16xy ≥）11．242（EF DE ⊥，EF ∥AC ，∴AC DE ⊥．又AC BD ⊥，∴AC ⊥平面ABD ．∵1BC =，∴2AB AC AD ===，3162V =24=）12．0.5（2T =，(0.5)(0.5)(1.5)0.5f f f =-==）2020届高三数学小题狂练二十一姓名得分1．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = . 2．抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则点M 的横坐标x = . 3．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则5()()log F x f x x =-的零点的个数为 .4．若(2,1)a =-v与(,2)b t =-v 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为 .5．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(1)-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 6．设α为锐角，54)6sin(=+πα，则)32sin(πα+的值等于 . 7．已知0a >，且1a ≠，函数,0,()(14)2,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，则a 的取值范围是 .8．已知a b >，1a b ⋅=，则22a b a b+-的最小值是 .9．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a ，1b ，且115a b +=，1a ，1b ∈N *，则数列{}nb a （n ∈N *）前10项的和等于 .10．设椭圆1C 和双曲线2C 具有公共焦点1F ，2F ，其离心率分别为1e ，2e ，P 为1C 和2C 的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 . 11．设22log 1()log 1x f x x -=+，12()(2)1f x f x +=（12x >），则12()f x x 的最小值为_______.12．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若()3n na f =（n ∈N *），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =________.答案 1．134()2n -⋅2．2 3．44．(1,4)(4,)-+∞U 5．[1,2]6．2524（若3cos()65πα+=-，cos [cos()]066ππαα=+-<；或45<3πα<）7．11(,]428．222()2a b a b +=-+）9．85（11n a a n =+-，11n b b n =+-，113n b n a a b n =+-=+）10．2（2224m n c +=，12m n a +=，2||2m n a -=，后二式平方相加得22122e e --+=）11．23（21222122log 1log (2)11log 1log (2)1x x x x --+=++，化简得22214log log 1x x =-．于是212212221214log ()log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以21212212212log ()122()1log ()1log ()13x x f x x x x x x -==-≥++（12x >））12．232n n -（33(1)(1)(1)n n S S n n n --=-+-+，311S ⨯=，3n S =232n n-）2020届高三数学小题狂练二十二姓名得分1．函数20.5log (2)y x x =-的单调减区间是 .2．已知函数()sin cos f x a x x =+，且()4f x π-()4f x π=+，则a 的值为 .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为 .4．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 .5．若函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，则()f x 在[2,2]-上的最小值为 .6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 等于 . 7．规定一种运算：,,,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 .8．已知当x ∈R 时，函数)(x f y =满足1(2.1)(1.1)3f x f x +=++，且1)1(=f ，则)100(f 的值为 .9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1(1)2f =，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f .10．双曲线222015x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为其右支上一点，且12124A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠的大小为 .11．已知3450a b c ++=r r r r ，且||||||1a b c ===r r r，则()a b c ⋅+=r r r .12．已知α，β均为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值是 .答案1．(2,)+∞ 2．1（取4x π=）3．(1,2)± 4．2π 5．37- 6．2- 7．]22,1[- 8．349．2.5（(12)(1)(2)f f f -+=-+，故(2)1f =，(3) 1.5f =，(5)(3)1f f =+）10．12π（tan y x a α=+，tan 5y x a α=-，由222015x y -=得tan tan51αα=，于是得cos60α=）11．35-（534c a b -=+r r r ，435b a c -=+r r r ，两式分别平方得0a b =r r g，35a c =-r r g ）12αβ+也为锐角，tan()αβ+存在．由cos()sin sin[()]αββαββ+=+-展开得tan()2tan αββ+=．从而有tan tan[()]ααββ=+-2tan 41tan ββ=≤+）2020届高三数学小题狂练二十三姓名得分1．若直线30x ay ++=的倾斜角为120︒，则a 的值是 .2．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且(1)1f -=，则1()2f -的值等于 .3．不等式02||2<--x x 的解集是 .4．在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R = . 5．函数xx y tan 31tan 3+-=的单调减区间是 .6．在坐标平面内，已知由不等式组|2|,||y x y x a≥-⎧⎨≤-+⎩所确定的区域的面积为52，则a 的值等于 .7．若函数3()log ()(0a f x x ax a =->且1)a ≠在区间1(,0)3-内单调递增，则实数a 的取值范围是 .8．已知数列{}n a 中，12a =，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，则n a = .9．已知函数1,1,|1|()11,x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++的值等于 .10．已知函数()f x 在[2,)+∞单调递增，且对任意实数x 恒有(2)(2)f x f x +=-，若22(12)(12)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 .11．设非零向量a r ，b r 满足||1b =r ，a r 与b a -r r 的夹角为120︒，则||a r的最大值为 .12．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，都有1()(2)1()f x f x f x -+=+，又1(1)2f =，1(2)4f =，则(2015)(2016)f f += .答案1．32．1-3．(2,2)- 4．325．5(,)66k k ππππ-+（k ∈R ） 6．37．1[,1)38．)1(4+n n9．510．(2,0)-（12|2||2|X X -<-）11ABC ∆中，CA b =u u u r r ，CB a =u u u r r ，BA b a =-u u u r r r ，60ABC ∠=︒，||sin 601a ︒≤r ，||a ≤r ）12．1415（令1=x ，则1(1)1(3)1(1)3f f f -==+，令2=x ，则1(2)3(4)1(2)5f f f -==+，)(n f 以4为周期，所以1314(3)(4)3515f f +=+=）2020届高三数学小题狂练二十四姓名得分1．设230.0310x y -==，则11xy ---的值为 .2．已知函数()f x 对任意的x ∈R 都有11()()222f x f x ++-=成立，则127()()()888f f f +++L 的值为 . 3．设直线0=++C By Ax 与圆422=+y x 相交于M ，N 两点，若222A B C +=，0C ≠，则OM ·ON （O 为坐标原点）的值等于 . 4．若222xy ax y ≤+对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈恒成立，则实数a 的范围是 .5．设数列{}n a 的通项公式为3n a n n λ=+（n ∈N *），若123n a a a a <<<<<L L ，则实数λ的取值范围是 . 6．若()2sin()f x ax =在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则实数a 的范围是 .7．若等比数列{}n a 满足354321=++++a a a a a ，且122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值等于 .8．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，若a ，b ，c 成等差数列，4sin 5B =，且ABC ∆的面积为32，则b = . 9．已知函数21,0,()(1),0,x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .10．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 的左、右焦点，P 是C 左支上的一点，若2218||PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是 .11．已知1()41()xf x f x +=-，正实数1x ，2x 满足12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为 .12．已知实数x ，y 满足x y ，则x y +的最大值为 .。

2020届高三数学小题狂练十七含答案

2020届高三数学小题狂练十七姓名得分1．集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =I ，则A B =U .2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是 . 3．若(1,1)a ∈-，则方程20x x a -+=有实根的概率等于 . 4．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 .5．若方程02)1(22=-+++a x a x 有一根比1大，另一根比1-小，则a 的取值范围是 .6．若函数()sin()f x x ωφ=+对任意的实数x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则)3(πf 的值等于 .7．若锐角α，β满足4)tan 31)(tan 31(=++βα，则βα+= . 8．设曲线3233+-=x x y 上任一点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .9．已知1F ，2F 为椭圆2212x y +=的两个焦点，过1F 作倾斜角为4π的弦AB ，则2F AB ∆的面积为 .10．已知()f x 为奇函数，且(31)f x +是周期为3的周期函数，(3)2f =，则(60)f 的值等于 .11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e ，且12||||PF e PF =，则e 的最大值为 . 12．已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n 为正整数），且26a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.答案1．{1，2，3} 2．2 3．584．)0,1[- 5．)0,1(- 6．1±7．3π 8．),32[)2,0[πππY9．4310．()f x 周期为9，(60)(3)f f =- 11．21+（2em m a -=，2em m c +≥，相除得11e e e +≥-） 12．22n n -（由1111n n n n a a n a a +++-=-+得)2(11111≥---=++n n n a n a n n ，令na b n n =，则)2(1111≥---=+n n b n n b n n ，故)1(111---=+n n n b n b n n ，…，1211223⨯-=b b ，累加得)1)(12(1++=+n n a n ，)3(22≥-=n n n a n ．又11a =，26a =也满足n n a n -=22，故对n ∈N *都有n n a n -=22）。

冲刺2020年高考数学小题狂刷卷(解析版)

冲刺2020年高考数学小题狂刷卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]-【答案】A 【解析】由题意2{|20}{|2A x x x x x =--≥=≥或1}x ≤-，所以{|12}R C A x x =-<<，故选A ．2．双曲线222=2x y -的焦点坐标为（）A ．(1,0)±B．(0) C ．(0,1)± D．(0,【答案】B 【解析】由2222x y -=可得22a 2,1b ==，焦点在x 轴上，所以222a 3c b =+=，因此c =所以焦点坐标为()；故选B ． 3．设实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩画出可行域如图阴影部分所示，可知当目标函数z x y =+经过点()3,0A 时取得最大值，则max 30 3.z =+= 故选D. 4．已知,,a b R ∈则“221a b +≤”是“1a b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】22221||1a b a b +≤⇔+≤，其表示的是如图阴影圆弧AB 部分，1a b +≤其表示的是如图阴影OAB ∆部分，所以 “221a b +≤”是“1a b +≤”的必要不充分条件.故答案选B.5．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．20【答案】C 【解析】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，且其底面为一个矩形，底面积6212S =⨯=，高为4，故该几何体的体积111241633V Sh ==⨯⨯=，故选C. 6．函数()()22ln x x f x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+= ()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .故选B ．7．设66016(1),x a a x a x +=+++L 则246a a a ++=（）A ．31-B ．32-C ．31D ．32【答案】C 【解析】二项式展开式的通项公式为6r r C x ，故2462466661515131a a a C C C ++=++=++=,故选C ．8．如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则•PM PN u u u u v u u u v的最大值为（）A ．2BC ．1 D【答案】C【解析】•PM PN u u u u v u u u v 2()()PO OM PO ON PO OM PO OM ON =+⋅+=+⋅+⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v0011cos150cos12010()0()122OM OM ON =++⋅≤+⨯-+⨯-=u u u u v u u u u v u u u v ，选C ．9．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D ．10．已知数列{}n a 满足()*11112n n n na a n a a +++=+∈N ，则（） A ．当()*01n a n <<∈N 时，则1n n a a +> B ．当()*1n a n >∈N 时，则1n n a a +<C ．当112a =时，则111n n a a +++> D ．当12a =时，则111n n a a +++>【答案】C 【解析】111111112n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+∴-+-=即111()(1)n n n n na a a a a ++--=．当01n a <<时，1110n n a a +-<，故1n n a a +<，A 错误．当1n a >时，1110n n a a +->，故1n n a a +>，B 错误．对于D 选项，当1n =时，12a =，212111922a a a a +=+=<D 错误．用数学归纳法证明选项C.易知0n a >恒成立,当1n =时，21211123a a a a +=+=> 假设当n k =时成立，111k k a a +++>2121122k k a k a +++>+,当1n k =+时,222222111122211111112443426k k k k k k k k k a a a a a k a a a a +++++++++⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即221k k a a +++> 成立,故111n n a a +++>恒成立，得证,故答案选C ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

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天天练17 平面向量的基本定理及坐标表示小题狂练⑰一、选择题1．[2019·昆明调研]已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( )A. 2 B ．2 C.10 D ．10 答案：C解析：由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b |＝(－3)2＋12＝10.故选C.2．[2019·桂林模拟]下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34答案：B解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线，故选B.3．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2.④若实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．② 答案：B解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B.4．[2019·天津红桥区模拟]若向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，则a ＋b 的坐标为( )A ．(1,5)B ．(1,1)C ．(3,1)D ．(3,5) 答案：A解析：∵向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，∴a ＋b ＝(1,5)．故选A.5．[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E为AD 的中点，则EB→＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案：A解析：作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB → ＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A.6．[2019·吉林一中等五校模拟]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且a ∥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223 答案：C解析：因为向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，所以13＝tan αcos α＝sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝1－sin 2α＝223.故选C.7．[2019·宜昌模拟]已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB→同方向的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案：A解析：因为AB →＝(3，－4)，所以与AB→同方向的单位向量为AB →|AB→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 8．若A ，B ，C ，D 四点共线，且满足AB →＝(3a,2a )(a ≠0)，CD →＝(2，t )，则t 等于( )A.34B.43C ．3D ．－3 答案：B解析：因为A ，B ，C ，D 四点共线，所以AB →∥CD →，故3a ·t＝2a ·2，t ＝43.故选B.二、非选择题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为________．答案：(23，－2)解析：因为a ＝(3，1)，所以－2a ＝(－23，－2)，如图所示，易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°.向量－2a 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到向量b ，由图可知，b 在第四象限，且与x 轴正半轴的夹角β＝30°，所以b ＝(23，－2)．10．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________________.答案：－6解析：由题意知－2m －12＝0，m ＝－6.11．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案：(－4，－2)解析：因为b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，所以设a ＝(2λ，λ)(λ<0)，因为|a |＝2 5.所以4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.所以a ＝(－4，－2)．12．已知A (2,1)，B (3,5)，C (3,2)，AP→＝AB →＋tAC →(t ∈R )，若点P 在第二象限，则实数t 的取值范围是________．答案：(－5，－3)解析：设点P (x ，y )，则由AP→＝AB →＋tAC →(t ∈R )，得(x －2，y －1)＝(1,4)＋t (1,1)＝(1＋t,4＋t )，所以⎩⎨⎧x －2＝1＋t ，y －1＝4＋t ，解得⎩⎨⎧ x ＝3＋t ，y ＝5＋t ，由点P 在第二象限，得⎩⎨⎧x ＝3＋t <0，y ＝5＋t >0，解得－5<t <－3，所以实数t 的取值范围为(－5，－3)．课时测评⑰一、选择题 1．已知向量a ＝(－3，－4)，则下列能使a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )成立的一组向量e 1，e 2是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－1,2)B ．e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6)C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1)D ．e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，e 2＝(1，－2)答案：C解析：作为基底，其应该满足的条件为不共线向量．A 中，零向量与任意向量共线；B 中，e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6)共线；C 中，e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1)不共线；D 中，e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，e 2＝(1，－2)共线．2．已知向量AB→与向量a ＝(1，－2)反向共线，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5) 答案：A解析：依题意，设AB →＝λa ，其中λ<0，则有|AB →|＝|λa |＝－λ|a |，即25＝－5λ，∴λ＝－2，AB →＝－2a ＝(－2,4)，因此点B 的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，故选A.3．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2 答案：B解析：由题意可取e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，设a＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，则⎩⎨⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.4．[2019·重庆第八中学适应性考试(一)]已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )∥b ，则m ＝( )A ．－23 B.23 C ．－8 D ．8 答案：A解析：由题意得a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )∥b ，所以43＝m －2－2，解得m ＝－23.故选A.5．[2019·湖南省五校联考]已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ满足OC→＋λOA →＋μOB →＝0，则实数λ，μ的关系为( ) A ．λ2＋μ2＝1 B.1λ＋1μ＝1 C ．λμ＝1 D ．λ＋μ＝1 答案：A解析：解法一取特殊点，取C 点为优弧AB 的中点，此时易得λ＝μ＝22，只有A 符合．故选A.解法二依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB→，两边平方得1＝λ2＋μ2.故选A. 6.如图，OC→＝2OP →，AB →＝2AC →，OM →＝mOB →，ON →＝nOA →，若m ＝38，那么n 等于( )A.12B.23C.34D.45 答案：C解析：因为AB →＝2AC →，所以C 为AB 中点，故OC →＝12OA →＋12OB→＝2OP →，所以OP →＝14OA →＋14OB .由OM→＝mOB →，ON →＝nOA →，所以OB →＝1m OM →，OA →＝1n ON →，所以OP →＝14m OM →＋14n ON →，因为M ，P ，N三点共线，故14m ＋14n ＝1，当m ＝38时，n ＝34.故选C.7．[2019·安徽淮南模拟]已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋233 答案：D 解析：如图．AC →＝1y AN →，AB →＝1x AM →，又∵AG →＝13AB →＋13AC →，∴AG →＝13x AM →＋13yAN →，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y ＝1. ∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取等号．故选D.8．[2019·福建质量检测]正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的关系．在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PTAT ＝5－12.下列关系中正确的是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D.AT →＋BQ →＝5－12CR →答案：A解析：由题意，知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →，RS SE ＝PT AT ＝5－12，所以SE→＝5＋12RS →，故A 正确；CQ →＋TP →＝P A →－PT →＝TA →＝5＋12ST→，故B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，故C 错误；因为AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →成立，则SD →＝0，不合题意，故D 错误．故选A. 二、非选择题 9.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD→＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．答案：23a ＋13b解析：由AB→＝2DC →知，AB ∥DC 且|AB →|＝2|DC →|，从而|BO →|＝2|OD →|.所以BO →＝23BD →＝23(AD →－AB →)＝23(a －b )，所以AO →＝AB →＋BO →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .10．[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案：12解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.11．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB→＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(2)已知点D (3,5)，在(1)的条件下，若ABCD 四点构成平行四边形，求点A 的坐标．解析：(1)AE→＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2) ＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32. BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(2)∵ABCD 四点构成平行四边形，∴AD →＝BC →. 设A (x ，y )，则AD→＝(3－x,5－y )，又BC →＝(－7，－2)，∴⎩⎨⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝7，点A (10,7)．。

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