1.2.2同角三角函数的基本关系1导学案
同角三角函数的基本关系导学案
同角三角函数的基本关系教学目标：1、知识目标:把握同角三角函数的基本关系式;2、能力目标:能用同角三角函数的基本关系式化简或证明三角函数的恒等式;3、情感价值观:通过小组探究合作,体验观察、分析、归纳等数学学习中的基本方法;体验发现规律、运用规律的过程;通过学生自己归纳总结,提高学习兴趣和自信心。
学情分析：1、学生在初中已学习过直角三角形中的三角函数,会求一些特殊角的函数值,这为本节课开头的探讨提供了基础。
2、本班大部分学生学习基础和计算能力一般,而且对新概念的归纳总结能力还有待进一步培养和提高,所以在小组探究时要给予必要的引导。
重点难点：重点:三角函数式的化简或证明;难点:同角三角函数基本关系式的变用、活用、倒用。
一、同一角的三角函数之间存在如下关系：1. 平方关系:2.商数关系:二、公式变形： ①22sin cos 1αα+=cos α=22cos 1sin αα=-a a a cos sin tan=sin α=22sin 1cos αα=-()()1cos sin 22=+a a②aa a cos sin tan =,tan cos sin a a a =.tan sin cos a a a = 的值。
是第三象限角，求，已知例αααtan ,cos 53sin .1a -=的值。
求变式：已知αααtan ,cos ,53sin -=例2，已知tana=2，且a 是第三象限角，求sina ，cosa 的值。
αααααcos sin cos sin ,2tan 3-+=求、已知例变式、已知tana=2,求αααα22cos sin cos sin -变式、已知tana=2,求变式、已知tana=2,求方法总结若已知sina 或cosa,先通过平方关系得出另外一个三角函数值,再用商数关系求得tana ；若已知tana,先通过商数关系确定sina 与cosa 的联系,再用平方关系与其组成方程组,解方程组即可。
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
1.2.2同角三角函数的基本关系说课稿
同角三角函数的基本关系麻城市第五中学数学组曾令洋各位专家、评委：大家下午好！我今天说课的题目是《同角三角函数的基本关系》，内容选自于高中教材新课程人教A版必修4第一章第1.2.2节，本节课内容为一课时。
下面我将从教材分析、学情分析、教法与学法分析、教学过程设计四个方面来阐述我对本节课的分析和设计。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课选自内容选自于高中教材新课程人教A版必修4第一章第1.2.2同角三角函数的基本关系，是在学生学习了任意角和弧度，并且理解了任意角三角函数的定义和三角函数线等知识的基础上，与圆的几何性质建立联系，来研究同角三角函数的基本关系，从而找到了同一个角的不同三角函数间的联系，渗透了数形结合等重要数学思想，培养学生的数学应用能力，为后续的三角函数的图像与性质的学习打下基础。
2、学情分析根据学生已有的知识，在教材“探究”的引导下，利用几何关系中的勾股定理及三角函数的定义，学生容易得出同角三角函数的基本关系，但灵活应用关系解题是学生感到困难的地方，特别是求三角函数值时符号的确定。
3、教学目标分析知识与技能目标：推导并理解同角三角函数的基本关系；已知某角的一个三角函数值，会求它其余的三角函数值；能初步应用同角三角函数的基本关系化简三角函数，证明三角函数恒等式。
过程与方法目标：牢固掌握同角三角函数的基本关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角问题的思维能力；灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。
情感态度价值观目标：通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位，训练三角恒等变形的能力，培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。
重点：同角三角函数的基本关系推导及应用.难点：是同角三角函数基本关系式的几何推导，三角函数值符号的确定。
二、教法与学法分析.结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—合作探究—应用”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。
高一数学导学案
三：基础练习
四：例题动
类型一：
应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题
例1．已知 求 的值。
高考真题在线:
例2．已知 且 是第二象限角，求角 的余弦值和正切值。
类型二：
应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式
练习：求证：sin4α－cos4α=2sin2α－1；
课题：1.2.2同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1.【知识目标】
（1）掌握同角三角函数的基本关系。
（2）能准确应用同角三角函数基本关系进行求值、证明
2.【重点难点】
[重点]：同角三角函数基本关系的推导及应用
[难点]：在于关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养上
3.【突破方法】
（1）循序渐进，层层深入
（2）练习——认识——再练习
【问题导学】
（预习教材 ,找出疑惑之处）
一：温故知新
问题1.如图1，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于 ，那么由三角函数的定义可知：
问题2.图1中的三角函数线是：
正弦线余弦线正切线
问题3.问题1中三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？
五：当堂检测
1.已知 且 是第三象限角，求 的值。
2.已知 求 的值。
3.已知 求 的值。
4.化简：（1） ；（2）
5.求证：（1） （2）
【归纳总结】
（1）同角三角函数的基本关系式
（2）三种基本题型:
【思维导图】
二：合作探究
1、探究同角正弦、余弦之间的关系
问题⑴当角的终边不在坐标轴上时正弦、余弦之间的关系是什么？（如图）
人教a版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)
1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解 由tan α＝sin αcos α＝43， 得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解 原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。
1.2.2同角三角函数关系(2015年人教A版数学必修四导学案)
2 cos2 1 （2） 1 2 sin 2 a
5、求证： （1） 1 tan
2
1 cos 2
（2） sin cos sin cos
4 4 2 2
课题：1.2.2 同角三角函数关系 班级： 【学习目标】 姓名： 备 注
4 ， 且 为第三象限角， 则 sin =_______， tan =________。 5 1 2、已知 sin =－ ，则 cos ________，tan =_________。 2
1、 已知 cos －
3、已知 sin =－ （ A、－ ）
3 3 ， ∈( ，2 )，则 tan 等于 5 2
1 (0 ) ， 则 sin cos ___________ ， 5
tan _____。
3 、 已 知 sin cos
60 ， 且 ， 则 sin __________ ， 169 4 2
cos __________。
2
【课堂研讨】 例 1、已知 sin
4 ，且 是第二象限角，求 cos ， tan 的值。 5
练习：已知 tan
12 ，求 sin ， cos 的值。 5
例 2、已知 tan 2，求下列各式的值： （ 1 ）
4 sin 2 cos 3 cos 3 sin
（ 2 ）
sin 2 2 sin cos 3 cos2
例 3、已知 sin cos
sin cos （1）
4 ，求下列各式的值： 3 sin 3 cos3 sin 4 cos4 （2） （3）
高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系教学设计 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第1章三角函数1.2.2 同角三角函数关系教学设计苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第1章三角函数1.2.2 同角三角函数关系教学设计苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2.2 同角三角函数关系错误!教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，按照一切从定义出发的原则进行,通过对基本关系的推导，培养学生重视对基本概念学习的良好习惯，并通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，如sin24π＋cos24π＝1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋错误!，k∈Z。
通过联系,让学生了解到基本关系式具有等式的一切性质（正用、逆用、变形用）,对公式不仅能牢固掌握，还能灵活运用，不仅掌握公式的标准形式，而且还应掌握它们的等价形式：sin2α＝1－cos2α,1＝sin2α＋cos2α，cosα＝±错误!，sinα＝tanαcosα，cosα＝错误!.熟练掌握这些等价形式，在应用上可更为方便，但在变形中要注意定义域从左到右的变化，如sinα＝tanαcosα，这时定义域由α∈R变为α≠kπ＋错误!,k∈Z，而tanαcosα＝sinα，这时定义域由α≠kπ＋错误!，k∈Z，变为α∈R.已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时,根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因：一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根．三维目标1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．2．掌握如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．重点难点教学重点：课本的两个公式的推导及应用．教学难点：课本的两个公式的推导及应用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值:(1）sin290°＋cos290°;（2)sin230°＋cos230°；(3)错误!;（4）错误!.思路2.既然角α的正弦、余弦、正切都是角α的函数，自然想到它们之间会有什么内在的联系呢？由此引导学生探究同角三角函数的关系式．推进新课错误!如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP＝1。
1.2.2同角的三角函数的基本关系 教案
1. 2.2同角的三角函数的基本关系一、教学目标：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.【例题讲评】例1化简：ο440sin 12-解：原式οοοοο80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-=例2 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αααααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+=∴原式 （注意象限、符号） 例3求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．证法1：左边==+=⋅--=-⋅xxx x x x x x x cos sin 1cos )sin 1(sin 1cos )sin 1(cos cos 2右边， ∴原等式成立证法2：左边=)sin 1)(sin 1(cos )sin 1(x x xx -+⋅+＝xx x 2sin 1cos )sin 1(-⋅+x x x 2cos cos )sin 1(⋅+=＝=+xxcos sin 1右边证法3：证法4：∵cosx ≠0，∴1+sinx ≠0，∴xxcos sin 1+≠0，∴xx x xcos sin 1sin 1cos +-＝()()x x x sin 1sin 1cos 2-+＝x x 22sin 1cos -＝1，,cos )sin 1(cos )sin 1(cos sin 1sin 1sin 1cos sin 1,cos )sin 1(cos cos cos sin 1cos :5222xx xx x x x x x x xx xx x x x -=--=--⋅+=⋅-=⋅-=右边左边证法∴左边=右边 ∴原等式成立．例4已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，， 求的值。
人教版高中数学必修四第一章1-2-2同角三角函数的基本关系式《学案》
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。
——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明： 因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <， 所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-， 所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=， 又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。
人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案
1.2.2.同角三角函数的基本关系学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x .∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α.梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ).(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.类型一.利用同角三角函数的关系式求值命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为(..)A.125B.－125C.512D.－512 答案.D解析.∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.反思与感悟.同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解.由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2.已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2.已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.解.∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.反思与感悟.利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 跟踪训练2.已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值. 解.方法一.∵cos α＝－513<0，∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213，tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125，故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0.(2)若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－(－513)2＝－1213，tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0.综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 方法二.∵tan α＝sin αcos α，∴13sin α＋5tan α＝13sin α(1＋513·1cos α)＝13sin α[1＋513×(－135)]＝0.类型二.利用同角三角函数关系化简 例3.已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解.原式＝ (1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－ (1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|.∵α是第三象限角，∴cos α＜0.∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α(注意象限、符号).反思与感悟.解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3.化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).解.(1)原式＝ cos 36°－ sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0， 则原式＝1cos 2α 1＋sin 2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝1cos 2α cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α. 类型三.利用同角三角函数关系证明例4.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立.反思与感悟.证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. 跟踪训练4.求证：cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x .证明.方法一.(比较法——作差)∵cos x 1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x ＝cos 2x －cos 2x (1－sin x )cos x ＝0， ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.方法二.(比较法——作商)∵左右＝cos x 1－sin x 1＋sin x cos x ＝cos x ·cos x (1＋sin x )(1－sin x )＝cos 2x 1－sin 2x ＝cos 2x cos 2x ＝1. ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.方法三.(综合法)∵(1－sin x )(1＋sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝cos x ·cos x ， ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.类型四.齐次式求值问题例5.已知tan α＝2，求下列代数式的值.(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 解.(1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1 ＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思与感悟.(1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式. 跟踪训练5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值.(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.解.由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.(2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于(..)A.－43B.34C.±34D.±43答案.A解析.∵α为第二象限角，sin α＝45，∴cos α＝－35，tan α＝－43.2.已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于(..)A.74 B.－916 C.－932 D.932答案.C解析.由题得(sin α－cos α)2＝2516，即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝2516，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516，∴sin αcos α＝－932.故选C.3.化简1－sin23π5的结果是(..) A.cos 3π5B.sin 3π5C.－cos 3π5D.－sin 3π5答案.C 解析.1－sin23π5＝ cos23π5＝|cos 3π5|， ∵π2<3π5<π，∴cos 3π5<0， ∴|cos 3π5|＝－cos 3π5，即1－sin23π5＝－cos 3π5，故选C. 4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ . 答案.－25解析.sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝－25. 5.已知sin α＝15，求cos α，tan α.解.∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角.当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α ＝1－125＝265， tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.课时作业一、选择题1.已知cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－1213，β为第三象限角，则sin α·tan β等于(..) A.－4825B.4825 C.13 D.－13答案.B解析.∵cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－1213，β是第三象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝45，cos β＝－1－sin 2β＝－513，即tan β＝125，则sin α·tan β＝4825.故选B.2.已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α等于(..)A.－55B.－15C.－255D.－45答案.C解析.∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.3.已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是(..)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案.B解析.∵sin A ＋cos A ＝23，∴1＋2sin A cos A ＝49，∴sin A cos A ＝－518＜0，又∵A ∈(0，π)，sin A ＞0， ∴cos A ＜0，即A 为钝角.故选B.4.函数y ＝1－sin 2x cos x ＋1－cos 2xsin x 的值域是(..)A.{0,2}B.{－2,0}C.{－2,0,2}D.{－2,2}答案.C解析.y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |sin x .当x 为第一象限角时，y ＝2；当x 为第三象限角时，y ＝－2； 当x 为第二、四象限角时，y ＝0. 5.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为(..) A.－4 B.4 C.－8 D.8 答案.C解析.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8. 6.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于(..) A.－43B.54C.－34D.45答案.D解析.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.7.已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin xcos x 等于(..)A.12B.－12C.2D.－2答案.B解析.利用1－sin 2x ＝cos 2x ，可得1＋sin x cos x ＝－cos x sin x －1＝－12.二、填空题8.已知sin α＋2cos αcos α＝1，则α在第 象限.答案.二或四解析.sin α＋2cos αcos α＝tan α＋2＝1，tan α＝－1＜0，∴α在第二或第四象限.9.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝ . 答案. 3或－13解析.因为sin α＋2cos α＝102，又sin 2α＋cos 2α＝1， 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－1010，cos α＝31010或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝31010，cos α＝1010，故tan α＝sin αcos α＝－13或3. 10.在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝ .答案.π3解析.由题意知cos A >0，即A 为锐角. 将2sin A ＝3cos A 两边平方，得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 11.若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝ . 答案.－22 12.已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝ . 答案.－32解析.因为π<α<5π4， 所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线知，cos α<sin α，cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－ 1－2×18＝－32. 三、解答题13.已知tan α＝－12，求1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值. 解.原式＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 四、探究与拓展14.若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z )的值为 .答案.1解析.∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.15.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ)； (3)方程的两根及此时θ的值.解.(1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m .② 将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32， 所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)由(1)得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)， 所以θ＝π3或π6.。
同角三角函数的基本关系（教案）
1.2.2 同角三角函数的基本关系（教案）吴川一中 陈亮 任教班级：高一47、48班一、教学目标：1. 知识与能力理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明.2. 过程与方法通过在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形得出三角函数基本关系式. 3. 情感、态度与价值观培养学生用数形结合思想方法解决问题的能力.二、教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用(求值、化简、恒等式证明).三、教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.四、教学方法与手段：本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并灵活运用.要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．五、教学过程： 【探究引入】 思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ，那么，正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系？由此你能得到什么结论？分析：221MP OM +=22sin cos 1αα+=.思考2：上述关系反映了角α方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？ 分析：当角α的终边在坐标轴上时，上述关系也成立.思考3：设角α的终边与单位圆交于点 P （x ，y ），根据三角函数定义，有tan (0)yx xα=≠，由此可得sin α、cos α、tan α之间满足什么关系？分析：sin tan cos ααα=. 思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？分析：()2a k k Z ππ≠+∈.【讲授新课】 1.同角三角函数基本关系： （1）平方关系：22sin cos 1αα+=；（2）商数关系：sin tan cos ααα=，()2a k k Z ππ≠+∈. Ⅰ、【新知理解训练】判断以下等式是否恒成立：①()22sin cos 1;αβαβ+=≠ ②22sin cos 122αα+=； ③sin 2tan 2.cos 2ααα=Ⅱ、说明：① 注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.② 2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能写成“2sin α或sin 2α”.③ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：22sin 1cos αα=-， cos α= ()212sin cos sin cos αααα±⋅=± sin cos tan ααα=， s i n c o s t a n ααα=⋅. 2、典型例题 题型一、化简 例1. 化简下列各式:(1) 2422sin cos sin cos ββββ++; (2 ) 222cos 112sin αα--.分析：（1）一提取公因式2cos β，便“柳暗花明”； （2）逆用平方关系：式子中的“1”用22"sin cos "αα+一代，结果不打自招.解：（1）原式=()222222sin cos cos sin sin cos 1.ββββββ++=+=（2）原式=()22222222222cos sin cos cos sin 1.sin cos 2sin cos sin αααααααααα-+-==+-- 【点评】灵活运用平方关系、商数关系及其变式是解决化简问题的灵丹妙药.变式训练：化简下列各式: (1) ()221tan cos αα+⋅ (2) 1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+--⋅+-.答案：（1）1； （2）sin cos αα-. 题型二、已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值（简称“知一求二”）例2．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan αα．（2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．分析：由已知条件和sin α的值可依平方关系求得cos α的值，再由商数关系可求得tan α的值，但不知α所在象限时要对α所在象限进行分类讨论.解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=，又∵α是第二象限角，∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而 sin 12tan cos 5ααα==-．（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=，又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限.① 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-；② 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==．【点评】三角函数的结果都要用分情况叙述的形式表达出来，而不用cos a α=±或sin b α=±或tan c α=±的书写形式，因为三角函数值的符号受限制，不是无条件的，这不同于“由21x =可以推出1x =±”的情形.变式训练：《中》191P-变.（07全国Ⅰ）已知α是第四象限角，5tan12α=-，则s i nα等于( D )A.15B.15- C.513D.513-六、板书设计1.同角三角函数基本关系：（1）平方关系.（2）商数关系.2、题型一、化简例1.变式训练：3、题型二、知一求二例2．变式训练：七、小结1. 同角三角函数基本关系及其变式.2. 化简.3. 求值：①知一求二；②弦化切.八、作业课本第20页练习题第2题，22页B组第2、3题.九、教学后记本节真正体现“高、大、优”的课堂教学特色，但内容多、时间紧，要合理安排、讲练结合.。
最新1.2.2-同角三角函数的基本关系教案
1.2.2同角三角函数的基本关系教案教学目标：1. 通过三角函数定义，导出同角三角函数的基本关系，并能运用同角三角函数的基本关系进行三角函数的化简和证明2. 同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：（1）求值（知一求二）；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式，通过本节的学习，学生应明了如何进行三角函数式的化简于三角恒等式的证明。
3. 通过同角三角函数关系的应用是学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等式等变形的能力，树立转化与化归的思想方法。
重点难点：教学重点：课本的两个公式的推导及应用。
教学难点：三角恒等式的证明。
教学过程一、复习引入：填一填：想一想：你能根据上面的表格得出同一个角α的三个三角函数之间有一些什么关系?二、讲解新课：同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos ααα=说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如sin tan (,)cos 2k k Z απααα=≠∈；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α=22sin 1cos αα=-，sin cos tan ααα=等。
三、例题分析： （一）求值问题：例1．已知3sin 5α=-且α是第三象限角，求角α的余弦和正切值.变式： 已知3sin 5α=-，求角α的余弦和正切.小结：1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。
在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。
有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
2.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
第一章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系
2sin α（1＋sin α） 1＋sin α
＝
＝右边．
2sin αcos α
cos α
∴原式成立． 法二：左边—右边＝
所以，左边＝右边，原式成立．
[巧妙解法] 由 cos2α＝1－sin2α得 －cos2α＝(sin α＋1)(sin α－1),
sin α＋1 －cos α
2．三角函数式化简技巧： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数， 从而减少函数名称，达到化繁为简的目的； (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全 平方式，然后去根号达到化简的目的．
[变式训练]
化简： sin
sin2x x－cos
x－sitnanx2＋x－cos1
x .
解：原式＝ sin
所以 sin α－cos α>0，
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝197，
所以 sin
α－cos
α＝
17 3.
归纳升华
三角函数求值的常用方法
1．若已知 tan α＝m，求其他三角函数值，其方法
tan α＝m， 是解方程组
求出 sin α和 cos α的
sin2α＋cos2α＝1，
[变式训练] 已知 tan α ＝43且角 α 在第三象限，求
sin α ，cos α 的值.
解：由
tan
α
＝csions
α α
＝43，
得 sin α ＝43cos α .
又 sin2α ＋cos2α ＝1，
所以196cos2α＋cos2α ＝1.即 cos2α ＝295.
又角 α 在第三象限， 所以 cos α ＝－35， 所以 sin α ＝43cos α ＝－45.
4-1.2.2同角三角函数的基本关系(1)--高一上学期必修四【文教案】
4 0， 5
∴ 在第二或三象限角。
又∵ cos
3 sin 3 ； ， tan 5 cos 4 3 sin 3 ． 当 在第四象限时，即有 sin 0 ，从而 sin ， tan 5 cos 4
当 在第二象限时，即有 sin 0 ，从而 sin 总结： 1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值 中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解 的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方 关系开平方时，漏掉了负的平方根。 例 2．已知 tan 为非零实数，用 tan 表示 sin ,cos ． 解：∵ sin
高一数学[文教案]
高一数学组
4-1.2.2 同角三角函数的基本关系（1）
教学目的： 知识目标： 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式； 2.掌握三种基本关系式之间的联系； 3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 能力目标： （1）牢固掌握同角三角函数三个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生 分析、解决三角的思维能力； （2） 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形， 提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．任意角的三角函数定义： 设角 是一个任意角， 终边上任意一点 P( x, y ) ，
又∵ 是第二象限角，
§1.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
汪清四中高一数学◆必修4◆导学案2012年月日班级：姓名：编写：王伟红§1.2.2 同角三角函数的基本关系（1）导学目标1. 掌握同角三角函数的三个基本关系式；2. 掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值.学习过程一、课前准备（预习教材P18~ P20，找出疑惑之处）复习1：任意角的三个三角函数是怎样定义的？sinα＝；cosα＝；tanα＝。
二、新课导学※学习探究探究任务一：同角三角函数的基本关系问题：从三个三角函数的定义，你能发现它们间有什么关系？新知：平方关系；商数关系.反思：①上述两个关系式，在一些什么情况下成立？②“sin2α＋cos2β＝1”对吗？③同角三角函数关系式可以解决哪些问题？※典型例题例1已知cosα＝－35，并且它是第三象限的角，求sinα，tanα的值.变式：已知cosα＝－35，求sinα，tanα的值.小结：①定义法；基本关系式法. 如果是填空、选择，还可以走捷径求解.②注意符号（象限确定）及同角三基本式的运用（分析联系）；知一求二. 例2 化简21tan1sinαα-，且α在第二象限.※动手试试练1. （1）已知sinα＝513，求cosα，tanα的值.（2）已知tanα=3，求sin α，cosα．练2. 化简：（1）cosθtanθ；（2）21cos1100-︒；（3）12sin40cos40- .学习评价1. 化简21sin40- 为（）.A. cos40︒B. sin40︒C. cos40-︒ D sin40-︒2. 若4cos5α=-，且α在第三象限，则tanα=（）.A. 34B. 34- C.43D. 43-3. 若tanα=3，且322παπ<<，则sinα=（）.A. 12- B.32- C. 12B. 324. 化简：tanαcosα=.5. 已知sin2cosαα=，则1tanα=.学始于疑：请将预习中自己解决不了的问题记下来，供上课解决。
1.2.2同角三角函数基本关系
基本变形 2 2 思考：对于平方关系 sin cos 1 可作哪些变形？
sin 1 cos , cos 1 sin , 2 (sin cos ) 1 2 sin cos 2 (sin cos ) 1 2 sin cos
又是第二象限角， cos 0
1 2 2 sin 2 cos t an 3 3 cos 4 2 2 3
三、应用示例
3 例2.已知 sin , 求 cos , tan 的值。 5 解:因为 sin 0, sin 1, 所以 是第三或第四象限角.
1的替换 — 3 3 1 3(sin cos )
2 2
1 (1) 2 1 ( 2) 32 20 (3) 13
1的替换 — 看作分母为 1 sin 2 cos 2
cos x 1 sin x 例4 求证 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
基本思路:由繁到简 可以从左边往右边证，
因此
cos 1 sin 1 sin cos
化简
例5．化简
解：原式
1 sin 440
2
2
2
2
1 sin (360 80 ) 1 sin 80
cos 80 cos80
例6．化简 解：原式
1 2sin40 cos40
sin 40 cos 40 2sin40 cos40
2 2
2 2
思考：对于商数关系 哪些变形？
sin tan 可作 cos
sin cos tan ,
sin cos . tan
1.2.2 同角三角函数的基本关系(一)
鸡西市第十九中学学案
2014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
1.2.2 学习 目标 重点 难点
同角三角函数的基本关系(一)
1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式． 2．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值和计算． 要注意公式 sin2α＋cos2α＝1 及 tan α＝ sin α 的直接使用， 公式逆用， 公式变形用． cos α
类型 2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正 负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解． 例如：已知 tan θ＝－ 3，求 sin θ，cos θ.
类型 3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，|<1，求 sin α，tan α.
【已知一个角的三角函数值求其余两个三角函数值】 已知某角的一个三角函数值，再利用 sin2α＋cos2α＝1 求它的其余三角函数值时，要注意 角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况： 类型 1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解． 3 例如：已知 sin α＝ ，且 α 是第二象限角，则 cos α＝_____，tan α＝_____. 5
【任意角三角函数的定义】 如图所示，以任意角 α 的顶点 O 为坐标原 点，以角 α 的始边的方向作为 x 轴的正方 向，建立直角坐标系．设 P(x，y)是任意角 α 终边上不同于坐标原点的任意一点． 其中，r＝OP＝ x2＋y2 >0.
则 sin α＝_
__，cos α＝__
_，tan α＝_
__.
例 2 已知 tan α＝2，求下列代数式的值． 4sin α－2cos α 1 1 1 (1) ； (2) sin2α＋ sin αcos α＋ cos2α. 4 3 2 5cos α＋3sin α
21-22版：1.2.2 同角三角函数的基本关系（创新设计）
课前预习
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学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系(重点).2.会 用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证 明(难点)．
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知识点 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__s_in_2_α_＋__c_o_s_2α__＝__1___． (2)商数关系：_t_a_n_α_＝__cs_oi_ns_αα___(α_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_)________．
答案 B
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2．已知 sin α＝13，tan α＝－ 42，则 cos α＝( )
A．－2
2 3
B．2 3 2
C．－13
D．
2 4
解析 由 sin α＝13>0，tan α＝－ 42<0，可知 α 是第二象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－232．
答案 A
课前预习
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＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
课前预习
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课堂达标
1．若 cos α＝－45，且 α 是第二象限角，则 tan α 的值等于( )
A．34
B．－34
C．43
D．－43
解析 由题意可得 sin α＝ 1－cos2α＝35， ∴tan α＝csoins αα＝－34．
课堂反馈
3．化简1＋cocsoθs θ－1－cocsoθs θ的结果是________．
同角三角函数的基本关系式导学案
同角三角函数的基本关系式导学案 【使用说明】1、课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型； 2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
一、学习目标： 1.知识与技能：掌握同角三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流，比较归纳，提高分析、概括的能力。
3.情感态度价值观：培养大胆质疑、合作共赢的学习态度 二、重点、难点： 重点：同角三角函数基本关系式的推导与应用。
难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养。
三、问题导学： 1.22sin cos 1αα+=与sin tan cos ααα=是怎样推导的？对任意角α都适用吗？为什么？2. 22sec tan ? 22csc cot ?3.你还能发现同角三角函数的其它基本关系式吗？怎样证明？4.同角三角函数的基本关系式有什么规律可循？ 四、合作、探究、展示 例1. 已知54sin =α，且α是第二象限的角，求角α的余弦值和正切值 拓展1：已知54sin =α，πα<<0，求角α的余弦值和正切值拓展2：已知54sin =α，求角α的余弦值和正切值思考：以上三题有何区别？练习 ：（1）已知 3cos ,5θ=求 θ的其他三角函数值（2）已知3tan 4，且α是第四象限的角，求sin α,cos α小结：给值求值问题应注意问题 ：例2已知55cos sin -=-αα，πα<<0，求sin cos ,sin ,cos αααα+的值变式1：已知sin cos 5αα+=，且0απ<<，求sin 2cos αα+的值变式2：已知2sin cos 5αα⋅=，且42ππα<<，求cos sin αα-，cos sin αα+的值小结 ：例3.化简 （1）02440sin 1- （2） 222cos 112sin θθ-- (3) ()sin tan cot sec αααα+小结：化简遵循的原则：例4.证明：（1）442sin cos 2sin 1ααα-=- （2）αααα2222sin tan sin tan =-（3）ααααcos sin 1sin 1cos +=- 小结：证明三角恒等式的方法有：*例5.已知tan =-4,求下列各式的值：(1)2sin(2)3sin cos (3)2cos 22sin (4) 4sin 2cos5cos 3sin（附加）变式：若tan=2,求αα22cos 1sin +的值小结：五、当堂检测:1. 已知 1sin cos 2αα+=，()0,απ∈，求tan α的值2. tan α= ()221tan cos αα+=3.1=-，则α是第 象限角。
同角三角函数的基本关系导学案
同角三角函数的基本关系学习目标:掌握同角三角函数的基本关系式sin 2a+cos 2a=1, sina ／cosa=tana,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明学习重点：公式sin 2a+cos 2a=1, sina ／cosa=tana 的推导及其应用学习难点：根据角a 终边所在象限求出其三角函数值,选择适当的方法证明三角恒等式;公式的变式及灵活运用 学习过程：一 探究新知1．你还记得任意角的三角函数的定义吗？a 为一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ﹙x,y ﹚：则sina ＝ ；cosa ＝ ；tana ＝2．你记得单位圆中的三角函数线吗？sina ＝ ；cosa ＝ ；tana ＝探究：①sin 2300+cos 2300＝ ，sin 30︒= ，tan300 ＝ ；②sin 2450+cos 2450＝ ，2a4cos -5a =时3tan 4a = 变式 ：已知a 是三角形的内角，且sina ＋cosa ＝1／5，求tana 的值解：由已知得1cos sin 5a a =-，代入22sin cos 1a a +=整理得：2112sin sin 0525a a --=，解得43sin sin 55a a ==-或.因为a 是三角形的内角，sin 0a >,所以4sin 5a =，1143cos sin =-=-5555a a =-,所以4tan -3a = “知一求二”不但指sina ，cosa ，tan 三者中知一可求二,还指知道一个关于sina ，cosa ，tana 的方程,联立两个关系式就可求出它们的值.考点2.弦切转化例2.已知tana ＝2，求下列式子的值.(1)sin cos sin cos a a a a +- (2)221cos sin a a- 解:方法一:由”知一求二”可求出sina ，cosa 然后代入求值.方法二:弦化切,在(1)的分子分母中同时除以cosa ，则(1) 原式＝1tan 1tan -+a a ＝1212-+＝3，(2) 原式＝a a a a 2222sin cos cos sin -+＝aa a a aa 222222cos sin cos cos cos sin -+＝aa 22tan 11tan -+＝35- 方法三：由已知得，sina ＝2cosa,则原式＝a a a a 2222sin cos cos sin -+＝()()2222cos 2cos cos cos 2a a a a -+＝35-，同理可求（1）的值 弦化切得前提是：要求值的式子是分式，且分子分母都是关于sina ，cosa 的齐次式，这里要注意“1”的变形.练习.考点3例3. cosx﹙1-sinx .练习.考点4. 由于cosa ,.例4.已知解：∵﹙﹚2＝5练习：已知sina ＋cosa ＝1／5﹙1﹚求sina ·cosa 的值，﹙2﹚若p 21＜a ＜p ，求a sin 1+()a p -cos 1的值 ④思想方法提升：本节有四种题型：﹙1﹚“知一求二”；﹙2﹚弦切转化；﹙3﹚三角恒等式的证明；﹙4﹚sina ＋cosa ，sina-cosa ，sina ·cosa 的关系应用，其中﹙1﹚和﹙4﹚的本质是方程思想，﹙2﹚和﹙3﹚的关键是转化思想二 课内自测1.①=ο2205sin （ ） A ．21 B ．21- C ．22 D ．22- ②角a （0<a<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么a 的值为（ ）A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4 或 7π4③已知sin α=－53，α∈(23π，2π)，则tan α等于（ ）A.－34 B.34 C.－43 D.43 ④已知24sin 25α=-，α是第四象限角，则tan α的值是（ ）A ．24± B ．724± C ．24- D ．724-⑤若tan α322παπ<<，则sin α=（ ） A. 12- B. C. 12 ⑥若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan （ ）A ．1 B ． -1 C ．43 D ．34- ⑦若sin 4a ＋cos 4a ＝1，则sina ＋cosa 的值为( ) A 0 B 1 C －1 D ±12.①化简②若2sin A sin 2④已知α⑤已知3.﹙1﹙2﹙3﹙4﹙5﹙6﹙7﹙8﹚已知21tan -=α，求αααα22cos 2cos sin sin 1--的值.﹙9﹚已知sin cos a a +，求sin -cos a a 的值. ﹙10﹚化简︒--︒︒︒-170cos 110cos 10cos 10sin 212三 课堂达标 1.①cosa=4／5，a ∈（0，π），则tana=（ ）A ．4／3 B ．3／4 C ．±4／3 D ．±3／4②若322παπ<<，则sina=（ ）A. -1／2 B. -3／2 C. 1／2 B. 3／2 ③若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则tana （ ）A ．1 B ． -1 C ．3／4 D ．-4／3 ④已知sina+3cosa ＝0，则a 所在的象限是（ ）象限 A 、第一 B 、第二 C 、第一、三 D 、第二、四 ⑤已知A 是三角形的一个内角，sinA ＋cosA=2／3,则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形⑥已知sinacosa=1／8,则cosa －sina 的值等于（ ）A ．±3／4 B ．±3／2 C ．3／2 D ．-3／2）A ．cos190o B ．sin190o C ．sin190-o D ．cos190-o⑧若sina ，cosa 是方程4x 2+2mx+m=0的两根，则m 的值为（ ） A ．51+ B ．51- C ．51± D ．51--2. ①化简：ο440sin 12-＝④若⑧若3（1（2（3（4 ③23sin （5 ②求（6（7）已知αsin αcos +＝3，求下列各式的值：（1）αsin αcos ；（2）αα33cos sin +；（3）αα44cos sin + （8）已知tana=-4／3，求下列式子的值.（1）a a a a cos 2sin 5cos 4sin +- (2) aa 22sin cos 1- （9）化简下列各式：①ο440sin 12- ②ααααcos 1cos 1cos 1cos 1+-+-+﹙1800＜a ＜2700﹚ ③().1tan cos sin 3--θθθ （10）求证：①αα+=α-αcos sin 1sin 1cos ②x x x x 2222sin cos tan 1tan 1-=+-. （11）求证：ααααsin cos 1cos 1sin -=+ （12）求证：442sin cos 2sin 1θθθ-=-﹙13﹚化简tan α在第二象限 （14）求证：tan 2a-sin 2a=tan 2a ·sin 2a（15）已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是sin θ，cos θ，求θθθθtan 1cos cot 1sin -+-的值。
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同角三角函数的基本关系
编制人：叶艳
学习目标：（1）能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系；
（2）能正确运用进行三角函数式的求值运算；
（3）能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值。
学习重点：同角三角函数基本关系式的推导和应用。
学习难点：基本关系式的应用。
预习测评
对于任一个角α，存在关系式：
1cos sin 22=+αα α=αα
t a n c o s s i n
试用单位圆给出简单证明。
总结：1.“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角的关系 式都成立。
与角的表达式无关
如13cos 3sin 22=+αα，
2.三角函数值的符号由角所在的象限决定。
当堂检测
1.已知sin α＝-
22，且α在第四象限，求cos α和tan α。
2.已知cos α＝ 21
，求sin α和tan α。
3.已知tan α=1.5，求sin α和cos α。
合作探究
1.已知求),1,0(tan ±≠≠=m m m αsin α和cos α
2.已知，3tan =α00270180<<α的值
求αα
cos 21sin -3+
3.已知3-tan =α,求：
（1）ααα
αcos sin cos -sin + （2）αα22sin -cos 1
4.已知23,3tan παπα<<=，求ααsin cos -的值
5.求证
x x x x cos sin 1sin 1cos +=-
6.化简： （1）θθtan cos （2）αα22sin 211cos 2--
7.求证：（1)αααα2244cos sin cos sin -=-
(2)1cos cos sin sin 2224=++αααα
课堂小结：
（1）知识方面：
（2）方法和思想方面：。