数学科一轮学案 第1讲 函数概念与表示2
(新人教)高三数学第一轮复习教案2.2.1函数(1)函数概念
一．课题：函数（1）——函数概念二．教学目的：1. 能用映射的概念理解函数的概念，掌握函数符号“()y f x =”，掌握区间的概念；2. 培养学生理解抽象概念的能力。
三．教学重点、难点：函数的概念 四．教学过程： （一）复习：（提问）1．什么映射？一一映射？2．下列对应是不是从A 到B 的映射？（1）A R =，{|0}B x R x =∈>，f ：||x y x →=； （不是） （2）A B N ==，f ：|3|x y x →=-； （是）（3）{|0}A x R x =∈>，B R =，f ：x y →= （不是） （4）{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，f ：12x y x →=f ：13x y x →= f ：x y x →= f ：16x y x →= （是） （是） （不是） （是） （二）新课讲解： 1．函数的定义：（1）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，自变量x 的取值的集合叫做定义域，自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）近代定义：（从映射的观点定义函数）如果,A B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A B →就叫做A 到B 的函数，记作()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象的集合叫做函数()y f x =的定义域，象的集合C （C B ⊆）叫做函数()y f x =的值域。
说明：①映射f ：A B →，,A B 都是非空的数集；②函数的三要素：定义域、值域、对应法则；③函数符号()y f x =表示“y 是x 的函数”，可简记为函数()f x ，有时也用(),()g x F x 。
④()f a 的意义：自变量x 取确定的值a 时，对应的函数值用符号()f a 表示； ⑤定义域：自变量x 的取值的集合， 值域：函数值y 的集合； ⑥两个函数相同：当且仅当函数的三要素全相同。
函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2
第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。
[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。
[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。
[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。
[2]分段函数的概念。
2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。
3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。
4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。
这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。
【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。
【板演/PPT】PPT演示三个实例。
【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。
相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示学案文(含答案)
高考数学一轮总复习学案：第1讲函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论1．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点． 2．几个常用函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}．(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是相等函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(3)若集合A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)对函数概念理解不透彻； (2)解分段函数不等式时忘记范围； (3)用换元法求解析式，反解时忽视范围．1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是函数．答案：③2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：因为f (x )是分段函数，所以f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，所以x ≤－2或0≤x <1；当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，所以1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]．答案：(－∞，－2]∪[0，10]3．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案：x 2－1(x ≥0)函数的定义域(多维探究) 角度一 求函数的定义域(1)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A ．[0，1]B ．(0，1)C ．[0，1)D ．(0，1](2)(2020·高考北京卷)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是________． 【解析】 (1)由函数f (x )的定义域为[－1，1]，得－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0，1)，故选B ．(2)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x ＞0，所以x ＞0，即定义域为(0，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，＋∞)求解函数定义域的策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f [g (x )]的定义域；②若y ＝f [g (x )]的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简． (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 角度二 已知函数的定义域求参数(1)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)因为－2x ＋a >0， 所以x <a2，所以a2＝1，所以a ＝2.(2)由ax 2－4ax ＋2＞0恒成立， 得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（－4a ）2－4×a ×2＜0，解得0≤a ＜12. 【答案】 (1)D (2)D已知函数定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．[1，2]解析：选B ．要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0， 解得1<x <2. 所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)．2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1，2] 3．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，所以mx 2＋4mx ＋3≠0，所以m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m ＜0，即m ＝0或0＜m ＜34， 所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34求函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________________．(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )的解析式为________________．(3)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________________．(4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为______________． 【解析】 (1)(换元法)令2x＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg2t －1， 即f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)(配凑法)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．(3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (4)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x . 【答案】 (1)f (x )＝lg 2x －1(x ＞1) (2)f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞) (3)f (x )＝x 2－x ＋3 (4)f (x )＝2x求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f [g (x )]＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，得f (x )的表达式．(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝_______． 解析：方法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________________． 解析：因为2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，① 把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f （x ）＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)3．已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________________． 解析：方法一(换元法)：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.方法二(配凑法)：因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1， 即f (x )＝x 2－1，x ≥1. 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)分段函数(多维探究) 角度一 分段函数求值(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x，x ≤0，f （x －3），x >0，则f (5)的值为( )A ．－7B ．－1C ．0D ．12(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，则f [f (－9)]＝________．(3)(2021·广东省七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤02x －1，x ＞0，若f (a －1)＝12，则实数a ＝________．【解析】 (1)f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D ．(2)因为函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，所以f (－9)＝lg 10＝1，所以f [f (－9)]＝f (1)＝－2.(3)当a －1≤0，即a ≤1时，log 2(4－a )＝12，4－a ＝212，故a ＝4－212，不满足a ≤1，舍去．当a －1＞0，即a ＞1时，2a －1－1＝12，2a －1＝32，解得a ＝log 23，满足a ＞1.综上可得a ＝log 23.【答案】 (1)D (2)－2 (3)log 23分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二 分段函数与方程(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜0，3x ，x ≥0，若f [f (－1)]＝9，则实数a ＝( )A ．2B ．4C ．133D ．4或133(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1＜x ＜0，2x ，x ≥0，若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 (1)因为－1＜0，所以f (－1)＝a －2， 所以f (a －2)＝9. 当a －2≥0，即a ≥2时， 3a －2＝9，解得a ＝4.当a －2＜0，即a ＜2时，2(a －2)＋a ＝9，解得a ＝133(舍去)．综上可知a ＝4.故选B ． (2)由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8.当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立．故选D ．【答案】 (1)B (2)D(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参； (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． 角度三 分段函数与不等式(一题多解)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 方法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.所以不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即为1＜2－2x ，解得x ＜0.所以不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D ．方法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，只有当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜0，x ＋1≥0或2x ＜x ＋1＜0时，满足f (x ＋1)＜f (2x )，故x ＜0，所以不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．【答案】 D涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．1．(2021·长沙市统一模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3 x ，x ＞0，x 2，x ≤0，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D ．f (－3)＝3，则f [f (－3)]＝f (3)＝log 33＝1.故选D ．2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x＋a ，x ≤2，f （x －1），x ＞2，若f (3)＝－89，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．19D ．0解析：选B ．f (3)＝f (3－1)＝f (2)＝3－2＋a ＝－89，解得a ＝－1.3．(2021·六校联盟第二次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，1，x ＞0，若f (x －4)＞f (2x －3)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1，4)D ．(－∞，1)解析：选C ．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，1，x ＞0在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持不变，若f (x －4)＞f (2x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －4＜0，2x －3≥0或x －4＜2x －3≤0，解得x ∈(－1，4)．故选C ．4．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：由题可知，1－a 与1＋a 异号，当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1， 所以2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)．当a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1， 所以－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案：－34核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题定义函数问题是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情境，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出函数，再定义一个新概念(如不动点)，把数学知识与方法迁移到这段阅读材料，考生需捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方法，然后解决问题．若函数f (x )满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立，则称函数f (x )为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos (πx )．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．③④【解析】 对于①，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则1x 0＋1＝1x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1＝0(x 0≠0，且x 0≠－1)，显然该方程无实根，所以①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则2x 0＋1＝2x 0＋2，解得x 0＝1，所以②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则lg[(x 0＋1)2＋2]＝lg(x 20＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x 20－2x 0＋3＝0，显然该方程无实根，所以③不是“1的饱和函数”；对于④，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cos 4π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (1)＝cos π3＋cos π＝－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (1)，所以④是“1的饱和函数”．综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④.【答案】 B处理新定义函数问题的常用方法(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，分析有关信息，联想背景函数及其性质，进行类比，捕捉解题灵感，然后解决问题．(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x ，y 取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．(4)构造函数：有些定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．1．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos (x ＋1)解析：选D ．由题意可得准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A ，C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中的函数满足题意．2．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④解析：选C ．对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．故选C ．。
高考数学大一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数及其表示课件理
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
C方法帮∙素养大提升
方法 分类讨论思想在函数中的应用
方法 分类讨论思想在函数中的应用
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
素养提升 当自变量不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.
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叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素.
说明 若两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数 是相同函数.
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
3.函数的表示法 函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.
注意 函数图象的特征:与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用 这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
注意 (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值 范围; (2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式;
归纳总结 y=f(x)的定义域的类型及方法
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注意 (1)分式中,分母不为0; (2)偶次方根中,被开方数非负;
示例3 已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=
.
思维导引 已知复合函数f(g(x))求f(x),可用换元法或配凑法求解.由于f(x)
是二次函数,也可采用待定系数法求解.
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方法总结
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考点2 分段函数（重点）
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诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
•规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要 求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段 的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内 到外依次求值．
•(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求 的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出 相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的 自变量的值是否满足相应段自 诊断·基础知识变量的取 突破·高频考点 值范围 培养·解题能力
不同而分别用几个不同的式子来并表集示，这种函
并集
数称为分段函数．
•分 段 函 数 的 定 义 域 等 于 各 段 函 数 的 定 义 域 的
，其值域等于各段函数的值域的
，分段
函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函
数．
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突破·高频考点
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• 2．函数定义域的求法
类型
x 满足的条件
突破·高频考点
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•三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下 方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合 题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0，
•所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，
(2)函数 y＝xx－ ＋31的值域为________．
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突破·高频考点
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解析 (1)由题意x1＋－32＞x≥00，， 解得－3＜x≤0. (2)y＝xx－＋31＝x＋x＋1－1 4＝1－x＋4 1，因为x＋4 1≠0， 所以 1－x＋4 1≠1.即函数的值域是{y|y≠1}．
(√)
(8)已知 f( x－1)＝x，则 f(x)＝(x＋1)2.
高三数学(文)一轮教学案：第二章第1讲 函数的概念及其表示 Word版含解析
第二章 函数的概念及其基本性质第1讲 函数的概念及其表示考纲展示 命题探究考点一 函数的概念及其表示1 函数与映射的概念函数映射两集合 A ，BA ，B 是两个非空数集 A ，B 是两个非空集合 对应关系 f ：A →B按照某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数f (x )和它对应 按某一个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 名称 那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B 是一个映射在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．3 函数的三要素定义域、值域和对应关系．4 相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．5 函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 注意点 求函数的定义域需注意的问题 (1)求定义域时对于解析式先不要化简．(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.1．思维辨析(1)f (x )＝x 2x 与g (x )＝x 是同一个函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一函数．( ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( ) (5)函数是建立在其定义域到值域的映射．( )(6)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．(1)函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 (1)C (2)B解析 (1)由f (x )解析式得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，∴f (x )的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．(2)由函数的概念知C 错，由函数的定义域M 知A 错，再由函数的值域N 知D 错，故选B.3．函数f (x )＝ln (x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C.[考法综述] 求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解．函数解析式的求解与应用是函数内容的基础，要求在熟练掌握有关技能的同时，注意换元法、待定系数法等数学思想方法的运用．高考中以选择题或填空题形式考查，属于基础题．命题法1 求函数的定义域典例1 (1)f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) (2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．(2)∵0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， ∴0≤x <1，即函数g (x )的定义域是[0,1)． [答案] (1)C (2)[0,1)【解题法】 函数定义域的求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题法2 求函数的解析式典例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝f (－2)，f (－1)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝f (－2)＝f (－3)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9.(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝－12x (x ＋1)．[答案] (1)C (2)－12x (x ＋1)【解题法】 求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x (或f (－x ))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f (x )．1.函数y ＝x ln (1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.故函数y ＝x ln (1－x )的定义域为[0,1)．故选B.2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )． ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.3.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案 B解析 令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.4．已知f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝x －2，则f [g (2)]与g [f (2)]的大小关系是( )A ．f [g (2)]>g [f (2)]B ．f [g (2)]＝g [f (2)]C ．f [g (2)]<g [f (2)]D ．无法确定答案 A解析 g (2)＝0，∴f [g (2)]＝f (0)＝0.又f (2)＝0， ∴g [f (2)]＝g (0)＝－2.∴f [g (2)]>g [f (2)]．故选A.5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 解法一：当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.解法二：当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－1f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1a 0＋b ＝0，显然无解． 所以a ＋b ＝－32.6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.答案 23x ＋13解析 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x －1， ①将①式代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝4f (x )－2x －1， 故f (x )＝23x ＋13.考点二 分段函数及其应用1 分段函数的定义若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．2 分段函数的定义域分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．注意点 分段函数求值时需注意的问题 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.1．思维辨析(1)分段函数分几部分就是几个函数．( )(2)f (x )＝|x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ≥0－x x <0是同一函数．( )(3)函数是特殊的映射．( )(4)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( )(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)，x ＋1 (x >1或x <－1)，则f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)，－x ＋1 (x >1或x <－1).( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23D.139(2)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 (1)D (2)D解析 (1)由题意知f (3)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.(2)由函数图象可知，张大爷先是离家越来越远，然后在一段时间内他离家的距离不变，最后他离家越来越近，分析可知D 正确．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，＋∞)，若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析 若a >2，则f (2)＝2与已知矛盾；若a ≤2，则f (2)＝22＝4成立．故a 的取值范围是(－∞，2]．[考法综述] 在分段函数的考查中，主要以分段函数求值、解分段函数有关的不等式、分段函数求参数(范围)等形式出现，主要以选择题的形式出现，题目一般不难，偶尔也会出现难度较高的题目．命题法 分段函数求值典例 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.(2)当a ≥0时，f (a )＝－a 2≤0，又f (0)＝0，故由f (f (a ))＝f (－a 2)＝a 4－a 2≤2，得a 2≤2，∴0≤a ≤ 2.当－1<a <0时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)<0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝(a 2＋a )2＋(a 2＋a )≤2，得a 2＋a －1≤0，得－1＋52≤a ≤－1＋52，则有－1<a <0.当a ≤－1时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)≥0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝－(a 2＋a )2≤2，得a ∈R ，故a ≤－1.综上，a 的取值范围为(－∞，2]． [答案] (1)1 (2)(－∞，2]【解题法】 分段函数问题的解题策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式，代入求解．(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)． 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 由题意知，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <12a ，a ≥1.由f (a )<1，解得a <23.所以f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )<12f (a )，f (a )≥1⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a <2323a －1，23≤a ＜122a，a ≥1故当a <23时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为9a －4＝23a －1，即18a －8＝23a . 如图，分别作出直线y ＝18x －8与函数y ＝23x ＝8x 的图象，根据图象分析可知，A 点横坐标为23，故a <23不符合题意．当23≤a <1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为23a －1＝23a －1，显然方程恒成立．当a ≥1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为22a ＝22a ，显然方程恒成立．所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.3．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B解析 因为f (x )是R 上的增函数，又a >1，所以当x >0时，f (x )<f (ax )，即g (x )<0；当x ＝0时，f (x )＝f (ax )，即g (x )＝0；当x <0时，f (x )>f (ax )，即g (x )>0.由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0知，sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >0，0，x ＝0，1，x <0∴sgn[g (x )]＝－sgn x .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案 D解析 作出f (x )的图象如图所示，可排除A 、B 、C ，故D 正确．5．设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2 D ．9答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 故应选C. 7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32 B ．－34 C ．－32或－34 D.32或－34[错解][错因分析] 在解题过程中误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论，直接代入求解，导致错误．[正解] (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1则 f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a ， ∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴2－a ＝－1－3a ， ∴a ＝－32(舍)；(2)当a <0时，1－a >1,1＋a <1，则 f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴－1－a ＝3a ＋2，∴a ＝－34.综上可知a ＝－34，故选B. [答案] B [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[·枣强中学周测]已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18x B ．f ：x →y ＝14x C ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x答案 D解析 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．2. [·冀州中学预测]函数f (x )＝ln (x ＋3)1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析 ∵f (x )＝ln (x ＋3)1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，即－3<x <0. 3．[·冀州中学猜题]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1答案 D解析 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上a ＝±1.4．[·武邑中学仿真]已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10.其中n ∈N *，则f (6)的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 由函数解析式，可知f (6)＝f (f (11))＝f (8)＝f (f (13))＝f (10)＝10－3＝7.5．[·衡水中学模拟]已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30答案 C解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.6．[·冀州中学期中]函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.45B.54C.34D.43答案 D解析 1－x (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0<11－x (1－x )≤43.7．[·衡水中学仿真]已知函数f (x )的定义域为(0,2]，则函数f (x ＋1)的定义域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1,3]C ．[5，3)D ．(0，5)答案 B解析 根据题意，得0<x ＋1≤2，即0<x ＋1≤4，解得－1<x ≤3，故选B.8．[·枣强中学预测]设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，则f (f (－4))＝________.答案 4解析 因为x ＝－4<0，所以f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，因为x ＝16>0，所以f (16)＝16＝4.9．[·冀州中学一轮检测]函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________． 答案 (－∞，1]解析 函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)， 故t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故值域为(－∞，1]． 10．[·武邑中学一轮检测]已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .11．[·武邑中学月考]甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解 当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ； 当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．[·衡水中学热身]已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0. 解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0. 即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32.∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174. ∴f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减． ∴－194≤f (a )≤4.即f (a )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4. 能力组13.[·衡水二中期中]函数y ＝log 12 (x 2－1)的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．(－3，－1)∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)答案 A 解析由题意得⎩⎨⎧log 12(x 2－1)≥0，x 2－1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤1，x 2－1>0，也就是1<x 2≤2，所以x ∈[－2，－1)∪(1，2]．14．[·枣强中学模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，x 13 ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13 ≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x ≤ln 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤8⇒x <1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]． 15．[·衡水二中期末]若函数f (x )满足f (x )＋2f (1－x )＝x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝23－x解析 ∵f (x )＋2f (1－x )＝x ，① ∴f (1－x )＋2f (x )＝1－x .② ①－2×②，得f (x )＝－x ＋23.16. [·武邑中学猜题]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧cx ＋1 (0<x <c )，2－xc 2＋1(c ≤x <1)满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 解 (1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ， 由f (c 2)＝98得c 3＋1＝98，解得c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，2－4x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f (x )>28＋1，得当0<x <12时，则有12x ＋1>28＋1，解得24<x <12； 当12≤x <1时，则有2－4x＋1>28＋1，解得12≤x <58.所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪24<x <58.。
高三数学一轮复习第1课时三角函数的基本概念学案
高三数学一轮复习第1课时三角函数的基本概念学案【学习目标】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化．3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意义．预习案【课本导读】1．角的概念(1)象限角：角α的终边落在就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限．(2)终边相同的角：．(3)与α终边相同的角的集合为(4)各象限角的集合为，，，2．弧度制(1)什么叫1度的角：(2)什么叫1弧度的角：(3)1°＝弧度；1弧度＝度．(4)扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝，面积S＝＝ .3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ .(2)三角函数在各象限的符号是：sinαcosαtanαⅠⅡⅢⅣ4．三角函数线如图所示，正弦线为 ；余弦线为 ；正切线为 .【教材回归】1．下列命题为真命题的是( ) A ．角α＝k π＋π3(k ∈Z )是第一象限角 B ．若sin α＝sin π7，则α＝π7C ．－300°角与60°角的终边相同D ．若A ＝{α|α＝2k π，k ∈Z }，B ＝{α|α＝4k π，k ∈Z }，则A ＝B2．若600°角的终边上有一点P (－4，a )，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．－4 3 C ．±4 3 D. 3 3．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( ) A ．2 B.π3 C.π6 D.2π34．已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为______．5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 探 究 案 题型一： 角的有关概念例1 设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．思考题1 (1)在区间[－720°，0°]内找出所有与45°角终边相同的角β；(2)设集合M ＝{x |x ＝k 2³180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4³180°＋45°，k ∈Z }，那么两集合的关系是什么？例2 已知角 α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限角？②α2是第几象限角？③2α是第几象限角？思考题2 (1)如果α为第一象限角，那么①sin2α，②cos2α；③sin α2；④cos α2中必定为正值的是________．(2)若sinθ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 题型二：三角函数的定义例3 已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，则sin α＋1tan α的值为________．思考题3 (1)若角θ的终边与函数y ＝－2|x |的图像重合，求θ的各三角函数值． (2)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )题型三：利用三角函数线解三角不等式例4 (1)不等式sin x ≥32的解集为__________ ． (2)不等式cos x ≥－12的解集为__________．(3)函数f (x )＝2sin x ＋1＋lg(2cos x －2)的定义域为_____．思考题4 (1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域 ．(2)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A．若α、β是第一象限的角，则cosα>cosβ B．若α、β是第二象限的角，则tanα>tanβC．若α、β是第三象限的角，则cosα>cosβD．若α、β是第四象限的角，则tanα>tanβ题型四：弧度制的应用例5已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？思考题5若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？训练案1．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2.其中正确的命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．42．sin 2²cos 3²tan 4的值( )A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在3．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A．2 B．－2 C．2－π2D.π2－25．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ。
高考数学一轮复习总教案：2.1函数的概念及表示法
第二章 函 数高考导航 考试要求重难点击 命题展望1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax (a ＞0且a≠1)互为反函数.11.了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ， y ＝x2， y ＝x3 ,y ＝x 1， y ＝21x 的图象，了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 本章重点：1.函数的概念及其三要素； 2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义；3.函数的最大(小)值；4.指数函数与对数函数的概念和性质；5.函数的图象及其变换；6.函数的零点与方程的根之间的关系；7.函数模型的建立及其应用. 本章难点：1.函数概念的理解；2.函数单调性的判断；3.函数图象的变换及其应用；4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；6.函数模型的建立及求解.高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一 求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f(x)的表达式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f(x)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t2－t ＋1，所以f(x)＝x2－x ＋1. (2)由f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2 f(x)＝3x2－5x ＋3，解得f(x)＝x2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x+-11)＝2211x x +-，求f(x)的解析式.【解析】设x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，所以f(t)＝22)11(1)11(1t t t t +-++--＝212t t +， 所以f(x)＝212x x+(x≠－1).题型二 求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要⎩⎨⎧>->-,09,0222x x x 即⎩⎨⎧<<-<>,33,02x x x 或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3). (2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4]. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待. 【变式训练2】已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ， 所以y ＝22πx ＋(2l －π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx.由实际意义知2l －π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜π+2l.即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π+2l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( ) 【解析】由题意得y ＝10x(2≤x≤10)，选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+<+).0(1),0(32x x x x(1)求f(1)＋f(－1)的值； (2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4. (2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0.所以a ＝－2或a ＝0. (3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0； 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1. 所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C.总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.。
2019-2020学年高考数学一轮复习 函数的定义与表示教案.doc
2019-2020学年高考数学一轮复习 函数的定义与表示教案一、考纲要求：函数的概念(B 级要求) 二、复习目标：理解函数的概念，会判断同一函数；会选择恰当的方法表示函数且能求常见函数的函数值；能写出简单情境中的分段函数；会画函数的图象． 三、重点难点：会判断同一函数、选择恰当的方法表示函数、求常见函数的函数值． 四、要点梳理：每个元素x (1)函数的定义域、值域：在函数(),y f x x A =∈中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的______；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的 ，函数()y f x =的值域是集合B 的 ．（2）函数的三要素：___________,__________,___________.(3) 相等函数：________________________________________________________． 3．函数的表示方法：___________,__________,___________.4．分段函数：________________________________________________________． 五、基础自测：1．设集合{}{}|12,|14A x x B x x =≤≤=≤≤，有以下四个对应法则：①2:f x y x →=；②:32f x y x →=-；③:4f x y x →=-+；④2:4f x y x →=-，其中不能构成从A 到B 的函数的是____________.2．以下给出的对应法则是从集合到B 的映射的有 (填序号)．①集合{}A P P =是数轴上的点，集合B =R ，对应法则:f 数轴上的点与它所代表的实数对应；②集合{}A P P =是平面直角坐标系中的点，集合(){},,B x y x y =∈∈R R ，对应法则:f 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合{},A x x =是三角形集合{}B x x =是圆，对应法则:f 每一个三角形都对应它的内切圆；④集合{A x x =是致远}中学的班级，集合{}B x x =是致远中学的学生，对应法则:f 每一个班级都对应班里的学生.3．已知函数(),()f x g x 分别由列表法给出：1则((1))__________;(())(())f g f g x g f x =>的______x =．4．下列函数中：22lg (1);(2));(3)10;(4)lg10,xx x y y y y x====与函数y x =表示同一函数的是___________.5．若()()()()11f a b f a f b f +==且，()()()()()()232014122013f f f f f f +++= ．六、典例精讲:例1:求函数的解析式及函数值（1）已知2(1)lg ,f x x+=求()f x ；（2）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（3）定义在N 上的函数()f x 满足2(2000)(),((6))(2000)n n f n f f n n +≤⎧=⎨->⎩求(2014)f 的值．变式：（1）设2(1),f x x -=则1()_______2f =；(2) 已知2211()1(0),f x x x x x +=++>则 ()f x = ； （3）设2(4)()(1)(4)x x f x f x x -⎧≥=⎨+<⎩，则2(log 3)f = ．例2： 已知函数()21, 01 , 0, <0x x f x x x x -⎧>⎪==⎨⎪-⎩．（1）画出函数的图象； （2）求()()()()1,1,1f f ff --的值．例3:如图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设点P 移动的路程为x ，ABP ∆的面积为()y f x =． （1）求ABP ∆的面积与点P 移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并由图象求的最大值．A D例4：已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+ （1）若(2)3f =，求(1)f ； （2）若(0)f a =，求()f a ；（3）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求()f x 的解析式．七、千思百练1．若[]()21,1,5f x x x =+∈，则(23)________________f x -=．2．有以下判断：①()()()()1010x xf xg x x x ≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩与表示同一个函数；②函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个；③()()2221,21f x x x g t t t =-+=-+与是同一个函数；④若()11,02f x x x f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则．其中正确的是 (填序号). 3．已知2log (0)().2(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则_________a =．4．已知2(1cos )sin f x x -=，则()________________f x =5．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，则((5))___f f =． 6．设函数()22 11x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若()4f a >，则实数a 的取值范围是 ．7．设集合()()()()(){}11M f x t f x f t f t f =+=+存在实数使得函数满足，则下列函数(,,,a b c k 都是常数)：①()0,0y kx b k b =+≠≠； ②()1xy a a =>；③()0ky k x=≠； ④sin y x =．其中属于集合M 的函数是 (填序号)． 8．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3,,,,,A k B a a a a k x A y B *==+∈∈∈N :31f x y x →=+是从定义域A 到值域B 的一个函数，求,a k 的值．9.已知二次函数()2f x ax bx =+满足条件：①对任意x ∈R ，均有()()42f x f x -=-；②函数()f x 的图象与直线y x =相切．(1)求()f x 的解析式；(2)当且仅当[]4,x m ∈时，()f x t x -≤恒成立，试求,t m 的值．10．函数()f x 对一切实数,x y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()10f =． (1)求()0f 的值；(2)试确定函数()f x 的解析式八、学后反思。
高考数学第一轮复习 函数的概念及表示学案 理-人教版高三全册数学学案
函数的概念与表示一、知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页）1、 函数（1）、函数的定义：（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射映射的定义：函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法 求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域 例1：1. 【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞2、若函数f(x+1)的定义域是[1,2],则函数x 的定义域为________.解析:∵f(x+1)的定义域是[1,2],∴f(x)的定义域为[2,3],对于函数x 满足x x 的定义域为[4,9].答案:[4,9]3、函数y=253x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0或y≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72.答案: 52≤x<3或3<x≤72.探究二：求函数的解析式 例2．（1）已知3311()f x x xx+=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ． （5）、已知是定义在实数R 上的奇函数，当，,的解析式。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示课件
运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ，13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同，并且___对__应__关__系___完全一致，则这
两个函数为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法．
知识点二 分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对函数称为分段函数．分段函数表示的是一个 函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1．函数的概念
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 对应关系f：A→B 的__任__意____一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y＝ x－1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中 函数的值域不是[0,2]．
的定义域为x2<x<3，且x≠52 .
高三数学一轮复习精品教案1：2.1函数及其表示教学设计
2.1 函数及其表示1．函数映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数． 3．误把分段函数理解为几种函数组成． 『试一试』1．(2013·苏锡常镇一调)已知常数t 是负实数，则函数f (x )＝12t 2－tx －x 2的定义域是________． 『解析』因为f (x )＝12t 2－tx －x 2＝－x ＋3t x ＋4t ，则(－x ＋3t )(x ＋4t )≥0.又t <0，所以x ∈『3t ，－4t 』． 『答案』『3t ，－4t 』2．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (0))＝________.『解析』因为f (0)＝30＝1，所以f (f (0))＝f (1)＝log 21＝0. 『答案』0求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )． 『练一练』1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于________． 『解析』f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7. 『答案』2x ＋72．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________.『解析』由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴f (x )＝x 2－4x ＋3. 『答案』x 2－4x ＋3考点一函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填写序号)①y ＝x －1与y ＝x －12②y ＝x －1与y ＝x －1x －1 ③y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2 ④y ＝lg x －2与y ＝lgx 100『答案』④2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ (1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．『解析』(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (3)同一函数．理由同(2)．『备课札记』 『类题通法』两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．考点二函数的定义域问题函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：1求给定函数解析式的定义域； 2已知f x 的定义域，求f g x 的定义域；3已知定义域确定参数问题.角度一 求给定函数解析式的定义域 1．(1)(2013·山东高考改编)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3 的定义域为________． (2)(2013·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 『解析』(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1』．『答案』(1)(－3,0』 (2)(0,1』角度二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．已知函数f (x )的定义域是『－1,1』，求f (log 2x )的定义域． 『解析』∵函数f (x )的定义域是『－1,1』，∴－1≤log 2x ≤1， ∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2. 『备课札记』 角度三 已知定义域确定参数问题 3．(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．『解析』函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 『答案』『－1,0』 『类题通法』简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为『a ，b 』，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．考点三求函数的解析式『典例』 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．(4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 『解析』 (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．(4)当x ∈(－1,1)时，有 2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． ①以－x 代x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)． ② 由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．『备课札记』 『类题通法』求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)； (3)配凑法； (4)解方程组法． 『针对训练』1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 『解析』法一：设t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． 『解析』设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.考点四分段函数『典例』 (2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．『解析』 当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.『答案』 －34『备课札记』 『类题通法』分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 『针对训练』设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈－∞，1，x 2，x ∈[1，＋∞，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．『解析』当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2； 当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2. 『答案』(－∞，－2)∪(2，＋∞)『课堂练通考点』1．(2013·南京一模)函数y ＝2x －x 2的定义域是________．『解析』由2x －x 2≥0得0≤x ≤2，故函数的定义域为『0,2』 『解析』『0,2』2．(2013·苏北四市二调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x <0，－2－x ， x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________．『解析』当x <0时，f (x )＝2x ∈(0,1)，故y ＝f (f (x ))＝－2－f (x )∈⎝⎛⎭⎫－1，－12；当x >0时，f (x )＝－2－x ∈(－1,0)，故y ＝f (f (x ))＝2f (x )∈⎝⎛⎭⎫12，1，从而原函数的值域为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1. 『答案』⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1 3．函数y ＝(x ＋1)0＋ln(－x )的定义域为________．『解析』由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1x <0⇒x ∈(－∞，－1)∪(－1,0)．『答案』(－∞，－1)∪(－1,0)4．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 『解析』由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2. 故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 『答案』6 5．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式． 『解析』(1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0； f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.同理可得g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1或x >1，3－x 2，－1<x <1.。
高三数学一轮复习教案第一节函数概念
第二章函数【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设集合，，从到有四种对应如图所示：其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．3.写出下列函数定义域：(1)的定义域为______________；(2)的定义域为______________；(3)的定义域为______________；(4)的定义域为_________________．4．已知三个函数:(1)；(2)；(3)．写出使各函数式有意义时，，的约束条件：(1)______________________；(2)______________________；(3)______________________________．5.写出下列函数值域：(1)，；值域是．(2)；值域是．(3)，．值域是．【范例解析】例1.设有函数组：①，；②，；③，；④，．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例2.（1）求下列函数的定义域：①；②；（2）设函数，则函数的定义域为_____________．分析：（2）先求的定义域，得不等式组求解．解：（1）①由题意得：解得且或且，故定义域为．②由题意得：，解得，故定义域为．（2）由，解得，则故的定义域为．点评：（1）确定函数的定义域主要根据是使式子有意义，列出不等式（组）求解；（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域问题，由解出x的范围．例3.若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．分析：化归为恒成立问题．解：由对任意恒成立，当时，成立；当时，不成立；当时，，解得．综上，实数a的取值范围是．点评：注意讨论二次项系数的情况．例4.求下列函数的值域：（1），；（2）；（3）．分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（1）解：，，函数的值域为；（2）解法一：由，，则，，故函数值域为．解法二：由，则，，，，故函数值域为．（3）解：令，则，，当时，，故函数值域为．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数f(x)＝的定义域是___________．2．函数的定义域为_________________．3.函数的值域为________________．4. 函数的值域为_____________．5．函数的定义域为_____________________．6．若函数的定义域为R，则实数的取值范围______________．7．设，则的定义域为______________．8．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则____4___．9. 设集合对任意实数x恒成立}，则下列结论中：①PQ；②QP；③P=Q；④P Q=．其中正确结论的序号有______①______．(1)求的值；(2)若2时，求的值；(3)求满足的的值．解：（1）；（2） 4；（3）1，411.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．(1) 求A；(2) 若BA，求实数a的取值范围．解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1，即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞)．(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，∴≤a<1或a≤－2，故当BA时，实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)．12.对定义域分别是，的函数，，规定：函数（1）若函数，，，，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域．解：（1）（2）当时，；当时，；当时，；综上可知，．。
2020年高三数学第一轮复习教案-函数-第一节 函数及其表示
【典型例题】
考点三分段函数 考向1 求分段函数的函数值
解
【典型例题】
考点三分段函数 考向2 分段函数的含参问题
解
【典型例题】
考点三分段函数 考向3 分段函数的增减性
解
【典题演练】
D
B
D
D
【典题演练】
D
B
【典题演练】
0
【典题演练】
【作 业】
1、完成新数学中的【典例剖析】 2、完成课时作业（四）
第二章 函数
第一节 函数及其表示
【知识必备】
【知识必备】
【典型例题】
考点一函数定义域 考向1 求给定函数解析式的定义域
解
【典型例题】
考点一函数定义域 考向2求抽象函数的定义域
解
【典型例题】
考点二函数的解析式
解
待定系数法
【典型例题】
考点二函数的解析式
解
解函方程
【典型例题】
考点二函数的解析式 解
再见
高三数学一轮复习教案：第二章第一节函数概念.doc
第二章函数【知识导读】表示方法概念一般化定义域值域图像单调性奇偶性幂函数特殊化具体化基本初等指数映射指数函数函数函数Ⅰ互逆对数函数对数二次函数函数与方程应用问题【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微” ．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重” ．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第 1 课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组： ① yx ，yx 2 ；② y x ，y3x 3；③ yx ，yx 1 (x 0),；④ y (x，x10),x lg x 1 ， y lgx．其中表示同一个函数的有___②④⑤ ___．y ；⑤ yx102. 设集合 M { x 0 x 2} ， N{ y 0 y 2} ，从 M 到 N 有四种对应如图所示：yy y y 2222O 1 2 xO 1 2 xO 1 2xO1 2 x①②③④其中能表示为M 到 N 的函数关系的有 _____②③ ____．3.写出下列函数定义域：(1) f (x)1 3x 的定义域为R；(2) f (x)1{ x x1}x 2的定义域为 ______________ ；11[ 1,0)(0,)( x 1)0(3) f ( x) x 1的定义域为 (,1) ( 1,0) ．的定义域为 ______________； (4) f ( x)xxx4．已知三个函数 :(1) yP( x)2 nP( x) (nN *) ； (3) ylog Q ( x) P( x) ．写出使各函数式有意； (2) yQ( x)义时， P( x) ， Q( x) 的约束条件：Q( x) 0P(x) 0Q( x) 0 且P( x) 0 且Q( x) 1(1)______________________ ； (2)______________________ ；(3)______________________________ ．5.写出下列函数值域： (1) f ( x) x 2 x ， x {1,2,3} ；值域是 {2,6,12} ．(2) f ( x)x 22x 2 ；值域是 [1,) ．(3) f ( x) x 1， x (1,2] ．值域是 (2,3] ．【范例解析】例 1. 设有函数组：①f (x)x 21， g( x) x 1 ；② f ( x) x 1 x 1 ， g(x)x 2 1 ；③x1f (x)x 2 2x 1 ， g( x)x 1 ；④ f ( x) 2x 1 ， g(t) 2t 1 ．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中， f (x) 的定义域为 { x x 1} ， g( x) 的定义域为 R ，故不是同一函数；在②中， f ( x) 的定义域为 [1, ) ， g(x) 的定义域为 ( , 1] [1,) ，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时， 才能表示同一函数． 而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例 2.（ 1）求下列函数的定义域：①y1 x2 1 ；② f (x)x ； 2 xlog 1 (2 x)2（ 2）设函数 f ( x) ln1 x，则函数 g( x) f ( x) f ( 1) 的定义域为 _____________．1 x2 x分析：（ 2）先求 f (x) 的定义域，得不等式组求解．解：（ 1）① 由题意得：2 x0,1 且 x2 或 x 1且x2x 2 1 解得 x，0,故定义域为 (, 2) ( 2, 1] [1,2)(2,) ．② 由题意得： log 1 (2 x)0，解得 1x 2，故定义域为 (1,2) ．21x1 x1,2 x 2,（ 2）由 0 ，解得 1 x 1，则21 x1 x 1或 x 1.11.x故 g(x) 的定义域为 ( 2, 1) (1,2) ．点评：（ 1）确定函数的定义域主要根据是使式子有意义，列出不等式（组）求解； （ 2）已知函数 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ，求函数 f [ g( x)] 的定义域问题，由 a g( x) b 解出 x 的范围．例 3.若函数 y( a 2 1)x 2 (a 1)x2 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围．a 1分析：化归为恒成立问题．解：由 ( a 21)x 2 (a 1)x21 0 对任意 x R 恒成立，a当 a 1时， 1 0 成立； 当 a1 时，不成立；当 a 21 0 时，(a 1)2 4( a 2 1) 2 0 ，解得 1 a 9 ．a 1综上，实数 a 的取值范围是 [1,9] ．2点评：注意讨论二次项系数a 1 0 的情况．（ 1） yx 2 4x 2 ， x [0,3) ；（ 2）yx 2( x R) ；x 21（ 3） y x 2 x 1 ．分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（ 1） 解： yx 2 4x 2( x 2) 2 2， Q x [0,3) ， 函数的值域为 [ 2,2] ；（ 2） 解法一：由 y x 21 ，Q 01 1，则 Q 1 1 0 ， 0 y 1 ，故函x 2 1 1 1 xx 2 1[0,1) x 2 2 1数值域为 ．解法二：由 yx 2 ，则 x2y ，Q x20 ，y，0 y 1，故函数值域为 [0,1) ．x 2 11 y1 y（ 3）解：令x1 t (t 0) ，则 x t2 1， y t 22t 1 (t1)2 2 ，当 t 0 时， y 2 ，故函数值域为 [ 2, ) ．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数 f(x)＝ 1 2 x的定义域是( ,0]．2．函数 f ( x)1的定义域为(1,2) (2,3)log 2 ( x 2 4 x 3) _________________．3. 函数 y12 ( xR) 的值域为(0,1]．1x4. 函数 y2x 313( , 4]4x 的值域为 _____________．5．函数 ylog 0.5 (4x 23x) 的定义域为 [1,0) (3,1]44．6 ．若函数 f x2 x22ax a1 的定义域为 ，则实数 a 的取值范围 [ 1,0] ．R ______________7．设 fxlg2 x ，则 fx f2 的定义域为 4, 11,4 ．2x 2x8．设 a1，函数 f (x) log a x 在区间 [ a,2 a] 上的最大值与最小值之差为1，则 a ____4___．29. 设集合 P { m | 1 m0}, Q { m R | mx 2 4mx 40 对任意实数 x 恒成立 }，则下列结论中：① P üQ ；② Q üP ；③ P=Q ；④ P Q= ．其中正确结论的序号有 ______① ______． 10. 已知函数 f ( x) 与 g( x) 分别由下表给出：x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 x 1 2 3 4 g(x)2143(1) 求 g ( f (3)) 的值； (2)若 g( f (x)) 2 时，求 x 的值；(3)求满足 f g x g f x 的 x 的值．解：（ 1） g ( f (3)) 3 ；（2） 4 ； （3）1， 411. 记函数 f(x)= 2x 3的定义域为 A ， g(x)=lg[(x － a － 1)(2a － x)](a<1) 的定义域为 B ．x 1(1) 求 A ；(2) 若 B A ，求实数 a 的取值范围． 解： (1)由 2－x3 ≥0，得 x 1 ≥0， x<－1 或 x ≥1， 即 A=(－ ∞，－ 1)∪ [1， + ∞)． x 1 x 1(2) 由 (x － a － 1)(2a － x)>0，得 (x － a － 1)(x －2a)<0． ∵ a<1， ∴ a+1>2a ，∴ B=(2a ， a+1) ． ∵ B1A ， ∴2a ≥1或 a+1 ≤－1，即 a ≥或 a ≤－ 2，而 a<1，121 ∴A 时， 实数 a 的取值范围是 (－ ∞,－2]∪ [≤a<1 或 a ≤－2，故当 B,1)．2212. 对 定 义 域 分 别 是 D f ， D g的 函 数 y f (x) ， yg ( x) ， 规 定 ： 函 数f ( x) g( x),当 x D f 且 x Dg , h(x)f ( x), 当 x D f 且 x Dg ,g(x),当 x D f 且 x D g .（ 1）若函数 f ( x)x 1， D f( , 2] ， g( x)2 x ， D g [1,) ，写出函数 h(x) 的解析式；（ 2）求问题（ 1）中函数 h( x) 的值域．(x 1)(2 x),1x 2,解：（ 1） h( x)x 1, x 1,2x,x 2.（ 2）当1 x2 时，1h(x)[0,]；当 x1h(x)；当 x 2 时， h( x) 0；4时，1综上可知， h( x) (, ] ．4。
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一讲函数及其表示学案含解析
第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A对应f:A→B是一个2。
函数（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。
（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。
(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一,在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．(×）(2)函数f（x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．（×)(3)已知f（x）＝m（x∈R)，则f(m3)等于m3.(×）(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．（×)（5)f（x)＝错误!则f(－x）＝错误!（√）题组二走进教材2．（必修P23T2改编）下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5)＝lg x，则f(2)等于(D) A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析]解法一：由题意知x〉0，令t＝x5，则t〉0，x＝t错误!，∴f（t）＝lg t错误!＝错误!lg t，即f（x)＝错误!lg x(x>0)，∴f(2）＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f(2）＝lg 2错误!＝错误!lg 2。
【2019年高考一轮课程】理科数学 全国通用版函数的概念与表示-教案
一、自我诊断 知己知彼1. 已知下列式子：①y x =；②y x =；③222x y +=；④()() 1 1x x y x x ≥⎧⎪=⎨-≤⎪⎩； 其中可以表示为y 关于x 的函数的序号是 解答：①，根据函数定义：对任意D x ∈，都只有唯一的y 值与它对应.2. 函数y =的定义域是解答：⎩⎨⎧-≥≠⇒≠-+1011x x x ∴函数的定义域为[)()+∞-,00,1 .3. 若()()()()()1 01 0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()1f -= ；()()1f f -= 解答：()()()()211110,1=---=-∴∞-∈-f()[)()[]()()612221,021=+==-∴+∞∈=-f f f f .4. 函数12xy x-=+的值域是 解答：12322321-+=+--=+-=x x x x x y 又023≠+x()()+∞--∞-∈∴,11, y 二．温故知新 夯实基础1.函数的概念是指解答：在某个变化过程中有两个变量y x ,如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数，记作()D x x f y ∈=,，其中x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做函数的定义域，和x 的相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 2.函数的三要素是 解答：定义域，对应法则，值域3.函数的图象特征是 解答：直线()R a a x ∈=与图象至多有一个交点.三、典例剖析 思维拓展考点一 判定两个函数表示同一个函数例题1. 下列各组函数()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）()A ()2x f x x =，()g x x = ()B ()1f x x =-，()()()1 11 1x x g x x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ()C ()()2f x x =+，()1g x = ()D ()2fx =，()g x =分析：判断两个函数是否表示同一函数，根据函数定义，只有当两个函数的定义域、对应法则及值域都相同时，两函数才是同一函数.解答：()A ()C ()D 中两函数定义域不同，而()B 中定义域和对应法则都相同，选B . 评注：在函数三要素中，定义域和对应法则起决定作用，所以通常只需判断定义域和对应法则是否都相同即可.考点二 求函数的定义域例题2 求下列函数的定义域： （1）y =（2）()01x y x x-=+（3）y （4）x x y sin lg 162+-=分析：求函数的自然定义域，即使得函数解析式有意义的自变量取值范围.注意以下几点：分母不为零，偶次方根内式子非负，指数幂的指数为零时，底数不能为零，对数的底数大于零且不为1，真数大于零，正切函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭等等解答：（1）()()+∞-∞-∈⇒>--⇒≠--,21,020222 x x x x x（2）()()+∞∈⇒⎩⎨⎧>≠⇒⎩⎨⎧≠+≠-,11,001001 x x x x x x （3）[)+∞∈⇒≥⇒≥-,1010lg lg 01lg x x x（4）[)()πππππ,0,4,22440sin 0162 --∈⇒⎩⎨⎧∈+<<≤≤-⇒⎩⎨⎧>≥-x Z k k x k x x x评注：本题是求函数定义域是常见形式，需要牢固掌握.例题3 若函数()f x 的定义域是()0,1，求函数()1f x +的定义域分析：对于函数()x f 而言，对应法则f 的作用对象为x ，所以()1,0既是定义域，也是对应法则f 的作用对象的取值范围；而对于()1+x f ，对应法则f 的作用对象为1+x ，而定义域范围指的是自变量x 的范围，因此需要先求出1+x 的范围，再求x 的范围 解答： 函数()x f 的定义域是()0,1∴函数()1+x f 中，()1,01∈+x ()0,1-∈∴x 即函数()1+x f 的定义域是()0,1-评注：抽象函数求定义域的一般形式：若()x f 的定义域为D ,求()[]x g f 的定义域. 同一f 作用对象的取值范围相同，即()x f 的定义域为D f ⇒的作用对象x 的取值范围为D ⇒()[]x g f 中，f 的作用对象为()D x g ∈?∈⇒x （即为()[]x g f 的定义域）考点三 求函数解析式例题4 已知()2122f x x x +=-+，求()f x分析：本题的实质是已知复合函数解析式，求外层函数解析式.只需将内层函数看成一个整体，通过换元法即可求得. 解答：设1+=x t ，则1-=t x∴由()2122f x x x +=-+得()()()54212122+-=+---=t t t t t f∴()542+-=x x x f评注：本题也可直接将222+-x x 转化成f 的作用对象1+x 的形式，即()()()⇒+---=+-=+514122122x x x x x f ()542+-=x x x f考点四 求函数的值域例题5 求下列函数的值域： （1）[]2,1,23x y x x +=∈- （2）23y x x =++- （3）()2lg 92y x x =-- （4）22x xy -=+分析：求函数值域的常见方法为：图象法，利用函数单调性，利用复合函数，利用基本不等式等等，需要根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法. 解答：（1）35135332-+=-+-=-+=x x x x x y ， 函数在[]2,1上单调递减∴由1=x 时，23-=y ；2=x 时，4 -=y 得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈23,4y（2）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<--≥-=-++=2,2132,53,1232x x x x x x x y当3≥x 时，[)+∞∈,5y ； 当32<<-x 时，5=y ； 当2-≤x 时，[)+∞∈,5y ； 综上，[)+∞∈,5y .（3）设229x x t --=，则()101012≤++-=x t又 0>t ∴(]10,0∈t∴原函数的值域即函数(]10,0,lg ∈=t t y 的值域根据对数函数单调性，得(]1,∞-∈y . （4）R x ∈ 02>∴x∴2212221222=⋅≥+=+=-xx x x x x y （当且仅当x x212=即0=x 时等号成立）[)+∞∈∴,2y .评注：本题中第（1）题利用函数的单调性求解；第（2）题则先变形为分段函数，再分别求解，本小题也可通过作函数的图像求解，还可以看成数轴上x 到2-与3的距离之和求解；第（3）题则是先求出内层函数的值域，再求整个函数的值域；第（4）题则是利用基本不等式求解，如果出现等号无法成立的情况，则需要通过函数()0,0>>+=b a xbax y 的图象求解.四、举一反三 成果巩固考点一 判定两个函数表示同一个函数下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．1y x =-和211x y x -=+B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+D ．()2f x x=和()2xg x=答案 D解析 A 中两个函数的定义域不同；B 中0y x =的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同．故选D.考点二 求函数的定义域1.函数()f x =( ) A ．(]3,0- B ．(]3,1-C ．()(],33,0-∞-- D ．()(],33,1-∞--2.若函数()y f x =的定义域为[]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域是________． 答案 (1)A (2) [)0,1解析 (1)由题意得12030x x ⎧-≥⎨+>⎩解得30x -<≤.所以函数()f x 的定义域为(]3,0-．(2)由022x ≤≤，得01x ≤≤， 又10x -≠，即1x ≠，所以01x ≤<，即g (x )的定义域为[)0,1．3. (1)若函数()f x =R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数2123ax y ax ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1) []1,0- (2) [)0,3解析 (1)因为函数()f x 的定义域为R ， 所以22210x ax a≥＋－－对x R ∈恒成立，即22022x ax a ≥＋－，恒成立，因此有()2240a a ∆=+≤，解得10a -≤≤ (2)因为函数2123ax y ax ax +=++的定义域为R ， 所以223ax ax ++无实数解，即函数223y ax ax =++的图象与x 轴无交点． 当0a =时，函数3y =的图象与x 轴无交点； 当0a ≠时，则()22430a a ∆=+⋅<解得03a << 综上所述，a 的取值范围是[)0,3考点三 求函数解析式1.已知21lg f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x ＝________. 2.已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，则()f x ＝________.3.已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x ＝________.答案 (1) 2lg1x - (2) 27x + (3)13解析 (1)(换元法)令21t x =+，则21x t =-， ∴()2lg1f t t =-，即()2lg 1f x x=-．(2)(待定系数法) 设()f x ax b =+，则()()3121f x f x +-- 333222ax a b ax a b =++-+- 5ax a b =++ 即5217ax a b x ++=+，不论x 为何值都成立， ∴2517a b a =⎧⎨+=⎩解得27a b =⎧⎨=⎩∴()27f x x =+ (3)(消去法) 在()121f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭中，用1x 代替x ， 得()121f f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 将()121f f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭代入()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭中， 可求得()13f x =考点四 求函数的值域1.已知函数()()223,1lg 1,1x x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩则()()3ff -=________，()f x 的最小值是________．答案 03解析 ∵()()23lg 31lg101f ⎡⎤-=-+==⎣⎦，∴()()()310ff f -==，当1x ≥时，()23fx x x=+-3≥，当且仅当x =时，取等号，此时()min 3f x =；当1x <时，()f x = ()2lg 1x + lg10≥=，当且仅当0x =时，取等号，此时()min 0f x =.∴()f x的最小值为3.五、分层训练 能力进阶【基础达标】1.函数y =的定义域是解答：10101=⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x ，∴所求定义域是{}1. 2.函数y =的定义域是解答：()()[]6,10160562-∈⇒≤+-⇒≥--x x x x x .3. 若函数()f x 的定义域是()2,1-，则函数()2log f x 的定义域是 解答：()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⇒-∈2,411,2log 2x x4. 若函数()231f x x -=-，则()f x = 解答：()()()53523132+=⇒+-=-=-x x f x x x f5. 若函数()()()()2 1 104 10x x f x f x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则()2009f = 解答：()()()()()19192913200120052009=+⨯======f f f f f 6. 函数211x y x +=-的值域是 解答：()21321312112≠-+=-+-=-+=x x x x x y ∴()()+∞∞-∈,22, y 7. 函数2141y x x =+-的值域是解答：设()5521422-≥-+=-+=x x x t ，又0≠t∴求原函数值域即为求函数[)()+∞-∈=,00,5,1 t ty 的值域利用反比例函数图像得：()+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-∈,051, y8. 函数y x =的值域是 解答：x y = 与1-=x y 都是在[)+∞,1上的增函数∴y x =[)+∞,1也是增函数又当1=x 时，y 取到最小值1[)+∞∈∴,1y 【能力提升】1．函数()xx x y -+=1的定义域是（ ）（A ）()+∞,0 （B ）()0,∞-（C ）()()0,11,--∞- （D ）()()()+∞--∞-,00,11,解答：()()0,11,01001--∞-∈⇒⎩⎨⎧<-≠⇒⎩⎨⎧≠-≠+ x x x x x x ∴选()C 2.函数()D x x f y ∈=,的图象与直线a x =交点的个数为（ ） （A ）至少1个（B ）1个或2个 （C ）至多1个 （D ）至少2个解答：根据函数定义，当D a ∈时，直线a x =与函数图像有且只有一个交点，当D a ∉时，直线a x =与函数图像没有交点，因此选()C . 3.函数x x y -+=1的值域是（ ） （A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,45（B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45, （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-45, （D ）R解答：函数定义域为(]1,∞- ，设(]1,,1∞-∈-=x x t 0≥∴t ，21t x -=0,45211122≥+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=-+=∴t t t t x x y⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈∴45,y ，因此选()B4.函数41++-=x x y 的值域是（ ）（A ）[]5,1（B ）[)+∞,0 （C ）[)+∞,1 （D ）[)+∞,5解答：()()()[)+∞∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--<<-≥+=++-=,54 ,3214,51,3241y x x x x x x x y ∴选()D 5.当k 为何值时，函数3412++=kx kx y 的定义域是一切实数解答：由题意，得0342=++kx kx 无实数解∴当0=k 时，方程无实数解当0≠k 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⇒<-=∆43,001242k k k综上，k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0.6.求函数xx x y -+-=442的定义域解答：[]2,22204042-∈⇒⎩⎨⎧∈≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥-x Rx x x x x 7.已知函数()x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21，求函数()()1>⎪⎭⎫⎝⎛+=a a x f ax f y 的定义域解答： 函数()x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21，1>a ∴()ax f 中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈a a x ax 21,2121,21⎪⎭⎫ ⎝⎛a x f 中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,221,21a a x a x1>a 2210212a a a a <<<-<-∴ ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a a 21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a a 21,21 ∴函数()()1>⎪⎭⎫⎝⎛+=a a x f ax f y 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a a 21,21.8.已知()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<≤-=1 ,11 ,1 ,12x x x x x x f ，求()[]x f f解答：当1≤x 时，()[]()[]()[]()x x x f x f f x x f =--=-=⇒∈-=2221111,01； 当1-<x 时，()()()[]1,1=⇒+∞∈=x f f x x f ；当1>x 时，()()[]01112=-=⇒=x f f x f 综上所述，()[]()()()⎪⎩⎪⎨⎧-<≤>=1 ,11 ,1 ,0x x x x x f f。
高三数学一轮复习学案2.1函数的概念及表示
2.1函数的概念及表示考试要求1.通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；2.在实际情景中，会根据术同的需要选择恰当的方法(如解析法、图象法、列表法）表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单应用；4.会求一些简单函数的定义域和值域.基础回顾1.函数的概念(1）一般地，设A、B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f，使集合A中的任意一个数x，在集合B中的数f(x)与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，x∈A.其中，x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.值域是集合B的.(2)函数的构成要素为：，和，如果两个函数的，并且，我们就称两个函数相等.2.函数的表示法(1）函数的三种表示方法分别是：、和，(2)研究函数时常会用到区间的概念：区间的形式有、和 .3.映射的定义设A、B是两个的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个元素x，在集合B中都有的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个映射，记作 .4.函数的定义域(1)函数的定义域是指(2)求定义域的步骤是：①写出使函数式有意义的不等式（组〉；②解不等式组；③写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式写出）(3)常见基本初等函数的定义域：①分式函数中分母不等于零.②偶次根式函数的被开方式大于或等于0，③一次函数、二次函数的定义域为 .④y=x a,y=sin x，y=cos x,定义域均为，⑤y=t a n x，定义域为 .5.函数的值域(1）在函数y =f (x )中，与自变量x 的值对应的y 的值叫 ， 叫函数的值域.(2)基本初等函数的值域①y =k x +b(k 0≠)的值域是 ，②y =)0(2≠++a c bx ax 的值域是：当a >0时，值域为 ；当a <0时，值域为 . ③)0(≠=k xk y 的值域是 . ④)1,0(≠>=a a a y x 的值域是 .⑤)1,0(log ≠>=a a y x a 的值域是 .⑥y =sin x ,y =cos x 的值域是 .⑦y =t a n x 的值域是 .基础自测1.下列数集是函数的是( )① ② ③ ④ ⑤A. ①②③B. ①②⑤C. ①③⑤D. ①②③⑤2.下列函数中与函数y =x (x ≥0)是同一个函数的是（ ） A.2)(x y = B.x x y 2= C.33x y = D.2x y = 3.已知f (x )的图象恒过(1,1)点，则f (x -4)的图象恒过( )A.（-3,1）B.（5,1）C.（1，-3）D.（1,5）4.设2,22,log 1)12(3{)(<≥--=x ex x x x f ，则))2((f f 的值为（ ）A.0B.1C.2D.35.函数||)(x x x f =的图象是（ ）6.已知函数)(),(x g x f 分别由下表给出则))1((g f 的值为 ；满足x x f g x g f 的))(())((>的值是 . 例题选讲例1.设函数{2,22,22)(≤+>=x x x x x f 求)4-(f ；若00,8)(x x f 求=例2.(1)已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ；(2)已知)(x f 满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f .例3.求函数2)2(9lg )(2x x f x x -=-的定义域.。
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专题二第1讲函数概念与表示
一、知识点梳理
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示。
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：A→B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
6．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f(u)，u=g(x),x∈(a，b)，u∈(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。
四．典例解析
题型1：函数概念
例1．（1）设函数).89(,)
100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-= （2）设函数f （x ）＝⎩⎨⎧+∞∈-∞∈-)
,1(,log ]1,(,281x x x ，则满足f （x ）=41的x 值为 。
变式题：设123
2,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
例2．（1）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__ ________；
（2）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；
（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;
01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；
（4）f （x ）=x
1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。
题型三：函数定义域问题
例4．求下述函数的定义域： 1
1
)()2(2
31
)()1(2+-=-+-=x x f x x x f x
（3）0
2
)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=
例5．
[][][];)3(,2,1)2()3(;
)(2,1)1(2)2(2,1)()1(的定义域求的定义域已知函数的定义域，求的定义域）已知函数（的定义域；
，求的定义域为已知函数+++x f x f x f x f x f x f
已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(4) 2()23f x +；
(5)2
y =
变式题：已知函数f （x ）=31
323
-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（
）
A ．a ＞31
B ．－12＜a ≤0
C ．－12＜a ＜0
D ．a ≤31
题型四:求函数解析式
例6．（1）已知331
1()f x x x x
+=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；
（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x
+=，求()f x 。
思维总结
“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出。