2019高中数学高考真题分类：考点41-双曲线

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双曲线(测)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版

月摸底】双曲线
D．
【答案】A
底】
】双曲线的离心率为，则其渐近线
C. D.
因为渐近线方程为
，选A.
的右焦，点为原点），则双曲线的方程为（
【答案】B
月调研】已知双曲线
线方程为（
D
e=
故渐近线方程为：
届广西钦州市高三上学期第一次检测】已知双曲线（，
、，焦距为（），抛物线的准线交双曲线左支于，（为坐标
B. 2
C.
D.
的准线为，将代入，可
，即，化为，故选A.
届高三第一次联考】已知双曲线
，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为【答案】D
=，a
y=±
，
a=b=2
届五模】已知双曲线方程为
B C
，则椭圆
B D
【答案】
即为
可得离心率
化简可得，
即为
，故选
已知方程表示双曲线，的取值【答案】
因为方程
，即
届三模】过点
【答案】
中，若双曲线的右焦点
：
的右焦点为，左顶点为.为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，的一个内角为，则【答案】
故答案为：
三、解答题
）∵椭
，在坐标轴上，离心，且过点
若点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．
(1);(2)
，所以是等轴双曲线，∴设双曲线方程为
代入方程得：，所以
线方程为：
，所以，
，
的坐标为
三点的圆以点
(1)
.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
在双曲线。

2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.答案 D解析由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e ＝，故选A.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A. B. C. D.答案 B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4 C．2 D.答案 D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.结合a>0，解得a＝.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p 等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D. 答案 A 解析如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为2＋y 2＝①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ |＝2.由|PQ |＝|OF |，得2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e＝，故选A.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.B.C ．2D ．3答案 A解析不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ .又tan ∠POF ＝＝，所以等腰△POF 的高h ＝ ×＝，所以S △PFO ＝× ×＝. 13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．【解析】：由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =．故选：B ．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…，解得(0x ∈，所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=…，（当x y =时取等），222x y ∴+…，∴C 上y ，根据对称性可得：曲线C在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x ＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(x－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析方法一设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝＝ .方法二因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝＝ .4．(2019·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案解析依题意，设点P (m ，n )(n ＞0)，由题意知F (－2,0)，|OF |＝2，所以线段FP 的中点M在圆x 2＋y 2＝4上，所以2＋2＝4，又点P (m ，n )在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－或m ＝(舍去)，当m ＝－时，n ＝，所以k PF ＝＝ .5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________．答案 y ＝± x解析因为双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b ＝，所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±bx ＝± x .6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案 4解析设P，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝＝≥＝4，当且仅当2x ＝，即x ＝时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若＝， · ＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则＝，＝，，，得所以M的坐标为(3，)．三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(x1，y1)，则＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0，于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋2＝4；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋2＝2.4．(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝x＋1.令y＝0，得点M的横坐标x M＝－.又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|x M|＝.同理，|ON|＝.由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|OM|·|ON|＝·＝＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2019·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(x＋c)．点P的坐标满足消去y并化简，得到7x2＋6cx－13c2＝0，解得x1＝c，x2＝－.代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.因为点P在x轴上方，所以P.由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，故＝，解得t＝2.因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥x轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x＝1代入圆F2方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－.将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.因此E.方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1,0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因为PB⊥AB，所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝＝.所以PB＝＝＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1B sin∠P1BD＝P1B cos∠EBA ＝15×＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为x2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，直线PB的方程为y＝－x－.所以P(－13,9)，PB＝＝15.所以道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．在线段AD上取点M，因为OM＝<＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝.10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．由得x＝±.记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(x G，y G)，则－u和x G是方程①的解，故x G＝，由此得y G＝.从而直线PG的斜率为＝－，因为k PQ·k PG＝－1.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为. 因此，△PQG面积的最大值为.11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明设D，A (x 1，y 1)，则＝2y 1.由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点.(2)解由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋. 由可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0，于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2 ＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝ |x 1－x 2|＝＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝，d 2＝，因此，四边形ADBE 的面积S ＝|AB |(d 1＋d 2) ＝(t 2＋3) .设M 为线段AB 的中点，则M. 由于⊥ ，而＝(t ，t 2－2)，与坐标为(1，t )的向量平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 . 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 .12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)-，解方程可得p ，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A ，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方程，可令0x =，解方程，即可得到所求定点．【解析】：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =，可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，可得124x x k +=-，124x x =-，直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-，直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-，可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-，可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-，即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==，可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+，化为224(1)4x kx y -++=，由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．(2019·天津理，18)设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(x P，y P)(x P≠0)，M(x M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB 的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得x P＝－，代入y＝kx＋2得y P＝.所以直线OP的斜率为＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.所以直线PB的斜率为或－.。

2019年高考数学试题分项版—解析几何(原卷版)

2019年高考数学试题分项版——解析几何（原卷版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝13．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．84．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A. B. C. D.6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4 C．2 D.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．29．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝110．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．811．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.B.C ．2D ．313．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③15．(2019·天津理，5)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. B. C ．2 D. 二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.4．(2019·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________．6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．4．(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．5．(2019·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C ：y ＝，D 为直线y ＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . (1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．13．(2019·天津理，18)设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．。

2019-2020学年新高考数学选修系列题型详解双曲线真题体验解析点拨版(29页)

2019-2020学年新高考数学选修系列题型详解双曲线真题体验题型一离心率【例1】(1)已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．2(2)（2019·黑龙江牡丹江一中高二月考（文））已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x y a +=的离心率为（）A B ．3C D ．3(3)（2019·山东高三月考）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（） A.B.C.D.2(4)（2019·河北石家庄二中高二月考）若双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[)2,+∞D ．(5)（2019·广东高三月考（文））已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）．ABC ．2D 【答案】(1)C(2)D(3)A(4)B(5)A【解析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,a c ==3c e a==，故选C.(2)∵三个数1，a ，9成等比数列，∴a 2＝9，则a ＝±3．当a ＝3时，曲线方程为22132x y +=，半焦距为1，离心率为3；当a ＝﹣3时，曲线方程为22123y x -=，，，2=．故选：D ． (3)∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，∴，，，∴．故选A ．(4)∵双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与直线y =无交点，∴双曲线的渐近线方程by x a =±，满足b a≤得b ≤，两边平方得223b a ≤，即2223c a a -≤，∴224c a ≤，得224c a≤即24e ≤，∵双曲线的离心率e 为大于1的正数，12e ∴<≤，故选：B ．(5)OMN ∆为直角三角形，结合对称性可知，双曲线C 的渐近线为：y x =±即1ba= c ∴==c e a ∴== 【举一反三】1．（2019·四川双流中学高三月考（理））若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线所成的锐角为60，则双曲线的离心率为（）A B ．2 C 或2 D 【答案】C【解析】设斜率为正的渐近线的倾斜角为θ则tan tan 303θ==o 或()tan tan 9030tan 60θ=-==o o o即b a =b a =2222113c a e a -∴=-=或222213c a e a -∴=-=解得：e =2本题正确选项：C2．（2019·湖北高三月考（理））椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，则双曲线22221x y a b-=的离心率为（）A ．2 BC D【答案】D=，故214b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以双曲线的离心率为2=，故选D.3（2019·甘肃高二月考（文））经过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A ．[2，+∞）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．（2，+∞）【答案】A【解析】已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，∴b a ≥e 2222224c a b a a +==≥，∴e ≥2，故选：A4．（2019·内蒙古高二期末（文））已知是双曲线的右焦点，点在的右支上，坐标原点为，若，且∠ °，则的离心率为（） A.B.C.2D.【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为由题意可得，∠ °，即有 ∠ ，即有，由双曲线的定义可得，即为，即有，可得．故选：D ．题型二直线与双曲线的位置关系【例2】已知双曲线x 2－y 24＝1，问当直线l 的斜率k 为何值时，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点．【答案】见解析【解析】①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0，即k ＝±2时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个公共点．当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52.综上可知，当k ＝52或k ＝±2或直线l 的斜率不存在时，过点P 的直线l 与双曲线都只有一个公共点．【举一反三】1．（2019·福建省漳平第一中学高二月考）若直线1y kx =-与双曲线22149x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值为( )A.2k =± B.32k =±C.k =32k =±D.k =32k =±或0k =【答案】C【解析】由221149y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(94)8400k x kx -+-=，当2940k -=时，即32k =±时，此时求得5x k =，满足直线与双曲线相交，只有一个公共点；当2940k -≠时，即32k ≠±时，2264160(94)0k k ∆=+-=，解得252k =，即k =足条件的k 的值是32k =±或2k =±，故选C.2．（2019·湖北高二期中（理））若直线2y kx =+与双曲线224x y -=的左支交于不同的两点,则实数k 的取值范围是（） A．(1)- B． C．( D ．(1,1)-【答案】B【解析】2224y kx x y =+⎧⎨-=⎩，整理得()221480k x kx ---=因为直线与双曲线的左支有两个不同的交点，则方程在(],2-∞-上有两个不同的根.需满足()()()()22222210221164810124280k k k k k k k ⎧-<⎪⎪<-⎪-⎨⎪+⨯⨯->⎪⎪-----≤⎩解得111122k k k k k ⎧-⎪-⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎪∈⎩R或所以k的范围为1k <<B 项.题型三弦长【例3-1】（2018·江西上高二中高二期末（文））若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的，点是双曲线的一个顶点.（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线的右焦点F 作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的两点,A B ，求线段||AB 的长.【答案】（1）22136x y -=.（2）5.【解析】（1）因为双曲线C ：22221x y a b-=0)是双曲线的一个顶点，所以3,a c b ===22136x y -=（2）经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线l：3)y x =- 与双曲线联立方程组消y 得212956270,,35x x x x +-=∴==-，由弦长公式解得12AB x =-=【例3-2】（2019·四川成都外国语学校高二期中（文））过点14(,)33Q 作直线与双曲线2214y x -=交于,A B ，Q 为弦AB 的中点.(1)求AB 所在直线的方程； (2)求||AB 的长. 【答案】(1)10x y -+=(2)3【解析】设22111122222244(,),(,),44x y A x y B x y x y ⎧-=∴⎨-=⎩，两式相减得121212124()()()()0x x x x y y y y +--+-=，1212284()()0,133x x y y k ∴⨯---=∴=.所以直线的方程为4133y x -=-即10x y -+=.（2）联立直线和双曲线的方程消去y得23250,3x x AB --=∴==所以|AB|=3. 【举一反三】1．（2019·陕西高考模拟（文））双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A ．20x y --= B ．2100x y +-= C ．20x y -= D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选：C 2．（2019·湖北高考模拟（文））过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点，所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10|AB |=12x x -|==D ．3．（2019·宾阳县宾阳中学高二月考（文））双曲线的两条渐近线的方程为y =，且经过点(3,-．过双曲线的右焦点F 且倾斜角为60︒的直线交双曲线于A ，B 两点，则AB 的值为___________。

2019年高考理科数学复习全国版提分宝典全考点普查教学课件：第41课双曲线(共102张PPT)

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C
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第41课第（3）题 P235
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变式思考
第41课变式思考 P235
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变式思考
1 0, 2
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B
第41课变式思考 P235
第41课
普查讲 41
一张图学透
双曲线
双曲线的定义双曲线的标准方程和几何性质直线与双曲线的位置关系目录
四组题讲透
第（1）题第（2）题第（3）题第（4）题第（5）题第（6）题第（7）题第（8）题
第（9）题第（10）题第（11）题第（12）题
第（13）题第（14）题第（15）题第（16）题第（17）题第（18）题第（19）题
D
第41课第（1）题 P235
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小积累
双曲线定义的理解
第41课小积累 P235

2019高考数学真题汇编椭圆双曲线抛物线

2019高考数学真题汇编椭圆双曲线抛物线一．选择题2019全国Ⅱ卷理8若抛物线px y 22=（p>0）是1322=+p y p x 的一个焦点，则P_______ A. 2 B. 3 C. 4 D.82019全国Ⅱ卷理11设F 为双曲线C ：12222=-by a x （a>0,b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点，若OF PQ =,则C 的离心率______A. 2B. 3C. 2D.52019全国Ⅲ卷理10双曲线C ：12422=-y x 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PF PO =,则△PFO 的面积为______A. 423B. 223 C. 22 D.232019全国Ⅲ卷文10已知F 为双曲线C:15422=-y x 的一个焦点,P 点在C 上，O 为坐标原点，△OPF 的面积为______ A.23 B. 25 C. 27 D.29 2019全国Ⅰ卷理10已知椭圆C 的焦点1F (-1,0) ,2F (1,0),过1F 的直线与C 交于A,B 两点.若122,2BF AB B F AF ==则C 的方程为_________A. 1222=+y xB.12322=+y xC. 13422=+y xD.14522=+y x 2019全国Ⅰ卷文10 双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为0130，则C 的离心率为___A. 040sin 2B. 040cos 2C.050sin 1 D.050cos 1 2019天津理5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且OF AB 4=(O 为原点）则双曲线的离心率____ A. 2 B. 3 C. 4 D.52019北京理4已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21则___ A. 222b a = B. 2243b a = C. b a 2= D.b a 432= 2019北京文5已知双曲线1222=-y ax （a>0）的离心率是5，则a=____ A. 6 B. 4 C. 2 D.21 2019浙江理2渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是_______B. 22 B. 1 C. 2 D.2二．填空题 2019浙江理15已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率________2019北京文11设抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程___________ 2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若0,211=∙=F F F 则C 的离心率___________.2019全国Ⅲ卷文15设F 1,F 2为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△F MF 21为等腰三角形，则M 的坐标为（） ()222210,0x y C a b a b-=>>：。

高中数学双曲线知识点归纳总结

范围
，
，
对称轴
轴，轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点（）到准线（）的距离为
顶点（）到准线（）的距离为
焦点到准线的距离
8.
(
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线与直线相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线：双曲线C：（＞0，＞0）
1)当，即时，直线与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
工作好，才有好的生活！）
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~~~专业文档，VIP专享。更多精彩文档，尽在~~~3.双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部 .
(2)点在双曲线的外部 .
4. 形如的方程可化为
当，双曲线的焦点在轴上；
当，双曲线的焦点在轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）
若2a=2 时，即 ,当，动点轨迹是以为端点向右延伸的一条射线；当时，动点轨迹是以为端点向左延伸的一条射线；

2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版) 双曲线及其性质

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．设()00,P x y ，由=OP OF ，再结合双曲线方程可解出0y ，利用三角形面积公式可求出结果．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C D ．【答案】D【解析】c e a ===Q 1b a ∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象．熟记结论：若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>是等轴双曲线，则a =b ，离心率e ，渐近线方程为y =±x ，且两条渐近线互相垂直．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =___________．【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =．【名师点睛】1．已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±． 2．已知渐近线y mx =设双曲线的标准方程为222m x y λ-=．3．双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．【命题意图】高考对双曲线内容的考查以基础知识为主，重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力．2019年高考题考查了以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【命题规律】主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等．【答题模板】1．求双曲线的离心率的值或范围一般考虑如下三步：第一步：将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式；第二步：利用222b c a +=和ce a=转化为关于e 的方程或不等式；第三步：通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 2．其他问题：（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min =a+c ，|PF 2|min =c –a ．（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a ．（4）若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △=2tan2b θ，其中θ为∠F 1PF 2．（5）若P 是双曲线22x a22y b -=1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a ．【方法总结】1．双曲线定义的应用策略（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．（3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．2．求双曲线的标准方程的方法（1）定义法根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c2=a2+b2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a．求轨迹方程时，满足条件：|PF1|–|PF2|=2a（0<2a<|F1F2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍．（2）待定系数法一般步骤为①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；③列：根据题意，列出关于a，b，c的方程或者方程组；④解：求解得到方程．常见设法有①与双曲线22xa–22yb=1共渐近线的双曲线方程可设为22xa–22yb=λ（λ≠0）；②若双曲线的渐近线方程为y=±bax，则双曲线方程可设为22xa–22yb=λ（λ≠0）；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为2xm+2yn=1（mn<0）；④与双曲线22xa–22yb=1共焦点的双曲线方程可设为22xa k-–22yb k+=1（–b2<k<a2）；⑤与椭圆22xa+22yb=1（a>b>0）有共同焦点的双曲线方程可设为22xaλ-+22ybλ-=1（b2<λ<a2）．注意：当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1（mn <0）． 3．求双曲线离心率的值（1）直接求出c a ,，求解e ：已知标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝c a求解；（2）变用公式，整体求e ：如利用e，e＝； 4．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得b a 的值，于是e 2＝22c a ＝222a b a +＝1＋2()b a，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即b a的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =± B．y = C．y = D ．2y x =±【答案】C【解析】因为双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），所以234a +=，故21a =，因此双曲线的方程为2213y x -=，所以其渐近线方程为y =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，双曲线上的点P 满足121243PF PF F F +≥u u u v u u u u v u u u u v恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是 A ．312e <≤ B ．32e ≥C ．413e <≤D ．43e ≥【答案】C【解析】∵OP 是12F PF △的边12F F 上的中线，∴122PF PF PO+=u u u v u u u u v u u u v． ∵121243PF PF F F u u u v u u u u v u u u u v +≥，∴1283PO F F ≥u u u v u u u u v ，当且仅当12,,F P F 三点共线时等号成立．又PO a ≥u u u v ，122F F c =u u u u v ，∴86a c ≥，∴43c e a =≤，又1e >，∴413e <≤．故离心率的取值范围为41,3⎛⎤⎥⎝⎦．故选C ．【名师点睛】解答本题时注意两点：一是注意数形结合在解题中的应用，特别是由题意得到PO a ≥u u u v；二是根据题意得到,,a b c 间的关系，再根据离心率的定义求解，属于基础题．3．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，线段2PF 的中点M ，则此双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，易求点P 的坐标为,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，中点M 的坐标为,2bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2222)2bc OM c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴224a b =，即2b a =．故选A ．【名师点睛】本题考查双曲线的方程与简单的几何性质，考查计算能力与转化能力，属于基础题．4．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是A ．53 B ．54C ．43或53D ．53或54【答案】D【解析】33404x y y x +=⇒=-，当焦点位于横轴时，2239416b b a a =⇒=，而222c a b =+，所以22295164c a c e a a -=⇒==；当焦点位于纵轴时，22222222416165,,3993b bc a c c a b e a a a a -=⇒==+⇒=⇒==故选D ．【名师点睛】本题考查了通过双曲线的渐近线方程求离心率问题，解题的关键是对焦点的位置进行分类．5．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()220=>y px p 与双曲线C 有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且12sin 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为A B 或3C ．2D ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 在第一象限且()00,P x y ，则1,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，过P 作直线2px =-（抛物线的准线）的垂线，垂足为E ，则112F PE PF F ∠=∠，故112sin sin F PE PF F ∠=∠=，因1F PE △为直角三角形，故可设,2p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0P x ，且25PE PF k ==，17PF k =，所以02052242p x k k px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得043p k x k =⎧⎨=⎩或062p k x k =⎧⎨=⎩，若043p k x k =⎧⎨=⎩，则124F F k =，22752ke k k ==-；若062p k x k =⎧⎨=⎩，则126F F k =，33752ke k k ==-．综上可得，选D ．【名师点睛】离心率的计算关键在于构建,,a b c 的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离．6．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试数学】已知双曲线1C ：22142-=x y ，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为 A ．3 B ．2 CD ．1【答案】A【解析】由题意，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，设双曲线2C 的方程为22(0)24y x λλ-=>，则双曲线2C =A ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中根据双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，得出双曲线2C 的方程的形式，再根据离心率的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，线段2PF 的中点M ，则双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】设双曲线的渐近线方程为()0,0by x a b a=±>>，根据题意可知P 点坐标,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 为2PF 中点，所以可得,2bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222bc OM c c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以224a b =，即2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选A ．【名师点睛】本题考查通过双曲线中，线段的几何关系求双曲线渐近线方程，属于简单题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】双曲线2212x y -=的离心率为A BC D ．2【答案】D【解析】由双曲线的方程2212x y -=可得：222,1a b ==，所以2223c a b =+=，所以c e a ===．故选D ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率为 A ．43 B ．53C ．54D ．2【答案】C【解析】双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的一条渐近线方程为34y x =，可得34b a =，即222916c a a -=，解得e 22516=，e 54=．故选C ．【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力．10．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则双曲线C 的离心率为A B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】设双曲线另一个焦点为F '，如下图所示．因为线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，所以MFA △是等边三角形，边长为a c +，M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，所以有23MF MF a MF a c -=⇒='+'，在MFF '△中，由余弦定理可得：'2222cos60MF MF FF MF FF ︒=+-'⋅'，即22430a ac c +-=，解得4a c =，即4ca=，双曲线的离心率为4，故选D ．【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想．11．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为12,F F ，以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于,A B 两点，则四边形12F AF B 的面积为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D【解析】因为双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为()()12,0,0F c F c -，，双曲线的渐近线方程为y x a=±0ay -=，以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A ，B 两点，根据焦点到渐近线的距离及双曲线中a b c 、、的关系，可得223a c a ==+⎪⎩，解得a c ==，进而可求得切点A ⎝⎭，则四边形12F AF B的面积为121212262F AF B F AF S S ==⨯⨯=．故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．12．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为A ．221124x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221412x y -=【答案】D【解析】∵以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点）， ∴半径4R c ==，则圆的标准方程为()22416x y -+=，(),0A a ，by a b a=⋅=，即(),B a b ，则()22416a b -+=，即2281616a a b -++=，即280c a -=，即816a =，则2a =，216412b =-=，则双曲线C 的方程为221412x y -=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径4c =是解决本题的关键．属于简单题．13．【四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学】已知双曲线()222:10y C x b b-=>的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为A．y = B ．2y x =±C ．3y x =± D．y =【答案】D【解析】双曲线C ：()22210y x b b-=>的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，∵1+b 2＝c 2＝4，∴b =C 的渐近线方程为y =x ，故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．14．【四川省2019届高三联合诊断数学】已知双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为F ，则点F 到C 的渐近线的距离为 A ．3 BC ．a D【答案】B【解析】因为双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为()0F c ，，渐近线y x =，所以点F到渐近线y x a ===B ．【名师点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求焦点坐标与渐近线方程，以及点到直线距离公式的应用，属于基础题．若双曲线方程为22221x y a b-=，则渐近线方程为b y x a =±． 15．【四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学】若双曲线221x y m-=的一条渐近线为20x y -=，则实数m = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】∵双曲线的方程为221x y m-=，∴双曲线的渐近线方程为yx ，又∵一条渐近线方程为y =12x ，∴m =4．故选B ．【名师点睛】本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m 的值，属于基础题． 16．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆()2221x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是 A ．2B ．2CD【答案】A【解析】设双曲线C 的渐近线方程为y =kx，∴k =±，得双曲线的一条渐近线的方程为y =x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有：b c e a a ==＝②当焦点在y轴上时有：2a c e b a ==．∴求得双曲线的离心率2或3．故选A ．【名师点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．17．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷）数学】设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c =2，213PF F S =△，则双曲线的两条渐近线的夹角为A ．5πB ．4π C ．π6D ．π3【答案】D【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（，可得1222PF PF a -==，可得a =1，b =所以双曲线的渐近线方程为y =，可得双曲线的渐近线的夹角为π3，故选D ．【名师点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键．18．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试数学】已知抛物线2y =的焦点为双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是A．y x = B．y =C．2y x =± D．y =【答案】C【解析】抛物线2y =的焦点为)，所以双曲线中c =，由双曲线方程2221x y a-=，222+=a b c，所以a =因此双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选C ．【名师点睛】本题考查抛物线的焦点，根据焦点求双曲线的方程和渐近线方程，属于简单题．19．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，P 为双曲线右支上一点，若点P 关于双曲线中心O 的对称点Q 满足AP k ⨯14AQ k =，则双曲线的离心率为 A1 BCD1【答案】B【解析】设(,),(,),P x y Q x y --∵AP k ⨯14AQ k =， ∴222000014y y y y y x a x a x a x a x a -----⋅=⋅==----+-， ∵22221x y a b -=，∴22222=()b y x a a-，∴222222()14b x a ax a -=-， ∴a =2b ，∴222244()a b c a ==-，∴2254a c =，∴e =B ． 20．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知双曲线C 的一个焦点坐标为0)，渐近线方程为2y x =±，则C 的方程是 A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】B【解析】因为双曲线C的一个焦点坐标为),所以c =，又因为双曲线C的渐近线方程为2y x =±，所以有2b a=a ⇒=，c =而c =1a b ==，因此双曲线方程为2212xy -=，故选B ．【名师点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力．21．【云南省2019届高三第一次毕业生复习统一检测数学】双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是A 1B 1C ．12 D ．12【答案】C【解析】不妨设P 在第一象限，由于12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，故()2P c ，代入双曲线方程得2222431c c a b-=，化简得4224480c a c a -+=，42810e e -+=，解得222e +=，故e =C ．【名师点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，双曲线22221x y m n -=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为134e =，则双曲线的离心率2e =ABC D ．2【答案】B【解析】椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，椭圆的离心率为134e =，不妨令4,3a c ==，则b =，所以椭圆方程为：221167x y +=，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，可设(),,0,0P s t s t >>，可得()13,PF s t =---u u u r ，()23,PF s t =--u u u u r，则222291167s t s t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得22329499s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入双曲线方程渐近线方程n y x m =±，可得224932n m =，双曲线的离心率为：28e ===．故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组，求得双曲线,a b 之间满足的关系是解题关键． 23．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，左焦点为1F，点()0Q （c 为半焦距）．P 是双曲线C 的右支上的动点，且1PF PQ +的最小值为6．则双曲线C 的方程为___________．【答案】2213y x -=【解析】设双曲线右焦点为2F ，则122PF PF a -=，所以122PF PQ a PF PQ +=++，而2PF PQ +的最小值为22QF c ==，所以1PF PQ +最小值为226a c +=，又2c a =，解得12a c ==，，于是23b =，故双曲线方程为2213y x -=．【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题．24．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F 的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为___________．【答案】3【解析】∵21AF AF ⊥，∴12AF F △是直角三角形，又O 是12F F 中点，∴AO c =，又A 在双曲线渐近线上，∴(,)A a b ，∴12tan AF F ∠=b ac =+，变形可得：22230c ac a --=，()(3)0c a c a +-=，∴3c a =，3ce a==．故答案为：3．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右顶点A 作x 轴垂线，交渐近线于点P ，则OP c =，AP b =．。

2019年高考数学试题分类汇编解析几何附答案详解

2019年高考数学试题分类汇编解析几何一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷理科10）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒答案：C解析：由题可知,130tan ︒=-a b 即,50tan ︒=a b 则有︒︒=50cos 50sin 2222a b ，即︒︒=-50cos 50sin 22222a a c 所以︒︒=-50cos 50sin 1222e ，︒=50cos 12e ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科10，文科12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=答案：B解析：设x B F =||2，则x B F B F AF AB B F 3||3||||||||2221==+== 由椭圆定义得x a B F B F 42||||21==+，故,23||,2||12aB F a B F ==a AF a AF a AF =-==||2||,||212在21F AF ∆和21F BF ∆中，由余弦定理得a c a a c a F AF 1224cos 22221=⨯⨯-+=∠ a a c a a c a F BF 2222212221249441cos -=⨯⨯-+=∠ 21F AF ∠、21F BF ∠互补得a a a 122=-，解得32=a ，22=b ，方程为12322=+y x 。

故选B 3、（2019年高考全国II 卷理科8，文科9）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8 答案：D解析：易知抛物线的焦点为)0,2(p,故椭圆焦点在x 轴上由p p p b a c 23222=-=-=,则p p 2)2(2=,解得p=8。

2019年高考数学真题考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.(2019·北京高考理科·T8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.①B.②C.①②D.①②③【命题意图】考查曲线与方程,距离问题,面积问题,对称性等,意在考查知识的运用能力,推理能力,运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选C.对①,令x=0得y=±1,即曲线C过整点(0,±1);令x=1得1+y2=1+y,y=0,1,即曲线C过整点(1,0),(1,1),又由曲线关于y轴对称知,曲线C过整点(-1,0),(-1,1),结合图形知,曲线C不过其他整点,所以①正确;对②,只需考虑第一象限内的点,即x>0,y>0,设C上的点(x,y)到原点的距离为d,则x2+y2=1+|x|y=1+xy≤1+,x2+y2≤2,d≤,所以②正确;对③,由①知,S△OAB=×1×1=,S正方形OBCD=1×1=1,所以S阴影=2×=3,所以心形区域面积大于3,③错误.二、解答题2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点.(2)若以E,为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.【命题意图】本题考查直线、圆及其位置关系的应用,考查考生数学运算、逻辑推理的求解综合问题的能力.【解析】(1)设D,-,A(x1,y1),则=2y1.由于y'=x,所以切线DA的斜率为x1,故-=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点,.(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+.由,,可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=|x1-x2|=×()-=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=,d2=.因此,四边形ADBE的面积S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).设M为线段AB的中点,则M,.由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4.因此,四边形ADBE的面积为3或4.3.(2019·全国卷Ⅲ文科·T21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点.(2)若以E,为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.【解题指南】(1)表示出直线AB的方程,求出直线所过的定点.(2)利用根与系数的关系及已知条件,分别表示出,,利用二者的关系解出参数后求圆的方程.【解析】(1)设D,-,A(x1,y1),则=2y1.由于y'=x,所以切线DA的斜率为x1,故-=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点,.(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+.由,可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.设M为线段AB的中点,则M,.由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,||=2,所求圆的方程为x2+-=4;当t=±1时,||=,所求圆的方程为x2+-=2.4.(2019·北京高考文科·T19)已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程.(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.【命题意图】本小题主要考查椭圆方程及性质,直线与圆锥曲线位置关系,定点问题等,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.【解析】(1)由已知,c=1,b=1,又a2=b2+c2,所以a2=2,所以C的方程为+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由,,消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,①因为直线与椭圆有两个交点,所以必须Δ>0,②x1+x2=-,x1x2=-,③直线AP方程为y=-x+1,与y=0联立得x=--,即M--,,同理,N --,,(y1-1)(y2-1)=(kx1+t-1)(kx2+t-1) =k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=(-),所以|OM|·|ON|=--·--=(-)(-)=(-)(-)=2,所以|(t+1)(t-1)|=|t-1|2,t=1(舍去)或0,当t=0时,①式Δ>0,符合题意,所以直线l方程为y=kx,所以直线l过定点(0,0).5.(2019·浙江高考·T21)(本小题满分15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F 右侧.记△AFG,△CQG的面积为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的标准方程.(2)求的最小值及此时点G的坐标.【命题意图】本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】(1)由题意得=1,即p=2.所以,抛物线的标准方程为y2=4x.(2)设A(x A,y A),B(x B,y B),C(x C,y C),重心G(x G,y G).令y A=2t,t≠0,则x A=t2.由于直线AB过F,故直线AB的方程为x=-y+1,代入y2=4x,得y2-(-)y-4=0,故2ty B=-4,即y B=-,所以B,-.又由于x G=(x A+x B+x C),y G=(y A+y B+y C)及重心G在x轴上,故2t-+y C=0,得C-,-,G-,.所以,直线AC的方程为y-2t=2t-,得Q-,.由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而=||·||||·||=--·||---·-=--=2---.令m=t2-2,则m>0,=2-=2-≥2-·=1+.当且仅当m=,即m=时等号成立,所以取得最小值1+,此时G(2,0).6.(2019·江苏高考·T17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1,已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程.(2)求点E的坐标.【命题意图】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.【解题指南】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程.(2)方法一:由题意首先确定直线AF1的方程,联立直线方程与圆的方程,确定点B的坐标,联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标;方法二:由题意利用几何关系确定点E的纵坐标,然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=,AF2⊥x轴,所以DF2=-=-=,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一:由(1)知,椭圆C:+=1,a=2,因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由,(-),得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-.将x=-代入y=2x+2,得y=-,因此B-,-.又F2(1,0),所以直线BF2:y=(x-1).由(-),,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=(x-1),得y=-.因此E-,-.方法二:由(1)知,椭圆C:+=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B,所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.因为F1(-1,0),由-,,得y=±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-.因此E-,-.。

高中数学高考总复习---双曲线及其性质知识讲解及考点梳理

；
（4）渐近线：
.
考点四、有关双曲线的渐近线的问题（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为
渐近线方程
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若渐近线方程为
双曲线可设为
2
（3）若双曲线与，焦点在 y 轴上）
（4）特别地当
有公共渐近线，可设为
（
，焦点在轴上，
离心率
两渐近线互相垂直，分别为
，此时双曲线为
【解析】依题意设双曲线方程为
由已知得又双曲线过点
，，∴
∴
3
故所求双曲线的方程为
.
【总结升华】先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、 .
举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）一渐近线方程为
，且双曲线过点
.
（2）虚轴长与实轴长的比为【解析】
，焦距为 10.
（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是
,故设双曲线方程为
，
∵点
在双曲线上，
∴
，解得
，
∴所求双曲线方程为
.
（2）由已知设依题意
,
,则
，解得 .
()
∴双曲线方程为
或
.
类型二：双曲线的焦点三角形
例 2.中心在原点，焦点在 x 轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且
；
当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为
，
.
考点三、双曲线的简单几何性质
双曲线
的简单几何性质
（1）范围：
（2）焦点
，顶点

双曲线(讲)-2019年高考数学(文)---精校解析 Word版

【考纲解读】【知识清单】1.双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程2.双曲线的几何性质双曲线的几何性质考点1 双曲线的定义及标准方程【1-1】【2017天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）【答案】【1-2】【2018年天津卷文】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B.C.D.【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项. 【综合点评】 1.双曲线的轨迹类型是；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”．【领悟技法】1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线a2x2－b2y2＝1共渐近线的可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±a b x ，则可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)； (3)若过两个已知点则设为m x2＋n y2＝1(mn <0)． 2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．【触类旁通】【变式一】【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）（B ）（C ）（D ）【变式二】【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（）A. 26B.C. 52D.【答案】D【解析】设MN 与双曲线的交点为点P ，由几何关系结合三角形中位线可得：，则：，点P 位于双曲线的左支，则：.本题选择D选项.【综合点评】1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程需要两个独立条件．考点2 双曲线的简单几何性质【2-1】【2018年全国卷Ⅲ文】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A. B. C. D.【答案】D【2-2】【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.【2-3】【2017江苏，8】在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是 .【答案】【综合点评】1．已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝a b 或m ＝b a讨论，求离心率值，需要寻求的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．【领悟技法】1．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞.2．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 5．渐近线与离心率a2x2－b2y2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为a b ＝ a2b2＝ a2c2－a2＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．【触类旁通】【变式1】【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是( )A. (−，0)，(，0) B. (−2，0)，(2，0) C. (0，−)，(0，) D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【变式2】【2018届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期期中联考】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】由题意可知：双曲线的右焦点，由关于原点的对称点为则四边形为平行四边形则由，根据椭圆的定义在中，则，整理得则双曲线的离心率故答案选【综合点评】1、充分利用条件列关于的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是与之间的比值关系，再结合，可得的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的．【易错试题常警惕】易错典例：已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程．易错分析：忽视双曲线定义．温馨提示：双曲线的轨迹类型是．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.【典例】【2018年全国卷Ⅲ理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】C。

2019版高考数学：§10.2 双曲线及其性质

|= 1
2
|P1F1|·|P1F2|.
由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2,
得|P1F1|·|P1F2|=6,
此时|PF1|+|PF2|=2 7 .
当P在P2点处时,∠P2F2F1=90°,
∴ xP2 =2,易知 yP2 =3, 此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,
3
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇
11
答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程.
不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1, 3 ),所以 b = 3 ,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2
a
=3,故所求双曲线的方程为x2- y2 =1,故选D.
3
方法总结求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:根据题意建立动点所满足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.
)
A.2 B. 6 2
C. 5 D.1 2
答案 D 由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此 ac22 = a2a2 3 =4,又a>0,所以a=1,故选D.
5.(2017课标全国Ⅱ,5,5分)若a>1,则双曲线 ax22 -y2=1的离心率的取值范围是 (
)
A.( 2 ,+∞) B.( 2 ,2)
你是我今生最美的相遇遇
13
6.(2015北京,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2- by22 =1(b>0)的一个焦点,则b=

2019年高考数学母题题源系列专题07双曲线(含解析)

专题07双曲线【母题来源一】【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.【母题来源二】【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________．【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以2b c=，因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =．【母题来源三】【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P ，则()1010Q ，1(F ，2F ，所以四边形12F PF Q 的面积10S == 【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．【命题意图】通过了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，结合数形结合的思想考查它的简单几何性质以及双曲线的简单应用. 【命题规律】双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，难度中档，注重对计算能力以及数形结合思想的考查.从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）对双曲线定义与方程的考查；（2）对双曲线简单几何性质的考查，如求双曲线的渐近线、准线、离心率等；（3）双曲线与其他知识的综合，如平面几何、向量、直线与圆等．【方法总结】（一）对双曲线的定义与标准方程必须掌握以下内容：（1）在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d c a ≥-这一隐含条件．（2）求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.（3）在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.（4）常见双曲线方程的设法：①与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a bλλ-=>>≠． ②若双曲线的渐近线方程为ny x m=±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m n λλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．③与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．④过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．⑤与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<．（二）对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ，b 的关系，结合已知条件可解. （三）求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即c e a ===，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可。

专题11 双曲线及其性质-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(原卷版)

3
，即
4(c2 c2
a2 )

3
，
2
整理可得 c2 4a2 ，则双曲线的离心率 e
c2 a2
4 2．
故选 A．
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见
有两种方法：
①求出 a，c，代入公式 e c ； a
②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等
渐近线对称性
ybx a
yax b
对称轴： x 轴， y 轴；对称中心：原点
离心率
e c ，e 1 a
注意：求双曲线的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方
程；也可以利用双曲线的定义及焦点位置或点的坐标确定双曲线的标准方程.
求双曲线的离心率主要的方法有：根据条件分别求出 a 与 c ，然后利用 e c 计算求得离心率；或者根据 a
式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)．
【命题意图】主要考查双曲线的几何性质、圆的标准方程、直线与圆的位置关系，意在考查考生的运算求解能力，分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想.
【命题规律】涉及本知识点的题常结合双曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与双曲线曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.
【母题来源二】【2018
年高考全国Ⅱ理数】双曲线
x2 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

y2 b2
1(a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方

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考点41 双曲线一、选择题1.（2018·湖北高考文科·Ｔ2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解题指南】分别表示出双曲线1C 和2C 的实轴，虚轴，离心率和焦距，最后比较即可.【解析】选D. 双曲线1C 的实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2=，离心率为1sin θ；双曲线2C 的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2=，离心率为1cos θ，故只有焦距相等.故答案为D.2.（2018·福建高考理科·Ｔ3）双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（）A. 52B.54C. 552D.554【解题指南】先求顶点，后求渐近线方程，再用距离公式求解.【解析】选C.双曲线的右顶点为(20)，,渐近线方程为20x y -=,则顶点到渐近线的距离为5=． 3.(2018·福建高考文科·T4)双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )A ．12 B ．2C ．1D ．【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式.【解析】选B.顶点()1,0到渐近线y=x 的距离为2. 4. （2018·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ4）与（2018·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ4）相同已知双曲线C ：12222=-b y a x = 1（a>0,b>0）的离心率为25，则C 的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解题指南】根据题目中给出离心率确定a 与c 之间的关系，再利用222b ac +=确定a 与b 之间的关系，即可求出渐近线方程.【解析】选C.因为25==a c e ，所以4522=a c ，又因为222b a c +=，所以45222=+a b a ，得=22ab 41，所以渐近线方程为x y 21±= 5.(2018·天津高考理科·T5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p>0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 的面积为则p= ( ) A.1 B.32C.2D.3 【解题指南】画出图示,确定抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,表示出△AOB 的面积,然后求解.【解析】选C.如图,A,B 两点是双曲线的渐近线与抛物线y 2=2px(p>0)的准线的交点,其坐标分别为p bp p bpA(,),B(,)22a 22a ---，故△AOB 的面积为2bp 4a=又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b 2=c 2-a 2得b=所以p=2.6. （2018·湖北高考理科·Ｔ5）已知0＜θ＜4π，则双曲线C 1:1sin cos 2222=-θθy x 与C 2: 1tan sin sin 22222=-θθθx y 的（）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【解析】选D. 对于双曲线C 1，有cos ,sin ,a b θθ==所以1sin cos 222=+=θθc ，θcos 1==a c e .对于双曲线C 2，有sin ,sin tan ,a b θθθ==所以θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c ，θθθcos 1sin tan ===a c e .即121.cos e e θ==故两双曲线的离心率相等.，实轴长、虚轴长、焦距不相等。

7.（2018·北京高考理科·Ｔ6）若双曲线22221x y a b-=的离心率为）A.y=±2xB.y=C.12y x =±D.y x = 【解题指南】利用离心率求a,b 间的关系，代入渐近线方程。

【解析】选B 。

由离心率为c =，所以b =，渐近线方程为by x a=±=。

8.（2018·北京高考文科·Ｔ7）双曲线221y x m-=的离心率大于）A.m ＞12B.m ≥1C.m>1D.m ＞2【解题指南】找出222,,a b c ，表示出离心率，再解出m 。

【解析】选C.2221,,1,1ca b m c m e m a===+==>所以。

9.（2018·广东高考理科·Ｔ7）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于32，则C 的方程是（）A ．2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =【解题指南】本题考查双曲线的方程和相关性质，应掌握好,,,a b c e 之间的关系.【解析】选 B.设C 的方程为222210,0x y a b a b-=>>，（），由题意知33,2c c e a ===，则2a =，2225b c a =-=，所求方程为22145x y -=. 10.(2018·浙江高考文科·T9) 与(2018·浙江高考理科·T9)相同如图,F 1,F 2是椭圆C 1: x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2是矩形,则C 2的离心率是 ( )A 、2 B 、3 C 、32 D 、62【解题指南】由已知条件求解双曲线中的a,b,c 或是它们之间的关系.【解析】选D.由椭圆C 1与双曲线C 2有公共焦点可知c =因为|AF 1|+|AF 2|=4,|AF 1|2+|AF 2|2=2=12,所以|AF 1|·|AF 2|=2,又||AF 1|-|AF 2||=2a,所以(|AF 1|-|AF 2|)2=4a 2,所以a 2所以c e a ===. 二、填空题11. (2018·江苏高考数·T3)双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 . 【解题指南】利用双曲线的标准方程求出a,b 再利用渐近线公式求解.【解析】由双曲线191622=-y x 得a=4,b=3,故两条渐近线的方程为34y x =± 【答案】34y x =±. 12. （2018·天津高考文科·Ｔ11）已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .【解题指南】根据抛物线过双曲线的焦点确定c 的值，再由离心率求a 。

【解析】由抛物线28y x =知其准线方程为2=-x ，故双曲线中c=2，又离心率为2，所以a=1,由222=-b c a 得23=b ，因此该双曲线的方程为22y x 13-= 【答案】22y x 13-=. 13. （2018·陕西高考理科·Ｔ11）双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .【解题指南】利用双曲线的标准方程中222b ac +=及离心率的求解公式ace =推导m 的值. 【解析】9161694522=⇒==⇒=m mab ac 【答案】9.14. （2018·陕西高考文科·Ｔ11）双曲线221169x y -=的离心率为 .【解题指南】利用双曲线的标准方程中222b ac +=,及离心率的求解公式ace =得解. 【解析】.45,45162516922222所以离心率为=⇒==⇒=e a c e a b 【答案】45. 15. （2018·湖南高考文科·Ｔ14）设F 1，F 2是双曲线C ：22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点。

若在C上存在一点P 。

使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________________.【解题指南】本题由双曲线的定义式a PF PF 2||||||21=-和直角三角形中030角的对边等于斜边的一半求出,a c 的关系进而求出双曲线的离心率，注意范围1>e【解析】在直角三角形21F PF 中，由题设可知：c PF c PF c F F 3,,21221===，又a PF PF 221=-，所以c c a -=32，故13132+=-==a c e【答案】13+.16. （2018·湖南高考理科·Ｔ14）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若,621a PF PF =+且12PFF ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___ . 【解题指南】本题由双曲线的定义式a PF PF 2||||||21=-和条件,621a PF PF =+得出1PF ,2PF 的长，然后用余弦定理得到c b a ,,的关系再利用ace =求得结果. 【解析】不妨设21PF PF >，则,221a PF PF =-,621a PF PF =+得a PF 41=，a PF 22=，c F F 221=，则在三角形12PF F ∆中，02130=∠F PF 由余弦定理得022230cos )2)(4(2)2()4()2(c a c a a -+=，整理得0)3(2=-e 所以3=e .【答案】3.17. （2018·辽宁高考文科·Ｔ15）已知F 为双曲线:C 221916x y -=的左焦点，,P Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的２倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为__________.【解题指南】明确双曲线的定义及性质，合理利用式子的变形，创造性地使用双曲线的定义.【解析】由双曲线:C 221916x y -=知3,4,5a b c ====，则点(5,0)A 为双曲线的右焦点，由已知得2216PQ b =⨯=,PQ PA QA =+由双曲线的定义得26PF PA a PF PA -=⇒=+，26QF QA a QF QA -=⇒=+PQF △的周长为PQ PF QF ++(6)(6)()12PQ PA QA PQ PA QA =++++=+++ 1216161244PQ PQ =++=++=【答案】44.关闭Word 文档返回原板块。