高中各种函数图像画法和函数性质89960
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
一次 函数 k ，b 符号
图象
k kx bk 0
k 0
b0
b0
b0
b0
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
k 0
b0
b0
y
y
O
xO
x
性质
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
b>0
b<0
b=0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
y
O
x
非奇非偶函数
y
O
x
y
O数
k<0
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
二次函数
f x ax2 bx ca 0
a0
a0
图像
定义域 对称轴 顶点坐标 值域
单调区间
x b 2a
x b 2a
,
x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
4ac b2 4a
,
,
4ac 4a
b2
,
b 2a
递减
,
b 2a
递增
b 2a
,
递增
b 2a
,
递减
反比例函数
指数函数
对数函数
a＞1 图
象
a＜1
(1)x＞0
性 (2)当 x=1 时，y=0
质 (3)当 x＞1 时，y＞0
(3)当 x＞1 时，y＜0
高中数学基本初等函数图像及性质
高中数学基本初等函数图像和性质一次函数(0)y kx b b =+≠的图象和性质二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像和性质指数函数x y a =(0,1)a a >≠图象和性质对数函数log a y x =(0,1,0)a a x >≠>图像和性质性值域 (),-∞+∞ 恒过定点 ()1,0即log 10a =单调性 在定义域上为减函数 在定义域上为增函数补充性质 “同”正“异”负正弦函数 x y sin =1.定义域：R ；2.值域：[-1,1].3.单调性：在区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈内，函数单调递增；在区间3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈()k Z ∈内，函数单调递减；4.对称性：对称轴2x k ππ=+，对称中心(,0),k k Z π∈.5.周期性：2T π=；6.奇偶性：由sin()sin x x -=-知，正弦函数是奇函数；余弦函数 x y cos =1.定义域：R.2.值域：[-1,1].3.单调性：在区间[]2,2()k k k Z πππ-∈内，函数单调递增；在区间[]2,2()k k k Z πππ+∈内，函数单调递减；4.对称性：对称轴x k π=，对称中心(,0),2k k Z ππ+∈.5.周期性：π=T ；6.奇偶性：由cos()cos x x -=知，余弦函数是偶函数；正切函数 x y tan =1.定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； 2.值域：R3.单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
4.对称性：对称中心：(,0),2k k Z π∈，没有对称轴. 5.周期性：π=T ；6.奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；。
高中常用函数性质及图像汇总
函数周期性
• 周期性：若存在一个正数T，使得对于函数定义域内的任意一个 x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
函数有界性与无界性
有界性
若存在一个正数M，使得对于函 数定义域内的任意一个x，都有 |f(x)|≤M，则称函数为有界函数 。
无界性
若函数不满足有界性的条件，则 称函数为无界函数。
04
三角函数与反三角函数
三角函数基本概念和性质
01
02
03
04
三角函数定义
正弦、余弦、正切等函数在直 角三角形中的定义及在各象限
的符号规律。
三角函数的周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切函数周期为π。
三角函数的奇偶性
正弦函数为奇函数，余弦函数 为偶函数，正切函数为奇函数
。
三角函数的增减性
在各象限内，正弦、余弦函数 的增减性及其与角度的关系。
复合函数应用举例
在解决实际问题时，经常会遇到需要通过多个步骤或多个因素共同影响才能得到结果的情况，这时就可以通过建 立复合函数模型来描述这种关系。例如，在经济学中，可以通过建立复合函数模型来描述商品价格与市场需求量 之间的关系。
抽象函数应用举例
抽象函数在数学研究中具有重要地位，许多数学问题都可以转化为抽象函数的问题进行研究。例如，在证明一些 数学定理时，可以通过构造抽象函数并利用其性质进行证明；在解决一些数学问题时，可以通过对抽象函数的性 质进行分析和研究来找到解决问题的方法。
特定的形状和变化趋势。
幂函数和分式函数应用举例
幂函数应用举例
在物理学中，幂函数可以用来描述物体自由落体的速度v 与时间t的关系，即v=gt^2（其中g为重力加速度）。此 外，幂函数还可以用于描述放射性元素的衰变规律等。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
a>1时，在定义域内单调递增；0<a<1时，在定义域内单 调递减。
06
值域为(0, +∞)。
对数函数图像及性质
对数函数定义：形如y=log_a(x)(a>0且a≠1)的函数称 为对数函数。
对数函数性质
对数函数图像：当a>1时，图像在x轴上方，且随着x的 增大，y值无限增大；当0<a<1时，图像在x轴上方， 且随着x的增大，y值无限减小。
正弦函数、余弦函数图像及性质
图像特点
正弦函数$y = sin x$和余弦函数$y = cos x$的图像都是周期性的波浪形曲线，振幅为1，周期为$2pi$。正弦函 数图像关于原点对称，余弦函数图像关于$y$轴对称。
性质
正弦函数和余弦函数都是周期函数，具有周期性、奇偶性和有界性等性质。其中，正弦函数是奇函数，余弦函数 是偶函数。
变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
运算规则
复合函数的运算遵循“由内到外”的原则，即先求出内层函数的值，再代入外层函数中 计算。
复合函数图像变换规律
平移变换
若f(x)的图像向左（右）平移a个单位得到g(x)的图像，则g(x)=f(x+a)（a>0向左，a<0向 右）。
奇偶性
设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做奇函数；如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x) ，则这个函数叫做偶函数。
函数周期性
周期函数的定义
对于函数y = f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当 x取定义域内的每一个值时，f（x + T） = f（x）都成立，那 么就把函数y = f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这 个函数的周期。
高中阶段12种常见函数的图像及其性质.doc
(・8 ,0)50,+ 00)
(0,4-co)
必过点
(0上)
(0,c)
(k,l)
(乂-1)
(0,1)
周期性
不是周期函数
不是周期函数
不是周期函数
不是周期函数
单调性
在R上单增
(・OO,—3)为减2a
(—,+°°)为增
2a
(-00,0)为减
(0, + OO)为减
d〉1为增，
0<a<1为减
最值
在R不存在授大最小值
图像关于原点对-
称；
图像关于
□线y=x对称；
关于
直线y =-兀对称。
既不成屮心对称也不 成轴对称。
渐近线
无
无
直线兀=0或者 直线y=0.
直线y=0.
函数名
对数函数
幕函数
双钩函啓
含绝对值函数
解析式
y=log,(a>Olla工1)
Y=xa
y = 4x如
U>0)
y—cixh—\ci>\j）
X
中学研究方便通常 只了解方〉0的情况
正弦型函数
解析式
y=sin x
y-cosx
y=tan x
{x^k7T + — ,kG z}
2
y=Asin(69x+(p)(4〉0g〉0)
图像
y
3/r
y
i
! y|
1
:1
1
1丿
J；
/
0
-X
0
兀＜1?兀
2
o -i
Ay兀
lx
1
1
1
高中各种函数图像画法与函数性质
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.9、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.10、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
高中各种函数图像画法与函数性质
一次函数一次 函数k ，b k 0k 0符号b 0b 0b 0b 0b 0byyyyyy图象OxOxOx性质 y 随 x 的增大而增大OxOxOxy 随 x 的增大而减小二次函数a 0a 0图像xb xb2a2a定义域, 对称轴xb2a极点坐标b 4ac b 2 2a ,4a4ac b 2,4ac b 2值域,4a4a,b 递减b 递加2a ,2a单一区间b , 递加b , 递减2a2a反比率函数1、反比率函数图象：反比率函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比率函数图像中每一象限的每一支曲线会无穷凑近X轴 Y轴但不会与坐标轴订交（ K≠0）。
2、性质：1. 当 k>0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k<0 时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y 随 x 的增大而增大。
2.k>0 时，函数在 x<0 上同为减函数、在x>0 上同为减函数； k<0 时，函数在 x<0 上为增函数、在 x>0 上同为增函数。
定义域为 x≠0；值域为 y≠0。
3.因为在 y=k/x(k ≠0) 中， x 不可以为 0，y 也不可以为 0，所以反比率函数的图象不行能与 x 轴订交，也不行能与 y 轴订交。
4.在一个反比率函数图象上任取两点 P，Q，过点 P，Q分别作 x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1，S2 则 S1＝S2=|K|5.反比率函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角均分线），对称中心是坐标原点。
指数函数 y=a x(a＞0， a≠ 1)注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，不然不可以为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质规律： 1.当两个指数函数中的 a 互为倒数时，两个函数对于y 轴对称，但这两个函数都不拥有奇偶性。
(参考资料)常用基本函数图像与性质
于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住 5 要素：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.
奇偶性
奇函数
对称性
对称中心： (0 , 0)
五、指数函数
1. 定义：函数 y a x (a 0,且a 1) ， x 为自变量，函数定义域为 R . 2. 图像与性质：
0 a 1
( , 0) (0 , ) ( , 0) (0 , ) 单增区间： ( , 0) ，(0 , )
奇函数
对称中心： (0 , 0)
高中常用函数图像与性质
一、常值（数）函数 1. 定义：一般地，形如 y c（c为常数），那么叫做常值（数）函数.
2. 图像与性质：
解析式
y c(c 0)
y0
图像
y c(c 0)
性质
定义域 值域
单调性 奇偶性 对称性
R
y y c
不具单调性
偶函数
对称轴： y 轴（ x 0 ）
二、一次函数
1. 定义：一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.特别地，当 b=0 时，y=kx，此时 y 叫做 x 的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数. 2. 图像与性质：
②当 b2 4ac 0 时，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 与 x 轴有 1 个交点（顶点）；
③当 b2 4ac 0 时，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 与 x 轴无交点；
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一次函数
二次函数
反比例函数
1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
指数函数y=a x (a＞0，a≠1)
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质
规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；
当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；
当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数
比较幂式大小的方法：
1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；
3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；
4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).
因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.
为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2
1x,y=log 10
1x 的草图
图
象
a＞1 a＜1
性质(1)x＞0
(2)当x=1时，y=0
(3)当x＞1时，y＞0
0＜x＜1时，y＜0
(3)当x＞1时，y＜0
0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数
补充性质
设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1)
当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2
比较对数大小的常用方法有：
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
幂函数
幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1）点
① 11
,,1,2,332a =
时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ② 1
,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．
③ 任何两个幂函数最多有三个公共点．
增
增 增 增 减
幂函数y x α
=（x ∈R ，α是常数）的图像
在第一象限的分布规律是：
①所有幂函数y x α
=（x ∈R ，α是常数）
的图像都过点)1,1(；
②当
21
,
3,2,1=α时函数y x α
=的图像都过
原点)0,0(；
③当1=α时，y x α
=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；
④当3,2=α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）
④
21
=
α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c
⑤ 1-=α时，y x α
=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如
4c ）
当0>α时，幂函数y x α
=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
当0<α时，幂函数y x α
=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近；
（4）在第一象限内，过点)1,1(后，
α
越大，图象下落的速度越快。
无论α取任
何实数，幂函数y x α
=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数x
b
ax y +=（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似
符号“√”而得名，
函数x
b
ax y +
=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质:。