11.4复数域和实数域上的二次型
复二次型与实二次型
cr 0
0
合同, ci≠0(i=1,2,…,r). 注意到如果要交换ci ,cj , 只需交换第i , j 列再交换第i , j 行(1≤I, j≤r).
1 因而,不妨设c1,c2,…,cp＞0,cp+1,…,cr＜0,用 ci
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乘以B的第i列再乘以B的第i行(i=1,2,…,r)，经 此有限次合同变换便得(3), 从而A与(3)合同．□ 4. 实二次型的典范形与惯性定律 定理8.3.3 (惯性定律)任意一个秩为r的n元实二 次型f (x1, x2,…, xn)，都可经过一适当的可逆线 性替换化为
3 4 (4,3,0,0) 1 0 0 1 0 0 0 17 4 7 3 1 0 5 4 x y 1 z 0 t 1
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6 x 4 y 10 z 2t
同样可得 -4x1+ 3y1= -4y + 24z- 8t.
2 2 2 2 y y y y y + y +…+ p - p1 - p 2 -…- r 2 1 2 2
(4)
(0 p r n)
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而(4)式称为实二次型f(x1, x2,…, xn)的典范形,典范 形是惟一的，即典范形中正平方项的个数是惟一 确定的. 证 由定理8.3.2可得定理前半部分，下证p惟一．
解
若a,b,c全为零，则f(x, y, z)的秩和符号差均为
零．若a,b,c不全为零，不妨设a≠0，我们对二次
型f(x, y, z)的矩阵施行合同变换
c T 32( ) 0 a 0 0 a c a a 0 b a 0 b c b 0 c 2 bc T ( ) 23 0 b a a
高等代数选讲课程标准
高等代数选讲课程标准课程目标1：本课程是专业基础课高等代数的深化和提高。
通过本课程的学习，使学生对高等代数各个知识模块之间有一个系统的理解和掌握，对该课程中的基本概念、基础知识与基本理论等进行巩固、加深、提高，使学生对所学的高等代数知识能做到触类旁通。
课程目标2:通过本课程的学习，使学生具有更好的空间想象能力，具备更强的计算能力、分析问题解决问题的能力；加强数学的证明能力，进一步培养学生应用数学知识的能力。
加强本课程所涉及的抽象思维的重要思想方法的培养，为后续研究生阶段相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的基础。
课程目标3:了解高等代数的发展历史，提升学生的数学文化素养。
初步了解高等代数在中国的发展历史，并利用老一辈代数学家的典型事迹进行恰当的课程思政教育。
了解高等代数课程在数学专业中的基础地位和作用，了解高等代数课程在其他科学（如物理学、计算机科学、经济学等）的作用和联系。
课程目标4:培养学生的终身学习和专业发展意识，能在高观点下处理初等代数教学中的相关问题。
同时，通过课前预习、课堂启发、课后作业等方式，提升学生的数学思维能力和逻辑推理能力以及学生自主学习与职后发展的能力。
三、课程目标与毕业要求的关系八、课程目标达成度评价参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。
九、本课程各个课程目标的权重依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重如下:根据学生的课堂表现、平时作业、平时测验情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、平时作业、平时测验及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况；根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况,参考优秀专业经验，在学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。
十一、推荐教材及参考书目1.推荐教材北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，《高等代数》（第五版），北京：高等教育出版社，2019.2.参考书目张禾瑞,郝一新,《高等代数》（第五版），北京：高等教育出版社，2007.姚慕生吴泉水谢启鸿编著，《高等代数学》（第三版），上海：复旦大学出版社,2019年。
1二次型理论起源于解析几何中二次曲线
第九章二次型综述1．二次型理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的简化问题.一般的n 元二次型化为标准型问题在很多工程问题中有广泛的应用,而n 维欧氏空间中二次型正交化为标准型问题,在相近学科如分析、统计学中有直接的应用,但内容本身作为高等代数（线性代数）的一部分,不太需要完整的论述而又必要作一讨论.2．n元二次型理论（一般数域F上）从体系结构上来讲,可作为一独立的内容,但其可建立与F上n 阶对称矩阵的一一对应,所以可安排在矩阵一节之后（北大教材即如此）,而其又可与F上的向量空间v 上的对称内积（亦可为对称双线性函数（型））的集合一一对应,因而可放在欧氏空间后.（先推广欧氏空间即定义一般数域上的（对称）内积（或更一般的酉内积）,具体见下补）.特别是对欧氏空间中实二次型的讨论（主轴问题、正定等）因而可放在欧氏空间后（因有些结论是对称变换的推论）.3．就本章内容而言,主要是二次型的概念及标准形问题,实二次型分类及实二次型的正定及主轴问题.如刚才所讲,实际上：一般数域F上的n元二次型的集合,F上n维向量空间的对称双线型（函数）的集合（亦是对称内积的集合）,F上n 阶对称矩阵的集合是一一对应的,即是同一事物的三种表现形式,可通过一方研究（表示）另一方,且大多是通过对称矩阵来研究二次型的（如标准形（化简）、复、实二次型的规范型、实二次型的正定及主轴问题皆是如此）,这是方法问题,而理论上为认识二次型是先介绍了双线性型（对称双线性函数）,所以在具体内容上直接给出二次型定义,用上述方法讨论前述问题.4．本节重点难点是二次型的标准形,复、实二次型的规范形及正定二次型的判定,所以二次型的初等变换法化简、惯性定理是难点.5．简要介绍一下欧氏空间的推广——内积空间与西空间.（略）6．本教材是先定义双线性型（函数）,对称双线性型（函数）,引入与对称双线性型（函数）的关联函数得出二次型定义,好在理论上可进一步了解二次型,但不利于实质上（用对称矩阵）讨论二次型本章要解决的问题,以及9.2以后的内容；重要的是引导学生建立F上n元二次型与F上n阶对称矩阵的一一对应,通过对称矩阵研究本章所有问题.9.1 二次型一教学思考1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F 上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的定义及二次型的表示,特别是其矩阵表示,从而建立n 元二次型与n 阶对称矩阵的对应,用对称矩阵来讨论二次型的标准形问题,为下面具体讨论C上R上的二次型的规范形（分类）（正定、主轴问题）打下基础.2．本节不从书中介绍,直接给出二次型的定义、表示、标准形等概念,及标准形的化法.二内容要求1．内容：二次型、二次型的矩阵、可逆性替换,矩阵的合同、二次型的等价、二次型的标准型2．要求：掌握上述概念及二次型的标准形的化法.三教学过程1．二次型及表示（1）定义数域F上n个文字x1,x2, (x)n的一个二次齐次多项式叫做F上n个文字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以写成：q(x 1,x 2,…x n )=a 11x 21+a 22x 22+…+a nn x 2n+2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n+2a 23x 2x 3+…+2a 2n x 2x n (Ⅰ) +……+2a 1n n -x 1n -x n (Ⅰ)式称为二次型的一般形式.q(x 1,x 2,…x n )ij jia a ==11nnij iji j a x x==∑∑ (Ⅱ)（2）二次型的矩阵定义 令A=()ij a 是由（Ⅱ）的系数所构成的矩阵.称为二次型（Ⅱ）的矩阵. 二次型（Ⅰ）（Ⅱ）又可表示为（矩阵）形式：q(x 1,x 2,…x n )= (x 1,x 2,…x n )A 12.n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=x TAX. (Ⅲ)定义：一个二次型的矩阵叫做二次型的秩.(3)可逆（非退化、满秩）线形替换有矩阵的合同.定义 x 1,x 2,…x n 和12,,...,n y y y 是两组文字,系数在数域F 中的一组关系式111112211122.........n n nn n nn n x c y c y c y x c y c y c y=+++⎧⎪⎨⎪=+++⎩ （＊）称为由x 1,x 2,…x n 到12,,...,n y y y 的一个线性替换.定理1 n 元二次型q(x 1,x 2,…x n )= x TAX 经（可逆）线性替换（＊）X=CY 变为二次型Y TBY.其中B=C TAC.定义 设A,B ∈M n (F),若存在一可逆矩阵P ∈M n (F),使得B=TP AP ,则称A 与B 合同. 合同关系的性质：① 自反性：∀ A ∈M n (F),A 与A 合同.(∵A=TI AI ). ② 对称性：若A 与B 合同,则B 与A 亦合同.事实上: ∵A 与B 合同,即存在可逆矩阵P 使B=TP AP ∴A=1111()()T T P BPP BP ----=∵1P -可逆.故也.③ 传递性：若A 与B 合同,B 与C 合同,则A 与C 合同.事实上：存在可逆矩阵P ﹑Q 使B=TP AP ,T C Q BQ =∴()()T T T C Q P APQ PQ A PQ == 而PQ 可逆.故也.合同矩阵的简单性质：①若A 与B 合同,A 为对称矩阵,则B 亦是.事实上：∵存在可逆矩阵P 使B=TP AP ,∴()T T T T T TT T B P AP P A P P AP B ====,故也. ②合同矩阵有相同的秩.由195 5.2.8.P Th 显（反之不真）. (4)二次型的等价：定义 设q(x 1,x 2,…x n )与'q (x 1,x 2,…x n )是数域F 上两个n 元二次型,若可以通过可逆现线性替换将前者化为后者（此时可互化）则 称这两个二次型等价.定理2：数域F 两个n 元二次型等价⇔它们的矩阵合同. 2．二次型的标准形 引言对二次型,当形式简单时便于讨论,比如解析几何中有？二次曲线,当仅有平方项时,其几何图形便一目了然；对于二次型成为二次型形式最简单那的一种是只含有平方项的二次型称之为：定义 只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.问题：任给F 上一个二次型能否象解析几何中讨论有心（中心与原点重合、或否）二次曲线那样,通过（坐标旋转（加平移））可逆线形替代：若能,怎样做（即怎样找可逆线形替换）补例 化二次型222123112132233(,,)22285f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形. 22222123112323232123222123223322222123223333222123233(,,)2()()()285()64()2(3)(3)(3)4()(3)5f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x =++++-++++=+++++=+++++-+=++++-作线性替换,即令：1123223333y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩⇒11232233323x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 则原二次型化为：2221235y y y +-.注：上述方法称为“配方法”,告知任一二次型可化为标准形（当定理3 设)(ij a A =是数域F 上一个n 阶对称矩阵,则总存在F 上一个n 阶可逆矩阵P 使证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯='n c c c AP P (02)1,即A 与对角阵合同.例：将00030360061243040A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角型）. 解：（略）P=21013310223001420103⎛⎫- ⎪⎪⎪-⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30000600800030000TP AP ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 将Th3应用于二次型得：定理4 设q(x 1,x 2,…x n )=11n nij i j i j a x x ==∑∑= x TAX 是数域F 上一个n 元二次型,则总可以通过变量替换12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=12n y y P y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 把它化为2211...n n c y c y ++,其中P 为可逆矩阵. 9.2 复数域、实数域上的二次型一 教学思考本节是将一般数域上的二次型的标准形问题具体到复数域、实数域上作深入的讨论,最终得到此二数域上二次型的典型（规范）型,进而得这两类二次型的分类,结果是：C 上二次型典范型由秩唯一决定,所以C 上n 元二次型可按秩分类为n+1类；R 上二次型典范性由秩与符号差决定,所以R 上二次型分类由此二者分为1(1)(2)2n n ++类.本节讨论问题的方法在上节（基础上）——行列同型初变（含同变换）化对称矩阵为对角形的基础上,仍利用讨论矩阵的思想,按上述方法很易讨论而得.但对实二次型典范形式的唯一 性（惯性定理）的证明较繁,本教材用双线性函数反证之,有直接用二次型证之（反证法）.习题中反应求实二次型的秩、符号差（惯性指标等）,用本节方法来讲化为典范型（实为标准型）便知,当然一般方法为初等变换法,特殊形式的可用特殊方法（9.4还有用求特征根法）；求实（复）对称矩阵合同问题亦用初变化为标准[spI I O ⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭、r I O ⎛⎫⎪⎝⎭]型. 二 内容及要求1．内容：复数域、实数域上二次型的典范形式与分类.2．要求：掌握C 、R 上二次型的典范形式及求法,及内容体现的通过对称矩阵讨论问题的思想,实二次型的秩、惯性指标、符号差的求法（本节为化为典范形、实际标准形即可）；下节还将介绍用特征根法.复、实二次型的等价分类. 三 教学过程引言上节我们知道：数域F 上任一n 元二次型1(,,)n q x x =AX X ',都可以通过可逆线性替换X=PY 化为标准形：2211r r y c y c +⋯⋯+.其中r 为二次型的秩.用矩阵语言叙述（等价为）：对()F M A n ∈∀,A A =',则A 合同于一个对角形矩阵D . 1 C 上的二次型：复二次型——复数域上的二次型称为复二次型. 先介绍一个重要定理,由此反映下述结论.定理9.2.1复数域上两个n 阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩.()(),,,,A B Mn C A A B B AB A B ''∈==⇔=则秩秩2．R 上的二次型：实二次型——实数域上的二次型.（1） 实二次型等价的充要条件（⇔实对称矩阵合同的充要条件）.为此：定理9.2.2 设()r A A A R Mn A =='∈秩,,则A 合同于pr pI I O -⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭. 平行地定理9.2.3 秩为r 的n 元实二次型都与如下形式的一个二次型等价：(Ⅰ)r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++定理9.2.4 （惯性定理）,设R 上一个n 元二次型等价于两个典范形式： ①r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++（r 为二次型的秩） ②222211P P r y y y y ''++⋯⋯+--⋯⋯-（r 为二次型的秩） 则P P '=.（反证略）定义 一个实二次型的典范形式中,正平方项的个数P 叫做这个二次型的（正）惯性指标（数）,正项的个数P 与负项个数（负惯性指标）p r -的差：()2sp r p p r --=-,叫做这个二次型的符号差.定理9.2.5 两个n 元实二次型等价的充分条件是它们有相同的秩和符号差. 平行地：设B B A A R Mn B A ='='∈,),(，. 则A 与B 合同⇔它们有相同的秩与符号差. （2）n 元实二次型的分类：n 元实二次型按等价分类：由于n 元实二次型的典范形式由秩与惯性指标唯一确定,所以：推论9.2.6：n 元实二次型按等价分类,可分成：()()211++n n 类. 9.3 正定二次型一 教学思考本节研究一类特殊的实二次型——正定二次型.从定义上来讲,正定二次型是将n 元实二次型视为n 元实函数（即nR 上的实函数）,由其函数值分类中的一种；因而由定义判定一个实二次型是否正定相当不易,那么本节在于寻求正定二次型的判定,得到两个判定定理；一个是由秩与符号差（或惯性指标）判定,一个用二次型自身的信息——矩阵的顺序主子式判定,结论方法明确具体,下节还给出一个用特征根判定.所以本节内容易讨论、接受,注意其中反映的一些结论,如可逆线性替换不改变二次型的正定性等. 二 内容和要求1．内容：正定二次型及其判定. 2．要求：掌握有关概念和判定方法. 三 教学过程1．定义 （由于二次型是n 个文字的二次齐次多项式,所以n 元实二次型可象一元多项式那样定义其在某一点的值,即将n 元实二次型看成定义在nR 上的n 元实函数,那么可按它的值的符号分类）. 设()n x x x q ，⋯⋯,,21是一个n 元实二次型,若对任意一组不全为0的实数n c c ⋯⋯1；（1） 如果()01>⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为正定二次型； （2） 如果()01<⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为负定二次型； （3） 如果()10n q c c ⋯⋯≥,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半正定二次型； （4） 如果()10n q c c ⋯⋯≤,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半负定二次型； （5）若()n c c q ⋯⋯1有正、有负,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为不定二次型. 2．正定二次型的判定定理9.3.1 实数域上n 元二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21是正定的⇔它的秩与符号差都等于n （惯性指标为n ）.有时须从二次型的矩阵直接判定,不希望通过典范形式,为此下讨之. 定义 设()()R Mn a A ij ∈=,位于A 的前k 行、前k 列的子式1111kr kka a a a 叫做A 的k 阶顺序主子式.二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21的矩阵的k 阶主子式叫做二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21的k 阶主子式.定理9.3.2 n 元实二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21是正定的⇔它的一切主子式全大于0.9.4主轴问题一 教学思考本节内容是在欧氏空间中将有心二次曲线、二次曲面,用正交变换化为标准形问题的推广——将实二次型用正交变换化为标准形.思想方法仍是将实二次型问题转化为实对称矩阵处理.由第八章第4节的结论,则此问题解决的具体完满.须注意的是：①此将实二次型化为标准形是用正交变换因而方法过程与前不同,从而结论中标准形的平方项系数为二次型的矩阵的全部特征根.②顺便得到了判定实二次型是否正定的又一方法（用特征根）. 二 内容、要求1．内容：主轴问题；实二次型用正交变换化标准形 2．要求：掌握上述概念与方法. 三 教学过程：1．主轴问题：实数域上一个n 元二次型通过坐标的正交变换（正交线性替换）化为标准形的问题. 2．问题的提出及含义的由来我们知道（9.1）任何一个二次型都可经过线性替换化为标准形.用一般的线性替换把二次型化为标准形,可能会改变向量的度量性质（见霍元极379P ）,在许多问题中都要求简化实二次型时,所作的线性替换不改变向量的度量性质,如在解析几何中一样,用坐标变换（旋转、平移）化二次曲面（线）为标准形,其特点是用正交变换；因而,一般地讨论把一个n 元实二次型通过正交线性替换化为标准形的问题,正是解析几何中的问题的推广,叫做主轴问题（因由此可知有关曲面、线的性态）.3．问题的变通因为二次型通过可逆线性替换化为标准形问题等价于对称矩阵与对角形矩阵合同问题,所以主轴问题：n 元实二次型1(,,)n q x x X AX '=N 能否通过正交线性替换化为标准形的问题(),n A M R A A '⇔∈=是否存在正交矩阵U ,使得U AU '为对角形.4．问题的解决（由定理8.4.6） 定理9.4.1设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则可通过正交线性替换X UY =化为2211n n y y λλ++.其中U 为正交矩阵,1,,n λλ为A 的全部特征根.推论：设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则1）二次型的秩等于其矩阵A 的不为0的特征根的个数；而符号差为A 的正特征根的个数与负特征根的个数的差.2）1(,,)n q x x X AX '=是正定的充要条件是A 的所有正特征根为正实数.。
6.3 二次型的规范性
再作非退化线性替换
1 y1 d z1 1 1 zr , yr dr yr 1 z r 1 yn z n
则
或 Y=D Z,
1 D diag( , d1
1 , ,1, dr
zr2
, 1)
2 2 f ( X ) Z '( D ' C ' ACD ) Z z1 z2
其中r 秩( A).
推论 两个复对称矩阵A、B合同 秩( A) 秩( B ).
定理4 任意一个实二次型，经过一适当的非退化 线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的. 即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵
1 1 0
－1的个数之和 = 秩 f = 秩(A)是唯一确定的.
③ 规范形是唯一的.
2、惯性定理
定理4 任一实二次型可经过适当的非退化 线性替换化成规范形，且规范形是唯一.
证明：只证唯一性. 设实二次型 f ( X ) X ' AX 经过非退化线性替换
X BY 化成规范形
2 f ( X ) y1 2 y2 y p p 1
nn 设复二次型 f ( X ) X ' AX , A' A C
经过非退化线性替换 X CY , C Cnn 可逆, 得 标准形
2 f ( X ) Y '(C ' AC )Y d1 y1
d r yr2
d i 0, i 1 , 2
r , 这里 r 秩 f 秩（A ）.
得 Z 0 GY0 (0 ,
0 , zq 1 ,
zn )
2 z 将其代入（3）的右端，得其值为 g 1
11.4 复数域和实数域上的二次型教程
G T 1
I n1 令 C C1C2 , a ann GG ,就有 C AC 0
T T
T
பைடு நூலகம்
0 .两边取 a
行列式，得 C A a. 由条件 A 0, 因此 0 ，
I n1 显然 0 0 I n1 a 0
解
f x1 , x2 ,
, xn 的矩阵为
5 2 4 A 2 1 2 . 4 2 5
5 2 1 0， A 1 0, 它的顺序主子式 5 5 0 ， 2 1
所以 f x1 , x2 , x3 是正定二次型.
14
结束
d n xn2
2
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
由于任一二次型都可以通过非退化线性替换化为标 准形，我们自然希望通过实二次型的标准形是否正定来 判断实二次型是否正定，为此，需要研究非退化的线性 替换会不会改变实二次型的正定性，我们有下面的
定理 11.9 等价的实二次型有相同的正定性.
11.4 复数域和实数域上的二次型
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
定义 11.6
设 f x1 , x2 , , xn 为实二次型，如果对于任
意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , cn ，都有 f c1 , c2 , , cn 0 则 称二次型 f x1 , x2 , , xn 是正定二次型.
定理 11.12
实二次型 f x1 , x2 , , xn X T AX 正定的
充分必要条件是它的一切顺序主子式全大于零 .
7
高等代数与解析几何
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲一．课程任务二．教材与参考书目1．教材：1.《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第三版，高等教育出版社，2003年7月。
2．《高等代数辅导与习题解答》王萼芳，石生明编，高等教育出版社，2007年2月。
3．《高等代数》丘维声编，第二版，高等教育出版社，2002年7月。
4.《LinearAlgebra》彭国华，李德琅编，高等教育出版社，2006年5月。
5.《高等代数解题方法与技巧》李师正主编，高等教育出版社，2004年2月。
三．课程考核方法与命题要求本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力。
平时成绩占30%，期末成绩占70%。
考试大纲根据教学目标，划分标准为“识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题。
本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等。
（第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）四．课程内容与考核要求第一章基本概念1．知识范围：本章主要介绍集合，映射，数学归纳法，整数的一些整除性质，数环和数域的基本知识。
2．考核要求：深入理解集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系，掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件，理解和掌握数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
能够判别一些数集是否为数环、数域。
3．考核知识点：映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射，映射可逆的充要条件，数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质，数环、数域的概念。
第二章多项式1．知识范围：本章主要讨论了多项式的整除性，最大公因，因式分解及在常见数域（有理数域、实数域、复数域）上多项式的约性，多项式根的一些性质，属多项式代数的基本知识，是对中学所学知识的加深和推广。
第九章 二次型
2．R上的二次型： 实二次型——实数域上的二次型.
（1） 实二次型等价的充要条件（实对称矩阵合同的充要条 件）.为此：
定理3 设是数域F上一个n 阶对称矩阵,则总存在F上一个n阶可逆矩 阵P使证,即A与对角阵合同.
例：将化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角 型）. 解：（略）P= . 将Th3应用于二次型得：
定理4 设q(x,x,…x)== xAX是数域F上一个n元二次型,则总可以通过 变量替换=. 把它化为,其中P为可逆矩阵.
的等价标准形的化法.
三 教学过程
1．二次型及表示
（1） 定义 数域F上n个文字x,x,…x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文
字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以
写成：
q(x,x,…x)=ax+ax+…+ax
+2axx+…+2axx
9.1 二次型
一 教学思考 1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,
但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容 上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理 论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的
同.
合同关系的性质：
1 自反性： A∈M(F),A与A合同.(∵A=).
2 对称性：若A与B合同,则B与A亦合同.事实上:
高等代数课程标准
《高等代数》课程标准一、课程概述高等代数是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课程，本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论.此外,还介绍群丶环丶域的基本概念。
通过本课程的教学,应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法,并能处理中学数学的有关教材内容。
同时,培养学生的科学思维丶逻辑推理和运算的能力,以及学生的辩证唯物论观点。
在教学中应注意理论联系实际,联系中学教学。
二、课程目标1、知道《高等代数》这门学科的性质、地位、研究对象及内容、研究方法、知识架构、学科进展及未来发展方向。
2、理解该学科的主要概念、基本原理。
如多项式、行列式、矩阵、向量空间、二次型等。
3、掌握该课程的基本方法和计算与证明技巧。
4、学会应用该学科的原理和基本方法解决实际问题，为学习其它课程打下必要的基础，高观点解决中学数学实际问题。
三、课程内容和教学要求本课程主要内容:基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及群、环和域简介。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型第十章群丶环和城简介*四、课程实施(一) 课时安排与教学建议高等代数是数学专业的基础必修课,系主干课程。
一般情况下,每周安排5课时,共165课时.具体课时安排如下:(二) 教学组织形式与教学方法要求教学组织形式：采用以教学班为单位进行授课的教学形式。
教学方法要求：以课堂讲授结合多媒体和讨论为主，辅以课外作业、单元测验、答疑等,有条件的话，可以进行专业调查和课程设计，或组织课外兴趣小组，培养学生对该课程知识综合运用能力和发现问题、分析问题、解决问题的能力。
五、教材编写与选用《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新。
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。
其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。
二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。
三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。
各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。
3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。
4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。
二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。
2．正确理解多项式的整除概念和性质。
理解和掌握带余除法。
3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。
高等代数09二次型
定理9.1.3
数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵 合同等价的二次型具有相同的秩
定理9.1.4
设 A (aij) 是数域F上一个阶对称矩阵，总存在F上一个附 非奇异矩阵P，使得
c1 0 c2 P' AP 0 cn
主轴问题
定理9.4.1
设 q ( x1 , x2 , , xn )
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j
是实数域上一个二次型。那么总可以通过变量的正交变换
x1 y1 x2 y U 2 x y n n
类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互 不行装价。
正定二次型
定理9.3.1
实数域上二次型q(x1,x2,……,xn)是正定的充分且必要的条件是 它的秩和符号差都等于
定理9.3.2
实二次型
q( x1 , x2 ,, xn ) =
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j
是正定的，必要且只要它的一切主子式都大于零
2 2 2 化为1 y1 2 y2 n yn，
这里U是一个正交矩阵，而λ1 ,λ2,…， λn∈R是二 次型的矩阵A=(aij)的全部特征根.
定理9.4.2
设 q ( x1 , x2 , , xn )
i 1 n
a
j 1
n
ij
xi x j
是实数域上一个n元二次型，A=(aij )是它的矩阵. (i) 二次型q(x1,x2,……,xn)的秩等于A的不等于零的特征根的个 数，而符号差等于A的正特征根个数与负特征根个数的差。 (ii)二次型q(x1,x2,……,xn)是正定的必要且只要A的所有特征根 都是正数。
9.2 复数域和实数域上的二次型
n
o
o o
定理9.2.3：实数域上每一个 元二 次型都与如下形式的二次型等价： 2 2 2 2 2 （1）x 1 x 2 x p x p 1 x p 2 x r （典范形式或规范形），这里 r 是所 给二次型的秩。
n
结论：实数域上每一个二次型都与 一个典范形式等价。 定理9.2.4（惯性定律）：设实数域 n n 上 元二次型 a x x ,(a a )
n
i j
1 1
2 2
ij i j
ij
ji
等价于两个典范形式：
（2）y1 y2 y p y p1 yr ;
2 2 2 2
结论：一个实二次型的秩、惯 性指标和符号差都是唯一的。
定理9.2.5：实数域上两个 n 元 二次型等价的充要条件是它们有 相同的秩和符号差。
例、用满秩线性代换将二次型
f(x1,x 2 ,x 3 ) 2x1x 2 2x1x 3 6x 2x 3
化为规范形；并求该二次型的秩， 正、负惯性指数和符号差。
那么 p p 。
(3) z1 z2 z p z p1 zr ;
2 2 2 2
结论：实数域上每一个二次型 （ q(x1,x 2 , ,x n ) 都与唯一的典范形式 1） 等价。 2 2 2 2 2 2 定义：x 1 x 2 x p x p 1 x p 2 x r 中，正平方项的个数 p 叫做所给二次 型的惯性指标（或正惯性指数）；负 平方项的个数 r p 叫做所给二次型 的负惯性指数；正、负惯性指数的差 s p (r p ) 2p r 叫做所给二次型的 符号差。
9.2 复数域与实数域上的二次型
高等代数考研复习二次型
1.1 二次型及其矩阵
1)定义：设P是数域,系数在数域P上的关于x1,x2, ,xn 的二次齐次多项式
f (x1,x2, ,xn) a11x12 2a12x1x2 2a1nx1xn
a22x22 2a2nx2xn
annxn2
nn
aijxixj, aij aji.
i1 j1
称为数域P上的一个n元二次型.
数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：
它的秩等于2和符号差等于0或秩等于1.
例2 设A为一个n阶实对称矩阵，且 | A| 0. 证明：
存在实n维列向量
X使0 得0,
X0AX00.
例3 设 f(x 1 ,x 2 , ,x n ) X A X 是一个实二次型，若
存在n维向量 X1, X 2 使得 X 1 A X 1 0 ,X 2 A X 2 0
Ep
同于唯一的n阶对角矩阵
Erp
0
.
注意：实数域上的两个对称矩阵合同的充分必 要条件是这两个矩阵有相同的秩与正惯性指数.
1.4 化二次型为标准型的方法
a)配方法；
b)初等变换法；
设A 是对称矩阵，故存在可逆矩阵 C , 使
d1
CAC
d2
D.
d
n
由 C 可逆知，存在初等矩阵 P1,P2, ,Ps, 使得 CP1P2 Ps, 于是
.
λn
题型分析: (1)化二次型为标准型； (2)矩阵合同的应用； (3)惯性定理的应用.
例1 用配方法化二次型为标准形 (1) f x 1 2 x 2 2 x 3 2 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 3 . (2) f x 1 x 2 3 x 1 x 3 3 x 2 x 4 x 3 x 4 .
复二次型与实二次型
8.3 复二次型与实二次型授课题目：8.3 复二次型与实二次型授课时数：3学时教学目标：掌握复二次型与实二次型的性质，会将给定的复二次型与实二次型化为标准型教学重点：复二次型与实二次型的性质教学难点：复二次型与实二次型的性质教学过程：1. 复(实)二次型与复（实）变换我们知道，在一般数域内二次型的标准形不是惟一的，而与所作的可逆线型替换有关，这同时也告诉我们：不能简单地由两个二次型的标准是否相同来判定它们是否等价.本节，我么将在复数域和实数域上来讨论二次型的标准形的惟一性问题。
系数在复数（实数）数域上的二次型，简称复（实）二次型，与之对应的矩阵实复（实）对称矩阵，对它们进行的可逆线型替换的系数也是复数（实数），称之为复（实）变换。
先看复数域上的情形，我们从与二次型一一对应的对称矩阵着手。
2. 复对称矩阵与复二次型的典范形定理8.3.1 n 阶复对称矩阵A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 （1） 合同，其中（1）式矩阵中1的个数r=秩（A ）.（1）式称为复对称矩阵A 的典范形矩阵，典范形是惟一的.证 由定理8.2.1知，A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 r c c 合同，注意到c i ≠0(i=1,2,…,r),我们用i c 1乘以B 的第i 列再乘以它的第i 行（i=1,2,…,r ），经过这r 次合同变换便得（1），从而A 与（1）合同.又因合同矩阵的秩相等，故（1）式中1的个数等于A 的秩，因而复对称矩阵A 的典范形惟一。
□注意合同是一种等价关系，因而有以下推论.推论1 两个n 阶复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.推论2 秩为r 的n 元复二次型f(x 1, x 2,…, x n ),经过一适当的可逆线性替换可以化成 21y +22y +…+2r y . （2）（2）式称为复二次f(x 1, x 2,…, x n )的典范形，典范形式惟一的.推论3 两个n 元复二次型等价的充分必要条件是它们的秩相等.再看实数域上的情形.3. 实对称矩阵与实二次型的典范形定理8.3.2 n 阶实对称矩阵A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0p r p I I （3） 合同，其中r ＝秩（A ），0≤p≤r ．矩阵（3）叫做实对称矩阵A 的典范形矩阵． 证 由定理8.2.1知，A 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001 r c c B 合同， c i ≠0(i=1,2,…,r)．注意到如果要交换c i ，c j ，只需交换第i ，j 列再交换第i ，j 行（1≤i ，j≤r ）．因而，不妨设c 1，c 2，…，c p ＞0，c p+1，…，c r ＜0，用i c 1乘以B 的第i 列再乘以B 的第i 行(i=1,2,…,r)，经此有限次合同变换便得（3），从而A 与（3）合同．□4. 实二次型的典范型与惯性定律定理8.3.3 （惯性定律）任意一个秩为r 的n 元实二次型f (x 1, x 2,…, x n )，都可经过一适当的可逆线性替换化为21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y (n r p ≤≤≤0) （4）而（4）式称为实二次型f(x 1, x 2,…, x n )的典范形，典范形是惟一的，即典范形中正平方项的个数是惟一确定的．证 由定理8.3.2可得定理前半部分，下证p 惟一．设实二次型f(x 1, x 2,…, x n )＝X T AX 经可逆线性替换X=BY=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n y y y b b b b b b b b b 21212222111211 X=CZ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n z z z c c c c c c c c c 21212222111211 分别化为典范形21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y (n r p ≤≤≤0) （5）21z +22z +…+2q z -21+q z -22+q z -…-2r z (n r q ≤≤≤0) （6）如果p≠q ，我们不妨设p ＞q ，由于典范形（5）可以看成是由典范形（6）经过可逆线性替换Z=C -1BY 得到的，设C -1B ＝D=(d ij ) ,即经过可逆线性替换Z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n z z z 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n y y y d d d d d d d d d 21212222111211 后，得21z +22z +…+2q z -21+q z -22+q z -…-2r z =21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y （7）令（7）式中z 1=…= z p =y p+1=…=y n =0，注意到关系Z=DY ，可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++==++++00000122111212111n p n qn q q n n y y y d y d y d y d y d y d 由于方程个数q+（n- p ）＝n-（p- q ）＜n ，故上述关于y 1,y 2, …,y n 的齐次线性方程组有非零解，设(k 1, …,k p ,k p+1, …,k n )就是它的一个非零解，显然，k p+1＝…＝k n ＝0，将这个解代入（7）式的右端，就得到21k +22k +…+2p y -0-…-0=21k +22k +…+2p y >0而将这个解通过Z ＝DY 代入（7）式的左端，并注意到z 1＝…＝z q ＝0，因而有-21+q z -22+q z -…-2r z ≤0,这是一个矛盾，从而p ＝q ，即实二次型的典范形是惟一的．□ 推论4 n 阶实对称矩阵A 的典范形中的p 由矩阵A 惟一确定．定义1 在实二次型f(x 1, x 2,…, x n )的典范形中，正平方项的个数p 称为二次型f(x 1, x 2,…, x n )的正惯性指标；负平方项的个数r- p 称为负惯性指标；它们的差p-（r- p ）＝2 p- r 称为f(x 1, x 2,…, x n )的符号差．因此，可以定义实对称矩阵的正、负惯性指标及符号差．显然，对于实二次型或实对称矩阵的秩r 、正惯性指标p 、负惯性指标r-p 以及符号p-（r- p ）四个量，只需知道其中两个，便可以算出其余两个．可以称它们为这些变换下的不变量．推论5 两个n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．两个n 元实二次型能用可逆线性替换互化的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．我们可以从实二次型的典范形中得到它的秩和符号差．定理8.3.4 设A 是一个实对称矩阵，A 的各行至多只有一个非零元，则A 的秩等于非零元的个数，符号差等于主对角线上正的元素个数与负的元素个数之差． 由定理8.3.4将实对称阵用合同变换化为一个＂每行最多只有一个非零元＂的矩阵，就可求得它的秩和符号差．例1 确定实二次型f(x, y, z)=2axy+2byz+2czx 的秩和符号差．解 若a,b,c 全为零，则f(x, y, z)的秩和符号差均为零．若a,b,c 不全为零，不妨设a≠0，我们对二次型f(x, y, z)的矩阵施行合同变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−→−-−−−→−-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a bc b b a a a c T a c T b c b a c a 20000)()(0002332⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−→−-−−−→−-a bc a a ab T a b T 2000000)()(1331 由此可知：1）若abc ＞0，则秩（f ）＝3，f 的符号差为-1，2）若abc ＜0，则秩（f ）＝3，f 的符号差为1，3）若abc ＝0，则秩（f ）＝2，f 的符号差为0，例2 分解实二次函数f(x, y, z)＝-3xy+18xz-6x-2y 2+17yz-5y-30z 2+16z-2解 该二次函数可视为实二次型g(x, y, z,t)=-3 xy+18xz-6xt-2y 2+17yz-5yt-30z 2+16zt-2t 2 (8) 当t=1时的情形，对二次型（8）做可逆线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111100001002643113710t z y x t z y x （9） 得g(x, y, z,t)= )34)(34(8189211112121y x y x y x +-+=+- （10） 由（9）式可得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t z y x t z y x 1000010013701454171431111 （11） 把（11）式代入（10）式即得二次型（8）的分解式．这个过程我们可用矩阵来完成；)0,0,3,4(3411=+y x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111t z y x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=t z y x 100001001370145417143)0,0,3,4(t z y x 21046+-+= 同样可得-4x 1+3y 1=-4y+24z-8t.于是g(x, y, z,t)=(3x+2y-5z+t)(-y+6z-2t)所以f(x, y, z)=(3x+2y-5z+1)(-y+6z-2)习题8.31.分别在复数域和实数域上求可逆线性替换，将下列二次型化为典范型： 1）32212132153),,(x x x x x x x x f -+=2) 2322312121321424),,(x x x x x x x x x x f +++-= 2. f(x 1, x 2, x 3)=x 1x 2+2x 2x 3的秩、惯性指标和符号差．3.如果把n 阶对称矩阵按合同关系进行分类，即把彼此合同的n 阶对称矩阵算一类，那么，所有n 阶复对称矩阵共有多少个不同的合同类？所有n 阶对称矩阵又有多少个不同的合同类？4.试证一个实二次型可以分解为两个实吸收和一次多项式的乘积的充分必要条件是：或者它的秩为2且符号差为0，或者秩为1．5.在实数域上分解因式：1）f(x, y)=-2x 2-5xy-2y 2+8x+9y-6;2) f(x, y, z)=xy+xz+yz-2;3) 1322),,(223323121321-+-++=x x x x x x x x x x f。
中国大学生数学竞赛竞赛大纲-数学专业类
中国大学生数学竞赛竞赛大纲（数学专业类）为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
1. 竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
1. 竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分1. 集合与函数2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.4. 3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.5. 极限与连续6. 1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.7. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.8. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.9. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.10. 一元函数微分学11. 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.12. 2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor 公式(Peano余项与Lagrange余项).13. 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.14. 多元函数微分学15. 1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.16. 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.17. 3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.18. 4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.19. 一元函数积分学20. 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.21. 2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.22. 3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.23. 4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.24. 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.25. 多元函数积分学26. 1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.27. 2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.28. 3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.29. 4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.30. 5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.31. 6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.32. 7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.33. 无穷级数34. 1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.1. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel 判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.1. 幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.1. Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分1. 多项式2. 1. 数域与一元多项式的概念3. 2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法4. 3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.5. 4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.6. 5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.7. 6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.8. 7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.9. 行列式10. 1. n级行列式的定义.11. 2. n级行列式的性质.12. 3. 行列式的计算.13. 4. 行列式按一行（列）展开.14. 5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.15. 6. 克拉默(Cramer)法则.16. 线性方程组17. 1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.18. 2. n维向量的运算与向量组.19. 3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.20. 4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.21. 5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.22. 6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.23. 7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数24. 矩阵25. 1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.26. 2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.27. 3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.28. 4. 分块矩阵及其运算与性质.29. 5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.30. 6. 分块初等矩阵、分块初等变换.31. 双线性函数与二次型32. 1. 双线性函数、对偶空间33. 2. 二次型及其矩阵表示.34. 3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.35. 4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.36. 5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵37. 线性空间38. 1.线性空间的定义与简单性质.39. 2. 维数，基与坐标.40. 3. 基变换与坐标变换.41. 4. 线性子空间.42. 5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.43. 线性变换44. 1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.45. 2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.46. 3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.47. 4. 线性变换的值域与核、不变子空间.48. 若当标准形49. 1.矩阵.50. 2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.51. 3. 若当标准形.52. 欧氏空间53. 1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.54. 2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.55. 3. 欧氏空间的同构.56. 4. 正交变换、子空间的正交补.57. 5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.58. 6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.59. 7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分1. 向量与坐标2. 1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.3. 2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.4. 3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.5. 4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.6. 5. 应用向量求解一些几何、三角问题.7. 轨迹与方程8. 1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.9. 2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.10. 3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.11. 4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.12. 平面与空间直线13. 1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.14. 2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.15. 3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.16. 4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.17. 二次曲面18. 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.19. 2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.20. 3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.21. 4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.22. 二次曲线的一般理论23. 1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.24. 2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.25. 3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.26. 4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.27. 5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
线性代数 复数域上二次型的规范形
y2 =
1 d2
z2
yr
=
1 dr
zr
yr +1 = zr +1
yn = zn
复数域上二次型的规范形
化为如下标准形 f = z12 + z22 + + zr2 (11)
称式(11)为复二次型 f(x1, …, xn) 的规范形. 显然它完全由二次型的秩 r 唯一确定.
复数域上二次型的规范形
次
型 f = d1 y12 + + dn yn2
f
f = z12 + z22 + + zr2
复数域
f
=
z12
++
z
2 p
−
z2 p+1
−− zr2 .
实数域
r r及p
复数域上
任 何
Cn , C 0,
对 使C T AC =
1
A∽
1 0
称 阵
A
d1
实数域上
1
1
0
dn
A∽
−1
−1
于是有以下定理.
复数域上二次型的规范形
定理4 任意一个复数域上的n元 二次型 f (x1, x2, …, xn) 必可经过可逆线性 变换化为规范形(11)，且规范形由 f 的秩r 唯一确定.
复数域上二次型的规范形
由定理4立即得到如下推论.
复数域上二次型的规范形
推论 任一个复数域上对称矩阵A必合同
于一个形如 1
1
0
0
的对角形矩阵，且主对角线上 1 的个数就是
A的秩.
复数域上二次型的规范形
推论：两个复对称矩阵合同的充分必要 条件是它们的秩相等.
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, ck ,0,
,0 0,
8
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
因此 f k x1 , x2 , , xk 是正定的， 由定理 11.11 的推论 2，f k 的 矩阵的行列式 k 0 ，由 k 的任意性，可得 A 的所有顺序主 子式全大于零.
3
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11.4 复数域和实数域上的二次型
若 f 是正定的，对于任意一组不全为零的实数
k1 , k2 , , kn ，令 y1 k1 , y2 k2 , , yn k n ，代入 2 式右端，
因 C 可逆，可得一组不全为零的值 x1 c1 , x2 c2 , , xn cn ，
T i 1 j 1 n n
是正定的，任取 k n ，要证 A 的 k 阶顺序主子式 k 0 ，
令
f k x1 , x2 , , xk aij xi x j .
i 1 j 1 k k
对任意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , ck ，有
f k c1 , c2 , , ck aij xi x j f c1 , c2 ,
和定理 11.9 平行，用矩阵的说法是
4
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
定理 11.10
定理 11.11
合同的实对称矩阵有相同的正定性.
n 元实二次型 f x1 , x2 ,
, xn 正定的充分必
要条件是它的正惯性指数等于 n .
证
由定理 11.6， f x1 , x2 , , xn 等价于规范形
A C
1 T
C
1
C
1 2
0.
6
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11.4 复数域和实数域上的二次型
定义 11.7
n 阶实对称矩阵 A aij nn 的 k 阶子式
a11 a21 ak 1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk
k
k 1, 2,
, n
称为 A 的 k 阶顺序主子式，也称为以 A 为矩阵的二次型的 k 阶顺序主子式.
d n xn2
2
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11.4 复数域和实数域上的二次型
由于任一二次型都可以通过非退化线性替换化为标 准形，我们自然希望通过实二次型的标准形是否正定来 判断实二次型是否正定，为此，需要研究非退化的线性 替换会不会改变实二次型的正定性，我们有下面的
定理 11.9 等价的实二次型有相同的正定性.
11.4 复数域和实数域上的二次型
由于正定二次型的规范形的矩阵是单位矩阵 I ，因此 我们有
推论 1 位矩阵合同.
推论 2
实对称矩阵正定的充分必要条件是它与单
正定矩阵的行列式大于零.
1 T
证
T
设 A 是正定矩阵，由推论 1，存在实可逆矩阵 C ，
使 C AC I .变形为 A C
C 1.所以
定理 11.12
实二次型 f x1 , x2 , , xn X T AX 正定的
充分必要条件是它的一切顺序主子式全大于零 .
7
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11.4 复数域和实数域上的二次型
证
先证必要性，设实二次型
f x1 , x2 , , xn X AX aij xi x j
设 A 是一个实对称矩阵，如果以 A 为矩阵的实二次型 是正定的，则称 A 是正定矩阵.
如，实二次型 f x1 , x2 , , xn x12 x22
xn2 是正定的.
一般地，实二次型 f x1 , x2 , , xn d1 x12 d 2 x22 是正定的当且仅当 d i 0 i 1, 2, , n .
再证充分性，对 f 所含变量个数 n 作数学归纳法. 当 n 1时， f x1 a11 x12 , a11 a11 0 ，故 f x1 正定.
假设 n 1，且对于 n 1元实二次型来说结论成立，看
n 元实二次型 f x1 , x2 ,
, xn 的情形.
y12 y22
2 y2 y p p 1
yr2
（4）
显然， 4 正定当且仅当 p r n ，因此由定理 11.9 可得，
f x1 , x2 , , xn 正定当且仅当 4 正定，又等价于 p r n ，
即，正惯性指数等于 n .
5
高等代数与解析几何
证
设实二次型 f x1 , x2 , , xn X T AX
f y1 , y2 ,
T T
(1) (2) (3)
经非退化的实线性替换 X CY 化为二次型
, yn Y T BY
即 f X AX CY A CY Y T C T AC Y Y T BY g .
显 然 g k1 , k2 , , kn f c1 , c2 , , cn 0 ， 所 以
g y1 , y2 , , yn 也是正定的.
反之，因 3 式可经非退化实线性替换 Y C 1 X 化成 二次型 1 ，所以同理可知，当 g 正定时， f 也正定.
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高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
a1,n1 a1n a a2,n1 ， 2 n . an1,2 an1,n1 a n1,n An1 于是矩阵 A 可分块为 A T . nn a12 a22
a11 a 21 An1 an1,1
11.4 复数域和实数域上的二次型
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
定义 11.6
设 f x1 , x2 , , xn 为实二次型，如果对于任
意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , cn ，都有 f c1 , c2 , , cn 0 则 称二次型 f x1 , x2 , , xn 是正定二次型.