11.4复数域和实数域上的二次型

11.4 复数域和实数域上的二次型
由于正定二次型的规范形的矩阵是单位矩阵 I ，因此 我们有
推论 1 位矩阵合同.
推论 2
实对称矩阵正定的充分必要条件是它与单
正定矩阵的行列式大于零.
1 T
证
T
设 A 是正定矩阵，由推论 1，存在实可逆矩阵 C ，
使 C AC I .变形为 A C

C 1.所以
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11.4 复数域和实数域上的二次型
a1,n1 a1n a a2,n1 ， 2 n . an1,2 an1,n1 a n1,n An1 于是矩阵 A 可分块为 A T . nn a12 a22
定理 11.12
实二次型 f x1 , x2 , , xn X T AX 正定的
充分必要条件是它的一切顺序主子式全大于零 .
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11.4 复数域和实数域上的二次型
证
先证必要性，设实二次型
f x1 , x2 , , xn X AX aij xi x j
证
设实二次型 f x1 , x2 , , xn X T AX
f y1 , y2 ,
T T
(1) (2) (3)
经非退化的实线性替换 X CY 化为二次型
, yn Y T BY
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即 f X AX CY A CY Y T C T AC Y Y T BY g .
和定理 11.9 平行，用矩阵的说法是
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11.4 复数域和实数域上的二次型
定理 11.10
定理 11.11
合同的实对称矩阵有相同的正定性.
n 元实二次型 f x1 , x2 ,
, xn 正定的充分必
要条件是它的正惯性指数等于 n .
证
由定理 11.6， f x1 , x2 , , xn 等价于规范形
i 1 j 1 k k
, ck ,0,
,0 0,
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因此 f k x1 , x2 , , xk 是正定的， 由定理 11.11 的推论 2，f k 的 矩阵的行列式 k 0 ，由 k 的任意性，可得 A 的所有顺序主 子式全大于零.
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11.4 复数域和实数域上的二次型
定义 11.6
设 f x1 , x2 , , xn 为实二次型，如果对于任
意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , cn ，都有 f c1 , c2 , , cn 0 则 称二次型 f x1 , x2 , , xn 是正定二次型.
A C
1 T

C
1
C
1 2
0.
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定义 11.7
n 阶实对称矩阵 A aij nn 的 k 阶子式
a11 a21 ak 1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk
k
k 1, 2,
, n
称为 A 的 k 阶顺序主子式，也称为以 A 为矩阵的二次型的 k 阶顺序主子式.
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若 f 是正定的，对于任意一组不全为零的实数
k1 , k2 , , kn ，令 y1 k1 , y2 k2 , , yn k n ，代入 2 式右端，
因 C 可逆，可得一组不全为零的值 x1 c1 , x2 c2 , , xn cn ，
T i 1 j 1 n n
是正定的，任取 k n ，要证 A 的 k 阶顺序主子式 k 0 ，
令
f k x1 , x2 , , xk aij xi x j .
i 1 j 1 k k
对任意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , ck ，有
f k c1 , c2 , , ck aij xi x j f c1 , c2 ,
再证充分性，对 f 所含变量个数 n 作数学归纳法. 当 n 1时， f x1 a11 x12 , a11 a11 0 ，故 f x1 正定.
假设 n 1，且对于 n 1元实二次型来说结论成立，看
n 元实二次型 f x1 , x2 ,
, xn 的情形.
设 A 是一个实对称矩阵，如果以 A 为矩阵的实二次型 是正定的，则称 A 是正定矩阵.
如，实二次型 f x1 , x2 , , xn x12 x22
xn2 是正定的.
一般地，实二次型 f x1 , x2 , , xn d1 x12 d 2 x22 是正定的当且仅当 d i 0 i 1, 2, , n .
d n xn2
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由于任一二次型都可以通过非退化线性替换化为标 准形，我们自然希望通过实二次型的标准形是否正定来 判断实二次型是否正定，为此，需要研究非退化的线性 替换会不会改变实二次型的正定性，我们有下面的
定理 11.9 等价的实二次型有相同的正定性.
a11 a 21 An1 an1,1
y12 y22
2 y2 y p p 1
yr2
（4）
显然， 4 正定当且仅当 p r n ，因此由定理 11.9 可得，
f x1 , x2 , , xn 正定当且仅当 4 正定，又等价于 p r n ，
即，正惯性指数等于 n .
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显 然 g k1 , k2 , , kn f c1 , c2 , , cn 0 ， 所 以
g y1 , y2 , , yn 也是正定的.
反之，因 3 式可经非退化实线性替换 Y C 1 X 化成 二次型 1 ，所以同理可知，当 g 正定时， f 也正定.