3.5.1不等式证明教师版
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.4.1 基本不等式的证明教案 苏教版必修5
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域
反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等 式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求 “交”；④表示.但要注意是否包含边界.
跟踪训练3 画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域.
解 当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
x≥0， 由y≥0，
3 达标检测
PART THREE
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0) C.(0，2)
B.(1，1)
√D.(2，0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
1234
2.已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
解析 在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0， 视察图象(图略)知原点在直线的右下方， 将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0， 所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.
命题角度2 给不等式组画平面区域
例3 画出下列不等式组所表示的平面区域.
x－2y≤3，
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
数形结合的魅力
典例 我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解.怎么证明直线
x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
证明 设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点 B. 设B(x0，y1)，则有y0＞y1. ∵B在直线x－y＝6上，
数学：3.5.1《二元一次不等式(组)所表示的平面区域》素材(新人教B版必修5).ppt
地位与重要性
教材分析 教法与学法 教学过程
教学目标 教学重难点
“ 本节内容是高中数学新教材新 增内容之一。这一节内容是安排 在不等式、直线方程之后，它是 这两部分内容的延续，也是知识 的交汇点；是解决线性规划问题 的基础；在探索问题过程中有效 的训练了数形结合、等价转化等 数学思想。
l:x+y-1=0
P0 (x0, y0) 1
y
P(x,y) x 1
分两个命题证明：
在 直 线 x+y-1=0 右 上 方 的 平 面 区 域 内 则 x+y1>0 在 直 线 x+y-1=0 左 下 方 的 平 面 区 域 内 则 x+y1<0
o
集合｛﹙x,y﹚|︱x+y-1>0｝ 表示直线右上方的平面区域。 类似地，在平面直角坐标系中， 以二元一次不等式x+y-1<0的解为 坐标的点集合｛﹙x,y﹚︱x+y-1<0｝ 是在直线x+y-1=0左下方的平面区 域.
Ax+By+C=0 y
小诀窍
x
如果C≠0,可取(0,0); 如果C＝0,可取(1,0) 或(0,1).
o
例1.画出不等式 2x+y-6＜0 表示的平面区域。
y
画出二元一次 不等式表示平面 区域方法:直线定 界,特殊点定域
6
o
3
x
2x+y-6=0
x y 5 0 例2.画出不等式组 表示的平面区域。 x y 0 x 3
y
给学生创设一个思考 空间引导学生分组讨论探求 o
x+y-1=0
数学讲义：第3章 3.5 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域 Word版含答案(1)
3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域1．二元一次不等式的概念我们把含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，称为二元一次不等式．2．二元一次不等式组的概念我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组．3．二元一次不等式(组)的解集概念满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．4．二元一次不等式表示的平面区域及确定(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0.②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c <0.(2)在直角坐标平面内，把直线l ：ax ＋by ＋c ＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线．(3)①对于直线ax ＋by ＋c ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y )代入ax ＋by ＋c 所得的符号都相同．②在直线ax ＋by ＋c ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由ax 0＋by 0＋c 的符号可以断定ax ＋by ＋c >0表示的是直线ax ＋by ＋c ＝0哪一侧的平面区域．5．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．1．由不等式3x ＋2y ＋6≤0表示的平面区域(阴影部分)是( )D [把(0,0)点代入3x ＋2y ＋6≤0中可知6≤0不成立，即(0,0)不在3x ＋2y ＋6≤0所表示的平面区域内，结合直线过点(0，－3)和(－2,0)可知D 正确．]2．以下各点在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的是____________． ①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．①②③ [将点的坐标代入，只有①②③满足上述不等式．3．已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m >－12 [因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12.](1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.[解](1)画出直线x－2y＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0，∵0－2×1＝－2<0，∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线Ax＋By＋C＝0，取点代入Ax＋By＋C验证．在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算．画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线．1．(1)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________． (2)画出不等式2x ＋y －4>0表示的平面区域．[解] (1)由截距式得直线方程为x 2＋y1＝1， 即x ＋2y －2＝0.因为0＋2×0－2<0，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式x ＋2y －2<0表示．(2)先画直线2x ＋y －4＝0(画成虚线)．取原点(0,0)代入，得2x ＋y －4＝2×0＋0－4＝－4<0，所以不等式2x ＋y －4>0表示的区域是直线2x ＋y －4＝0右上方的平面区域，如图中的阴影部分所示．(1)⎩⎨⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0；(2)⎩⎨⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.[解] (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；x≥0表示y轴及其右边区域；y≥0表示x轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域．综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．1．不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：(1)画线；(2)定侧；(3)求“交”；(4)表示．2．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域． [解] 此不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0.分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．1．若点P (1,2)，Q (1,1)在直线x －3y ＋m ＝0的同侧，如何求m 的取值范围？ [提示] 直线x －3y ＋m ＝0将坐标平面内的点分成三类：在直线x －3y ＋m ＝0上的点和在直线x －3y ＋m ＝0两侧的点，而在直线x －3y ＋m ＝0同侧点的坐标，使x －3y ＋m 的值同号，异侧点的坐标使x －3y ＋m 的值异号．故有(1－3×2＋m )(1－3×1＋m )>0，即(m －5)(m －2)>0，所以m >5或m <2.2．不等式组⎩⎨⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的区域是什么图形？你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面积？[提示] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分△ABC ，该三角形的面积为S △ABC＝12×6×3＝9.若该图形不是规则的图形，我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．3．点(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)在不等式组⎩⎨⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？[提示] 若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等式组表示的平面区域内．经代入检验可知，在(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)中只有点(2,1)在不等式组表示的平面区域内．在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x ＝1，则不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧y >1，y <1，1<4，显然该不等式组无解；再令x ＝2，则原不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧y >0，y <2，2<4，则0<y <2，又因为y ∈Z ，故y ＝1，所以x＝2时只有一个整点．同样方法x ＝3时，有(3,0)，(3,1)，(3,2)三个整点在该区域内；x ＝4时在该区域内没有整点．总之在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的平面区域内，共有4个整点．当然，也可在作图时，利用打网格线的方法寻求．【例3】已知不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，4x ＋3y ≤12.(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求不等式组所表示的平面区域的面积； (3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标．[思路探究] (1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？[解] (1)不等式4x ＋3y ≤12表示直线4x ＋3y ＝12上及其左下方的点的集合；x >0表示直线x ＝0右方的所有点的集合；y >0表示直线y ＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图①所示．(2)如图①所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S ＝12×4×3＝6.(3)当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤8 3，∴整点为(1,2)，(1,1)．当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤4 3，∴整点为(2,1)．∴区域内整点共有3个，其坐标分别为(1,1)，(1,2)，(2,1)．如图②.1．在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键．2．画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．[解]设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．1．本节课的重点是二元一次不等式表示的平面区域的判定，难点是二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．2．本节课要掌握的规律方法(1)二元一次不等式(组)表示平面区域的确定方法． (2)求二元一次不等式组所表示的平面区域面积的方法．3．本节课的易错点为：画平面区域时，注意边界线的虚实问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元一次不等式x ＋y >2的解有无数多个．( )(2)二元一次不等式(组)的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合．( ) (3)二元一次不等式组中的每个不等式都必须是二元一次不等式．( ) [解析] (1)√.因为满足x ＋y >2的实数x ，y 有无数多组，故该说法正确． (2)√.因为二元一次不等式(组)的解为有序数对(x ，y )，有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．故该说法正确．(3)×.因为在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1≥0，3x ＋2<0也称为二元一次不等式组． [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．下面给出的四个点中，位于⎩⎨⎧x ＋y －1＜0，x －y ＋1＞0表示的平面区域内的点是 ( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0) C [依次将A ，B ，C ，D 四个选项代入验证即可，只有C 符合条件. ]3．下列说法正确的是________．(填序号)①由于不等式2x －1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域； ②点(1,2)在不等式2x ＋y －1＞0表示的平面区域内；③不等式Ax ＋By ＋C ＞0与Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域是相同的； ④第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy ＜0表示．②④ [①错误．因为不等式2x －1>0虽然不是二元一次不等式，但它表示直线x ＝12右侧的区域．②正确．因为(1,2)是不等式2x ＋y －1>0的解．③错误．因为不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域不包括边界Ax ＋By ＋C ＝0，而不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界Ax ＋By ＋C ＝0.④正确．因为第二、四象限区域内的点(x ，y )中x ，y 异号，故xy <0.该说法正确．]4．在平面直角坐标系中，求不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积． [解] 在平面直角坐标系中，作出x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0和x ＝2三条直线，利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分所示，其面积S＝4×2×12＝4.。
高中数学 3.4.1基本不等式的证明课件 苏教版必修5
接
答案：A
名师点评：在利用基本不等式比较大小时，注意不等式性质的运
用．
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13
►变式迁移
1．已知 a＜b＜0，设 P＝ba2＋ab2，Q＝a＋b，试比较 P 与 Q 的大
小．
解析：－P－Q＝－ba2－ab2－a－b＝－ba2＋（－a）＋
栏 目 链
接
[－ab2＋(－b)]＞2 －ba2（－a）＋2 －ab2（－b）＝2 b2
系可叙述为：当且仅当 a＝b 时，基本不等式 ab≤a＋2 b中的等号成
栏
立．若 a 与 b 不能相等， ab≤a＋2 b中的等号就不能成立，例如：x2
目 链
接
＋2＋x2＋1 2≥2 （x2＋2）×x2＋1 2＝2 中就不能取等号，因为 x2＋
2≠x2＋1 2，与推出 x2＝－1 产生矛盾．事实上，令 t＝x2＋2，则 t≥2，
3
课标点击
栏 目 链
接
完整版ppt
4
1．探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不 栏
等式的基本思想方法．
目
2．理解基本不等式的几何意义，并掌握取“＝”的
链 接
条件．
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5
要点导航
栏 目
链
接
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6
知识点1 基本不等式
1．如果 a、b 是正数，那么a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”
接
注意：(1)前两种形式的前提条件是 a、b 为实数，后两种形式的
前提条件是 a、b 为正实数．
(2)四种形式等号成立的条件都是 a＝b.
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9
2．平方平均数 a2＋2 b2，算术平均数a＋2 b，几何平均数 ab，
【数学】3.5.1《二元一次不等式(组)所表示的平面区域》课件(新人教B版必修5)
否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
x＋y－1≥0 在平面直角坐标系中，若不等式组x－1≤0 ax－y＋1≥0 常数)所表示的平面区域内的面积等于 2，求 a 的值．
[解题过程] 如图可得阴影区域为不等式组
x＋y－1≥0 x－1≤0
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模 以20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30 而由于资金限制，26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200 另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0。
把上面四个不等式合在一起，得限制条件用数学关系式表示为
y
20 x＋y 30 30 x＋2y 40 20 x0 y 0
y
左上方 x-y+1<0
1
x-y+1=0
-1
o
x
（x。，y。） x0>x，y=y0 x0-y0+1> x-y+1
(x，y）
右下方 x-y+1>0
问题：一般地，如何画不等式 AX+BY+C>0表示的平面区域？
（1）二元一次不等式Ax+By+C>0在平面 直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧 所有点组成的平面区域。
（2）由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把 它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同， 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出 Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。 一般在C≠0时，取原点作为特殊点。
高中数学 第3章 不等式 3.4.1 基本不等式的证明学案 苏教版必修5(2021年整理)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3．4.1 基本不等式的证明1．理解基本不等式的内容及证明．(重点)2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点）3．能用基本不等式求解简单的最大(小）值问题．(难点）［基础·初探］教材整理1 算术平均数与几何平均数阅读教材P96，完成下列问题．对于正数a,b,我们把错误!称为a，b的算术平均数,错误!称为a，b的几何平均数．若两个正数a，b的算术平均数为2,几何平均数为2，则a＝________，b＝________.【解析】由题意可知错误!∴错误!∴a＝2，b＝2。
【答案】 2 2教材整理2 基本不等式阅读教材P97～P98，完成下列问题．如果a，b是正数，那么错误!≤错误!（当且仅当a＝b时取“＝"），我们把不等式错误!≤错误!（a≥0，b≥0)称为基本不等式．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）对任意a，b∈R，都有a＋b≥2错误!成立．( )(2）不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2。
( ）【答案】（1)×（2)√［质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：__________________________________________________[小组合作型］用基本不等式证明不等式已知a,b，c（1)求证:a＋b＋c≥错误!＋错误!＋错误!；（2）求证:错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c.【精彩点拨】（1）利用a＋b≥2ab,a＋c≥2ac，b＋c≥2错误!求证；(2）利用错误!＋b≥2错误!;错误!＋c≥2错误!；错误!＋a≥2错误!求证．【自主解答】(1）∵a>0,b>0，c>0,∴a＋b≥2错误!，a＋c≥2错误!，b＋c≥2错误!。
人教新课标版数学高二B必修5课件 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学 在前面我们学习了等差数列，其特点是从第2项起，每一 项与它前一项的差等于同一常数，在生活中也常见从第2 项起，每一项与它前一项的比等于同一常数的数列，本节 我们就来研究这类数列.
探究点一 二元一次不等式(组)的有关概念 思考1 不等式x＋y>700,10x＋12y≤8 000有什么特点？ 答 都含有两个未知数，且未知数的最高次数为1.
2x＋y≥15，
x＋2y≥18，
x＋3y≥27，
x≥0， y≥0.
用图形表示以上限制条件，
得到如下图的平面区域(阴影部分).
当堂测·查疑缺
1234
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是( D )
A.(0,0)
B.(1,1) C.(0,2)
D.(2,0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中， 其中点(2,0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
(2)y≥－2x＋3. 解 先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线).取原点(0,0)， 代入2x＋y－3，∵2×0＋0－3<0， ∴原点不在2x＋y－3≥0表示的平面区域内， 不等式y≥－2x＋3所表示的平面区域如图所示.
例2 画出下列不等式组所表示的平面区域：
2x－y＋1>0
(1)
，
x＋y－1≥0
(3)不等式表示的区域(也称不等式的 图象 ) 以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的 集合 叫做不等式 表示的区域(或不等式的图象). (4)二元一次不等式组所表示的平面区域是每一个不等式所 表示的平面区域的交集，就是二元一次不等式组所表示的 平面区域.
2.平面区域内的点 直线l：Ax＋By＋C＝0把在坐标平面内不在直线l上的点分 为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的 值具有 相同 的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的 值的符号 相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.
高中数学 第三章 不等式 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域课件 新人教B版必修5
界)，且 A(1，1)，B(0，4)，C0，43，直线 y＝a(x＋1)恒过点 P(－1，0)，且斜率为 a，
由斜率公式可知 kAP＝12，
kBP＝4. 若直线 y＝a(x＋1)与区域 D 有公共点，
数形结合可得12≤a≤4. 【答案】 (1)(－∞，2)∪(5，＋∞)
(2)12，4
1.若点 P(a2，a)不在不等式 x＋2y＋1≤0 表示的 平面区域内，则 a 的取值范围是________． 解析：因为点 P(a2，a)不在不等式 x＋2y＋1≤0 表示的平面区 域内， 所以 a2＋2a＋1>0，即(a＋1)2>0，解得 a≠－1. 所以 a 的取值范围是{a∈R|a≠－1}． 答案：{a∈R|a≠－1}
2．不等式(x－y)(x＋2y－2)≥0 表示的平面区域的大致图形是 ()
解析：选 B.原不等式等价于xx－ ＋y2≥y－0， 2≥0 或xx－ ＋y2≤y－0， 2≤0. 故原不等式表示的区域由这两个不等式组表示的区域组成．
3.平面直角坐标系中，不等式组23xx＋ －23yy－ ＋14≥ ≥00， ，表示的平面区 x≤2
(1)画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤
(2)求平面区域面积的方法 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根 据区域的形状求面积． ①若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解． ②若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分 成几个规则图形求解．
1.不等式组xx－ ＋yy≤ ≤00，表示的平面区域是(
1．二元一次不等式的概念 (1)二元一次不等式是指含有_两__个___未知数，且未知数的最高次 数为一次的不等式． (2)一般形式为 Ax＋By＋C>0 或 Ax＋By＋C<0.其中 A2＋B2≠ 0.
高中数学苏教版必修五《3.4.1基本不等式的证明》课件
(2) ab (a b)2 (a,b R) (当且仅当a=b时取=)
2
1
(3) a 2 (a 0) a
(当且仅当a=1时取=)
a b 2 (ab 0) (当且仅当a=b时取=) ba
基本不等式的证明
例1.已知 x 0,求证: x 1 2 x
分析:基本不等式的前提条件是: a,b 为正数,但现在 x 是负数,所以需要将其转化为正数.其方法就是 提取负号,即 x (x),x 0.
b a 24即 1 1 4
ab
ab
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
分析: 将不等式左边的1代换为a+b+c.但若代换减数1, 则运算量明显增加,若代换分子中的1，则可达 到化简的目的.
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
1.基本不等式 a b ab (1)前提条件: a,2b为正数 . (2)取得等号条件: a=b .
2.不等式证明的方法 (1)比较法;(2)综合法;(3)分析法.
基本不等式的证明
3.4.1
谢谢大家
苏教版 高中数学
x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
得证
基本不等式的证明
例2.设实数 x, y ,求证: x2 4 y2 2 2x 4 y 证明: x2 4 y2 2 2x 4 y
x2 4y2 2 2x 4y 0 x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) 0
x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
得证
基本不等式的证明
高中数学 第3章 不等式 3.4.1 基本不等式的证明课件
预习交流 3
(1)不等式 a2+4≥4a 中等号成立的条件是
.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则 ab 的最大值为
.
(3)若 b>a>0,则 a,������+2������ , ������������,b 的大小关系为
.
提示:(1)a=2 (2)14 (3)b>������+2������ > ������������>a
二、利用基本不等式证明不-3+a≥7(其中 a>3).
思路分析:由于不等式左边含字母 a,右边无字母,直接使用基本
不等式无法约掉字母 a,而左边������4-3+a=������4-3+(a-3)+3.这样变形后,再用 此定理可得证.
证明:因为������4-3+a=������4-3+a-3+3,a>3,
q,则
q
与������+������的大小关系是
2
.
答案:q≤������+2 ������
解析:设 2012 年产量为 1,则 2014 年产量为:
(1+a)(1+b)=(1+q)2, 即 1+q= (1 + ������)(1 + ������) ≤ 1+������+21+������=1+������+2������, 即 q≤������+2������.
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基本不等式的概念 如果 a,b 是正数,那么 ������������ ≤ ������+2������(当且仅当 a=b 时取“=”).我们把 不等式 ������������ ≤ ������+2������(a≥0,b≥0)称为基本不等式,其中������+2������ 和 ������������分别 称为正数 a,b 的算术平均数和几何平均数.基本不等式用文字语言可 叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,当两数 相等时等号成立.
高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式的证明学案苏教版必修5(2021学年)
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３．4。
1 基本不等式的证明学习目标 1。
理解基本不等式的内容及证明.２。
能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.３。
能初步运用基本不等式证明简单的不等式.知识点一算术平均数与几何平均数思考如图,AB是圆O的直径,点Q是AＢ上任一点，AQ＝a，BQ=b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连结AＰ，PB。
如何用a,b表示PO，PQ的长度？梳理一般地，对于正数a，b，a+b2为a,b的_______＿平均数,错误!为a,ｂ的_______＿平均数．两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,即错误!≤错误!.其几何意义如图中的PＯ≥ＰQ。
知识点二基本不等式及其常见推论思考如何证明不等式＼ｒ（ab）≤＼f(a+b,2）（ａ>0,b＞0)?梳理＼ｒ（ab)≤错误!（a>0,ｂ＞０)．当对正数a,b赋予不同的值时,可得以下推论：(1)ａb≤（＼f(ａ+b,2）)2≤＼ｆ(a２＋b2，２)(a，b∈Ｒ);（2）＼ｆ（ｂ,a)＋错误!≥２（a，b同号);(3)当aｂ〉０时,错误!＋错误!≥2;当ab<０时，错误!＋错误!≤－2；（4)a2+b2+ｃ2≥ab＋bｃ＋ｃa(a，b，ｃ∈R)．类型一常见推论的证明例１证明不等式a2＋b2≥2ab（a,ｂ∈Ｒ)．引申探究证明不等式(错误!)2≤错误!（a，ｂ∈R).反思与感悟（1)本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与基本不等式不同．(2）本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法.跟踪训练1 已知ａ,ｂ,ｃ为任意的实数，求证:a2＋b2+c2≥ａｂ＋ｂｃ+ca.类型二用基本不等式证明不等式例2 已知x,ｙ都是正数.求证：(1)错误!＋错误!≥2;（2）(x+y)(x２+y2）(x3+y3）≥８x3ｙ3。
3.5.1二元一次不等式(组)表示平面区域
3.5.1二元一次不等式(组)表示平面区域峡山中学-------数学备课组 2010-10-25学习目标：1． 知识目标：能作出二元一次不等式(组)表示平面区域并能解决实际问题 2． 能力目标：培养学生数形结合和分析问题，解决问题的能力 二．学习重点和难点重点是二元一次不等式(组)表示平面区域，难点是实际问题的应用 预习课本思考：（1）什么是不等式表示平面区域或不等式图像？（2）如何迅速的画出不等式所表示的平面区域？（3）画不等式所表示的平面区域注意的问题有哪些？（4）不等式中的不等号和图形中的实虚线的关系是什么？ 点击双基：1.下列命题中正确的是：A.点（0，0）在区域x+y ≥0内B.点（0，0）在区域x+y+1<0内C.点（1，0）在区域y>2x 内D.点（0，1）在区域x －y+1>0内2.点（－2，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是________________.3.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个. 3.典例分析：例1. 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域.变式一：指出不等式-2x+y －6<0表示的平面区域； 变式二：指出不等式2x －y －6≥0表示的平面区域； 变式三：指出不等式-2x －y －6≥0表示的平面区域例2．画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 运用“直线定界，特殊点定域”的方法课堂练习：1.由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
2.画出不等式04)(12(<+-++）y x y x 表示的平面区域。
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3.5.1 不等式的证明(一)
一、学习目标
（一）知识和能力目标:
1、掌握证明不等式的重要方法——比较法;
2、熟悉并掌握比较法证明不等式的基本步骤：作差(比商)——变形——判断——结论.
（二）过程和方法目标: 熟练地运用作差、比商比较法证明不等式.
（三）情感态度和价值观目标：培养具体问题具体分析的能力,灵活应用证明不等式的方法.
二、阅读要求及检测:完成下面练习
22
2
2222
1:33.
33333:(3)33()()3(-)0,33.
22244
x x x x x x x x x 、求证证明+>+-=-+-+=+≥>∴+> 三、要点精讲及典型例题:
(1)作差比较法：作差——变形——与0比较大小.
0;0;
0.a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔->
作差比较法（作差法）的步骤：作差——变形——判断——结论; 变形方向通常是：变为一个常数、或变为平方和形式、或变为因式之积的形式. (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小.
:111a a a
a b R a b a b a b b b b
、+∈>⇔>=⇔=<⇔<.
问题提出: 如何利用作差法证明不等式？
1,,,,:
.()()():.,,,()()(),0;0.0,.
()a m a
a b m a b b m b
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a b b m b a b m b b m b 例、已知都是正数并且求证证明因为都是正数并且所以即+<>+++-+--==+++-+<+>->∴>>++
1,?,?a b a b 变式、若结果会怎样若没有""这个条件应如何判断><
2,,,,,:
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()a a c c
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b d b b b d b b d 变式、已知都是正数并且求证证明因为b 都是正数并且+><<++-+-=>∴<+++
..a c c a a c c
b d d b b d d
类似可证
++<∴<<++ 3322332232232222222332233222,,,:.:()()()()()()()()().
,,0,,()0,()()0,()0,.a b a b a b a b ab a b a b ab a a b ab b a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ab 例、已知是正数并且求证证明因为是正数所以又因为可知即≠+>++-+=---=---=--=+-+>≠->∴+->+-+>∴+>+
问题提出: 如何利用比商法证明不等式？ 30,:.
:(),0,1,0,1,.
a b b a a b a b a b b a a b a b b a
b a b a a b a b a b a b a a a b a b a b a b a b a b a b b b a b
例、设求证证明--->>>==>>∴>->∴>∴> 2220,:a b c b c c a a b a b c a b c a b c +++>>>⋅⋅>⋅⋅变式：已知求证
222222(3)00,0,0,1,1,1
1,1,11
a b
b c
a c
a b c b c c a a b a b
b c
a c
a b
b c
a c
a b c b c a c a a b c a b a a b c b c c a b a a b c a b b c a c b c c
a b a a b a b c c b c c a b c a b c ---+++------++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
>>>∴->->->>>>⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫∴>>>∴> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
∴>解：b
+ 1112212124.,;,.,.
:,2()
,,,,,,
222222m n m n m n S t t S S S S m n t t m n S t t t m n m n mn S t t m 例、甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点甲有一半时间以速度行走另一半时间以速度行走乙有一半路程以速度行走另一半路程以速度行走如果问甲、乙两人谁先到达指定地点解设从出发地点至指定地点的路程是甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
依题意有≠++=+=∴==+-=+22
1212()[4()]()22()2(),,,,0,..
S m n S mn m n S m n n mn mn m n mn m n S m n m n t t t t 其中都是正数且于是即从而知甲比乙先到达指定地点+-+--==-
++≠-<<四、自主练习题
()222
222221,2222221(1)0222 a b R a b a b a b a b a b a b a b ∈++≥+++--=-+-≥∴++≥+、已知、求证：证明：成立
22222222222222221
2,,,1,:.
3
:1,3()()2222221()()()0..
3
a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ab bc ac a b b c a c a b c 、设均为正数且求证证明++=++≥++=∴++-++=++---=-+-+-≥∴++≥ 五、总结与点评
通过本节学习,要求明确比较法是证明不等式最基本、最重要的方法,掌握作差法与比商法,作差法变形方向通常是:变为一个常数、或变为平方和形式、或变为因式之积的形式. 六、课后作业:习题本。