2016年重庆市巴蜀中学高三理科下学期人教A版数学3月月考试卷

2016年重庆市巴蜀中学高三理科下学期人教A版数学3月月考试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如果复数为纯虚数，则
A. B. C. D.
2. 用列举法表示集合为
A. B.
C. D.
3. 某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是
A. B.
C. D.
4. 已知等差数列满足，则
A. B. C. D.
5. 已知实数，满足则的最小值为
A. B. C. D.
6. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是
A. B. C. D.
7. 若，且，则等于
A. B. C. D.
8. 过抛物线的焦点作直线与其交于，两点，若，则
A. B. C. D.
9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得
，则的最小值为
A. B. C. D.
10. 已知三棱锥中，，，面，则此三棱锥的外接
球的表面积为
A. B. C. D.
11. 已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在
圆内，且满足，则的最小值为
A. B. C. D.
12. 已知函数满足，，则等于
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知，则．
14. 函数，的最小值为．
15. 把个不同的球放入个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是．
16. 如图，在中，，，，，则
．
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知数列中，，．
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，求证：．
18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体名学生中随机抽
取了名学生的体检表，并得到如图直方图：
附：，．
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到如下数据：
根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（Ⅱ）中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这人中任取人，记名次在名的学生人数为，求的分布列和数学期望．
19. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，
，．
（1）求证：平面平面；
（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值．
20. 若椭圆的左，右焦点分别为，，线段被抛物线的焦
点内分成了的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点的直线交椭圆于不同两点，，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程．
21. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．
（1）求的取值范围；
（2）记两个极值点为，，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．
22. 如图，在中，是的平分线，的外接圆交于点，．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
23. 在极坐标系中，曲线，，与有且仅有一个公共点．
（1）求；
（2）为极点，，为上的两点，且，求的最大值．
24. 设函数．
（1）若，解不等式；
（2）若函数有最小值，求实数的取值范围.
答案
第一部分
1. D 【解析】由题意知，，
因为为纯虚数，
所以，
解得．
2. B 【解析】集合的实质是方程的解组成的集合，此方程有两个相等的实数根，为，故可表示为．
3. D 【解析】对于A，，不是奇函数，故不满足条件①；
对于B，，不是奇函数，故不满足条件①；
对于C，，不是奇函数，故不满足条件①；
对于D，既是奇函数，且函数图象与有交点，故符合输出的条件．
4. B 【解析】因为数列是等差数列，且，
所以，，
两式相减得，
因为数列是等差数列．
所以，即，则，
即．
5. C
【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立解得，
，
其几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率为．
因为，
所以的最小值为．
6. D
7. A 【解析】，且，
可得，
可得：
．
．
．
解得：．
8. B 【解析】抛物线焦点为，不妨设在第一象限，且，则，
，
所以，，直线方程为，即，
代入抛物线方程整理得，解得，，
所以点横坐标为，．
9. D 【解析】设点坐标，，
整理得，即．
由此可以将求的最小值问题看做点到原点的最短距离问题，如图所示，
当点在如图位置时，的距离最小，即取得最小值，
点坐标易知所在直线方程为：，联立圆的方程：，可得点坐标，
从而，
即．
故的最小值为．
10. C
【解析】因为底面中，，，
所以，
所以，
所以的外接圆半径，
所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积．
11. C 【解析】如图所示：
因为，
所以点在线段上，即，，三点共线．
因为，，
所以到直线的距离．
所以．
所以
因为是单位圆的直径，
所以，，
所以．
所以．
则的最小值为．
12. D 【解析】，
，
则是以为周期的周期函数，
从而．
第二部分
13.
【解析】由，
令可得：；
令可得：，
相减可得：，
则．
14.
【解析】
因为，，
所以当时，，
函数最小值为．
15.
【解析】把个不同的球放入个不同的盒子中，基本事件总数，
恰有一个空盒包含的基本事件个数，所以恰有一个空盒的概率是．
16.
【解析】过作交延长线于．
则．
所以．
所以，
所以
因为，
所以．
第三部分
17. （1）因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以．
（2），
令，
所以，
所以，
所以，
故：．
18. （1）由图可得：前三组的频率分别为：，，，
所以第一组有人，第二组人，第三组有人，后四组频数成等差数列，
所以后四组的频数，，，，
所以视力在以下的频率为，
所以全年级以下的人数为．
（2）
因此，在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系；
（3）由题意可知人中年级名次在名和名的人数分别为
人和人，
所以的取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：
所以，
．
19. （1）由，，，可得 \（ BD=\sqrt{2} ， \angleBDC=45ˆ \circ \）．又，所以，
所以．
因为底面平面，所以，又，
所以平面，
所以平面平面．
（2）由1可知为与平面所成的角，
所以，
所以，．由及，
可得，．
以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．则，，，．
设平面的法向量为，则，
即，
取，则．
设平面的法向量为，则，即，取，则．
又，
故二面角的余弦值为．
20. （1）由题意知，，
所以，，．
（2）设直线，，，
因为，
所以，
即
由（Ⅰ）知，，
所以椭圆方程为，
由消去得，
所以
由知，，，
因为，
所以
，
当且仅当，即时取等号，此时直线方程为或．
又当时，，
所以由，得，
所以椭圆方程为．
21. （1）依题意，函数的定义域为，，
由在上有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的解，
也即在上有两个不同的解．
令，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
因为有且只有一个零点，当时，，当时，，且．若函数与函数的图象在上有两个不同的交点，
即函数在其定义域内有两个不同的极值点，只需．（2）等价于．
因为，为方程的两根，
所以，．
所以．
因为，，
所以原不等式等价于．
又由，，作差得，
所以．
所以原不等式等价于恒成立．
令，则，不等式等价于在上恒成立．
令，则．
①当时，，所以在上单调递增，因此，满足条件；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，又，所以在
上不能恒小于零．
综上，．
22. （1）连接，
因为是圆的内接四边形
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以．
因为是的平分线，
所以，
从而．
（2）解：由条件得，
设，根据割线定理得，
所以，
所以，
解得，即．
23. （1）曲线，变形，化为，即
．
所以曲线是以为圆心，以为半径的圆；
由，展开为，
所以的直角坐标方程为．
由直线与圆相切可得，解得．
（2）不妨设的极角为，的极角为，
则
当时，取得最大值．
24. （1）时，．
当时，可化为，解之得；
当时，可化为，解之得．
综上可得，原不等式的解集为．
（2），函数有最小值的充要条件为即．。