专题二 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(学生版)
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 - 学生版
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)非p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则非q”，否命题是“若非p，则非q”．题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(非p)∧(非q) D．p∨(非q)2．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(非q)C．(非p)∧q D．(非p)∧(非q)3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(非p)∨(非q)为假．其中，正确的是________．(填序号)思维升华“p∨q”“p∧q”“非p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“非p”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <； p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤0(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练(1)下列命题是假命题的是()A．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos βB．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数C．∃x0∈R，使x30＋ax20＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)D．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点(2)(2017·福州质检)已知命题p：“∃x0∈R，0e x－x0－1≤0”，则非p为()A．∃x0∈R，0e x－x0－1≥0B．∃x0∈R，0e x－x0－1>0C．∀x∈R，e x－x－1>0D．∀x∈R，e x－x－1≥0题型三含参命题中参数的取值范围典例(1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x⎪⎭⎫⎝⎛21－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________．思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧q C ．p ∧(非q ) D ．(非p )∧(非q )二、充要条件的判断典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧(非q ) C ．(非p )∧q D ．p ∧(非q )2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．非q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin xB ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R ，3x ＞0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝04．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)5．(2017·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( ) A ．p ∧(非q ) B ．(非p )∧q C ．p ∧q D ．(非p )∨q6．(2018届东莞外国语学校月考)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x＋1>0.则下列结论正确的是( ) A ．命题p ∧q 是真命题 B ．命题p ∧(非q )是真命题 C ．命题(非p )∧q 是真命题 D ．命题(非p )∨(非q )是假命题7．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0 B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若非p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A．(0,4] B．[0,4]C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)9．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p可写为____________________．答案∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋110．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a ＋b)＝________.11．以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x0∈Q，x20＝2；③∃x0∈R，x20＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x －1＋3x2.其中真命题的个数为________．12．(2017·江西五校联考)已知命题p：∃x0∈R，(m＋1)·(x20＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．13．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：13－x>1，若“(非q)∧p”为真，则x的取值范围是___．14．下列结论：①若命题p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧(非q)”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(非q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________； (2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(教案)
1、给出下列三个命题
①若 ,则
②若正整数m和n满足 ,则
③设 为圆 上任一点，圆O2以 为圆心且半径为1.当 时,圆O1与圆O2相切
其中假命题的个数为.
2、已知命题p：集合 只有3个真子集， ：集合{y|y＝ }与集合{ }相等．则下列新命题：①p或 ；②p且 ；③非p；④非 .其中真命题序号为________．
【示例】►已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在 上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．
【试一试】设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．
课题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
学情分析
学生刚学过这块内容，对其掌握还不是很牢固，需要及时加强巩固。
教学目标与
考点分析
1、理清相关相似概念间的异同点；
2、准确把握逻辑联结词的含义和用法；
3、熟练掌握对含有量词命题的否定的方法。
教学重点
对含有量词命题的否定是本节课的重点。
教学方法
导入法、讲授法、归纳总结法
【例1】►已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬ p1)∨p2和q4：p1∧(¬ p2)中，真命题是()．
A．q1，q3B．q2，q3
C．q1，q4D．q2，q4
【训练1】已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0．给出下列结论，其中正确的是()．
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析 (1)全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋x ＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 C.綈p：∀x∈R，x<1 B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p：存在
π x∈0， ，使 2
sin x＋cos x> 2；命题 q：“∃x0∈(0，
＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题： (綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝ －m，由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min，得 0≥4－m，所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4，＋∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
5 例1、已知命题p : x R, 使得 sin x ；命题q：x R, 2 C ________ 都有x 2 x 1 0, 下列结论中正确的是 __________D A.命题" p q" 是真命题 B.命题" p q" 是真命题 C.命题" p q" 是真命题 D.命题" p q" 是真命题
“有些” “有一个” “对某个” “有 的”等. 通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、
r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在 M中的一个x ，使p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
3、全称命题与特称命题的改写
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x)
① 是真命题的为________.①p∨q;②p∧q.
5、已知命题P :" x [0,1]，a e x，命题q :" x R， x 2 4 x a 0" 若命题p q是真命题，则实数a的 C 取值范围是 __________ __ A.( 4,) B.[1,4] C.[e,4] D.( ,1]
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对 M中任意一个x， 有p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
2、短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通 常叫做存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有
1.如果命题“p或q”是真命题,命题“p且q” 是假命题,那么( C ) A. 命题p与命题q都是假命题 B. 命题p与命题q都是真命题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
栏目 导引
第一章
集合与常用逻辑用语
互动探究 1.把例1中的要求改为“写出下列各组命 题构成的(¬ p)∨(¬ q),(¬ p)∧(¬ q)形式的
复合命题,并判断真假”.
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第一章
集合与常用逻辑用语
解：(1)¬ p：有些平行四边形的对角线 不相等,真命题.
¬ q：有些平行四边形的对角线不互相垂
第一章
集合与常用逻辑用语
【思路分析】
(1)利用“或”、“且
”、“非”把两个命题联结成新命题;
(2)根据命题p和命题q的真假判断复合 命题的真假.
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第一章
集合与常用逻辑用语
【名师点评】
正确理解逻辑联结词“
或”、“且”、“非”的含义是解题的 关键,应根据组成各个复合命题的语句
中所出现的逻辑联结词,进行命题结构
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第一章
集合与常用逻辑用语
【解】
2
(1)¬ p：存在一个实数 m0,使方程
x ＋m0x－1＝0 没有实数根.因为该方程的 判别式 Δ＝m2＋4>0 恒成立,故¬p 为假命题. 0 (2)¬ p：所有的三角形的三条边不全相等. 显然¬p 为假命题.
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第一章
集合与常用逻辑用语
(3)¬ p：有的菱形的对角线不垂直. 显然¬p 为假命题. (4)¬ p：∀x∈N,x2－2x＋1>0. 显然当 x＝1 时,x2－2x＋1>0 不成立,故¬p 是假命题.
a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2 ＋2ax
＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命
题，则实数a的取值范围是________． 【思路分析】 先判断p与q的真假，再 各自求出a的范围，p且q是真命题，因 而p、q皆真，可取a的范围的交集，即
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点剖析：
1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
命题方向：全称命题与存在性命题的否定. 考查形式一般为选择题、填空题，多为容易题．
规律总结：
1．一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”．
2．两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，⌝p指的是命题的否定，只需否定结论．二是否定时，有关的否定词否定不当.
知识梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断
p q p∧q p∨q ⌝p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．简单的逻辑联结词
(1) 命 题 中 的 ________
_________ 叫 做 逻 辑 联 结
判断真假 、 __________
判断为真 、判断为假
词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
真
真
p且q
若q，则p
1
－x
＋e ≥2，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0 ＝ ，则下列判断正确的是
2
(
)
A．p∧q是真命题
B．(綈p)∧(綈q)是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
1
x
－x
x
解析：因为e ＋e ＝e ＋ ≥2成立，所以命题p是真命题；又由
e
1
2x0 ＝ ＝2 － 1 ，得x0 ＝－1∉(0，＋∞)，所以命题q是假命题．所以
______
真
假
______
綈q，则綈p
假
假
真
假
假
假
p或q
若______
p，则綈q
真
____
没有关系
____
必要
非p
假
相同
__
____
充分
____
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全
充分不必要
称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做________.
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，
可先判断其否定的真假.
命题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
A．p或q为假，p且q为假，﹁p为真 B．p或q为真，p且q为假，﹁p为真
C．p或q为假，p且q为假，﹁p为假
D．p或q为真，p且q为假，﹁p为假 【答案】 D
第一章 集合与常用逻辑用语 二、全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ∀ ”
表示． 存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ∃ ” 表示． (2)含有全称量词的命题，叫做 全称命题 ，“对M中任意一 个x，有p(x)成立”可用符号简记为： ∀x∈M，p(x) ．
第一章
集合与常用逻辑用语
考点关注 简单的逻辑 联结词
考纲要求
考纲解读
1. 带有逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 1. 了解逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 非 ” 的命题的判断和其否定的 “且”、“非”的含义． 判断，全称命题、特称命题的 2. 理解全称量词与存在 否定及判断是考查的重点． 2.多以选择题、填空题的形式 量词的意义． 出现，而考查的形式是把其与 3.能正确地对含有一个 其他知识结合，在知识的交汇 量词的命题进行否定. 处命题，都是中档题.
【答案】 B
第一章
集合与常用逻辑用语
2．(2013· 石家庄质检)已知命题 p1：∃x∈R，x2＋ x＋ 1＜0； p2：
∀x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是(
A．﹁p1∧﹁p2 C．﹁p1∧p2 B．p1∨﹁p2 D．p1∧p2
)
【解析】 ∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴x2 ＋x＋1＜0无解，故命题p1为假命题，﹁p1为真命题；由x2－1≥0， 得 x≥1 或 x≤ － 1 ， ∴ ∀x∈[1,2] ， x2 － 1≥0 ，故 p2 为真命题，所以 ﹁p1∧p2为真命题，故选C.
简单的逻辑联动词全称量词与存在量词
(3)若命题 p、 q 至少有一个是真命题， 则 p∨q 是真命题． ( (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( (5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．( ) )
答案：(1)×(5)√
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命题“∃x0∈R，x2 0－x0－1>0”的否定是( A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0 C．∃x0∈R，x2 0－x0－1≤0 D．∃x0∈R，x2 0－x0－1≥0
答案：“有些可以被 5 整除的整数，末位数字不是 0”
π 若“∀x∈0，4，tan
x≤m”是真命题，则实数 m 的最小值
为________．
π 解析：因为 0≤x≤ ，所以 0≤tan x≤1， 4
π 又因为∀x∈0，4 ，tan
x≤m，故 m≥1，
即 m 的最小值为 1. 答案：1
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②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，至少 能找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就 是假命题．
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(2018· 河南商丘模拟)已知 f(x)＝sin x－x， 命题 p：
π ∃x∈0， 2，f(x)<0，则(
)
A．p B．p C．p D．p
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5 解析：选 A.因为 >1，所以命题 p 是假命题．又因为 x2＋x＋1 2
12 3 3 ＝x＋2 ＋ ≥ >0，所以命题 4 4
q 是真命题，由命题真假的真值
表可以判断②③正确，故选 A.
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(教材习题改编)命题“所有可以被 5 整除的整数，末位数字 都是 0”的否定为________________________________．
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第二讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教学目标：1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词与存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、知识回顾课前热身知识点1、命题p∧q、p∨q、非p的真假判定p q p∧q p∨q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真知识点2．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．知识点3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)例题辨析推陈出新例1已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[自主解答]命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题．[答案] D变式练习1．(2013·长春名校联考)命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．非p 为假命题D ．非q 为假命题 解析：选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题.例2(1)下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1D ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x >sin x(2)已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤f (m )B ．∃x 0∈R ，f (x 0)≥f (m )C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (m )D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (m )[自主解答] (1)对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 2，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．(2)∵a >0，∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在x ＝－b2a处取得最小值．∴f (m )是函数f (x )的最小值．故C 错误． [答案] (1)B (2)C变式练习2．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数解析：选D 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题.例3写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.[自主解答] (1)非p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题． (2)非q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． (4)非s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．变式练习3．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0. 答案：有些可以被5整除的数，末位不是0例4已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)[自主解答] 命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[答案] C4．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴非p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1， ∴非q ：c >12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.三、归纳总结 方法在握归纳1个规律——含逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即一真全真； (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即一假即假； (3)非p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2种方法——含量词的命题的否定及真假判断方法 (1)全称命题真假的判断方法(见例2)； (2)特称命题真假的判断方法(见例2)；(3)含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．2个易错点——命题否定中的两个易错点 (1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． (2)p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q 的否定为：非p 或非q . 3．常见词语的否定形式正面词语 是 都是> 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定词语 不是 不都是 ≤一个也没有 至少有两个存在x 0∈A ，使p (x 0)假四、拓展延伸 能力升华例1、(2012·辽宁高考)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则非p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0[解析] 题目中命题的意思是“对任意的x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x 1，x 2，使得(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0即可，故命题“∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0”的否定是“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0”．[答案] C变式练习1．命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1<0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1≥0B ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0 D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0解析：选C 因为特称命题p ：∃x 0∈A ，P (x 0)，它的否定是非p ：∀x ∈A ，非P (x )，所以命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”．2．若命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题非p ：( ) A ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－∞，－π2∪⎝⎛⎭⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：选C ∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题非p 为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0. 五、课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·长沙模拟)设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是( ) A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假解析：选C ∵p 或q 为真⇒p 、q 中至少有一个为真；p 且q 为假⇒p 、q 中至少有一个为假， ∴“命题p 或q 为真，p 且q 为假”⇒p 与q 一真一假． 而由C 选项⇒“命题p 或q 为真，p 且q 为假”． 2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：选D 1<4x 0<3，14<x 0<34，这样的整数x 0不存在，故A 错误；5x 0＋1＝0，x 0＝－15∉Z ，故B 错误；x 2－1＝0，x ＝±1，故C 错误；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74>0. 3．(2013·揭阳模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧非q 是真命题C ．命题非p ∧q 是真命题D ．命题非p ∨非q 是假命题解析：选C 命题p 是假命题，命题q 是真命题， ∴p ∧q 是假命题，p ∧非q 是假命题，非p ∧q 是真命题，非q ∨非p 是真命题．4．已知命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0＝12，则非p 为( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ＝12 B ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12C ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0≠12D ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0>12解析：选B 依题意得，命题非p 应为：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12. 5．已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－12；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∧(非q )D ．p ∨q解析：选D 抛物线y ＝2x 2，即x 2＝12y 的准线方程是y ＝－18；当函数f (x ＋1)为偶函数时，函数f (x ＋1)的图象关于直线x ＝0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称(注：将函数f (x )的图象向左平移一个单位长度可得到函数f (x ＋1)的图象)，因此命题p 是假命题，q 是真命题，p ∧q 、p ∨(非q )、(非p )∧(非q )都是假命题，p ∨q 是真命题．6．(2013·南昌模拟)下列命题正确的是( )A ．已知p ：1x ＋1>0，则非p ：1x ＋1≤0B ．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，则a >b 是cos A <cos B 的充要条件C ．命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则非p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0D ．存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立解析：选B 对于A ，非p 应是x ＋1≤0，因此A 不正确；对于B ，在△ABC 中，a >b ⇔A >B ⇔cos A <cos B ，因此B 正确；对于C ，命题非p 应是∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0，因此C 不正确；对于D ，注意到sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]，且π2∉[－2， 2 ]，因此不存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立，D 不正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是____________．解析：全称命题的否定为特称命题，所以该命题的否定为：∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3. 答案：∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤38．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“非p ”中是真命题的有________．解析：依题意p 假，q 真，所以p ∨q ，非p 为真．答案：p ∨q ，非p9．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0.综上，－8≤a ≤0.答案：[－8,0]三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些素数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|>0.解：(1)非q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)非r ：每一个素数都不是奇数，假命题．(3)非s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．11．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题． p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1， 所以命题p ：a ≤1；q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0， 只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2， 所以命题q ：a ≥1或a ≤－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2得a ＝1或a ≤－2 故实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2.12．已知命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：存在实数m ，使方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求m 的取值范围．解：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2，即m >2时，p 真．存在实数m ，使方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3，即1<m <3时，q 真．因“p ∨q ”为真，所以命题p 、q 至少有一个为真， 又“p ∧q ”为假，所以命题p 、q 至少有一个为假，因此，命题p 、q 应为一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真． 故⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3， 解得m ≥3或1<m ≤2.。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含解析)
归纳与技巧：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识归纳一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．三、含有一个量词的命题的否定基础题必做1．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题答案：D2．(教材习题改编)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，x0＋1x0＝2 B．∃x0∈R，sin x0＝－1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0答案：C3．命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q解析：选D其否定为∀x∈∁R Q，x3∉Q.4．(教材习题改编)命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________.答案：所有的三角形都不是等边三角形5．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．解析：∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0为假命题，则∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤2 2.答案：[－22，2 2 ]解题方法归纳1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．含有逻辑联结词命题的真假判定典题导入[例1]已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[自主解答]命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．[答案] D解题方法归纳1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．以题试法1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的结论是()A．①③B．②④C．②③D．①④(2) 已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4] D．(－∞，1]解析：(1)选A“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．(2)选C “p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题．p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.p ∧q 为真，则e ≤a ≤4.全称命题与特称命题的真假判断典题导入[例2] 下列命题中的假命题是( )A ．∀a ，b ∈R ，a n ＝an ＋b ，有{a n }是等差数列B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0C ．∀x ∈R,3x ≠0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0[自主解答] 对于A ，a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)＋b －(an ＋b )＝a 常数．A 正确；对于B ，∀x ∈(－∞，0)，2x >3x ，B 不正确；对于C ，易知3x ≠0，因此C 正确；对于D ，注意到lg 1＝0，因此D 正确．[答案] B解题方法归纳1．全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．以题试法2． 下列命题中的真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0＝35B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0>1C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析：选C 由sin x cos x ＝35，得sin 2x ＝65>1，故A 错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B ，D 错误；因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，所以C 正确．全称命题与特称命题的否定典题导入[例3] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被2整除的整数都是奇数 B ．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C ．存在一个能被2整除的整数是奇数 D ．存在一个不能被2整除的整数不是奇数[自主解答] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.[答案] D若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________． 答案：所有能被2整除的整数都不是奇数解题方法归纳1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． 3．要判断“綈p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与綈p 的真假相反．4．常见词语的否定形式有：原语句 是 都是 >至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假以题试法3． 已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0解析：选C 命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f ( x 1))(x 2－x 1)<0”．1．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( ) A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 B ．∃a <0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 C ．∀a >0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2解析：选D 全称命题含有量词“∀”，故排除A 、B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立，故选D.2． 设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为真C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 命题p ，q 均为假命题，故p ∧q 为假命题．3． 已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以綈p 为假命题，綈q 为真命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题．4．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )`都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A 由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．5． 下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件解析：选D 因为∀x ∈R ，e x ＞0，故排除A ；取x ＝2，则22＝22，故排除B ；a ＋b ＝0，取a ＝b ＝0，则不能推出ab＝－1，故排除C.6． 已知命题p 1：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0；p 2：∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(綈p 1)∧(綈p 2)B ．p 1∨(綈p 2)C ．(綈p 1)∧p 2D ．p 1∧p 2解析：选C ∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 2＋x ＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1，∴∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题．7． 下列说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 0＋1x 0>2，则綈p ：∀x ∈R ，均有x ＋1x ≤2B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析：选D 显然选项A 正确；对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确；对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确；对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故选项D错误．8． 已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析：选A 若命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0真，则a ≤1.若命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0真，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a ≥1或a ≤－2，又p 且q 为真命题所以a ＝1或a ≤－2.9．命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋5＝0”的否定是________． 答案：对任何x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠010．已知命题p ：“∀x ∈N *，x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．解析：q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真．答案：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真11．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)12．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． 解析：由题意得sin θ－1≥0.又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1. ∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12. 答案：1213．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的是________．解析：因为命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是真命题，命题“(綈p )∨q ”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．答案：②④ 14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③1．下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，ln(x 20＋1)<0，则綈p ：∀x ∈R ，ln(x 2＋1)≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件解析：选D sin θ＝12是θ＝30°的必要不充分条件，故选D.2． 命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题．3．已知命题p ：“∃x 0∈R,4x 0－2x 0＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案：(－∞，1] 4．下列四个命题：①∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2；②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2；③对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x ＋1tan x≥2；④∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝ 2. 其中正确命题的序号为________．解析：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]； 故①∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2错误； ④∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2正确； ∵sin x ＋1sin x ≥2或sin x ＋1sin x ≤－2，故②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2错误；③对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >0，1tan x >0，由基本不等式可得tan x ＋1tan x ≥2正确． 答案：③④5．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．6．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时， ⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{ a |}a >2，或a <－2.1． 有下列四个命题：p 1：若a ·b ＝0，则一定有a ⊥b ；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝a 1－2x ＋1都恒过定点⎝⎛⎭⎫12，2；p 4：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ≥0.其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 3C ．p 1，p 3D ．p 2，p 4解析：选A 对于p 1：∵a ·b ＝0⇔a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，当a ＝0，则a 方向任意，a ，b 不一定垂直，故p 1假，否定B 、D ，又p 3显然为真，否定C.2．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”“綈q ”中，是真命题的有________．解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．答案：綈p ，綈q3．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎨⎧Δ＝m 2－4>0，m >0. 解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0.解得1<m <3，即q ：1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 、q 两命题应一真一假，即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧ m ≤2，1<m <3. 解得m ≥3或1<m ≤2.∴m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．。
(完整版)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。
高三数学总复习 简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词【知识网络】【考点梳理】一、复合命题的真假ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。
二、全称命题与特称命题1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“∀”表示。
2、全称命题：含有全称量词的命题。
其结构一般为：,()x M p x ∀∈3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“∃”表示。
4、特称命题：含有存在量词的命题。
其结构一般为：,()x M p x ∃∈ 三、全称命题与特称命题的否定1、命题的否定和命题的否命题的区别命题p 的否定 ，即p ⌝，指对命题p 的结论的否定。
命题p 的否命题，指的是对命题p 的条件和结论的同时否定。
2、全称命题的否定 全称命题p ：,()x M p x ∀∈ 全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝ 特称命题:p ,()x M p x ∃∈ 特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
四、常见结论的否定形式原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个简易逻辑逻辑联结词简单命题与复合命题全称量词、存在量词或、且、非小于不小于至多有n个至少有（1n+）个对所有x，成立存在某x，不成立p或q p⌝且q⌝对任何x，不成立存在某x，成立p且q p⌝或q⌝【典型例题】类型一：判定复合命题的真假【高清课堂：逻辑例2】例1.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．解析：(1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若实数x、y满足x2＋y2≠0，则x、y不全为零，真命题．逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．【变式1】已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【答案】B ．【解析】命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=-1，b=-2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．【变式2】满足“p或q”为真，“非p”为真的是（填序号）（1）p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q: ＝sinx在第一象限是增函数（2）p：；q: 不等式的解集为（3）p:圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是.【答案】(2)；【解析】由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)．2.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A解析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行、异面,故选A.点评：1. 判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题p 和q 的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“x N ∈或0x <”是“或”的关系，否定时要注意. 举一反三：【变式1】（2016 四川高考）设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A ；解析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选 A.类型二：全称命题与特称命题真假的判断例3. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.（1）:p 2,20x R x ∀∈+>； （2）:p 200,10x R x ∃∈+=； （3）:p 2,320x R x x ∀∈-+=； （4）:p 200,4x Q x ∃∈=.解析：(1)由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题(2) 因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题.(3)因为只有2x =或1x =满足方程，p 为假命题；p ⌝：2000,320x R x x ∃∈-+≠，p ⌝为真命题.(4) 由于使24x =成立的数有2±，且它们是有理数，p 为真命题；p ⌝：2,4x Q x ∀∈≠，p ⌝为假命题.点评：1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【高清课堂：逻辑 思考题2】【变式1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若a>b 且c>d ，则a ＋c>b ＋d(2)若a<0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根． 【答案】(1)逆命题：若a ＋c>b ＋d ，则a>b 且c>d(假命题) 否命题：若a ≤b 或c ≤d ，则a ＋c ≤b ＋d(假命题) 逆否命题：若a ＋c ≤b ＋d ，则a ≤b 或c ≤d(真命题)(2)逆命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根，则a<0否命题：若a ≥0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根逆否命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根，则a ≥0因为若a<0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为两根之积为1a <0，所以方程有一个负根，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题为假命题．事实上，方程ax 2＋2x ＋1＝0，有两个负数根时1a >0此时a>0，所以逆命题不成立．因此否命题也是假命题. 类型三：在证明题中的应用例 4.若,,a b c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+．求证：,,a b c 中至少有一个大于0．解析：假设,,a b c 都不大于0，即0,0,0a b c ≤≤≤，则0a b c ++≤ 而222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z ππππ++=-++-++-+=-+-+-+-∵222(1)(1)(1)0x y z -+-+-≥，30π->．∴0a b c ++>，这与0a b c ++≤相矛盾．因此,,a b c 中至少有一个大于0．点评： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题． 举一反三：【变式】求证:关于x 的方程20ax bx c ++=有一根为1的充分必要条件是0a b c ++=. 证明：(1）必要性，即 证“1x =是方程20ax bx c ++=的根⇒0a b c ++=”.∵1x =是方程的根，将1x =代入方程，得2110a b c ⋅+⋅+=,即0a b c ++=成立. (2）充分性，即证“0a b c ++=⇒1x =是方程20ax bx c ++=的根”. 把1x =代入方程的左边，得211a b c a b c ⋅+⋅+=++∵0a b c ++=, ∴2110a b c ⋅+⋅+= ，∴1x =是方程的根成立. 综合(1)(2)知命题成立.。
1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 、 、 、
⑶全称量词用符号“____”表示；存在量词用符号
“____”表示.
⑷全称命题与特称命题
含有全称量词 ①_____________的命题叫全称命题.
含有存在量词 ②_____________的命题叫特称命题.
3. 命题的否定
⑴全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是 全称命题. ⑵p 或 q 的否定为:非 p 且非 q;
a x
2
,故只有当 a
0
时, f x 在 0 , 时, f x
x
2
上是增函数,因此 A,B 不对;当 a 函数,因此 C 对,D 不对.
0
是偶
题型分类 深度剖析
题型一 用“或” “且”“非”联结简单命题 、 、 判断其真假
【例 1】写出由下列各组命题构成的“ p q ”,“ p q ”, “ p ”形式的复合命题,并判断真假. ⑴p:1 是质数;q:1 是方程 x 2 互相垂直; ⑶p: 0 ;q: x
⑵p:函数 y q:方程 x
2
x x2
2
的图象与 x 轴没有公共点. 没有实根.
的图象[解]⑵ p q :函数 y 共点,且方程 x 2
p q
x x2
x2 0
2
真
:函数 y
x x2
x2 0
2
的图象与 x 轴没有公共
,故 p 1 为假;
在 p 2 : x (0 ,1), lo g
1 2
x lo g 1 x
中，
当x
1 2
时, lo g
1
1 2
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
点评：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定 的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词, 全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； 二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论 即可．
例 2、已知 a>0，设命题 p：函数 y＝ax 在 R 上单调递增； 命题 q： 不等式 ax2－ax＋1>0 对∀x∈R 恒成立． 若“p∧q” (0,1]∪[4，＋∞) 为假，“p∨q”为真，求 a 的取值范围．
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
复习目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义; 2.理解全称量词与存在量词的意义; 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
要点回顾 1．简单复合命题的真值表：
p 真 假 真 假 q 真 真 假 假 p∧q p∨q ¬p
真 假 假 假
真 真 真 假
例 3、已知命题 p：方程 2x2＋ax－a2＝0 在[－1,1]上有解；命 题 q：只有一个实数 x0 满足不等式 x2＋2ax0＋2a≤0，若命题 0 {a|a>2 或 a<－2} “p 或 q”是假命题，求 a 的取值范围．
达标检测 1．若p为真命题，q为假命题，以下四个命题：(1)p且q； (2)p或q；(3)非p；(4)非q其中假命题的个数为( ) A (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.下列命题中，真命题是( A ) A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数 B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
考向二 全称命题与特称命题的否定及真假判断 [例 2] (1)(2012 年高考湖北卷) 命题“存在一个无理数，它的平方 是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)(2013 年大同模拟)下列命题中是假命题的是( )
• 2．可以借助集合的“交”、“并”、 “补”运算来理解逻辑联结词“且”、 “或”、“非”：
• 1．(课本习题改编)命题“∀x>0，x3＋x>0”
的否定是( ＋x0≤0
)
B．∃x0>0，x D ． ∀ x 0≤ 0 ， x ＋
• A．∃x0>0，x＋x0>0 • C．∀x0>0，x＋x0≤0
x0>0
• 1 ． (2012 年高考安徽卷 ) 命题“存在实数 x ， 使x>1”的否定是( ) • A．对任意实数x，都有x>1 • B．不存在实数x，使x≤1 • C．对任意实数x，都有x≤1 • D．存在实数x，使x≤1 • 解析： 利用特称 ( 存在性 ) 命题的否定是全 称命题求解． • “ 存在实数 x ，使 x>1” 的否定是 “ 对任意 实数x，都有x≤1”．故选C.
2 2． (2012 年高考课标全国卷)下面是关于复数 z＝ 的四个命题： －1＋i p1：|z|＝2； p2：z2＝2i； p3：z 的共轭复数为 1＋i； p4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( A．p2，p3 C．p2，p4 ) B．p1，p2 D．p3，p4
解析：利用复数的有关概念以及复数的运算求解． 2 ∵z＝ ＝－1－i，∴|z|＝ －12＋－12＝ 2， －1＋i ∴p1 是假命题；
一轮复习讲义：专题二 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
20１9高三数学第一轮复习资料专题二简单的逻辑联结词,全称量词与存在量词一知识回顾1、“或",“且", “非"称为 , 不含逻辑联结词的命题称为含有逻辑联结词的命题称为____ ,复合命题有三种形式________＿_＿＿___2、用逻辑联结词“且"把命题和命题联结起来、就得到一个新命题,记作、３、用逻辑联结词“或"把命题和命题联结起来。
就得到一个新命题,记作_＿_4、对一个命题的全盘否定, 就得到一个新的命题, 记作___＿,5、三种复合命题的真值表:(1)“p且q”: 一假即假(２)“p或ｑ": 一真即真(3)“非p”: 真假相反特别提醒:命题的“否定”与“否命题"是不同的概念,对命题p的否定(即非p)是否定命题p所作的判断,而“否命题”是“若p则ｑ”6、短语“_对所有的"、“对任意一个”逻辑中称为全称量词,并用符号“＿___”表示。
７、短语“存在一个”、“_至少有一个" 逻辑中称为存在量词,并用符号“”表示。
8、含有全称量词的命题称为命题;含有存在量词的命题称为__ 命题。
９、全称命题形式:;特称命题形式:。
其中Ｍ为给定的集合,特别提醒:全称命题p:的否定ｐ:;全称命题的否定为特称命题特称命题ｐ:的否定p:;特称命题的否定为全称命题其中p(ｘ)是一个关于的命题。
10、重难点:。
(1) 理解逻辑联结词“非”的含义问题1:您能写出下列命题p的非(否定)不?(1)p:100既能被4整除又能被5整除(2)p:三条直线两两相交(3)p:一元二次方程至多有两个解(4)p:解: (1)p:１00不能被4整除,或不能被5整除(2)p:三条直线不都两两相交(３)p:一元二次方程至少有三个解(4)p:或点拨:“且”的否定形式是“或”,而“或”的否定形式是“且”。
写出命题的非(否定),需要对其正面叙述的词语进行否定,常用正面叙述词语及它的否定列举如下: 正面词语且小于(〈) 都是都不是至少n个至多ｎ个否定词语或不小于(≥) 不都是至少有一个是至多n-１个至少n+１个正面词语任意的所有的有无穷多个存在唯一的对任意p,使…恒成立否定词语某个某些只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个p,使…不成立(2)命题的否定与命题的否命题的区别问题2: 写出命题:“若,则”的否定与否命题,并加以区别。
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-学生版
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假关系表2.全称量词和存在量词3.4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．()2n>1000，则綈p：∃n∈N,02n≤1000.()(2)已知命题p：∃n0∈N,0(3)命题p和綈p不可能都是真命题．()(4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．()(5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．()2x≤0”是假命题．()(6)命题“∃x0∈R,01．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列结论是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧q C ．p ∨綈qD ．綈p ∧綈q2．(2013·重庆)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<03．(2014·重庆)已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧qD ．p ∧綈q4．若命题“∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断例1 (1)命题p ：将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面选项中真命题是( ) A ．(綈p )∧(綈q ) B ．(綈p )∨(綈q ) C ．p ∨(綈q )D ．p ∧q思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．(1)(2014·湖南)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④(2)“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的________条件． 题型二 含有一个量词的命题的真假判断与否定 例2 (1)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，ln x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝π2C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,3x >0(2)(2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B思维点拨 含一个量词的命题的否定要改变量词，并对结论进行否定．思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．(1)下列命题中的真命题是( )A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x(2)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．是( ) A ．对任意实数x ，都有x >1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1题型三 逻辑联结词与命题真假的应用例3 (1)设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________________．(2)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．思维升华以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．(1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．{a|a≤－2或a＝1}B．{a|a≥1}C．{a|a≤－2或1≤a≤2}D．{a|－2≤a≤1}(2)命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．常用逻辑用语与一元二次不等式一、命题的真假判断典例：已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么()A．“綈p”是假命题B．q是真命题C．“p或q”为假命题D．“p且q”为真命题答案 C解析由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成立，所以命题q为假命题．综上可知：綈p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.温馨提醒判断和一元二次不等式有关的命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解)，然后再利用逻辑用语进行判断．二、确定参数的取值范围典例：(1)若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为________．(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2答案 (1)[－2,2] (2)A解析 (1)方法一 由题意，命题“对任意实数x ，使x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.方法二 若命题“存在实数x ，使∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1<0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故原命题实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，∀x ∈R ，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 温馨提醒 在与全称命题、特称命题有关的问题中，如果从原来的命题出发解决问题不方便，则可以先否定原来的命题，再依据补集思想解决原问题.方法与技巧1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”． 失误与防范1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可；p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真． 2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q . 3．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真2．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．綈p ∨qB ．p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．綈p ∨綈q 3．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＝52B ．∃x ∈R ，log 2x ＝1C ．∀x ∈R ，(12)x >0D ．∀x ∈R ，x 2≥04．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数 B ．所有的单调函数都不是指数函数 C ．存在一个指数函数，它不是单调函数 D ．存在一个单调函数，它不是指数函数5．已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列结论正确的个数是( )①已知复数z ＝i(1－i)，z 在复平面内对应的点位于第四象限； ②若x ，y 是实数，则“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 或x ≠－y ”；③命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”；A ．3B ．2C ．1D ．07．若命题p ：对于任意x ∈[－1,1]，有f (x )≥0，则对命题p 的否定是________．8．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________． 9．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．10．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．p ∨q 是假命题 B ．p ∧q 是真命题 C ．p ∧(綈q )是真命题 D ．p ∨(綈q )是假命题12．下列结论正确的是( )A ．若p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0B ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题C ．“函数f (x )为奇函数”是“f (0)＝0”的充分不必要条件D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题为真命题 13．下列结论正确的个数是( )(1)命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；(2)函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π是“a ＝1”的必要不充分条件； (3)x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； (4)“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”． A ．1B ．2C ．3D ．414．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．15．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．。
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专题二 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型一、命题及其关系1．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题 2．下列三个命题中真命题的个数是( )①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k >0，则一元二次方程x 2＋2x －k ＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．有下列几个命题，其中真命题的序号是________．①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．4．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假并说明理由．题型二、充分条件与必要条件1.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）.A.0x y +=B.220x y +>C.0x y -=D .330x y +≠ 2.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分不必要条件是-2<x<-1,则a 的取值范围是( )A. a ≤-2B.a ≥2C.a<-2D.a>2 3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线,//,//a a a αβB.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂C.存在一条直线,,//a a a αβ⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂4.（08·浙江理）已知a,b 都是实数,那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的 条件. 5.【2015天津】设x R∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6.（2008·安徽理）a ＜0方程ax 2+2x+1=0至少有一个负数根的 条件.7、【2015湖北】设12,,,n a a a ⋅⋅⋅∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a ⋅⋅⋅成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 7.已知p ：02082>--x x ，q ：)0(,01222>≥-+-a a x x ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．8.已知关于x 的方程为x 2-mx+3m-2=0 ①若方程的两根均大于1，求m 的取值范围. ②若方程的一个根大于1，另一个根小于-2，求m 的取值范围。
9. 已知ab ≠0，求证：a+b=1的充要条件是a 3+b 3+ab-a 2-b 2=0.题型三、简单的逻辑联结词1．若命题p ∧q 为假，且¬p 为假，则( )A ．p ∨q 为假B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断2．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )3.若命题“对∀x ∈R ，x 2+4cx+1＞0”是真命题，则实数c 的取值范围是4．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________.5．用“或”、“且”、“非”填空，使命题为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0. 6．判断由下列命题构成的p ∨q ，p ∧q ，¬p 形式的命题的真假： (1)p ：负数的平方是正数，q ：有理数是实数； (2)p ：2≤3，q ：3<2；(3)p ：35是5的倍数，q ：41是7的倍数．7．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2) ¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 8．(2015·江苏泰州中学期末)由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a的值是_________．9．(2015·山东德州期末考试)下列四个命题中正确命题的序号是_________．①∃x ∈(0，＋∞)，()12x ＞()13x ②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x ＜log 3x③∀x ∈(0，＋∞)，()12x ＞log 12x④∀x ∈()0，13，()12x ＜log 13x .10．(2015·湖南)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax －8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是_______ 8．若c>0,命题p:方程022=+-c cx x无解。
命题q:不等式.0222R c x x 的解集为>++ 的取值范围。
为真，求实数为假，若c q p q p ∨∧11．(2015·锦州月考)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．12．(2014·浙江温州十校联考)已知命题p ：方程x 22m －y 2m －2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线．命题q ：曲线y ＝x 2＋(2m －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．题型四、全称量词与存在量词1．下列语句不是特称命题的是( )A ．有的无理数的平方是有理数B ．有的无理数的平方不是有理数C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数D ．存在x 0∈R,2x 0＋1是奇数2．(2010湖南)下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x>03．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0 C ．菱形的两条对角线相等 D ．对数函数在定义域上是单调函数4．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy B ．∃x 0，y 0∈R ，使x 20＋y 20≥2x 0y 0C ．∀x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x 0<0，y 0<0，使x 20＋y 20≤2x 0y 05．下列命题中，假命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 2＋1≥1； ③∃x 0∈Z ，x 0能被2和3整除；②∃x 0∈R,2x 0＋1＝3：④∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．(2010安徽)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．7、【2015新课标1】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( C )（A ）2,2n n N n∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤ （C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2nn N n ∃∈8、【2015山东】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 7．写出下列命题的否定，并判断真假： ;041,:)1(2≥+-∈∀x x R x p ；所有的正方形都是矩形:)2(q ;022,:)3(2≤++∈∃x x R x p ;01,:)4(3=+x x p 使得至少有一个实数8．(2014·山东烟台一模)若命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0.则下面结论正确的是( ) A ．p 是假命题 B ．┑q 是真命题 C ．p ∧q 是假命题 D ．p ∨q 是真命题 9．(2014·广东广州三校联考)∃x ∈R ，x 2－ax ＋1≤0为假命题，则a 的取值范围为( ) A ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．[－2,2] D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 10．(2014成都一诊)下列命题的否定为假命题的是( ) A ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 B ．∀x ∈R ，lg x ＜1 C ．所有能被3整除的整数都是奇数 D ．∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1 11．(2014·北京朝阳一模)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站隐”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站隐”可表示为( ) A ．p ∨q B ．p ∨┑q C ．┑p ∧┑q D ．┑p ∨┑q 12．(2014·吉林长春二模)已知命题p ：函数y ＝a x ＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(0,1)；命题q ：若函数y ＝f (x )为偶函数，则函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝1对称，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．┑p ∧q D ．p ∨┑q 13．(2014·江西)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)． (1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值； (2)若对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．。