2018版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和课件新人教B版必修5
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)达标检测(
等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n ＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A ．30B ．31C ．32D ．33解析：中间项为a n ＋1.S 奇＝（a 1＋a 2n ＋1）2·(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1＝512. S 偶＝a 2＋a 2n 2·n ＝n ·a n ＋1＝480. 所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案：C2．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，则下列结论正确的是()A ．d <0B ．a 9＝0C ．S 11>S 7D ．S 8、S 9均为S n 的最大值解析：由S 7<S 8得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7<a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，即a 8>0，又因为S 8＝S 9，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9，所以a 9＝0，故B 项正确．同理由S 9>S 10，得a 10<0，因为d ＝a 10－a 9<0，故A 项正确．对C ，S 11>S 7，即a 8＋a 9＋a 10＋a 11>0，可得2(a 9＋a 10)>0，由结论a 9＝0，a 10<0，显然C 项是错误的．因为S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，所以S 8与S 9均为S n 的最大值，故D 项正确．答案：ABD3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为()A.310B.13C.18D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，令S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，所以S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.所以S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以S 6S 12＝310. 答案：A4．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于()A ．15B ．35C ．66D ．100解析：易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，所以n ≥3.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.答案：C5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.所以a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152. 又n 为正整数，所以当S n 取最小值时，n ＝7.答案：C二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)．因为S 3＝9，S 6－S 3＝27，所以S 9－S 6＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.答案：457．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________． 答案：48．若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________． 解析：S 3S 5＝3（a 1＋a 3）5（a 1＋a 5）＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案：3∶2三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的X 围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， 所以－247＜d ＜－3. (2)因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0， 所以a 6＞0.又由(1)知d ＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．10．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 解：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10，② ①×10－②，整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100. 所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110×1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10， 因为S 10＝100，代入上式得d ′＝－22， 所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120， 所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . 因为S 10＝100，S 100＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－11100，b ＝11110， 所以S n ＝－11100n 2＋11110n ， 所以S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. B 级 能力提升1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 答案：A2．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003· a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知 a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003·(a 2 003＋a 2 004)＞0， S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007×a 2 004＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006. 答案：4 0063．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 因为S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ， 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13(110－3n －110)＝n 10（10－3n ）.。
(完整版)数列公式汇总.doc
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2． 1数列的概念与简单表示法2． 2等差数列2． 3等差数列的前n 项和2． 4等比数列2． 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，，第 n 项， .⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为a n，其中 a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列 a n 的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n 1|.a n ，也可以是 a n | cos n 12 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数a n f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
第二章 数列
例题一
已知数列1/1×2,1/2×3,1/3×4,….,1/n×(n+1),…… (1)求这个数列的第10项，第20项。 （2）1/2009是不是这个数列中的项，如果是，是第几项？
例题二
写出下面数列的一个通项公式，使它们的前4项分别是下列各数： （1）1，-1/2,1/3,-1/4; （2）2，0，2，0.
的前n项和，已知s7=7,s15=75,Tn为数列【 sn/n 】
记等差数列
的前n项和为sn,若a1=1/2,s4=20,则s6=?
已知数列 是等差数列，sn是其前n项和，且sm=n,sn=m（m≠n且m n 是 正整数），则sm+n=?
求和：1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+……1/n(n+2)
递推公式是求数列的通项公式的一种重要途径
例题四
设数列
满足
a1=1 an=1+1/an-1 （n>1） 写出这个数列的前五项
例题五
已知数列 中，a1=a>0,an+1=f（an）(n为正整数)，其中f(x)=2x/(x+1)
（1）求a2 a3 a4
（2）猜想数列
的一个通项公式。
an与sn的关系
数列的前n项的和通常记为sn，sn=a1+a2+……+an. S1 (n=1) Sn与an的关系：an= Sn-sn-1 （n≥2）
………
……
………
等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差 数列。这时，A叫做a与b 的等差中项
等差数列的通项公式
一般的，如果一个数列 数列的定义，可以得到：
的首项是a1,公差是d，我们根据等差
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
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高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
高中数学第二章数列2.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版必修5
第二十三页，共42页。
【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
第三十一页，共42页。
法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
第十九页，共42页。
【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
第九页，共42页。
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
等差数列前n项和公式(第1课)
(高考链接)等差数列 an 的前 为 s .已知 a10 30 , a20 50.
n
n 项和记
(1)求通项 an ;
(2)令 sn 242 ,求 n .
等差数列的前 n 项和（第1课时）
课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
等差数列的前 n 项和（第1课时）
变1： 在等差数列an 中，已知d 20, n 37, sn 629, 求a1及an .
变2：等差数列－10，－6，2，· · · · · · · 前多少项和是54 ？
变3：等差数列{an}中, d=20, an=18, Sn=48,求a1的值。
等差数列的前 n 项和（第1课时）
(关于n的二次函数)
公式的推证用的是倒序相加法
在两个求和公式中,各有四个元素,只要知道其中三个元 素,结合通项公式就可求出另两个元素.
等差数列的前 n 项和（第1课时）
• 如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下 每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？
等差数列的前 n 项和（第1课时）
等差数列的前 n 项和（第1课时）
数列前n 项和的意义
这节课我们研究的问题是：(1)已知等差数列 ｛ an ｝的首项a1，项数n，第n项an，求前n项 和Sn的计算公式；(2)对此公式进行应用。
数列｛ an ｝： a1， a2 ， a3 ，…， an
，…
我们把 a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an 叫做数列｛ an ｝ 的前n项和，记作Sn
例3 已知一个等差数列的前10项和是310, 前20项的和是1220,由这些条件能确定这 个等差数列的前n项和的公式吗?
2018版高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和(一) 新人教A版必修5
本课结束
第二章 数 列
§2.5 等比数列的前n项和(一)
学习 目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单 问题.
栏目 索引
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自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 等比数列前n项和公式 1.等比数列前n项和公式
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an及其前n项和Sn； 解 设{an}的公比为q，依题意得
a1q＝3 a1q4＝81
，解得aq1＝＝31
，
因此，an＝3n－1，Sn＝111－－33n＝3n－2 1.
解析答案
1 (2)设 bn＝1＋log3an，求数列bn·bn＋1的前 10 项和 T10.
＋a5＋a6＋a7等于( )
11
19
A. 8
B.16
9
3
C.8
D.4
解析答案
12345
3.设等比数列{an}的公比 q＝3，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于___4_30____. 解析 由题意得 S4＝a111－－334＝40a1，又 a2＝3a1， ∴Sa42＝430.
解析答案
12345
4.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是___1_2_0___. 解析 ∵a5＝a2·q3，∴q3＝2943＝27. ∴公比q＝3，从而a1＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝311－－334＝120.
解析答案
12345
5．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ ________，S5＝________．
高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》知识点讲解及重点练习
第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，了解等差数列前n 项和的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题．知识点一 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{S n n }也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1.思考 在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？答案 中间两项，中间项．知识点二 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n .当d ≠0时，S n 关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组Error!确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组Error!确定．(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 7＋a 8等于( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，由等差数列的性质得a 5＋a 6＝6，a 7＋a 8＝8.2．已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( )A.98 B.94C ．1 D ．0答案 C解析 由a 4＝a 2＋(4－2)d ，得－2＝0＋2d ，故d ＝－1，a 1＝1，故S n ＝n ＋n (n －1)2·(－1)＝－n 22＋3n2＝－12(n －32)2＋98.所以当n ＝1或2时，S n 的最大值为1.3．(多选)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为( )A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案 BC解析 由a n ≤0即2n －48≤0得n ≤24.∴所有负项的和最小，即n ＝23或24.4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.答案 2 020解析 由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6，∴d ＝1，∴S nn ＝S 11＋(n －1)d ＝n －2 019.故S 2 0202 020＝2 020－2 019＝1，∴S 2 020＝2 020.一、等差数列前n 项和的性质例1 (1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.答案 2解析 由Error!得Error!所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .解 方法一 在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m2m ＝S mm ＋S 3m3m.即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟 利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．答案 －4解析 设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28，∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②由①②得d ＝－4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解 S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110.二、等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解 方法一 因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二 同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由Error!得Error!又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三 因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四 设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n＝13时，S n取得最大值．由题意得Error!解得Error!所以S n＝－n2＋26n，所以S13＝169，即S n的最大值为169.反思感悟 (1)等差数列前n项和S n最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则S n存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则S n存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和S n最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用Error!或Error!来寻找．②运用二次函数求最值．跟踪训练2 在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．解 (1)设等差数列的公差为d，因为在等差数列{a n}中，a10＝18，S5＝－15，所以Error!解得a1＝－9，d＝3，所以a n＝3n－12，n∈N*.(2)因为a1＝－9，d＝3，a n＝3n－12，所以S n＝n(a1＋a n)2＝12(3n2－21n)＝32(n－7 2)2－1478，所以当n＝3或4时，前n项的和S n取得最小值S3＝S4＝－18.三、求数列{|a n|}的前n项和例3 数列{a n}的前n项和S n＝100n－n2(n∈N*)．(1)判断{a n}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和．解 (1)当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2.②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝Error!n ∈N *.反思感悟 已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由Error!得Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2(－32×172＋1032×17)－(－32n 2＋1032n)＝32n 2－1032n ＋884.∴S n ＝Error!等差数列前n 项和公式的实际应用典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升] (1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．1．已知数列{a n}满足a n＝26－2n，则使其前n项和S n取最大值的n的值为( ) A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案 D解析 ∵a n＝26－2n，∴a n－a n－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{a n}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴S n＝24n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－252)2＋6254.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n最大．2．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A．0.5,0.5 B．0.5,1C．0.5,2 D．1,0.5答案 A解析 由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，∴d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋10×92×0.5，得a1＝0.5.3．(多选)设{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是( ) A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案 ABD解析 ∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．4．已知在等差数列{a n}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n 的值是________．答案 6或7解析 ∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴－a5＝a9，即a5＋a9＝0.由等差数列的性质，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正．∴S n 取得最小值时的n 为6或7.5．已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d ＝________.答案 5解析 由题意得Error!故S 偶＝192，S 奇＝162，所以6d ＝S 偶－S 奇＝30，故d ＝5.1．知识清单：(1)等差数列前n 项和的一般性质．(2)等差数列前n 项和的函数性质．2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想．3．常见误区：求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( )A ．10B ．100C ．110D ．120答案 B解析 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴{S n n }也是等差数列且首项为S 11＝1.又S 88－S 66＝2，∴{S n n }的公差是1，∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数 B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数 D ．无最大值和最小值答案 B解析 易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案 AB 解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确；S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确；数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019 D ．2 020答案 D解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 018，S k＝S2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k2，解得k＝2 020.6．已知在等差数列{a n}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案 99解析 由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.7．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案 5解析 ∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则S n取得最小值时n的值为________．答案 6解析 由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－173.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝d2x2＋(a1－d2)x的图象的对称轴为x＝12－a1d＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n取得最小值时n的值为6.9．已知在等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴a n＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)方法一 a1＝9，d＝－2，S n＝9n＋n(n－1)2·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，S n取得最大值．方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{a n}是递减数列．令a n≥0，则11－2n≥0，解得n≤11 2 .∵n∈N*，∴当n≤5时，a n>0；当n≥6时，a n<0.∴当n＝5时，S n取得最大值．10．在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.解 (1)∵a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，∴a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，∴{a n}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，a n＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝8n＋n(n－1)2×(－2)＝9n－n2.∵a n＝10－2n，令a n＝0，得n＝5.当n>5时，a n<0；当n＝5时，a n＝0；当n<5时，a n>0.∴当n≤5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝9n－n2.当n>5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋a n)＝S5－(S n－S5)＝2S5－S n＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，∴T n＝Error!11．若数列{a n}的前n项和是S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( ) A．15 B．35 C．66 D．100答案 C解析 易得a n ＝Error!|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则{S n n }是公差为d2的等差数列．因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________.答案 310解析 设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列．所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.所以S12＝6k，S16＝10k.S8S16＝3 10.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案 11 7解析 设等差数列{a n}的项数为2n＋1(n∈N*)，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)(a1＋a2n＋1)2＝(n＋1)a n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n(a2＋a2n)2＝na n＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝a n＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1<2,6S n＝(a n＋1)(a n＋2)．(1)求证：{a n}是等差数列；(2)令b n＝3a n a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1.证明 (1)因为6S n＝(a n＋1)(a n＋2)，所以当n≥2时，6S n－1＝(a n－1＋1)(a n－1＋2)，两式相减，得到6a n＝(a2n＋3a n＋2)－(a2n－1＋3a n－1＋2)，整理得(a n－a n－1)(a n＋a n－1)＝3(a n＋a n－1)，又因为a n>0，所以a n－a n－1＝3，所以数列{a n}是公差为3的等差数列．(2)当n＝1时，6S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，因为a1<2，所以a1＝1，由(1)可知a n－a n－1＝3，即公差d＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，所以b n＝3a n a n＋1＝3(3n－2)(3n＋1)＝13n－2－13n＋1，所以T n＝1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝1－13n＋1<1.。
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学
2.3 等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n a1＋a n2S n＝na1＋n n－12d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和( )(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式( )(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1( )解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.预习课本P42～45，思考并完成以下问题答案：(1)√ (2)× (3)×2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n n ＋12解析：选 D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n n －12×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n n ＋12，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n n －12d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)． (2)由已知，得S 8＝8a 1＋a 82＝84＋a 82＝172， 解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[活学活用]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 8＝11，则S 9等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8， ∴S 9＝9a 2＋a 82＝9×142＝63.已知S n 求a n 问题[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.(1)求{a n }的通项公式； (2)判断{a n }是否为等差数列？ [解] (1)∵S n ＝－2n 2＋n ＋2， ∴当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2；(2)S n ＝3n－1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n－1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1； ②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18 B ．17 C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得25×17＋17×17－12d ＝25×9＋9×9－12d ，解得d ＝－2， [法一 公式法]S n ＝25n ＋n n －12×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n2B ．－32n 2－n2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n －1＋2－3n2＝－32n 2＋n2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选 C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7>0，S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________. 解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C. 3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a n b n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －122n －1b 1＋b 2n －122n －1＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴a 1＋a 4×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0； 当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×172＋1032×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。
2017-2018年度高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和讲义 新人教A版必修5
[例 4] 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当 n 为何值时，数列{an}的前 n 项和取得最大值． 【思路点拨】
跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？
解析：(1)因为 Sn＝－2n2＋n＋2， 所以当 n≥2 时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1，
所以 an＝Sn－Sn－1 ＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
A．138
B．135
C．95
D．23
解析：由 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可得 d＝3，a1＝－4. 所以 S10＝－40＋10× 2 9×3＝95. 答案：C
3．(教材同类改编)等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35， 则 a1 等于( )
A．5 或 7 B．3 或 5 C．7 或－1 D．3 或－1
令 an≥0，则 11－2n≥0，解得 n≤121. ∵n∈N＋，∴n≤5 时，an>0，n≥6 时，an<0. ∴S5 最大．
方法归纳,
求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方法： (1)通项法 ①当 a1>0，d<0 时，{an}只有前面的有限项为非负数，从某 项开始其余所有项均为负数，所以由am≥0， am＋1≤0 可得 Sn 的最大值为 Sm；②当 a1<0，d>0 时，{an}只有前面的有限项为负 数，从某项开始其余所有项均为非负数，所以由
＝－4n＋3.
又 a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3， 所以数列{an}的通项公式是
等差数列的前n项和 第1课时
等差数列中基本量计算的两个技巧 (1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和 Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时 注意整体代换的思想． (2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝n（a12＋an） 结合使用．
表 达
n（n－1） 2
d.
由已知得
10a1＋102 9 d＝100，①, 100a1＋1002 99 d＝10，②
①×10－②，整理得d＝－5110 ，代入①得a1＝1100909 .
所以 S110＝110a1＋110×2109 d＝110×1100909 ＋110×2109 ×－5110 ＝
书
1101
必备知识·自主学习
导思
1.什么是等差数列的前n项和公式？ 2．怎样推导等差数列的前n项和公式？
1.等差数列的前n项和公式
已知量 求和公式
首项，末项与项数
n(a1 an )
Sn＝_____2_____
首项，公差与项数 Sn＝ n_a_1＋__n_(_n_2_1_)_d_
在等差数列{an}中，涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列 的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公 式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
4.2.2 等差数列的前n项和公式 第1课时 等差数列的前n项和
新课程标准
学业水平要求
1.探索并掌握等差数 列的前n项和公式，理 解等差数列的通项公 式与前n项和公式的关 系． 2．能在具体的问题情 境中，发现数列的等 差关系，并解决相应 的问题．
高中数学第二章数列2.3等差数列前n项和(第1课时)课件新人教A版必修5
时，易忽略验证第一项．
[活学活用] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3.解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n.所以 Sn＝n1＋23－2n＝2n－ n2.进而由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
归纳小结
等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列． 设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100 －S90)＝S100，
即 10S10＋10×2 9×D＝S100＝10. 又∵S10＝100，代入上式，得 D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－ 22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110.
答案：104
高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和(一)课
以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三
求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体
求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
11
预课当跟习堂踪导讲检演学义测练1 在等差数列{a栏n}中目.索引 CONTENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
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[学习目标]
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
其中三个求另外两个.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
2
预课当习堂导讲检学义测
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挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
(1)a1＝65，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d.
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解 由题意，得 Sn＝na1＋ 2 an＝n56－ 2 23＝－5，
解得n＝15.
又 a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－61.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
12
预课当习堂导讲检学义测
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(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解 由已知，得 S8＝8a1＋2 a8＝84＋2 a8＝172，解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
13
§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和
20×(20 −1) S= ×20 = 3 800(m). 2
答 植树工人共走了3 800m路程 路程. 植树工人共走了3 800m路程.
九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达 后有一洪峰到达. 例11 九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达. 为确保安全， 为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第 二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车， 20台同型号翻斗车 二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆 工作24h后方可筑成第二道防线. 24h后方可筑成第二道防线 工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施 其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min 20min能有 工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min能有 一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h 25辆车 24h内能 一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能 否构筑成第二道防线？ 否构筑成第二道防线？ 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： 解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： h)依次设为 依次设为： h)依次设为：
∵a1 =1 a120 =120, n =120 ,
120×(1+120) ∴S120 = = 7 260 支） （ . 2
支铅笔. 答：V形架上共放着7 260支铅笔. 形架上共放着7 260支铅笔
1.回顾从特殊到一般的研究方法; 1.回顾从特殊到一般的研究方法; 回顾从特殊到一般的研究方法 2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想; 2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想; 倒序相加的算法及数形结合的数学思想 3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用， 3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用，及函数与方 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用 程的思想. 程的思想.
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.2习题课——等差数列习题课
得 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.即
1
1
1
-1
−
1
+2=0,
∴ − =2.
∴数列
-1
1
是公差为 2 的等差数列.
1
1
2
1
又 S1=a1= ,∴ =2.
1
1
∴ =2+(n-1)×2=2n,Sn=2 ,
1
1
-1
∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 − 2(-1) = 2(-1).
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最大;
2
+-1
++1
2
2
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
,Sn 最大.
②若a1<0,且Sp=Sq(p≠q),则
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最小;
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
2
+-1
++1
2
2
,Sn 最小.
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题型一
4
(+2)
1
2
1
d=3n+
2
1
(-1)
1
1 1
2
1 1
-
2 4
1
1
-
4(+1)(+2)
.
+2
2
,
+…+
2 +1 +2
2+3
2(+1)(+2)
§2.2等差数列的前n项和
• 3．若等差数列{an}的通项公式为an＝2n－3(n∈N＋且n≤10) ，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝35，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝45，结合 等差数列的性质和前n项和公式，上面的问题可以有多种求法 ，若记S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10， 则
• 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10， 求前110项之和．
• 本题既可以按照基本方法先求首项和公差，写出前n项和 公式来求解，也可以利用等差数列的前n项和性质进行求解．
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，
则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
1．等差数列的前 n 项和公式与函数
由于等差数列的前 n 项和公式
Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋a1－d2n. • (1)当d＝0，a1≠0时，Sn＝ na1 ，它是n的
一次
函数．
• 2．等差数列的前n项和的性质
• 设{an}是公差为d的等差数列，则
• (1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也成等差数列，公差为 m2d .
S偶＋S奇＝354， ∴SS偶 奇＝3227，
∴SS偶 奇＝ ＝119622， ， ∴d＝192－6 162＝5， 又∵S 奇＝a1＋a211×6＝3(2a1＋10d)＝162， ∴a1＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.
• [题后感悟] 等差数列{an}中，a1，a3，a5，…是首项为a1 ，公差为2d的等差数列，a2，a4，a6，…是首项为a2，公差为 2d的等差数列．当项数为2n时，S偶－S奇＝nd，方法二中运用 到了这些性质.
• 有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn， 若TSnn＝7nn＋＋32，求ab55.
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a1＋a2＋„＋an 为数列{an}的前 n 项和，用 Sn 表示，即 Sn＝ 一般地，称________________ a1＋a2＋„＋an ________________.
)
【解析】 a2＋a6＝a1＋a7＝14， 7a1＋a7 ∴S7＝ ＝49. 2
【答案】 C
2.等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则 Sn＝________.
【解析】 因为 a1＝1，d＝1，
nn－1 所以 Sn＝n＋ 2 ×1 2n＋n2－n ＝ 2 n2＋n nn＋1 ＝ 2 ＝ 2 .
[再练一题] 2.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两 棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各 自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米. 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树
1 辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋„＋a25＝25×24＋25×12×－3＝
500，而需要完成的工作量为 24×20＝480.∵500>480，∴在 24 小时内能构筑成 第二道防线.
1.本题属于与等差数列前 n 项和有关的应用题，其关 键在于构造合适的等差数列. 2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知 识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型. (2)深入分析题意，确定是求通项公式 an，或是求前 n 项和 Sn，还是求项数 n.
【精彩点拨】 利用等差数列求和公式的两种形式求解.
【自主解答】 ∴d＝3.
44－1 (1)S4＝4a1＋ 2 d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，
66－1 故 S6＝6a1＋ 2 d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48. 3 nn－1 1 － ＝－15， (2)∵Sn＝n· ＋ 2 2 2 整理得 n2－7n－60＝0， 解得 n＝12 或 n＝－5(舍去)，
坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小， 则树苗需放在第 10 或第 11 号树 坑旁， 此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项， 20 为公差的等差数列， 9×8 10×9 故所有同学往返的总路程为 S ＝ 9×20 ＋ 2 ×20 ＋ 10×20 ＋ 2 ×20 ＝ 2 000(米).
[再练一题] 1.已知 a6＝10，S5＝5，求 a8 和 S10.
5×4 S5＝5a1＋ d＝5， 2 【解】 a6＝a1＋5d＝10， 解得 a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， 10×9 S10＝10a1＋ 2 d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
阶 段 一
阶 段 三
2.2.2 第 1 课时
阶 段 二
等差数列的前 n 项和 等差数列的前 n 项和
学 业 分 层 测 评
1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程.难点,2.掌握等差数列前 n 项和公 式及其应用.重点,3.能灵活应用等差数列前 n 项和的性质解题.难点、 易错 点
[基础· 初探]
【精彩点拨】 因为每隔 20 分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一 个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量， 则说明 24 小时内可完成第二 道防线工程.
【自主解答】 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设 1 为 a1，a2，„，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且 a1＝24，公差 d＝－3. 25
【答案】 nn＋1 2
3.在等差数列{an}中，S10＝120，那么 a1＋a10＝________.
10a1＋a10 由 S10＝ ＝120，得 a1＋a10＝24. 2
【解析】
【答案】 24
4. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn ＝ n2 ＋ 2n ，则数列 {an} 的通项公式 an ＝ ________.
1 3 a12＝2＋(12－1)×－2＝－4.
na1＋an n－512＋1 (3)由 Sn＝ ＝ ＝－1 022， 2 2 解得 n＝4. 又由 an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d， 解得 d＝－171.
a1，n，d 为等差数列的三个基本量，an 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示， 五个量 a1，n，d，an，Sn 中可知三求二.一般是通过通项公式和前 n 项和公式联 立方程组求解， 这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中， 应注 意已知与未知的联系及整体思想的运用.
【解析】 当 n＝1 时，a1＝S1＝3. 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1) ＝2n＋1. 因为 n＝1 时，a1＝3，也满足 an＝2n＋1， 所以 an＝2n＋1.
【答案】 2n＋1
[小组合作型]
有关等差数列的前n项和的基本运算
已知等差数列{an}中， 1 (1)a1＝2，S4＝20，求 S6； 3 1 (2)a1＝2，d＝－2，Sn＝－15，求 n 及 an； (3)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求 d.
等差数列前 n项和公式的实际应用 XXX
某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全， 指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线 .经计算，除现有的 参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时. 从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆 翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
2.等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
na1＋an nn－1 求和公式 2 2 d Sn＝____________ Sn＝na1＋____________
1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11，则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 D.63