三角形一边的平行线(二)
三角形一边平行线性质
初三数学备课组教师班级学生日期上课时间主课题：三角形一边的平行线教学内容知识要点1.三角形一边得平行线性质定理及推论定理：平行于三角形一边得直线截其它两边所在的直线，截得得对应线段成比例.推论：平行于三角形一边得直线截其它两边所在的直线，截得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例.1、如图，在ABC AB=10AC=8.V中，，（1）已知点D在边AB上，过点D作DE//BC交边AC于点E。
若BD=4，求AE的长；（2）已知点D在直线AB上，过点D作DE//BC，交直线AC于点E。
若BD=4，求AE的长。
2、如图所示，已知：在平行四边形ABCD的对角线AC上取一点G，过G做一直线分别交AB的延长线、BC和AD及CD的延长线于P、Q、E、S.求证：GP GQ GE GS=.3、如图所示，//DE BC，//EF AB，则下列比例式中不成立的是（）A.BF AE ADFC EC DB== B.BF AE ADBC AC AB==C.AD AE DEEF EC FC== D.AD AE DEAB AC FC==CBABA DCGPSQ4、如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方点B20米处有一堵墙CD ，且CD BD ⊥。
有一身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（,F EF CD EF BD ⊥<垂足为，且），他的影子的总长度为3米。
试求该学生到路灯正下方点B 的距离BF 的长。
5、如图所示，ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，且:1:3AF FD =，联接BF ，并延长交AC 于E .求证：:6:1CE EA =.6、如下图所示，在ABC 中，BF 为AC 边上中线，D 和E 为BC 边上的三等分点、AD 和AE 分别交BF 于点P 、Q .求::PB PQ QF 的值.2.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对应中点的距离的两倍. 7.如上图所示，G 为ABC 重心，则下列关系成立的是（ ）A.12AG AF GD FB == B.12AG CG GD GF == C.2AG CG GD GF == D.1AE CE AF BF== A BCGFEDA CBFDEBF DE CA Q PDCB A8、如图，在ABC V 中，AD 是中线，G 是AD 上一点，//,//GE AB GF AC ，点E 、F 都在边BC 上，（1）求证: BE=CF （2）如果G 是ABC V 的重心，求EFBC的值。
三角形一边的平行线知识讲解
三角形一边的平行线 知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A 型和X 型；A 型 X 型（2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC=== 3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA ：CB.【答案与解析】过D 作DK ∥AB 交EC 于K 点.则，，即 又∵AD=BE ，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =⋅ 【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC=, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC =, ADEG∴AD AE AE AB=, 即2AE AB AD =⋅.2.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心， AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.【答案与解析】延长BG 交AC 于点D,∵G 是三角形的重心，∴点D 是线段AC 的中点，又∵AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=，∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点.求证：DE ∥BC.【答案与解析】延长AM 到H ，使HM=MP ，连接BH 、CH∵BM=MC∴四边形BPCH 是平行四边形GBCA∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：BP BD CP CE=.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F, ∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴BP BD CP CF=,即BP BD CP CE=.类型三、平行线分线段成比例定理4. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，，求证：EF∥DC．【答案与解析】证明：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，∴=，∴EF∥DC．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．举一反三【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12B. 2C.25D.35【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，。
三角形一边的平行线的判定及推论课件+2024-2025学年沪教版(上海)数学九年级第一学期
F
C
证明：过点C作CF//AB,交DE的延长线于点F
∵ CF//DB，CF=DB
=
∴ 四边形BCFD是□
∴ DF//BC
则 =
又∵
∴CF=DB
即: DE//BC
三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．
∵
=
∴DE∥BC
(或= 、 = )
【思考】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，
如果= ，那么能否推出DE∥BC，为什么？
由“三角形一边的平行线
A
性质定理推论”可知：
以D为圆心，DE的长为半径画弧，
交AC于另一点E’，可知DE=DE’，
24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论
复习回顾
三角形一边的平行线性质定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例
∵ DE∥BC
∴=
=
8字型
=
A字型
【思考】“三角形一边的平行线性质定理”的逆命题正确吗？
=
求证
EF//DC
C
=
【例1】已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AB上，
且DE//BC ， = ．
求证： EF∥DC．
【问题1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果 = ，
九年级三角形一边的平行线判定
三角形一边的平行线判定一、知识讲解11 1．三角形一边平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2．三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．符号语言：AD AEDB EC=（或AD AEAB AC=或DB ECAB AC=）DE BC⇒3．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．符号语言：,,AB DE BC EF AB DEAD BE CFBC EF AC DF AC DF⇒===4．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等．符号语言：AD BE CFAB BCDE EF⎫⇒=⎬=⎭．例题1：已知线段a、b、c求作线段x，使bacx=，以下作法正确的是（）例题2：如图，在ABC∆中，点E F、分别在AB AC、上，且EF BC，D为BC的中点，例题精讲EBADED FD 、分别交AC AB 、的延长线于H G 、，联结HG ． 求证：FE GH ．例3、已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别联结AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ．（1）求证：EF // DC ；（2）若2AB =，4CD =，求EF 的长．例题4、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // MN // BC ．MN 分别交边AB 、DC 于点M 、N ．如果AM ∶MB = 2∶3，AD = 4，BC = 9．求MN 的长．例5、 试一试：如图△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，DEFG 为平行四边形，连BG 、CF 且分别延长交于H ，连AH ，求证：AH ∥DGGHABFEMDCBA例6、如图，AB ∥EF ∥DC ，AB ＝，DC ＝，，则EF ＝________。
24.3 三角形一边的平行线(1-2)-沪教版(上海)九年级数学上册练习
24.3(1) 三角形一边的平行线一、选择题1. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是 ( ).(A) DEC AEF ∠=∠(B)BCAECD FA =(C)ECFEAB FA =(D) AB=DC2. 如图，M 、N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD 、CB 的中点，DE ⊥AB 于点E.，将△ADE 沿DE 翻折，若M 与N 恰好重合，则AE△BE 等于 ( ).(A) 2:1 (B) 1:2(C) 3:2(D) 2:33. 如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE//BC ，EF/AB ，且AD:DB=3:5.那么CF:CB 等于 ( ).(A) 5:8(B) 3:8(C) 3 :5(D) 2:54. 如图，在△ABC 中，DE//C ，DF/AC ，AE△E=n m :，a BC =，则BF=( ).(A) am (B)n m an + (C) man(D)nam二、填空题5. 如图，在△ADE 中，DE//BC ，AB=5，BD=8，AE=3，则CE=________.6. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上， DE//BC ，AD=3.AB=5，CE=1，那么AC=________.7. 如图，在△ABC 中，DE//BC ，AB=4，AC=8，DB=AE ，则AE=________.8. 如图，Rt△ABC 中，C=90°，ED ⊥C ，D 为垂足，BD=3cm ，DC=2cm ，AB=6cm ，则BE=________，EA=________.9. 如图，在△ABC 中有菱形AMPN ，M 、P 、N 分别在AB 、BC 、AC 上，如果MB AM =21， 那么=BCBP________.10. 如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 、BD 相交于点O. 若4=∆AOD S ，6=∆AOB S ，则=∆BOC S ________.三、解答题11. 如图，已知DE//BC ，EF//CD ，AF=3，AD=5，AE=4.（1）求CE 的长;（2）求AB 的长.12. 如图，DE//BC ，且DB=AE ，如果AB=5，AC=10，求AE 的长.13. 如图，在△ABC 中，DE//BC ，EF//DC ，求证△2AD AB AF =⋅.24.3(2) 三角形一边的平行线一、选择题1. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE//BC ，下列判断错误的是( ).(A) AD AEDB EC=(B)AD DEDB BC=(C) AD AEAB AC=(D)AD DEDB BC=2. 如图，若DC//FE//AB. 则有( ).(A) OD OCOF OE=(B)OF OBOE OA=(C) OA ODOC OB=(D)CD ODEF OE=3. 如图，在△ABC中，若DE//BC，EF//AB.则下列比例式正确的是( ).(A) AD DEDB BC=(B)BF EFBC AD=(C) AE BFEC FC=(D)DEABBC=4 如图，AB//EF//CD，已知AB=20，CD=80，则EF的值是( ).(A)10(B)12 (C)16(D)18二、填空题5. 如图，DE//BC ，DE△BC=4△5，则EA△AC=__________.6. 已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上，且DE//BC ，23AD AB =，BC=15，则DE=__________.7. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF//AB ，23DE EA =，EF=4，则CD 的长为__________. 8. 在Rt△ABC 中，90C ∠=︒，点G 是Rt△ABC 的重心，如果CG=6，那么斜边AB 的长等于__________.9. 在△ABC 中，DE//C ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，如果DE 过重心G 点，且DE=4，那么BC 的长是__________.10. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，如果AF△BF=2△5，则AGGC=__________.三、解答题11. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，BD是 ABC的角平分线，DE//BC，DE交AB于点E，求DE的长.12. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上的一点，EF交AC于点G，AF=2cm，DF=4 cm，AG=3 cm，求AC的长.13. 已知△如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC.对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC 延长线上一点，且∠CDE=∠ABD.（1）求证△四边形ACED是平行四边形;（2）连结AE，交BD于点G，求证△DG DF GB DB=.参考答案 24.3(1) 1~4 BAAB 5.2413 6. 52 7. 83 8. 185cm ，125cm 9. 2310. 9 11. (1)EF //CD ,AF AEDF EC∴=,3,5AF AD ==,532DF ∴=-=342CE ∴=, 83CE ∴=. (2)DE //BC ,54,843AD AE AB AC AB ∴=∴=+,253AB ∴= 12.DE //,,AD AE BC AB AC ∴=又510,.5103AE AE DB AE AE -=∴== 13.DE //,.AD AE BC EF AB AC ∴=//,,,AF AE AF ADDC AD AC AD AB∴=∴= 即2AD AB AF =⋅ 24.3(2)1~4 BDCC 5. 4:5 6. 10 7. 10 8. 18 9. 6 10.2911. DE=2.4 12. 15cm 13. (1)梯形,ABCD AD //,,,()BC AB DC BAD CDA BAD CAD SAS =∴∠=∠∴≅,ABD ACD ∴∠=∠,,,CDE ABD ACD CDE AC ∠=∠∴∠=∠∴//DE ,AD //,CE∴四边形ACED 是平行四边形(2) AD //,,DG AD BC GB BE ∴=,,.DF AD DF AD DG DFFB BC DB BE GB DB=∴=∴=。
比例线段与三角形一边的平行线讲解
精锐教育学科辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 张俊授课类型 T 同步课堂C 专题 T 能力提升授课日期及时段 家庭作业教学内容同步课堂一、知识点梳理：1.三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.EDABCAEDCBAC AE AB AD BC DE == 2.三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 三角形重心要掌握三点：1.定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.2.作法：两条中线的交点.3.性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.3、三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC===ABCDE三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.AEDCB4、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.FED CB A用符号语言表示： ΘAD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===. 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.（一）、比例式 比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝ ． 比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝ ． （二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21， 则BCDE＝ ．AD CEB4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31， DE ＝6，则AB ＝ ．（三）、X 型 1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ，若35 OD OC ，则BOAO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（ ）（A ）EB AE ＝FC BF ； （B ）EB AE ＝FB CF ；（C ）BC DE ＝DC AD； （D ）BC DE ＝AB DF ． （五）、重心1、如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 ．2、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3.6，BC ＝4.8，点G 为△ABC 的重心，则点G 到AB 中点的距离为 ．3、如图，BE 、CD 是△ABC 的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ．则FCDF＝ ．4、如图，已知点O 是△ABC 的重心，过点O 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若BC ＝6，则EF ＝ ．DACBOE DABC ODBCEFBCDE B CE AF OBAECFD专题一、填空题：1．若():1:2x y y -=，则:x y =___ _． 2．已知线段a ，b ，c 满足关系式a bb c=，且3b =，则ac =_ _． 3．已知345x y z==，且18x y z -+=，则2x y z ++= ． 4．如图1－1所示，在△ABC 中，D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ，=3AD ，=5AB ，=1CE ，那么=AC ．ABCD E1－1A BCDE F1－2ABCDE1－31－4E D CBAF5．如图1－2所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果12AD DB =，那么EFBF= ． 6．如图1-3所示，在△ABC 中，BD 平分ABC ∠，交AC 于D ，DE ∥BC ，交AB 于点E ，若=6AB ，=4DE ，则=BC ．7．如图1－4所示，EF 平行BC ，FD 平行AB ，=18AE ，=12BE ，=14CD ，则=BD ．A BCDE1－5G1－6FEDCBA1－7F EDCBAABCDEF1－88．如图1－5所示，△ABC 中，DE ∥BC ，4AB =，8AC =，DB AE =，则AE = ．9．如图1－6所示，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，若::=2:5:9DE FG BC ，则::AD DF =FB ． 10．如图1－7所示，AB ⊥BC 于B ，EF ⊥BC 于F ， DC ⊥BC 于C ，=4AB ，=14DC ，且:=2:3BF FC ．则EF 的值为 ．11．如图1-8所示，ABCD Y 中，DE 平分ADC ∠，=2AB ，=3AD ，则=DF FE ： ． 12．如图1－9所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC DC ⊥，3=AD ，6=BC ，4=CD ，则=AO ． 1－9DCBAO13．如图1－10所示，△ABC 中，DE ∥AC ，FD ∥AB ，则ABDFAC DE +的值为 ． 1－10FE DCBAABC DEF1－11A BCDEF1－12O 1-13E DC BA14．在△ABC 中，如果5==AC AB 厘米，8=BC 厘米，那么这个三角形的重心G 到BC 的距离是 ． 15．如图1－11所示，E 为ABCD Y 的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，即AE AD 215-=，BE 交DC 于点F ，已知15+=AB ，则CF 的长是 ．16．如图1－12所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O ，过O 点做AD 的平行线交AB 于点E ，交CD 于F ，若3=AD ，5=BC ，则=EF ． 17．如果线段a ，b 满足222350a ab b --=，则ab的值是 ．18．平行四边形ABCD 中，对角线BD 的四等分点为1O ，2O ，3O ，1AO 的延长线交BC 于E ，3EO 的延长线交AD 于F ，则:AF FD = ．19．如图1－13所示，在△ABC 中，C ∠90=o ，3AC =，D 为BC 上一点，过点D 作DE BC ⊥交AB 于点E ，若1ED =，2BD =．则DC 的长为 ．20．如图1－14所示，边长为8的正△ABC ，DE ∥BC ，面积比:1:4BCD ABC S S =△△，则EC = ．1-14E D CBAQF1-15EDCB AHF 1-16EDCBA21．若a b c k b c a c a b===+++，则k = ． 22．如图1－15所示，四边形ABCD ，EQ ∥CD ，EF ∥AB ，则EF EQAB CD+= ． 23．如图1－16所示，E 是△ABC 中BC 边的中点，F 是BC 边上任一点，过F 作FH ∥AE ，交BA 的延长线于点D ，交CA 于点H ，则FD FHAE AE+= ．24．已知::2:3:5a b c =，5a b c ++=，求a ，b ，c 的值 ． 25．已知31212358a a a b b b ===，则1212a ab b ++= ，1313a a b b ++= ． 26．已知23a c b d ==，则44a cb d--= ． 27．已知::2:3:4a b c =，则有23a b ca++= ．28．2，3，6的第四比例项是 ．二、解答题：1．如图1－31所示，B ，C 是△APM 边AP 上的两点，过B 作BN ∥AM 交PM 于N ，过N 作ND ∥MC 交AP 于D ． 求证：PA PCPB PD=． N1-31D C B MAP2．如图1－32所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于O ，过O 作AD 的平行线与两腰分别相交于E ，F ，比较OE 与OF 的大小关系，并说明理由．O1-32D CBEA F3．已知线段a ，b ，c 如图1－33所示，求作线段x ，使2bc x a=． c b a 1-334．如图1－34所示，在△ABC 中，12==AC AB ，4=BC ，BD 平分ABC ∠，DE ∥BC ． 求△ADE 的周长．1－34E DCBA5．如图1－35所示，已知在△ABC 中，EFCD 是菱形，且3AD =，5=BF ．求菱形EFCD 的边长．1－35F E DCBA6．如图1－36所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相较于点O ，E 是CD 的中点，AE 交BD 与点F ． 求FODF的值．DCBEAF1-36O7．如图1－37所示，在△ABC 中，EF ∥BC ,DF ∥EC ．求证：AE 是AB AD 与的比例中项．1-37F AE BCD ADEBCF1-388．如图1－38所示，在△ABC 中，AB AD 31=，延长BC 到点F ，使得BC CF 31=．连接DF ，交AC 于点E ， 求证：（1）EF DE =；（2）EC AE 2=．9．如图1－39所示，AD ∥EF ∥BC ，5AD =，7BC =，E 是AB 的黄金分割点，BE AE >． 求EF 的长．ADE BCF1-3910．如图1－40所示，已知E 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ． 求证：DC DE FB AD ::=．1-40CBED AF11．已知a ，b ，c ，d 四条线段能够成比例，2=a 厘米，3=b 厘米，5=c 厘米．求线段d 的长度．12．如图1－41所示，在ABCD Y 中，E 是AB 的中点，=AF 12DF ，EF 交AC 于点G ．求AC AG的值． ADE BCF1-41G13．如图1－42所示，D 为△ABC 中BC 上一点，EF ∥BC 交AD 于点H ．求证：EH BD HF CD=． HADEBCF1-4214．如图1－43所示，在△ABC 中，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，H 为AC 上一点，且AH AD =，过点H 作HF ∥BC 交AB 于点F ． 求证：FH BE =．HAD EBCF 1-43课后总结：能力提升一、填空题：1．如图1—61所示，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC =3，AB =5, E 是DA 的黄金分割点，且EF ∥AB 交BC 于点F ，则EF = ．1-61D CBE AF B 2A 2C 2A 1B 1C 11-62CBA 1-63DC BEA FE nE 3E 2E 1D nD 3D 21-64D 1CBA2．如图1—62所示，点1A ，2A ，1B ，2B ，1C ，2C 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的三等分点，若△ABC 的周长是m ，则六边形1A 2A 1B 2B 1C 2C 的周长是 ．3．如图1—63所示，AD ∥EF ∥BC ,AD =12，BC =17，AE :EB =2:3，则EF = ．4．△ABC 中，BC =a ，若1D ，1E 分别是BC ，AC 的中点，则1D 1E =12a ；若2D ，2E 分别是1D B ，1E C 的中点，则2D 2E =113()224a a a +=；若3D ，3E 分别是2D B ，2E C 的中点，则3D 3E =137()248a a a +=；…；若n D ，n E 分别是1n D B -，1n E C -的中点，则n n D E = ．5．如图1—64所示，△ABC 中，BC =a ． （1）若1AD =13AB ，1AE =13AC ，则11D E = ；（2）若12D D =113D B ，12E E =113E C ，则22D E = ；（3）若1n n D D -=113n D B -，1n n E E -=113n E C -，则n n D E = ．6．如图1—65所示，已知DE ∥BC ，且BF ：EF =3：2，则AC ：AE = ，AD ：DB = ．1-65DC BEAFM1-66DCBEAF 1-67DCBEAFO1-68DCBEAF7．如图1—66所示，四边形ABCD 中，==90A C ∠∠o，M 为BD 上一点，ME AB ⊥于点E ,MF CD ⊥于点F ，则MF MEBC AD+= ． 8．如图1—67所示，AF ∥BE ∥CD ，AF =12，BE = 19，CD =28．则FE ：ED 的值等于 ．9．如图1—68所示，ABCD Y的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，AE 交BD 于点F ．则DF ：FO = ．10．如图1－69所示，DC ∥MN ∥PQ ∥AB ，2=DC ，5.3=AB ，PA MP DM ==，则=MN ，=PQ ．1-69ABD C Q M P N FABCDE1-701-71MkN A CEFDBL 3L 2L 111．如图1－70所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 3=，E 为对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则FD AF :的值等于 ．12．如图1－71所示，1L ∥2L ∥3L ， 4.2CN =，3AM =，5BM =，12EF =，则=DN ，=EK ． 13．如图1－72所示，已知EFDFBC AB =,则1l ∥2l ∥3l ，此命题是 （真、假）命题． 1-72A BCD EF321课后作业：1．如图1－83所示，已知D 是△ABC 中AC 边的中点，过点D 的任意直线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点F ． 求证：BE CF BF EA ⋅=⋅．1-83EFC BDA2．如图1－84所示，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 上一点，延长DE 交BC 的延长线于点F ．求证：FCBF EC AE =． 1-84F DAB EC3．如图1－85所示，D ，E 是△ABC 的AB ，BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，AC AB DE BD ::=．求证：△EFC 是等腰三角形．F D AB EC1-854．如图1－86所示，已知四边形ABCD 是正方形，FG ∥CD ．求证：GF BF =．G 1-86CE B A D F5．如图1－87所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，G 是对角线AC 上一点，且:1:5AG GC =，EG 的延长线交AD 与点F ．求:DF FA 的值．G 1-87CEB A D F6．如图1－88所示，D 为△ABC 中AC 边上的一点，E 为CB 延长线上的一点，EB AD =，DE 交AB 于点F ．求证：AC DF BC EF ⋅=⋅．1－88AB CDE F7．如图1－89（1）所示，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为点B ，D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为点F ，我们可以证明111+=AB CD EF成立（不要求证明）． 若将图1－89（1）中的垂线改为斜交，如图1－89（2），AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点E ．过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ．则：（1）111+=AB CD EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出面积ABD S △，BED S △和BDC S △间的关系式，并给出证明．（2）（1）AD BC F E 1-89EF C BD A8．如图1－91所示，如果M 是△ABC 中BC 边的中点，P 是CM 上任一点，过点P 作PR ∥AM ，交BA 延长线于点Q ，交CA 于点R ．求证：BM BC AM PR AM PQ =+． 1－91MRQP C B A9．如图1－90（1）所示，D 是△ABC 的BC 边上的中点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ，AG ∥BC 交EF 于点G ，我们可以证明EG DC ⋅=ED ⋅AG 成立（不要求证明）． （1）如图l －90（2）所示，若将图1－90（1）中的过点D 的一条直线交AC 于点F ，改为交CA 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，改为交BA 于点E ，其他条件不变，则AG ED DC EG ⋅=⋅还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）根据图1－90（2）所示，请你找出EG ，FD ，ED ，FG 四条线段之间的关系，并给出证明；（3）如图l －90（3）所示，若将图1－90（1）中的过点D 的一条直线交AC 于点F ，改为交CA 的反向延长线于点F ，其他条件不变，则（2）得到的结论是否成立？1－90（3）（2）（1）A FG E B D C A G B D C FE EFC DB G A10．如图1－92所示，已知△ABC 中=90ACB ∠o ，以BC 为边向外作正方形BCDE ，连接AE 交BC 于点F ，作FG ∥AC 交AB 于点G ．求证：FG FC =．1－92A B CDGFE11．如图1－93所示，△ABC 中，DE ∥BC ，CD ，BE 交于点O ，过点O 作MN ∥BC ，分别交AB ，AC 于点M ，N ．求证：MNBC DE 211=+． 1－93N ME O DC B A12．如图1－94所示，以AC ，BC 为底向AB 同侧作两个顶角相等的等腰△ADC ，△CEB ，若AE ，DC 交于点P ，BD ，CE 交于点Q ．求证：CQ CP =．AP C DQB E1－9413．如图1－95所示，BD ∥FG ，BE ∥FC ．求证：DC ∥EG ．1－95G FEDCB A14．如图1－96所示，在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，点F 在边BC 上，且BF CF3=，EF 与BD相交于点G ．求证：BG DG 5=．1－96AB C D EF G15．如图1－97所示，在等腰△ABC 中，AC AB =，底边BC 外接正方形BCDE ，AD ，AE 分别交BC 于点F ，G ，过F 点作FH ∥CD 交AC 于H ．求证：HF GF =．1－97A B C DE F HG16．如图l －98所示，已知：梯形ABCD ，AB ∥CD ，且7=AB ，4=CD ，延长AD ，BC 交于点E ，过E 作平行于AB 的直线，分别交AC ，BD 的延长线于M ，N ．求：MN 的长．1－98A B C DE N M17．如图1－99所示，在平行四边形ABCD 中，EH 交BA ，BC 延长线于E ，H 点，且交AD ，DC 于F ，G ，交BD 于P 点．求证：EP PF PH PG ⋅=⋅．P 1-99EFC BDAG H18．如图1－100所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于F ，EG 过F 点且与AB 平行． 求证：2EG EG AB CD+=． 1-100G FEDC BA19．如图1－101所示，△ABC 中，AP 平分BAC ∠，BE AP ⊥，垂足为Q ，BE 交AC 的延长线于E ，M 为BC 的中点，延长AM 交BE 于N ，连结NP ．求证：NP ∥AB ．QAB CE MN P 1-101。
4-三角形一边平行线判定定理
1.已知：如图，点D，F在 的边AB上，点E在边AC上，且DE//BC， ，求证：EF∥DC .
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取AF=FD，EF交AC于点G.求的值.
3.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且，CF=CE.求证：四边形CFDE是菱形。
三、练习
1.梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.如图，AD是△ABC的中线，E是AC边上的三等分点，BE交AD于点F.则AF:FD为( )
3.如图，梯形ABCD的中位线MN与对角线BD、AC分别相交于点E、F，若AD：BC=1：3.则EF：MN等于( ).
一、基础知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点
1、三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
如果D ,E分别在AB,AC的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.
2、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
4、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，3BE=2EC，AE与BD相交于点F.求DF:BF的值.
5.如图4，点O为△ABC的中线AD上任意一点，BO、CO的延长线分别交AC、AB于点E、F，连结EF，且 。求证：EF∥BC.
6、如图，D、E分别为△ABC的AB和AC上的点，且BC的延长线于F点，且求证：DB=EC.
4.如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、EC的中点.则PQ：BC等于( )
三角形一边的平行线判定定理推论 -回复
三角形一边的平行线判定定理推论-回复题目: 三角形一边的平行线判定定理推论引言：在几何学中，三角形是一个基础的图形，拥有各种有趣和重要的性质。
本文将围绕三角形的一边的平行线判定定理推论展开讨论。
这一定理的推论可以帮助我们更好地理解和分析不同形状的三角形。
在本文中，我们将从基本概念开始，逐步展示证明过程，并通过实际示例和图形加深理解。
一、基本概念1. 平行线：当两条直线在同一平面内且不相交时，我们称这两条直线为平行线。
可以使用符号“”表示平行关系。
二、三角形一边的平行线判定定理三角形ABC中，如果一条直线l与边AB和边AC平行且穿过边BC，则我们可以推断直线l与边AB和边AC上所有点都有关系。
三、证明过程要证明这个定理的推论，我们将从以下三个步骤开始证明：1. 证明线段BC的平行线l与边AB和边AC上的另一直线m平行。
证明方法：由于线段BC与直线l平行，且直线l与直线m穿过同一个点B，则根据平行线判定定理的另一个推论，线段BC与直线m平行。
2. 证明线段BC的平行线l与边AB和边AC上的点集合S1和S2相等。
证明方法：由于线段BC与直线l平行，因此线段BC的一个端点B与直线l上的一个点D之间存在唯一的一条直线。
同理，线段BC的另一个端点C也与直线l上的一个点E之间存在唯一的一条直线。
所以，点集合S1 = {B, C}，点集合S2 = {D, E}。
根据平行线定义，直线l与线段BC上的两个端点之间的直线与边AB和边AC上的点的对应关系是一对一的，因此S1 = S2。
3. 证明线段BC的平行线l与边AB和边AC平行。
证明方法：假设线段BC的平行线l与边AB和边AC不平行，那么根据平行线定义，点B和边AB上的点与点C和边AC上的点之间的直线没有对应关系。
然而，根据第二步的证明结果，线段BC的平行线l与边AB和边AC上的点的对应关系是一对一的。
因此，我们得出结论：线段BC的平行线l与边AB和边AC平行。
四、实际示例和图形为了更好地理解和证明这个推论，我们可以通过绘制一个具体的三角形来说明。
三角形一边平行线判定定理完整题型+答案
基础知识点三角形一边平行线的判定定理:如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
(由成比例得平行)A如图，若EC AE DB AD =(或AC AE AB AD =或ACEC AB BD =)，则DE//BCD EB C三角形一边平行线的判定定理的推论：如果一条直线截三角形两边的延长线(这两条延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于第三边。
若CE AC BD AB =(或AE AC AD AB =或AC EC AD BD =) 若AC AE AB AD =(或EC AE BD AD =或CEAC BD AB =) 则DE//BC 则DE//BC例题解析例题解析:在△ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 上，根据下列给定的条件，试判断DE 与BC 是否平行？ 并说明理由.(1)AD=3cm ，DB=4cm ，AE=1.8cm ，CE=2.4cm ；(2)AD=6cm ，BD=9cm ，AE=4cm ，AC=10cm;答案：(1)是；(2)不是.变式:在△ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 上，根据下列给定的条件，试判断DE 与BC 是否平行？ 并说明理由.(1)AD=8cm ，AC=16cm ，AE=6cm ，AB=12cm;(2)AB=3BD ，AE=32AC;(3)AB=2BD ，AC=2CE.答案：(1)不是；(2)是；(3)是.例题解析:如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE//BC 的条件是( )。
A.AD:AB=DE:BCB.AD:DB=DE:BCC.AD:DB=AE:ECD.AE:AC=AD:DB 答案:解析：∵AD:DB=AE:EC ，∴DE//BC ，故选:C ．变式:在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定DE//BC 的是( )。
A.= B.= C.= D.=解析：∵=，∴DE//BC ，选项A 不符合题意；∵=，∴DE//BC ，选项B 不符合题意； ∵=，∴DE//BC ，选项C 不符合题意；=，DE//BC 不一定成立，选项D 符合题意.故选：D ．例题解析:已知:如图，点D ，F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE//BC ，ABAD AD AF =，求证:EF//DC. 解答:证明:∵DE//BC ，∴AC AE AB AD =， ∵AB AD =，∴AC AD =，∴ADAC =，∴EF//DC.变式:如图，在△ABC 中，EF//CD ，DE//BC 。
三角形一边的平行线(解析版)
三角形一边的平行线【知识梳理】1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线//l BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， //DE BC ，那么DE AD AE BC AB AC ==．3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AEDB EC=那么l //BC ．6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【考点剖析】 一．三角形的重心（共13小题）1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是（ ） A ．三角形三条角平分线的交点 B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条边的垂直平分线的交点D ．三角形三条高的交点【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：B ．【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．2．（2023•奉贤区一模）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果AD ＝6，那么线段DG 的长是 ．BCD E FG【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG＝AG＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC 的长为．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为12．【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．同时考查了直角三角形的性质．4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．【分析】因为点G是△ABC的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1，可知点D为BC的中点，，根据GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，进而证得△AEG∽△ACD，从而得到，代入数值即可求解．【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，∴点D为BC的中点，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，则2S△BGD＝S△ABG，进而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：连接AG延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BDG＝S△ABG，∴3S△BGD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键．6．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P、Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为6，则PQ的长为．【分析】连接DE，由G是△ABC的重心，可证DE是△ABC的中位线，从而可求出DE的长．延长EP交BC 于F点，连接DF，利用三角形重心的定义和性质得到EP＝2PF，DQ＝2QF，再证明△FPQ∽△FED得到即可．【解答】解：连接DE，延长EP交BC于F点，连接DF，如图，∵G是△ABC的重心，∴D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴．∵P点是△BCE的重心，∴F点为BC的中点，EP＝2PF，∵Q点是△BCD的重心，∴点Q在中线DF上，DQ＝2QF，∵∠PFQ＝∠EFD，，∴△FPQ∽△FED，∴，∴，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．7．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，设点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，则两重心E与F之间的距离是．【分析】取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．根据含30度角的直角三角形的性质求出AC＝2BC＝2，利用勾股定理得出AB＝，根据等边三角形的性质得出CD＝AD＝AC＝2，∠CAD＝60°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝．然后证明△EOF∽△BOD，得出EF＝BD＝．【解答】解：如图，取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，AB＝＝＝，∵△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝2，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴BD＝＝＝．∵点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，∴＝＝，又∠EOF＝∠BOD，∴△EOF∽△BOD，∴＝＝＝，∴EF＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的定义与性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．8．（2022秋•黄浦区月考）已知点G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝．【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，由此即可计算．【解答】解：延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴BD＝CD，AG：DG＝2：1，∴AG：AD＝2：3，∴S△ABG：S△ABD＝2：3，∵S△ABD：S△ABC＝1：2，∴S△ABG：S△ABC＝1：3．故答案为：1：3．【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．9．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．【分析】分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．【解答】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故答案为：0≤d≤．【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．10．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△P AB、△P AC的重心分别为G1、G2，那么的值为．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．11．（2022秋•徐汇区期中）已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的长为．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，∴CD＝BC＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AG＝×＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．12．（2018•宝山区校级自主招生）G为重心，DE过重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并证明结论．【分析】设AD＝mAB，AE＝nAC，由G为△ABC重心得＝3，再由当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，即可求出S△ADE的最值．【解答】解：S△ADE的最大值为，最小值为．证明：假设△ABC面积为S1，△ADE面积为S2，设AD＝mAB，AE＝nAC，∵G为△ABC重心，∴＝3，∴S2＝AD•AE•sinA＝mAB•nAC•sinA＝mnS1，当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，∴S1≤S2≤S1，∴S△ADE的最大值为，最小值为．【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，解决此题的关键是根据G为△ABC重心得到＝3．13．（2019秋•嘉定区校级月考）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的长．【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合EF+BC＝7.2cm来求BC的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．又EF+BC＝7.2cm，∴BC＝4.32cm．【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．二．平行线分线段成比例（共1914．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于．【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须即可得出BE的长．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须是解决问题的关键．15．（2022秋•闵行区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A．B．C．D．【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴DF＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．16．（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴当时，，∴DE∥BC，故A选项能够判断DE∥BC；而C，B，D选项不能判断DE∥BC．故选：A．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．17．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF 的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：A、当DH：EH＝DG：GF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；B、当HG：EF＝DH：DE∥EF，本选项符合题意；C、当EH：DE＝GF：DF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；D、当DE：DF＝DH：DG，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．18．（2023•徐汇区一模）如图，a∥b∥c，若，则下面结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】已知a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【解答】解：由，得＝＝，故A不符合题意；∵a∥b∥c，∴＝＝，故B不符合题意；根据已知条件得不出＝，故C符合题意；由＝，得＝＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．19．（2021秋•嘉定区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列结论正确的是（）A．BD：DF＝2：3B．AB：CD＝2：3C．CD：EF＝3：5D．DF：BF＝2：5【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝3：2，A选项错误，不符合题意；AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意；CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意；DF：BF＝CE：AE＝2：5，D选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20．（2023•长宁区一模）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF﹣DE＝12．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．21．（2023•松江区一模）如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．22．（2022秋•松江区月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB ＝4，AC＝6，求EC．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．（2022秋•松江区月考）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出结论．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）证明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD•AG＝AF•AB．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．24．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．8【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．26．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本选项不符合题意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．27．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE＝．【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∵DF＝12，∴DE+DE＝12，解得：DE＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例是解题关键．28．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．【分析】（1）根据菱形的判定方法解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE是菱形；（2）如图，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【点评】本题主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．29．（2021秋•杨浦区校级月考）如图，点D为△ABC中内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD 上一点，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求证：EF∥BC；（2）当，求的值．【分析】（1）先根据相似比的性质得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出结论；（2）先根据EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】（1）证明：∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）解：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵，∴＝＝，∴＝（）2＝．【点评】熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．30．（2021秋•宝山区校级月考）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．31．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC ＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的长；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解；（2）过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得结论．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如图，过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．32．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2AM＝1，求线段DN的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DE得到OA•OD＝OE•OB，由BC∥EF得到OC•OF＝OE •OB，所以OA•OD＝OC•OF，即＝，于是可判断AF∥CD；（2）先利用BC∥EF得到＝＝，则可设OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接着由FN∥BC得到＝＝，于是可设DN＝3a，则CN＝2a，然后证明四边形MFNC为平行四边形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a从而得到DN的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴＝，即OA•OD＝OE•OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC•OF＝OE•OB，∴OA•OD＝OC•OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，设OB＝5x，则BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，设DN＝3a，则CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四边形MFNC为平行四边形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【过关检测】一、单选题A．4【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例得到35BC ADBE AF==，即可求出BC．【详解】解：∵AB CD EF∥∥，∴35 BC ADBE AF==，∵24 BE=，∴3 245 BC=，解得：725 BC=．故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．九年级校考期中）在ABC中，分别在ABC的边【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、AD DEAB BC=，不能判定DE BC∥，故A符合题意；B、∵AD AE AB AC=，∴DE BC∥，故B不符合题意；C、∵AED C∠=∠，∴DE BC∥，故C不符合题意；D、∵AD AE BD EC=，∴DE BC∥，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九年级单元测试）在ABC中，点【答案】B【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【详解】如图：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴32 AE CDEB BD==∴23BD CD =∵DF AB ∥， ∴23AF BD FC CD == 故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键． 在ABC 的边 【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例可得47AE AD AC AB ==，则可以推出当47AF AE AD AC ==，即37DF AD =时，EF CD ∥．【详解】解：DE BC ∥，43AD DB =，∴44437AE AD AD AC AB AD DB ====++，∴当47AF AE AD AC ==时，EF CD ∥，此时74377DF AD AF AD AD −−===，故A 选项符合题意； B ，C ，D 选项均不能得出EF CD ∥．故选A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”．5．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE BC ∥的条件是（ ）A ．::AD AB DE BC =B ．::AD DB DE BC = C ．::AD DB AE EC =D ．::AE AC AD DB =【答案】C 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．【详解】解：设DE BC ∥，那么AD AB AE AC AD DB AE EC DB AB EC AC ===::，::，::，选项A 、B 、D 、不符合平行线分段成比例定理．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．∵AD DB AE EC =::，∴DE BC ∥．故选：C ．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解答此题的关键的是明确哪些对应线段成比例．学生初学，容易出错．九年级校考期中）在ABC 中，点【答案】B【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可．【详解】当AD AE DB EC =或AD AE AB AC =时, DE BC ∥, 当AD AE DB EC =时，可得23AE EC =，当AD AE AB AC =时，可得25AE AC =， 即23AE EC =或25AE AC =.所以B 选项是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题 7．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在线段AB 、AC 的延长线上，DE 平行于BC ，1AB =，3BD =，2AC =，那么AE =___________．【答案】8【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】∵DE AB ∥ ∴AB AC AD AE = ∵1AB =，3BD =，2AC =，∴124AE =∴8AE =故答案为：8．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．8．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，ABCD Y 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么:AFE FEDC S S 四边形的值为____．【答案】15/0.2【分析】证明12AF EF AE CF BF BC ===，推出24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4CBF S m =，求出四边形FEDC 的面积，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∴AF EF AE CF BF BC ==， ∵ E 是边AD 的中点，∴1122AE DE AD BC ===，∴12AF EF AE CF BF BC ===， ∴24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4S m ， ∴6ACB ADC S S m ==， ∴65FECD S m m m =−=四边形， 1::55AFE FECD S S m m ==四边形； 故答案为：15．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．9．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，AD 、BC 相交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AB CD EF ∥∥，如果6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，那么AD = ___________．【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理得到EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，求得4893FO AF ==，4DF =即可解决问题.【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，∵4EO =，5BO =，∴45FO AO =， ∵6AF =，∴4893FO AF ==，∵6CE =，∴8436DF =，∴4DF =，∴6410AD AF DF =+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，四边形ABCD 中，AD BC EF ∥∥，如果3810AE AB CD ===，，，则CF 的长是________．【答案】254【分析】根据平行线分线段成比例得出AE DF AB CD =，求出154DF =，即可得出答案． 【详解】∵AD BC EF ∥∥， ∴AE DF AB CD =， ∵3810AE AB CD ===，，， ∴3810DF =， 解得：154DF =， ∴15251044CF CD DF =−=−=， 故答案为：254．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键． 11．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在直线AB 、AC 上，如果DE BC ∥，1AB =，2AC =，3AD =，那么CE =________．【答案】4【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】解：作如下图：∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =， ∵1AB =，2AC =，3AD =，∴123AE =，∴6AE =，∴624CE AE AC =−=−=，故答案为：4．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．。
第三讲：三角形一边的平行线判定定理教学内容
第三讲：三角形一边的平行线判定定理第三讲：三角形一边的平行线判定定理一、知识要点：1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
数学表达：如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ， 若①AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD ECAB AC=中之一为已知条件，则DE ∥BC ED CBA2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
数学表达：若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则D E ∥BC.EDCBAEDC B A牛刀小试：1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、ACEDCBA上。
判断在下列条件下能否推出D E ∥BC,为什么？（1）23AD DB =,AE=2，AC=3 （2）25AD AB =,25DE BC =（3）23AD DB =,53AC CE =2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出D E ∥BC 的条件是（ ）A 、AB 3=AD 2,EC 1=AE 2 B 、AD 2=AB 3,DE 2=BC 3 C 、AD 2=DB 3,CE 2=AE 3 D 、AD 3=AB 4,AE 3=EC 4二、典型例题例1、如图EF ∥BC ，31=AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥AD A DE FB C例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。
求证：CD ∥AB.分析：判定两直线平行的方法一般有四种：（1）通过“三线八角”的相等或互补判定两直线平行；（2）通过三角形、梯形中位线定理判定两直线平行；（3）通过平行四边形的判定间接证平行；（4）通过比例线段证平行。
三角形一边的平行线判定定理及推论 全国优课
三角形一边的平行线判定定理及推论全国优课1.引言三角形一边的平行线判定定理及推论是数学中的重要概念，它在几何学和数学证明中具有广泛的应用。
本文将对这一概念进行全面评估，并结合全国优课的资源，撰写一篇有价值的文章，帮助您更深入地理解这一主题。
2.三角形一边的平行线判定定理让我们来了解三角形一边的平行线判定定理。
根据这一定理，如果在一个三角形中，有一条边上的一条直线与另外两边上的两条直线平行，那么这两条边上的两条直线互相平分。
这个定理的正确理解和应用，对于解题和证明来说都至关重要。
在数学教学中，老师们常常通过具体的例子和图形演示，来帮助学生更好地理解这一定理的含义和应用。
3.三角形一边的平行线判定定理的推论在初步了解了三角形一边的平行线判定定理后，我们再来看一下相关的推论。
根据这个定理，可以推出一系列的相关结论，比如同位角相等、对顶角相等等。
这些推论在实际问题的解决中也具有重要的作用，通过这些推论，我们能够更好地理解角之间的关系，进而解决更加复杂的几何问题。
4.全国优课资源共享全国优课作为一个专注于教育教学资源建设与共享的评台，提供了大量优质的教学资源和课程。
在这个评台上，老师们可以找到与三角形一边的平行线判定定理及推论相关的优秀课件、教学设计和教学视频，这些资源能够帮助教师们更好地准备课堂教学，从而提升学生的学习效果。
5.个人观点和理解在我看来，三角形一边的平行线判定定理及推论是几何学中非常重要的概念之一。
它不仅可以帮助我们解决具体的数学问题，还能够培养我们的逻辑思维和数学推理能力。
通过深入理解这一概念，我们能够在数学学习和应用中更加游刃有余。
6.总结通过本文的阐述，我们对三角形一边的平行线判定定理及推论有了更深入的了解。
在教学中，我们应该注重通过具体案例和真实图形来帮助学生理解这一概念。
在教学资源的选择上，可以利用全国优课评台上的资源，为课堂教学提供更好的支持。
通过本文的全面评估和撰写，我们对三角形一边的平行线判定定理及推论有了更深入的理解，并且也认识到全国优课这个评台在优质教育资源共享方面的重要性。
三角形一边的平行线2-教师版
三角形一边的平行线（2）知识精要1、三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
3、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
4、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
格式：如果直线L1∥L2∥L3，AB＝BC，那么：A1B1＝B1C1，如图l说明：由此定理可知推论1和推论2推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC，如图2 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
创新三维学习法让您全面发展格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。
热身练习1.如图所示，G为△ABC的重心，D为BC中点，则下列关系成立的是（C ）A.21==FBAFGDAGB.21==GFCGGDAGC. 2==GFCGGDAGD. 1==BFCEAFAE2. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF：FD=1：3，则AE：EB= 1:6 。
【提示】过D作CE的平行线（1题图）（2题图）（3题图）3．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝5.5cm，BD=11cm，DE＝5cm，那么BF＝___10__cm。
4．如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则EACEDABD.＝__1_____。
（4题图）（5题图）（6题图）创新三维学习法让您全面发展创新三维学习法让您全面发展5.如图，在△ABC 中，E 是AC 中点，延长BC 到D ，使DC=BC ，连接DE ，并延长交AB 于F ，则DE ：EF= 3:1 。
三角形一边的平行线知识讲解
三角形一边的平行线 知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A 型和X 型；A 型 X 型（2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC=== 3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE.求证：EF ：FD=CA ：CB.【答案与解析】过D 作DK ∥AB 交EC 于K 点.则，， 即 又∵AD=BE ，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例. 举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =⋅【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC =, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC=, ∴AD AE AE AB =, 即2AE AB AD =⋅.2.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心， AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.【答案与解析】延长BG 交AC 于点D,∵G 是三角形的重心，∴点D 是线段AC 的中点，又∵AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=，∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.ABC DEG GBC A类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D 两点.求证：DE∥BC.【答案与解析】延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH∵BM=MC∴四边形BPCH是平行四边形∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE 和BC的延长线交于点P,求证：BP BD CP CE.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC ∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴BP BD CP CF=,即BP BD CP CE=.类型三、平行线分线段成比例定理4. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，，求证：EF∥DC．【答案与解析】证明：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，∴=，∴EF∥DC．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．举一反三【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12B. 2C.25D.35【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，。
平行线与三角形的相关定理
平行线与三角形的相关定理平行线与三角形的关系是几何学中一个重要且基础的概念。
在平行线与三角形的研究中，有一些重要的定理和性质需要我们了解和掌握。
本文将对平行线与三角形的相关定理进行详细的介绍和讨论。
一、平行线性质：1.平行线的定义：如果两条直线在同一平面内，且它们不相交，则这两条直线是平行的。
我们通常用符号“||”表示两条平行线。
2.平行线定理：如果一组直线与另一组直线分别平行，则这两组直线之间的任意两条直线也是平行的。
二、三角形内部的平行线及其性质：1.三角形内部平行线定理：如果一条直线平行于三角形的一边，那么它与这两边分别的交点所确定的两条边互相平行。
2.三角形内部平行线的性质：平行于三角形一边的直线将三角形划分成两个相似三角形。
这两个相似三角形的对应边成比例。
三、平行线与三角形内角性质：1.同位角性质：两条平行线被一条直线截断后，所形成的内部角与外部对应角、内部对应角、同位角之间的关系。
2.内角和定理：两条平行线被一条直线截断后，相邻内角之和等于180度。
3.等腰三角形的基本性质：在等腰三角形中，底角相等，顶角相等，底边平行。
四、平行线与三角形外角性质：1.三角形外角性质：三角形的一个外角等于它的两个非邻边内角的和。
2.三角形外角定理：一个三角形的一个外角等于与这个外角相对的三角形的内角之和。
3.三角形外角性质的推广：一个n边形的一个外角等于与这个外角相对的多边形的内角之和。
综上所述，平行线与三角形之间的关系是几何学中的重要内容之一。
通过深入地学习和理解平行线与三角形的相关定理，我们可以更好地应用这些知识解决各种几何问题，提高自己的数学素养。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和掌握平行线与三角形的相关定理，为数学学习打下坚实的基础。
初三暑期第三课三角形一边平行线(二)
l3l2l1l3l2l1GBAB初三暑期第三课：三角形一边平行线（二）知识要点：1、三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
如图：在△ABC中，∵∴D E∥BC2、推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
如图：在△ABC中，∵∴D E∥BC3、平行线分线段成比列定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。
如图：∵1l∥2l∥3l∴==ACABBCAB;4直线上截得的线段相等，那么在另一条线段上截得的线段也相等。
如图：∵1l∥2l∥3l，AB=BC∴例题讲解：例题1、如图，已知直线1l∥2l∥3l，AB=5，BC=8，EG=2，求线段DE和GC的长。
例题2、如图，点G是AB的中点，EF∥AB，连接EG、FG分别交AF于点C、D。
求证：CD∥AB例题3、如图、点D是BC边上一点，DE∥AC，DF∥AB。
求证：AE﹒AF=BE﹒CFl 3l 2l 1(第1题)l3l 2l1(第2题)(第6题)l 3l 2l 1(第7题)l 2l 1巩固练习： 一. 选择题:1.如图,1l ∥2l ∥3l ,则下列各式中成立的是( ) A.EF DE AC AB D DE AB BE AD C EF DF BC AC B DE EF BC AB ====...2.如图,下列各式中能作为判定AB ∥CD 的条件的式子是( ) A.ODOC OBOA D OBOD OCOA C ADOD BCOC B OCOB CDAB ====...3.下列各命题中正确的是( )A.如图,若EFDE BCAB =, B. 如图,若BCDE ABAD =则1l ∥2l ∥3l 则DE ∥BC C.如图, 若BCDE ABAD = D. 如图, 若BCDE ABAD =则DE ∥则DE ∥4.在△ABC 中,D 是AB 上一点,E 是AC 上一点,则下列结论正确的是( )A.若AD=2,DB=3,AE=1.2,EC=1.5,则D E ∥BC;B.若AD=2,DB=3,AC=2.4,EC=1.8,则D E ∥BCC.若AB=6,DB=2,AC=12,EA=8,则D E ∥BCD.若AD=2,AB=5,DE=3,BC=7.5,则D E ∥BC 5.下列结论中不成立的是( )A. △AOC 中,D 是AO 延长线上一点,C 在BO 延长线上,若AO:OD=BO:OC,则A B ∥CD;B. △ABC 中,D 在AB 的延长线上,E 在AC 的延长线上,若AB:AD=AC:AE,则B C ∥DE;C.梯形ABCD 中,AD ∥BC,E 在AB 上,F 在CD 上,若AE:EB=DF:FC,则EF ∥BC;D.在直线PQ 上依次有三点A,C,E,在直线MN 上依次有三点B,D,F,若AC:CE=BD:DF,则AB ∥CD ∥EF.6.如图,下列结论错误的是( ) A.若1l ∥2l ∥3l ,则EF DE BC AB = B. 若1l ∥2l ∥3l ,则DFEF ACBC =C.若1l ∥2l ∥3l ,则DGDE AGAB = D. 若EFDE BCAB =,则1l ∥2l ∥3l7.如图，1l ∥2l ，AF ：FB=2：7，BC ：CD=4：3，则AE ：EC=（ A ．5：2 B.2:3 C.4:3 D.3:28.梯形ABCD 的两腰AD,BC 的延长线交于点P,若AB=5.6,CD=3.2, 点P 到AB 的距离为2,则梯形的高为( ) A.67.76.23.27D C B二.填空题1.在△ABC 中,点D,E 分别是AB, AC 上点,且AD=3,DB=4,AE=1,EC=2.4,则DE 与BC 2.在△ABC 中,点D,E 分别在AB, AC 边上,若AD=3,AB=7,AE=4.5,要使D E ∥BC,则EC=3.在△ABC 中,点D,E 分别是AB, AC 上点,且DB=2AD,AC=3AE ,∠B=50°,则∠BDE=(第8题)3l 1F(第6题)3l 2(第7题)3l 2(第9题)3l 2l 3l 2l 1CC A4.在△ABC 中,点D,E 分别是AB, AC 上点,AD:DB=1:2,EC:AC=2:3,则DE:BC=5. 在△ABC 中,点D,E 分别是AB, AC 的中点,BE 与CD 交于点O,则DO:OC=6.如图,已知直线1l ∥2l ∥3l ,AB=4,DF=8BC=5,则EF=7.如图,已知直线 1l ∥2l ∥3l ,AB=BC,若DF=10,则DE=8.如图,已知直线 1l ∥2l ∥3l ,OA=BC=2,OC=5,DF=14,则DO= ,OE= 9.如图,已知直线 1l ∥2l ∥3l ,且AC:AE=3:5,则BD:DF=10.在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上一点,BM 的延长线交AC 于点N,若AM:MD=1:2,则AN:AC= 三.解答题:1. 如图,已知直线 1l ∥2l ∥3l ,yDF BD xPB CE AC PA ====4,432,求x+y 的值。
沪教版数学24.3(2)三角形一边的平行线(2)
§24.3（2）三角形一边的平行线（2）教学目标：1、 理解并掌握“三角形一边的平行线性质定理的推论”与“三角形一边的平行线性质定理”的区别与联系.2、 理解并掌握三角形的重心定理.教学重点与难点：推论与重心定理的应用. 教学过程：一、三角形一边的平行线性质定理的推论：如图，已知△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，且DE ∥BC ． 那么BCDEAC AE AB AD ==成立吗？ 证明：过D 作DF//AC 交BC 于F.（初步体会用添加平行线的方法证明比例式，这也是 常用方法）同样地，当点D 、点E 在边的延长线上时，结论也成立. 三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形的三边对应成比例． 符号语言：如图，已知：△ABC ，点D 在边AB 或其延长线上，点E 在边AC 或其延长线上，DE ∥BC ， 则：BCDEAC AE AB AD ==．注意：①我们将前两个图形称为A 字型，后面的图形称为8字型，这两个图形是平行线中的基本图形.②推论与性质定理的区别与联系.例1、如图，线段BD 与CE 相交于点A ,，DE ∥BC ，已知2BC =3ED ，AC =8, 求AE 的长.（通过已知条件找准比例式）ED C BAE D C BAEDC BAE D CBAE练习1、如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度.（学会设未知数来解决问题）二、三角形的重心定理：例2、已知：如图CF BE ,是ABC ∆的中线，交于点G .求证：21==GC GF GB GE .（显然是平行线的结论，只要证明EF//BC 即可.）用“同一法”说明三角形的三条中线交于一点.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 三角形的重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 符号语言：如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线．那么2===GFCG GE BG GD AG ．注意：①由重心定理还可以得出两个结论：32===CF CG BE BG AD AG ；31===CF FG BE EG AD DG ； ②若点G 是△ABC 的重心，则S △BGC ＝S △AGC ＝S △AGB ＝31S △ABC ．练习2、如图，在△ABC 中，AD 是中线，点G 为重心． GE ∥AC 交BC 于点E ，则 BD ∶DE ∶EC ＝＿＿＿＿＿．练习3、如图，已知△ABC ，AB ＝AC ， BC ＝16cm ，高AD ＝18cm ，则边AC 上的中线BE 的长为＿＿＿＿＿cm ．GED C BA ED C BAB D F EGAC GAB CEFG FE DCBA练习4、已知，△ABC 中，090=∠C ，G 是三角形的重心，AB=8. 求：① GC 的长；② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ， 求MN 的长.（由重心首先想到中线，再想到重心定理.）三、课堂小结：1、 本节课你学习了哪些知识？2、掌握了哪些方法？3、有什么感悟？ 四、作业：1、课后练习. 2、练习册.B。
三角形一边的平行线(二)
三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．1、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AEDB EC=那么l //BC ．三角形一边的平行线（二）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线判定定理及推论知识精讲lABCD EABCD EABCDE ll【例1】在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC 是 否平行．（1）3AD cm =，4DB cm =， 1.8AE cm =， 2.4CE cm =； （2）6AD cm =，9BD cm =，4AE cm =，10AC cm =； （3）8AD cm =，16AC cm =，6AE cm =，12AB cm =；（4）2AB BD =，2AC CE =．【难度】★【答案】（1）平行；（2）平行；（3）不平行；（4）平行．【解析】（1）34AD AE DB CE ==，可推知平行；（2）6CE AC AE =-=，23AD AE BD CE ==，可推知平行； （3）23AD AB =，38AE AC =，不相等，可推知不平行； （4）根据线段大小和位置关系，得AD BD =，AE CE =，1AD AEBD CE==，可推知平行． 【总结】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用．【例2】如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =． 【难度】★ 【答案】1:4．【解析】由::1:3AM MB AN NC ==，根据三角形一边平行 线的判定定理，可知//MN BC ，根据三角形一边平行线 的性质定理和比例的合比性，可得::1:4MN BC AN AC ==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用．例题解析A BCNMA B CEF【例3】如图，PMN ∆中，点A 、B 分别在MP 和NP 的延长线上，且38AP BP AM BN ==，则MNBA= ．【难度】★【答案】53．【解析】由38AP BP AM BN ==，由比例合比性，可得35AP BP PM PN ==，根据三角形一边平行线的判定定理的推论，可知//MN AB ，根据三角形一边平行线的性质定理，可得53MN PM BA AP ==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用．【例4】如图，ABC ∆中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AF EB FC = （B ）若AE AFEB FC=，则EF //BC （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC=（D ）若AE EFAB BC=，则EF //BC 【难度】★ 【答案】D【解析】A 、B 、C 选项都可由三角形一边平行线性质定理及其判定定理可判定正确，D 选项不符合定理判定内容．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的内容．AB PNMABCDE F ABCD O【例5】如图，点D 、F 在ABC ∆的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB=．求证：EF //DC ．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：//DE BC ， AD AE DB EC ∴=， 则AD AEAB AC=． 又AF AD AD AB =， AF AEAD AC∴=， ∴EF //DC ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先利用性质证明比例线段相等再进行判定应用．【例6】如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若A O D OC O B O=，8AO =，20CO =，15BC =，求AD 的长．【难度】★【答案】6．【解析】AO DO CO BO =， //AD BC ∴， 820AD AO BC CO ∴==．代入可计算，得：6AD =．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用．【例7】点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，能否得到DE //BC ，为什么？【难度】★★ 【答案】不能得到平行【解析】在AC 上必能找到一点E 使得DE //BC ，同时在AC 上能找到一点'E 使得'DE DE =，即等腰三角形存在，此时仍满足'DE ADBC AB=，但显然'DE 不与BC 平行． 【总结】考查三角形一边平行线判定定理内容的内容把握．ABC DEFM B C D NMABCD EF【例8】如图，M 为AB 的中点，EF //AB ，联结EM 、FM 分别交AF 、BE 于点C 和点D ．求证：CD //AB ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：EF //AB ，EF EC EF DFAM CM BM DM∴==，．M 为AB 的中点， A M B M∴=． E C D FC MD M∴=， ∴CD //AB ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用．【例9】如图，MC //ND ，且::PB AB PD CD =．求证：BN //AM ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：MC //ND ， PD PNCD MN ∴=．::PB AB PD CD =，PN PBMN AB∴=， ∴BN //AM ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定．【例10】如图，D 、F 是ABC ∆的AB 边上的两点，满足2AD AF AB =．联结CD ，过点F 作FE //DC ，交边AC 于点E ，联结DE ．求证：DE //BC ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：FE //DC ， A F A EA D A C ∴=． 又2AD AF AB =， 即AF ADAD AB=， A E A DA C A B∴=， ∴DE //BC ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定．ABCA’B’C’OA BCDEFGH【例11】如图，AC //''A C ，BC //''B C ．求证：AB //''A B ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：AC //''A C ，BC //''B C ，''''OA OC OB OC OA OC OB OC ∴==，， ''OA OBOA OB ∴=，∴AB //''A B ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定．【例12】将上题中的四边形OABC 绕点O 旋转180︒得下图，而其他已知条件不变，结论还成立吗？【难度】★★ 【答案】成立．【解析】证明：AC //''A C ，BC //''B C ，''''OA OC OB OC OA OC OB OC ∴==，，''OA OBOA OB ∴=．∴AB //''A B ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的推论，先应用性质证明比例线段相等再判定．【例13】点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：DE //BC ， D E A EB C A C∴=． 又四边形DEFG 为平行四边形， //DE FG DE FG ∴=，．F G H F B C H C ∴=， A E H F A C H C ∴=， A E H FE CF C ∴=， ∴AH //EF ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的推论，先应用性质证明比例线段相等再判定．AB CA’B’C’OA B CDEF G【例14】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BAF DAE ∠=∠，AE 与BD 交于点G ，又DF ADFC DF =．求证：四边形BEFG 是平行四边形．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：BAF DAE ∠=∠，BAE DAF ∴∠=∠．又四边形ABCD 是菱形，//AB AD BC CD ABE ADF AD BC ∴===∠=∠，，．A B E A D F ∴≅．BE DF ∴=且有AD GDBE GB=． B E D F A D G DB C C D D F G B ∴==，， //EF BD ∴．又DF AD FC DF =， DF GDFC GB ∴=， //FG BC ∴． 即证四边形BEFG 是平行四边形．【总结】平行四边形的证明，先从判定定理出发，考虑哪个判定定理的应用，然后根据题目条件进行分析证平行．【例15】如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF =， BG HC GC DH =，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：连结EF 、BD 、GH ．A E F D EB A F=，即AE AFEB FD =， //EF BD ∴． 又BG HC GC DH =，即GC HCBG DH=，//GH BD ∴． //EF GH ∴， OE OFOH OG∴=， 即OE GO FO OH =． 【总结】观察题目条件的形式，可知题目考查三角形一边平行线性质及其判定定理，先判定再利用性质进行变形应用．ADB CEF P Q【例16】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD a =，BC b =，E 、F 分别是AD 、BC的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长．【难度】★★★【答案】abPQ a b =+．【解析】AD //BC ， AE PE ED EQBF BP FC QC∴==，． 又E 、F 分别是AD 、BC 的中点，A E D EB F FC ∴==，， PE EQBP QC ∴=， ////P Q B C A D ∴．P Q E P P QP F P B B C E B A DA F EB ∴===，，1PQ PQAD BC ∴+=． 代入，求得：abPQ a b=+．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的，先应用性质证明比例线段相等再判定．由三线平行模型可得出结论．【例17】如图，点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线k ，交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：1BE CFAE AF +=．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：分别过点B 和点C 作BM 和CN 平行于直线 AD ，分别交AB 、AC 于点M 、点N ．则有////BM AG CN ，BE BM CF CNAE AG AF AG∴==，， BE CF BM CNAE AF AG+∴+=． 又G 是ABC ∆的重心，根据重心的性质，BD CD ∴=且有2AG DG =， 即此时DG 为梯形MBCN 的中位线．2BM CN DG AG ∴+==，即可证1BE CFAE AF+=． 【总结】根据重心的特殊性质构造平行线段，用比例线段的转化建立一个三直线平行的模型解决问题．1、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例18】如图，1l //2l //3l ，3AB =，8AC =，10DF =，求DE 、EF 的长．【难度】★ 【答案】152544DE EF ==，． 【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比 性，可得AB DE AC DF =，代入求得154DE =，则254EF DF DE =-=． 【总结】考查平行线分线段成比例定理结合比例的合比性质的应用．模块二：平行线分线段成比例定理知识精讲例题解析BCD E FG1l 2l3l BC1l 2l3l A DEFABCDEF【例19】如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，求DE 、EF 的长．【难度】★ 【答案】271855DE EF ==，． 【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性， 可得AB DE AC DF =，代入求得275DE =，则185EF DF DE =-=． 【总结】考查平行线分线段成比例定理结合比例的合比性质的应用，两条直线交叉时仍成立．【例20】命题“梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 、F 在AB 、CD 上，且::AE EB DF FC =，则EF //BC ”是（选填“真”或“假”）命题．【难度】★ 【答案】真．【解析】过点A 作CD 的平行线，根据三角形一边平行线的判定定理易证得命题成立． 【总结】平行线分线段成比例定理，实际是三角形一边平行线性质定理的变形应用，即将一条直线进行平移即可．【例21】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，5AC =，3BC =，则:AE DF =．【难度】★ 【答案】5:3．【解析】:::5:3AE DF AE DE AC BC ===． 【总结】考查图形中相等比例线段的转化．CB A 5l 1l 2l 3l4l DE F【例22】已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =． 【难度】★ 【答案】略．【解析】作法：在平面内任作一条直线1l ，在1l 上顺次截取 AB a BC b ==，，过点A 任作一条射线2l ，在2l 上截取线段AD c =，连结BD ，过点C 作//CE BD 交射线2l 于点E ，线段DE 即为所求．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，平行情况下截得的对应线段长度比例相等．【例23】如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =． 【难度】★★ 【答案】略【解析】作法：过点A 任作一条射线l （不与AB 重合），在l 上顺次截取一个合适的线段， 使得AD DE EF ==， 连结BF ，过点D 作//DC BF 交线段AB 于点C ，点C 即为所求．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，平行情况下截得的对应线段长度比例相等．【例24】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =． （1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．【难度】★★【答案】（1）83GC =；（2）163MN =．【解析】（1）延长CG 交AB 于点D ，则CD 为ABC 斜边AB 上的中线，则有142CD AB ==，根据重心的性质，即可得2833GC CD ==，．（2）由MN //AB 易得G 为Rt AMN 斜边MN 的中线，故1623MN GC ==【总结】考查三角形重心的性质与直角三角形斜边中线相结合，根据平行可得出线段相等的判定．b c ABA BCNMG D【例25】如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =，求:AF BF 的值．【难度】★★ 【答案】2:15．【解析】过点A 作//AM BC 交CF 的延长线于点M ， 根据三角形一边平行线的性质定理，则有13AM AE DC ED ==．又23BD DC =，即()23BC DC DC -=． 可得25DC BC =， 则215AM BC =．由//AM BC 可得：::2:15AF BF AM BC ==．【总结】考查三角形一边平行线的性质，由已知和所求比例构造平行．【例26】如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．【难度】★★ 【答案】10．【解析】过点F 作//FN EA 交CD 于点M ，交AB 于点N．AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，////A B C D E F ∴，则四边形EFMC 、CMNA 、EFNA 都为平行四边形．7E F C M N A ∴===， 5B N A B A N ∴=-=．:2:3B D D F =， 35DF BF ∴=． 由平行可得：35DM DF BN BF ==，代入得：3DM =，10CD CM DM =+=． 【总结】考查平行线分线段成比例定理，往往通过平行线的平移转化到一个三角形中三角形一边平行线性质定理的应用．ABCDEFlM NA BCDEFO【例27】如图，ABC ∆中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ， CO 的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P 和点Q ．求证：（1）PO OQ =；（2）DE //BC ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）PQ //BC ，∴////PO BM OQ CM ，．PO AO OQ AO BM AM CM AM ∴==，， PO OQBM CM∴=．由M 为BC 中点，即可证得PO OQ =．（2）连结DE ． PQ //BC ，EO PO DO OQEC BC DB BC∴==，．由（1）可得PO OQ =，EO DO EC DB ∴=，EO DOOC OB∴=，∴DE //BC ． 【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，注意根据相等的比例作为中间量进行等比例转换．【例28】如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O作EF //AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．【难度】★★【答案】403．【解析】AB //CD ，AB AO BOCD OC OD∴==． A O B OA CB D∴=． 又EF //AB ，//EF CD ∴．又:1:3AE ED =，1144EO AO AE FO BO AO CD AC AD CD BD AC ∴======，．152E O F O E F ∴===，12042033DC EO AB CD ∴====，． 即梯形中位线长为()14023AB CD +=．【总结】充分利用三角形一边平行的性质和比例合比性进行计算，关键点在于判断中点，对于非等腰梯形也可得到相同的结论．ABCD E O PQM【例29】如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ， BC //EF ．求证：AF //CD ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：AB //ED ，OA OBOE OD∴=， 即OB OE OA OD ⋅=⋅．又BC //EF ， O B O CO F O E∴=， 即OB OE OC OF ⋅=⋅． O A O D O C O F∴⋅=⋅， 即OA OFOC OD=， ∴AF //CD ． 【总结】考查三角形一边平行线的性质及其判定定理，多用相等比例线段进行转化．【例30】如图，M 、N 分别是ABC ∆两边AB 、AC 的中点，P 是MN 上任一点，延长BP 、CP 交AC 、AB 于K 、H ，求AH AKHB KC +的值． 【难度】★★★ 【答案】1．【解析】过点A 作//DE BC ，分别交CH 、BK 的延长线于点D 、点E ．由//DE BC ，则有//AD BC ，//AE BC ，故AH AD AK AEHB BC KC BC==，． ∴=AH AK AD AE DEHB KC BC BC++=． 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，∴MN 为ABC 的中位线，∴//MN BC 且1=2MN BC ，//MN DE ．又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，∴PM 、PN 分别为ABE 、ACD 的中位线，∴1122PM AE PN AD ==，，∴()12PM PN AE AD +=+，即12MN DE =．由此DE BC =，故1AH AKHB KC +=．【总结】根据题目所求的比例线段，构造平行线，在图形中形成“A ”字型和“X ”字型的构造，先判定再应用，进行比例线段的综合应用．AC EF O【例31】如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE BC ⊥于点E ． （1）连接DE 交OC 于点F ，作FG BC ⊥于点G ，求证：点G 是线段BC 的一个三等 分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC 的一个四等分点（要求保留作图痕迹，可不写作法及证明过程）．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）如图点M 即为所求． 【解析】（1）证明：四边形ABCD 是矩形， 90BCD OB OD ∴∠=︒=，． 又OE BC ⊥，//OE CD ∴，12OE OB OFCD OD FC ∴===． FG BC ⊥，//FG OE ∴， 2CG FC GE OF∴==． 由OB OD =可知E 为BC 中点， 2163CG BC ∴==．即点G 是线段BC 的一个三等分点（2）延长EO 交AD 于点H ，连结CH 交DE 于点P ，过点P 作PM BC ⊥交BC 于点M ，易证点M 为EC 中点，即图中点M 即为所求．【总结】考查对三角形一边平行线性质定理的构造和应用，注意对图形中“A ”字型和“X ”字型的构造，先判定再应用，进行比例线段的综合应用．ABDE F G OHP M【例32】如图，ABC ∆中，12BC =，AC =45C ∠=︒，P 是BC 边上的一个动点， 过点P 作PD //AB 与AC 相交于点D ，连接AP ，设线段BP 的长为x ，APD ∆的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）是否存在一个位置的点P ，使APD ∆的面积等于APB ∆的面积的13？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()2140123y x x x =-+<<；（2）存在，8BP =．【解析】（1）过点P 作PE AC ⊥于点E ． 由BP x =，可得12PC x =-，又45C ∠=︒，故)12PE CE x ==-． 又//PD AB ，故BP AD BC AC=，代入可得：AD x ．故)()2111124012223y PE AD x x x x x =⋅=-=-+<<． （2）过点A 作AF BC ⊥于点F ．由45C AC ∠=︒=，，可得：8AF CF ==， 故142ABPSAF BP x =⋅=． 又APD ∆的面积是APB ∆面积的13，∴2114433y x x x =-+=⨯，解得：8x =，即8BP =．【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用．ABCD PEF【习题1】如图，ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知=3AD ，5AB =，2AE =，43EC =，由此判断DE 和BC 的位置关系是，理由是 ． 【难度】★【答案】平行，三角形一边平行线的判定定理【解析】2BD AB AD =-=，则有AD AEBD EC =，根据三角形一边平 行线的判定定理可知平行．【总结】考查三角形一边平行线判定定理的内容掌握．【习题2】ABC ∆中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件 是（ ）．（A ）23AB AD =，12EC AE =（B ）23AD AB =，23DE BC = （C ）23AD DB =，23CE AE =（D ）43AD AB =，43AE EC =【难度】★ 【答案】A【解析】根据比例的合比性，可知只有A 选项中满足2AB AEBD EC==，根据三角形一边平行 线的判定定理可知A 选项正确，其它都不满足．【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，需要结合比例的合比性等性质进行判断．【习题3】在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要使DE //AC ，则BE =．【难度】★ 【答案】6．【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，要得到DE //AC ，则必有DB BEAB BC=， 即3=2+310BE，即可求得6BE =． 【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，注意性质和判定的相互转化．随堂检测ABCD E【习题4】如图，ABC ∆中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：DE //BC ，AD AEDB EC∴=． 又AF AD DF DB =，AF AEDF EC∴=． ∴EF //CD ．【总结】考查三角形一边平行线性质及其判定定理，先利用性质构造等比例线段再判定．【习题5】如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长． 【难度】★★【答案】（1）245；（2）915AB BC ==，．【解析】（1）根据平行线等分线段成比例定理，则有 DE AB EF BC =，代入可求得245DE = （2）根据平行线等分线段成比例定理，则有35AB DE BC EF ==，根据比例的合比性，则有38AB AC =，代入可得9AB =，15BC AC AB =-=【总结】考查平行线等分线段成比例定理和比例的合比性的综合应用．1l 2lABC D E FACD EFABCDEF O【习题6】如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA 的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．【难度】★★ 【答案】2．【解析】延长FO 交线段BC 于点G ．四边形ABCD 是平行四边形，////3A D B C A B C DA DBC ∴==，，．又由AO CO =，可得1GC AF ==，2B G B C G C ∴=-=． 由//AF BG ，可得12AE AF BE BG ==，即122AE AE =+，解得：2AE =．【总结】平行四边形中容易出现“A ”字型和“X ”字型，利用平行可进行相应的等比例转化解决问题．【习题7】如图，在ABC ∆中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC 的中 点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：EF //BC ，GD BD DH CDGF EF EH EF∴==，． 又BD CD =，GD DHGF EH∴=． 根据比例的合比性，即GD DHDF DE=， //EF GH ∴．【总结】考查三角形一边平行线性质及其判定定理，根据平行进行等比例转化．ABCDE F G GA BCDFGH【习题8】如图1，在菱形ABCD中，点G是CD边上的一点，联结BG交AC于F，过F作FH//CD交BC于H，可以证明结论FH FGAB BG=成立（不必证明）．（1）如图2，上述条件中，若点G在CD的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知4AB=，60ADC∠=︒，9CG=，求线段BG与FG的长．图1 图2【难度】★★★【答案】（1）成立；（2）BG FG=【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，//AB CD AB CD∴=，．FH//CD，//FH AB∴，FH CFAB CA∴=．由//AB CG，FG FCFB FA∴=，根据比例的合比性FG FCBG CA=，F H F GA B B G∴=．（2）过点B作BM DC⊥交DC延长线于点M．四边形ABCD是菱形，4//BC AB AD BC∴==，．60ADC∠=︒，60BCM∴∠=︒，122CM BC BM∴===，由9CG=，可得11GM=，BG∴===由//AB CG得94GF CGFB AB==，913GFGB∴=．代入即得：FG=【总结】平行四边形中容易出现“A”字型和“X”字型，利用平行可进行相应的等比例转化解决问题，同时注意对图形中一些特殊角的运用，实际上在上图中产生了三个等边三角形，利用等边三角形也可以解决问题．A BCDFGHMABC DEFOP【习题9】如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，4AB =，3BC =，在线段 AB 上取一点P ，过点P 作AC 的平行线交BC 于点E ，连接EO ，并延长交AD 于点F ，连接PF ．（1）求证：PF //BD ；（2）设的AP 长为x ，PEF ∆的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域． 【难度】★★★【答案】（1）略；（2）()233044y x x x =-+<<．【解析】（1）证明：//PE AC ，AP CEAB BC ∴=． 又四边形ABCD 为矩形， //AO CO AD BC AD BC ∴==，，．由此可得CE AF =．AP AFAB AD∴=，∴PF //BD ． （2）解：由（1）可得PF //BD ，//PE AC ，故34AF AD AP AB ==，34BE BC BP AB ==，AP x =，则4BP x =-，34AF x =，33344BE BP x ==-，同时由于CE AF =，DF BE =，1134622ABCD ABEF S S ∴==⨯⨯=矩形梯形APF BPE ABEF y S S S ∆∆∴=--梯形11622AP AF BP BE =-⋅-⋅()221313642424x x =-⋅-⋅-()233044x x x =-+<<．【总结】考查三角形一边平行线性质运用时，经常可以将对应边的比例关系转化到一个三角形中相应边的比例关系，并且在平行四边形中，过对称中心的点平分平行四边形的周长和面积，且截得的线段都相等．【作业1】在A ∠的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，又下列条件能判断//BD CE 的个数是（）．（1）3AB cm =，4BC cm =， 1.8AD cm =， 2.2DE cm =； （2）:2:3AB AD =， 1.8AE cm =， 1.2AC cm =； （3）5AB cm =，6BC cm =， 4.4AE cm =， 2.4DE cm =； （4）10AB cm =，15AC cm =，10BD cm =，15EC cm =． （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个【难度】★ 【答案】C【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，可知（2）（3）都满足AB ADAC AE=，可得到//BD CE ， （1）不满足；同时，在（4）的条件下，ABD ∆和ACE ∆都是等腰三角形，且有公共底角A ∠， 由此可知两三角形每个角都对应相等，也可得到平行．【总结】考查三角形一边平行线的判定定理的条件，一般只考虑有公共夹角的情况，但有时候在等腰三角形中需要进行更详细分析再得出结论．【作业2】ADE ∆中，点B 和点C 分别在AD 、AE 上，且2AB BD =，2AC CE =，则:BC DE =．【难度】★ 【答案】2:1．【解析】由2AB BD =，2AC CE =，即有12AD AE AB AC ==． 故//DE BC ，可得：::2:1BC DE AB AD ==．【总结】考查三角形一边平行线的性质和判定定理，先判定再利用性质得出结论．课后作业ABCDE F ON M【作业3】已知点D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的反向延长线上的点，如果25AD AB =，当AEAC为何值时，//DE BC ？ 【难度】★【答案】25．【解析】25AE AD AC AB ==．【总结】考查三角形一边平行线性质判定定理的推论，在反向延长线上也成立．【作业4】如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =， 4.5BF =，25AD AE AC AB ==．求证：EF //AC ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：25AD AE AC AB ==，//DE BC ∴， 25D E A E B C A B ∴==．由3DE =，可得7.5BC =，则有35BF BE BC AB ==， ∴EF //AC ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，也可通过证明四边形CDEF 是平行四边形间接证得．【作业5】如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF 相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ） （A ）AO BO AB CO DO CD == （B ）AM BN MN CM DN AB ==（C ）AE AB BF DE CD CF == （D ）BD AC AB DN CM MN ==【难度】★★ 【答案】A【解析】根据三角形一边平行线的性质定理及其推论可知A 正确．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理及其推论，找准相应比例线段，确立好对应关系．AB CDEFA BCD EFG1l 2l 3l ABCD E FG1l 2l【作业6】如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（ ） （A ）:2:1AE EC = （B ）:2:5FG GD = （C ）:2:5GF FD = （D ）:1:2AG BC = 【难度】★★ 【答案】B【解析】由1l //2l ，可得:::2:5AG BD GF FD AF FB ===，B 错误，C 正确； 又根据:4:1BC CD =，可得:2:41:2AG BC ==，:2:1AG CD =，由平行可得：::2:1AE EC AG CD ==，A 、D 正确．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目已知条件进行等比例转化．【作业7】如图，直线1l //2l //3l ，若5AB cm =，8BC cm =，2EG cm =，3GF cm =，求线段DE 与GC 的长．【难度】★★ 【答案】258DE cm =，245GC cm =． 【解析】根据平行线分线段成比例定理，可以得到DE ABEF BC =， 即5238DE =+，可得258DE cm =．由12//l l ，可得：EG BG DE AB =，代入可解得：165BG =， 245GC BC BG cm ∴=-=．【总结】考查平行线分线段成比例定理，往往可以在过程中应用三角形一边的平行线性质定理进行比例转化和计算．AB【作业8】如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C，使得:AC BC = 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】作法：在平面内任作一等腰直角三角形DEF ，其中点E 为其直角顶点，以点F 为 圆心，FD 长为半径画弧交EF 的延长线于点G，则:EF FG =，过点A 任作一条 射线l ，在l 上顺次截取AM EF =，MN FG =，连结NB ，过点M 作//MC NB 交线段AB于点C ，点C 即为所求．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，平行情况下截得的对应线段长度比例相等，关键在于构造比为【作业9】梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =． （1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、 b 、m 、n 的代数式表示EF ．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）平行，an bmEF m n+=+． 【解析】（1）证明：过点F 作//MN AB 交AD 延长线于点M ，交BC 于点N ， 则四边形ABNM 为平行四边形，AB MN AM BN ∴==，．F 为CD 中点，由平行可得F 为MN 中点，即12FN MN =，DM CN =．E 为AB 中点，1122BE AB MN NF ∴===．由//MN AB ，∴四边形EBNF 为平行四边形，//EF AB ∴且EF AM BN ==．即()()()111222EF AM BN a DM b CN a b =+=++-=+．（2）证明：过点F 作//MN AB 交AD 延长线于点M ，交BC 于点N ， 则四边形ABNM 为平行四边形，AB MN AM BN ∴==，．由//DM CN ，DM MF DFCN FN CF∴==． AE DF EB FC =，AE MF EB FN ∴=，AB MNEB FN ∴=，EB FN ∴=． 由//MN AB ，∴四边形EBNF 为平行四边形．//EF AB ∴且EF AM BN ==． 由DM DF m CN FC n ==，可得AM a m b BN n -=-，即EF a mb EF n-=-，解得：an bmEF m n+=+．【总结】考查梯形中位线性质的证明，实际上也是平行线分线段成比例定理的一种逆运用，通过平移构造并证明平行线段．F EA (D)B CNMNMM【作业10】已知MN //EF //BC ，点A 、D 为直线MN 上的两动点，AD a =，BC b =，AE mBE n=． （1）当点A 、D 重合，即0a =时（如图1），试求EF ； （用含a 、b 、m 、n 的代数式表示）（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A 、D 不重合，即0a ≠， ①如图2这种情况时，试求EF ；（用含a 、b 、m 、n 的代数式表示）②如图3这种情况时，试猜想EF 与a 、b 之间有何种数量关系？并证明你的猜想．【难度】★★★ 【答案】（1）mb EF m n =+；（2）①mb na EF m n +=+；②mb naEF m n-=+． 【解析】（1）0a =时，EF AE m BC AB m n ==+，可得mbEF m n=+； （2）①过点D 作//DH AB 交EF 于点G ，交BC 于点H ， 易得EG AD BH a CH b a ====-，． 同时由平行可得：FG AE mCH AB m n==+， 则()m b a FG m n-=+，∴()m b a mb naEF EG FG a m n m n-+=+=+=++． ②过点A 作//AH DC 交EF 延长线于点G ，交BC 延长线于点H ， 易得FG AD CH a BH b a ====+，，同时由平行可得：EG AE mBH AB m n==+，则()m b a FG m n +=+， ()m b a m b n aE F E G F G a m n m n+-=-=-=++． 【总结】考查平行线分线段成比例定理，通过平移转化到一个三角形中对应边成比例即可．H。
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第3讲三角形一边的平行线（二）知识框架本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．3.1 三角形一边的平行线判定定理及推论我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确．如图，在ABC△中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD AEDB EC=，那么DE//BC吗？解析：要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE和BC上．如图，过点C作平行于AB的直线CF，交直线DE于点F，得四边形BCFD．证明：∵CF//AB∵AD AECF EC=（三角形一边平行线性质定理的推论）又∵AD AE DB EC=∵ AD ADCF DB=，得CF DB=．由CF//DB，CF DB=，可知四边形BCFD是平行四边形∵ DF//BC，即DE//BC．根据比例的性质可知，在关系式∵AD AEDB EC=、∵AD AEAB AC=、∵BD CEAB AC=中，由其中一个可推出其余两个．因此，以关系式∵、∵、∵之一为已知条件，都可推出DE//BC．这样，就得到以下定理：三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∵、∵、∵之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE //BC ．由此由得到：三角形一边的平行线判定定理的推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，那么能否得到DE //BC ，为什么？例1. 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC是 否平行． （1）3cm AD =，4cm DB =， 1.8cm AE =， 2.4cm CE =； （2）6cm AD =，9cm BD =，4cm AE =，10cm AC =； （3）8cm AD =，16cm AC =，6cm AE =，12cm AB =；（4）2AB BD =，2AC CE =．例2. 如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =__________．例1题图 例2题图例题分析例3. 如图，ABC △中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AFEB FC=； （B ）若AE AFEB FC=，则EF //BC ； （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC=；（D ）若AE EFAB BC=，则EF //BC ． 例4. 如图，点D 、F 在ABC △的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB=．求证：EF //DC ．例5. 点D 、E 分别在ABC △的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．例6.如图，M为AB的中点，EF//AB，联结EM、FM分别交AF、BE于点C和点D．求证：CD//AB．例7.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE与BD交于点G，又DF AD FC DF=．求证：四边形BEFG是平行四边形．3.2 平行线分线段成比例定理如图，已知ABC△，直线1l与边AB、AC分别相交于点D、E，直线2l与边AB、AC分别相交于点F、G，12////l l BC．那么所截得的线段是否成比例？解析：对于这个问题，只需讨论DF EGFB GC=是否成立即可．证明：如图，过点D作直线AC的平行线'l，设直线'l与BC、2l分别交于点'C、'G，则'DG EG=，''G C GC=.利用三角形一边的平行线的性质定理和等量代换，可得DF EGFB GC=．根据上述结论，在利用比例的性质，可知截得的线段成比例．如图，将ABC△的三边AB AC BC、、改为三条直线，则上述结论表述为：直线DB与EC被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．于是得到：平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．如图5，当直线2l过DB中点M，即DM MB=时，则EN NC=．也就是说：两直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．这是平行线分线段成比例定理的特例，也称为平行线等分线段定理．例1.如图，1l//2l//3l，3AB=，8AC=，10DF=，则EF的长为__________．例1题图知识精讲例题分析例2. 如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，则EF 的长为________．例3. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，5AC =，3BC =，则:AE DF =___________．例2题图 例3题图例4. 命题“梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 、F 在AB 、CD 上，且::AE EB DF FC =，则EF //BC ”是__________命题．（填“真”或“假”） 例5. 已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =．例6. 如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．例7. 如图，ABC △中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ，CO的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P 和点Q ．求证：（1）PO OQ =；（2）DE //BC ．例8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 作EF//AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．例9. 如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ，BC//EF ．求证：AF //CD ．例10.如图，M、N分别是ABC△两边AB、AC的中点，P是MN上任一点，延长BP、CP交AC、AB于K、H，求AH AKHB KC+的值．例11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE BC⊥于点E．（1）连接DE交OC于点F，作FG BC⊥于点G，求证：点G是线段BC的一个三等分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC的一个四等分点（要求保留作图痕迹,可不写作法及证明过程）．3.3 课堂检测1. 如图，ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知=3AD ，5AB =，2AE =，43EC =，由此判断DE 和BC 的位置关系是__________，理由是_________________________．2. 在ABC △中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件是（ ）（A ）23AB AD =，12EC AE =； （B ）23AD AB =，23DE BC =；（C ）23AD DB =，23CE AE =； （D ）43AD AB =，43AE EC =．3. 在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要使DE//AC ，则BE =__________． 4. 如图，ABC △中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ．5. 如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．7. 如图，在ABC △中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC 的中点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．8. 如图1，在菱形ABCD 中，点G 是CD 边上的一点，联结BG 交AC 于F ，过F 作FH//CD 交BC 于H ，可以证明结论FH FGAB BG=成立（不必证明）． （1）如图2，上述条件中，若点G 在CD 的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知4AB =，60ADC ∠=︒，9CG =，求线段BG 与FG 的长．BC=，在线段AB上9.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，4AB=，3取一点P，过点P作AC的平行线交BC于点E，连接EO，并延长交AD于点F，连接PF．（1）求证：PF//BD；（2）设的AP长为x，PEF△的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．3.4 课后作业1. 在A ∠的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，下列条件能判断BD //CE 的个数是（）．（1）3cm AB =，4cm BC =， 1.8cm AD =， 2.2cm DE =； （2）:2:3AB AD =， 1.8cm AE =， 1.2cm AC =； （3）5cm AB =，6cm BC =， 4.4cm AE =， 2.4cm DE =； （4）10cm AB =，15cm AC =，10cm BD =，15cm EC =． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个2.ADE △中，点B 和点C 分别在AD 、AE 上，且2AB BD =，2AC CE =，则:BC DE =_______．3. 已知点D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 的反向延长线上的点，如果25AD AB =， 当=AEAC_______时，BD //CE ． 4. 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =， 4.5BF =，25AD AE AC AB ==．求证：EF //AC ．5. 如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ）（A ）AO BO ABCO DO CD ==； （B ）AM BN MNCM DN AB ==； （C ）AE AB BF DE CD CF==；（D ）BD AC ABDN CM MN==． 6. 如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（ ）（A ）:2:1AE EC =； （B ）:2:5FG GD =； （C ）:2:5GF FD =；（D ）:1:2AG BC =第5题图 第6题图7. 如图，直线1l //2l //3l ，若5cm AB =，8cm BC =，2cm EG =，3cm GF =，求线段DE 与GC 的长．8. 如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =．9. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =． （1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．AB10. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF ⋅=⋅，BG HC GC DH ⋅=⋅，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH ⋅=⋅．11. 如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =， 求:AF BF 的值．12. 梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =．（1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．图（a ） 图（b ）。