初中数学课件-三角形一边的平行线的判定 最新
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平行线和三角形的判定
平行线的同旁内角定理的证明：可以通过几何图形的性质和定理进行证明。
平行线的同旁内角定理的应用：在几何证明中，可以通过平行线的同旁内角定理来证明两条直线平 行。
平行线的同旁内角定理的推广：平行线的同旁内角定理可以推广到空间中的平行平面。
三角形的判定
三角形的边边边相等判定
边边边相等判定：如 果三角形的三条边长 度相等，那么这个三 角形就是等边三角形。
证明方法：利用三 角形的内角和定理 和同位角相等的性 质。
应用：在几何证明 中，可以用来证明 两条直线平行。
注意事项：在使用 平行线的内错角定 理时，要注意内错 角的定义和性质。
平行线的同旁内角定理
平行线的同旁内角定理：如果两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线被截得的同旁内角的和 等于180度。
平行线与等腰直角三角形的判定
等腰直角三角形：一个角为 90度，两个边相等的三角形
判定方法：利用平行线和等腰 直角三角形的性质进行判定
平行线：两条直线在同一平 面内，永不相交
应用实例：在几何证明中，利 用平行线和等腰直角三角形的
判定进行证明
感谢您的耐心观看
汇报人：XXX
角角边相等判定：两个三角形的角 角边相等，则这两个三角形全等。
角角边相等判定的应用：在解决几 何问题时，可以通过角角边相等判 定来判断两个三角形是否全等。
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角角边相等判定的证明：通过证明 两个三角形的角角边相等，可以得 出这两个三角形全等。
角角边相等判定的局限性：角角边相 等判定只适用于两个三角形的角角边 相等的情况，对于其他情况不适用。
角边角相等判定的应 用：在几何证明中， 角边角相等判定可以 用来证明两个三角形 全等，从而得出结论。
平行线的同旁内角定理的应用：在几何证明中，可以通过平行线的同旁内角定理来证明两条直线平 行。
平行线的同旁内角定理的推广：平行线的同旁内角定理可以推广到空间中的平行平面。
三角形的判定
三角形的边边边相等判定
边边边相等判定：如 果三角形的三条边长 度相等，那么这个三 角形就是等边三角形。
证明方法：利用三 角形的内角和定理 和同位角相等的性 质。
应用：在几何证明 中，可以用来证明 两条直线平行。
注意事项：在使用 平行线的内错角定 理时，要注意内错 角的定义和性质。
平行线的同旁内角定理
平行线的同旁内角定理：如果两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线被截得的同旁内角的和 等于180度。
平行线与等腰直角三角形的判定
等腰直角三角形：一个角为 90度，两个边相等的三角形
判定方法：利用平行线和等腰 直角三角形的性质进行判定
平行线：两条直线在同一平 面内，永不相交
应用实例：在几何证明中，利 用平行线和等腰直角三角形的
判定进行证明
感谢您的耐心观看
汇报人：XXX
角角边相等判定：两个三角形的角 角边相等，则这两个三角形全等。
角角边相等判定的应用：在解决几 何问题时，可以通过角角边相等判 定来判断两个三角形是否全等。
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角角边相等判定的证明：通过证明 两个三角形的角角边相等，可以得 出这两个三角形全等。
角角边相等判定的局限性：角角边相 等判定只适用于两个三角形的角角边 相等的情况，对于其他情况不适用。
角边角相等判定的应 用：在几何证明中， 角边角相等判定可以 用来证明两个三角形 全等，从而得出结论。
《平行线判定》课件
如果直线a⊥b，线段DE⊥b，如图。试判断以下 各线段是否平行于即与DE平行，请说明理由。
在三角形中，如果`AB`⊥`EF`，`EF`⊥`CD`，则 如何判断`AB`和`CD`是否平行？
总结
定义 & 特性
平行线是在同一平面内，永远 不交叉的两条直线。
判定方法
角度判定法、三线性法和对顶 角判定法。
定理
定理1：同旁内角相等定理
两条平行线被截断后，同侧内角互相对应，相 等。
定理2：同旁外角相等定理
两条平行线被截断后，同侧外角互相对应，相 等。
定理3：内错角定理
两条平行线被截断后，相对内角之和等于180°。
定理4：同旁角分线定理
两条平行线被截断后，同侧每个角的角分线平 行。练习题1 Nhomakorabea23
在以下图形中哪一对线段是平行线？
《平行线判定》PPT课件
本课件将介绍什么是平行线，它们的特性以及如何判定它们。让我们开始吧！
什么是平行线？
定义
平行线是在同一平面内，永远不 交叉的两条直线。
应用
在日常生活中，平行线可以被用 于描述太阳、月亮和行星的相对 位置。
实例
铁路上的平行铁轨就是一种平行 线的实例。
平行线的特性
1 距离相等
两条平行线之间的距离保持恒定。
同旁内角相等定理、同旁外角 相等定理、内错角定理和同旁 角分线定理。
3 同向或反向
两条平行线要么同向，要么反向。
2 永不相交
两条平行线之间永远不会相交。
判定平行线的方法
1
三线性法
2
如果两条线与第三条平行，则这两条线
也是平行线。
3
角度判定法
如果两条直线之间的夹角等于0°或180°， 它们就是平行线。
在三角形中，如果`AB`⊥`EF`，`EF`⊥`CD`，则 如何判断`AB`和`CD`是否平行？
总结
定义 & 特性
平行线是在同一平面内，永远 不交叉的两条直线。
判定方法
角度判定法、三线性法和对顶 角判定法。
定理
定理1：同旁内角相等定理
两条平行线被截断后，同侧内角互相对应，相 等。
定理2：同旁外角相等定理
两条平行线被截断后，同侧外角互相对应，相 等。
定理3：内错角定理
两条平行线被截断后，相对内角之和等于180°。
定理4：同旁角分线定理
两条平行线被截断后，同侧每个角的角分线平 行。练习题1 Nhomakorabea23
在以下图形中哪一对线段是平行线？
《平行线判定》PPT课件
本课件将介绍什么是平行线，它们的特性以及如何判定它们。让我们开始吧！
什么是平行线？
定义
平行线是在同一平面内，永远不 交叉的两条直线。
应用
在日常生活中，平行线可以被用 于描述太阳、月亮和行星的相对 位置。
实例
铁路上的平行铁轨就是一种平行 线的实例。
平行线的特性
1 距离相等
两条平行线之间的距离保持恒定。
同旁内角相等定理、同旁外角 相等定理、内错角定理和同旁 角分线定理。
3 同向或反向
两条平行线要么同向，要么反向。
2 永不相交
两条平行线之间永远不会相交。
判定平行线的方法
1
三线性法
2
如果两条线与第三条平行，则这两条线
也是平行线。
3
角度判定法
如果两条直线之间的夹角等于0°或180°， 它们就是平行线。
平行于三角形一边的直线
② ， ③
①
，
得其余两个，都可以推出DE//BC。
结论
三角形一边的平行线判定定理：
如果一条直线截三角形的两边所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边。
思考一 若EF截在AB、AC的延长线上，或者截 在BA、CA的延长线上，如图，得到下边的比 例式，那么DE//BC还成立吗？
由 能得出DE//BC
结
论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如何来证明？
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
[例一]
A
D
2
l1 E l2
3
B
?
4
F l3
C
AB m 已知：如图，l . 1//l 2 //l 3， BC n DE m 求证： . DF m n
证明 ：Ql1//l 2 //l 3 ,
F
A E
D B C
l1 l2 l3
\ AB DE m 注意观察： BC EF n 此图与前面图形有何不同？ （平行线分线段成比例定理） A D DE n m EF n EF \ ， DE m DE m E B DF m n 即 . DE m [例二] F C \ DE m . DF m n
例题2
已知：如图, l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4. 求BC=( 6 )
A D
3
B C
①
，
得其余两个，都可以推出DE//BC。
结论
三角形一边的平行线判定定理：
如果一条直线截三角形的两边所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边。
思考一 若EF截在AB、AC的延长线上，或者截 在BA、CA的延长线上，如图，得到下边的比 例式，那么DE//BC还成立吗？
由 能得出DE//BC
结
论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如何来证明？
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
[例一]
A
D
2
l1 E l2
3
B
?
4
F l3
C
AB m 已知：如图，l . 1//l 2 //l 3， BC n DE m 求证： . DF m n
证明 ：Ql1//l 2 //l 3 ,
F
A E
D B C
l1 l2 l3
\ AB DE m 注意观察： BC EF n 此图与前面图形有何不同？ （平行线分线段成比例定理） A D DE n m EF n EF \ ， DE m DE m E B DF m n 即 . DE m [例二] F C \ DE m . DF m n
例题2
已知：如图, l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4. 求BC=( 6 )
A D
3
B C
平行线的判定课件
建筑结构
在建筑结构设计中，为了确保结 构的稳定性和安全性，常常需要 使用平行线的概念来设计和建造 支撑结构。
平行线在生产实践中的应用
机械制造
在机械制造中，为了确保机器的精确 度和稳定性，需要使用平行线的概念 来制造和校准机器部件。
电子设备
在电子设备中，平行线被广泛应用于 电路板的布线和元件的排列，以确保 电流的稳定传输和元件的正常工作。
平行线在几何证明中的应用
平行线的判定定理
通过平行线的性质和判定定理，可以证明两条直线是否平行，从而解决一些几何证明问题。
平行线在几何证明中的重要性
平行线是几何证明中的重要工具，通过平行线可以推导出许多重要的几何结论，如角平分线定理、勾股定理等。
平行线在日常生活中的应用
道路规划
在道路规划中，为了确保车辆行 驶的安全和顺畅，需要确保道路 的平直和方向的一致性。平行线 的概念在这里发挥了重要作用。
同旁内角可以判定两条直线平行 。
详细描述
根据平行线的性质，如果两条直线被第三条 直线所截，且同旁内角互补，则这两条直线 平行。可以通过反证法证明这一点，假设两 条直线不平行，则它们相交于一点，由此产 生的同旁内角不互补，与已知条件矛盾，因 此假设不成立，原命题成立。
内错角相等判定法的证明
总结词
通过内错角相等，可以判定两条直线平 行。
VS
详细描述
根据平行线的性质，如果两条直线被第三 条直线所截，且内错角相等，则这两条直 线平行。可以通过相似三角形的性质进行 证明，设两直线分别为AB和CD，交于点 E，若内错角相等，则△ADE与△CBE相似 ，从而AB与CD平行。
同旁内角互补判定法
总结词
当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。
在建筑结构设计中，为了确保结 构的稳定性和安全性，常常需要 使用平行线的概念来设计和建造 支撑结构。
平行线在生产实践中的应用
机械制造
在机械制造中，为了确保机器的精确 度和稳定性，需要使用平行线的概念 来制造和校准机器部件。
电子设备
在电子设备中，平行线被广泛应用于 电路板的布线和元件的排列，以确保 电流的稳定传输和元件的正常工作。
平行线在几何证明中的应用
平行线的判定定理
通过平行线的性质和判定定理，可以证明两条直线是否平行，从而解决一些几何证明问题。
平行线在几何证明中的重要性
平行线是几何证明中的重要工具，通过平行线可以推导出许多重要的几何结论，如角平分线定理、勾股定理等。
平行线在日常生活中的应用
道路规划
在道路规划中，为了确保车辆行 驶的安全和顺畅，需要确保道路 的平直和方向的一致性。平行线 的概念在这里发挥了重要作用。
同旁内角可以判定两条直线平行 。
详细描述
根据平行线的性质，如果两条直线被第三条 直线所截，且同旁内角互补，则这两条直线 平行。可以通过反证法证明这一点，假设两 条直线不平行，则它们相交于一点，由此产 生的同旁内角不互补，与已知条件矛盾，因 此假设不成立，原命题成立。
内错角相等判定法的证明
总结词
通过内错角相等，可以判定两条直线平 行。
VS
详细描述
根据平行线的性质，如果两条直线被第三 条直线所截，且内错角相等，则这两条直 线平行。可以通过相似三角形的性质进行 证明，设两直线分别为AB和CD，交于点 E，若内错角相等，则△ADE与△CBE相似 ，从而AB与CD平行。
同旁内角互补判定法
总结词
当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。
平行线的判定(第2课时)课件
复习回顾
问题 前面我们学了平行线的哪些判定方法？ 平行于同一条直线的两条直线平行. 同位角相等，两直线平行.
思考 还有其他判定两条直线平行的方法吗？
新知探究
思考
如图，已知∠1=∠2，AB与CD平行吗？为什么？ E ∠1 =∠2(已知)，
∠2 =∠3(对顶角相等)，
C
D
∠1 =∠3.
AB∥CD
A
B
解：因为∠1 = ∠2 (对顶角相等)， ∠1+∠2 = 90° (已知)，
A
C
所以∠1 = ∠2 = 45°. 因为∠3 = 45° (已知)，
3
1
2
所以∠ 2 =∠3.
B
D
所以 AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
巩固练习
6. 如图，已知∠1 = ∠3，AC 平分∠DAB，你能判定 哪两条直线平行？请说明理由？
(同位角相等，两直线平行).
F
要点归纳
平行线的判定方法2
两条直线被第三条直线所截 ，如果内错角相等， 那么
这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行.
几何 语言
∠1=∠2，
AB∥CD.
(内错角相等，两直线平行)
E
C
D
2
A
1
B
F
新知探究
思考
如图，已知∠1+∠2=180°，AB与CD平行吗？为什么？
4.4 平行线的判定
第2课时 平行线的判定方法 2，3
湘教版数学七年级下册
教学目标
1.使学生掌握利用内错角、同旁内角判定两直线平行的判定方法. 2.能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算. 3.经历视察、操作、想象、估计、交流等活动，体会利用操作、归纳等方法获 得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理的表达能力. 4.使学生在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切 联系. 【教学重点】会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平 行”的判定方法. 【教学难点】会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平 行”的判定方法.
《平行线的判定定理》课件
平行线的同旁内角互补定理
总结词
同旁内角互补是判断两直线平行的关键条件。
详细描述
当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。具体来 说，如果同旁内角之和等于180度，则这两条直线平行。
平行线的内错角相等定理
总结词
内错角相等是判断两直线平行的又一 重要条件。
详细描述
当两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等，则这两条直线平行。具 体来说，如果内错角相等，则这两条 直线平行。
平行线表示方法
用“//”表示两条直线平行。
平行线性质符号表示
同位角相等（∠1=∠2），内错角相等（∠3=∠4），同旁内角互补（ ∠5+∠6=180°）。
平行线的性质
平行线的性质
同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补。
平行线性质的应用
证明两直线平行、计算角度大小、解 决几何问题。
02
平行线的判定定理
键之一。
04
练习题与解析
基础练习题
01
基础练习题1：题目1 、2、3
02
基础练习题2：题目4 、5、6
03
基础练习题3：题目7 、8、9
进阶练习题
1 2
3
进阶练习题1
题目10、11、12
进阶练习题2
题目13、14、15
进阶练习题3
题目16、17、18
综合练习题
综合练习题1 综合练习题2 综合练习题3
题。
角的度量与计算
02
介绍角的度量单位和方法，以及如何进行角的计算。
复习与巩固
03
对本单元所学知识进行复习巩固，强化学生对平行线和相交线
知识的掌握。
THANKS
平行线的判定优质课件ppt
a
b
l
2
1
3
已知直线a，b被l所截，如图，∠1=110°，∠2=70°。试判断a与b是否平行.并说明理由.
平行线判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
符号表示：∵∠1+∠2=180° ∴a∥b
教材P172读一读
推理
归纳推理
演绎推理
一般
特殊
特殊
一般
A
B
D
C
例2：在四边形ABCD中，∠B=50°，∠C=130°，AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？
如图，在同一平面内，直线CD、EF均与直线AB垂直，D、F为垂足。试判断CD与EF是否平行。
A
B
D
F
C
E
平行线判定方法四列解答中，填上适当的理由：（1）∵∠B=∠1（已知）∴AD∥BC（ ）（2）∵∠D=∠1（已知）∴AB∥CD（ ）
1
2
l
a
b
随堂练习1：已知直线a，b被l所截，如图，∠1＝50°，∠2＝50°，试判断直线a与b是否平行.并说明理由.
∵ ∠1＝50°，∠2＝50° （已知）
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）
随堂练习2：已知直线a，b被l所截，如图，∠1＝45°，∠2＝135°，试判断直线a与b是否平行.并说明理由.
对
对
错
错
已知直线a，b被l所截，如图，∠2=∠3，试判断直线a与b是否平行.并说明理由.
2
∵ ∠2=∠3， ∠1与∠3是对顶角（已知） ∴∠1=∠3
（对顶角相等）
∴ ∠1=∠2
（等量代换）
∴ a∥b
（同位角相等，两直线平行）
2
平行线判定方法二：内错角相等，两直线平行
b
l
2
1
3
已知直线a，b被l所截，如图，∠1=110°，∠2=70°。试判断a与b是否平行.并说明理由.
平行线判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
符号表示：∵∠1+∠2=180° ∴a∥b
教材P172读一读
推理
归纳推理
演绎推理
一般
特殊
特殊
一般
A
B
D
C
例2：在四边形ABCD中，∠B=50°，∠C=130°，AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？
如图，在同一平面内，直线CD、EF均与直线AB垂直，D、F为垂足。试判断CD与EF是否平行。
A
B
D
F
C
E
平行线判定方法四列解答中，填上适当的理由：（1）∵∠B=∠1（已知）∴AD∥BC（ ）（2）∵∠D=∠1（已知）∴AB∥CD（ ）
1
2
l
a
b
随堂练习1：已知直线a，b被l所截，如图，∠1＝50°，∠2＝50°，试判断直线a与b是否平行.并说明理由.
∵ ∠1＝50°，∠2＝50° （已知）
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）
随堂练习2：已知直线a，b被l所截，如图，∠1＝45°，∠2＝135°，试判断直线a与b是否平行.并说明理由.
对
对
错
错
已知直线a，b被l所截，如图，∠2=∠3，试判断直线a与b是否平行.并说明理由.
2
∵ ∠2=∠3， ∠1与∠3是对顶角（已知） ∴∠1=∠3
（对顶角相等）
∴ ∠1=∠2
（等量代换）
∴ a∥b
（同位角相等，两直线平行）
2
平行线判定方法二：内错角相等，两直线平行
《平行线的判定定理》课件
《平行线的判定定理》 PPT课件
欢迎来到《平行线的判定定理》的PPT课件！在本课程中，我们将深入探讨两 条直线平行的判定定理，帮助您更好地理解和应用这一重要概念。
平行线的定义
1 什么是平行线？
2 为什么平行线很重要？
平行线是指在同一个平面内永不相交的两条 直线。它们具有相同的斜率，但不会有交点。
平行线在几何学和实际应用中扮演着重要角 色，如测量、建筑设计、电路布局等。
如何利用距离测量判断两条直线 是否平行？
常见错误和易混淆概念
1 错误：角度相等就一定是平行线吗？
不一定。平行线的角度可以相等行线有什么区别？
垂直线是相互交叉、形成直角的线，而平行线在同一个平面内永不相交。
结论及提出问题
通过本课件，您已经掌握了《平行线的判定定理》的重要概念和应用方法。接下来，您可以思考以下问题： 1. 在日常生活中，你能想到哪些使用平行线的例子？ 2. 是否存在一个平行线的判定定理三？如果有，请尝试提出一个并推理其正确性。
具体方法
1. 画出所给直线及其上的一点。 2. 过该点作与直线垂直的线段。 3. 判断垂直线段是否与另一直线重合。
实例应用
这一方法在地图制作和导航系统中很常见，用于判断公路或铁路是否平行。
相关例题
例题 1
给定两条直线，如何判定它们是 否平行？
例题 2
如何利用角度测量判断两条直线 是否平行？
例题 3
平行线判定定理一
1
具体步骤
2
1. 画出所给直线。
2. 判断给定角的性质。
3. 如果对应角、内错角或同位角等均相
3
等，则两直线平行。
定理一介绍
通过角的性质判定两条直线是否平行。
实际应用举例
欢迎来到《平行线的判定定理》的PPT课件！在本课程中，我们将深入探讨两 条直线平行的判定定理，帮助您更好地理解和应用这一重要概念。
平行线的定义
1 什么是平行线？
2 为什么平行线很重要？
平行线是指在同一个平面内永不相交的两条 直线。它们具有相同的斜率，但不会有交点。
平行线在几何学和实际应用中扮演着重要角 色，如测量、建筑设计、电路布局等。
如何利用距离测量判断两条直线 是否平行？
常见错误和易混淆概念
1 错误：角度相等就一定是平行线吗？
不一定。平行线的角度可以相等行线有什么区别？
垂直线是相互交叉、形成直角的线，而平行线在同一个平面内永不相交。
结论及提出问题
通过本课件，您已经掌握了《平行线的判定定理》的重要概念和应用方法。接下来，您可以思考以下问题： 1. 在日常生活中，你能想到哪些使用平行线的例子？ 2. 是否存在一个平行线的判定定理三？如果有，请尝试提出一个并推理其正确性。
具体方法
1. 画出所给直线及其上的一点。 2. 过该点作与直线垂直的线段。 3. 判断垂直线段是否与另一直线重合。
实例应用
这一方法在地图制作和导航系统中很常见，用于判断公路或铁路是否平行。
相关例题
例题 1
给定两条直线，如何判定它们是 否平行？
例题 2
如何利用角度测量判断两条直线 是否平行？
例题 3
平行线判定定理一
1
具体步骤
2
1. 画出所给直线。
2. 判断给定角的性质。
3. 如果对应角、内错角或同位角等均相
3
等，则两直线平行。
定理一介绍
通过角的性质判定两条直线是否平行。
实际应用举例
平行线的判定ppt课件
c
②符号语言：
a
1
如图，∵∠1+∠2=180°（已知），
b2
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
做一做
如图，利用两个全等的直角三角形板作出平行 线，请说说其中的道理.
一、放 二、靠
内错角相等 两直线平行
三、推
四、画
随堂练习
1.根据条件完成填空
C
F
1 3
① ∵ ∠1 =_∠_2___（已知）
∴ AB∥CE( 内错角相等，两) 直线平行
解:对边平行.因为α+β=180°， 所以对边平行.
αβ βα
课堂小结
平行线的判定方法
文字简述
符号语言
同位角相等， ∵_∠_1__=_∠_2__（已
两直线平行
知），∴a∥b
内错角相等， ∵_∠_3_=_∠__2__（已
两直线平行
知），∴a∥b
同旁内角互补， ∵__∠_2_+_∠__4_=_1_8_0_°__ 两直线平行 （已知），∴a∥b
a 1
b2
求证：a∥b.
已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，
且∠1+∠2=180°.
求证：a∥b.
c
方法一
a 1
证明：∵ ∠1+∠2=180°（已知），
b2
∠2+∠3=180°（补角的定义）， 3
∴ ∠1=∠3（同角的补角相等）.
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）.
已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，
在同一平面内，不相交的两条直线叫做
平行线.
平行线的定义
平行于同一直线的两条直线平行.
三角形的一边的平行线判定定理及其推论
三角形的一边的平行线判定定理及其推论好嘞，今天咱们来聊聊三角形和它的一边的平行线判定定理。
这听起来可能有点枯燥，不过别担心，我会尽量让它变得有趣，咱们就当是在喝茶聊天，轻松一下。
三角形，哎，这个小家伙，虽然形状简单，但在几何里可真是个大明星。
它有三个角、三条边，看似平常，但却隐藏了很多有趣的秘密。
说到平行线，这个词儿你肯定不陌生，生活中到处都是平行线，比如铁轨、马路两旁的树，咱们平时走路、开车都在和它们打交道。
啥是三角形的一边的平行线判定定理呢？想象一下，你有一个三角形，像个披萨切了三角形，感觉都饿了。
现在在这三角形的某一边，咱们要画一条平行线，这条线就得和三角形的一边保持平行。
根据这个定理，如果你能找到一个角的对边与这条平行线相交，哎，你会发现这个三角形的某个角和交点的角是相等的，真是个神奇的现象！就像在舞会上，两个人跳舞时，竟然有一个神秘的默契，动作一模一样。
这个小小的定理告诉我们，平行线和三角形之间的关系其实是非常亲密的。
再说说这个定理的推论，听起来好像很高深，其实不然。
咱们看看，平行线有啥妙用。
比如，在生活中设计房子，建筑师经常得用到这些原理。
他们在画图时，得确保墙壁、窗户和楼梯的设计是多么的和谐，跟平行线就有着密不可分的联系。
你说，这能不重要吗？设计一个好房子，简直就像造一个美丽的梦，谁不想住得舒服呢？再举个例子，咱们在学校学几何的时候，老师总是让我们找角、找边，甚至让我们画图。
每次拿起尺子，哎呀，心里就会想，能不能一次性把这个图画得漂亮些。
掌握了平行线的定理，画三角形就像骑自行车一样，越骑越顺手。
你会发现，只要你能找到平行线和三角形的那些联系，画图再也不会是个麻烦事。
如果说生活是一本书，那么几何就像是其中的一章，虽然有点难懂，但只要细细品味，里面的智慧和乐趣就会慢慢显露。
三角形的一边的平行线判定定理，虽然简单，却在不知不觉中教会我们许多道理。
比如，平行线代表着一种稳定和平衡的状态，就像人际关系中那些相互理解的朋友，总是在一条线上，互不干扰却又相互支持。
《平行线判定》课件
03
如果两条直线都与第三 条直线相交且被截线段 相等，那么这两条直线 互相平行。
04
如果两条直线都与第三 条直线相交且被截线段 成比例，那么这两条直 线互相平行。
进阶练习题
进阶题目1： 下列说法中正确的是（） 如果同位角相等，那么这两条直线平行。
如果内错角相等，那么这两条直线平行。
进阶练习题
如果同旁内角互补，那么这两 条直线平行。
两条直线平行，被第三条直线所截， 同位角相等。
基础练习题
两条直线平行，被第三条直线所 截，同旁内角互补。
基础题目2： 下列说法中正确的 是（）
如果两条直线都与第三条直线平 行，那么这两条直线互相平行。来自基础练习题01
如果两条直线都与第三 条直线垂直，那么这两 条直线互相平行。
02
如果两条直线都与第三 条直线相交，那么这两 条直线互相平行。
04
练习题与答案
基础练习题
基础题目1： 下列说 法中正确的是（）
两条直线被第三条直 线所截，如果内错角 相等，那么这两条直 线平行。
两条直线被第三条直 线所截，如果同位角 相等，那么这两条直 线平行。
基础练习题
两条直线被第三条直线所截，如果同 旁内角互补，那么这两条直线平行。
两条直线平行，被第三条直线所截， 内错角相等。
平行线的符号定义
平行线的符号定义
用平行符号“//”表示两条直线平行，例如直线AB与直线CD平行，可以表示 为AB // CD。
平行线在几何作图中的应用
在几何作图中，平行线是常用的基本图形元素之一，它们在解决几何问题中具 有重要的作用。
平行线的性质
平行线的性质
平行线具有同位角相等、内错角相等 、同旁内角互补等性质。这些性质是 平行线的基本性质，也是解决几何问 题的重要依据。
24.3(3)三角形一边的平行线
E F
CDAM源自B4.已知：DE是△ABC中∠A的外角平分线， 已知： 是 的外角平分线， 已知 中 的外角平分线 BD⊥DE， CE⊥DE ，BE、CD交于 ⊥ ， 交于F ⊥ 、 交于 求证： ∥ 求证：AF∥DB
G E
D B
A F
C
5.如图，点O是△ABC的中线 上任意一点， 如图， 的中线AD上任意一点 如图 是 的中线 上任意一点， CO、BO的延长线分别交 、AC于点 、F， 的延长线分别交AB、 于点 于点E、 ， 、 的延长线分别交 联结EF，求证： 联结 ，求证：EF//BC.
B
DB EC 下 下 Q = = AB AC 全 全
∴ DE ∥BC
2.三角形一边的平行线的判定定理的推论 2.三角形一边的平行线的判定定理的推论
如果一条直线截三角形的两边的延 长线( 长线(这两边的延长线在第三边 的 同侧),所得的对应线段成比例， ),所得的对应线段成比例 同侧),所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边. 么这条直线平行于三角形的第三边.
A
D B
E C
AD AE Q = DB EC ∴ DE ∥BC
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为 的圆 与 如图， 半径为1的圆 如图 △ 中 ＝ ° 半径为 的圆A与 相交于点D，与边AC相交于点 相交于点E，连结DE并延长 并延长， 边AB相交于点 ，与边 相交于点 ，连结 并延长， 相交于点 与线段BC的延长线交于点 的延长线交于点P. 与线段 的延长线交于点 的正切值； （2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值； ） ， ， 的正切值
●
B D
G
C
问题一
“平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线， 平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线， 平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线 所得的对应线段成比例”有没有逆定理？ 所得的对应线段成比例”有没有逆定理？ 逆命题： 逆命题：如果一条直线截三角形的两边 所得的对应线段成比例， 所得的对应线段成比例，那么
CDAM源自B4.已知：DE是△ABC中∠A的外角平分线， 已知： 是 的外角平分线， 已知 中 的外角平分线 BD⊥DE， CE⊥DE ，BE、CD交于 ⊥ ， 交于F ⊥ 、 交于 求证： ∥ 求证：AF∥DB
G E
D B
A F
C
5.如图，点O是△ABC的中线 上任意一点， 如图， 的中线AD上任意一点 如图 是 的中线 上任意一点， CO、BO的延长线分别交 、AC于点 、F， 的延长线分别交AB、 于点 于点E、 ， 、 的延长线分别交 联结EF，求证： 联结 ，求证：EF//BC.
B
DB EC 下 下 Q = = AB AC 全 全
∴ DE ∥BC
2.三角形一边的平行线的判定定理的推论 2.三角形一边的平行线的判定定理的推论
如果一条直线截三角形的两边的延 长线( 长线(这两边的延长线在第三边 的 同侧),所得的对应线段成比例， ),所得的对应线段成比例 同侧),所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边. 么这条直线平行于三角形的第三边.
A
D B
E C
AD AE Q = DB EC ∴ DE ∥BC
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为 的圆 与 如图， 半径为1的圆 如图 △ 中 ＝ ° 半径为 的圆A与 相交于点D，与边AC相交于点 相交于点E，连结DE并延长 并延长， 边AB相交于点 ，与边 相交于点 ，连结 并延长， 相交于点 与线段BC的延长线交于点 的延长线交于点P. 与线段 的延长线交于点 的正切值； （2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值； ） ， ， 的正切值
●
B D
G
C
问题一
“平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线， 平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线， 平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线 所得的对应线段成比例”有没有逆定理？ 所得的对应线段成比例”有没有逆定理？ 逆命题： 逆命题：如果一条直线截三角形的两边 所得的对应线段成比例， 所得的对应线段成比例，那么
平行线的判定及性质课件
05
总结与展望
总结
01
02
03
04
05
直线平行的定义
直线平行的判定 方法
直线平行的性质
平行线在实际生 活中的应用
平行线在数学中 的地位
在同一平面内，不相交的 两条直线叫做平行线。
同位角相等，两直线平行 ；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直 线平行。
两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相 等；两直线平行，同旁内 角互补。
在几何图形中，平行线具 有非常重要的应用价值， 如矩形、菱形、正方形等 都有平行线的性质。
平行线是数学几何学中的 重要概念之一，是研究平 面图形性质的基础之一。 掌握平行线的判定方法和 性质对于学习数学几何学 非常重要。
展望
进一步探索平行线的性质
加强实际应用
除了已经学习的平行线的基本性质外，还 有许多复杂的性质和定理，值得进一步探 索和学习。
详细描述
在制造业中，机器人使用平行线来定位和移动物体，进行高效和精确的生产操作。例如 ，在汽车制造中，机器人通过使用平行线来定位和抓取车辆部件，以提高生产效率和质 量。在医疗领域，手术机器人使用平行线来精确控制手术器械，提高手术的准确性和安
全性。
04
平行线在数学问题中 的应用
代数中与平行线相关的知识点
在道路交通中，平行线是确保车辆安全行驶的重要标志。它们被用来划分车道、标识道路边缘以及引 导驾驶员在正确的车道上行驶。在高速公路上，平行线被用来表示应急车道和车道分隔线，帮助驾驶 员在紧急情况下做出正确的反应。
机器人在工作中的应用
总结词
机器人广泛应用于生产制造、医疗服务和军事等领域，平行线在机器人的工作中发挥着 重要作用。
三角形一边的平行线的判定
三角形一边的平行线的判定说起三角形一边的平行线判定，这事儿得从我那会儿上学讲起。
那时候，数学课本上的定理、判定，对我而言，那都是一个个等着我去征服的小山丘。
特别是几何，那简直就是一场场思维的迷宫探险。
记得有一回，数学老师是个戴着眼镜，表情总是很严肃的老头儿，他站在讲台上，手里拿着粉笔，一边在黑板上画出一个又一个的三角形，一边嘴里念叨着：“同学们，今天我们来学习三角形一边的平行线的判定。
”我当时心里就嘀咕，这判定有啥难的？不就是画条线，然后瞅瞅它跟三角形那一边是不是平行嘛。
可老师接下来的讲解，却让我发现，这事儿远没那么简单。
“首先，我们要明确一点，平行线啊，那可是永远不会相交的两条直线。
”老师推了推眼镜，继续说，“那么，如何判定一条直线是三角形一边的平行线呢？这里有个重要的定理，叫做平行线的判定定理。
”老师开始在黑板上写下定理的内容，什么“同位角相等，两直线平行”之类的。
我盯着那些文字和数字，心里却在想，这定理听起来怎么这么绕口啊？不过，我还是硬着头皮，努力去理解。
下课后，我特意留下来，找老师问了几个问题。
老师耐心地给我解答，还拿了个尺子，在练习本上画了一个又一个的图形，一边画一边讲解。
“你看，这个角和这个角，它们是同位角，如果它们相等，那么这两条直线就是平行的。
”老师指着图形，说得很认真。
我恍然大悟，原来判定平行线，还得先找出同位角，看看它们是不是相等。
这可真是个考验眼力和耐心的事儿啊！从那以后，我就对几何产生了浓厚的兴趣。
每次做题，我都会特别留意那些同位角，看看它们是不是相等，然后再判断两条直线是不是平行。
有一次，我在家里做练习题，遇到了一道难题。
那道题给出一个三角形，然后让我在三角形外面画一条直线，要求这条直线与三角形的一边平行。
我盯着那道题，左思右想，还是找不到解题思路。
就在这时，我突然想起老师在课堂上讲过的判定定理，心里一亮，赶紧拿起笔，在草稿纸上画了起来。
我先找出三角形的那个角，然后在三角形外面画了一条直线，再在这条直线上找出一个角，让它与三角形的那个角成为同位角。
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三角形一边的 平行线的判定
“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的 对应线段成比例”有没有逆定理？ 逆命题：如果一条直线截三角形的两边
A
所得的对应线段成比例，那么
这条直线平行于三角形的第三边 AD AE 已知： DB EC 求证： DE∥BC
C
D E 已知： AB AC
BD⊥DE， CE⊥DE ，BE、CD交于F 求证：AF∥DB
G E E
D B
A F
C
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延 长线）所得到的对应线段成比例，那么这条 直线平行于三角形的第三边。
A
D B
E C
AD AE DB EC DE ∥BC
已知：M为AB中点，AB∥CD， 联结 AC，MD并延长交于点F，联结BD， MC并延长交于点E，联结EF
求证：EF∥AB
E F
C
D
A
M
B
已知：△ABC中，E、G是BC边上的点，
BE = CG，GF∥AC， DE∥AB 求证：DF∥BC
A F D
B
E
G
C
已知：DE是△ABC中∠A的外角平分线，
DE ∥BC
问题四
AD DE 若 那么 DE∥BC吗？ AB BC
A E'
A
D B
E C
B
D
E C
PB PD 已知：MC∥ND， AB CD
求证：BN∥AM
M N A
B
C D
P
已知：A、C、E和B、F、D分别是∠O
两边上的点且AB∥ED， BC∥EF 求证：AF∥CD
E C A O B F D
求证： DE∥BC
D B
E C
问题二
AB AC 已知： AD AE
A
求证： DE∥BC
B D
C E
问题三
AD AE 已知： AB AC
求证： DE∥BC
E D
A
M
N
B
C
三角形一边的平行线的判定 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延 长线）所得到的对应线段成比例，那么这条 直线平行于三角形的第三边。 A AD AE DB EC DB EC AB AC DE ∥BC DE ∥BC D E AD AE AB AC C B
“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的 对应线段成比例”有没有逆定理？ 逆命题：如果一条直线截三角形的两边
A
所得的对应线段成比例，那么
这条直线平行于三角形的第三边 AD AE 已知： DB EC 求证： DE∥BC
C
D E 已知： AB AC
BD⊥DE， CE⊥DE ，BE、CD交于F 求证：AF∥DB
G E E
D B
A F
C
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延 长线）所得到的对应线段成比例，那么这条 直线平行于三角形的第三边。
A
D B
E C
AD AE DB EC DE ∥BC
已知：M为AB中点，AB∥CD， 联结 AC，MD并延长交于点F，联结BD， MC并延长交于点E，联结EF
求证：EF∥AB
E F
C
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A
M
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已知：△ABC中，E、G是BC边上的点，
BE = CG，GF∥AC， DE∥AB 求证：DF∥BC
A F D
B
E
G
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已知：DE是△ABC中∠A的外角平分线，
DE ∥BC
问题四
AD DE 若 那么 DE∥BC吗？ AB BC
A E'
A
D B
E C
B
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E C
PB PD 已知：MC∥ND， AB CD
求证：BN∥AM
M N A
B
C D
P
已知：A、C、E和B、F、D分别是∠O
两边上的点且AB∥ED， BC∥EF 求证：AF∥CD
E C A O B F D
求证： DE∥BC
D B
E C
问题二
AB AC 已知： AD AE
A
求证： DE∥BC
B D
C E
问题三
AD AE 已知： AB AC
求证： DE∥BC
E D
A
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C
三角形一边的平行线的判定 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延 长线）所得到的对应线段成比例，那么这条 直线平行于三角形的第三边。 A AD AE DB EC DB EC AB AC DE ∥BC DE ∥BC D E AD AE AB AC C B