高三数学2002届综合复习试题(一)
2002年高三数学质量检测试题(一)(附答案)
2002年高三数学质量检测试题（一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至8页。
满分150分，考试时间120分钟。
题号 一 二 三 总分（17） （18） （19） （20） （21） （22）得分（1）三角函数的和差化积公式2cos 2sin2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin2cos 2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ 2cos 2cos 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin2sin 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ （2）正棱台、圆台的侧面积公式l )c 'c (21S +=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜面高或母线长。
（3）台体的体积公式h )S S 'S 'S (31V ++=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 是高。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．在第Ⅰ卷的密封线内填写地（市）、县（市）、学校、班级、姓名、学号（或考号）。
题号 (1)(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）如图1，I 是全集，I M ⊂，I N ⊂，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．N MB ．N MC ．N MD ．N M（2）过点P （1，2）的直线交圆9y )2x (22=+-于两点A 、B ，若点P 是弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ）A ．2x+y+3=0B ．2x-y-3=0C ．x+2y-4=0D ．x-2y+3=0（3）空间四条直线a 、b 、c 、d ，其中a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么a 与b ，c 与d 这两对（ ）A ．都平行B ．都不平行C ．至少有一对平行D ．至多有一对平行（4）设函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=0)x (-1 x -1)x (0 x )x (f 2，则其反函数的图象为（ ）（5）等差数列{}n a 中，15a a a 321=++，)3n (78a a a n 1n 2n >=++--，155S n =，则n 为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11（6）（理）在极坐标系中，曲线22=ρ与直线2cos =θρ之间的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 （文）已知∈（0，2π），使sin α+cos α<0的角α的取值范围为（ ）A ．)23,(ππB ．)47,23(),43(ππππC ．)47,43(ππD ．)2,0(π（7）有如下四个命题：①若函数)3k x sin(2y π+=的周期为2π，则k=1；②函数)x 3cos()x 3cos(y -π++π=是偶函数；③函数x 2sin 2y =在]2,0[π上是增函数；④函数x cos 3x sin y -=的最大值是2。
2002年普通高等学校招生全国统一考试(数学)理含答案
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
2002 年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分．第 I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3 至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
互相垂直 点 新疆 王新敞
奎屯
M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM = BN = a
C
（0 a 2）
D
（1）求 MN 的长；
P
M
（2） a 为何值时， MN 的长最小；
Q
（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角 的
B
E
大小 新疆 王新敞 奎屯
2
4
当 a 1 ，则函数 f (x) 在 (−, a] 上单调递减，从而函数 f (x) 在 (−, a] 上的最小值为 2
f (a) = a2 +1．
若 a 1 ，则函数 f (x) 在 (−, a]上的最小值为 f (1) = 3 + a ，且 f (1) f (a) ．
2
24
2
（ii）当 x a 时，函数 f (x) = x2 + x − a +1 = (x + 1)2 − a + 3
2002年高考.全国卷.理科数学试题及答案
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线3y x =的距离是 （A ）21 （B ）23 （C ）1 （D ）3 （2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k（15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos-=πα （19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a n k k n k k nk k。
2002届高三期末考试数学试题.doc
启东市汇龙中学2002届高三期末考试数学试题2002.2 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1、下面表示同一个集合的是：（ ） A 、M=｛（1，2）｝，N=｛（2，1）｝ B 、M=｛1，2｝，N=｛（1，2）｝C 、M=Φ，N=｛Φ｝D 、M=｛x|x 2-3x+2=0,x ∈R ｝，N=｛1,2｝2、某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：T （t ）=t 3-3t+60，时间单位是小时，温度单位 为摄氏度，t=0表示中午12：00，其后t 取值为正，则下午3时的温度为（ ）摄氏度。
A 、8 B 、78 C 、112 D 、183、（a-b ）n(n ∈N)展开式中，第r 项的二项式系数为：（ ） A 、C nr B 、Cnr 1- C 、(-1)rCnr 1- D 、（-1）r-1Cnr 1-4、直线l 经过A （2,1），B （1，m 2）（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角的取值范围是：（ ） A 、[)π,0 B 、[0，4π]∪（2π，π） C 、[0，4π] D 、[0，4π]∪[2π，)π5、把函数y=Cos(x+34π)的图象向右平移ψ的绝对值个单位，所得图象关于y 轴对称，则ψ的最小正值是：（ ） D1 F C1 A 、6π B 、3πC 、32πD 、34π E6、如图平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为V ，E 、F 分别是 A1 B1B 1C 1、C 1D 1的中点，则几何体CBD-C 1EF 的体积等于： A 、247V B 、41V D C C 、1223+V D 、85V A B 7、设S n 为等差数列｛a n ｝前n 项和，a 5=2，a n-4=30（n ≥5），S n =336,，则n 的值是：（ ）A 、16B 、21C 、9D 、88、等式tg （α+β）=52，tg （β-4π）=41，则tg （α+4π）等于： A 、1813 B 、223 C 、2213 D 、1839、若函数y=21log (2-log 2 x)的值域为（-∞,0）,则它的定义域是：（ ）A 、x<2B 、0<x<2C 、0<x<4D 、2<x<4 10、设偶函数f(x)=log a |x-b|在（一∞，0）上递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是：（ ） A 、f(a+1)=f(b+2) B 、f(a+1)>f(b+2) C 、f(a+1)<f(b+2) D 、大小关系不确定11、某次数学竞赛共有5道选择题，评分方法是每题答对给4分，不答给0分，答错给-1分，设这次竞赛至多有n 种可能的成绩，则n 应等于：（ ） A 、19 B 、20 C 、21 D 、2212、如图将两邻边分别为a 、b 的矩形，按图中实线折迭剪截而折成正四棱锥，则b a的取值范围是：（ ） A 、（0、21） B 、（21、1）C 、（0、1）D 、（0、2）二、填空题：（每小题4分，共16分） 13、等腰三角形顶角的正弦为2524，则底角的余弦值为 14、圆（x+1）2+（y+2）2=R 2，（R>0）上到直线x+y+1=0的距离为1的点恰有两个，则R的取值范围是 。
北京市东城区2002届高三文科数学一模试题
北京市东城区2002年高三总复习练习一数学（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷 （选择题共60分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ， 2sin2cos 2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ， 2cos2cos 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ， 2sin2sin 2cos cos ϕ-θϕ+θ-=ϕ-θ， 正棱台、圆台的侧面积公式l )c 'c (21S +=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式h )S S 'S 'S (31V ++=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数轴上三点A 、B 、C 的坐标分别为2、3、5，则点C 分有向线段AB 所成的比为 A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．函数1x 2y +=的反函数为A ．)1x (log y 2-=（x>1）B ．)1x (log y 2+=（x>-1）C ．1x log y 2-=（x>0）D ．1x log y 2+=（x>0） 3．若数列}a {n 的前n 项和公式为)1n (log S 3n +=，则5a 等于 A ．6log 5 B ．56log 3C ．6log 3D ．5log 3 4．设3x 4)1x (6)1x (4)1x (S 234-+-+-+-=，则S 等于 A ．4x B ．1x 4+ C ．4)2x (- D ．4x 4+ 5．函数y=cos(x-1)图象的一个对称中心的坐标是（ ） A ．)0 12(，+πB ．)0 12(，-πC ．（π+1，0） D ．（π-1，0） 6．两圆04y x 0y 2y x 2222=-+=-+与的位置关系是A ．相交B ．内切C ．外切D ．内含7．已知圆台的轴截面是上、下底边长分别为2和4，底角为60°的等腰梯形，则圆台侧面展开图的面积为A ．24πB ．8πC ．6πD ．3π8．已知图①中的图象对应的函数为y=f(x)，则图②中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是A ．y=f(|x|)B ．y=|f(x)|C ．y=f(-|x|)D ．y=-f(|x|)9．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为2，则它的一条侧棱1AA 与截面B B DD 11所成角的正弦值为 A ．21B ．22C ．23 D ．26 10．已知)23(41sin ππ∈α-=α，，，)223(54cos ππ∈β=β，，，则α+β是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 11．如图，已知多面体ABC-DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，平面ABC//平面DEFG ，平面BEF//平面ADGC ，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．812．椭圆1by a x 2222=+（a>b>0）的半焦距为c ，若直线y=2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为 A ．222- B ．2122- C ．13- D ．12-第II 卷（非选择题共90分） 注意事项：1．第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2002届高三期末考试数学试题
启东市汇龙中学2002届高三期末考试数学试题2002.2 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1、下面表示同一个集合的是：（ ） A 、M=｛（1，2）｝，N=｛（2，1）｝ B 、M=｛1，2｝，N=｛（1，2）｝C 、M=Φ，N=｛Φ｝D 、M=｛x|x 2-3x+2=0,x ∈R ｝，N=｛1,2｝2、某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：T （t ）=t 3-3t+60，时间单位是小时，温度单位 为摄氏度，t=0表示中午12：00，其后t 取值为正，则下午3时的温度为（ ）摄氏度。
A 、8 B 、78 C 、112 D 、183、（a-b ）n(n ∈N)展开式中，第r 项的二项式系数为：（ ） A 、C nr B 、Cnr 1- C 、(-1)rCnr 1- D 、（-1）r-1Cnr 1-4、直线l 经过A （2,1），B （1，m 2）（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角的取值范围是：（ ） A 、[)π,0 B 、[0，4π]∪（2π，π） C 、[0，4π] D 、[0，4π]∪[2π，)π5、把函数y=Cos(x+34π)的图象向右平移ψ的绝对值个单位，所得图象关于y 轴对称，则ψ的最小正值是：（ ） D1 F C1 A 、6π B 、3πC 、32πD 、34π E6、如图平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为V ，E 、F 分别是 A1 B1B 1C 1、C 1D 1的中点，则几何体CBD-C 1EF 的体积等于： A 、247V B 、41V D C C 、1223+V D 、85V A B 7、设S n 为等差数列｛a n ｝前n 项和，a 5=2，a n-4=30（n ≥5），S n =336,，则n 的值是：（ ）A 、16B 、21C 、9D 、88、等式tg （α+β）=52，tg （β-4π）=41，则tg （α+4π）等于： A 、1813 B 、223 C 、2213 D 、1839、若函数y=21log (2-log 2 x)的值域为（-∞,0）,则它的定义域是：（ ）A 、x<2B 、0<x<2C 、0<x<4D 、2<x<4 10、设偶函数f(x)=log a |x-b|在（一∞，0）上递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是：（ ） A 、f(a+1)=f(b+2) B 、f(a+1)>f(b+2) C 、f(a+1)<f(b+2) D 、大小关系不确定11、某次数学竞赛共有5道选择题，评分方法是每题答对给4分，不答给0分，答错给-1分，设这次竞赛至多有n 种可能的成绩，则n 应等于：（ ） A 、19 B 、20 C 、21 D 、2212、如图将两邻边分别为a 、b 的矩形，按图中实线折迭剪截而折成正四棱锥，则b a的取值范围是：（ ） A 、（0、21） B 、（21、1）C 、（0、1）D 、（0、2）二、填空题：（每小题4分，共16分） 13、等腰三角形顶角的正弦为2524，则底角的余弦值为 14、圆（x+1）2+（y+2）2=R 2，（R>0）上到直线x+y+1=0的距离为1的点恰有两个，则R的取值范围是 。
2002年高考数学试题(江苏卷)及答案
A 2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数xxx f cos 2sin )(=的最小正周期是（ ）。
A.2πB. πC. π2D. π4 （2）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ）。
A.21B. 23C. 1D. 3（3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A. }10|{<≤x xB. }10|{-≠<x x x 且C. }11|{<<-x xD. }11|{-≠<x x x 且 （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）A. )45,()2,4(ππππ⋃B. ),4(ππC. )45,4(ππD. )23,45(),4(ππππ⋃（5）设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ）A. N M =B. N M ⊂C. N M ⊃D. φ=N M（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。
A.43 B. 54 C. 53 D. 53- （7）函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B. a+b=0C. a=bD. 022=+b a （8）已知10<<<<a y x ，则有（ ）。
A. 0)(log <xy aB. 1)(log 0<<xy aC. 2)(log 1<<xy aD.2)(log >xy a（9）函数111--=x yA. 在（+∞-,1）内单调递增B. 在（+∞-,1）内单调递减C. 在（+∞,1）内单调递增D. 在（+∞,1）内单调递减（10） 极坐标方程θρcos =与1cos =θρ（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2 A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“五十⋅”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“五十⋅”末，我国国内生产总值约为（ ）。
2002007学年下学期高三数学总复习综合试题理科
2006—2007学年度下学期山东省高三数学总复习综合试题（理科）第I 卷（选择题共40分）8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. i 1 -i 2等于A. 2-2i B.2+2i CA.ABC 中，已知 sinC=2sin(B+C)cosB,5.若指数函数f （x ） =a x （a ・0且a =1）的部分对应值如下表:则不等式f ■4(|x|)<0 的解集为 ()A . JT £X CB. J x < T 或 x > 1〉C. <x 0 <x D . & T ex cO 或0 ex6.有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有2x 2.已知（飞一―）xp6的展开式中，不含 x 的项是 20 20 ,那么正数p 的值是27等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形等边三角形 4.已知直线y =2x 上一点P 的横坐标为a ,有两个点 A （-1 ,1), B ( 3,3),那么使向量PA 与PB 夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是A. -1<a<2 B . 0<a<12:::a :::()D. 0<a<2、选择题：本大题共 那么 ABC 一定是3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或 不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 ()A. 10B. 48C. 60D. 807.设f(x)是定义在实数集 R 上的函数，满足f(0)=1，且对任意实数a,b 都有f(a) -f(a-b)= b(2a-b+1)，贝U f(x)的解析式可以为是 ()2 2A . f(x) =x x1 B. f(x) =x 2x 1 C. f(x) =x -x1D. f(x) =x-2x1&已知 玄｛是首项为1,公比为q 的等比数列，P n = a1 - a 2C n - a s C ； • a. .Q ：(n • N *, n ・2) , Q^C ° ■ C" ' C 4 ^1 - C ：m,(其中 m =2匸］,［t ］表示 t 的最大整数，2如［2.5］=2 ).如果数列!巴］有极限，那么公比q 的取值范围是 ()l Q n JA. —1：：：q_1,且 q=0 B. —1：：q ：：1,且 q=0C. -3：：qE1,且q=0D .一3 ：： q ：： 1 且q=0第n 卷(共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。
2002高考数学全国卷及答案理2002高考数学全国卷及答案理
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围聘进来的员工化学教案有两个星期的无薪试用期化学教案如果在这两个星期内的表现没有令老板满意化学教案（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；ADE（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形14.∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ） 21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--m y m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得 222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
陕西省2002届高三数学一模试题
2002年陕西省高三教学质量检测试题（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至8页。
满分150分，考试时间120分钟。
（1）三角函数的和差化积公式2cos 2sin2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin2cos 2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ 2cos 2cos 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin2sin 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ （2）正棱台、圆台的侧面积公式 l )c 'c (21S +=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜面高或母线长。
（3）台体的体积公式h )S S 'S 'S (31V ++=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 是高。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．在第Ⅰ卷的密封线内填写地（市）、县（市）、学校、班级、姓名、学号（或考号）。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）如图1，I 是全集，I M ⊂，I N ⊂，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．N MB ．N MC ．N MD ．N M（2）过点P （1，2）的直线交圆9y )2x (22=+-于两点A 、B ，若点P 是弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ）A ．2x+y+3=0B ．2x-y-3=0C ．x+2y-4=0D ．x-2y+3=0（3）空间四条直线a 、b 、c 、d ，其中a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么a 与b ，c 与d 这两对（ ）A ．都平行B ．都不平行C ．至少有一对平行D ．至多有一对平行（4）设函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=0)x (-1 x -1)x (0x )x (f 2，则其反函数的图象为（ ）（5）等差数列{}n a 中，15a a a 321=++，)3n (78a a a n 1n 2n >=++--，155S n =，则n 为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11（6）（理）在极坐标系中，曲线22=ρ与直线2cos =θρ之间的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 （文）已知∈（0，2π），使sin α+cos α<0的角α的取值范围为（ ）A ．)23,(ππB ．)47,23(),43(ππππC ．)47,43(ππD ．)2,0(π（7）有如下四个命题：①若函数)3k x sin(2y π+=的周期为2π，则k=1；②函数)x 3cos()x 3cos(y -π++π=是偶函数；③函数x 2sin 2y =在]2,0[π上是增函数；④函数x cos 3x sin y -=的最大值是2。
北京东城区2002年高三总复习练习
北京市东城区2002年高三总复习练习（二）数学第一卷（选择题共60分）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式 2cos2sin2sin sin φθφθφθ-+=+ S 台侧=l c c )(21+'儿 2sin2cos 2sin sin φθφθφθ-+=- 其中c ′c 分别表示上、下底面周长， 2cos2cos 2cos cos φθφθφθ-+=+ l 表示斜高或母线长 2sin2sin 2cos cos φθφθφθ-+-=- 台体的体积公式：（其中S 、S 分别表示上、 下底面积，h 表示高）h S S S S V )(31+'+'=台体一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一项是符合题目要求的。
1． 若α角与β角的终边关于y 轴对称，则A ．)(2z k k ∈+=+ππβαB ．)(z k k ∈+=+ππβαC ．)(22z k k ∈+=+ππβα D ．)(2z k k ∈+=+ππβα2． 若圆锥的轴截面为直角三角形，则它的侧面展开图的圆心角为A ．2πB ．π2C ．23πD ．π3． 入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l ：y=x ，被直线l 反射后的光线所在直线的方程是A ． x+2y-3=0B ．x+2y+3=0C ．2x-y-3=0D ．2x-y+3=0 4． 已知211=+-ααtg tg ，则)4(πα+tg 的值是A ．2B ．-2C ．21D ．21- 5． 若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则A ．e 1+ e 2=1B ．11121=+e e C ．12221=+e e D ．1112221=+e e 6． 函数)1,1,0(||log =≠+=ab a a b x y a φ的图象只可能是7． 在极坐标系中，点A 在曲线上)4sin(2πθρ+=，点B 在曲线上1cos -=θρ，则|AB|的最小值是 A ．22B ．2C ．221-D ．12-8． 已知如图，∠C=90O ，AC=BC ，M 、N 分别为BC 和AB 的中点，沿直线MN 将△BMN折起，使二面角B ′—MN —B 为60O ，则斜线B ′A 与平面ABC 所成角的正切值为A ．52 B ．53 C ．54 D ．539． 已知θ为第二象限角，且2cos2sinθθπ，那么2cos2sinθθ+的取值范围是A ．（-1，0）B ．（1，2）C ．（-1，1）D ．（-2，-1） 10．已知函数y=f （x ）对任意实数都有f （-x ）=f （x ），f （x ）=-f （x+1），且在[0，1]上单调递减，则A ．（-1，0）B ．（1，2）C ．（-1，1）D ．（-2，-1） 11．小王打算用70元购买面值为20元和30元的两种IC 电话卡，若他至少买一张，则不同的买法一共有A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种 12．已知平面及以下三个几何体：①和宽、高皆不相等的长方体②底面为平行四边形但不是矩形和菱形的四棱锥 ③正四面体这三个几何体在平面上的射影可以是正方形的几何体是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第二卷（非选择题共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2002年全国卷高考理科数学试题与答案
2002 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 II 卷 (非选择题 ) 两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷 3至 9页．共 150分．考试时间 120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60 分 )一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第 I 卷 (选择题 ) 和第 II卷 (非选择题 )两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷3 至 9页．共 150 分．考试时间 120 分钟．（1）圆 ( x 1) 2y 21 的圆心到直线 y3x 的距离是3（A ）1（ B ） 3（C ）1（D ） 322（2）复数 (13 i )3 的值是22（A ） i（ B ） i （C ） 1（D ）1（3）不等式 (1 x)(1 | x |) 0 的解集是（A ） { x | 0 x 1}（ B ） { x | x 0 且 x 1}（C ） { x | 1 x 1}（ D ） { x | x 1且 x1}（4）在 (0,2 ) 内，使 sin x cosx 成立的 x 的取值范围是（A ）( ,2)( ,5)（B ） (, ) （C ） ( ,5)（D ）(,)(5,3) 4444 444 2（5）设集合 M { x | xk 1, k Z}，N{ x | xk 1,kZ} ，则2442（A ）MN（B ）MN（C ）MN（D ）MN（6）点 P(1,0) x t 2 R ）上的点的最短距离为到曲线（其中参数 ty2t（A ）0（B ） 1（C ） 2（D ）2（ 7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）3（B ）4（C ）3（D ）34555（8）正六棱柱ABCDEF A 1 B 1C 1 D 1E 1 F 1 的底面边长为 1，侧棱长为2 ，则这个棱柱侧面对角线 E 1 D 与 BC 1 所成的角是（A ） 90（B ） 60（C ） 45（D ） 30（9）函数 y x 2bx c （[0, ) ）是单调函数的充要条件是（A ） b 0（ B ） b 0（ C ） b（ D ） b 0（10）函数 y11的图象是x 1yyyy1111-1O1O1x-1OxOxx(A)(B)(C)(D)（11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（A ）8种（B ）12 种（C ）16 种 （D ）20 种（12）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 ：“ 2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十 ?五”期间（ 2001 年－ 2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十 ?五”末我国国内年生产总值约为 （A ） 115000 亿元 （ B ） 120000 亿元 （ C ） 127000 亿元（ D ） 135000 亿元第 II 卷(非选择题共 90 分 )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．（13 ）函数 y a x在 [0,1] 上的最大值与最小值这和为3，则 a ＝（14 ）椭圆 5x 2ky 25 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k（15 ） ( x21)( x 2) 7 展开式中 x 3 的系数是（16 ）已知 f ( x)x 2，那么 f (1) f (2) f ( 1)f (3) f (1)f (4)f ( 1) ＝1 x 2234三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17 ）已知 sin 22sin 2 coscos 21，(0, ) ，求 sin、 tg的值2（18 ）如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 点M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM BN aC（ 0a 2 ）（1）求 MN 的长；DP（2） a 为何值时， MN 的长最小；MBQ（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角的E大小N（19）设点 P 到点 ( 1,0) 、 (1,0) 距离之差为 2m ，到 x 、 y 轴的A F距离之比为 2，求 m 的取值范围（20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设 a 为实数，函数 f (x)x 2| x a | 1 ， xR（1）讨论 f (x) 的奇偶性；（2）求 f ( x) 的最小值（22）设数列 {a n } 满足： aa2na1 ， n 1,2,3,n 1 nn（I ）当 a 1 2 时，求 a 2 , a 3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式；（II ）当 a 1 3 时，证明对所的 n 1 ，有（i ） a nn 2（ii ）11 11 11 a 11 a2 1 a 31 a n2参考答案 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCBBCBABBC二、填空题 （13） 2（14）1（15） 1008（16）72三、解答题（17）解：由 sin 2 2sin 2 coscos2 1，得 4 sin 2 cos 2 2sin cos 22cos 22 cos 2 (2 sin 2 sin 1) 02 cos 2 (2 sin1)(sin1)∵(0, )2∴ sin 1 0 ， cos 2∴ 2sin10 ，即 sin1 2∴6∴ tg33（18）解（ I ）作 MP ∥ AB 交BC 于点 P ，NQ ∥ AB 交BE 于点 Q ，连结 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP NQ ，即 MNQP 是平行四边形∴ MN PQ由已知 CM BN a ， CB ABBE1∴ ACBF2 ， CP BQ2 a2MNPQ(1 CP)2 BQ 2 (1a )2 (a)222(a2 ) 2 1 ( 0 a2)2 2（II ）由（ I ）MN(a 2 )2122所以，当 a22时， MN22即当M、N分别为 AC、 BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为2 2（III ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵ AM AN,BM BN，G为MN的中点∴ AG MN,BG MN ，即AGB即为二面角的平面角又AG BG 6，所以，由余弦定理有4( 6 )2(6 )21cos441663244故所求二面角为arccos13（19）解：设点P的坐标为( x, y)，依题设得| y |2 ，即 y 2 x ，x 0| x |因此，点 P( x, y) 、 M (1,0) 、 N (1,0) 三点不共线，得||PM ||PN || |MN |2∵||PM ||PN|| 2 | m | 0∴0 | m | 1因此，点 P 在以 M 、N为焦点，实轴长为 2 | m |的双曲线上，故x2y21m21m2将 y2x 代入x2y 21，并解得m 2 1 m22m 2 (2 )2x1 m，因 1 m1 5m2所以 1 5 m 2解得 0 | m |55即 m 的取值范围为 (5,0)(0, 5 )55（20）解：设 2001 年末汽车保有量为 b 1 万辆， 以后各年末汽车保有量依次为 b 2 万辆， b 3 万辆，⋯，每年新增汽车x 万辆，则b 1 30 ， b 2 b 1 0.94 x对于 n 1 ，有bn 1b n 0.94 xb n 1 0.942 (1 0.94)x所以 b n1b10.94 n x (1 0.94 0.942b 1 0.94 n 1 0.94 n x0.06 x(30x ) 0.94 n0.060.06当 30x 0 ，即 x 1.8 时0.06b n 1bnb 130当 30x0 ，即 x1.8时0.06x数列 { b n } 逐项增加，可以任意靠近0.06xxlim b nlim [ (30) 0.94n 1]nn0.060.0660 万辆，即因此，如果要求汽车保有量不超过0.94 n )x0.06b n 60 （ n 1,2,3, ）则 x60 ，即 x 3.6 万辆0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆（21）解：（ I ）当 a0 时，函数 f ( x) ( x) 2 | x | 1f ( x)此时， f (x) 为偶函数当 a 0 时， f (a)a 2 1， f ( a)a 22 | a |1，f (a) f ( a) ， f (a)f ( a)此时 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当 x a 时， f ( x) x 2x a 1 ( x1 )2 a 3124当 af (x) 在 (, a] 上单调递减，从而函数f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为，则函数2f ( a) a 21．若 a1 ，则函数 f (x) 在 ( , a] 上的最小值为f (1)22（ii ）当 xa 时，函数 f ( x) x 2 x a 1( x 1 )223 a ，且 f ( 1) f ( a) ． 4 23a4若 a1 ，则函数 f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为 f (1 )3 a ，且 f ( 1) f (a)2 2 4 2若 a1 ，则函数 f (x) 在 [ a,) 上单调递增，从而函数f (x) 在 [ a,) 上的最小值为2f ( a) a 21．综上，当 a1时，函数 f (x) 的最小值为 3a2 411 当a时，函数 f ( x) 的最小值为 a 2 121 2 3当 a 的最小值为a ．时，函数 f ( x)42（22）解（ I ）由 a 12 ，得 a2a 2a1 1 31由 a 2 3 ，得 a 3 a 2 22a 2 1 4 由 a 34 ，得 a 423a 3 1 5a 3由此猜想 a n 的一个通项公式： a nn1 （ n 1）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当 n1时， a 1 3 1 2 ，不等式成立．②假设当 nk 时不等式成立，即 a kk2 ，那么a k 1 a k (a kk) 1 (k 2)( k 2 k ) 1 2k 5 k 3 ． 也就是说，当 n k 1时， a k 1 (k 1) 2据①和②，对于所有n 1，有 a nn 2 ．（ii ）由 a n 1 a n ( a n n) 1及（ i ），对 k 2 ，有a kak 1(ak 1k 1) 1a k 1 (k 1 2 k 1) 1 2a k 1 1⋯⋯ak2k 1 a2k 22 1 2k 1( a 1) 111于是11 1 ， k 21 a k 1 a 1 2k 1n11 1n1 1 n1 2 2 1k 11 a k1 a 11 a 1 k2 2 k 1 1 a 1 k 1 2k 11 a 11 3 2。
2002年高考数学试题(广东)及答案
广东普通高等学校招生统一考试数学试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式31--x x ＞０的解集为A ．｛ｘ｜ｘ＜１｝B ．｛ｘ｜ｘ＞３｝C ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝ 2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是 Ａ．３π Ｂ．３3π Ｃ．6π Ｄ．９π 3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是 A ．（０，21） Ｂ．（０，21] Ｃ．（21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞）5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是A ．3πＢ．35π Ｃ．6π Ｄ．611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是 A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）; Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）; Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞2 8．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为A ．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120° 9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减其中，正确的命题是 A ． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的取值范围是 A ．（－∞,０） B ．（－∞,２） C ．［０,２］ D ．（０,２）11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜 记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ Ｂ．P ３＞P ２＝P １Ｃ．P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A ．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组共有 种可能(用数字作答). 14．双曲线116922=-yx的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为 ．15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ ． 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ． 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期． 18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０． (Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21．(Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２ ，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小? 21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+yx的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥x 轴 求证直线AC 经过线段EF 的中点． 22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０．(Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．广东普通高等学校招生统一考试数学试题参考答案一、选择题 1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题 13.4900 14.516 15.1 16.2n (n -1)三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ ５分 ＝2)42sin(2++πx 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０ 解得k =50,k =-51(舍去)∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１），12111111111111(-)(-)(-)1223(1)12231nS S S n n n n +++=+++=+++⨯⨯++ 111+-=n 9分 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n nn 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面MSA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SBBC即所求二面角的正切值为22 12分20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有 Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分当８)185(85,5==λλλ即时，S 取得最小值，此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分如果λ∈［43,32］，可设433221≤≤λλ ，则由S 的表达式得 Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+=)58)((104421121λλλλ--10分由于058,85322121λλλλ-≥故因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ 时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小. 12分21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0) 3分若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N.若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０， ∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214kkx x kk+-=+ １０分又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０， 故直线AN ，CN 的斜率分别为 ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k y k∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ ＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k kkk∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）,所以2211111()()()()0,[0,1](1)()()()[()]222222222111111()()()()[()]244444x xx x f x f f f x f f f f f f f f f f =+=⋅≥∈=+=⋅==+=⋅=ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分∴4121)41(,)21(a f a f == 6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵]21)1(21[)21()21(n n nf n n f f ⋅-+=⋅= 111111 ()[(1)]()()()[()]222222nf f n f f f f n nnnn n =⋅-⋅==⋅⋅⋅=21)21(a f =∴n a nf 21)21(= 12分 ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2 ∴ｆ（２ｎ＋n21）=ｆ（n21）,因此a n =n a 210)ln 21(lim )(ln lim ==∴∞→∞→a na n n n 14分。
2002年高考.全国卷.理科数学试题及答案
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（17）已知 sin 2 2 sin 2 cos cos 2 1， (0, ) ，求 sin 、 tg 的值 2
（18）如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直 点
M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM BN a
（III）取 MN 的中点 G ，连结 AG 、 BG ， ∵ AM AN , BM BN ， G 为 MN 的中点
∴ AG MN , BG MN ，即 AGB 即为二面角的平面角
又 AG BG
6
，所以，由余弦定理有
4
cos
(
6 )2 4
(
6 )2 4
1 1
2 6 6
3
44
故所求二面角为 arccos 1 3
也就是说，当 n k 1时， ak1 (k 1) 2
据①和②，对于所有 n 1，有 an n 2 ．
（ii）由 an1 an (an n) 1及（i），对 k 2 ，有
ak ak1 (ak1 k 1) 1
ak1 (k 1 2 k 1) 1 2ak1 1
（6）点
P(1,0)
到曲线
x
t2
（其中参数 t
R
）上的点的最短距离为
y 2t
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（A）0
（B）1
（C） 2
（D）2
（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个
圆锥轴截面顶角的余弦值是
（A） 3 4
（B） 4 5
（C） 3 5
（D） 3 5
（19）解：设点 P 的坐标为 (x, y) ，依题设得 | y | 2 ，即 y 2x ， x 0 ) 、 N (1,0) 三点不共线，得
(完整版)湖南省_2002年_高考数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案-同湖南卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 A ．21B ．23C ．1D ．32．复数3)2321(i +的值是 A ．i -B ．iC ．1-D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．0|{<x x 且}1-≠x C ．}11|{<<-x xD ．1|{<x x 且}1-≠x4．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是A ．)45,()2,4(ππππYB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππY5．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则A ．N M =B ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．∅=N M I6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为A ．0B ．1C ．2D ．27．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A ．43B ．54C ．53D ．53-8．正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是 A ．︒90B ．︒60C ．︒45D ．︒309．函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 A ．0≥b B ．0≤bC ．0>bD ．0<b10．函数111--=x y 的图象是11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7．3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为 A ．115000亿元 B ．120000亿元 C ．127000亿元 D ．135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． 13．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ 14．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 15．72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是16．已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值18．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小19．设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围 20．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？21．设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值22．设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ，Λ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a Λ ADE参考答案 一、选择题二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== 22cos (2sin 1)(sin 1)0ααα-+=)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得 222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55(Y -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有Λ)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+Λx b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n Λ当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （Λ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k Λ于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
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综合练习（一）2002．4班级：_________, 姓名：___________，成绩：___________一、选择题：（每小题5分，共5×12=60分）将正确答案填入下表中 1．已知集合{}1|),(22=+=y x y x P ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=+=+R b a b y a x y x Q ,,1|),(.若P ∩Q ≠φ，则a,b 应满足（A ）a ≤1且b ≤1 （B ）2≤a 且2≤b（C ）22b a ab +≥ （D ）22b a ab +≤2．若532sin=θ，542cos =θ，则θ的终边在 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第一象限或第三象限（D ）第四象限3．设α、β表示平面，l 表示直线，且α⊄l ，β⊄l .存在下列三个事实：①l ⊥α②l ∥β③α⊥β .若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则可以构成三个命题。
在这三个命题中，正确命题的个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）34．把函数x x y sin cos 3-=的图象向左平移m(m>0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是 （A ）6π（B ）65π（C ）3π（D ）32π5．已知方程032=++m x x 的两个虚根为1z ，2z ，且2||21=-z z ，则实数m 的值是（A ）5（B ）25 （C ）413（D ）2136．（理）圆θθρsin 32cos 2-=的圆心的极坐标为（A ）)3,2(π（B ）)3,2(π-（C ）)35,2(π-（D ）)3,2(π- （文）曲线)22(412≤≤--+=x x y 与直线y=k(x-2)+4有两个交点时，实数k 的取值范围是（A ）]43,125(（B ）),125(+∞ （C ）]43,31(（D ）)125,0(7．将圆心角为120°，半径为30的扇形OAB （O 为圆心）卷成一个圆锥，使两条半径OA 、OB 重合，则扇形中的弦AB 上的点到圆锥底面的最远距离是 （A ）210（B ）10 （C ）15（D ）2158．从12个化学实验小组（每小组4人）中选出5人，进行5个不同的化学实验，且每小组至多选1人，则不同的安排方法的种数是（A ）55512P C （B ）5551254P C （C ）55548P C （D ）5514512P C C9．设)32(21<<-+=a a a M ，)(),161(log 221R x x N ∈+=，则M ，N 的大小关系为 （A ）M>N （B ）M=N（C ）M<N （D ）不能确定10．双曲线12222=-by a x 的一条准线被它的两条渐近线截得的线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离则双曲线的两条渐近线的夹角为（A ）120°（B ）90°（C ）60°（D ）30°11．已知函数y=f(x)的反函数与函数y=g(x)的图象关于点P （a,b ）对称，则g(x)可表示为 （A ）)()(1x a fb x g ++=- （B ）)2(2)(1x a f b x g --=-（C ）)()(1x b fa x g ++=- （D ）)2(2)(1x b fa x g --=-12．已知⊙O 的半径为r ，O 点到直线l 的距离|OA|=m ，P 是圆周上一点，且∠POA=θ。
一质点从P 点出发，以T 秒一周的速度绕O 点在圆周上逆时针作匀速圆周运动。
若t 秒后在Q 点，则Q 点到直线l 的距离|QR|等于 （A ）m-rcos θ（B ）)2cos(t T r m ⋅-π （C ）)2cos(θπ--t T r m （D ）)2cos(θπ+-t Tr m二．填空题：（第小题4分，共4×4=16分）13．若A 为△ABC 的内角，则sinA+cosA 的取值范围是______________________。
14．不等式12|12|->--x x x 的解的区间表示是______________________15．已知n n b a ,分别是二项式nx )13(-和1)2(++n y x 展开式的各项系数和，则________lim=-+∞→nn nn n b a b a 。
16．降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为38cm ，底面直径为24cm 且高为35cm 的倒圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，用此桶接得的雨水正好是桶深的71，则本次下雨的降水量是_____mm(精确到1mm)。
三．解答题：（第17~21题每题12分，第22题14分，共74分）17．在复平面上复数i z z +=21对应的点为1z ，将向量1OZ 依顺时针方向旋转锐角α得到向量2OZ ，且71=αtg 。
若△ABC 中，1arg z A =，2arg z B =，最长的边长为1。
（1）求角C 的大小；（2）求最短边的边长。
18．已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为a 的菱形，且∠BAD=60°，侧面PDC ⊥底面ABCD ，又△PDC 为等边三角形，E 为DC 中点。
（1）求证：AB ⊥平面PBE ；（2）求PA 与平面PBE 所成的角；（3）求二面角P-AD-B 的大小。
19．设a>0，解关于x 的方程2log 2log )lg 2(log 122x xx a -+。
20．某公司取消福利分房和公费医疗，实行年薪制工资结构改革，并按下表规定实施：如果该公司今年（2002年）有5名职工，计划从明年起每年新招5名职工。
（1）若今年算第一年，试把第n 年该公司付给职工工资总额y(万元)表示成年限的函数；（2）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工资总额为20%。
21．已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，过点（1，0）的直线交椭圆于P ，Q 设PQ 的中点为M ，且OM 的斜率为21，若椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线PQ 对称，求直线PQ 和椭圆C 的方程。
22．已知二次函数)0(1)(2>++=a bx ax x f ，设方程f(x)=x 的两上实根为21,x x （1）如果4221<<<x x ，设函数f(x)的图象的对称轴为0x x =，求证：10->x ；（2）如果2||.2||121=-<x x x ，求b 的范围。
参考答案 一．1、D2、A3、C4、B5、C6、D7、A8、B9、A 10、C 11、B 12、D 二． 13．]2,1(- 14．),1()1,21[+∞⋃ 15．-1 16．22 三． 17．解： ∵71=tga ∴251sin =a ，257cos =a ∴i i i z 22223)1021027)(2(2+=-+=∴21=tgA ，31=tgB （1）∴tgC=-tg(A+B)=-1 ∵O<C<π∴43π=C （2）∵)2,0(π∈⋅B A tgA>tgB∴C>A>B ∴b 为最短边 由正弦定理 51sin sin =⋅=C B C b18．解（1）∵△POC 为等边三角形，E 为DC 中点 ∴PE ⊥DC∵平面PDC ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD ∴PE ⊥AB∵ABCD 为菱形∠BND=60°E 为DC 中点 ∴BE ⊥DC ，DC ∥AB ∴AB ⊥BE ∴AB ⊥平面PBE（2）∠APB 为DA 与平面PBE 所成的角∵ABCD 是边长为a 的菱形∠BAD=60°且△PDC 为等边三角形 ∴AB=a a BE PE 23== ∴a PB 26=∴36==∠PB AB APB tg ∴36arctgAPB =∠ （3）∵PE ⊥平面ABCD 作EH ⊥AD 于H 连PH ∴PH ⊥AD ∠PHE 为二两角P —AD —B 的平面角a EH 43=∴2==∠EHPEPHE tg ∴2arctg PHE =∠19．解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+<≠>(4)2log log (3) 2lga x (2) 1x )1(0x)-(2lga 2x 2x 由（4）∴04lg 22=+⋅-x a x16lg 42-=∆a∴0.01<a<100时，0<∆x 方程无实根 又∵2lga>x>0 ∴a>1∴0<a<100 时原方程无解当a=100时，方程为0442=+-x x ， ∴x=2且满足（1）（2）（3）∵x ≠1且当x=1时 25lg =a ，即2510=a∴2510=a 时，方程为0452=+-x x ∴x=4或x=1（舍）当a>100且2510≠a 时4lg lg 2-±=a a x 满足（1）（2）（3）综上所述：当0<a<100时方程无解 a=100时，方程有唯一解2510=a 时方程有唯一解x=4a>100且25≠a 时，方程有两解4lg lg 2-±=a a x20．解：（1）第n 年共有5n 个职员，基础工资总数为：nn )1.01(5+万元 房屋补贴5×400n+5×400(n-1)……+5×400 =0.1n(n+1)（万元）医疗费：5n ×0.16=0.8n （万元）∴（万元）n n n y n 9.01.01.152++⨯= （2）基础工资的20%为nn 1.1⨯（万元） 房屋补贴和医疗费总和为n n 9.01.02+ 要比较nn 1.1⨯与n n 9.01.02+的大小 只须比较n 1.1与0.1n+0.9n 的大小∵9.01.01.01)1.01()1.1(+>+>+=n n n n∴房屋补贴和医疗费的总和不能超过基础工资总额的20%。
21．解：设椭圆C 的方程为)0(11222>>=+b a by a x ∵离心率22=e ∴b a 2=∴椭圆方程为122222=+by b x设直线PQ 方程：y=k(x-1)∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(2222b y bx x k y ∴0224)21(222222=-+-+b k x k x k∴2221214k k x x +=+ ∴)1,212(222k kk k M +-+ ∴kK OM 21-=， ∴2121=k k=-1∴直线PQ 方程y=-(x-1)即x+y-1=0设与右焦点下(b,0)关于直线x+y-1=0对称的点为),(00y x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-0122160000y b x x y ∴⎩⎨⎧-==b y x 11又),(00y x 在椭圆上∴1)1(21222=-+bb b ∴43=b ∴椭圆方程为19169822=+y x22．解：∴x bx ax =++12∴01)1(2=+-+x b ax 令 1)1()(2+-+=x b ax x g∵g(x)=0的两根1x ，2x 满足4221<<<x x 且a>0 ∴⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g∴⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a∴4a-2b>0 ∴2<ab∴1220->-=-=a b a b x (2)∵0121>=ax x∴1x ,2x∵21<x ，2||12=-x x若01>x ，则201<<x 212=-x x ∴2212>+=x x ∴g(2)=4a+2b-1<0 又aa b x x 4)1()(2212--=- ∴44)1(22=--a ab ∴12222-+-=b b a ∴b b b 232222-<+- ∴41<b 01<x 则021<<-x ， 221=-x x∴2212-<+-=x x ∴122x x <-< ∴0)2(<-g ∴0324<+-b a ∴122222-<+-b b b ∴47>b ∴201<<x 时41<b 021<<-x 时47>b。