2017届高三九月起点考试数学理试题
2017届黑龙江省牡丹江一中高三(上)9月月考数学试卷+(理科)解析版
【点评】本题主要考查命题的真假判断，考查对替代定义的理解，根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方法，综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016?荆州模拟）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【分析】（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．18．（12分）（2016秋?牡丹江校级月考）（1）设不等式（x﹣a（）x+a﹣2）＜0的解集为N，，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．2（2）已知命题：“?x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x﹣x﹣m=0成立”是真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）∈N是x∈M的必要条件，所以M?N，当a=1时，解集N为空集，不满足，当a＞1时，求得解集，列不等式组即可求得a的取值范围；2（2）方程x﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，m的取值集合就是函数y=x 2﹣x=（x﹣）2﹣在（﹣1，1）上的值域，根据二次函数性质，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为x∈N是x∈M的必要条件，所以M?N，当a=1时，解集N为空集、不满足题意；当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a＜x＜a}，则，所以；2（2）由题意得，方程x﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，∴m的取值集合就是函数y=x2﹣x=（x﹣）2﹣在（﹣1，1）上的值域，值域为[﹣，2），∴实数m的取值范围[﹣，2）．【点评】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查集合的运算，一元二次函数的性质，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2014春?阿勒泰市校级期末）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；2（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【分析】（1）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，再结合联解，可得a、b的值，从而得到函数f（x）的解析式．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，经过讨论可得f（x1）＜f（x2），由定义知f（x）是（﹣1，1）上的增函数．2（3）根据f（x）是奇函数且在（﹣1，1）上是增函数，得原不等式可化为t﹣1＜﹣t⋯①，再根据函数2的定义域得﹣1＜t﹣1＜1且﹣1＜t＜1⋯②，联解①②可得原不等式的解集．【解答】解：（1）∵函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（0）=0，得b=0．又∵，∴=，解之得a=1；因此函数f（x）的解析式为：．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则∵﹣1＜x1＜x2＜1，22∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，1+x1＞0，1+x2＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）∵f（x）是奇函数，22∴f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），又∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，22∴f（t﹣1）＜f（﹣t）即为t﹣1＜﹣t，解之得：⋯①又∵，解之得﹣1＜t＜1且t≠0⋯②对照①②，可得t的范围是：．所以，原不等式的解集为．【点评】本题给出含有字母参数的分式函数，在已知奇偶性的前提下求函数的解析式，并且讨论的函数的单调性，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．220．（12 分）（2015?涪城区校级模拟）已知函数f（x）=2cos x+2 sinxcosx +a，且当时，f（x）的最小值为2．（1）求a 的值，并求f（x）的单调增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2 在区间上的所有根之和．【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，x∈[ 0，] 时f（x）的最小值为2，可求得a，利用正弦函数的单调性可求f（x）的单调增区间；（2）利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，可求得g（x）=2sin （4x﹣）+1，依题意，g（x）=2 得sin（4x﹣）= ，x∈[ 0，] ，可求得x= 或，从而可得答案．2【解答】解：（1）f（x）=2cosx+2 sinxcosx +a=cos2x+1+ sin2x +a=2sin（2x+ ）+a+1，∵x∈[ 0，] ，∴2x+ ∈[ ，] ，∴f（x）min=a+2=2，故a=0，∴f（x）=2sin（2x+ ）+1，由2kπ﹣≤2x+ ≤2kπ+ （k∈Z），解得：kπ﹣≤x≤kπ+ （k∈Z），故f（x）的单调增区间是[ kπ﹣，kπ+ ] （k∈Z），（2）g（x）=2sin [ 4（x﹣）+ ]+ 1=2sin（4x﹣）+1，由g（x）=2 得sin（4x﹣）= ，则4x﹣=2kπ+ 或2kπ+ （k∈Z），解得x=+或+，（k∈Z）；∵x∈[0，]，∴x=或，故方程所有根之和为+=．【点评】本题考查：三角函数中的恒等变换应用，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，突出考查正弦函数的单调性，考查综合运算能力，属于难题．21．（12分）（2011?湖南模拟）如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，（1）按下列要求写出函数的关系式：①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；②设∠P OB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．【分析】（1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值．【解答】解：（1）①因为ON=，OM=，所以MN=，（2分）所以y=x（）x∈（0，）．（4分）②因为PN=sinθ，ON=，OM=，所以MN=ON﹣O M=（6分）所以y=sinθ，2即y=3sinθcosθ﹣s inθ，θ∈（0，）（8分）2（2）选择y=3sinθcosθ﹣s inθ=sin（2θ+）﹣，（12分）∵θ∈（0，）∴（13分）所以．（14分）【点评】本题是中档题，考查函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运应，考查计算能力，课本题目的延伸．如果选择①需要应用导数求解，麻烦，不是命题者的本意．22．（12分）（2016?锦州一模）设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，可得函数的最大值，M＞0，所以有mln﹣m ＞0，解之得m＞．即可求m的取值范围．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．构造函数h（x）=xlnx，g（x）=﹣，证明h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即可得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜，由f'（x）＜0，得x＞，此时f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（）=mln﹣m．因为M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．所以m的取值范围是（，1）．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）min=h（）=﹣，设g（x）=﹣．g′（x）=，0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）max=g（1）=﹣，∵≠1，∴h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，∴方程xf（x）﹣=﹣没有实数根．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查构造函数方法的运用，有难度．。
2017届湖北省黄冈市黄冈中学高三9月月考数学（理）试题（含解析）
2017届湖北省黄冈市黄冈中学⾼三9⽉⽉考数学（理）试题（含解析）黄冈中学2017届⾼三（上）理科数学九⽉考⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．集合{}{}32,log ,,,M a N a b ==若{}1M N = ，则M ∪N =( )A ．{}0,1,2B ．{}0,1,3C ．{}0,2,3D ．{}1,2,3 【答案】D【解析】3log 131a a b =?=?=，选D ． 2．“3πα≠”是“1cos 2α≠”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】“3πα≠”是“1cos 2α≠”的什么条件？等价于“1cos 2α=”是“3πα=”的什么条件？易知“1cos 2α=”是“3πα=”的必要不充分条件，选B ． 3．已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[-2，1]，则b a -的值不可能是（） A ．65π B ．πC ．67πD ．π2【答案】D【解析】值域[-2,1]含最⼩值不含最⼤值,故定义域⼩于⼀个周期,故选D ．4．设ABC ?是⾮等腰三⾓形，设(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )P A A Q B B R C C ，则PQR ?的形状是（）A ．锐⾓三⾓形B ．钝⾓三⾓形C ．直⾓三⾓形D ．不确定【答案】B 【解析】易知这三点都在单位圆上，⽽且都在第⼀、⼆象限，由平⾯⼏何知道可知（外⼼在三⾓形的外部），这样的三个点构成的三⾓形必为钝⾓三⾓形．5．如图，ΔABC 中，A ∠= 600， A ∠的平分线交BC 于D ，若AB = 4，且)(41R ∈+=λλ，则AD 的长为（）【答案】B【解析】设虚线在AC 、AB 上的交点分别为M 、N ，易知AM =14AC ，:3:4CM AC =，:3:4MD AB ∴=，⽽AB = 4，故MD=AM =3，在AM D ?中，利⽤余弦定理易求出AD =6．已知cos()63πα+=，则sin(2)6πα-的值为（）A ．13 B ．13- C ．3 D ．3- 【答案】A【解析】由cos()63πα+=得，1cos(2)33πα+=-，所以1sin(2)sin(2)cos(2)63233ππππααα-=+-=-+=． 7．已知锐⾓α的终边上⼀点(sin 40,1cos40),P + 则锐⾓α=（）A. 80B ．70C ．20D ．10【答案】B【解析】21cos 402cos 20cos 20tan tan 70sin 402sin 20cos 20sin 20α+====． 8．在△ABC 中， N 是AC 边上⼀点，且12AN NC =，P 是BN上的⼀点，若29AP m AB AC =+，则实数m 的值为( )A ．19B ．13 C ．1D ．3【答案】B【解析】2293AP mAB AC mAB AN =+=+,因B 、P 、N 三点共线，所以m ＋23＝1，故选B ．9．称(,)d a b a b =- 为两个向量,a b 的距离。
2017届高三上学期9月月考数学试卷(理科)-答案
四川省成都外国语学校2017届高三上学期9月月考数学试卷（理科）解析1．【解答】解：由B中y=lg（x+1），得到x+1＞0，即x＞﹣1，∴B=（﹣1，+∞），∵A=（﹣3，3），∴A∩B=（﹣1，3），2．【解答】解：A．由＜1得a＞1或a＜0，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，正确，B．若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误，D．∵sinx+cosx=sin（x+）≤恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故D错误，3．【解答】解：，∴a＞c＞b，4．【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴，∴1＜a＜2．5．【解答】解：因为函数f（x）=，所以f（log4）==3，f{f（log4）}=f{×3}=f（1）=41=4．6．【解答】解：函数的导数f′（x）=e x﹣1，由f′（x）＞0得e x﹣1＞0，即e x＞1，得0＜x≤1，此时函数递增，由f′（x）＜0得e x﹣1＜0，即e x＜1，得﹣1≤x＜0，此时函数递减，即当x=0时，函数取得极小值同时也是最小值f（0）=1，∵f（1）=e﹣1，f（﹣1）=+1＜e﹣1，∴函数的最大值为f（1）=e﹣1，即函数的值域为[1，e﹣1]，7．【解答】解：f（x）﹣3+f（﹣x）﹣3=ln（x+）+ln（﹣x+）=ln1=0，∴f（a）﹣3+f（﹣a）﹣3=0，∴10﹣6+f（﹣a）=0，解得f（﹣a）=﹣4．8．【解答】解：将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，可得y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，故g（x）=3sin（2x﹣）．令2x﹣=kπ+，k∈z，得到x=•π+，k∈z．则得y=g（x）图象的一条对称轴是，9．【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}10．【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1，+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，11．【解答】解：f （x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a=，a≥3，当x＞a＞3，令f（x）=0，ax﹣3a=0，x=3，不满足，x≤a时，函数f （x）恰有两个不同的零点x1，x2，令f（x）=0，则可得x1，x2是方程2x2﹣ax﹣3a=0的两个根，则：x1+x2=，x1•x2=﹣，|﹣|====∈（，1]，12．【解答】解：∵f（x）=e x﹣ax，∴f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=e x﹣a＞0，①当a≤0时，f′（x）=e x﹣a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．②当a＞0时，∵f′（x）=e x﹣a＞0，∴e x﹣a＞0，解得x＞lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．∵函数f（x）=e x﹣ax有两个零点x1＜x2，∴f（lna）＜0，a＞0，∴e lna﹣alna＜0，∴a＞e，A正确；a=，f（2）=e2﹣2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，正确；f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1，不正确；f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，正确．13．【解答】解：∵∴∵∴∵，∴==，14．【解答】解：函数f（x）=，则f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）令F（x）=，F（﹣x）=，∴F（x）+F（（﹣x）=0∴F（x）==f（x）﹣1是奇函数，∴f（lg2）﹣1+f（﹣lg2）﹣1=0∴f（lg2）+f（﹣lg2）=2，即f（lg2）+f（lg）=215．【解答】解：∵a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣2，∴（x2+）6=∵=•x12﹣3k∴12﹣3k=3解得，k=3∴==﹣160.16．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x）得kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0，∵g（x）=a f（x）﹣1=（a2）x﹣1，①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1；②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，∴g（x）最大值为g（﹣1）=﹣1，∴g（x）max=；由②得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为g（1）=﹣1=1，∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立，令h（m）=﹣2mt+t2，∴即，∴t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．17．【解答】解：（Ⅰ）原式=；（Ⅱ）∵，∴a+a﹣1=7，∴a2+a﹣2=47，∴．18．【解答】解：（1）∵f（x）=cos（+x）cos（﹣x）﹣sinxcosx+ =（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）﹣sin2x+=cos2﹣sin2x﹣sin2x+=﹣﹣sin2x+=（cos2x﹣sin2x）=cos（2x+），函数f（x）的最小正周期为T=π，（2）由，得，所以当时，求函数f（x）的值域为．19．【解答】（I）解：，x∈（0，+∞）．由f′（x）＞0得解得．故f（x）的单调递增区间是．（II）证明：令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），x∈（0，+∞）．则有．当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在[1，+∞）上单调递减，故当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1．20．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为T，∴T=2，即：，解得ω=π，故f（x）=2cos（πx+B）．又，即：，∵B是△ABC的内角，∴，设△ABC的三个内角的对边分别为a，b，c，∵，∴，解得，，从而△ABC是直角三角形，由已知得，，从而，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设△ABC的外接圆半径为R，则2R===2，解得R=，∴S+3cosBcosC=bcsinA+3cosBcosC=bc+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），故的最大值为．21．【解答】解：（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]．证明：任取0≤x1＜x2≤1，t（x1）﹣t（x2）=，∵0≤x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，∴＜0，∴t（x1）﹣t（x2）＜0.所以函数t（x）在[0，1]上为增函数．（同理可证在区间[1，24]单调递减）（2）由函数的单调性知t max（x）=t（1）=，t min（x）=t（0）=0，∴t==，∴t的取值范围是[0，]．当a∈[0，]时，由于f（x）=|﹣a|+2a+，则可记g（t）=|t﹣a|+2a+则g（t）=∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，]上单调递增，且g（0）=3a+．g（）=a+∴g（0）﹣g（）=2（a﹣）．故M（a）=．（3）当时，，∴，不满足题意a∈[0，]；当时，，∴a≤，∴时，满足题意a∈[0，]．故当0≤a≤时不超标，当＜a≤时超标．22．【解答】（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx﹣ax，∵函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．∴lnx﹣ax=0在（0，+∞）上有两个不同根．转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞），上有两个不同交点，令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只需0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），则k==，∴=，解得，x0=e，∴k=，0．（2）解：∵不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，∴1+λ＜lnx1+λlnx2．由（1）可知：x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2．∴1+λ＜lnx1+λlnx2．等价于1+λ＜a（x1+λx2），∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等价于a＞．∵lnx1=ax1，lnx2=ax2．∴=a（x1﹣x2），即a=．∴原式等价于＞，∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即＜恒成立．令t=，t∈（0，1），则不等式等价于lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，又h′（t）=，当λ2≥1时，又h′（t）＞0，∴h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，∴h（t）＜0在t∈（0，1），恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可得：h（t）在（0，λ2）上单调递增，在（λ2，1）上时单调减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述：若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只需λ2≥1，又λ＞0，∴λ≥1．（3）当a=2时，令g（x）=f（x）+2x﹣2=xlnx﹣x2+x，则，当x＞1时g''（x）＜0，则g'（x）在（1，+∞）单调站递减，而g'（1）=0.当x＞1时，g'（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）单调站递减，又g（1）=0，∴以当x＞1时有g（x）=xlnx﹣x2+x＜g（0）=1⇒lnx＜x﹣1．令x=n2（n∈N*，n≥2），有lnn2＜n2﹣1，即，∴+++…+＜（2+3+…+n）=．①令x=1+，有ln，可得＜e＜3，②①+②有：+++…++（1+）n＜（n∈N*，n≥2）．。
湖北省黄冈市2017届高三九月起点考试数学理试题 Word版含答案
黄冈市2017届高三九月起点考试数学试卷（理科）一、选择题1. 已知函数()f x =的定义域为(),ln(1)M g x x =+的定义域为N ，则()R MC N =( )A ．{}|1x x <B ．{}|1x x ≥C ．φD ．{}|11x x -<< 2．给定下列三个命题：P 1：∀a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0； P 2：存在m ∈R,使f(x)=(m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上是递减的 则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨(¬p 3)D ．(¬p 2)∧p 33. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= ( )A ．120B ．105C ．90D ．754.若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥， αβ⊥，则βγ⊥5.设条件甲：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；条件乙：01a <<，则命题甲是命题乙成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．3．3+ C ．1+．1+7.函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )8.函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（ ） （A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数9.在RT ⊿ABC 中，∠BCA=900，AC=BC=6，M 、N 是斜边AB 上的动点，MN=2 2 ，则CM CN 的取值范围为（ ）A ．[]18,24B ． []16,24C ．（16,36）D ． （24,36）10. 设12x <<，则222ln ln ln ,,x x x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A 、222ln ln ln x x xx x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B 、222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C 、222ln ln ln x xx x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D 、222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭11.设1F 、2F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()22F F 0OP +O ⋅P =（O 为坐标原点）且12FF λP =P ，则λ的值为（ ）A ．2B ．12 C ．3 D ．1312.已知()x f x x e =⋅，又()()()2g x f x t f x =+⋅（R t ∈），若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A ．21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上一点A （4，m）到其焦点的距离为，则p 的值是 ．.14. 设函数f (x )=若f (a )>f (1)，则实数a 的取值范围是15.已知向量，满足||=2，||=1，与的夹角为，则与+2的夹角为 ．16.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列3个命题： ①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--在()1,+∞上有3个零点； 则其中所有真命题的序号是 ．三、解答题（共6个小题，满分80分）17.（本题满分10分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=asinC ﹣ccosA ．（1）求A ；（2）若a=1，△ABC 的面积为34 ，求b ，c ．18.（本题满分12分）在直角坐标系XOY 中，已知点A （1,1），B （3,3），点C 在第二象限，且ABC 是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形。
海南省海口一中2017届高三上学期9月月考数学试卷(理科)(a卷)Word版含解析
2016-2017学年海南省海口一中高三（上）9月月考数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数3．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．5．如果函数f（x）=（﹣∞＜x＜+∞），那么函数f（x）是（）A．奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数C ．奇函数，且在（0，+∞）上是增函数D ．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数6．下列方程在区间（﹣1，1）内存在实数解的是（ ） A ．x 2+x ﹣3=0 B ．e x ﹣x ﹣1=0 C ．x ﹣3+ln （x +1）=0D ．x 2﹣lgx=07．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一红一黑的概率等于（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为（ ）A ．5B ．3C ．2D ．19．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．C ．D ．10．函数f （x ）=x 3+sinx +2（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （﹣a ）的值为（ ） A ．5B ．﹣2C ．1D ．211．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的横坐标为（）A．B．﹣ C．﹣4 D．412．已知数列{a n}满足a1=33，=2，则的最小值为（）A．10.5 B．10 C．9 D．8二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∃x∈R，2x2﹣3x+9＜0”的否定是．14．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是．15．在区间[0，2]上任取两个数a，b，方程x2+ax+b2=0有实数解的概率为．16．已知a≥0，函数f（x）=（x2﹣2ax）e x，若f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是．三.解答题（每小题12分，共60分）17．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（I）求ω的值；（II）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性．18．某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如表：（1）求如表中a、b的值；（2）估计该基地榕树树苗平均高度；（3）若将这100株榕树苗高度分布的频率视为概率，从培育基地的榕树苗中随机选出4株，其中在[104，106）内的有X株，求X的分布列和期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．（1）求证：AC⊥DE；（2）若E为PB的中点，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求EC与平面PAB 所成角θ的正弦值．20．已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（I）求椭圆的方程；（II）若过点M（2，0）的直线与椭圆交于C，D两点，且满足+=t（其中O为坐标原点，P为椭圆上的点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx﹣ax（a≠0）．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+1﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证lnn!≤（n≥2，n∈N*）．选做题（从两题中选做一题，多选的按所选第一个题给分，满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=2，BC=4时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l经过点P（，1），倾斜角α=，圆C的极坐标方程为ρ=cos （θ﹣）．（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2016-2017学年海南省海口一中高三（上）9月月考数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A2．某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，由题目看不出是系统抽样，求出这五名男生成绩的平均数、方差和这五名女生成绩的平均数、方差，由此能求出结果．【解答】解：由题目看不出是抽样方法是分层抽样，故A错；由题目看不出是系统抽样，故A错；这五名男生成绩的平均数=（86+94+88+92+90）=90，这五名女生成绩的平均数=（88+93+93+88+93）=91，故这五名男生成绩的方差为=（42+42+22+22+02）=8，这五名女生成绩的方差为=（32+22+22+32+22）=6，故C正确，D错．故选：C．3．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量坐标关系，求出=（﹣3，4），=（5，﹣12），再利用cosθ=求解即可．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．4．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C5．如果函数f（x）=（﹣∞＜x＜+∞），那么函数f（x）是（）A．奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数【考点】3K：函数奇偶性的判断；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】定义域为R，关于原点对称，计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到奇偶性，讨论x＞0，x＜0，运用指数函数的单调性，即可得到结论．【解答】解：定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）==f（x），则为偶函数，当x＞0时，y=（）x为减函数，则x＜0时，则为增函数，故选D．6．下列方程在区间（﹣1，1）内存在实数解的是（）A．x2+x﹣3=0 B．e x﹣x﹣1=0 C．x﹣3+ln（x+1）=0 D．x2﹣lgx=0【考点】55：二分法的定义．【分析】利用方程和函数之间的关系分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．设f（x）=x2+x﹣3，则函数f（x）在（0，1）内单调递增，则f（1）=1+1﹣3=﹣1＜0，f（x）在（0，1）内不存在零点；B．由e x﹣x﹣1=0，解得x=0，在区间（﹣1，1）内，满足题意；C．设f（x）=x﹣3+ln（x+1），则函数在（﹣1，1）上单调递增，f（1）＜0，f （x）在（﹣1，1）内不存在零点；D．当x∈（0，1）时，x2∈（0，1），lgx∈（﹣∞，0），则x2﹣lgx＞0，此时方程在（﹣1，1）内无解，故选B．7．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一红一黑的概率等于（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从袋中任取两球，基本事件总数n==15，两球颜色为一红一黑包含的基本事件个数m==3，由此能求出两球颜色为一红一黑的概率．【解答】解：袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，基本事件总数n==15，两球颜色为一红一黑包含的基本事件个数m==3，∴两球颜色为一红一黑的概率p===．故选：A．8．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为（）A．5 B．3 C．2 D．1【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当x=1时，x2﹣4x+3=0，满足继续循环的条件，故x=2，n=1；当x=2时，x2﹣4x+3=﹣1＜0，满足继续循环的条件，故x=3，n=2；当x=3时，x2﹣4x+3=0，满足继续循环的条件，故x=4，n=3；当x=4时，x2﹣4x+3=3＞0，不满足继续循环的条件，故输出的n值为3，故选：B．9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．故选B．10．函数f（x）=x3+sinx+2（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．5 B．﹣2 C．1 D．2【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据条件求得求得a3+sina=0，从而求得f（﹣a）=（﹣a3﹣sina ）+2的值．【解答】解∵：函数f（x）=x3+sinx+2（x∈R），若f（a）=a3+sina+2=2，∴a3+sina=0，则f（﹣a）=（﹣a3﹣sina ）+2=2，故选：D．11．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的横坐标为（）A．B．﹣ C．﹣4 D．4【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=4x∴p=2，焦点坐标为（1，0）过M作准线的垂线于M，由PF=PM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x=，故选：A．12．已知数列{a n}满足a1=33，=2，则的最小值为（）A．10.5 B．10 C．9 D．8【考点】8H：数列递推式．【分析】递推公式两边乘n然后利用叠加法求出a n的通项公式，然后利用函数求最值的方法求出的最小值．﹣a n=2n【解答】解：由变形得：a n+1∴a n=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（a n﹣a n﹣1）+a1=2+4+6+…+2（n﹣1）==n2﹣n+33∴（n∈N*）（1）当时，单调递减，当时，单调递增，又n∈N*，经验证n=6时，最小，为10.5．故选A．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∃x∈R，2x2﹣3x+9＜0”的否定是∀x∈R，2x2﹣3x+9≥0．【考点】2J：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：“∀x∈R，2x2﹣3x+9≥0”，故答案为：∀x∈R，2x2﹣3x+9≥014．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由z=2x﹣3y得，要使z最小，则在y轴上的截距最大，由此可知最优解，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．故答案为：﹣6．15．在区间[0，2]上任取两个数a，b，方程x2+ax+b2=0有实数解的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间[0，2]上任取两个数a和b，写出事件对应的集合，做出面积，满足条件的事件是关于x的方程x2+ax+b2=0有实数根，根据二次方程的判别式写出a，b要满足的条件，写出对应的集合，做出面积，计算概率值．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是在区间[0，2]上任取两个数a和b，事件对应的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}对应的面积是sΩ=4，满足条件的事件是关于x的方程x2+ax+b2=0有实数根，即a2﹣4b2≥0，∴或，事件对应的集合是A={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1，|a|≥2|b|}对应的图形的面积是s A=S△OAB=×2×1=1∴根据等可能事件的概率得到P=故答案为：．16．已知a≥0，函数f（x）=（x2﹣2ax）e x，若f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是a≥．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】首先，求导数，然后，令导数为非正数，结合二次函数知识求解．【解答】解：∵f′（x）=[x2﹣2（a﹣1）x﹣2a]•e x，∵f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，∴f′（x）≤0，x∈[﹣1，1]，∴x2﹣2（a﹣1）x﹣2a≤0，x∈[﹣1，1]，设g（x）=x2﹣2（a﹣1）x﹣2a，∴，∴，解得：a≥，故答案为：a≥．三.解答题（每小题12分，共60分）17．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（I）求ω的值；（II）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx﹣）﹣1，由已知可求周期，利用周期公式可求ω的值．（II）由（I）可得：f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可求2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的单调性分类讨论即可得解．【解答】解：（I），因为图象两相邻对称轴间距为，所以T=π=，解得ω=1．（II）由（I）可得：f（x）=sin（2x﹣）﹣1，当x∈[0，π]时，2x﹣∈[﹣，]，当，当，当，所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．18．某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如表：（1）求如表中a、b的值；（2）估计该基地榕树树苗平均高度；（3）若将这100株榕树苗高度分布的频率视为概率，从培育基地的榕树苗中随机选出4株，其中在[104，106）内的有X株，求X的分布列和期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由频率分布表，能求出a和b；（2）取组距的中间值，能估计该基地榕树树苗平均高度；（3）由频率分布表知树苗高度在[104，106）范围内的有25株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．【解答】解：（1）由频率分布表，知：a=100﹣16﹣18﹣25﹣6﹣3=32，；（2）估计该基地榕树树苗平均高度为（cm）；（3）由频率分布表知树苗高度在[104，106）范围内的有25株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3，4…，，，．分布列为E（X）=np=4×0.24=1．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．（1）求证：AC⊥DE；（2）若E为PB的中点，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求EC与平面PAB 所成角θ的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出DP⊥AC，从而BD⊥AC，进而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥DE．（2）连接OE，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EC与平面PAB所成角θ的正弦值．【解答】证明：（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．解：（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，0，），P（0，﹣，t）．设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），则，令y=1，得=（），平面PBD的法向量=（1，0，0），因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以|cos＜＞|==，所以t=2或t=﹣2（舍）），E（0，0，1），=（），，∴，∴EC与平面PAB所成角θ的正弦值为．20．已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（I）求椭圆的方程；（II）若过点M（2，0）的直线与椭圆交于C，D两点，且满足+=t（其中O为坐标原点，P为椭圆上的点），求实数t的取值范围．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，1），B（0，﹣1），直线AF1方程为：x﹣cy+c=0，由题意知=，由此能求出椭圆方程．（2）设AB：y=k（x﹣2），代入方程得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆性质，能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，∴设F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，1），B（0，﹣1）∴直线AF1方程为：x﹣cy+c=0，∵F2到直线AF1的距离为．∴由题意知=，解得c=1，∴a=，∴椭圆方程为．（2）由题意知直线AB的斜率存在，设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）代入方程消元可得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，∴，∵，∴，∵点P在椭圆上，∴，∴16k2=t2（1+2k2），即，∵，∴t2∈（0，4），∴t∈（﹣2，0）∪（0，2）．∴实数t的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）．21．已知函数f（x）=alnx﹣ax（a≠0）．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+1﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证lnn!≤（n≥2，n∈N*）．【考点】66：简单复合函数的导数；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+（a+1）x+1﹣e，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数F（x）的最大值，进而确定a的范围即可；（Ⅲ）令a=1则f（x）=lnx﹣x，根据函数的单调性得到lnx＜x，对x取值，累加即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+（a+1）x+1﹣e=alnx+x+1﹣eF′（x）==0，若﹣a≤e，a≥﹣e，F（x）在[e，e2]是增函数，无解．若e＜﹣a≤e2，﹣e2≤a＜﹣e，F（x）在[e，﹣a]是减函数；x∈[﹣a，e2]是增函数，F（e）=a+1≤0，a≤﹣1，.∴﹣e2≤a≤，若﹣a＞e2，a＜﹣e2，F（x）x∈[e，e2]是减函数，F（x）max=F（e）=a+1≤0，a≤﹣1，∴a＜﹣e2，综上所述a≤（或用参数分离法）（Ⅲ）令a=1则f（x）=lnx﹣x由（1）知f（x）在[1，+∞）上单调递减，又因为f（1）＜0，所以有lnx＜x，即ln2＜2，ln3＜3…lnn＜n，∴．选做题（从两题中选做一题，多选的按所选第一个题给分，满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=2，BC=4时，求AD的长．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据圆内接四边形的性质证出∠BDE=∠BCA且∠DBE=∠CBA，可得△BDE∽△BCA，从而得到AB：AC=BE：DE，结合AB=2AC、AD=DE可得BE=2AD；（II）根据切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，代入数据得到关于AD的方程，解之可得AD=．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ACED为圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，则．∵AB=2AC，∴BE=2DE，结合AD=DE，可得BE=2AD．（II）根据题意，AB=2AC=4，由切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•4，可得（4﹣AD）•4=2AD•4，解得AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l经过点P（，1），倾斜角α=，圆C的极坐标方程为ρ=cos （θ﹣）．（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）由已知中直线l经过点，倾斜角，利用直线参数方程的定义，我们易得到直线l的参数方程，再由圆C的极坐标方程为，利用两角差的余弦公式，我们可得ρ=cosθ+sinθ，进而即可得到圆C的标准方程．（2）联立直线方程和圆的方程，我们可以得到一个关于t的方程，由于|t|表示P点到A，B的距离，故点P到A，B两点的距离之积为|t1•t2|，根据韦达定理，即可得到答案．【解答】解：（1）直线l的参数方程为即（t为参数）…由所以ρ2=ρcosθ+ρsinθ…得…（2）把得……[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．2017年5月30日。
湖南2017届高三9月考理数精选
一、选择题：1. 若2(1)(1)z a a i =-+-为纯虚数，其中a R ∈，则21a iai++等于（ ）A ．i -B ．iC ．1D ．1或i 【答案】B 【解析】试题分析：由题意21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-，21a i ai ++21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++====--+．故选B ．考点：复数的概念，复数的运算． 2. 设A ，B 是两个集合，则“AB A =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】考点：充分必要条件． 3. 设0.31.7a =，3log 0.2b =，50.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】D 【解析】 试题分析：因为0.31.71>，3log 0.20<，500.21<<，所以a c b >>．故选D ．考点：指数函数与对数函数的性质．4. 从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．17 B ．37 C ．47 D ．67【答案】A 【解析】试题分析：这7个点中只有中心到三边中点的距离小于1，因此所求概率为27317P C ==．故选A ．考点：古典概型．5. 在等差数列{}n a 中，已知51012a a +=，则793a a +=（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．30 【答案】C考点：等差数列的通项公式．6. 已知6(1)ax +的二项展开式中含3x 项的系数为52，则a 的值是（ ） A ．18 B ．14 C ．12D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：6(1)ax +6(1)ax =+，含3x 的项为336()C ax 3336C a x =，因此33652C a =，12a =．故选C ．考点：二项式定理的应用． 7. 三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A 2πB πC 2πD π 【答案】D 【解析】 试题分析：()sin(2)cos 26f x x x π=-+sin cos 2cos sin 2cos 266ππx x x =-+3cos 222x x =)3πx =-22πT π==．故选D ．考点：三角函数()sin()f x A ωx φ=+的性质．【名师点睛】简谐运动的图象对应的函数解析式：()sin()f x A ωx φ=+（[0,),0,0x A ω∈+∞>>为常数）．其中物理意义如下：A 是振幅，ωx φ+为相位，φ为初相，周期2πT ω=，频率为12ωf T π==．8. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．43B．2 C．4 D．6【答案】B【解析】试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥A BCDE-，如图，则11[(12)2]2232V=⨯⨯+⨯⨯=．故选B．A考点：三视图，体积．【名师点睛】本题考查三视图，棱锥的体积，解题的关键是由三视图还原出原来的几何体，在由三视图还原出原来的几何体的直观图时，由于许多的几何体可以看作是由正方体（或长方体）切割形成的，因此我们可以先画一个正方体（或长方体），在正方体中取点，想图，连线得出直观图，这样画出直观图后，几何体中的线面关系、线段长度明确清晰，有助于快速解题．9. 给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】考点：程序框图．10. 已知1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（ ）A 1B ．2．2D 【答案】A 【解析】试题分析：由题意12F M F M ⊥，2MF c =，则12M F a c =-，所以222(2)(2)c a c c +-=，解得1ce a==．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．11. 设22(2,cos )a λλα=+-，(,sin )2mb m α=+，其中λ、m 、α为实数，若2a b =，则mλ的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞ B. C ． D ． 【答案】B 【解析】考点：向量的平行．【名师点睛】在变形过程中，由于认识的不同，理解思路的不同，还可以有如下解法：由2a b =得2222cos 2sin λm λαm α+=⎧⎪⎨-=+⎪⎩①②，由②得22cos 2sin m λαα-=+ 2sin 2sin 1αα=-++2(sin 1)2α=--+，∴222m λ-≤-≤，即2222m λλ-≤≤+，又112m λ=+，如图，点(,)m λ构成的图形是线段AB ，其中31(,)24A -，(2,2)B ，而mλ表示线段AB 上的点与原点连线斜率（与m 轴交点斜率不存在除外）的倒数，所以61mλ-≤≤．12. 定义在(0,)2π上的函数()f x ，'()f x 是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x >成立.则有（ ）A()()63f ππ< B 3()2cos1(1)6f f π>C ．2()()46f ππ<D ()()43f ππ<【答案】A 【解析】考点：导数与单调性．【名师点睛】对于已知条件是既有'()f x 又有()f x 的不等式，一般要构造一个新函数()g x ，使得'()g x 可通过此条件判断正负，从而确定单调性，例如我们常常构造函数()()x g x e f x =，()()x f x g x e =，()()g x xf x =，()()f x g x x=，要根据不等式的形式要确定新函数，如本题()()cos g x f x x =．判断出新函数单调性后，可利用此单调性得出不等关系，从而得出结论． 二、填空题：13. 若过点（0,2）的直线l 与圆22(2)(2)1x y -+-=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是______. 【答案】5[0,][,)66πππ 【解析】试题分析：设直线l 方程为2y kx =+1≤得33k -≤≤，当tan k [θ=∈时，5[,)6πθπ∈，当tan [0,θk =∈时，[0,]6πθ∈．所以倾斜角范围是5[0,][,)66πππ． 考点：直线与圆的位置关系，直线的倾斜角．14. 已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值是_________.【答案】9 【解析】考点：简单的线性规划．15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且523n n S n a =-+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式是n a =_________.【答案】153()16n -+【解析】试题分析：∵523n n S n a =-+①，∴当2n ≥时，11(1)523n n S n a --=--+②，①－②得1155n n n a a a -=-+，1651n n a a -=+，∴16(1)5(1)n n a a --=-，即151(1)6n n a a --=-，又1111523a S a ==-+，14a =，113a -=，从而{1}n a -是等比数列，所以1513()6n n a --=⨯，即153()16n n a -=⨯+．考点：数列的通项公式．【名师点睛】已知数列的和n S 与项n a 的关系(,)0n n f S a =，求数列的通项公式，一般再写出一个等式：当2n ≥时，11(,)0n n f S a --=，然后两式相减得11(,)(,)0n n n n f S a f S a ---=，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，可以得到数列{}n a 的递推公式，再由递推公式变形求通项公式，比较简单的这个递推公式经过简单的变形就可求出通项（如本题），稍微复杂的可能要象刚才一样把递推式再写一次（用1n -代n ）后相减，得出简单的关系，从而得出结论．16. 已知三棱锥S ABC -的顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为2的正三角形，SC 为球O 的直径，且4SC =，则此三棱锥的体积为________.【答案】3【解析】考点：棱锥与外接球，棱锥的体积．【名师点睛】在多面体的外接球中，关键问题是找出球心位置．这里要用到一个结论，即球的截面的性质：球的截面圆的圆心与球心连线与截面圆垂直．因此三棱锥S ABC -的球心O 一定在过ABC ∆的外心且与平面ABC 垂直的直线上，在计算时还可用到公式：设球半径为R ，截面圆半径为r ，球心到截面圆所在平面的距离为d ，则222R r d =+． 三、解答题 ：17. （本小题满分12分）已知ABC ∆是半径为2的圆的内接三角形，内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos cos cos a A c B b C =+.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2218b c +=，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3A π=； 【解析】试题分析：（Ⅰ）已知边角关系，要求角，可以利用正弦定理化“边”为“角”，再由两角和的正弦公式变形即可求得A 角；（Ⅱ）有了角A ，又有外接圆半径，同样由正弦定理可求得边a ，从而由余弦定理可得,b c（Ⅱ）由1cos 2A =得：sin 2A =，由（Ⅰ）得4sin a A ==∵2222os a b c bc A =+-，∴22218126bc b c a =+-=-=，∴11sin 622ABC S bc A ∆==⨯=…………………………12分 考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积． 18. （本小题满分12分）某班50位学生在2016年中考中的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. （Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望.【答案】（Ⅰ）0.018x =；（Ⅱ）12． 【解析】 取值有0,1,2；922126(0)11C P C ξ===；91132129(1)22C C P C ξ===；232121(2)22C P C ξ===，∴69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=.………………12分 考点：频率分布直方图，随机变量的数学期望． 19. （本小题满分12分）如图，在直二面角E AB C --中，四边形ABEF 是矩形，2AB =，AF =ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3PF =. （Ⅰ）证明：BF ⊥面PAC ； （Ⅱ）求二面角A BC P --的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；. 【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知：4FB =，cos cos PFA ∠=∠，PA∵2223912PA PF AF +=+==,∴PA BF ⊥. ∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF平面ABC AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面ABEF .∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC BF ⊥. ∵PAAC A =，∴BF ⊥平面PAC .………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB 、AC 、AF 两两互相垂直，以A 为原点，AB 方向为x 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，F .设二面角A BC P --的平面角为θ，由题中条件可知(0,)2πθ∈，则00cos ||||||1n m n m θ++===+∴二面角A BC P --的余弦值为7.………………12分考点：线面垂直的判断，二面角．【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．当然如果图形中已经有棱的垂面了，二面角的平面角已经出现了，因此直接用定义求二面角即可，没必要再用向量法求解．20. （本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段12PP 、34P P 的中点分别为1M 、2M .（Ⅰ）求线段12PP 的中点1M 的轨迹方程；（Ⅱ）求12FM M ∆面积的最小值；（Ⅲ）过1M 、2M 的直线l 是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22(1)(1)y x x =->；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直线l 恒过定点(3,0).【解析】试题解析：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ， 设直线12PP 的方程为(1)y k x =-,0k ≠. 联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得22222(2)0k x k x k -++=.22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则112212()12M x x x k =+=+， 112(1)M M y k x k =-=，∴112112M M x y =+.（Ⅲ）当1k ≠±时，由（Ⅱ）知直线l 的斜率为：2'1k k k =-， 所以直线l 的方程为: 222(21)1k y k x k k+=---,即2(3)0yk x k y +--=，（*） 当3x =，0y =时方程（*）对任意的(1)k k ≠±均成立，即直线l 过点(3,0).当1k =±时，直线l 的方程为：3x =，也过点(3,0).所以直线l 恒过定点(3,0).……………………12分考点：求轨迹方程，直线与抛物线相交的综合问题．21. （本小题满分12分） 设函数21()ln (0)2f x x x mx m =+->. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 的零点个数；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =没有经过原点的切线.【答案】（Ⅰ）02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；2m >时，12m x =，2x =()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减；（Ⅱ）有且仅有一个零点；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，211'()x mx f x x m x x-+=+-=. 令'()0f x =，得210x mx -+=.当240m ∆=-≤，即02m <≤时，'()0f x ≥，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增.当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得，1x =2x =120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内，'()0f x >，在12(,)x x 内，'()0f x <，∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减.………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点. 又∵1()(2)ln 2f x x x m x =-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <；当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点.（Ⅲ）假设曲线()y f x =在点(,())(0)x f x x >处的切线经过原点， 则有()'()f x f x x =，即21ln 12x x mx x m x x+-=+-， 化简得：21ln 10(0)2x x x -+=>.（*） 记21()ln 1(0)2g x x x x =-+>，则211'()x g x x x x-=-=， 令'()0g x =，解得1x =.当01x <<时，'()0g x <，当1x >时，'()0g x >， ∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线.………………12分 考点：导数与单调性，函数的零点，导数的几何意义．【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域→求导数f'(x )→求f'(x )=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x )在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性当f (x )不含参数时,也可通过解不等式f'(x )>0(或f'(x )<0)直接得到单调递增(或递减)区间.2．导数的几何意义函数y=f (x )在x=x 0处的导数f'(x 0)的几何意义是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0) .3．零点存在定理：函数()f x 在[,]a b 上有定义，若()()0f a f b <，则()f x 在(,)a b 上至少有一个零点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G .（Ⅰ）证明：DAO FBC ∠=∠；（Ⅱ）证明：AE BE =.【答案】证明见解析．【解析】试题解析：（Ⅰ）连接FC ，OF ，∵AB AF =，OB OF =，∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥.∵BC 是O 的直径， ∴CF BF ⊥，∴//OG CF ，∴AOB FCB ∠=∠，∴90DAO AOB ∠=-∠，90FBC FCB ∠=-∠，∴DAO FBC ∠=∠.………………5分考点：垂径定理，三角形全等的判定与性质．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，[0,2)θπ∈.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点D 是曲线C 上一动点，求点D 到直线:32x l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数，t R ∈）的最短距离.【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=；（Ⅱ）1．【解析】试题分析：（Ⅰ）由公式222,cos ,sin ρx y ρθx ρθy =+==可化极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）曲线C 是圆，把直线的参数方程化为普通方程后，求出圆心到直线的距离d ，d r -就是所求距离的最小值．试题解析：（Ⅰ）由2sin ρθ=，[0,2)θπ∈.得22sin ρρθ=，即2220x y y +-=；……………………4分（Ⅱ）由直线:32x l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩50y +-=. 由（Ⅰ）知曲线C 为圆：2220x y y +-=，即22(1)1x y +-=，所以圆心坐标为（0,1），圆心到直线50l y +-=的距离为2d ==. ∴D 到直线l 的最短距离为1.……………………10分考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||5f x x a x =-+.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集；（Ⅱ）若1x ≥-时恒有()0f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(,6][4,)-∞-+∞．【解析】试题解析：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+，∴|1|553x x x ++≤+，∴|1|3x +≤，∴42x -≤≤.∴不等式()53f x x ≤+的解集为.……………………5分（Ⅱ）若1x ≥-时，有()0f x ≥，∴||50x a x -+≥，即||5x a x -≥-，∴5x a x -≥-或5x a x -≤，∴6a x ≤或4a x ≥-， ∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-或4a ≥.∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞.……………………10分 考点：绝对值不等式．。
2017级高三数学上学期九月月考试题理
2017级高三数学上学期九月月考试题理第Ⅰ卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集,集合，则A． B． C． D．2．设是非零向量，则“”是“”成立的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3．已知，则的大小关系为A． B． C． D．4．已知，则A.-3B.-2C. 2D. 35．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数的值为A． B． C．1 D．26．在中，为中点，为中点，过作一直线分别交于两点，若（），则A． B． C． D．7．函数（＜）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度8．若非零向量满足，向量与垂直，则与的夹角为A． B． C． D．9．设A、B、C是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为A. B. C. D.10．已知函数，则A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称C. 在上单调递减D. 在上单调递减，在上单调递增11．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为A. B. C. D.12．设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，函数在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是A． B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13. 已知，，且共线，则向量在方向上的投影为__________．.14. 已知且．则_________.15. 如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则______________16. 如图，设的内角所对的边分别为，，且.若点是外一点，，则当四边形面积最大时，．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知函数与函数且图象关于对称（Ⅰ）若当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求函数最小值．18.（本小题满分12分）已知内角的对边分别为，面积为，且．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的值．19.（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数的最小正周期和对称中心坐标；（II）讨论在区间上的单调性．20.（本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若为锐角三角形，且求面积的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数在上的最值；（Ⅱ）若存在,使得不等式成立，求实数的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若恒成立，求实数的值；（Ⅱ）存在，且，，求证：．2017级高三数学上学期九月月考试题理第Ⅰ卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集,集合，则A． B． C． D．2．设是非零向量，则“”是“”成立的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3．已知，则的大小关系为A． B． C． D．4．已知，则A.-3B.-2C. 2D. 35．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数的值为A． B． C．1 D．26．在中，为中点，为中点，过作一直线分别交于两点，若（），则A． B． C． D．7．函数（＜）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度8．若非零向量满足，向量与垂直，则与的夹角为A． B． C． D．9．设A、B、C是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为A. B. C. D.10．已知函数，则A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称C. 在上单调递减D. 在上单调递减，在上单调递增11．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为A. B. C. D.12．设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，函数在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是A． B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13. 已知，，且共线，则向量在方向上的投影为__________．.14. 已知且．则_________.15. 如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则______________16. 如图，设的内角所对的边分别为，，且.若点是外一点，，则当四边形面积最大时，．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知函数与函数且图象关于对称（Ⅰ）若当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求函数最小值．18.（本小题满分12分）已知内角的对边分别为，面积为，且．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的值．19.（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数的最小正周期和对称中心坐标；（II）讨论在区间上的单调性．20.（本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若为锐角三角形，且求面积的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数在上的最值；（Ⅱ）若存在,使得不等式成立，求实数的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若恒成立，求实数的值；（Ⅱ）存在，且，，求证：．。
黑龙江省牡丹江市2017届高三9月月考数学(理)试题
2017届高三9月份月考数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的） 1、余弦函数cos()4y x π=+在下列哪个区间为减函数（ ）A ．]4,43[ππ-B ．]0,[π-C ．]43,4[ππ-D ．]2,2[ππ-2、已知34tan =x ,且x 在第三象限，则=x cos （ ）A.54 B.54-C.53 D.53-()()12log 321-=x xx f 、若，则()f x 的定义域为（ ）A.)1,21(B.),21(+∞C.),1()1,21(+∞⋃ D.)2,21( 4、下列函数中是偶函数且值域为(0,)+∞的函数是（ ）A ．|tan |y x =B ．1lg 1x y x +=- C ．13y x = D ．2y x -=5、函数34)(-+=x e x f x的零点所在的区间（ ）A.)0,41(-B.)410(，C.)21,41(D.)43,21( 6、已知集合}02|{2<--=x x x A ，}11lg |{xx y x B +-==，在区间)3,3(-上任取一实数x ,则B A x ⋂∈的概率为（ ）A.81B.41C.31D.121 7、已知函数2()(1)xf x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ）8、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,40,2)(x x x x a x f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．]4,(-∞ D ．)4,(-∞9、已知一元二次方程01)1(2=+++++b a x a x 的两个实根为21,x x ，且1,1021><<x x ，则ab的取值范围是（ ）A ．)21,2(-- B.]21,2(-- C.)21,1(-- D.]21,1(--10、已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，则y x +的最小值是（ ） A.16 B.20 C.18 D.2411、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=153,6sin 30,log 3x x x x x f π，若存在实数4321,,,x x x x ，满足4321x x x x <<<，且()()()()4321x f x f x f x f ===，则2143x x x x +的值等于（ ） A.π18 B.18 C.π9 D.912、设函数()y g x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：(),(())(),(())k g x g x k g x k g x k ≤⎧=⎨>⎩，取函数()2xg x ex e -=--，若对任意(,)x ∈-∞+∞，恒有()()k g x g x =，则（ ）A ．k 的最大值为12e e --B ．k 的最小值为12e e-- C ．k 的最大值为2 D ．k 的最小值为2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13、若函数()()3222f x a x ax x =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为 ．14、已知函数()212log y x ax a =-+在区间[)+∞,2上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15、函数)(x f 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<≤--=30),1(log 01,1)21()(2x x x x f x对于任意的R x ∈都有)2()2(-=+x f x f .若在区间]3,5[-上函数m mx x f x g +-=)()(恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是_______________________16、对定义在区间D 上的函数)(x f 和)(x g ，如果对任意D x ∈，都有1)()(≤-x g x f 成立，那么称函数)(x f 在区间D 上可被)(x g 替代，D 称为“替代区间”．给出以下命题：①1)(2+=x x f 在区间),(+∞-∞上可被21)(2+=x x g 替代； ②x x f =)(可被x x g 411)(-=替代的一个“替代区间”为]23,41[；③x x f ln )(=在区间],1[e 可被b x x g -=)(替代，则22≤≤-b e ；④)(sin )(),)(lg()(212D x x x g D x x ax x f ∈=∈+=，则存在实数)0(≠a a ，使得)(x f 在区间21D D ⋂ 上被)(x g 替代；其中真命题的有___________________-三、解答题：本大题共6小题，共70分。
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黄冈市2017届高三九月起点考试数学试卷（理科）一、选择题1. 已知函数()f x =的定义域为(),ln(1)M g x x =+的定义域为N ，则()R MC N =( )A ．{}|1x x <B ．{}|1x x ≥C ．φD ．{}|11x x -<< 2．给定下列三个命题：P 1：∀a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0； P 2：存在m ∈R,使f(x)=(m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上是递减的 则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨(¬p 3)D ．(¬p 2)∧p 33. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= ( )A ．120B ．105C ．90D ．754.若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥， αβ⊥，则βγ⊥5.设条件甲：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；条件乙：01a <<，则命题甲是命题乙成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．3．3 C ．1+ D ．1+ 7.函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )8.函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（ ） （A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数9.在RT ⊿ABC 中，∠BCA=900，AC=BC=6，M 、N 是斜边AB 上的动点，MN=2 2 ，则CM CN 的取值范围为（ ）A ．[]18,24B ． []16,24C ．（16,36）D ． （24,36）10. 设12x <<，则222ln ln ln ,,x x x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A 、222ln ln ln x x xx x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B 、222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C 、222ln ln ln x xx x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D 、222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭11.设1F 、2F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()22F F 0OP +O ⋅P =（O 为坐标原点）且12FF λP =P ，则λ的值为（ ）A ．2B ．12 C ．3 D ．1312.已知()x f x x e =⋅，又()()()2g x f x t f x =+⋅（R t ∈），若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A ．21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上一点A （4，m）到其焦点的距离为，则p 的值是 ．.14. 设函数f (x )=若f (a )>f (1)，则实数a 的取值范围是15.已知向量，满足||=2，||=1，与的夹角为，则与+2的夹角为 ．16.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列3个命题： ①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--在()1,+∞上有3个零点； 则其中所有真命题的序号是 ．三、解答题（共6个小题，满分80分）17.（本题满分10分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=asinC ﹣ccosA ．（1）求A ；（2）若a=1，△ABC 的面积为34 ，求b ，c ．18.（本题满分12分）在直角坐标系XOY 中，已知点A （1,1），B （3,3），点C 在第二象限，且ABC 是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形。
点P （x,y ）在ABC 三边围城的区域内（含边界）。
（1） 若0,PA PB PC OP ++=求 ;（2） 设(,)OP mAB nAC m n R =+∈ ,求m+2n 的最大值。
19.（本题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．:()2x p f x m =+为定义在[]1,1-上的“局部奇函数”； :q 曲线2()(51)1g x x m x =+++与x 轴交于不同的两点；若p q ∧“”为假命题，p q ∨“”为真命题，求m 的取值范围．20.（本题满分12分）.已知数列{a n }的前项和为，向量=(，且与共线。
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .21.（本题满分12分） 已知函数f(x)=x 2-2x-8,（1）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围(2)记那么当时，是否存在区间使得函数在区间上的值域恰好为？若存在，请求出区间;若不存在，请说明理由。
22．（本题满分12分）已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，a ∈R ． （1）若函数f （x ）在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令g （x ）=f （x ）﹣x 2，是否存在实数a ，当x ∈（0，e ]（e 是自然常数）时，函数g （x ）的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （3）当x ∈（0，e ]时，证明：．2016年高三九月考试数学试题（理科）答案一、A D B C C A B B D A A B二、13. 12 14. (-∞，-1)∪(1，+∞) 15. π616. ①③三、解答题17.解：（1）由已知结合正弦定理可得sinC=sinAsinC ﹣sinCcosA ，……2分∵sinC ≠0，∴1=sinA ﹣cosA=2sin （A ﹣π6），即sin （A ﹣π6）= 12 ，……4分又∵A ∈（0，π），∴A ﹣π6∈（﹣π6，5π6），∴A ﹣π6= π6， ∴A= π3，…………5分（2）S=12 bcsinA ，即34 =12 bc 32 ，∴bc=1，①… 7分 又∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b +c ）2﹣2bc ﹣2bccos π3， 即1=（b +c ）2﹣3，且b ，c 为正数，∴b +c=2，②……9分由①②两式解得b=c=1．…… 10分18.【解析】若p 为真，则由于()2x f x m =+ 为[]1,1- 的局部奇函数，从而-()()02+220x x f x f x m +-=+=即 在[]1,1-上有解……2分若p 真q 假，则5143155m m ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，得无交集若p 假q 真，则5141355m m m m ⎧>-<-⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或或，得54m <-或315m -<<-或15m >综上知m 的取值范围为54m <-或315m -<<-或15m > ……12分19.解：（1）A （1,1），B （3,3），ABC 是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形且C 在第二象限，(1,3)C ∴- ，0,PA PB PC ++=P 是ABC 的重心，7(1,)3P ∴ 58OP = ……5分(2) (,)OP mAB nAC m n R =+∈,(2,2),(2,2)AB AC ==-(),(22,22)x y m n m n =-+ ，3,,2444x y y x y xm n m n +--==+= ……9分 有线性规划知3y x -的最大值为10，此时1,3x y =-= m+2n 的最大值为52 ……12分 20.解 (1)与共线，2(97)97222n n n S n n -==- ，111,98n n n a a S S n -==-=- 所以a n ＝9n －8(n ∈N *)． ……6分(2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180. ……12分21解：(1) f(x)=x 2-2x-8,2228(2)15,(4)703x x m x m x m x m x -->+---+++>>即对恒成立则①43293(4)70m m m +⎧≤⎪⎨⎪-+++≥⎩ 或②2(4)4(7)0m m ∆=+-+≤解得①2m ≤ 或 ②62m -≤≤综合得m 的取值范围为(],2-∞ …………6分（注：亦可分离变量24731x x m x x -+<>-对恒成立 ） （2）22111()(1)222h x x x x =-+=--+ ，max 1()2kn h x ≤= 11,,122n k n k ≤≥∴≤又 ，[](),h x m n ∴在上单调递增，221()2,,()12m m kmh m km h n kn n n kn ⎧-+=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪-+=⎪⎩ m,n 是方程-12 x 2+(1-k)x=0的两根，x 1=0,x 2=2-2k [][][][]11,0,2221,22,01k m n k k m n k k ∴≤<=->=-=当时，当时，当时，不存在区间…………12分 22.解：（1）在[1，2]上恒成立， 令h （x ）=2x 2+ax ﹣1，有得，得…………3分（2）假设存在实数a ，使g （x ）=ax ﹣lnx （x ∈（0，e ]）有最小值3，=①当a≤0时，g （x ）在（0，e ]上单调递减，g （x ）min =g （e ）=ae ﹣1=3，（舍去），②当时，g （x）在上单调递减，在上单调递增∴，a=e 2，满足条件．③当时，g （x ）在（0，e ]上单调递减，g （x ）min =g （e ）=ae ﹣1=3，（舍去），综上，存在实数a=e 2，使得当x ∈（0，e ]时g （x ）有最小值3． ………………8分 （3）令F （x ）=e 2x ﹣lnx ，由（2）知，F （x ）min =3．令，，当0＜x≤e 时，ϕ'（x ）≥0，φ（x ）在（0，e ]上单调递增∴∴，即＞（x+1）lnx ．…………12分 命题人：黄州区一中 童云霞 审题人：黄冈中学 张智黄州区一中 张彦。