(新课标)高考数学总复习-第8章 立体几何 第4节 直线、平面垂直的判定与性质课件 新人教A版
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第八章第四节直线平面垂直的判定与性质pptx课件北师大版
第四节 直线、平面垂直的判定与性质
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.从定义和基本事实出发,借 1.空间中垂直关系的判
助长方体,通过直观感知,了
定
解空间中直线与直线、直线 2.线面垂直的判定与性
与平面、平面与平面的垂直 质
直观想象
关系,并加以证明.
逻辑推理
图形语言
符号语言
那么这两个平面垂直
⊂
⇒
⊥
实际应用:找出一个平面的垂面的依据
α⊥β
两个平面垂直,如果一个平面内有一条
⊥
⋂ =
⊂
⊥
⇒ b⊥α
性质
直线垂直于这两个平面的交线,那么这
定理
条直线与另一个平面垂直
一定不能漏掉:“垂直于交线”这一条件
微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平
D.若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β
(2)(2021浙江丽水二模)已知直线l,m,平面α,β,则(
A.若l⊂α,m∥l,则m∥α
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
D.若m⊂α,l⊂β,l∥m,则α∥β
)
答案 (1)C (2)B
解析 (1)对于A,若a⊥α,α∥β,则a⊥β.又b⊥β,所以a∥b,故A正确;
解析 当a⊂α且a垂直于α,β的交线时,满足已知条件;当a∥α时也满足已知条
件
增素能 精准突破
考点一
空间中垂直关系的判定
典例突破
例1.(1)已知a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,下列说法错
高考数学一轮复习第八章立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质课件
[变式训练 1] 如图 41-3，在三棱锥 A-BCD 中，AB⊥平面 BCD，CD⊥BD.
(1)求证：CD⊥平面 ABD； (2)若 AB＝BD＝CD＝1，M 为 AD 中点，求三棱锥 A-MBC 的体积． [解] (1)证明：因为 AB⊥平面 BCD，CD⊂平面 BCD， 所以 AB⊥CD. 又因为 CD⊥BD，AB∩BD＝B， AB⊂平面 ABD，BD⊂平面 ABD， 所以 CD⊥平面 ABD.
5．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的 长为________．
a [如图所示，取 BD 的中点 O，连结 A′O，CO，则∠A′OC 是二面角 A′-BD-C 的平面角．
即∠A′OC＝90°，又 A′O＝CO＝ 22a， ∴A′C＝ a22＋a22＝a，即折叠后 AC 的长(A′C)为 a.]
4．(教材改编)在三棱锥 P-ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O， (1)若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的____________心． (2)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是△ABC 的____________心． (1)外心 (2)垂心 [∵PO⊥平面 ABC，且 PA＝PB＝PC， ∴OA＝OB＝OC，∴O 是△ABC 的外心． (2)∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面 PBC， ∴PA⊥BC，又 PO⊥BC ∴BC⊥平面 PAO∴AO⊥BC， 同理 BO⊥AC，CO⊥AB， ∴O 是△ABC 的垂心．]
ll⊂ ⊥βα⇒α⊥βຫໍສະໝຸດ 如果两个平面互相垂直，那么在一
性质 定理
个平面内垂直于它们_交__线__的直线
垂直于另一个平面
α⊥β lα⊂∩ββ＝a⇒_l⊥__α_ l⊥a
新高考数学一轮总复习课件第八章第四节直线、平面垂直的判定及其性质
(2)在 CC1 上取点 M 使得 CM＝2MC1，连接 DM，MF，EC1， 因为 D1E＝2ED，DD1∥CC1，DD1＝CC1， 所以 ED＝MC1，ED∥MC1， 所以四边形 DMC1E 为平行四边形，所以 DM∥EC1， 因为 MF∥DA，MF＝DA，所以四边形 MFAD 为平行四边形，所以 DM∥AF，所以 EC1∥AF， 因此点 C1 在平面 AEF 内．
(2)过 M 作 PN 的垂线，交点为 H，如图：
因为 AO∥平面 EB1C1F， AO⊂ 平面 A1AMN，平面 A1AMN∩平面 EB1C1F＝NP， 所以 AO∥NP，又因为 NO∥AP，所以 AO＝NP＝6，AP＝ON， 因为 O 为△A1B1C1 的中心，
1
π1
π
所以 ON＝3 A1C1sin 3 ＝3 ×6×sin 3 ＝ 3 ，
A．α∥β⇒ m∥n
B．α⊥β⇒ m⊥n
C．m⊥α⇒ α⊥β
D．m⊥n⇒ m⊥α
【解析】选 C.由平面 α，β，直线 n⊂α，直线 m⊂β，知：对于 A，α∥β， 则 m，n 平行或异面，故 A 错误；对于 B，α⊥β，则 m，n 相交、平行或异面， 故 B 错误；对于 C，m⊥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故 C 正确； 对于 D，m⊥n，则 m 与 α 相交、平行或 m⊂α，故 D 错误．
(2)选 C.因为平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC∩平面 BCD＝BC，BC⊥BD，所以 BD⊥平面 ABC，又 AC⊂ 平面 ABC，所以 BD⊥AC，故①正确．因为 BD⊥AC，BD ⊥BC，AC∩BC＝C，所以 BD⊥平面 ABC，又因为 BD⊂ 平面 ABD，所以平面 ABD ⊥平面 ABC，故②正确．因为 AC⊥AB，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以 AC⊥平面 ABD，又 AC⊂ 平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 ABD，故③正确．
2023版高考数学一轮总复习：直线平面垂直的判定及性质课件理
考向1
线面垂直的判定与性质
方法技巧 1.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α);
(2)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α);
(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
(4)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.
考向1
解析
线面垂直的判定与性质
(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,
故B1C1⊥BE.(线面垂直的性质的应用)
又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,B1C1⊂平面EB1C1,EC1⊂平面EB1C1,所以BE⊥平面
2
,平面B1DC分三棱柱
2
考向1
线面垂直的判定与性质
解析 (1)∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴BB1⊥平面ABC,
又BC⊂平面ABC,∴BB1⊥BC.(利用线面垂直的性质证明线线垂直)
∵平面BCC1B1⊥平面A1ABB1,平面BCC1B1∩平面A1ABB1=BB1,BC⊂平面BCC1B1,
图形语言
符号语言
l⊥α
直,则该直线与此平面
垂直.
性质定理
同一个
垂直于________平面的
两条直线平行.
a∥b
考点1
直线与平面平行的判定与性质
规律总结
垂直关系中常用的6个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂
直的一个重要方法).
(2)若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.
全国版高考数学一轮复习第8章立体几何第4讲直线平面垂直的判定及性质课件理
立体几何
第四讲 直线、平面垂直的判定及性质
考点帮·必备知识通关
考点1 直线与平面垂直的判定与性质
考点2 平面与平面垂直的判定与性质
考法帮·解题能力提升
考法1 线面垂直的判定与性质
考法2 面面垂直的判定与性质
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
通思想· 方法指导
思想方法 转化思想在立体几何中的应用
考情解读
考点内容
课标
要求
考题取样
1.直线与平
面垂直的判 掌握 2020全国Ⅰ,T18(1)
定与性质
2.平面与平
面垂直的判 掌握 2020全国Ⅱ,T20(1)
定与性质
情境
载体
课程学
习
课程学
习
对应
考法
预测
热度
核心
素养
直观想象
考法1 ★★★ 数学运算
逻辑推理
直观想象
考法2 ★★★ 逻辑推理
数学运算
考情解读
平面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面
互相垂直.
2.平面与平面垂直的判定定理和性质定理
定理
文字语言
判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这
定理 两个平面垂直.
性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于
定理 交线的直线与另一个平面垂直.
图形语言
符号语言
考法帮·解题能力提升
考法1 线面垂直的判定与性质
考法2 面面垂直的判定与性质
考法1 线面垂直的判定与性质
示例1 如图8-4-3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=AC=
2020届高考数学总复习第八章立体几何8_4直线、平面垂直的判定与性质课件文新人教A版
7．如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的 正方形，侧棱 PA＝a，PB＝PD＝ 2a，则它的 5 个面中，互相垂 直的面有__________对．
【解析】 由底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA＝a， PB＝PD＝ 2a，可得 PA⊥底面 ABCD，而 PA⊂平面 PAB，PA⊂ 平面 PAD，可得面 PAB⊥面 ABCD，面 PAD⊥面 ABCD，AB⊥面 PAD，可得面 PAB⊥面 PAD，BC⊥面 PAB，可得面 PAB⊥面 PBC， CD⊥面 PAD，可得面 PAD⊥面 PCD.故共 5 对互相垂直的面．
角度2 利用线面垂直证明线线垂直 【 例 3 】 如 图 ， 在 三 棱 锥 A-BCD 中 ， AB ⊥ AD ， BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重 合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
(1)求证：EF∥平面ABC. (2)求证：AD⊥AC.
【 证 明 】 (1) 在 平 面 ABD 内 ， 因 为 AB⊥AD ， EF⊥AD，
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：如图，连接AC交BD于O.
因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P 为AM中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD ，所以MC∥平面PBD.
【反思归纳】
跟 踪 训 练 2 如 图 ， 在 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA ⊥ AB ， PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中 点，E为线段PC上一点．
【反思归纳】
考点三 面面垂直的判定与性质 【例4】 (2018·全国Ⅲ卷)如图，矩形ABCD所在平面与 半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第八章 立体几何 直线、平面垂直的判定与性质
§8.5 直线、平面垂直的判定与性质考纲展示►1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．考点1 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直（1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：答案:(1）任意一条(2)两条相交直线a，b⊂αa∩b＝O l⊥al⊥b平行a⊥αb⊥α（1）[教材习题改编]下列命题中不正确的是（)A．如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案：A（2）[教材习题改编］如图，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．答案:4［典题1］（1）［2017·上海六校联考］已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（)A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β［答案］C［解析］由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．（2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB ⊥AD，AC⊥CD,∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.［证明] ①在四棱锥P－ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC。
而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE。
高考数学 专题八 立体几何 4 直线、平面垂直的判定与性质课件 理
利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法:先从现有的直线中
寻找平面的垂线,若这样的直线在图中存在,则可通过线面垂直来证明
面面垂直;若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决.作辅
助线应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.
证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来
∴EO⊥平面ABCD.
由(1)知△ABD,△EBD都是直角三角形,
∴BD= A
=2
, AD2
B2
∴S△EBD= 1
2
3
ED·BD=2 3 . (10分)
设点C到平面EBD的距离为h,
由VC-EBD=VE-BCD,得 1
3
又S△BCD= 1
2
S△EBD·h=1
S△BCD·EO,
3
BC·CDsin 120°= 3 ,
(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
12/10/2021
考向突破
考向一 证明空间直线与平面垂直
例1 (2018广东东莞模拟,18)如图1,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分
别为CD、AB边上的点,且DE=3,BF=4,将△BCE沿BE折起至△PBE的位
置(如图2所示),连接AP、PF,其中PF=2 5.
又AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.
(2)由于AB=BC,则BD⊥AC,
由(1)可知,SD⊥平面ABC,又BD⊂平面ABC,∴SD⊥BD,
又SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.
12/10/2021
方法2
证明平面与平面垂直的方法
1.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算平面
2024版新教材高考数学总复习：第四节直线平面垂直的判定与性质课件
夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.( × ) (2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一 个平面．( × ) (4)垂直于同一个平面的两个平面平行．( × )
2．(教材改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满
足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
答案：C
解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相 交或异面，故B、D错，对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确，故选C.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 [2023·河南安阳期末]如图，在正四棱锥P - ABCD中，侧棱长为
3，底面边长为2，点E，F分别为CD，CB中点．求证： (1)PA⊥EF； (2)平面PAD⊥平面PBC.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
如果一条直线与一个
判定 定理
平面内的两条 ___相_交____ 直 线 垂 直 ， 那么该直线与此平面
垂直
性质 垂直于同一个平面的 定理 两条直线___平_行____
图形语言
符号语言
l⊥a l⊥b a⊂α b⊂α a∩b＝O
a⊥α b⊥α
2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直__二_面__角___，就说这两个
[常用结论] 1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任 意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个 平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面 也垂直． 5．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三 个平面．
高中 高考数学专项复习 立体几何 第四节 直线、平面垂直的判定与性质
定理 垂直，则该直线与此 平面垂直
文字语言 性质 定理 垂直于同一个 平面的两条直
图形语言
符号语言 a⊥α ⇒a∥b b⊥α
证明直线与平面垂直的方法 (1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条 直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)； (2)判定定理(常用方法)； (3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一 条也垂直于这个平面(客观题常用)； (4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则 它必垂直于另一个平面(客观题常用)；
解： (1)∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BD 与 AC 相互垂直平分， 1 ∴底面 ABCD 的面积 S 菱形 ABCD＝2×6×8＝24， 1 ∴S△ABC＝2S 菱形 ABCD＝12. 又 PB⊥平面 ABCD，且 PB＝3， 1 ∴三棱锥 APBC 的体积 VAPBC＝VPABC＝3×PB×S△ABC＝12.
第四节 直线、平面 垂直的判定 与性质
本节主要包括2个知识点： 1.直线、平面垂直的判定与性质； 2.平行与垂直的综合问题.
突破点(一)
直线、平面垂直的判定与性质
基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．直线与平面垂直
任意一条 (1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的_________
直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
[证明]
法一： 如图， 取 PA 的中点 H，
连接 EH，DH. 因为 E 为 PB 的中点， 1 所以 EH∥AB，EH＝2AB. 1 又 AB∥CD，CD＝2AB， 所以 EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形 DCEH 是平行四边形．所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD， 所以 CE∥平面 PAD.
高考数学 考点 第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面垂直的判定与性质(理)-人教版高三全册
考点8.4 直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直 (1)定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面． (2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角 (1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)X 围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示 垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示 垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．1．（2017•新课标Ⅲ）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则() A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1A E AC ⊥ 【答案】C【解析】法一：连1B C ，由题意得11BC B C ⊥， 11A B ⊥平面11B BCC ，且1BC ⊂平面11B BCC ，111A B BC ∴⊥， 1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A ECB ， 1A E ⊂平面11A ECB ， 11A E BC ∴⊥．故选C ．法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则1(2A ，0，2)，(0E ，1，0)，(2B ，2，0)，(0D ，0，0)，1(0C ，2，2)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，1(2A E =-，1，2)-，1(0DC =，2，2)，(2BD =-，2-，0)， 1(2BC =-，0，2)，(2AC =-，2，0)，112A E DC =-，12A E BD =，110A E BC =，16A E AC =， 11A E BC ∴⊥．故选C ．2．（2016•某某）已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则() A ．//m l B ．//m n C ．n l ⊥D ．m n ⊥ 【答案】C【解析】互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足//m α，//m β∴或m β⊂或m 与β相交，l β⊂， n β⊥， n l ∴⊥．故选C ．3．（2019•）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】若l α⊥，l m ⊥，则//m α．（或若l α⊥，//m α，则)l m ⊥ 【解析】由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α．若l α⊥，//m α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l m ⊥，∴若l α⊥，//m α，则l m ⊥故答案为：若l α⊥，l m ⊥，则//m α．（或若l α⊥，//m α，则)l m ⊥．4．（2019•某某）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ⊥．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点， //DE AB ∴，11//AB A B ，11//DE A B ∴，DE ⊂平面1DEC ，11A B ⊂/平面1DEC ，11//A B ∴平面1DEC ．解：（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 的中点，AB BC =． BE AC ∴⊥，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， 1BE AA ∴⊥，又1AA AC A =，BE ∴⊥平面11ACC A ，1C E ⊂平面11ACC A ，1BE C E ∴⊥．5．（2017•某某）如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、(F E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF AD ⊥．求证：（1）//EF 平面ABC ； （2）AD AC ⊥．【解析】（1）AB AD ⊥，EF AD ⊥，且A 、B 、E 、F 四点共面，//AB EF ∴，又EF ⊂/平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；（2）在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得//FG BC ，则//EG AC ， BC BD ⊥，//FG BC ，FG BD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，FG ⊂平面BCD ， FG ∴⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，FG AD ∴⊥，AD EF ⊥，且EFFG F =，AD ∴⊥平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，AD EG ∴⊥，//EG AC ，AD AC ∴⊥．6．（2020•某某）在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C的中点．（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB ．【解析】（1）E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以//EF 平面11AB C ；（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面1ABB ， 所以1B C AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1AC B C C =，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，所以AB ⊥平面1AB C ， 因为AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB ．7．（2020•新课标Ⅰ）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P ABC -的体积．【解析】（1）连接OA ，OB ，OC ，ABC ∆是底面的内接正三角形， 所以AB BC AC ==．O 是圆锥底面的圆心，所以：OA OB OC ==，所以222222AP BP CP OA OP OB OP OC OP ===+=+=+， 所以APB BPC APC ∆≅∆≅∆， 由于90APC ∠=︒， 所以90APB BPC ∠=∠=︒， 所以AP BP ⊥，CP BP ⊥， 由于APCP P =，所以BP ⊥平面APC ， 由于BP ⊂平面PAB ， 所以：平面PAB ⊥平面PAC ．（2）设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，所以l =，所以22rr π+=，整理得22(3)(1)0r r +-=，解得1r =．所以AB =由于222AP BP AB +=，解得AP =则：1132P ABC V -=⨯=8．（2019•）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若60ABC ∠=︒，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？说明理由．【解析】（Ⅰ）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，BD PA ∴⊥，BD AC ⊥，∴⊥平面PAC．=，BDPA AC A（Ⅱ）在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，60∠=︒，ABC∴⊥，PA AEAB AE⊥，∴⊥平面PAB，=，AEPA AB AAE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得//CF平面PAE．理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，//FG PA，∴，//CG AE=，AE PA ACG FG G=，CFG平面PAE，∴平面//∴平面PAE．CF⊂平面CFG，//CF9．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得//MC平面PBD？说明理由．【解析】（1）矩形ABCD 所在平面与半圆弦CD 所在平面垂直，所以AD ⊥半圆弦CD 所在平面，CM ⊂半圆弦CD 所在平面， CM AD ∴⊥，M 是CD 上异于C ，D 的点．CM DM ∴⊥，DM AD D =，CM ∴⊥平面AMD ，CM ⊂平面CMB ，∴平面AMD ⊥平面BMC ；（2）存在P 是AM 的中点， 理由：连接BD 交AC 于O ，取AM 的中点P ，连接OP ，可得//MC OP ，MC ⊂/平面BDP ，OP ⊂平面BDP ，所以//MC 平面PBD ．10．（2018•）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求证：//EF 平面PCD ．【解析】（Ⅰ）PA PD =，E 为AD 的中点， 可得PE AD ⊥，底面ABCD 为矩形，可得//BC AD ， 则PE BC ⊥；（Ⅱ）由于平面PAB 和平面PCD 有一个公共点P ， 且//AB CD ，在平面PAB 内过P 作直线//PG AB ， 可得//PG CD ，即有平面PAB ⋂平面PCD PG =， 由平面PAD ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥， 可得AB ⊥平面PAD ，即有AB PA ⊥， PA PG ⊥；同理可得CD PD ⊥，即有PD PG ⊥，可得APD ∠为平面PAB 和平面PCD 的平面角， 由PA PD ⊥，可得平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）取PC 的中点H ，连接DH ，FH ， 在三角形PBC 中，FH 为中位线，可得//FH BC ， 12FH BC =， 由//DE BC ，12DE BC =， 可得DE FH =，//DE FH ， 四边形EFHD 为平行四边形， 可得//EF DH ，EF ⊂/平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，即有//EF 平面PCD ．11．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）在四棱锥P ABCD -中，90BAP CDP ∠=∠=︒，AB PA ∴⊥，CD PD ⊥，又//AB CD ，AB PD ∴⊥， PAPD P =，AB ∴⊥平面PAD ，AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．解：（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ， PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，平面PAB ⊥平面PAD ，PO ∴⊥底面ABCD ，且AD =，PO =， 四棱锥P ABCD -的体积为83，由AB ⊥平面PAD ，得AB AD ⊥， 13P ABCD ABCD V S PO -∴=⨯⨯四边形311183333AB AD PO a a =⨯⨯⨯=⨯==，解得2a =，2PA PD AB DC ∴====，AD BC ==，PO =，PB PC ∴==∴该四棱锥的侧面积：PAD PAB PDC PBC S S S S S ∆∆∆∆=+++侧11112222PA PD PA AB PD DC BC =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯11112222222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯6=+12．（2017•某某）由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD ， （Ⅰ）证明：1//A O 平面11B CD ；（Ⅱ）设M 是OD 的中点，证明：平面1A EM ⊥平面11B CD ．【解析】（Ⅰ）取11B D 中点G ，连结1A G 、CG ， 四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，∴四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后，1//AG OC =，∴四边形1OCGA 是平行四边形，1//AO CG ∴， 1AO ⊂/平面11B CD ，CG ⊂平面11B CD ， 1//AO ∴平面11B CD ． （Ⅱ）四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后，11//BD B D =，M 是OD 的中点，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，1BD A E ∴⊥，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点， AO BD ∴⊥，M 是OD 的中点，E 为AD 的中点，EM BD ∴⊥，1A EEM E =，BD ∴⊥平面1A EM ，11//BD B D ，11B D ∴⊥平面1A EM ， 11B D ⊂平面11B CD ，∴平面1A EM ⊥平面11B CD ．1．（2020•某某模拟）已知α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是()①//m α，//n β，且//m n ，则//αβ； ②//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥； ③m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβ； ④m α⊥，n β⊥、且m n ⊥，则αβ⊥． A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．③④ 【答案】D【解析】对于①，当//m α，//n β，且//m n 时，有//αβ或α、β相交，所以①错误； 对于②，当//m α，//n β，且m n ⊥时，有αβ⊥或//αβ或α、β相交且不垂直，所以②错误； 对于③，当m α⊥，n β⊥，且//m n 时，得出m β⊥，所以//αβ，③正确； 对于④，当m α⊥，n β⊥、且m n ⊥时，αβ⊥成立，所以④正确． 综上知，正确的命题序号是③④． 故选D ．2．（2020•某某四模）已知直线a 和平面α、β有如下关系：①αβ⊥，②//αβ，③a β⊥，④//a α，则下列命题为真的是()A ．①③⇒④B ．①④⇒③C ．③④⇒①D ．②③⇒④ 【答案】C【解析】对于A ，由αβ⊥，a β⊥，可得//a α或a α⊂，故A 错误； 对于B ，由αβ⊥，//a α，可得a β⊂或//a β或a 与β相交，故B 错误； 对于C ，由//a α，过a 作平面γ与α相交，交线为b ，则//a b ， a β⊥，b β∴⊥，而b α⊂，可得αβ⊥，故C 正确；对于D ，由//αβ，a β⊥，可得a α⊥，故D 错误． 故选C ．3．（2020•五华区校级模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，E 为棱CD 的中点，则() A ．11A E DD ⊥B ．1A E DB ⊥C ．111A E D C ⊥D ．11A E DB ⊥ 【答案】B【解析】连结AE ，BD ，因为AB =，所以AB ADAD DE=， 所以ABD DAE ∆∆∽，所以DAE ABD ∠=∠， 所以90EAB ABD ∠+∠=︒，即AE BD ⊥， 所以BD ⊥平面1A AE ， 所以1A E DB ⊥． 故选B ．4．（2020•海淀区二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为()A B C D ．【答案】C 【解析】如图，由正方体性质知，当P 位于C 点时，1D O OC ⊥，当P 位于1BB 的中点1P 时，由已知得，12DD =，DO BO ==1111BP B P ==，11B D =求得1OD =1OP ==113D P ==．∴2221111OD OP D P +=，得11OD OP ⊥．又1OP OC O =，1D O ∴⊥平面1OP C ，得到P 的轨迹在线段1PC 上．由111C P CP ==11C CP ∠为锐角，而12CC =< 知P 到棱11C D 的最大值为5．则△11D C P 面积的最大值为122⨯．故选C ．5．（2020•某某模拟）已知四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ∠=︒，SAD ∆是等边三角形，且SA AB ==若点P 在四棱锥S ABCD -的外接球面上运动，记点P到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为()A 1B 2+C 1D 2 【答案】A【解析】依题意，3MBC π∠=，取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD 外接圆的圆心，F 是SAD ∆的外心， 作OE ⊥平面ABCD ，OF ⊥平面SAB ，则O 是人锥S ABCD -的外接球的球心，且3OF DE ==，2AF =， 设四棱锥S ABCD -的外接球半径为R ， 则22213R SF OF =+=， 则1OE DF ==，∴当四棱锥S ABCD -的体积最大时，1max d R OE =+=．故选A ．6．（2020•某某模拟）已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D 为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有()A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD【答案】B【解析】因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC BC⊥，又AD垂直圆柱的底面，所以AD BC=，⊥，因为AC AD A所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选B．7．（2020•婺城区校级模拟）在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则()A．不存在E，F，使得EF CD⊥B．存在E，使得DE CD⊥C ．存在E ，使得DE ⊥平面ABCD ．存在E ，F ，使得平面CDE ⊥平面ABF 【答案】D【解析】（1）对于A ，D 选项，取E ，F 分别为AB ，CD 的中点如图： 因为A BCD -是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形． 所以CE DE =，所以EF CD ⊥，同理可证EF AB ⊥．故A 错误； 又因为AB CE ⊥，AB DE ⊥，且CEDE E =，故AB ⊥平面CED ，又AB ⊂平面ABF ，所以平面ABF ⊥平面CED ．故D 正确．（2）对于B 选项，将C 看成正三棱锥的顶点，易知当E 在AB 上移动时，CDE ∠的最小值为直线CD 与平面ABD 所成的角，即（1）中的CDE ∠，显然为锐角，最大角为60CDB CDA ∠=∠=︒，故当E 在AB 上移动时，不存在E ，使得DE CD ⊥．故B 错误．（3）对于C 选项，将D 看成顶点，则由D 向底面作垂线，垂足为底面正三角形ABC 的中心，不落在AB 上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E ，使得DE ⊥平面ABC ，故C 错误． 故选D ．8．（2020•兖州区模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是()A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90︒C ．二面角P BC A --的大小为45︒D ．BD ⊥平面PAC 【答案】ABC【解析】如图所示，A ．取AD 的中点M ，连接PM ，BM ，连接对角线AC ，BD 相较于点O ． 侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥．又底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形．AD BM ∴⊥．又PM BM M =．AD ∴⊥平面PMB ，因此A 正确．B ．由A 可得：AD ⊥平面PMB ，AD PB ∴⊥，∴异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，正确．C ．平面PBC ⋂平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥．PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则BM PM ==，在Rt PBM ∆中，tan 1PMPBM BM∠==，45PBM ∴∠=︒，因此正确． D ．BD 与PA 不垂直，BD ∴与平面PAC 不垂直，因此D 错误．故选ABC ．9．（2020•某某模拟）如图所示，在四个正方体中，l 是正方体的一条体对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形为()A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】对于AD ．根据正方体的性质可得：l MN ⊥，l MP ⊥，可得l ⊥平面MNP ． 而BC 无法得出l ⊥平面MNP ． 故选AD ．10．（2020•某某市模拟）在三棱锥P ABC -中，4AB AC ==，120BAC ∠=︒，PB PC ==，平面PBC ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________． 【答案】80π【解析】如图，设ABC ∆的外接圆的圆心为1O ， 连接1O C ，1O A ，1BCO A H =，连接PH ．由题意可得AH BC ⊥，且1122AH O A ==，12BH BC ==因为平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =，所以PH ⊥平面ABC ，且6PH ． 设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，连接1OO ，OP ，OC ，过O 作OD PH ⊥，垂足为D ， 则外接球的半径R 满足222221114(6)R OO OO O H =+=-+，即221116(6)4OO OO +=-+，解得12OO =，从而220R =，故三棱锥P ABC -外接球的表面积为2480R ππ=． 故答案为：80π．12．（2020•某某三模）已知四边长均为的空间四边形ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的体积为__________．【解析】如图所示，设E 是ABD ∆的外心，F 是BCD ∆的外心，过E ，F 分别作平面ABD 与平面BCD 的垂线OE 、OF ，相交于O ；由空间四边形ABCD 的边长为3BAD π∠=，所以ABD ∆与BCD ∆均为等边三角形； 又平面ABD ⊥平面CBD ，所以O 为四面体ABCD 外接球的球心；又2AE =，1OE =，所以外接球的半径为R =所以外接球的体积为334433R V ππ==⨯=． 13．（2020•某某模拟）在四棱锥S ABCD -中，底面四边形ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，P ，Q 别是线段BS ，AD 的中点，点R 在线段SD 上．若4AS =，2AD =，AR PQ ⊥，则AR =__________．【解析】取SA 的中点E ，连接PE ，QE ．SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，SA AB ∴⊥，而AB AD ⊥，AD SA A =，AB ∴⊥平面SAD ，故PE ⊥平面SAD ，又AR ⊂平面SAD ，PE AR ∴⊥． 又AR PQ ⊥，PEPQ P =，AR ∴⊥平面PEQ ，EQ ⊂平面PEQ ，AR EQ ∴⊥．E ，Q 分别为SA ，AD 的中点，//EQ SD ∴，则AR SD ⊥，在直角三角形ASD 中，4AS =，2AD =，可求得SD =由等面积法可得AR ．．14．（2020•某某模拟）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3DAB π∠=，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PEEC=__________．【答案】12【解析】取AD 的中点O ，连接OC 交BD 于F 点，连结EF ， //OD BC ，2BC OD =，2FC OF ∴=．平面PAD ⊥平面ABCD ，PO AD ⊥， PO ∴⊥平面ABCD ，又平面BDE ⊥平面ABCD ， //OP EF ∴，∴12PE OF EC FC ==． 故答案为：12．15．（2020•某某二模）在几何体P ABC -中，PAB ∆是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且2AB BC ==，AB BC ⊥，则P ABC -外接球的表面积等于__________．【答案】283π【解析】PAB ∆是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB 的中心的垂线上，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以作GO ⊥平面PAB ，AB BC ⊥，外接球的球心也在平面ABC 的重心的垂线上，作OE ⊥平面ABC 交AC 于E ，O 为外接球的球心，由题意可知EC 123GD ==，外接球的半径为：OC ==外接球的表面积为：22843ππ⨯=．故答案为：283π．16．（2020•市中区校级模拟）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，11AB CB =．（1）证明：平面11BDD B ⊥平面ABCD ；（2）若60DAB ∠=︒，△1DB B 是等边三角形，求点1D 到平面1C BD 的距离．【解析】（1）设AC 交BD 于E ，连接1B E ，如图 四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥且点E 为AC 中点， 在△1AB C 中，11AB CB =，AE CE =， 1B E AC ∴⊥， 1DBB E E =，BD ，1B E ⊂平面11BDD B ，AC ∴⊥平面11BDD B ， AC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面11BDD B ；（2）连接1BD ，11A C ，1C E ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111A B C D ，又由（1）可知，平面ABCD ⊥平面11BDD B ，∴平面1111A B C D ⊥平面11BDD B ，则1DD ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， 1DD BD ∴⊥，11AC ⊂平面1111A B C D ， 11AC ∴⊥平面11BDD B ，2AD AB ==，60DAB ∠=︒， DAB ∴∆为等边三角形， 2BD AB ∴==，△1DB B 为等边三角形，2BD AB ∴==，△1DB B 为等边三角形，12BB BD ∴==，又112DD BB ==，∴112222BDD S ∆=⨯⨯=，∴11111||132C BDD BDD AC V S -∆=⨯⨯=又1BB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 1BB BC ∴⊥，12BB BD AB ===，2AB BC ==， 1BB BC ∴=，又因为四边形11BCC B 为平行四边形，∴四边形11BCC B 为正方形，11BC B C ∴=， 11C D BC ∴=，又E 为BD 中点，1C E BD ⊥，∴111||||2C BDSBD C E =111||||222BD C E ==⨯， ∴11112333D C BD C BDV S d -==，∴7d =所以点1D 到平面1C BD17．（2020•龙凤区校级模拟）如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，33AB CD ==，2PA PD BC ===，90ABC ∠=︒，且PB PC =．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．【解析】（1）取AD 、BC 的中点分别为M 、E ，连结PM ，PE ，ME ，//AB CD ，33AB CD ==，∴四边形ABCD 为梯形，又M 、E 为AD 、BC 的中点，ME ∴为梯形的中位线，//ME AB ∴，又90ABC ∠=︒， ME BC ∴⊥，PB PC =，E 为BC 的中点 PE BC ∴⊥，又PE M E E =，PE ⊂平面PME ，ME ⊂平面PME ，BC ∴⊥平面PME ，又PM ⊂平面PME ，故PM BC ⊥，由PA PD =，M 为AD 中点，PM AD ∴⊥， 又AD ，BC 不平行，必相交于某一点，且AD ，BC 都在平面ABCD 上，PM ∴⊥平面ABCD ，由PM ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）由（1）及题意知，PM 为三棱锥P BCD -的高，AD =，2ME =，PM =故PE = 11222PBC S BC PE ∆=⨯=⨯1121122BCD S BC CD ∆=⨯=⨯⨯=， 设点D 到平面PBC 的距离为h ，∴由等体积法知：111113333P BCD D BCP BCD PBC V V S PM S h h --∆∆==⨯=⨯=⨯=，解得h ，所以点D 到平面PBC ．18．（2020•某某模拟）如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面ACF ⊥平面BDF ；（2）若60CBA ∠=︒，求三棱锥E BCF -体积．【解析】（1）证明：在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，FD ⊥平面ABCD ，FD AC ∴⊥．又BDFD D =，AC ∴⊥平面BDF ．而AC ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BDF ； （2）解：取BC 中点O ，连接EO ，OD ， BCE ∆为正三角形，EO BC ∴⊥，平面BCE ⊥平面ABCD 且交线为BC ，EO ∴⊥平面ABCD ．FD ⊥平面ABCD ，//EO FD ∴，得//FD 平面BCE ．E BCF F BCE D BCE E BCD V V V V ----∴===．122sin1202BCD S ∆=⨯⨯⨯︒EO =11133E BCF BCD V S EO -∆=⨯=．19．（2020•某某模拟）图1是直角梯形ABCD ，//AB CD ，90D ∠=︒，2AB =，3,2DC AD CE ED ===，以BE 为折痕将BCE ∆折起，使C 到达1C 的位置，且1AC =图2．（Ⅰ）证明：平面1BC E ⊥平面ABED ；（Ⅱ）求点B 到平面1AC D 的距离．【解析】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，由2,1,AB DE AD ===2EB EC BC ===． 连接AC 交EB 与M 点，则ECM BAM ∆≅，M ∴为BE 的中点，则CM BE ⊥．∴1C M MA ==，又1C A =1C M MA ∴⊥， 又1C M BE ⊥，BEAM M =，1C M ∴⊥平面ABED ，又1C M ⊂平面1C EB ，∴平面ABED ⊥平面1C EB ； （Ⅱ）解：设B 到平面1AC D 的距离为d ，则1113B AC DAC D V d S -=，又11111121332B AC D C ABD ABD V V S C M --∆==⨯=⨯⨯．DM AM ==1C M =，∴1C D =∴112AC DS==∴1113B AC D AC D V d S -====． 即点B 到平面1AC D20．（2020•某某模拟）如图，在长方体ABCD HKLE -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，对角线AC 与BD 相交于点O ，点F 在线段AH 上且20AF HF +=，BE 与底面ABCD 所成角为3π． （1）求证：AC BE ⊥；（2）M 为线段BD 上一点，且BM =AM 与BF 所成角的余弦值．【解析】（1）证明：因为在长方体ABCD HKLE -中，有DE ⊥平面ABCD ， 所以DE AC ⊥，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又BD DE D =，从而AC ⊥平面BDE ．而BE ⊂平面BDE ，所以AC BE ⊥．（2）因为在长方体ABCD HKLE -中，有BE 与平面ABCD 所成角为3π， 由（1）知DBE ∠为直线BE 与平面ABCD 所成的角，所以3DBE π∠=，所以ED DB3AD =可知DE =所以AH =20AF HF +=，即13AF AH =，故AF =DE 上取一点G ，使13DG DE =， 连接FG ，则在长方体ABCD HKLE -中，有////FG AD BC ，且FG AD BC ==，所以四边形FBCG 为平行四边形，所以//BF CG ，在BD 上取一点N ，使DN BM =，因为BM =BD =13DN BM BD ==， 所以在正方形ABCD 中，ON OM =，所以CON AOM ∆≅∆，所以CNO AMO ∠=∠，所以//AM CN ，所以GCN ∠（或其补角）为异面直线AM 与BF 所成的角，在GNC ∆中，GC BF ==在AMB ∆中，由余弦定理得AM ==，则CN AM =GN ==在GNC ∆中，由余弦定理得：222cos 2GC NC GN GCN GC NC +-∠==．故异面直线AM 与BF ．21．（2020•某某模拟）如图所示，菱形ABCD 与正方形CDEF 所在平面相交于CD ．（1）求作平面ACE 与平面BCF 的交线l ．并说明理由；（2）若BD CF ⊥，求证：平面BDE ⊥平面ACE ．【解析】（1）过点C 作BF 的平行线l 即可，下面予以证明． 由已知得，AB 和EF 都与CD 平行且相等，∴四边形ABFE 是平行四边形，//AE BF ∴，BF ⊂/平面ACE ，且AE ⊂平面ACE ，//BF ∴平面ACE ， BF ⊂平面BCE ，且平面ACE ⋂平面BCF l =，//BF l ∴．（2）证明：由CF BD ⊥，CF CD ⊥，且BD CD D =，CF ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，CF AC ∴⊥，//DE CF ，DE AC ∴⊥，在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，又DE BD D =，AC ∴⊥平面BDE ，AC ⊂平面ACE ，∴平面BDE ⊥平面ACE ．22．（2020•某某一模）如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，2CD AD =，EC ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ACE ；（Ⅱ）若2AD CE ==，求点C 到面ADE 的距离．【解析】（Ⅰ）证明：EC ⊥平面ABCD ，EC AD ∴⊥，又60ADC ∠=︒，2CD AD =，AD AC ∴⊥，AD ∴⊥平面ACE ，又AD ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACE ．（Ⅱ）设点C 到面ADE 的距离为h ，又C ADE F ACD V V --=，由（Ⅰ）可知AD ⊥平面ACE ，则AD AE ⊥，所以，111124223232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以h =C 到面ADE。
2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第四节 直线、平面垂直的判定及其性质
第四节直线、平面垂直的判定及其性质【知识点15】直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线和平面垂直的判定定理典型例题：【例1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．【反思】(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．【变式1】(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)【变式2】已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β C．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β【变式3】下列说法中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个例2(线面垂直的判定)如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【反思】(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.【变式1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.求证：AC⊥B1D；【变式2】如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.【练习3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.知识点【能力提升思考】已知∠BAC在平面α内，P∠α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.【变式1】如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影.【反思】(1)求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.【知识点16】直线与平面所成的角典例讲解：【例1】（直线与平面所成的角）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．【反思】求直线与平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．【变式1】如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．【变式2】如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝2，求OA与平面α所成的角的大小．【思考1】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90° B．60° C．45° D．30°【变式1】如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【例4】（综合应用）如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.【方法小结】1．直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)．(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).【知识点17】距离问题典型例题：【例1】如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为∠O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证：BC∠平面PAC；(2)求点A到平面PBC的距离．【变式1】已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为____【例2】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.【反思】 求点到平面距离的方法总结：PA BCD E（1）过已知点作出平面的垂线段是关键. 作垂线段通常要借助于垂面，然后利用面面垂直性质定理作出平面的垂线.（2）作出垂线段后，通常利用等面积法求得距离.【变式1】如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，2AD =，1=3AA ，E 为CD 上一点，1DE =，3EC =.（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （2）求点1B 到平面11EA C 的距离.【反思】 求点到平面距离的方法总结：（1）当直接作出垂线段比较困难时，可以考虑利用等体积法求距离. （2）用等体积法求距离，一般用三棱锥体积相等来求解.（3）可以用线面平行关系，转化到一个更容易求解的三棱锥去求距离；也可以利用比例关系，化为其他点到平面的距离来求解.【例题3】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.ABCD EA 1B 1C 1D 1（1）证明：直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.【反思】 求直线到平面距离的方法总结：（1）求线面距离，根据直线上的点到平面距离相等，所以可以转化为点面距离来求解. （2）在转化为点面距的时候，选择合适的点会对解题有促进作用.【变式1】在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒，11,2AB =BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．【思考】已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.求异面直线1CC 和AB 的距离；ABCD A 1B 1C 1D 1ACBA 1B 1C 1C1A1B1CA BD【感悟】求两条异面直线距离的方法总结：（1）利用图形关系作出两条异面直线的公垂线，是求两异面直线距离的基本方法，但难度较大.（2）过两条异面直线中的一条直线作另一条直线的平行线，构造线面平行，将异面直线距离化为线面距离，进而转化为点面距离，是求异面直线距离的常用方法.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离，再化为点面距离．【知识点18】二面角的概念【例1】（概念的理解）有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②【例2】如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．【反思】(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l －β的平面角是∠AOB.【变式1】如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且P A ＝AC ，求二面角P －BC －A 的大小．【变式2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( ) A.32 B.22C. 2D.3【思考1】已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.（1）求异面直线1CC 和AB 的距离；（2）若11AB A C ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.C1A1B1CA BD【变式1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)求AE为何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？【方法小结】1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．【知识点19】平面与平面垂直(1)平面与平面垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β.(2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β【例1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b【例2】已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在【变式2】α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_____．【例2】（证明面面垂直）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由． (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .【延申变式1】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，试证明：平面PCD ⊥平面P AD .【延申变式2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PB ＝BC ，M 是PC 中点，试证明：平面MBD ⊥平面PCD .【反思】证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【变式1】 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .【变式2】如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AC ，BD 交于点E，F是PB的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面P AC.【思考3】如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.【方法小结】平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．【能力提升】垂直问题难点突破专题【例1】（空间位置关系相关定理）如图，PA⊥平面ABCD,AD//BC,AD=2BC,AB⊥BC，点E为PD中点．（1）求证：AB⊥PD；（2）求证：CE//平面PAB．【变式1】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ， AB =BC =2,∠ACB =30°AA 1=3, 11,BC A C E ⊥为AC 的中点.求证： 1A C ⊥平面1C EB ；求二面角1A AB C --的余弦值.【例2】（数量关系）如图，三棱锥P ABC -中,PB ⊥底面ABC ,2PB BC ==,1AC =，AB = E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF FA =.（1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；【变式2】已知多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形， EF CE ⊥，且AC =， 1AE EC ==， 2BC EF =， //AD EF . （1）求证：平面ACE ⊥平面ADEF ；【例3】在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC 的中点，13,2,AC AB BC CC ===.（1）证明: 1B C ⊥平面1AMC ；（2）求点1A 到平面1AMC 的距离.【变式3】．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC ﹣A 1B 1C 1中，点G 是AC 的中点．（1）求证：B 1C ∥平面 A 1BG ；（2）若AB=BC ， 1AC ，求证：AC 1⊥A 1B ．【例4】(几何图形的特征)．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，BC=2，G为BC中点，平面ADFE⊥平面ADCB.(1)证明：AC⊥BE；(2)求三棱锥A−GFC的体积.-中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，【变式4】已知四棱锥P ABCD=∠=，E为AB的中点.AD DAB2,60（1）证明：平面PAB⊥平面PED；（2）若PD=，求E到平面PBC的距离.-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面【例5】（存在性问题）. 如图，四棱锥P ABCDABCD，PA=AD=1，AB=√3，点E为PD的中点，点F在棱DC上移动.（1）当点F为DC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；⊥.（2）求证：无论点F在DC的何处，都有PF AE。
高三数学新课标总复习立体几何-理科-直线、平面垂直的判定及其性质
(1)定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号语言表示为：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ，l ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α.(3)性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．用符号语言表示为：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b .(4)直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角(或直角)，叫做这条直线与这个平面所成的角． 2．二面角(1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角的平面角须具有以下三个特点： ①顶点在棱上；②两边分别在两个面内；③两边与棱都垂直． (3)作二面角平面角常用的方法是定义法和垂直面法．[典题例析](2014·重庆高考)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．解：(1)证明：如图，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连接OB ，AM ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1，又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34. 所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，OP 都垂直， 所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3. 由△POM 也是直角三角形， 故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝⎛⎭⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，得a ＝32，a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538.所以四棱锥P -ABMO 的体积V P -ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516. [类题通法]证明直线和平面垂直的常用方法 (1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[演练冲关]如图，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ， ∵N 是PC 的中点，E 为PD 的中点， ∴NE ∥CD ，且NE ＝12CD ，而AM ∥CD ，且AM ＝12AB ＝12CD ，∴NE 綊AM ，∴四边形AMNE 为平行四边形， ∴MN ∥AE .又P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ， 又∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥CD . 而AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ， ∴CD ⊥AE .又AE ∥MN ，∴MN ⊥CD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ， 又∠PDA ＝45°，∴△P AD 为等腰直角三角形． 又E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ，又由(1)知CD ⊥AE ，PD ∩CD ＝D ， ∴AE ⊥平面PCD .又AE ∥MN ，∴MN ⊥平面PCD .考点三 面面垂直的判定与性质|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．面面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．用符号语言表示为a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β.(3)性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．用符号语言表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.[典题例析](2014·江苏高考)如图，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明：(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8， 所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ， 所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .[类题通法]1．判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． 2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．[演练冲关](2015·山东日照一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定实数t 的值，使P A ∥平面MQB . 解：(1)证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°， 所以△ABD 为正三角形，又Q 为AD 的中点，所以AD ⊥BQ . 又因为P A ＝PD ，所以AD ⊥PQ . 又BQ ∩PQ ＝Q ，所以AD ⊥平面PQB ， 又AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD . (2)若P A ∥平面MQB ，连接AC 交BQ 于N ，连接MN . 由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△CNB ， 所以AQ BC ＝AN NC ＝12，因为P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ， 平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，所以P A ∥MN ， 因此，PM PC ＝AN AC ＝13，即t 的值为13.【新方法、新技巧练习与巩固】一、选择题1．(2015·海淀模拟)若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直2．(2015·石家庄调研)设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α B ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC ．若a ∥α且a ∥β，则α∥βD ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β3．(2015·南昌模拟)设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a ⊂α，b ⊂β，且α⊥β”的平面α，β( ) A ．不存在 B ．有且只有一对 C ．有且只有两对D ．有无数对4．(2015·绵阳诊断)已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( ) A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β5．(2015·天津模拟)如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形； ③三棱锥D -ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④D ．①③④6．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F的长为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2二、填空题7．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)8．(2015·福建四地六校月考)点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．9．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)10．(2015·海淀期末)已知某四棱锥的底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．(1)若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________；(2)关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面．所有正确结论的序号是________．三、解答题11．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.答案1．选D对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；易知D正确．2．选D A项中，应该是b∥α或b⊂α；B项中，如果是墙角的三个面就不符合题意；C项中，α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确；所以选D.3．选D过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.4．选D对于A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，如图(1)，α，β不垂直；对于B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，如图(2)，α，β不垂直；对于C，m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m，直线l没有确定，则α，β的关系也不能确定；对于D，l⊂α，l∥m，且m⊥β，则必有l⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.5．选B 由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B.6．选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，得x ＝12.7．解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ， ∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ， ∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．解析：由题意可得直线BC 1平行于直线AD 1，并且直线AD 1⊂平面AD 1C ，直线BC 1⊄平面AD 1C ，所以直线BC 1∥平面AD 1C .所以VA -D 1PC ＝VP -AD 1C .点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以体积不变．故①正确； 连接A 1C 1，A 1B ，可得平面AD 1C ∥平面A 1C 1B .又因为A 1P ⊂平面A 1C 1B ，所以A 1P ∥平面ACD 1，故②正确； 当点P 运动到B 点时△DBC 1是等边三角形， 所以DP 不垂直BC 1.故③不正确； 因为直线AC ⊥平面DB 1，DB 1⊂平面DB 1. 所以AC ⊥DB 1.同理可得AD 1⊥DB 1. 所以可得DB 1⊥平面AD 1C . 又因为DB 1⊂平面PDB 1. 所以可得平面PDB 1⊥平面ACD 1. 故④正确．综上正确的序号为①②④. 答案：①②④9．解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF .故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③10．解析：(1)由三视图知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，如图所示，所以该四棱锥的体积为13×2×2×1＝43.(2)由图可知PQ ⊥平面ABCD ，则有PQ ⊥AB ，又AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ，于是侧面P AB ⊥侧面PBC ，同理可知侧面PDC ⊥侧面PBC ，故①正确；由上述易知AB ⊥PB ，CD ⊥PC ，所以△P AB ，△PCD 为直角三角形，又四棱锥的侧视图为直角三角形，所以△PBC 为直角三角形，故②正确；由图易判断平面P AB 与平面P AD 不垂直，故③正确．综上知①②③均正确．答案：(1)43(2)①②③ 11．证明：(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA＝OC 1.又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1. 因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1. 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE .又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC .(2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC .又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.12．解：(1)证明：连接AD 1，BC 1，由正方体的性质可知，DA 1⊥AD 1，DA 1⊥AB ，又AB ∩AD 1＝A ，∴DA 1⊥平面ABC 1D 1，又AE ⊂平面ABC 1D 1，∴DA 1⊥AE .(2)所求G 点即为A 1点，证明如下：由(1)可知AE ⊥DA 1，取CD 的中点H ，连接AH ，EH ，由DF ⊥AH ，DF ⊥EH ，AH ∩EH ＝H ，可证DF ⊥平面AHE ，∵AE ⊂平面AHE ，∴DF ⊥AE .又DF ∩A 1D ＝D ，∴AE ⊥平面DF A 1，即AE ⊥平面DFG .。
高三寒假复习讲义第8章 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质
高三寒假复习讲义第4讲直线、平面垂直的判定与性质考点垂直的判定与性质知识点1 直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图1所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.2 直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．图形语言：如图2所示．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.3 平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图形语言：如下图所示．符号语言：AB⊥β，AB⊂α⇒α⊥β.4 平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．图形语言：如下图所示．符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β.注意点斜线在平面上的射影的理解斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段.入门测1．思维辨析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( )(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( )(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( )(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.( )答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( ) A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.3．m，n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中，所有真命题的编号是________．答案①④解析①中，由n∥β，α∥β得n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故①正确；②中，也可能n⊂β，故②错误；③中，直线n也可能与平面β斜交或平行，也可能在平面β内，故③错；④中，由m∥n，m⊥α，可得n⊥α，又α∥β可得n⊥β，故④正确．[考法综述] 本考点在高考中多次出现，考题模式主要有三类：①直线与平面垂直的判定与证明；②利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直；③利用定义求直线与平面所成的角和二面角．命题法证明线、面垂直问题典例(1)设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：①PA⊥底面ABCD；②BE∥平面PAD；③平面BEF⊥平面PCD.[解析](1)对于A，若l∥α，l∥β，则α，β可能相交；对于B，若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β.选项C，l可能平行于β或l在平面β内；选项D，l还可能平行于β或在平面β内．(2)证明：①因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.②因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.③因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由①知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.又因为CD⊂面PCD.所以平面BEF⊥平面PCD.[答案](1)B (2)见解析【解题法】线面垂直、面面垂直的证法及三种垂直关系的转化(1)线面垂直的证法①利用线面垂直的判定定理．②利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．④利用面面垂直的性质定理．(2)面面垂直的证法①用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．②用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．(3)垂直问题的转化关系1.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定答案 D解析 由l 1⊥l 2，l 2⊥l 3可知l 1与l 3的位置不确定，若l 1∥l 3，则结合l 3⊥l 4，得l 1⊥l 4，所以排除选项B 、C ，若l 1⊥l 3，则结合l 3⊥l 4，知l 1与l 4可能不垂直，所以排除选项A.故选D.2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P －ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值． 解 (1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC .由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD .DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB .(2)由已知，PD是阳马P－ABCD的高，所以V1＝13S ABCD·PD＝13BC·CD·PD；由(1)知，DE是鳖臑D－BCE的高，BC⊥CE，所以V2＝13S△BCE·DE＝16BC·CE·DE.在Rt△PDC中，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE＝CE＝22 CD，于是V1V2＝13BC·CD·PD16BC·CE·DE＝2CD·PDCE·DE＝4.3．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．解(1)证明：如图，因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝3，又因为OC⊥平面VAB，所以V C－VAB＝13OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为3 3 .4．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1－BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1－BCDE 的体积为362，求a 的值． 解 (1)证明：在题图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)，A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1－BCDE 的高．由题图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2.从而四棱锥A 1－BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.5．如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E －ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． 解 (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E －ACD 的体积V E －ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E －ACD 的侧面积为3＋2 5.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面PAB ； (2)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(3)当三棱锥M －BCD 的体积等于34时，求PB 的长．解 (1)证明：因为在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点，所以OM 是△PBD 的中位线，所以OM ∥PB ，又OM ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以OM ∥平面PAB .(2)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，又AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，AC ∩PA ＝A ， 所以BD ⊥平面PAC .因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC . (3)因为底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，所以VM －BCD ＝12V M －ABCD ＝14V P －ABCD ，故V P －ABCD ＝ 3.又AB ＝2，∠BAD ＝60°，所以S 四边形ABCD ＝2 3. 因为四棱锥P －ABCD 的高为PA ， 所以13×23×PA ＝3，得PA ＝32，因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB . 在Rt △PAB 中，PB ＝PA 2＋AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.7．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P －ABMO 的体积．解(1)证明：如图，连接OB ，因为ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，所以AO ⊥OB . 因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1，又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，所以在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos∠OBM ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×cos π3＝34.所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM ，即OM ⊥BC . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM . (2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2·cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形， 故PA 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214. 由于MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则PA 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32. 此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538.所以V P －ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516.8.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高．解(1)证明：由已知得△ABC≌△DBC. 因此AC＝DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内，作AO⊥CB, 交CB延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝3，所以V D－BCG＝V G－BCD＝13·S△DBC·h＝1 3·12·BD·BC·sin120°·32＝12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.1[错解][错因分析] 面面垂直的性质定理是：如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．错解忽略了“垂直于交线”这个条件导致错误．[正解]连接B1D，A1D，在△B1BD中，∵E，O分别是B1B和DB的中点，∴OE∥B1D.∵A1B1⊥平面AA1D1D，∴A1B1⊥AD1，又∵AD1⊥A1D，∴AD1⊥平面A1B1D，∴AD1⊥B1D.同理可证B1D⊥CD1.又∵AD1∩CD1＝D1，AD1，CD1⊂平面ACD1，∴B1D⊥平面ACD1.∵B1D∥OE，∴OE⊥平面ACD1.[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[冀州中学猜题]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nC．m∥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β答案 B解析对于A，m，n的位置关系应该是平行、相交或异面，故A不正确；对于B，由面面垂直及线面垂直的性质知，m⊥n，故B正确；对于C，α与β还可以平行或相交，故C不正确；对于D，α与β还可以相交，所以D不正确．故选B.2．[武邑中学仿真]已知不同直线m、n及不重合平面α、β给出下列结论：①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β②m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β③m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β④m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β其中的假命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析①为假命题，m不一定与平面β垂直，所以平面α与β不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③α与β可能相交．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．3．[衡水中学模拟]设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件．故选A.4．[冀州中学期中]已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β答案 B解析根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．5．[衡水中学仿真]设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.6．[枣强中学预测]PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.A．①②B．①③C．②③D．②④答案 A解析易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD ⊥平面PAB .7．[冀州中学一轮检测]如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM ⊥PC (答案不唯一) 解析 由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC 时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD .8．[武邑中学一轮检测]已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α； ④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，则l ⊥α. 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，令平面A 1B 1CD 为α，平面DCC 1D 1为β，平面A 1B 1C 1D 1为γ，又平面A 1B 1CD ∩平面DCC 1D 1＝CD ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面DCC 1D 1＝C 1D 1，则CD 与C 1D 1所在的直线分别表示a ，b ，CD ∥C 1D 1，但平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a 、b 相交，假设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b ∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β， 故②正确．③如果两平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线和另一个平面垂直，故③正确．④当a ∥b 时，l 垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l ⊥α，故④错误．9．[武邑中学月考]如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE，(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD，∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A，综上可得PD⊥平面ABE.10．[冀州中学一轮检测]如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AC⊥平面BCE；(2)求三棱锥E－BCF的体积．解(1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，又AD＝2，AB＝4，所以AC＝22，CM＝2，BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.V E－BCF ＝V C－BEF＝13×12×BE×EF×CM＝16×2×4×2＝83.11.[武邑中学模拟]如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．解(1)证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形，因为QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，又PQ⊂平面PDAQ，所以PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝22PD，则PQ⊥QD.又DC∩QD＝D，所以PQ⊥平面DCQ.(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝13a3.由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝2a，△DCQ的面积为22a2，所以棱锥P－DCQ的体积V2＝13a3.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.12．[枣强中学一轮检测]如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝AD ＝12CD ＝1.现以AD 为一边向梯形外作矩形ADEF ，然后沿边AD 将矩形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直．(1)求证：BC ⊥平面BDE ； (2)若点D 到平面BEC 的距离为63，求三棱锥F －BDE 的体积．解 (1)证明：在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ， 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 所以ED ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥BC .又在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，CD ＝2，∠BDC ＝45°，所以BC ＝2， 在△BCD 中，BD ＝BC ＝2，CD ＝2，所以BD 2＋BC 2＝CD 2， 所以BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面BDE .(2)由(1)得，平面DBE ⊥平面BCE ，作DH ⊥BE 于点H ，则DH ⊥平面BCE ， 所以DH ＝63.在△BDE 中，BD ·DE ＝BE ·DH ， 即2·DE ＝63(DE 2＋2)，解得DE ＝1. 所以V F －BDE ＝V B －EFD ＝13×12×1×1×1＝16.能力组13.[衡水中学周测]已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案 C解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．14．[冀州中学月考]如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析由于ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以A1A⊥C1M.由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点，得C1M⊥A1B1.又AA1∩A1B1＝A1，所以C1M⊥平面A1ABB1，所以①正确．因为C1M⊥平面A1ABB1，所以C1M⊥A1B.又AC1⊥A1B，C1M∩AC1＝C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以AM⊥A1B，所以②正确．由AM∥B1N，C1M∥CN，可得平面AMC1∥平面CNB1，所以③正确．故正确结论共有3个．15．[衡水中学预测]如图，过底面是矩形的四棱锥F－ABCD的顶点F作EF∥AB，使AB ＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC.(1)求证：FG∥平面AED；(2)求证：平面DAF⊥平面BAF.证明(1)因为DG＝GC，AB＝CD＝2EF，AB∥EF∥CD，所以EF∥DG，EF＝DG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以FG∥ED.又因为FG⊄平面AED，ED⊂平面AED，所以FG∥平面AED.(2)因为平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面BAF，又AD⊂平面DAF，所以平面DAF⊥平面BAF.16．[枣强中学热身]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A1C1、BC的中点．(1)证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；(2)证明：C1F∥平面ABE；(3)设P是BE的中点，求三棱锥P－B1C1F的体积．解(1)证明：在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，∴AB＝23，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，由已知AB⊥BB1，且BC∩BB1＝B，可得AB⊥平面BB1C1C，又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C1C.(2)证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，而FM⊄平面ABE，∴直线FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中，E、M分别是A1C1、AC的中点，∴C1M∥AE，而C1M⊄平面ABE，∴C1M∥平面ABE，∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，又C 1F ⊂平面FMC 1，故C 1F ∥平面ABE .(3)取B 1C 1的中点H ，连接EH ，则EH ∥AB ，且EH ＝12AB ＝3， 又AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴EH ⊥平面BB 1C 1C ，。
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，就说这
∴三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC＝VP-ABC＝13×PB×S△ABC＝12.
解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形，
∴BD 与 AC 相互垂直平分，
(4)设 l 为直线，α，β
∴底面 ABCD 的面积
l⊥β.( )
S是菱两形 个AB不 CD同 ＝的12×平6面×，8若＝2α4⊥，β，l∥α，则
∵ P A⊥ 底 面
ABCD， ∴ P A⊥ AB.
又∵AB⊥ AD
且
P A∩ AD＝ A，
∴ AB⊥ 平 面
பைடு நூலகம்P AD， 而
PD⊂ 平面
P AD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝ A，∴PD⊥平面
ABE.
∴底面 ABCD 的面积 S 菱形 ABCD＝12×6×8＝24，
∴S ＝12S ＝12. △ABC
解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形，
∴BD 与 AC 相互垂直平分，
2.平面与平面垂直
∴(底1)面 平面A与BC平D面的垂面直积 的定S义菱形 ABCD＝12×6×8＝24，
两∴个平 两S△面 个AB互 平C＝相 面12垂 相S直 交菱形． ，A如BC果D＝它1们2.所成的二面角是 又 PB⊥平面 ABCD，且 PB＝3，
解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BD 与 AC 相互垂直平分， ∴底面 ABCD 的面积 S 菱形 ABCD＝12×6×8＝24， ∴S△ABC＝12S 菱形 ABCD＝12. 又 PB⊥平面 ABCD，且 PB＝3， ∴三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC＝VP-ABC＝13×PB×S△ABC＝12.
∴BD 与 AC 相互垂直平分， ∴底1．面判断AB下C列D结的论面的积正S误菱．形[(自正AB我C确D查 ＝的验打 12×]“6√×”8＝，错24误，的打“×”)
∴S(1△)A已BC知＝直12S线菱a形，ABbC，D＝c：12若. a⊥b，b⊥c，则 a∥c.(
)
(2)直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直，则 l⊥α.( )
解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BD 与 AC 相互垂直平分， ∴底面 ABCD 的面积 S 菱形 ABCD＝12×6×8＝24， ∴S△ABC＝12S 菱形 ABCD＝12. 又 PB⊥平面 ABCD，且 PB＝3， ∴三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC＝VP-ABC＝13×PB×S△ABC＝12.
l⊥a
CDE.证明如下：
l⊥ 取 CE 的中点 O， 连接 FO 并延长交 BE 于点 G， 连接 GD， ∵CF b ＝EF，∴GF⊥CE.
∴三棱锥 A都 线-P与垂B此直C平，的面则体垂该积直直V ＝V ＝13×PB⇒×lS⊥α ＝12. A-PBC
P-ABC
△ABC
解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形，
α∴⊥β三.(棱锥) A-PBC 的体积 VA-PBC＝VP-ABC＝13×PB×S△ABC＝12.
解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形，
∴BD 与 AC 相互垂直平分，
(2)判定定理与性质定理
∴底面 ABCD文的字面语积言S
菱形
ABCD图＝形12×语6言×8＝24，符号语言
∴S△ABC＝12如S 果菱形一AB条CD直＝线1与2.
菱形 ABCD
(1)证明直线和平面垂直的常用方法： ①判定定理；②垂直 于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α， α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则 需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化 是证明线面垂直的基本思想．
解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形，
∴BD 与 AC 相互垂直平分， (2)由
P A＝ AB＝BC， ∠ABC＝60° ，可得
AC＝ P A.
∵E
是
PC
的中点， ∴AE⊥ PC.
由 (1) 知
AE⊥ CD， 且
PC∩ CD＝ C， ∴AE⊥ 平面
PCD.
而
PD⊂ 平 面
PCD， ∴AE⊥ PD.
一个平面内的
a、b⊂α a∩b＝O
[听前试做]
(1)证明：在三棱台 ABC- DEF 中，AC∥DF，AC⊂
又 PB⊥平面 ABCD，且 PB＝3， 平面 ACE，DF⊄平面 ACE，∴DF∥平面 ACE.
又∵DF⊂ 平面 DEF，平面 ACE∩平面 DEF＝a，∴DF∥a.
判定定理 (2)线段 BE 上存在点 G，且 BG＝1 3BE，使得平面 DFG⊥平面
(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
交又 ∴三P线B棱⊥锥平A面-PABBCC的D体，积且 VPB＝3＝，V ＝13×PB×S ＝12. A-PBC
P-ABC
△ABC
解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形，
∴BD 与 AC 相互垂直平分，
∴底面 ABCD 的面积 S ＝1×6×8＝24， 菱形 ABCD
解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BD 与 AC 相互垂直平分，
∴底考面纲A要B求C：D 的面积 S 菱形 ABCD＝12×6×8＝24， 解∴空S间1△.A能中BC以线＝立面12S体垂菱几直形 A何的BC中有D＝的关1定性2义.质、和公判理定和定定理理．为出发点，认识和理 又 P2B．⊥能平运用面公A理BC、D定，理且和已PB获＝得3的，结论证明一些有关空间图形 的∴位三置棱关锥系的A-简PB单C命的题体．积 VA-PBC＝VP-ABC＝13×PB×S△ABC＝12.
平∴ 又SP行B⊥＝平12面S ABCD，＝且12.PB＝3，2 △ABC
菱形 ABCD
(2)判定定理和性质定理
文字语言
一个平面过另一个
判定定理
平面的一条 ，则这两个
平面互相垂直
图形语言
符号语言 l l⊂ ⊥β α ⇒α⊥β
∴三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC＝VP-ABC＝13×PB×S△ABC＝12.
2．如图 P 为△ABC 所在平面外一点．PA⊥PB，PB⊥PC，
∴S(5)若两＝平12S面垂直，＝则1其2中. 一个平面内的任意一条直线垂直于 △ABC
菱形 ABCD
PC⊥PA，PH⊥平面 ABC 于 H，则 H 是△ABC 的________心．
另一个平面．( )
又 P(6B)若⊥平平面面αA内B的CD一，条且直线PB垂＝直3于，平面 β 内的无数条直线，则