桂林市临桂区第一中学周荣芳

观察2：同弧所对圆周角与圆心角的大小关系？
问题解决：
猜想：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆 心角的一半。怎样证明？
已知：在⊙O中，弧BC所对的圆周∠BAC，圆心 角是∠BOC。
求证： BAC12BOC
（1）
（2）
（3）
分析论证：1.第一种情况（圆心在圆周角一边上时）
证明：在⊙O中 ∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C
周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（2）.半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径。
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
课后作业： 必做题：教科书第 88 页练习第 3，4 题． 选做题：教科书第 90 页练习第 14 题．
谢谢大家！
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型.
A
∴∠BOC=2∠A
O
即∠A= 1 ∠BOC 2
B
C
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
或写成：
OAOCAC BOCAC
A 21BOC
A
O
符号 “”读作“推出” B，”“表A
示由条件A推出 。结论B
B
C
分析论证： 2.第二种情况：（圆心在圆周角内时）
巩固练习:
1.填空：如果∠A=44°,则∠BOC=_8_8_°_. 如果∠BOC=44°,则∠A=__2_2_°. 如果∠A=35°,则∠BDC=_3_5__°.
A D
B
O
C
巩固练习:
2,如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ∠ABD=40°,则∠BCD=_5_0__0_____.
D
A
O
B
C
课堂小结：
1、本节课学习了哪些主要内容？ 2、我们是如何证明圆周角定理的？在证明
过程中用到了哪些思想方法？
3、你还有哪些困惑？
小结:
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的一半。
3.推论：（1）.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
探究一
思考：如果将圆心角顶点O向上移，直至与⊙O相交
于点C， ∠ACB有什么特征？叫什么角？
C
O.
顶点在圆上
圆周角
两边都与圆相交
A
B
圆周角定义: 顶点在圆上，并且两边都和圆相
交的角叫圆周角。
练习：
判断下列图形中所画的 ∠ P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P
P （1） 不是
（2）
是
顶点不 顶点在圆上， 在圆上。 两边和圆相
交。
（3）
不是
两边不和 圆相交。
（4）
不是
有一边和圆 不相交。
（5）
不是 顶点不在 圆上。
注意：圆周角的顶点在圆上并且两边都和圆相交。
探究二
几何画
板播放
n观察1：圆心与圆周角的位置有几种关系？
圆心在圆周角 的一条边上，
圆心在圆周角 的内部，
圆心在圆周角 的外部。
也可以看成沿AO所在直线折叠而成折痕与圆周角的关系。
n老师提示:能否转化为1的情况?
证明：作射线AO交⊙O于D。
A
由第1种情况得
O
∠CAD＝ 1∠ OD
2
D
∠BAD＝ 12∠ BOD
B
C
∠CAD－∠BAD＝
12∠ COD－
∠1BOD 2
即∠BAC= 1 ∠BOC
2
圆周角定理
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于这条弧所对
的圆心角的一半。
思考1：一条弧所对的圆周角之间
n老师提示:能否转化为1的情况?
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
O
∠BAD＝
1 2
∠
BOD
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
BD
C
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋
2
12∠COD
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
分析论证： 3.第三种情况：（圆心在圆周角外时）
有什么关系？同弧或等弧所对的圆周 角之间有什么关系？
A
D
O
B
C
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
探究与思考：
思考2：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。 C1 C2
C3
思考3：若∠C1、∠C2、∠C3是直 A
O
B
角，那么∠AOB是 180。°
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。