高中数学第二章基本初等函数(I)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质学案1(无答案)新人教版
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(2)教案新人教A版必修1
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（2）教案新人教A版必修1一. 教学目标：l.知识与技能(1)进一步掌握对数函数的图象和性质；(2)会利用对数函数的图象和性质解决有关问题；(3)了解底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。
2. 过程与方法(1) 理解对数函数的图象和性质；(2) 能够利用对数函数的图象与性质解决问题；(3) 培养学生数学应用意识．3. 情感.态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；(2)用联系的观点看问题；(3)了解对数在生产、生活实际中的应用．二. 教学重难点1、教学重点：对数函数的图象性质的理解.2、教学难点：对数函数的图象与性质的应用.三.教学准备1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学过程【引入课题】20世纪80年代末，教会用高科技手段澄清了一个历史大悬案，这就是关于耶稣裹尸布真伪的鉴定，鉴定证明了那块使人崇敬了多年的裹尸布是假的，它的原料纤维是十三世纪才种出来的，而此时耶稣已被钉在十字架上1200多年了。
这个轰动世界的年代鉴定是由研究碳14含量做出的。
【课堂探究】（2）对数函数的图象和性质二、图象和性质的应用1、对数函数的图象2、利用对数函数的单调性比较大小点评：两个对数比较大小1.同底数比较大小时(1)当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断;(2)当底数不确定时，应对底数进行分类讨论;2.同真数的比较大小,常借助函数图象或对数的运算性质变形后进行比较；3.若底数、真数都不相同, 则常借助1、0等中间量进行比较。
3.探究：对数函数与指数函数之间的关系4、对数函数在生活中的应用例3.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.【课时小结】1.掌握利用对数函数的性质比较数的大小的方法；2.对数函数单调性的灵活应用；3.对数函数与指数函数互为反函数．【课后作业】P74 习题2.2 A组第9题P75 习题2.2 B组第1题五、板书设计六、课后反思。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质教学设计新人教A版必修1
2.2.2 对数函数及其性质整体设计教学分析有了指数函数图象与性质学习经历，以及对数知识知识准备，对数函数概念引入、对数函数图象与性质研究便水到渠成．对数函数概念是通过一个关于细胞分裂次数确定实际问题引入，既说明对数函数概念来自实践，又便于学生承受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数定义域，因此，在进展定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)理解．在理解对数函数概念根底上掌握对数函数图象与性质，是本节教学重点，而理解底数a值对于函数值变化影响(即对对数函数单调性影响)是教学一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．为了便于学生理解对数函数性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数y＝log2x与图象，通过两个具体例子，引导学生共同分析它们性质．有条件学校也可以利用几何画板软件，定义变量a，作出函数y＝log a x图象，通过改变a值，在动态变化过程中让学生认识对数函数图象与性质．研究了对数函数图象与性质之后，可以将对数函数图象与性质与指数函数图象与性质进展比拟，以便加深学生对对数函数概念、图象与性质理解，同时也可以为反函数概念引出做一些准备．三维目标1．理解对数函数概念，掌握对数函数性质，了解对数函数在生产实践中简单应用，培养学生数学交流能力与与人合作精神，用联系观点分析问题，通过对对数函数学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．2．能根据对数函数图象，画出含有对数式函数图象，并研究它们有关性质，使学生用联系观点分析、解决问题．认识事物之间相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比拟同底对数大小方法，培养学生数学应用意识．3．掌握对数函数单调性及其判定，会进展同底数对数与不同底数对数大小比拟，加深对对数函数与指数函数性质理解，深化学生对函数图象变化规律理解，通过对数函数有关性质研究，培养观察、分析、归纳思维能力以及数学交流能力，增强学习积极性，同时培养学生倾听、承受别人意见优良品质．重点难点重点：对数函数定义、图象与性质；对数函数性质初步应用，利用对数函数单调性比拟同底对数大小，对数函数特性以及函数通性在解决有关问题中灵活应用．难点：底数a对对数函数性质影响，不同底数对数比拟大小，单调性与奇偶性判断与证明．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．如课本例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体残留物，利用估算出土文物或古遗址年代．根据问题实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系都有唯一确定年代t 与它对应，所以t 是P 函数．同理，对于每一个对数式y ＝log a x 中x ，任取一个正实数值，y 均有唯一值与之对应，所以y 是关于x 函数．这就是本节课主要内容，教师点出课题：对数函数及其性质(1)．思路2．我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到细胞个数y 是分裂次数x 函数，这个函数可以用指数函数y ＝2x 表示．现在，我们来研究相反问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x 就是细胞个数y 函数．根据对数定义，这个函数可以写成对数形式就是x ＝log 2y .如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是y ＝log 2x .这一节，我们来研究与指数函数密切相关函数——对数函数．教师点出课题：对数函数及其性质(1)．推进新课新知探究 提出问题(1)用清水漂洗衣服，假设每次能洗去污垢34，写出存留污垢x 表示漂洗次数y 关系式，请根据关系式计算假设要使存留污垢，不超过原有164，那么至少要漂洗几次？ (2)你是否能根据上面函数关系式，给出一个一般性概念？(3)为什么对数函数概念中明确规定a ＞0，a ≠1(4)你能求出对数函数定义域、值域吗？(5)如何根据对数函数定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它步骤．活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后答复，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识能力，教师巡视，个别辅导，评价学生结论．讨论结果：(1)假设每次能洗去污垢34，那么每次剩余污垢14，漂洗1次存留污垢x ＝14，漂洗2次存留污垢x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142，…，漂洗y 次后存留污垢x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14y ，因此y 用x 表示关系式是对上式两边取对数得，当x ＝164时，y ＝3，因此至少要漂洗3次． (2)对于式子，如果用字母a 替代14，这就是一般性结论，即对数函数定义：函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．(3)根据对数式与指数式关系，知y＝log a x可化为a y＝x，由指数概念，要使a y＝x有意义，必须规定a＞0且a≠1.(4)因为y＝log a x可化为x＝a y，不管y取什么值，由指数函数性质a y＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数值域为(－∞，＋∞)．(5)只有形如y＝log a x(a＞0且a≠1，x＞0)函数才叫做对数函数，即对数符号前面系数为1，底数是不为1正常数，真数是x形式，否那么就不是对数函数．像y＝log a(x＋1)，y＝2log a x，y＝log a x＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到，都不是对数函数．提出问题(1)前面我们学习指数函数时候，根据什么思路研究指数函数性质，对数函数呢？(2)前面我们学习指数函数时候，如何作指数函数图象？说明它步骤．(3)利用上面步骤，作以下函数图象：y＝log2x，.(4)观察上面两个函数图象各有什么特点，再画几个类似函数图象，看是否也有类似特点？(5)根据上述几个函数图象特点，你能归纳出指数函数性质吗？(6)把y＝log2x与图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象关系吗？(7)你能证明上述结论吗？(8)能否利用y＝log2x图象画出图象？请说明画法理由．活动：教师引导学生回忆需要研究函数有哪些性质，共同讨论研究对数函数性质方法，强调数形结合，函数图象在研究函数性质中作用，注意从具体到一般思想方法运用，渗透概括能力培养，进展课堂巡视，个别辅导，投影展示画好局部学生图象，同时投影展示课本表2----3，及时评价学生，补充学生答复中缺乏．学生独立思考，提出研究对数函数性质思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质认识，推荐代表发表本组集体认识．讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数性质，由具体到一般，一般要考虑函数定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象变化情况来看函数定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．(2)一般是列表、描点、连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数图象．(3)列表(学生自己完成)：图1图2(4)通过观察图1，可知y＝log2x图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是上升，说明是增函数，图象经过点(1,0)，当x＞1时y＞0，当0＜x＜1时y＜0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察图2，可知图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是下降，说明是减函数，图象经过点(1,0)，当x＞1时y＜0，当0＜x ＜1时y＞0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．可以再画以下函数图象：y＝log6x，，以作比拟，重新观察函数图象特点，推广到一般情形．(5)通过以上观察我们得到对数函数图象特点进而得出函数性质．3. 2经过仔细研究观察发现，它们图象关于x轴对称．图3(7)证明：设点P(x1，y1)是y＝log2x上任意一点，它关于x轴对称点是P1(x1，－y1)，它满足方程y＝＝－log2x，即点P1(x1，－y1)在图象上，反之亦然，所以y＝log2x与两个函数图象关于x轴对称．(8)因为y＝log2x与两个函数图象关于x轴对称，所以，可以根据y＝log2x图象，利用轴对称性质画出图象，同学们一定要掌握这种作图方法，对以后学习非常有好处．下面我们看它们应用．应用例如例1 求以下函数定义域：(1)y＝log a x2；(2)y＝log a(4－x)．活动：学生回忆，教师提示，师生共同完成解题过程．此题主要利用对数函数y＝log a x定义域为(0，＋∞)求解．①假设函数解析式中含有分母，分母不能为0；②假设函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③00次幂没有意义；④假设函数解析式中含有对数式，要注意对数真数大于0，底数大于0而不等于1.解：(1)由x2＞0得x≠0，所以函数y＝log a x2定义域是{x|x≠0}；(2)由4－x＞0得x＜4，所以函数y＝log a(4－x)定义域是{x|x ＜4}．点评：该题主要考察对数函数y＝log a x定义域为(0，＋∞)这一限制条件，根据函数解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.溶液酸碱度是通过pH刻画．pH计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子浓度，单位是摩尔/升．(1)根据对数函数性质及上述pH计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间变化关系；(2)纯洁水中氢离子浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯洁水pH.活动：学生审题，教师巡视，学生展示思维过程．此题主要利用对数及对数函数性质求解．首先利用对数运算性质把pH＝－lg [H＋]化为pH ＝lg 1[H ＋]，再利用对数函数性质来说明． 解：(1)根据对数运算性质，有pH ＝－lg [H ＋]＝lg [H ＋]－1＝lg 1[H ＋].在(0，＋∞)上，随着[H ＋]增大，1[H ＋]减小，相应地，lg 1[H ＋]也减小，即pH 减小．所以，随着[H ＋]增大，pH 减小，即溶液中氢离子浓度越大，溶液酸度就越大．(2)当[H ＋]＝10－7时，pH ＝－lg 10－7＝7，所以纯洁水pH 是7.点评：注意数学在实际问题中应用．知能训练课本本节练习1.拓展提升在同一坐标系中，画出函数y ＝log 3x ，，y ＝log 2x ，图象，比一比，看它们之间有何区别与联系．活动：教师引导学生回忆作函数图象方法与步骤，共同讨论研究对数函数性质方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中作用，注意从具体到一般思想方法运用，渗透概括能力培养，进展课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图象及表格，表述自己发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质认识．计算机画出如以下图象(如图4)．图4可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是穿插出现，穿插点是(1,0)；当a＞1时，图象向下与y轴负半轴无限靠拢，在点(1,0)右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小；在点(1,0)左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大．当0＜a＜1时，图象向上与y轴正半轴无限靠拢，在点(1,0)左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；在点(1,0)右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小．以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同假设干个对数函数底数大小关系．怎样定量分析同一坐标系中，底数不同对数函数底数大小呢？我们知道，对于对数函数y＝log a x，当y＝1时，x＝a，而a恰好又是对数函数底数，这就启发我们，不妨作直线y＝1，它同各个图象相交，交点横坐标恰好就是对数函数底数，以此可比拟底数大小．同时，根据不同图象间关系，也可比拟真数一样，底数不同对数函数值大小，如log23＜log3，log20.5＜log30.5，log2＞log2等．除了上述两种情况外，对于底数与真数都不同函数值也可通过媒介值“0〞或“1〞去比拟大小．如log与log0.3，因为log0.5＜0，log0.3＞0，所以log＜log0.3；又如log2，因为log21＜log21.5＜log22，所以0＜log2＞log0.5＝1，所以log0.4＞log21.5.课堂小结1．对数函数概念．2．对数函数图象与性质．3．函数定义域求法及函数奇偶性判定方法．4．数形结合与转化数学思想．作业课本习题组7,8,9,10.设计感想本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数根底上，研究第二类具体初等函数，它有着丰富内涵，与我们实际生活联系密切，也是以后学习根底，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，无论是导入还是概念得出过程，都比拟详细，因此课堂容量大，要提高学生互动积极性，特别是归纳出对数函数图象与性质后，要与指数函数图象与性质进展比拟，加深对数函数概念、图象与性质理解，要提高课堂效率与节奏，多运用信息化教学手段，顺利完本钱堂课任务．第2课时路致芳导入新课思路1．复习以下内容：(1)对数函数定义；(2)对数函数图象与性质．这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课主讲内容，教师点出课题：对数函数及其性质(2)(在黑板上板书)．思路2．上一节，大家学习了对数函数y＝log a x图象与性质，明确了对数函数单调性，即当a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数．这一节，我们主要通过对数函数单调性解决有关问题．教师板书课题：对数函数及其性质(2)．推进新课新知探究提出问题(1)根据你掌握知识，目前比拟数大小有什么方法？(2)判断函数单调性有哪些方法与步骤？(3)判断函数奇偶性有哪些方法与步骤？活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生答复，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．问题(1)学生回忆数大小比拟方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比拟抽象，又用到某些函数图象与性质，要分别对待，具体问题具体分析．问题(2)学生回忆判断函数单调性方法与步骤，严格按步骤与规定．问题(3)学生回忆判断函数奇偶性方法与步骤，严格按步骤与规定．讨论结果：(1)比拟数大小：①作差，看两个数差符号，假设为正，那么前面数大．②作商，但必须是同号数，看商与1大小，再决定两个数大小．③计算出每个数值，再比拟大小．④是两个以上数，有时采用中间量比拟．⑤利用图象法．⑥利用函数单调性．(2)常用方法有定义法、图象法、复合函数单调性判断．利用定义证明单调性步骤：①在给定区间上任取两个自变量值x1，x2，且x1＜x2.②作差或作商(同号数)，注意变形．③判断差符号，商与1大小．④确定增减性．对于复合函数y＝f[g(x)]单调性判断步骤可以总结为：当函数f(x)与g(x)单调性一样时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；当函数f(x)与g(x)单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．又简称为口诀“同增异减〞．(3)有两种方法：定义法与图象法．利用定义判断函数奇偶性格式步骤：①首先确定函数定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)关系；③作出相应结论：假设f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，那么f(x)是偶函数；假设f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，那么f(x)是奇函数．图象法：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性依据．下面看它们应用．应用例如例比拟以下各组数中两个值大小：(1)log23.4；log28.5；(2)log，log2.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)；(4)log75，log67.活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合方法或直接利用对数函数单调性来完成；作出图象，利用图象法比拟；计算出结果；作差利用对数函数性质．对(3)因为底数大小不确定，因此要分类讨论，再利用对数函数单调性；作差利用对数函数性质；转化为指数函数，再由指数函数单调性判断大小．对(4)所给对数式底数与真数都不一样，可以找一个中间量作为桥梁，通过比拟中间量与这两个对数式大小来比拟对数式大小，一般选择“0〞或“1〞作为中间量进展比拟．解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x 图象，如图5.图5在图象上，横坐标为3.4点在横坐标为8.5点下方，所以log23.4＜log28.5.解法二：由函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log 23.4＜log 28.5.解法三：直接用计算器计算，得log 23.4≈1.8，log 28.5≈3.1，所以log 23.4＜log 28.5.解法四：作差log 23.4－log 28.5＝log 2,8.5)，因为2＞1，,8.5)＜1，根据对数函数性质，所以log 2,8.5)＜0，即log 23.4＜log 28.5.(2)log ＞log2.7.(3)解法一：当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＜log a 5.9.当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＞log a 5.9.解法二：转化为指数函数，再由指数函数单调性判断大小． 令b 1＝log a 5.1，那么1 5.1b a =，令b 2＝log a 5.9，那么2 5.9b a =. 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上是增函数，且5.1＜5.9，所以b 1＜b 2，即log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上是减函数，且5.1＜5.9，所以b 1＞b 2，即log a 5.1＞log a 5.9.解法三：作差log a 5.1－log a 5.9＝log a ,5.9)，,5.9)＜1，由对数函数性质，当a ＞1时，log a ,5.9)＜0，因此log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a＜1时，log a,5.9)＞0，因此log a5.1＞log a5.9.(4)解法一：因为函数y＝log7x与函数y＝log6x都是定义域上增函数，所以log75＜log77＝1＝log66＜log67.所以log75＜log67.解法二：直接利用对数性质，log75＜1，而log67＞1，因此log75＜log67.点评：对数函数单调性取决于对数底数是大于1还是小于1.而条件并未指明时，需要对底数a进展讨论，表达了分类讨论思想，要求学生逐步掌握．同时此题采用了多种解法，从中还表达了数形结合思想方法，要注意体会与运用.知能训练课本本节练习3.【补充练习】函数y＝log2x－2定义域是( )A．(3，＋∞)B．[3，＋∞)C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)答案：要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，因此函数定义域是[4，＋∞)，选D.拓展提升探究y＝log a x图象随a变化而变化情况．用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，，图象，如图6.图6通过观察图象可总结如下规律：当a＞1时，a值越大，y＝log a x 图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a值越大，y＝log a x图象越远离x 轴．课堂小结本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数性质运用，我们对函数单调性与奇偶性又进展了复习稳固，利用单调性与奇偶性解决了一些问题，对常考内容进展了学习，要高度重视，特别是要与高考接轨，注意题目形式与难度．作业课本习题2.2B组2,3.【补充作业】1．求函数y ＝lg x ＋lg (5－2x )定义域．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0，5－2x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＜52，解得1≤x ＜52.所以函数定义域是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，52. 2．y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 减函数，求a 取值范围． 解：因为a ＞0且a ≠1，(1)当a ＞1时，函数t ＝2－a x 是减函数；由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 减函数，知y ＝log a t 是增函数，所以a ＞1；由x ∈[0,1]时，2－a x ≥2－a ＞0，得a ＜2，所以1＜a ＜2.(2)当0＜a ＜1时，函数t ＝2－a x 是增函数；由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 减函数，知y ＝log a t 是减函数， 所以0＜ax ∈[0,1]时，2－a x ≥2－1＞0，所以0＜a ＜1. 综上所述，0＜a ＜1或1＜a ＜2.设计感想本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前根底上提高与深化，它起着承上启下作用，侧重于对数函数单调性与奇偶性，同时又兼顾了高考常考内容．对于对数函数单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数奇偶性判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广、容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．第3课时高建勇导入新课思路1．复习指数函数与对数函数关系，那么函数y＝a x与函数y＝log a x到底还有什么关系呢？这就是本堂课新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质(3)．思路2．在比拟系统地学习对数函数定义、图象与性质根底上，利用对数函数图象与性质研究一些含有对数式、形式上比拟复杂函数图象与性质，特别明确了对数函数单调性，并且我们通过对数函数单调性解决了有关问题．因此，应搞清y＝a x与函数y＝log a x关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题能力．教师点出课题：对数函数及其性质(3)．推进新课新知探究提出问题(1)用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y、y＝2x 与y＝log2x函数图象．(2)通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y函数吗？(3)如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．(4)探索y＝2x与x＝log2y图象间关系．(5)探索y＝2x与y＝log2x图象间关系．(6)结合(2)与(5)推测函数y＝a x与函数y＝log a x关系．讨论结果：(1)y＝2x与x＝log2y.y2图7(2)在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x函数(x∈R，y∈R ＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴正半轴上任意一点作x 轴平行线，与y＝2x图象有且只有一个交点，即对任意y都有唯一x 相对应，可以把y作为自变量，x作为y函数．(3)由指数式与对数式关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y作用之下，都有唯一确定值x与它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y函数，即x＝log2y.这时我们把函数x ＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y ＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．以后，我们所说反函数是x，y对调后函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log x与y x(x∈R)互为反函数．(4)从我们列表中知道，y＝2x与x＝log2y函数图象一样．(5)通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x图象关于直线y＝x对称．(6)通过(2)与(5)类比归纳知道，y＝a x(a＞0，且a≠1)反函数是y ＝log a x(a＞0且a≠1)，且它们图象关于直线y＝x对称．由反函数概念可知，同底指数函数与对数函数互为反函数，它们图象关于直线y＝x对称．提出问题(1)用计算机在同一坐标系中作出以下函数图象：①y＝log3x；②y ＝log3(x＋1)；③y＝log3(x－1).(2)从图象上观察它们之间有什么样关系？(3)用计算机在同一坐标系中作出以下函数图象：①y＝log3x；②y ＝log3x＋1；③y＝log3x－1.(4)从图象上观察它们之间有什么样关系？(5)你能推广到一般情形吗？活动：学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．学生回忆函数作图方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．讨论结果：(1)如图8.图8(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log3(x＋1)，y＝log3(x－1)图象间有如下关系：y＝log3(x＋1)图象由y＝log3x图象向左移动1个单位得到；y＝log3(x－1)图象由y＝log3x图象向右移动1个单位得到；y＝log3(x－1)图象由y＝log3(x＋1)图象向右移动2个单位得到；y＝log3(x＋1)图象由y＝log3(x－1)图象向左移动2个单位得到．(3)如图9.图9(4)观察图9可以看出，y＝log3x，y＝log3x＋1，y＝log3x－1图象间有如下关系：y＝log3x＋1图象由y＝log3x图象向上平移1个单位得到；y＝log3x－1图象由y＝log3x图象向下平移1个单位得到；y＝log3x－1图象由y＝log3x＋1图象向下平移2个单位得到；y＝log3x＋1图象由y＝log3x－1图象向上平移2个单位得到．(5)由上面观察讨论可知，一般情况如下：①由函数y＝log a x图象得到函数y＝log a(x＋h)图象变化规律为：当h＞0时，只需将函数y＝log a x图象向左平移h个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)图象；当h＜0时，只需将函数y＝log a x图象向右平移|h|个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)图象．②由函数y＝log a x图象得到函数y＝log a x＋b图象变化规律为：当b＞0时，只需将函数y＝log a x图象向上平移b个单位就可得到函数y＝log a x＋b图象；当b＜0时，只需将函数y＝log a x图象向下平移|b|个单位就可得到函数y＝log a x＋b图象．③由函数y＝log a x图象得到函数y＝log a(x＋h)＋b图象变化规律为：画出函数y＝log a x图象，先将函数y＝log a x图象向左(当h＞0时)或向右(当h＜0时)平移|h|个单位，可得到函数y＝log a(x＋h)图象，再将函数y＝log a(x＋h)图象向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)＋b图象．这样我们就可以很方便地将函数y＝log a x图象进展平移得到与函数y＝log a x有关函数图象．那么，你能很方便地由函数y＝log a x 图象得到函数y＝log a|x|图象吗？留作思考练习，同学们课下完成．应用例如例1 a＞0，a≠1，f(log a x)＝ax2－1x(a2－1)(x＞0)．(1)求f (x )表达式；(2)求证：函数f (x )在R 上是增函数．活动：学生审题，教师指导，学生有困难，教师提示，并及时评价．(1)把log a x 看成一个整体，利用换元法处理．利用指数与对数关系，求出log a x 中x ，然后代入求解．(2)证明函数增减性要用函数单调性定义．学生回忆单调性证明方法与步骤，要按规定格式书写．(1)解：设t ＝log a x ，那么x ＝a t ，f (t )＝a ·a 2t －1a t (a 2－1). 所以f (x )＝a ·a 2x －1a x (a 2－1). (2)证明：设x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝22121212222121211()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x a aa aa a a a aa a a a a a a ⋅-⋅--⋅⋅+-=---，当a ＞1时，ax 1－ax 2＜0，a 2－1＞0，当0＜a ＜1时，ax 1－ax 2＞0，a 2－1＜0，而ax 1ax 2及a ·ax 1·ax 2＋1均为正，所以对一切a ＞0，a ≠1，总有f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在R 上是增函数．点评：换元法是解题常用数学方法，要注意体会．例2 F (x )＝f (x )－g (x )，其中f (x )＝log a (x －1)，并当且仅当(x 0，y 0)在f (x )图象上时，点(2x 0,2y 0)在y ＝g (x )图象上．求y ＝g (x )解析式．活动：学生仔细审题，积极思考，探讨解题方法，教师及时提示引导．由函数解析式利用代入法求函数解析式．由于P 0(x 0，y 0)与。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.2第一课时对数函数的图象及性质aa高一数学
[点睛] 形如 y＝2log2x，y＝log2 x3都不是对数函数，可 称其为对数型函数．
2021/12/12
第二页，共十八页。
2．对数函数的图象及性质
a 的范围
0＜a＜1
4．已知 y＝ax 在 R 上是增函数，则 y＝logax 在(0，＋∞)上是 ________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
2021/12/12
第六页，共十八页。
对数函数(duìshù hán shù)的概念
[例 1] 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x； (2)y＝log6x；(3)y＝logx5; (4)log2x＋1.
[活学活用] 1．函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则实 数 a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 1. 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，∴a＝1. 答案：1
2021/12/12
第九页，共十八页。
求对数(duìshù)型函数的定义域
[例 2] 求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1－x); (2)y＝log(1－x)5； (3)y＝lnx4－－3x； (4)y＝ log0.54x－3.
2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数的图象及性质
预习课本 P 70～73，思考并完成以下问题
(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有 哪些性质？
(3)反函数的概念是什么？
2021/12/12
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质课件新人教A版必修1
理论
2．对数函数的图象
由于对数函数 y log a x与指数函数y a x 互为反函数，所以 y log a x 的图象与 y a x
的图象关于直线 y x 对称. 看一般图象：
5
4
3
y=ax (a>1) 2
1
44
33
y=ax 22
∴函数 y loga x2的定义域是 x | x 0
（2）由 4 x 0 得 x 4
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4
（3） 由 9 x2 0 得 3 x 3
∴函数 y loga(9 x2) 的定义域是 x | 3 x 3
举例
例2 求下列函数的反函数
在R上是减函数
引例
引例: y 2 x 有无反函数?若有,则求出.
分析:视察图象知,有反函数
由 y 2x 得 x log 2 y 所以,反函数为:
4
fx3 = 2x
2
1
-4
-2
2
y log 2 x x (0,)
理论
1．对数函数的定义：
函数 y log a x (a 0且a 1) 叫做对数函数（logarithmic function）， 其中x是自变量，函数的定义域为 (0,) , 值域为 (,) .
1 y 1 x 1;
2
2 y (1) x2 3 (x 0).
2
解 （: 1）
y
1
x
1
1 x
y
1
2
2
（2）
x log1 ( y 1)
2
f 1( x) log1 ( x 1)
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质课件1新人教A版必修1
故函数的定义域为{x|1<x<2}．
[规律总结] 定义域是研究函数的基础，若已 知函数解析式求定义域，常规为分母不能为零， 0的零次幂与负指数次幂无意义，偶次方根被 开方式(数)非负，求与对数函数有关的函数定 义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外， 还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别 注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底 数的取值应用单调性．
非奇非偶函数
[知识点拨] 对数函数的知识总结： 对数增减有思路，函数图象看底数； 底数只能大于0，等于1来可不行； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(1,0)点． 3．反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，
即33－ －xx≤ >0e，2， 解得 3－e2≤x<3，
故函数的定义域为{x|3－e2≤x<3}．
(3)要使函数有意义，需使 log0.5(x－1)>0，
即log1
2
(x－1)>0，所以
log2x－1 1>0，
x－1>0 ∴x－1 1>1 ，即 1<x<2.
2
有意义应有 x>0.
[正解] 要使函数有意义，须log1 x－1≥0，
2
∴log1
2
x≥1，∴0<x≤12.
∴定义域为0，12.
跟踪练习
已知函数 y＝f(x)，x，y 满足关系式 lg(lgy)＝lg(3－x)，求函 数 y＝f(x)的表达式及定义域、值域．
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质
【解析】(1)由xlg＋x1＋>01，－3≠0， 得xx>＋－1≠1，103， ∴x>－1 且 x≠999. ∴函数的定义域为{x|x>－1 且 x≠999}.
(2)由xx>≠01，， 2－x>0，
得xx>≠01，， x<2，
∴函数的定义域为{x|0<x<2 且 x≠1}.
12/9/2021
第二十页，共三十四页。
logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x.
12/9/2021
第十一页，共三十四页。
1. 函 数 f(x) ＝ (a2 － a ＋ 1)log(a ＋ 1)x 是 对 数 函 数 ， 则 实 数 a ＝
【答案】(2,1)
【解析(jiě xī)】函数图象过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0， ∴x－1＝1，x＝2，y＝1.∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2,1).
5.函数y＝ln x的反函数是________. 【答案】y＝ex
【解析】由同底指数函数和对数函数互为反函数，可得y＝ln x的 反函数为y＝ex.
2.2 对数函数(duìshùhán shù)
2.2.2 对数函数(duìshù hán shù)及其性质
第1课时 对数函数的图象(tú xiànɡ)及性质
12/9/2021
第一页，共三十四页。
目标定位
1.理解对数函数的概念. 2.初步掌握对数函数的图 象及性质. 3.会类比指数函数，研究 对数函数的性质.
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标
从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质(2)课后训练1新人教A版必
2.2.2 对数函数及其性质课后训练1．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )．A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)2．已知集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |log 2x ＞1}，则M ∩N 等于( )．A ．B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜3}3．函数y 12log (43)x -( )．A ．(0,1] B.3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ 4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )．A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2 5．小华同学作出的a ＝2,3，12时的对数函数y ＝log a x 的图象如图所示，则对应于C 1，C 2，C 3的a 的值分别为( )．A ．2,3，12 B ．3,2，12 C.12，2,3 D.12，3,2 6．不等式13log (5＋x )＜13log (1－x )的解集为______． 7．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.8．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝0，则不等式f (log 4x )＜0的解集是______．9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (4－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)求使函数f (x )－g (x )的值为正数的x 的取值范围．10．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式．(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)2011年春节联欢晚会中，赵本山、王小利、小沈阳等表演小品《同桌的你》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？参考答案1. 答案：C ∵x ≥1，∴log 2x ≥0，∴y ≥2.2. 答案：D 由log 2x ＞1，得x ＞2，∴M N ＝{x |2＜x ＜3}．3. 答案：D 由题意列不等式组12log (43)0,(1)430.(2)x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩ 对于①有12log (4x －3)≥12log 1，解得x ≤1；对于②有4x ＞3，解得x ＞34.所以34＜x ≤1. 4. 答案：A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x .5. 答案：C 直线y ＝1与函数y ＝log a x 的图象交点的横坐标是底数a ，则由图象得对应C 1的a 的值为12，对应C 3的a 的值为3，对应C 2的a 的值为2. 6. 答案：{x |－2＜x ＜1} 原不等式等价于50,10,51,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得－2＜x ＜1.7. 答案：4 由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，所以A ＝(0,4]．又A B ，则a ＞4，所以c ＝4.8. 答案：122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭由题意可知，f (log 4x )＜012-＜log 4x ＜12124log 4-＜log 4x ＜1241log 42⇔＜x ＜2. 9. 答案：解：(1)由题意可知，f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (4－2x )，要使函数f (x )－g (x )有意义，自变量x 的取值需满足10,420,x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜2. 故函数f (x )－g (x )的定义域是(－1,2)．(2)令f (x )－g (x )＞0，得f (x )＞g (x )，即log a (x ＋1)＞log a (4－2x )，当a ＞1时，可得x ＋1＞4－2x ，解得x ＞1.由(1)知－1＜x ＜2，∴1＜x ＜2；当0＜a ＜1时，可得x ＋1＜4－2x ，解得x ＜1，由(1)知－1＜x ＜2，∴－1＜x ＜1.综上所述，当a ＞1时，x 的取值范围是(1,2)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,1)．10. 答案：解：(1)由已知，得y ＝20lg 0p p .又P 0＝2×10－5，则y ＝20lg 5210p -⨯. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 50.002210-⨯＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区．(3)由题意，得90＝20lg0p p ，则0p p ＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．。
高一数学第二章 2.2.2(一)
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
2.2.2（一）
定义域 值域 单调性 共点性 函数值特点
(0，＋∞)
R
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
图象过点 (1,0) ，即 loga1＝0 x∈(0,1)时，y∈ (－∞，0) ； x∈(0,1)时，y∈ (0，＋∞) ； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈[1， ＋∞)时， y∈ (－∞，0] 函数 y＝logax 与 y＝ log1 x 的图象关于 x轴 对称
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.2.2（一）
探究点一 ：对数函数的概念
1 >0 (3)由1－3x 1－3x≠0
1 ，得 x< ； 3
1 ∴所求函数定义域为x|x<3 ；
x>0 (4)由 log3x≥0 x>0 ，得 x≥1
当堂测、查疑缺
明目标、知重点
2.2.2（一）
1．理解对数函数的概念. 2．掌握对数函数的性质. 3．了解对数函数在生产实际中的简单应用．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
2.2.2（一）
1．对数函数的定义 一般地， 我们把 函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数， 其中 x 是自变量， 函数的定义域是 (0，＋∞) ． 2．对数函数的图象与性质 定义 底数 图象 y＝logax (a>0，且 a≠1) a>1 0<a<1
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.2对数函数及其性质教案新人教A版
2.2.2 对数函数及其性质
1.知识与技能
(1)理解对数函数的概念;
(2)掌握对数函数的性质,了解对数函数在生产实际中的简单应用.
(3)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解.
2.过程与方法
(1)培养学生的交流能力和与人合作的精神;
(2)用联系的观点分析问题,通过对对数函数的学习,渗透数形结合的数学思想.
3.情感、态度与价值观
(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的联系,激发学生的学习兴趣;
(2)在教学过程中,通过对对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
重点:对数函数的定义、图象和性质,对数函数性质的初步应用.
难点:底数a对图象的影响.
重难点的突破:由指数函数的图象过渡到对数函数的图象,通过类比分析达到深刻地了解对数函数的图象及其性质是掌握重点和突破难点的关键,在教学时一定要使学生的思考紧紧围绕图象、数形结合,加强直观教学,使学生形成以图象为根本,以性质为主体的知识网络.同时,在例题的讲解中,重视加强题组的设计和变形,使教学真正体现出由浅入深,由易到难,由具体到抽象的特点,从而突出重点、突破难点.
1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)的值为()
A.-1
B.-2
C.1
D.2
解析:f(3)=f(2)-f(1)=[f(1)-f(0)]-f(1)=-f(0)=-log24=-2.答案:B
2.若f(x)=log3(3x+1)+ax是偶函数,则a的值为. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),
即log3a=log34+ a.解得a=-1.
答案:-1。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数及其性质教案数学教案
对数函数及其性质
（1）y=log2 （4-x）
(2)y=log x(4-x)
总结: (1)对数的真数必须大于零；(2)对数函数的底数必须大于零且不等于1.
问题四：类比指数函数，对数函数y=log2x（a＞0且a≠1）的图象有哪几种类型呢？，你能在同一坐标系上画出下列函数的图像
(1) y=log2x
（2）y=log1/2x
教师提示概念中的要求学生
完成（2）
生：独立画图，同学间交流。
师：课堂巡视，个别辅导，
展示画得较好的个别同学图象。
两个函数的
图象。
为对数函数
的图象和性
质作铺垫
问题五：
从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和
联系？
问题六：
1、你知道下列函数：
第一组，，(1)y=log2x (2) y=log33x(3) y=log4x
第二组，(1)y=log1/2x (2) y=log1/3x(3) y=log1/4x
，图象吗？观察并回答有什么共同点和不同点？
生：个别同学尝试回答。
师：引导学生发现、观察、对比
底数不同对函数图象的影响。
生：独立思考，小组讨论。
师：用多媒体课件展示各个
函数的图象。
生：观察图象讨论、交流合
作，归纳出对数函数的共同性质。
通过学
生讨论，培养
学生交流合
作能力。
获得对
数函数的图
象和性质。
明确底
数a是确定对
数函数的要
素，渗透分类。
高中数学第二章2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质(一)学案(含解析)新人教A版必修1
2.2.2 对数函数及其性质(一)学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．知识点一对数函数的概念思考已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？答案由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．习惯上用x，y分别表示自变量、因变量．上式可改为y＝log2x，x∈(0，＋∞)．梳理一般地，把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．知识点二对数函数的图象与性质对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性函数y＝log a x与y＝1logax的图象关于x轴对称1．由y ＝log a x ，得x ＝a y，所以x >0.( √ ) 2．y ＝2log 2x 是对数函数．( × )3．y ＝a x与y ＝log a x 的单调区间相同．( × )4．由log a 1＝0，可得y ＝log a x 恒过定点(1,0)．( √ )类型一 对数函数的定义域的应用 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x)． 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是{x |－3<x <3}． (2)由16－4x>0，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x)的定义域为{x |x <2}． 引申探究1．把本例(1)中的函数改为y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)，求定义域．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x ＋3>0，得x >3.∴函数y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)的定义域为{x |x >3}．2．求函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？解 (x ＋3)(x －3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，x －3<0，解得x <－3或x >3.∴函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域为{x |x <－3或x >3}．相比引申探究1，函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y ＝log a [(x ＋3)·(x －3)]，要使对数有意义，只需(x ＋3)与(x －3)同号，而对于y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)，要使对数有意义，必须(x －3)与(x ＋3)同时大于0.反思与感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变． 跟踪训练1 求下列函数的定义域．(1)y ＝x 2－4lg x ＋3；(2)y ＝log (x ＋1)(16－4x)； 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥2，x >－3，x ≠－2，即－3<x <－2或x ≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，x ≠0，所以－1<x <2，且x ≠0，故所求函数的定义域为{x |－1<x <2，且x ≠0}． 类型二 对数函数单调性的应用 命题角度1 比较同底对数值的大小 例2 比较下列各组数中两个值的大小． (1)log 23.4，log 28.5； (2)log 0.31.8，log 0.32.7；(3)log a 5.1，log a 5.9(a >0，且a ≠1)． 考点 对数值大小比较 题点 对数值大小比较解 (1)考察对数函数y ＝log 2x ， 因为它的底数2>1，所以它在(0，＋∞)上是增函数， 又3.4＜8.5， 于是log 23.4<log 28.5.(2)考察对数函数y ＝log 0.3x ，因为它的底数0<0.3<1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，又1.8＜2.7，于是log0.31.8>log0.32.7.(3)当a>1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，又5.1＜5.9，于是log a5.1<log a5.9；当0<a<1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，又5.1＜5.9，于是log a5.1>log a5.9.综上，当a＞1时，log a5.1＜log a5.9，当0＜a＜1时，log a5.1＞log a5.9.反思与感悟比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22<log23<log24，即1<log23<2，从而借助中间值比较大小．跟踪训练2 设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a考点对数值大小比较题点对数值大小比较答案 A解析∵a＝log3π＞1，b＝12log23，其中log22<log23<log24，则12＜b＜1，c＝12log32＜12，∴a＞b＞c.命题角度2 求y＝log a f x型的函数值域例3 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．考点对数函数的值域题点对数函数的值域答案(0，＋∞)解析f(x)的定义域为R.∵3x>0，∴3x＋1>1.∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴log 2(3x＋1)>log 21＝0. 即f (x )的值域为(0，＋∞)．反思与感悟 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y ＝log a f (x )型函数的值域必先求定义域，进而确定f (x )的范围，再利用对数函数y ＝log a x 的单调性求出log a f (x )的取值范围．跟踪训练3 已知f (x )＝log 2(1－x )＋log 2(x ＋3)，求f (x )的定义域、值城． 考点 对数函数的值域题点 真数为二次函数的对数型函数的值域解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得定义域为(－3,1)．f (x )＝log 2[(1－x )(x ＋3)]＝log 2[－(x ＋1)2＋4]．∵x ∈(－3,1)，∴－(x ＋1)2＋4∈(0,4]．∴log 2[－(x ＋1)2＋4]∈(－∞，2]． 即f (x )的值域为(－∞，2]． 类型三 对数函数的图象例4 画出函数y ＝lg|x －1|的图象． 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象 解 (1)先画出函数y ＝lg x 的图象(如图)．(2)再画出函数y ＝lg|x |的图象(如图)．(3)最后画出函数y ＝lg|x －1|的图象(如图)．反思与感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．跟踪训练4 画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．考点对数函数的图象题点含绝对值的对数函数的图象解(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．1．下列函数为对数函数的是( )A．y＝log a x＋1(a＞0且a≠1)B．y＝log a(2x)(a＞0且a≠1)C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D．y＝2log a x(a＞0且a≠1)考点对数函数的概念题点对数函数的概念答案 C2．函数y＝log2(x－2)的定义域是( )A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)考点对数函数的定义域题点 对数函数的定义域 答案 C3．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )考点 对数函数的图象 题点 对数函数的图象 答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.4．函数f (x )＝log 0.2(2x＋1)的值域为________． 考点 对数函数的值域 题点 对数函数的值域 答案 (－∞，0)5．若函数f (x )＝2log a (2－x )＋3(a >0，且a ≠1)过定点P ，则点P 的坐标是__________． 考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 (1,3)1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的形式．如：y ＝2log 2x ，y ＝log 5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数．2．研究y ＝log a f (x )的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．一、选择题1．给出下列函数：①y＝log 23x2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.其中是对数函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点对数函数的概念题点对数函数的概念答案 A解析①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．2．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )A．{x|x>－1} B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1} D．∅考点对数函数的定义域题点对数函数的定义域答案 C解析∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，∴M∩N＝{x|－1<x<1}．3．已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象只能是下图中的( )考点对数函数的图象题点同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象答案 B解析y＝a x与y＝log a(－x)的单调性相反，排除A，D.y＝log a(－x)的定义域为(－∞，0)，排除C，故选B.4．已知函数f(x)＝log a(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )A ．－2B ．2C.12D ．－12考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 B解析 代入(6,3)，3＝log a (6＋2)＝log a 8， 即a 3＝8，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.5．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示：其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )考点 对数函数的图象题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象 答案 D解析 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1， ∴g (x )的图象应为D.6．下列不等号连接错误的一组是( ) A ．log 0.52.2>log 0.52.3 B ．log 34>log 65 C ．log 34>log 56 D ．log πe>lnπ 考点 对数值大小比较 题点 对数值大小比较 答案 D解析 对A ，根据y ＝log 0.5x 为单调减函数易知正确． 对B ，由log 34>log 33＝1＝log 55>log 65可知正确．对C ，由log 34＝1＋log 343>1＋log 365>1＋log 565＝log 56可知正确．对D ，由π>e>1，得lnπ>1>log πe 可知错误． 7．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 考点 对数函数的值域 题点 对数函数的值域 答案 A解析 ∵181≤x ≤9，∴log 3181≤log 3x ≤log 39，即－4≤log 3x ≤2，∴－2≤2＋log 3x ≤4. ∴当x ＝181时，f (x )min ＝－2.8．已知函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－1,0)上有f (x )>0，那么( ) A ．f (x )在(－∞，0)上是增函数 B ．f (x )在(－∞，0)上是减函数 C ．f (x )在(－∞，－1)上是增函数 D ．f (x )在(－∞，－1)上是减函数 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象 答案 C解析 当x ∈(－1,0)时，|x ＋1|∈(0,1)， ∵log a |x ＋1|>0，∴0<a <1， 画出f (x )的图象如图：由图可知选C. 二、填空题9.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是____________．考点 对数函数的定义域题点 对数函数的定义域答案 {x |2<x ≤8}解析 由题意知，f (x )>0，由所给图象可知f (x )>0的解集为{x |2<x ≤8}．10．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系是______________．考点 对数值大小比较题点 指数、对数值大小比较答案 a >c >b解析 因为π>2，所以a ＝log 2π>1，所以b ＝log 12π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c <1.所以a >c >b .11．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是____________． 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象答案 (5，＋∞)解析 因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ，即b ＝1a，所以a ＋4b ＝a ＋4a .令g (a )＝a ＋4a ，易知g (a )在(0,1)上为减函数，所以g (a )>g (1)＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞)．三、解答题12．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上时，点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 2在函数y ＝g (x )的图象上．(1)写出y ＝g (x )的解析式；(2)求方程f (x )－g (x )＝0的根．考点 对数函数的解析式题点 对数函数的解析式解 (1)设x 3＝x ′，y 2＝y ′， 则x ＝3x ′，y ＝2y ′.∵(x ，y )在y ＝f (x )的图象上，∴y ＝log 2(x ＋1)，∴2y ′＝log 2(3x ′＋1)，y ′＝12log 2(3x ′＋1)， 即点(x ′，y ′)在y ＝12log 2(3x ＋1)的图象上． ∴g (x )＝12log 2(3x ＋1)． (2)f (x )－g (x )＝0，即log 2(x ＋1)＝12log 2(3x ＋1)＝log 23x ＋1， ∴x ＋1＝3x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3x ＋1>0，x ＋12＝3x ＋1， 解得x ＝0或x ＝1. 13．已知1≤x ≤4，求函数f (x )＝log 2x 4×log 2x 2的最大值与最小值． 考点 对数函数的值域 题点 对数函数的值域 解 ∵f (x )＝log 2x 4×log 2x 2＝(log 2x －2)(log 2x －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14， 又∵1≤x ≤4，∴0≤log 2x ≤2，∴当log 2x ＝32，即x ＝232＝22时，f (x )取最小值－14； 当log 2x ＝0，即x ＝1时，f (x )取最大值2.∴函数f (x )的最大值是2，最小值是－14. 四、探究与拓展14．已知log a (3a －1)恒为正，则a 的取值范围是________．考点 对数函数的图象题点 对数函数的图象答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 13<a <23或a >1解析 由题意知log a (3a －1)>0＝log a 1.当a >1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>1，3a －1>0，解得a >23，∴a >1； 当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<1，3a －1>0，解得13<a <23. ∴13<a <23. 综上所述，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 13<a <23或a >1. 15．已知函数f (x )＝ln(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．考点 对数函数的值域题点 求对数函数的定义域与值域解 (1)若f (x )的定义域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象恒在x 轴的上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a <0，所以a >1.(2)若f (x )的值域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象一定要与x 轴有交点，且能取得y 轴正半轴的任一值，所以a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a ≥0，所以0≤a ≤1.。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质第22课时对数函数的性质及应用
(2)形如 y＝logaf(x)的函数的单调性 首先要确保 f(x)>0， 当 a>1 时，y＝logaf(x)的单调性在 f(x)>0 的前提下与 y＝f(x) 的单调性一致． 当 0<a<1 时，y＝logaf(x)的单调性在 f(x)>0 的前提下与 y＝ f(x)的单调性相反．
12/13/2021
(3)F(x)在区间(0，1)上是减函数． 设 x1，x2∈(0，1)且 x1<x2，则 F(x1)－F(x2)＝lg(1－x21)－lg(1－x22)＝lg11－－xx2122. ∵x1，x2∈(0，1)，且 x1<x2， ∴(1－x21)－(1－x22)＝(x2＋x1)(x2－x1)>0，
x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若 a＝f(－3)，b＝f14，c＝f(2)， 则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．a>c>b
12/13/2021
解析：选 B ∵函数 y＝f(x＋2)的图象关于 x＝－2 对称， ∴函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称， ∴函数 y＝f(x)是偶函数． ∴a＝f(－3)＝f(3)＝|log23|＝log23， 又 b＝f14＝log214＝|－2|＝2， c＝f(2)＝|log22|＝1，∴c<a<b.故选 B．
4．函数 y＝log2(x2－2x)的单调增区间是________． 解析：由 t＝x2－2x>0 得，x>2 或 x<0，当 x>2 时，t＝x2－ 2x 单调递增，log2t 单调递增，∴函数 y＝log2(x2－2x)为增函数； 当 x<0 时，t＝x2－2x 单调递减，log2t 单调递增，∴函数 y＝log2(x2 －2x)为减函数，∴函数 y＝log2(x2－2x)的增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)
2。
2。
2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。
像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。
对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。
5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。
5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。
5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。
"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。
（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第2课时)对数函数及其性质的应用(习题课)应用
高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（第2课时）对数函数及其性质的应用（习题课）应用案巩固提升新人教A 版必修1[A 基础达标]1．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选B.a ＝log 0.60.5＞log 0.60.6＝1，b ＝ln 0.5＜0，0＜c ＝0.60.5＜0.60＝1， 故a ＞c ＞b .2．(2019·衡阳高一检测)函数y ＝log 15(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为3x＞0，所以－3x＜0， 所以1－3x＜1.又y ＝log 15t (t ＝1－3x)是关于t 的减函数，所以y ＝log 15t ＞log 151＝0.选C.3．(2019·聊城高一检测)关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是减函数 C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上是增函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上是减函数 解析：选C.由1－2x >0，得x <12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.由于底数12∈(0，1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上是增函数，故选C. 4．(2019·六安高一检测)若a >1，且log 1ax 1＝log a x 2＝log a ＋1x 3<0，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 3<x 1C ．x 3<x 2<x 1D ．x 3<x 1<x 2解析：选C.因为log 1ax 1＝log a x 2＝log a ＋1x 3<0，所以lg x 1lg 1a＝lg x 2lg a ＝lg x 3lg （a ＋1）<0，因为a >1，则lg 1a<0，lg(a ＋1)>lg a >0，所以lg x 1>0，lg x 2<0，lg x 3<0，且lg x 2>lgx 3，所以x 1>1，0<x 3<x 2<1，所以x 3<x 2<x 1.5．下列函数为奇函数的是( )A ．f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12xB ．f (x )＝|lg x |C ．f (x )＝lg |x |D ．f (x )＝lg 1－x1＋x解析：选D.对于选项A 中的函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ，函数定义域为R ，f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋12－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝f (x )，故选项A 中的函数为偶函数；对于选项B 中的函数f (x )＝|lg x |，由于函数定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故选项B 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；对于选项C 中的函数f (x )＝lg|x |，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，故选项C 中的函数为偶函数；对于选项D 中的函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，由于函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，故选项D 中的函数为奇函数．故选D.6．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是________． 解析：由lg(2x －4)≤1得lg(2x －4)≤lg 10， 所以0＜2x －4≤10， 解得2＜x ≤7. 答案：(2，7]7．(2019·凉州高一检测)已知函数y ＝log 2(1－x )的值域为(－∞，0)，则其定义域是________．解析：因为函数y ＝log 2(1－x )的值域为(－∞，0)，所以0<1－x <1，即－1<x －1<0，解得0<x <1，所以该函数的定义域为(0，1)．答案：(0，1)8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．解析：因为a ＞1，所以f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上递增， 所以log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，所以a 12＝2，a ＝4.答案：49．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝log 2x . (1)求f (x )的解析式； (2)解关于x 的不等式f (x )≤12.解：(1)设x <0，则－x >0， 因为当x >0时，f (x )＝log 2x ， 所以f (－x )＝log 2(－x )， 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )． 当x ＝0时，f (0)＝0，综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2（－x ），x <0.(2)由(1)得不等式f (x )≤12可化为x >0时，log 2x ≤12，解得0<x ≤ 2.x ＝0时，0≤12满足条件．x <0时，－log 2(－x )≤12，解得x ≤－22. 综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤－22或0≤x ≤2.10．已知函数f (x )＝log 2(1＋x 2)．求证：(1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．证明：(1)函数f (x )的定义域是R ，f (－x )＝log 2[1＋(－x )2]＝log 2(1＋x 2)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)设x 1，x 2为(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(1＋x 21)－log 2(1＋x 22)＝log 21＋x 211＋x 22.因为0<x 1<x 2，所以0<x 21<x 22，0<1＋x 21<1＋x 22，所以0<1＋x 211＋x 22<1.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 21＋x 211＋x 22<0.所以f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．log 12(a 2＋a ＋1)与log 1234的大小关系为( )A ．log 12(a 2＋a ＋1)≥log 1234B ．log 12(a 2＋a ＋1)>log 1234C ．log 12(a 2＋a ＋1)≤log 1234D ．log 12(a 2＋a ＋1)<log 1234解析：选C.因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减函数，而a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34≥34，所以log 12(a 2＋a ＋1)≤log 1234.12．(2019·大庆高一检测)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ．则a ，b 满足的关系式是( )A ．a >1且b >1B ．a >1且0<b <1C ．b >1且0<a <1D ．0<a <1且0<b <1解析：选C.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ，所以log a 14>0，log b a <0，即0<a <1，b >1.13．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以定义域为(－3，1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4，又0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )的最小值为log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，所以a ＝4－12＝12.14．(选做题)已知函数f (x )＝log a (3－ax )，(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1.设g (x )＝3－ax ， 则g (x )在[0，2]上为减函数，所以g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0，所以a <32.所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，则由题设知f (1)＝1， 即log a (3－a )＝1，所以a ＝32.此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x . 但x ＝2时，f (x )＝log 320无意义．故这样的实数a 不存在．。
必修1《2_2_2对数函数及其性质》
必修1《2.2.2 对数函数及其性质》一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。
对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有很多类似之处。
与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，水平要求也更高。
学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提升，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。
二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生很多学习特点，水平发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。
因为函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算水平有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。
教师必须理解到这个点，教学中要控制要求的拔高，注重学习过程。
三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据实行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
四、教学目标1．通过具体实例，直观理解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生使用函数的观点解决实际问题。
五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，假设要求这种细胞经过多少次分裂，大约能够得到细胞1万个，10万个……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即；图12.引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，都不是对数函数．②对数函数对底数的限制：，且．3．根据对数函数定义填空；例1 （1）函数y=log a x2的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)(2) 函数y=log a(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.2第2课时对数函数及其性质的应用
第三页，共三十一页。
1．y＝ln(x2＋1)的值域是( A．R C．(0，＋∞) 答案：B
[双基自测] ) B．[0，＋∞) D．(－∞，0)
12/9/2021
第四页，共三十一页。
2．设 a＝log54，b＝log53，c＝log 1 5，则( )
3
A．a<c<b
B.c<a<b
C．b<a<c
第二十页，共三十一页。
3．(1)若 f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则 a 的取值范围是( )
A．[1,2)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
(2)求函数 f(x)＝log2(x2－x－2)的单调减区间．
解析：(1)令函数 g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2 的对称轴为 x＝a，要
12/9/2021
第二十九页，共三十一页。
(2)令 f(x)－g(x)＞0，得 f(x)＞g(x)， 即 loga(x＋1)＞loga(4－2x)， 当 a＞1 时，可得 x＋1＞4－2x，解得 x＞1. 由(1)知－1＜x＜2，∴1＜x＜2； 当 0＜a＜1 时，可得 x＋1＜4－2x，解得 x＜1， 由(1)知－1＜x＜2，∴－1＜x＜1. 综上，当 a＞1 时，x 的取值范围是(1,2)；当 0＜a＜1 时，x 的取值范围是(－1,1)．
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
12/9/2021
第二十五页，共三十一页。
解析：当 a>1 时，loga34<0<1，成立．
当 0<a<1 时，y＝logax 为减函数．
由
loga34<1＝logaa，得
人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.2.2对数函数及其性质(一)》教案(2)
§2.2.2对数函数及其性质（第一课时）一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律。
②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题。
2．过程与方法让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质。
3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；②培养学生严谨的科学态度。
二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；2．教学手段：多媒体计算机辅助教学。
三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质。
2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用。
四．教学过程1．设置情境实例：古谚：“一尺之木，日截其半，万世不竭…”设木长为x，则x与经过的天数y之间显然存在一种关系式。
先填写下表：则该关系式为:()2yx …………（*）那能否根据（*）式用木长x把经过的天数y表示出来？12y=log x2．探索新知(1)探求对数函数的概念问题1.1：由实例我们能否得到对数函数的一般式？ 答：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
问题 1.2：在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1？答： 问题 1.3：为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）？答：下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：先完成下表，并根据此表用描点法或用几何画板画出函数2log x y =的图象，再利用几何画板画出0.5log x y =的图象。
2log x y =注意到：2212112222log log log log log log 2x xy x x -====-，若点(x, y)在2log y x =的图象上，则点(x, -y)在12log y x =的图象上. 由于（,x y ）与（x,-y ）关于x 轴对称，因此，12log y x =的图象与2log y x =的图象关于x 轴对称 . 所以，由此我们可以根据2log y x =的图象画出12log y x =的图象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对数函数及其性质
学习目标
1．理解对数函数的概念，结合对数的图象得出并掌握对数函数的基本性质； 2．通过对对数函数的学习，感受数形结合、分类讨论等重要数学思想. 自学探究
阅读课本第70页至72页，完成下列任务 （一）对数函数的定义
1.对数函数概念是什么？
2. 在对数函数x y a log =中，x a 与的取值范围是什么？
3.判断下列函数是否是对数函数：
① 12
log 2y x = ( ) ② 22log y x = ( ) ③ 12
log y x = ( )
注意：○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：5
log 5
x
y = 不是对数函数，而只能称其为对数型函数。
○
2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且 )1≠a 。
二．对数函数的图象与性质
1.请用描点法作出函数x y x y
12log ,log ==的图像
*画对数函数x y a log =0(>a ，且 )1≠a 的图象应抓住三个关键点：(a
，1)，(1，0)，(
a 1
，-1)
2.（1）根据图象，你能归纳出对数函数x y a log
=的哪些性质？并填写下表
（2） 在同一坐标系中利用三个关键点：(a ，1)，(1，0)，(
a
1
，-1)画出和=
y 和y=
log
3
x 的图象，
并利用对称性画出12
log y x =和y=
x log
3
1
的图象。
*可以发现当a>1时，底数越____，函数图像在y 轴右侧的部分越靠近y 轴；
当0<a<1时，底数越____，函数图像在y 轴左侧的部分越靠近y
轴
（3）完成75页10
变式：如图所示曲线是对数函数log a y x =的图像，已知a 431
,,3510
，
则相应于1234,,,C C C C 的a 值依次为_________________
3.认真阅读71页例7，完成73页练习2，74页习题7，75页B 组4
变式: 求下列函数定义域 (1)
(2)
4. 认真阅读72页例8，完成73页练习3，74页习题8
变式1.比较两个值的大小
(1)
5log
a
，22log a
(2) 1.5log 1.6， 0 （3） 23
log 0.5， 1 (4)
, （5） ，
变式2. 75页B 组2
5.若10≠>a a 且,则函数11
-=-x a y 的图像过定点_______；函数1)1(log --=x y a 的图像过定点____________。