高等数学(第24-28课)强化
大学数学强化提升课教案
课程名称：高等数学授课班级：XX级XX班授课时间：每周二第5节授课教师：[教师姓名]教学目标：1. 通过本课程的学习，使学生熟练掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
3. 提高学生的数学素养，为后续专业课程学习打下坚实基础。
教学内容：1. 微积分基本概念与性质2. 多元函数微分学3. 多元函数积分学4. 线性代数基本概念与性质5. 线性方程组与矩阵6. 特征值与特征向量7. 傅里叶变换与拉普拉斯变换8. 微分方程与差分方程教学过程：一、导入1. 回顾中学数学知识，激发学生对高等数学的兴趣。
2. 引导学生思考高等数学在实际问题中的应用。
二、教学环节1. 微积分基本概念与性质- 介绍极限、导数、积分的基本概念和性质。
- 通过实例讲解极限、导数、积分的应用。
2. 多元函数微分学- 介绍多元函数偏导数、全微分、方向导数等概念。
- 讲解多元函数的极值、条件极值问题。
3. 多元函数积分学- 介绍二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等概念。
- 讲解多元函数积分的计算方法。
4. 线性代数基本概念与性质- 介绍向量、矩阵、行列式等基本概念。
- 讲解线性方程组、矩阵的秩、逆矩阵等概念。
5. 特征值与特征向量- 介绍特征值、特征向量的概念。
- 讲解特征值、特征向量的计算方法。
6. 傅里叶变换与拉普拉斯变换- 介绍傅里叶变换、拉普拉斯变换的基本概念。
- 讲解傅里叶变换、拉普拉斯变换的应用。
7. 微分方程与差分方程- 介绍微分方程、差分方程的基本概念。
- 讲解微分方程、差分方程的解法。
三、课堂练习1. 每节课结束后，布置适量的课后练习题，巩固所学知识。
2. 定期组织课堂讨论，引导学生积极思考、交流。
四、教学评价1. 通过课堂提问、课后作业、期中考试、期末考试等方式，评价学生的学习成果。
2. 针对学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学效果。
教学总结：本课程通过系统讲解高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，使学生掌握高等数学的核心知识，提高学生的数学素养。
24李永乐线代强化课程表
24李永乐线代强化课程表摘要：I.引言A.介绍李永乐线代强化课程B.课程的重要性和特点II.课程概述A.课程时间安排B.课程内容简介C.课程教学目标III.课程讲师A.讲师简介B.讲师的教学经验和成果IV.课程大纲A.课程章节概述B.课程重点和难点V.课程学习资源A.课程教材B.课程辅助教材C.课程在线学习资源VI.课程评价A.学生评价B.专家评价C.社会评价VII.结论A.总结课程特点和优势B.提出课程改进建议正文：【引言】李永乐线代强化课程是针对考研数学线代部分的强化课程，由著名的考研数学辅导专家李永乐老师主讲。
该课程旨在帮助学生深入理解线代知识点，提高线代解题能力，从而在考试中取得更好的成绩。
【课程概述】该课程共分为24 讲，每讲时长约为1-1.5 小时。
课程从基础的线代知识入手，逐步过渡到复杂的线代题目解析，涵盖了线代考试的全部内容。
学生通过学习这个课程，可以系统地掌握线代知识，为考研数学做好充分的准备。
【课程讲师】李永乐老师是考研数学辅导领域的权威专家，具有丰富的教学经验和显著的教学成果。
他的课程讲解通俗易懂，深入浅出，能够引导学生迅速掌握线代知识，深受广大学生的喜爱和信赖。
【课程大纲】课程大纲涵盖了线代的所有知识点，从行列式、矩阵、向量到线性方程组、特征值和特征向量等，既有基础知识的讲解，也有难题的解析。
学生可以根据自己的需求选择学习相应的章节。
【课程学习资源】课程配备了丰富的学习资源，包括课程教材、辅助教材和在线学习资源。
课程教材详细讲解了课程大纲中的所有知识点，辅助教材提供了大量的练习题和解析，帮助学生巩固所学知识。
在线学习资源包括课程视频、PPT 和题库，方便学生随时随地进行学习。
【课程评价】该课程在学生中享有很高的口碑，许多学生在学习后都表示对线代知识有了更深刻的理解，解题能力也有了显著提高。
专家也对李永乐老师的教学方法和成果给予了高度评价，认为他的课程对于提高学生的考研数学成绩具有重要作用。
数学强化每章总结知识点
数学强化每章总结知识点第一章：代数代数是数学的一个重要分支，主要研究数的计算、数与数量关系的表示和运算等。
代数包括整式、方程、不等式等内容。
在代数这一章中，学生将学习整式的加减乘除、因式分解、方程的解法等知识。
这些知识是数学学习的基础，对于理解后续更加复杂的数学知识和问题解决具有重要意义。
1.1 整式整式是由常数和变量经过有限次的加减乘除和乘方运算得到的代数式，整式分为单项式和多项式两种。
学生需要掌握整式的加减乘除运算法则，以及整式的化简和合并同类项的方法。
1.2 因式分解因式分解是将一个多项式分解成若干个不可约的因式的乘积，可以应用在解方程、求导等各种数学问题中。
因式分解的方法有公因式提取法、配方法、分组分解法等，学生需要熟练掌握这些方法。
1.3 方程的解法方程是含有未知数的等式，在数学应用中具有广泛的意义。
方程的解法包括一元一次方程的解法、二元一次方程的解法、一元二次方程的解法等。
学生需要掌握每种类型方程的解法，并能够应用到实际问题中解决。
第二章：几何几何是研究空间形状和大小、位置关系以及变换规律的数学学科。
在几何这一章中，学生将学习到点、直线、平面、多边形、圆等图形的性质，以及图形的面积、周长、体积等相关知识。
2.1 点、线、面点是几何的基本对象，线和面是由点构成的。
学生需要理解点、线、面的概念和性质，以及它们在平面和空间中的表示方法。
2.2 多边形和圆多边形是由若干条线段首尾相接构成的图形，圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
学生需要掌握多边形和圆的性质，以及它们的相关计算方法。
2.3 面积和周长面积和周长是几何图形的重要特征，求解面积和周长是解决实际问题的基础。
学生需要掌握各种常见几何图形的面积和周长的计算方法，以及应用到不同问题中的技巧。
2.4 体积和表面积体积和表面积是三维图形的重要特征，求解体积和表面积同样是解决实际问题的基础。
学生需要熟练掌握各种常见三维图形的体积和表面积的计算方法，并能够应用到各种问题中解决。
高等数学课程标准
《高等数学》课程标准课程编号：0610005课程名称：高等数学学时：64学时（含实践性教学）适用专业：电子与电气工程系各专业一、课程描述（一）课程性质《高等数学》是高职工科类、文科类、医技类部分专业学生的一门必修课，是服务于各专业的一门重要基础课，是培养学生应用数学知识解决实际问题的能力的有力工具。
通过本课程的学习使学生了解微积分的背景思想，较系统地掌握高等数学的基础知识、必需的基本理论和常用的运算技能，了解基本的数学建模方法。
为学生学习后继课程、专业课程和分析解决实际问题奠定基础。
（二）教学目标与要求本课程目标分为：知识教学目标（极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、专业应用方面的基础知识、数学建模的初步知识、数学软件知识）；能力培养目标（逻辑推理能力、基本运算能力、自学能力、数学建模的初步能力、数学软件运用能力，应用数学知识解决实际问题的能力）；素质培养目标（树立辩证唯物主义世界观、培养学生良好的学习习惯、坚强的意志品格、严谨思维、求实的作风、勇于探索、敢于创新的思想意识和良好的团队合作精神。
）（三）重点和难点重点：使学生掌握一元函数积分这部分教学内容的基本概念、基本定理、基本结论，在此基础上培养学生的应用意识，使学生明确数学知识来源于实践又反作用于实践，体会数学理性逻辑之美，使学生树立辩证唯物主义世界观。
难点：如何让学生转变观念，正确认识《高等数学》这门课程，让绝大部分同学对该课程感兴趣，从而发挥《高等数学》这门课程的基础与服务作用就成了我们的教学难点。
（四）与其他课程的关系高等数学将为今后学习专业基础课以及相关的专业课程打下必要的数学基础，为这些课程的提供必需的数学概念、理论、方法、运算技能和分析问题解决问题的能力素质。
基于职业教育的特点，以及为适应迅猛的社会经济发展，为公司企业输送相应层次的技术人才，注重理论联系实际，强调对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，以努力提高学生的数学修养和素质。
武忠祥高等数学强化课教材
武忠祥高等数学强化课教材《武忠祥高等数学强化课教材》正文：封面上方：武忠祥高等数学强化课教材封面下方：作者：***第一页（空白页）目录：1. 强化课简介2. 前言3. 第一章极限与连续3.1 极限的引入3.2 极限的性质3.3 无穷小量与无穷大量...4. 第二章微分与导数4.1 导数的定义4.2 基本导数公式4.3 高阶导数与高阶导数公式...5. 第三章积分与定积分5.1 积分的引入5.2 不定积分与定积分的概念和性质 ...6. 第四章微分方程6.1 一阶微分方程及其解法...7. 第五章无穷级数...8. 第六章空间解析几何和变量变线 ...9. 第七章多元函数及其应用...（以此类推，列出所有章节和小节）（在每个小节的开头，以一段话简短介绍该小节的主要内容，例如：）3. 第一章极限与连续3.1 极限的引入极限是高等数学中的重要概念之一，它在揭示函数性质和计算中有着广泛的应用。
本节将引入极限的概念，从数列极限和函数极限两个方面进行详细讲解，帮助学生全面理解极限的概念及其特性。
（在每个小节的结尾，以一段话总结该小节的重点内容，例如：）4. 第二章微分与导数4.1 导数的定义导数作为微积分的核心概念，具有重要的几何和物理意义。
本节详细介绍导数的定义及其几何意义，并通过大量的例题演示导数的计算方法，帮助学生掌握导数的概念与计算技巧。
（在每个章节的结尾，以一段话概括该章节的主要内容，例如：）第三章积分与定积分本章主要介绍积分与定积分的概念、计算方法和应用。
通过对不定积分与定积分的详细讲解，以及一些典型应用问题的实例分析，使学生理解积分的几何意义和应用背景，掌握定积分的计算技巧。
结尾（空白页）。
高等数学强化班讲义
高等数学（强化班）讲义第一章 函数、极限、连续一、重、难点内容归纳1. 函数概念、性质1） 会讨论分段函数在“接头点”处极限、连续、导数、积分。
2） 会求分段函数的复合函数。
3） 熟悉函数的性态——单调性，奇偶性，周期性，有界性。
2. 极限1） 熟悉应用“保号性定理”。
2） 熟练求极限的方法（特别要注意运用方法的条件、技巧。
易出错的地方）。
3. 会讨论函数的连续性与间断性1） 分段函数在“接头点”处的连续性的讨论。
2） 明确函数间断性的讨论是指：① 求出全部间断点； ② 指出间断点的类型。
4. 熟悉连续函数在闭区间上的性质1） 熟练应用“零点定理，介值定理，最值定理”。
2） 会讨论方程的根（① 根的存在性，唯一性； ② 根的个数的确定）。
二、方法、技巧、题型例1 分段函数的复合<例1.1> 设⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤=1||21||2)(,1||1||)(22x x x x g x x x x x f ，求))((x g f . （答：⎩⎨⎧>≤-=⎪⎩⎪⎨⎧>≤>--≤≤--=1||21||21||21||,1|2|21||,1|2|)2())((222222x x x x x x x x x x x g f 且且 ）<例1.2> 设⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤=2||22||2)(,1||01||1)(2x x x x g x x x f ，求))(()),((x f g x g f . （答：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=2||01||03||11))((x x x x g f 或2||3≤<x ，⎩⎨⎧>≤=1||21||1))((x x x f g ） 例2 函数性态单调性 <例2.1> 求⎰-=πd 2sin 1x x I （答：22）.<例2.2> 设)(x f 连续且单调增.求证：0)(d )(0≤-⎰x xf t t f x . <例2.3> 设),0[,0)0(+∞∈∀=x f 有xx f x g x f )()(,)(=↑'，证明： )(x g 单调增.奇偶性 <例2.4> 设)(x f 连续，⎰-=xt t f t x x F 0d )()2()(时，那么1）若)(x f 为奇函数，证明)(x F 为奇函数。
高等数学课程教学计划进度表
课程名称：高等数学（微积分）
序号
章、节
内容
1 第 1 章 1.1
集合、常量与变量、函数的概念、函数的几种特 性、反函数
第 1 章 1.2 2 第 1 章 1.3
基本初等函数、复合函数、初等函数、双曲函数 与反双曲函数、数列极限概念、数列极限的举例 及性质
第 1 章 1.4 3 第 1 章 1.5
13 第 2 章 2.7 14 第 2 章 2.8
微分的概念、基本初等函数的微分公式、 微分运算法则 微分在近似计算中的应用 第 2 章小结
15 第 3 章 3.1 中值定理
16 第 3 章 3.2 洛比达（L`Hospital）法则
17 第 3 章 3.3 函数的单调性与极值的判定
18 第 3 章 3.4 函数的最值及其应用
2(1)~(4)5（1）~(4) 习题 2.5 1 (1)~(4) 习题 2.6 1 (1)，3(1)
4 (1) ，5(1)
习题 2.7 1，2(1)(2)，3
习题 2.8 1，4 自测题
习题 3.1 1（1）（3），2（2） 3，5（1）
习题 3.2 1（1）~（6），2 习题 3.3 1（1）（3），2（3）
3（1）（2）（4） 习题 3.4 1（1）（2）3,4,5 习题 3.5 1（1），（2）2
（1），（3） 习题 3.6 1，2，4 习题 3.7 1（1）（2）2
3，4 自测题 习题 4.1 1，2，3，4 习题 4.2 1（1）（2）（3）
（4）（5）（6）（7）（8）
续表
24 第 4 章 4.2 第二类换元积分法
8 第 2 章 2.1 导数的定义、函数的可导性与连续性间的关系
武忠祥24考研强化班课表
武忠祥24考研强化班课表
【最新版】
目录
1.武忠祥 24 考研强化班的概述
2.武忠祥 24 考研强化班的课程内容
3.武忠祥 24 考研强化班的时间安排
4.武忠祥 24 考研强化班的特点和优势
正文
【武忠祥 24 考研强化班概述】
武忠祥 24 考研强化班，是一所致力于帮助考研学生提高学术能力和考试技巧的专业培训机构。
该培训班凭借其一流的师资力量、科学的课程设置和严谨的教学态度，深受广大考研学生的青睐。
【武忠祥 24 考研强化班的课程内容】
武忠祥 24 考研强化班的课程内容涵盖了考研所需的各个方面，包括：政治、英语、数学等科目的强化训练，以及针对考研的专题讲座和模拟考试。
其中，政治课程主要针对考研政治的各个模块进行深入讲解，英语课程则侧重于提高学生的阅读、写作和翻译能力，数学课程则注重培养学生的解题技巧和数学思维。
【武忠祥 24 考研强化班的时间安排】
武忠祥 24 考研强化班的课程时间安排科学合理，旨在确保学生能够在有限的时间内取得最大的学习效果。
一般来说，课程会分为若干阶段，每个阶段结束后都会有模拟考试和专题讲座，以便学生及时检验学习效果，并在实践中不断提高。
【武忠祥 24 考研强化班的特点和优势】
武忠祥 24 考研强化班有着以下几方面的特点和优势：首先，该培训班拥有一支优秀的教师队伍，他们不仅具有丰富的教学经验，而且对考研考试有着深入的研究，能够为学生提供最专业的指导。
其次，该培训班的课程设置科学合理，既有深入的理论讲解，又有实践性的模拟考试和专题讲座，能够帮助学生在短时间内提高考试能力。
考研高数强化知识点归纳
考研高数强化知识点归纳考研数学是许多考生在备考过程中需要重点攻克的科目之一，其中高等数学部分尤为重要。
以下是对考研高等数学强化知识点的归纳：一、函数、极限与连续性- 函数的概念、性质和类型。
- 极限的定义、性质和计算方法。
- 无穷小的比较和极限存在的条件。
- 连续性的定义、性质和间断点的类型。
二、导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义。
- 基本导数公式和求导法则。
- 高阶导数的计算方法。
- 微分的概念、性质和应用。
三、中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
- 导数在函数性质研究中的应用，如单调性、凹凸性、极值问题。
- 曲线的凹凸性、拐点和渐近线。
四、不定积分与定积分- 不定积分的定义、性质和计算方法。
- 定积分的定义、几何意义和计算方法。
- 牛顿-莱布尼茨公式的应用。
- 定积分在几何和物理问题中的应用。
五、级数- 级数的收敛性判别方法，如比较判别法、比值判别法等。
- 幂级数和泰勒级数的展开。
- 函数项级数的一致收敛性。
六、多元函数微分学- 多元函数的偏导数和全微分。
- 多元函数的极值问题和拉格朗日乘数法。
- 多元函数的几何应用，如空间曲线的切线和法平面。
七、重积分与曲线积分、曲面积分- 二重积分和三重积分的计算方法。
- 曲线积分和曲面积分的计算方法。
- 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的应用。
八、常微分方程- 一阶微分方程的解法，如分离变量法、变量替换法等。
- 高阶微分方程的降阶方法和特殊解法。
- 线性微分方程的一般解和特征方程。
九、解析几何- 空间直线和平面的方程。
- 空间曲面的方程和性质。
结束语：考研高等数学的强化知识点归纳是考生复习过程中的重要环节。
掌握这些知识点不仅能帮助考生在考试中取得好成绩，更能为今后的学术研究和工作实践打下坚实的基础。
希望考生能够通过系统复习，不断深化对这些知识点的理解和应用，最终在考研数学中取得优异的成绩。
高等数学强化课推荐教材
高等数学强化课推荐教材在选择高等数学强化课的推荐教材时，我们需要考虑多方面的因素。
一个好的教材能够提供系统、全面的知识体系，并且具有易于理解和学习的特点。
在市场上有很多种教材可供选择，下面将介绍几本备受推崇的高等数学强化课教材。
1.《高等数学强化教程》《高等数学强化教程》由数学教育专家编写，是一本经典的教材。
这本教材内容全面，针对高等数学的各个知识点都进行了深入的讲解和推导，适合对高等数学有一定基础的学生进一步提升自己的数学水平。
书中的例题和习题设计充实且合理，能够帮助学生巩固所学知识，扩展思维。
此外，教材的排版清晰美观，语言通俗易懂，有助于学生理解和掌握高等数学的概念和方法。
2.《高等数学强化教程实践指南》《高等数学强化教程实践指南》是一本教师辅助用书，由多位经验丰富的高等数学教师编写。
教材中的内容和教学方法针对高等数学强化课的实际需求进行了精心设计。
书中提供了大量的教案和教学活动，以及相关的教学案例和教学思路，帮助教师更好地组织和开展高等数学强化课的教学工作。
此外，书中还附有一些学生作业和答案，供教师进行教学评价和辅导。
教材的编排紧凑，内容丰富，适合教师参考使用。
3.《高等数学强化教材选编》《高等数学强化教材选编》是一本由多位高等数学教师共同编写的教材。
这本教材侧重于选取高等数学的重点和难点，对这些知识点进行深入浅出的讲解和分析。
教材中通过大量的例题和习题，引导学生巩固和应用所学的知识，提高解题能力，培养数学思维。
书中还包括一些考研和竞赛题的解析，帮助学生拓宽数学视野，应对各种数学题型的挑战。
总结起来，选择一本适合的高等数学强化课教材对学生的学习效果至关重要。
上述推荐的教材都具有较高的教学质量，内容覆盖全面，讲解深入浅出，适合学生和教师参考使用。
在实际选择时，可以根据自身的需求和学习情况进行衡量，选择符合自己学习风格和认知习惯的教材，从而更好地提升自己的高等数学水平。
2022考研高等数学强化讲义(重点题型解析)
2022考研高等数学强化讲义第一章函数极限连续重点题型一函数的性态【类型一与方法】有界性的判定例1下列函数无界的是 1（A ）f x x x ()sin ,(0,)x =∈+∞1（B ）f x x x ()sin ,(0,)x =∈+∞ 11（C ）f x x ()sin ,(0,)x x =∈+∞x 0sin t（D ）f x dt x (),(0,2022)t=∈∫【详解】【类型二与方法】导函数与原函数的奇偶性与周期性例2【2002，数二】设函数f x ()连续，则下列函数中，必为偶函数的是2x0()f t dt （A ）∫x20()f t dt （B ）∫x[0()()t f t f t dt −−]（C ）∫x [0()()t f t f t dt +−]（D ）∫【详解】重点题型二极限的概念例3【2003，数一、数二】设{a n }，{b n }，{c n }均为非负数列，且lim →∞a n =0n ，lim →∞b n =1n ， →∞c n =∞n lim ， 则必有（A ）a n <b n 对任意n 成立（B ）b n <c n 对任意n 成立→∞a n c n （C ）极限n lim 不存在→∞b nc n （D ）极限n lim 不存在【详解】例4【2014，数三】设lim →∞a a n =，且a ≠0，则当n n 充分大时有（A ） 2a a n >（B ）2aa n <（C ）a a n >−n 1【详解（D ）a a n <+n 1】x f x g x 例5【2000，数三】设对任意的x ，总有ϕ()()()≤≤，且lim ()()0x[g x x →∞−=ϕ]，则lim ()→∞x f x （A ）存在且等于零（C ）一定不存在【详解（B ）存在但不一定为零（D ）不一定存在】重点题型三函数极限的计算【类型一与方法】003sin 6()例6【2000，数二】若limx xf x x x →0+26()=0，则lim f x xx →0+为（C ）36 （D ）（B ）6∞（A ）0【详解】′′′++=3x满足初始条=()是二阶常系数微分方程例7【2002，数二】设y y x y py qy e 件y y (0)(0)0′的特解，则当x →0==时，函数 ln(1)+x y x ()2的极限（A ）不存在（B ）等于1 （C ）等于2 （D ）等于3【详解】[](1cos )ln(1tan )例8【2009，数二】求极限limsin 4x−−+x →0x x x .【详解】【类型二与方法】∞∞2(1)(21)(21)x xx x e e 例9lim e e x x →+∞+−=__________+2.【详解】1例10【2007，数三】lim (sin cos ) 2x x x 32→+∞++x x +=__________x +x 3.【详解】121(1)12ln 1x t e t dt x x例11【2014，数一、数二、数三】求极限limx →+∞t−−+∫.【详解】【类型三与方法】0 ∞1x e 例12lim ln(1)ln(1)x+x →0++=__________.【详解】【类型四与方法】∞−∞321例13求极限lim ln 2x x x x x →∞+−−1.【详解】【类型五与方法】00与∞011ln 例14【2010，数三】求极限lim 1xx x x→+∞−.【详解】【类型六与方法】1∞1x cos sin 例15【2012，数三】lim(tan )x xπ−=x →4__________.【详解】12例16求极限lim (0,)a a a a n N nx x +++ >∈x →0 nxx.【详解】重点题型四已知极限反求参数【方法】例17【1998，数二】确定常数a b c sin ,,的值，使limln(1)x b ax xt 3dtx →t 0−+=≠c c (0)∫.【详解】重点题型五数列极限的计算【类型一与方法】数列未定式例18设11,x n e 1−n nn =+−∈n N，求→∞x n n lim .【详解】【类型二与方法】通项由递推公式n n x f x +1=()给出x 例19【2002，数二】设031<<，n x n，证明数列{x +1==1,2,)n }的极限存在，并求此极限.【详解】例20【2011，数一、数二】（111ln 1I ）证明：对任意正整数n ，都有1n n n<+< + ；1112n n（II ）设a n nln (1,2,)=+++−=，证明数列{a n }收敛.【详解】【类型三与方法】n 项和的数列极限2sin sin 例21【1998，数一】求lim 1112n n n n ππsin π +++→∞ n +n n ++.【详解】例22【2017，数一、数二、数三】求2lim ln 1nn k kk =1→∞nn+∑.【详解】重点题型六无穷小量阶的比较【方法】例23【2002，数二】设函数f x ()在x =0的某邻域内具有二阶连续导数，且f (0)0≠，f ′(0)0≠，f ′′(0)0,,，使得当h →0≠.证明：存在唯一的一组实数λλλ123时，123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ是比h 2高阶的无穷小++−.【详解】例24【2006，数二】试确定A ，B ，C 的值，使得x(1)1()e Bx Cx Ax o x++=++23，其中o x ()3是当x →0时比x 3高阶的无穷小量.【详解】−⋅⋅x x x 与ax n 为等价无穷小，求n 与a 例25【2013，数二、数三】当x →0时，1cos cos 2cos3的值.【详解】重点题型七间断点的判定x例26【2000，数二】设函数f x ()=a ebx在(,)−∞+∞+内连续，且→−∞f x =，则常数x lim ()0a b ,满足（A ）a <0，b <0（C ）a ≤0，b >0【详解（B ）a >0，b >0（D ）a ≥0，b <0】第二章一元函数微分学重点题型一导数与微分的概念例1【2000，数三】设函数f x ()在点x a =处可导，则函数 在点f x ()x a =处不可导的充分条件是 ′=且（A ）f a ()0f a ()0（B ）f a =()0 ′=且f a ()0 ≠′>且（C ）f a ()0f a ()0′<且（D ）f a >()0f a ()0<【详解】例2【2001，数一】设f (0)=0，则f (x )在x =0处可导的充要条件为 1（A ）lim (1cosh)2f h →0h − 1（B ）lim (1)f e −h h →0h存在 1（C ）lim (sinh)存在2f h h →0h−存在1[（D ）lim (2)()f h f h ]h →0h −存在【详解】2.当自变量x 在x =−1处取得增量x ∆=−0.1时，相例3【2002，数二】设函数f u ()可导，y f x =()应的函数增量∆y 的线性主部为0.1，则f ′(1)=（A ）−1【详解（B ）0.1 （C ）1 （D ）0.5】例4【2004，数一、数二】设函数f x ()连续，且f ′(0)0>，则存在δ>0，使得（A ）f x ()在(0,) δ内单调增加（B ）f x ()在(−δ,0)内单调减少 （C ）对任意的x ∈(0,δ)，有f x f ()(0)>（D ）对任意的x ∈(−δ,0)，有f x f ()(0)>【详解】 2()(1)(2)()xx例5【2012，数一、数二、数三】设函数f x e e e n ，其中n 为正整数，则f ′(0) =−−−nx = n −1（A ）(1)(1)!nn （B ）−−(1)(1)!n−−−n −1（C ）(1)!n −n （D ）(1)!n 【详解】,0,≤ 例6【2016，数一】已知函数f x ()=x x 111<≤= x n ,1,2, +1n n n ，则（A ）x =0是f x ()的第一类间断点（C ）f x ()在x =0处连续但不可导【详解（B ）x =0是f x ()的第二类间断点（D ）f x ()在x =0处可导】重点题型二导数与微分的计算【类型一与方法】分段函数1=例7【1997，数一、数二】设函数f x ()连续，ϕ()()0x f xt dt ∫f x ，且lim()x=A (A 为常数)，求ϕ′x →0()x ，x 在x =0处的连续性并讨论ϕ′().【详解】【类型二与方法】复合函数11x x ≥例8【2012，数三】设函数f x ()= <x −，y f f x =(())21,，求x edydx ==__________.【详解】【类型三与方法】隐函数−=x y =()由方程例9【2013，数一】设函数y f x y x e (1)−确定，则1lim 1→∞n n n f−=__________.【详解】y −1例10【2007，数二】已知函数f u ()具有二阶导数，且f ′=(0)1，函数y y x 1=()由方程y xe −=所确定.设z f y x =−(ln sin )，求dz dxx =0，22d zdx x =0.【详解】【类型四与方法】反函数=()在(−∞,+∞)内具有二阶导数，且y ′≠0，x x y =()是y y x 例11【2003，数一、数二】设函数y y x 的反函数=().I ）试将（x x y =()所满足的微分方程2dx (sin )0d x3y x dy dy 2++=变换为y y x =()满足的微分方程；（II ）求变换后的微分方程满足初始条件y (0)03=，y ′(0)=2的解.【详解】【类型五与方法】参数方程例12【2008，数二】设函数y y x 0() t ln(1)2==()由参数方程x x t =+确定，其中x t ()y u du ∫是初值问题 dx te −x−=dt20 x t =0=|0的解，求2d y 2dx .【详解】【类型六与方法】高阶导数n (0)==−ln(12)在x =0处的n 阶导数y 例13【2010，数二】函数y x ()__________.【详解】2例14【2015，数二】函数f x x ()2x在x =0处的n 阶导数f =⋅()n (0)=__________.【详解】例15【2017，数一】已知函数f x ()=1+1x2，则f (3)(0)=__________.【详解】重点题型三导数应用求切线与法线【类型一与方法】直角坐标y f x =()表示的曲线0arctan x e−t 例16【2002，数一】已知两曲线y =f (x )与y =∫2dt 在点(0,0)处的切线相同，写出此切线2 方程，并求极限lim→∞n n nf.【详解】例17【2000，数二】已知f x ()是周期为5的连续函数，它在x =0的某个领域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x xx 是当x →0时比x 高阶的无穷小，且f x ()，其中α+−−=+α()在x =1处可导，求曲线y f x =()在点(6,(6))f 处的切线方程.【详解】=()x x t 【类型二与方法】参数方程 y y t =()表示的曲线1−t −µ02 例18【1999，数二】曲线 x e du=−22ln(2)= y t t ∫在(0,0)处的切线方程为__________.【详解】【类型三与方法】极坐标r r =()θ表示的曲线=θ例19【1997，数一】对数螺线r e 在点2,e ππ2处切线的直角坐标方程为__________.【详解】重点题型四导数应用求渐近线【方法】例20【2005，数二】曲线y =的斜渐近线方程为__________.【详解】例21【2014，数一、数二、数三】下列曲线中有渐近线的是 （A ）y x x 2=+sin sin（B ）y x x =+2sin x 1（C ）y x =+sin x 1【详解（D ）y x =+】1例22【2007，数一、数二、数三】曲线ln(1)y e x x=++渐近线的条数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】重点题型五导数应用求曲率【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）22741 例23【2014，数二】曲线 x t =+=++上对应于t =1y t t的点处的曲率半径是（A （B （C ）（D ）【详解】重点题型六导数应用求极值与最值【方法】例24【1997，数二】已知函数y f x []2=()对一切x 满足()3()1xf x x f x e ′′′ −x .+=−若′f x x ()0(0)00=≠，则（A ）f x ()（B ）f x 0是f x ()的极大值()0是f x ()的极小值x f x 00是曲线（C ）(,())y f x =()的拐点x f x 00也不是曲线0不是f x ()的极值，(,())y f x （D ）f x ()【详解=()的拐点】[] 2例25【2000，数二】设函数f x ()满足关系式f x f x x ′′′，且f ′()()+=(0)0=，则（A ）f (0)是f x ()的极大值（B ）f (0)是f x ()的极小值（C ）点(0,(0))f 是曲线y f x =()的拐点 （D ）f (0)不是f x ()的极值，点(0,(0))f 也不是曲线y f x =()的拐点【详解】′′例26【2010，数三】设函数f x ()，g x ()具有二阶导数，且g x ()0 <.若()g x a 0=是g x ()的极值，则f g x (())在x 0取极大值的一个充分条件是 （B ）f a ′>()0（C ）f a ″<()0（A ）f a ′<()0【详解（D ）f a ″>()0】322+++=60确定，求f x ()的极值=()由方程例27【2014，数一】设函数y f x y xy x y .【详解】重点题型七导数应用求凹凸性与拐点【方法】例28【2016，数二、数三】设函数f x ()在(,)−∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（A ）函数f x ()有2个极值点，曲线y f x =()有2个拐点 （B ）函数f x ()有2个极值点，曲线y f x =()有3个拐点 （C ）函数f x ()有3个极值点，曲线y f x=()有1个拐点（D ）函数f x ()有3个极值点，曲线y f x=()有2个拐点【详解】22例29【2001，数二】曲线y x x =−−(1)(3)的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】 例30【2011，数一】曲线(1)(2)(3)(4)y x x x x 234=−−−−的拐点是 （B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（（A ）（1，0）【详解4，0）】重点题型八导数应用证明不等式【方法】例31【2000，数一、数二】设f x ()，g x ()是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ′′ −<，则当a x b <<时，有（A ）()()()()f x g b f b g x（B ）>()()()()f x g a f a g x>（C ）()()()()f x g x f b g b （D ）>()()()()f x g x f a g a >【详解】 例32【2017，数一、数三】设函数f x ()可导，且f x f x ()()0′ >，则（A ）f f (1)(1)（B ）f f >−(1)(1)<−（C ） f f (1)(1)>−（D ）f f (1)(1)<−【详解】例3【2002，数二】设0<<a b，证明不等式2ln ln a b a a b b a−<<22+−【详解】重点题型九 导数应用求方程的根【方法】例34【2003，数二】讨论曲线4ln y x k 与y x x =+4ln 4的交点个数=+.【详解】x 1()2例35【2015，数二】已知函数xf x =+∫∫，求f x ()零点的个数.【详解】重点题型十微分中值定理证明题【类型一与方法】证明含有ξ一个点的等式1例36【1999，数三】设函数f x ()在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f f (0)(1)0==，2f=1.试证：（12I ）存在η∈,1，使f ()ηη =；（II ）对于任意实数λ，必存在ξη[′∈(0,)，使得f f ()()1]ξλξξ−−=.【详解】例37设f x ()在[,]a b 上连续，在(,)=，a >0.证明：存在ξ∈a b 内可导，f a ()0(,)a b ，使得f f ()()aξb ξξ−′=.【详解】例38设函数f (x )在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f (1)=0，证明：存在ξ∈(0,1)，使得(2ξ+1)f (ξ)+ξf ′(ξ)=0.【详解】,【类型二与方法】证明含有ξη两个点的等式=，f (1)=31例39【2010，数二】设函数f x ()在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f (0)0.证明：存在ξ∈20,21，η∈1,1，使得f f ′′()()ξηξη+=+22.【详解】【类型三与方法】证明含有高阶导数的等式或不等式例40设f x ()在[−1,1]上有三阶连续的导数，f (1)0=，f ′−=，f (1)1(0)0ξ(1,1)=，证明∃∈−，使得f ′′′()3ξ=.【详解】第三章一元函数积分学重点题型一定积分的概念=()在区间[−−3,2]，[2,3]例1【2007，数一、数二、数三】如图，连续函数y f x 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2,0]，[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周.()()x=设F x f t dt ∫，则下列结论正确的是 3（A ）F F 4(3)(2)=−− 5（B ）F F 4(3)(2)=3（C ）F F 4(3)(2)−=5（D ）F F 4(3)(2)−=−−【详解】2008，数二、数三】如图，曲线段的方程为y f x =()例2【，函数f x ()在区间[0,a ]上有连续的导数，则定积分axf x dx ∫′()等于（A ）曲边梯形ABOD 的面积（B ）梯形ABOD 的面积（C ）曲边三角形ACD 的面积（D ）三角形ACD 的面积【详解】x1sin t例3【2009，数三】使不等式t∫dt x >ln 成立的x 的范围是（B ）1, 2π （C ） π2,π（D ）(,)（A ）(0,1)【详解π+∞】40tan πxx例4【2003，数二】设I 1=∫x 4dx ，I 2=0∫tan πx dx ，则（B ）1>>I I 12（A ）I I 12>>1（C ）I I 21>>1【详解（D ）1>>I I 21】重点题型二不定积分的计算【类型一与方法】分段函数例5求∫max(,,1)32x x dx .【详解】1x2x 4+例6求+∫1dx .【详解】【类型三与方法】无理函数例7【2009，数二、数三】计算不定积分 +>∫ln 1dx x (0).【详解】ln(1)【类型四与方法】指数有理式例8【2000，数二】设f x (ln )+xx =，计算∫f x dx ().【详解】1例9求∫sin cos x x 3dx .【详解】1例10求∫++x x 1sin cosdx .【详解】（2）∫sin cos 24x xdx 例11求（.1）∫sin 4cos 2cos3x x xdx 1【详解】（）1sin 4cos 2cos3(sin 6sin 2)cos3211sin 6cos3sin 2cos32211115sin 4444x x xx x x x x x xx x x x=+=+ sin 9sin 3sin =++−141111 cos9cos5cos3cos 3620124Ix x x x dx x x x x C=++−∫=−−−++(sin 9sin 5sin 3sin )（2）24211cos 211cos 4sin cos sin 2(1cos 2)1(1cos 2cos 4cos 2cos 4)161111cos 2cos 4cos 616321632x x x x x +−x x xx xx x x =⋅=+4282=+−−=+−−1111163216321111 sin 2sin 4sin 6cos 2cos 4cos 6166464192x x x dx x x x x C I =+−− ∫=+−−+ 【类型六与方法】被积函数含有对数函数、反三角函数例12求.【详解】重点题型三定积分的计算【类型一与方法】分段函数,0x x 1≥例13设f x ()= 1+1x,0 <2 1+e x(1)f x dx ，求−∫. 【详解】【类型二与方法】对称区间例14设f x ()，g x ()在[−l l ,]上连续，f x f x A ()()+−=，g x ()为偶函数.（()()()lllf xg x dx A g x dx 1）证明：−=∫∫；22xsin arctan xe dx ππ（2）计算−∫；222sin1xππ−（3）计算∫【详解x dx +−e .】【类型三与方法】周期函数100+π2100x x dx sin 2(tan 1)例15 求⋅+∫.【详解】【类型四与方法】被积函数含有变限积分函数或抽象函数的导数0例16【2013，数一】计算∫x 1ln(1)t +dt ，其中f x ()=t ∫.【详解】bf x a()f xg x ()()【类型五与方法】形如+∫dx 的积分例17 求下列积分（20xe sin dx e e sin cos x x π1）+∫（2）.【详解】40ln(1tan )π例18 求+∫x dx .【详解】重点题型四反常积分的计算【方法】例19【1998，数二】计算积分【详解】重点题型五反常积分敛散性的判定【方法】1x x (1)a b+∞例20【2016，数一】若反常积分+∫dx 收敛，则（A ）a <1且b >1（C ）a <1且a b +>1【详解（B ）a >1且b >1（D ）a >1且a b +>1】重点题型六变限积分函数sin ,0x x x πππ≤<例21【2013，数二】设函数f x ()= 2, 2≤≤0()()x =，F x f t dt ∫，则（A ）x =π是函数F x ()的跳跃间断点（B ）x =π是函数F x ()的可去间断点（C ）F x ()在x =π处连续但不可导（D ）F x ()在x =π处可导【详解】例22【2007，数二】设f x ()是区间0,4π上的单调，可导函数，且满足0cos sin sin cos t tf x ()f t dt tdtt t−−1()=x+∫∫其中f−1是f 的反函数，求f x ().【详解】重点题型七 定积分应用求面积【方法】例23【1998，数二】曲线y x x x 322与x 轴所围成的图形的面积A ==−++__________.【详解】66ππcos3θθ例24【2013，数二】设封闭曲线L 的极坐标方程为r =−≤≤，则L 所围平面图形的面积是__________.【详解】=−t (sin )x a t t≤≤=−(1cos )例25求摆线 y a t (02)π与x 轴所围的图形面积.【详解】重点题型八定积分应用求体积【方法】=()，使得由曲线例26【2002，数二】求微分方程xdy x y dx +−=(2)0的一个解y y x y y x =()与直线x =1，x =2以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小. 【详解】例27【2003，数一】过原点作曲线y x =ln 及x 轴围成平面图形D =ln 的切线，该切线与曲线y x .（I ）求D 的面积A ；（II ）求D 绕直线x e 【详解=旋转一周所得旋转体的体积V .】重点题型九 定积分应用求弧长【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例28求心形线r a a =+>θ(1cos )(0)的全长.【详解】22020002l d a a d a t dt a tdt a πππ2ππθθθ==2cos 4cos 8cos 8θ===∫∫∫∫∫重点题型十定积分应用求侧面积【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例29过原点作曲线y =的切线，求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.【详解】设切点为x 0(，切线方程为 )y −0x x ，代入(0,0)，得x 0=2，y 0=1x故切线方程为y =2.由曲线y x =≤≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为1126S 1)πππ 1=−∫∫ 1(02)绕x 由yx x 2=≤≤轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为0πS 2==2∫12π因此，所求旋转体的表面积为S S S =+=61).重点题型十一定积分物理应用【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例30设星形线x a t y a t 33==cos ,sin 上每一点处线密度的大小等于该点到原点的距离的三次方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力.x y 处长为ds 的小段到原点的距离【详解】点(,)为r=，线密度为r 3，质量为3r ds ，其中ds a t tdt 3sin cos .32r ds 该小段对质点的引力为dF G Grds r == x ，水平分量为dF dF Gxds x r ⋅，垂直分量为ydF dF Gyds y r=⋅=，故323222cos 3sin cos 0.6,sin 3sin cos 0.6x y F Ga t a t tdt Ga F Ga t a t tdt Ga ππ=⋅==⋅=∫∫重点题型十二证明含有积分的等式或不等式【方法】()cos x=例31【2000，数二】设函数S x t dt ∫.I ）当n 为正整数，且n x n （ππn S x n ≤+≤<+(1)时，证明2()<2(1)；S x x ()（II ）求lim x→+∞.【详解】例32【2014，数二、数三】设函数f x ()，g x ()在区间[a b ,]上连续，且f x ()单调增加，0()1g x ≤≤.证明：I ）（0(),,xag t dt x a x a b []≤≤−∈∫；()()()a a g t dt b()aaf x dx f xg x dx+∫≤b（II ）∫∫.【详解】第四章常微分方程重点题型一一阶微分方程【类型一与方法】可分离变量y1y xx 2∆=()在任意点x 处的增量∆=+ +x 0α，且当∆→时，例1【1998，数一、数二】已知函数y y x α是∆x 的高阶无穷小，y (0)=π，则y (1)等于（B ）π （C ）e 4ππ（A ）2π【详解（D ）πe 4】例2【2002，数二】已知函数f x ()在(0,)+∞内可导，f x ()0>，→+∞f x =，且x lim ()1满足1f x hx lim h()f x () h →01=e +x，求f x ().【详解】【类型二与方法】一阶齐次例3【1999，数二】求初值问题0(0)|x =1(+−=>y dx xdy x=0的解 y .【详解】【类型三与方法】一阶线性例4【2010，数二、数三】设y y ,12是一阶线性非齐次微分方程y p x y q x′+=()()的两个特解.若,使λµy y 常数λµ12 是该方程的解，λµy y +12−是该方程对应的齐次方程的解，则（B ）λ=−21，µ=−2（A ）λ=21，µ=211 3，µ=31（D ）λ=23，µ=32（C ）λ=2【详解】22例5【2016，数一】若(1)y x =+22(1)y x =++′+=y p x y q x ()() 的两个解，则q x () +（A ）3(1)x x 2x x 2（B ）−+3(1)（C ）1+x x 221x（D ）−+x【详解】例6【1999，数三】设微分方程y y x ′−=ϕ2()2,1x ，其中ϕx ()<x =0,1>，试求在(,)−∞+∞内的连续函数y y x=()，使之在(,1)+∞内都满足所给方程，且满足条件y −∞和(1,)(0)0=.【详解】【类型四与方法】伯努利方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）例7求解微分方程 4y y x ′x−.【详解】令z =21，则2z z x ′x −=2，得222211dx 22x x z e x e dx Cx x C − dx +=+=∫∫∫12x Cx 32，其中C 为任意常数+.【类型五与方法】全微分方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）例8求解下列微分方程：22（1）(231)(2)0yyxe x dx x e y dy +−+−=；（2）2223x y x y y −34dx dy +=0.2y【详解】（1）法一：设P x y xe x (,)2312+−(,)2y，Q x y x e y =−，则PQ2xe yyx∂∂==∂∂，方程为全微分方程.u u设存在u x y (,)，使得du x y dx dy P x y dx Q x y dy x y∂∂(,)=+=+(,)(,)∂∂，得y y 223u x y xe x dx x e x x y (,)(231)ϕ()=+−=+−+∫∂u由y=+x e y2y ϕ′()，得ϕ′()2∂y y=−2，方程的，ϕ()=−y y 通解为232y +−−=x e x x y C .法二：由232232(231)(2)(2()()()(22)0yy y 22)(31)(2)yyxe x dx x e y dy xe dx x e dy x dx y dyy d x e d x x d y d x e x x y +−+−=++−+−=+−+−=+−−=232y+−−=得x e x x y C .2x （2）设P x y (,)y =y x 4322y −3，Q x y (,)=，则 46P x Qy y x∂∂=−=∂∂.当y ≠0时，方程为全微分方程.2243131xyy x 122x 2 u x y xdx x C y y y−(,)2=+dy x =−++−=∫∫2233方程的通解为x y y Cy −+=.重点题型二二阶常系数线性微分方程【类型一与方法】解的性质与结构1=−32x x ，例9【2013，数二】已知y e xe y e xe 2=−x x 2，y xe 3=−2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件yx =0=0，y ′x =0=1的解为y =__________.【详解】 ′′例10【2004，数二】微分方程y y x x +=++21sin 的特解形式可设为 2∗（A ）(sin cos )y ax bx c x A x B x =++++ (2∗（B ）sin cos )y x ax bx c A x B x =++++ 2∗（C ）sin y ax bx c A x =+++2∗（D ）cos y ax bx c A x =+++ 【详解】 2x′′′−+=+例11【2017，数二】微分方程y y y e x 48(1cos 2) 的特解可设为y *=22xx ++（A ）Ae e B x C x (cos 2sin 2)22x x ++（B ）Axe e B x C x (cos 2sin 2)22xx ++（C ）Aexe B x C x (cos 2sin 2)22x x ++（D ）Axe xe B x C x (cos 2sin 2)【详解】【类型二】已知微分方程的解反求微分方程11223x x 例12【2015，数一】设y e x e=+−′′′++=是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x 的一个特解，则（A ）a =−3，b =2，c =−1（C ）a =−3，b =2，c =1（B ）a =3，b =2，c =−1（D ）a =3，b =2，c =1【详解】 【类型三】解二阶常系数线性微分方程′′′例13【2012，数一、数三】已知函数f x ()满足方程f x f x f x ()()2()0′′+−=及f x f x e ()()2+=x.（I ）求f x ()的表达式；22x（II ）求曲线y f x f t dt =−()()∫的拐点.【详解】重点题型三高阶常系数线性齐次微分方程【方法】例14求解微分方程y (4)−3y ′′−4y =0.【详解】特征方程为r r 42−−=340，得r 1,2=±2，r i3,4=±，方程的通解为x x −y C e C e C x C x 22cos sin =+++1234.重点题型四二阶可降阶微分方程【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）2例15求微分方程()y x y y ″+′=′满足初始条件y y (1)(1)1=′=的特解.′=，则y p 【详解】本题不含y ，令y p ′′′=2′()，原方程化简为p x p p +=，转化为反函数1dx −=dp dp ppdp px p ，得x e e pdp C p p C − =∫∫∫+=+().由p y (1)(1)1=′=，得C =0，从而xp ′=2，于是y =322，得3y x C =+1.由y (1)13221=，得C 1=31，故y x 33=+.重点题型五欧拉方程【方法】（数一掌握，数二、数三大纲不要求）2′′′++=2sin ln 例16求解微分方程x y xy y x .=t，原方程转化为【详解】令x e D D y Dy y t (1)−++=2sin ，即2d y2+dty t =2sin .特征方程为r 2+=10，得λ=±i ，齐次方程的通解为y C t C t =+12cos sin .∗=+(cos sin )，代入方程，得A =−1，B =0，故令y t A t B t y t t ∗=−cos .因此原方程的通解为12y C x C x x x cos ln sin ln ln cos ln =+−⋅.重点题型六差分方程【方法】（数三掌握，数一、数二大纲不要求）+1−=⋅2t的通解为__________例17【1997，数三】差分方程t t y y t . 【详解】齐次方程的通解为y C t =.令t y At B *=+()2t，代入方程，得A =1，B =−2，故t y t*=−(2)2t.因此原方程的通解为y C t t =+−(2)2t. 2y y x x 5的通解为__________例18【2018，数三】差分方程∆−=. 【详解】121121()()()22x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y ++++++∆=∆∆=∆−=−−−=−+原方程化简为y y x x ++21−=25，转化为y y x x x =2x+1−=25.齐次方程的通解为y C .令x y A x*=，代入方程，得A =−5，故y x *=−5.因此原方程的通解为y C x =−25.重点题型七变量代换求解二阶变系数线性微分方程2例19【2005，数二】用变量代换x t t =<<cos (0)x y xy y ′′′π化简微分方程(1)−−+=0，并求其x =0=，y ′满足y |1|2x =0=的特解.【详解】重点题型八微分方程综合题【类型一】综合导数应用2001，数二】设L 是一条平面曲线，其上任意一点P x y x 例20【(,)(0)>到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点 12,0，求曲线L 的方程.【详解】【类型二】综合定积分应用例21【2009，数三】设曲线y f x=()，其中f x ()是可导函数，且f x ()0>.已知曲线y f x=()与直线y =0，x =1及x t t =>(1)所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt 倍，求该曲线的方程.【详解】【类型三】综合变限积分例22【()()()1xx−f x t dt x t f t dt e x 2016，数三】设函数f x ()连续，且满足−=−+−∫∫，求f x ().【详解】【类型四】综合多元复合函数x例23【2014，数一、数二、数三】设函数f u ()具有二阶连续导数，z f e y =(cos )满足 ∂∂22z e y e 2x x z z+=+(4cos )∂∂x y22=，f ′若f (0)0(0)0=，求f u ()的表达式.【详解】【类型五】综合重积分例24【1997，数三】设函数f t ()在[0,+∞)上连续，且满足方程x y t 222f t e 4πt f dxdy 2+≤4 ()=+∫∫求f t ().【详解】第五章多元函数微分学重点题型一多元函数的概念【方法】例1【2007，数二】二元函数f x y (,)在点(0,0)处可微的一个充分条件是 ]（A ）(,)(0,0)lim(,)(0,0)0x y [f x y f →−=f x f （B ）lim(,0)(0,0)x x →0− f y f =0，且lim(0,)(0,0)yy →0−=0（C）(,)limx y→=0[f x f （D ）lim (,0)(0,0)0x x ]，且′′x →0−=lim (0,)(0,0)0f y f y y ′′y →0−=【详解】例2【2012，数一】如果函数f x y (,)在点(0,0)处连续，那么下列命题正确的是f x y （A ）若极限lim (,)x yx →0存在，则f x y (,)在点(0,0)y →0+处可微 f x y （B ）若极限lim (,)x y22x →0存在，则f x y (,)在点(0,0)y →0+处可微f x y （C ）若f x y (,)在点(0,0)处可微，则极限lim (,)x y x →0y →0+存在f x y （D ）若f x y (,)在点(0,0)处可微，则极限lim (,)x y22x →0y →0+存在【详解】例3【2012，数二】设函数f x y (,)可微，且对任意x y ,都有∂f x y x(,)>0，∂f x y (,)<0，则使不等∂y∂式f x y f x y 1122(,)(,)<成立的一个充分条件是（A ）x x 12 ，y y >12（B ）x x <12，y y >12>（C ）x x 12<，y y 12（D ）x x <12<，y y 12>【详解】例4【2012，数三】设连续函数z f x y =(,)满足x →0y →=0，则dz (0,1)=__________.【详解】重点题型二多元复合函数求偏导数与全微分【方法】例5【2001，数一】设函数z =f (x ,y )在点(1,1)处可微，且f (1,1)1=，∂(1,1)xf=2∂，∂(1,1)yf =3∂，x f x f x x ϕ()(,(,))=，求dx ϕ3dx ()x =1.【详解】例6【2011，数一、数二】设z f xy yg x =(,())，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g x ()可导，且在x =1处取得极值g (1)1=，求2x 11y z==∂∂∂x y.【详解】重点题型三多元隐函数求偏导数与全微分【方法】例7【2005，数一】设有三元方程xy −z ln y +e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 （A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z x y =(,)（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z =(,)和z z x y =(,)（C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y x z =(,)和z z x y =(,)（D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z =(,)和y y x z =(,)【详解】例8【1999，数一】设y y x =()，z z x =()是由方程z xf x y =+()和F x y z (,,)0=所确定的函数，dz其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dx.【详解】重点题型四变量代换化简偏微分方程【方法】例9【2010，数二】设函数u f x y 222=(,)具有二阶连续偏导数，且满足等式2241250u u ux y∂∂∂++=∂∂x y ∂∂.确定a bξη∂2u=0,的值，使等式在变换ξ=+x ay ，η=+x by 下简化为∂∂.【详解】重点题型五求无条件极值【方法】222(,)例10【2003，数一】已知函数f x y (,)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim()f x y xyx yx →0y →0−=1+，则（A ）点(0,0)不是f x y (,)的极值点（B ）点(0,0)是f x y (,)的极大值点（C ）点(0,0)是f x y (,)的极小值点（D ）根据所给条件无法判别点(0,0)是否为f x y (,)的极值点。
智学24考研管综数学强化
智学24考研管综数学强化随着考研竞争的日益激烈，数学作为考研的一门重要科目，在很多考生中成为了痛点和难点。
为了帮助考生提高数学水平，智学24推出了考研管综数学强化课程。
本文将从课程内容、教学特点以及学生反馈三个方面对智学24考研管综数学强化进行介绍。
首先，智学24考研管综数学强化课程包含了考研数学的核心知识点和考点。
针对不同学生的水平和需求，课程设置了基础班、强化班和冲刺班三个层次。
基础班注重基础知识的系统讲解和巩固，强化班则在基础班的基础上加入了更多的习题和技巧训练，而冲刺班则主要针对高难度题目和考点的突破。
课程内容涵盖了线性代数、概率论与数理统计、高等数学等知识点，并且根据考研真题进行了精心筛选和整理，帮助学生更好地应对考试。
其次，智学24考研管综数学强化课程有着独特的教学特点。
首先，课程注重理论与实践相结合。
在讲解知识点的同时，教师还会详细分析解题方法和技巧，并通过大量的练习让学生将知识应用到实际题目中。
此外，课程强调学习方法的培养。
教师会教授学生一些解题思路和技巧，帮助他们提高解题的效率和准确性。
此外，教师还会引导学生进行创新思维和自主学习，在解题过程中培养学生的分析能力和判断能力。
最后，课程注重与学生的互动。
教师会定期与学生进行面对面的交流和答疑，解决学生在学习过程中遇到的问题，同时也会定期进行模拟考试，帮助学生提前适应考试环境。
最后，智学24考研管综数学强化课程得到了学生的一致好评。
学生们表示，课程设置合理，内容丰富，并且教师讲解深入浅出，让他们能够更好地理解和掌握数学知识。
同时，课程注重实际应用，通过大量的练习和解题技巧的讲解，帮助学生提高了解题的能力和水平。
此外，课程还设置了集中训练营和模拟考试，让学生可以更好地检验自己的学习效果。
学生们纷纷表示，通过参加智学24考研管综数学强化课程，他们的数学水平有了明显的提高，对考试也更有信心。
综上所述，智学24考研管综数学强化课程通过系统的知识点讲解、解题方法和技巧的培养以及与学生的互动，为考生提供了一个高效、全面的数学学习平台。
2024年考研数学高数强化第二章导数与微分
2024年考研数学高数强化第二章导数与微分2024年考研数学高数强化第二章导数与微分是数学高等教育中的重要概念和内容。
导数与微分是微积分的基础，也是研究曲线和函数变化率的重要工具。
在高数强化的学习中，我们需要系统地学习导数的定义、性质以及相关的基本公式，掌握导数的计算方法和应用领域。
导数的定义是微积分的基础。
在数学中，导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，当自变量x在某一点x=a处取得增量Δx时，相应的函数值的增量为Δy=f(a+Δx)-f(a)。
而导数的定义就是函数f(x)在点x=a处的极限值，即：f'(a) = lim (Δx→0) Δy/Δx = lim (Δx→0) [f(a+Δx)-f(a)]/Δx这个极限值就是导数，也可以理解为函数f(x)在点x=a处的斜率。
导数反映了函数在某一点上的变化情况，是理解曲线的几何性质和函数行为的重要手段。
在导数的学习中，我们还需要掌握导数的性质和基本公式。
例如，导数的线性性质，即对于两个函数f(x)和g(x)及常数a和b，有：[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)[a*f(x)]' = a*f'(x)[f(x)*g(x)]' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)此外，还有乘积法则、商规则、链式法则等重要的计算规则和公式。
这些公式的掌握和灵活运用能够简化计算过程，提高问题的解决效率。
导数的计算方法也是导数与微分学习的重点内容之一。
我们需要掌握函数的基本求导公式和常见函数的导数计算方法。
例如，常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
熟练掌握这些函数的导数计算方法，能够更好地理解函数的变化规律，解决具体问题。
导数的应用领域非常广泛。
导数在物理、经济、生物、工程等领域中都有重要的应用。
例如，导数可以用来计算速度、加速度等物理量；可以用来分析经济学中的市场变化；可以用来研究生物学中的生长速率等。
高考数学二轮复习第二部分板块二十四数学归纳加强更强课件理
①
下面用数学归纳法证明①.
当 n＝1 时，左边＝右边＝2，①成立．
假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，①成立，
即ba11ba22··… …··bakk＝(k＋1)k. 当 n＝k＋1 时，bakk＋＋11＝(k＋1)1＋k＋1 1k＋1， 由归纳假设可得 ba11ba22··… …··bakkbakk＋ ＋11＝ba11ba22··… …··bakk·bakk＋ ＋11 ＝(k＋1)k(k＋1)1＋k＋1 1k＋1＝(k＋2)k＋1， 所以当 n＝k＋1 时，①也成立． 综上可知①对一切正整数 n 都成立．
令
x＝n1(n∈N*)，得
1＋n1<e
1 n
，即1＋n1n<e.
(2)由题意bann＝n1＋n1n，
则ab11＝1×1＋111＝1＋1＝2；
ba11ba22＝ba11·ab22＝2×21＋122＝(2＋1)2＝32；
ba11ba22ba33＝ba11ba22·ba33＝32×31＋133＝(3＋1)3＝43.
＝12－21k＋1k－k＋1 1|ak＋1| ≤12－21k＋1k－k＋1 1×12 ＝12－2k1＋1， 即当 n＝k＋1 时，结论成立． 综上，由(1)和(2)可知，结论成立．
[常用结论——记一番] 第二数学归纳法的原理是假设一个与正整数 n 有关的命 题，如果： ①当 n＝1 时，命题成立； ②假设当 n≤k(k∈N*)时，命题成立，由此可推得当 n＝k ＋1 时，命题也成立． 那么根据①②可得，命题对于一切正整数 n 都成立．
[技法领悟]
用数学归纳法证明相关问题时的易错点有两处： (1)n0 的取值并不一定从 1 开始，应当视题目而定； (2)在证明当 n＝k＋1 时命题成立的过程中，一定要用 上归纳假设，在推证 k 到 k＋1 的过程中，应分析清楚相关 项数的变化，常用放缩法、分析法等证明当 n＝k＋1 时结论 的成立．