上海市静安、青浦、宝山区2015届高三下学期教学质量检测(二模)数学(理)试题 Word版含答案

静安、青浦、宝山区2015届高三第二学期教学质量检测（二模）数学试卷（理科） 2015.04.（满分150分，考试时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p = ．2．已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm ，则此扇形的弧长为 cm ． 3．复数34ii-（i 为虚数单位）的模为 ．4．函数2y x =的值域为 ． 5．若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，31x 的系数是 ．7．方程)cos (lg )sin 3(lg x x -=的解集为 ．8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为45，则他得分的数学期望是 分． 9．过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 10．在极坐标系中，点P (2，6π11)到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离等于 ． 11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．12．设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0,0a b >>.若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值是 ．13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，等比数列{}n b 的前n 项和为n B ，若33a b =，44a b =，且53427A A B B -=-，则5353a ab b +=+． 14．已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（ ） （A ）0AE FC ⋅= （B ）0AE DF ⋅> （C ）FC FD FB =+ （D ）0FD FB ⋅<16.已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是（ ） （A ）)](sin[x f （B ）)(sin x f x ⋅（C ）)(sin )(x f x f ⋅（D ）2)](sin [x f 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ）（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.定义：最高次项的系数为1的多项式1110n n n p (x)x a x a x a --=++鬃?+（*∈n N ）的其余系数(0,1,,1)=⋅⋅⋅-i a i n 均是整数，则方程()0=p x 的根叫代数整数． 下列各数不是代数整数的是（ ）三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．F如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ． （1）求四棱锥111A BCC B -的体积；（2）求二面角111C C A B --的大小．20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数)(),(x g x f 满足关系)()()(α+⋅=x f x f x g ，其中α是常数. （1）若x x x f sin cos )(+=，且2πα=，求)(x g 的解析式，并写出)(x g 的递增区间；（2）设1()22x xf x =+，若)(x g 的最小值为6，求常数α的值．21. (本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某公园有个池塘，其形状为直角ABC ∆，090C ∠=，AB 的长为2百米，BC 的长为1百米．（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(1)，使得EF//AB ，EF ED ⊥，在DEF ∆内喂食，求当DEF ∆的面积取最大值时EF 的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(2)，建造DEF ∆连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF ∆为正三角形，记FEC α∠=，求DEF ∆边长的最小值及此时α的值．(精确到1米和0.1度)22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分． 图(2)图(1)A C BC A F EFE A 1A 1在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不 重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列，若{}n a 中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{}n a 是封闭数列. （1）若123a q ==，，判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）证明{}n a 为封闭数列的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1m a q =；（3）记n ∏是数列{}n a 的前n 项之积，2log nn b =∏，若首项为正整数，公比2q =，试问：是否存在这样的封闭数列{}n a ，使1211111lim 9n n b b b →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭，若存在，求{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由．3区2014学年第二学期高三二模质量抽测（文、理）参考答案及评分标准 2015.04说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1． 4； 2．5； 3．5； 4．[)1,+∞； 5． 2； 6． 126； 7．（文）{|,}6x x k k Z ππ=+∈ 8.（文）13；（理） 5{|2,}6x x k k Z ππ=+∈ （理）12.8；9. （文）1； 10． ；（理）210x y -+= ； 1； 11． 9.6； 12. 4；13. （文）2-； 14. 916-.（理）45-二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. A ；16. B ； 17． D ；18. A .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分.19．解：（文科）(1) 因为三棱柱的体积为16AA =，从而2ABC S ∆== 因此BC =………………………2分该三棱柱的表面积为2+ABC S S S ∆=⋅=全侧………4分(2)由（1）可知BC =因为1CC //1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA 所成的角， ………8分在Rt 1BC C ∆中，1tan 63BC C ∠==， 所以1BC C ∠=6π. 异面直线1BC 与1AA 所成的角6π……………………………………………12分 解：（理科）(1)因为AB ⊥BC ，三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以11AB BCC B ⊥，从而11A B 是四棱锥111A BCC B -的高. ……………………………………2分 四棱锥111A BCC B -的体积为1822233V =⨯⨯⨯=…………………………4分 （2）如图（图略），建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2），B 1（0，0，2），C 1（0，2，2）， …………………………………………………6分 设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥)0,1,1(11=⊥∴C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x n =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A …8分,0222,02111=-+-=⋅=-=⋅∴z y x C A n x B A n令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴n ， …………………………………………9分 设法向量n 与的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．||1cos |cos |,.23||||n BM n BM πθφθ⋅====⋅解得111.3B AC C π∴--二面角的大小为………………………………………………12分20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.20.解：（1） x x x f sin cos )(+=，2πα=∴x x x f sin cos )(-=+α；∴x x g 2cos )(=………………………………………………………………4分递增区间为1,2k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）（注：开区间或半开区间均正确） ……………………………………………………………………………6分（2）（文）()()1g x x x α=⋅+≥，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，1x xα≥-………8分 令1()h x x x=-，则函数()y h x =在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上递减………………10分所以max 13()()22h x h ==………………………12分因而，当32α≥时，()1g x ≥在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立………………………14分（理） 1111()2222222222x x x xx x x x g x αααα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………8分 ()()22111()2222262222x x g x αααααα=⋅+++≥++=⋅…………………10分解得22α=… ……………………………………………………………12分所以(2log 2α=………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.21.解：(1)设EF x =，则2x CE =，故12xBE =-，所以12x DE ⎫=-⎪⎝⎭，……2分1,(0,2)2DEF x S x x ∆⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，……………………………………………………4分因为211122422DEFx x x x S ∆⎛⎫⎛⎫=-≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当1x =时等号成立， 即()max DEF S ∆=．………………………………………………………6分(2)在Rt ABC ∆中，030A ∠=，设FEC α∠=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则090EFC α∠=-，000018060(90)30AFD αα∠=---=+，…………………………8分所以000018030(30)120ADF αα∠=--+=-设CF x =，则AF x =，在ADF ∆中，0sin 30DF =10分又由于sin sin x EF DF αα==，所以sin 30DF =11分化简得0.65DF =≥≈百米=65米………………………………13分此时tan ϕ=，040.9ϕ≈,049.1α≈…………………………………………………14分 解法2：设等边三角形边长为EF ED DF y ===，在△EBD 中，60B ∠=，EDB α∠=，…………………………………………8分 由题意可知cos CE y α=，…………………………………………………………9分 则1cos EB y α=-，所以1cos sin 60sin y y αα-=，……………………………………11分即0.65y =≈，………………………………………………13分此时tan ϕ=，040.9ϕ≈,049.1α≈…………………………………………………14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.22.解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分（2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，………………………………………………………………5分解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………………………………………………………7分 因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）（文）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k+=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分 解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即k k ==又0k >，所以直线AB方程为y =或y ………………………………… 16分 （3）（理）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>． 解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+22222264(1)39225688(18)(+8)818658k k k k k+==-≥+++……………………………………………14分或()2222264(1)18+82k k k +≥++222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169．………………………………………… 15分AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分（方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y +=（ii ）（i ）+（ii ）得()222811x y λ+=+，………………………………………………11分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.23.解：（1）{}n a 不是封闭数列，因为123n n a -=⋅，…………………………………… 1分 对任意的,m n N *∈，有243m n n m a a +-⋅=⋅，…………………………………… 2分 若存在p ，使得n m p a a a ⋅=，即132p m n --+=，31log 2p m n --+=，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4分 （2）证明：（必要性）任取等比数列的两项(),s t a a s t ≠，若存在k a 使s t k a a a =，则211s t k a q q +--⋅=，解得11k s t a q --+=.故存在1m k s t Z =--+∈，使1m a q =，…… 6分下面证明整数1m ≥-．对1q ≠，若1m <-，则取2p m =-≥，对1,p a a ，存在u a 使1p u a a a =， 即11m p u q q q --⋅=，11u q q --=，所以0u =，矛盾，故存在整数1m ≥-，使1m a q =．…………………………………… 8分 （充分性）若存在整数1m ≥-，使1m a q =，则1n m n a q +-=，对任意*,s t N ∈，因为(1)11s t m m s t s t m a a q a ++-+-++-==， 所以{}n a 是封闭数列. …………………………………… 10分（3）由于(n 1)21212n nn n a a a a -∏=⋅⋅⋅⋅=⋅，所以21(n 1)log 2n n b n a -=+，……………11分 因为{}n a 是封闭数列且1a 为正整数,所以，存在整数0m ≥，使12m a =，若11a =，则(1)2n n n b -=，此时11b 不存在．所以12111lim()n n b b b →∞+++没有意义…12分若12a =，则(1)2n n n b +=，所以1211111lim()29n n b b b →∞+++=>，………………… 13分 若14a =，则(3)2n n n b +=，于是12(3)n b n n =+， 所以1211111lim()9n n b b b →∞+++=，…………………………………… 16分 若14a >，则(3)2n n n b +>，于是12(3)n b n n <+， 所以1211111lim()9n n b b b →∞+++<，…………………………………… 17分 综上讨论可知：14a =，1*42,()n n a n N -=⋅∈，该数列是封闭数列．……… 18分。