第十三章薛定谔方程
大学物理薛定谔方程(老师课件)
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
大学物理13-7 波函数 薛定谔方程
归一化条件
Ψ
2
dV 1
( 束缚态 )
问: 微观粒子的波函数遵循什么样的波动方程呢 ?
13 - 7 三
波函数 薛定谔方程
第十三章
量子物理基础
薛定谔方程（1925 年） 自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, t) 0e
Ψ
2
i
2π h
( Et px )
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
2）概率密度
2
不随时间变化 .
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 1）
x, y ,z
y
2
d x d y d z 1 可归一化 ;
, z
2） 和
x
,
连续 ;
3） ( x , y , z ) 为有限的、单值函数 .
13 - 7
波函数 薛定谔方程
x 自由粒子
2
4π p h
2
2
2
Ψ
Ψ t
E Ek
2 2 2
p
i2 π h
2
EΨ
k
(v c )
2 mE
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h
Ψ
2
8π m x
i
h Ψ 2 π t
13 - 7
波函数 薛定谔方程
第十三章
量子物理基础
若粒子在势能为 E p 的势场中运动
描述微观粒子运动的波函数
微观粒子的波粒二象性
Ψ ( x, y, z,t)
E h
h p
自由粒子能量 E 和动量 p 是确定的，其德布罗
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
薛定谔方程与波函数的解析方法
薛定谔方程与波函数的解析方法量子力学是描述微观世界的基本理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程描述了量子体系的波函数随时间的演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，并讨论一些解析方法。
薛定谔方程是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
它描述了量子体系的波函数ψ(x,t)随时间和空间的变化情况。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x² + V(x)ψ(x,t)其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，V(x)是势能函数。
这个方程可以看作是能量守恒和动量守恒的量子版本。
解析求解薛定谔方程是量子力学中的一个重要课题。
一般来说，薛定谔方程是一个偏微分方程，求解起来相对复杂。
但是对于一些特定的势能函数，我们可以使用一些特殊的解析方法来求解。
首先，对于一维自由粒子，即势能函数V(x)为常数的情况，薛定谔方程可以简化为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x²这是一个简单的波动方程，可以用分离变量法求解。
假设波函数可以表示为ψ(x,t) =Φ(x)Ψ(t)，将其代入方程中得到：iħΨ(t)dΦ(x)/dt = -ħ²/2mΦ''(x)Ψ(t)将方程两边同时除以ψ(x,t)，得到：iħ/Ψ(t)dΨ(t) = -ħ²/2m/Φ(x)Φ''(x)由于左边只含有t的变量，右边只含有x的变量，所以它们必须等于一个常数，记作E。
这样我们就得到了两个方程：iħdΨ(t)/dt = EΨ(t)-ħ²/2m d²Φ(x)/dx² = EΦ(x)第一个方程是一个简单的一阶常微分方程，可以直接求解。
第二个方程是一个二阶常微分方程，可以通过代入试探解的方法求解。
最终我们可以得到波函数的解析表达式。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程表达式
薛定谔方程表达式薛定谔方程（Schrödinger equation）是一种经典的方程，用于描述粒子的波动性。
它是量子力学在研究量子系统中的基础方程式。
薛定谔方程由詹姆斯·薛定谔在1925年第一次提出，并用于量子力学建模和解决，并被用于许多不同领域，如原子物理学和材料科学。
一、定义薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来描述粒子的波动性和量子力学，也用于原子物理学和材料科学等领域建模。
它可以用来描述量子现象的基础力学行为。
它的表达式是：$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$$其中$\psi$是粒子的函数，$\hat{H}$是粒子的Hamilto算符，$t$表示时间，$i$表示虚数单位，$\hbar$是由物理常数Planck的常数除以2$\pi$所得的单位。
二、特点薛定谔方程具有以下特点：（1）数学严谨性：薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来准确描述粒子波动性；（2）应用广泛性：薛定谔方程不仅可以用于量子力学建立模型和解决问题，同时还可以应用到原子物理学、材料科学等领域；（3）简洁性：薛定谔方程只需要一个数学表达式，却可以描述量子力学中基本的力学行为；（4）学习方便性：薛定谔方程可以利用之前学过的代数知识去理解，不需要特别复杂的数学知识即可学习。
三、应用薛定谔方程被用于原子物理学，材料科学，电子学，化学物理，高分子物理，量子生物物理，量子信息等多个领域中。
（1）量子力学：薛定谔方程可以用来描述系统的粒子波动性和量子效应，它描述了受物理量子系统的特定粒子的波动动力；（2）原子物理：薛定谔方程用于描述原子核的结构，它能够提供一个准确的模型来表达原子核的特征；（3）材料科学：薛定谔方程可以用于描述晶体中原子分子之间的相互作用，它也可以用来识别晶体材料的特性；（4）电子学：薛定谔方程可以用来解释物理和化学特性，它还能够用于模拟终端器件，从而可以提高终端设备的效能。
薛定谔方程百度百科
薛定谔方程本文介绍薛定谔方程的基本概念和数学原理。
薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子运动和性质的基本方程。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了微观粒子的波函数如何随时间演化，以及波函数与粒子的能量、动量之间的关系。
基本概念在理解薛定谔方程之前，需要了解一些基本的量子力学概念。
波函数波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用于计算粒子的位置、动量等物理量的期望值。
波函数一般用Ψ表示。
算符算符是量子力学中用来表示对物理量进行测量或运算的数学操作。
常见的算符有位置算符、动量算符和能量算符等。
位置算符表示粒子的位置，动量算符表示粒子的动量。
算符作用于波函数，得到一些物理量的期望值或其他相关信息。
波粒二象性根据量子力学的波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
在特定的实验条件下，微观粒子的行为可能更像波动，而在其他实验条件下则更像粒子。
薛定谔方程的数学表达薛定谔方程是描述微观粒子波函数演化的偏微分方程。
对于只有一个微观粒子的情况，薛定谔方程可以写为：$$ i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\Psi(\\mathbf{r},t) = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\ abla^2\\Psi(\\mathbf{r},t) +V(\\mathbf{r})\\Psi(\\mathbf{r},t) $$其中，Ψ是微观粒子的波函数，t是时间，$\\mathbf{r}$是空间坐标，i是虚数单位，$\\hbar$是约化普朗克常数。
Ψ的平方表示找到粒子的概率分布。
薛定谔方程的右边第一项是表示粒子动能的动能算符，第二项是表示粒子势能的势能算符。
方程左边的时间导数表示波函数随时间演化的速率。
薛定谔方程是一个线性的偏微分方程，其解决了量子力学中一些重要的问题，如双缝干涉实验。
薛定谔方程的物理意义薛定谔方程描述了微观粒子的波函数如何随时间演化。
薛定谔方程
薛定谔方程
奥地利著名物理学家埃尔温·薛定谔是著名的量子力学奠基者之一，前两年，他因为“薛定谔的猫”大火了一把。
但必须说明的是，首先薛定谔不姓薛，他是奥地利物理学家，其次“薛定谔的猫”说的也不是猫的事。
事实上，压根儿就没有这么一只“猫”，这里的猫是代指，指的是一个理论实验。
好了，下面我们来说说正题——薛定谔方程。
薛定谔方程是薛定谔于1926年提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动。
每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
这样的解释同学们能接受吗？接受不了就先了解一下吧！总而言之，薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式之一。
意义：薛定谔方程在量子力学中的意义与牛顿第二定律在经典力学中的意义一样，它揭示了微观物理世界物质运动的基本規律。
由于对量子力学做出了杰出贡献，薛定谔获得了1933年诺贝尔物理学奖。
知识点：什么是薛定谔的猫？
相比薛定谔和薛定谔方程，可能同学们更熟悉“薛定谔的猫”，可大家真的知道“薛定谔的猫”指的是什么吗？
“薛定谔的猫”的官方称呼应该是——薛定谔猫佯谬，是薛定谔为了反驳哥本哈根学派（一个科学流派）的一种科学理论而设计的一个理论实验。
也就是说，“薛定谔的猫”是理论上的，这个实验实际上没有完成，所以也不存在这只猫。
第13讲 薛定谔方程
ih
∂ ∂t
+
h2 2m
∂2 ∂x2
Ψ
=
E
−
p2 2m
Ψ
=
0
ih
∂ ∂t
Ψ
(x,
t
)
=
−
h2 2m
∂2 ∂x2
Ψ
(x,
t
)
( ) 对于 V x = V0 ，容易得出自由粒子波函数是方程
ih
∂ ∂t
Ψ
(x,
t
)
=
−
h2 2m
∂2 ∂x2
Ψ
(x,
t
)
+
V0Ψ
(x,
t
)
的解，且满足：
hω
=
(hk )2
∞
ψ
(rr
)
2
r dr
=1
−∞
prˆ
=
−ih∇
=
−ih
∂ ∂x
r i
+
∂ ∂y
r j
+
∂ ∂z
kr
讨论: 1) 薛定谔方程是量子力学基本方程，它是量子力学
的又一基本假设（另一：波函数统计解释）
2) 态叠加原理: 若 Ψ1, Ψ2 ,… Ψn 是系统n个可能的态， 那么Ψ=c1Ψ1+c2 Ψ2+…+cnΨn也是系统可能的态。
二、定态薛定谔方程
当 V (rr)∉t 时，薛定谔方程可用分离变量法求解 Ψ(rr,t) =ψ (rr)T(t)
将薛定谔方程两旁除以 ψT，可得
ih T
dT dt
=1 ψ
−
h2 ∇2 2m
+V (rr)ψ
13-07 波函数的统计解释 薛定谔方程
第十三章 量子物理 十三章
薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家 . ） 1926年建立了以薛定谔方程 年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学， 为基础的波动力学，并建立了量 子力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 矩阵力学和波动力学 力学和波动 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程 .
w=Ψ
2
=Ψ Ψ
正实数
玻恩对波函数物理意义的解释 微观粒子某时刻在 微观粒子某时刻在 x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz 概率为 对应体积元 中出现的粒子的概率 对应体积元 dV = dxdydz中出现的粒子的概率为
dP = Ψ dV = ΨΨ dV
2 *
13 – 7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 波函数及其统计诠释
Ψ ( x, t ) = Ψ 0 e
i 2 π ( Et px ) h
Ψ0 称为波函
数的复振幅
三维空间传播的自由粒子 三维空间传播的自由粒子
vv i [ Et pr ] v Ψ (r , t ) = Ψ 0 e h
13 – 7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 波函数及其统计诠释
第十三章 量子物理 十三章
粒子在恒定势场中的运动 粒子在恒定势场中的运动 恒定势场
h2 2ψ ( x) 1 f (t ) 1 2m x2 +U ( x)ψ ( x) ψ ( x) = ih t f (t ) = E
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释薛定谔方程，又称“薛定谔等式”，是量子力学中最重要的基本方程之一。
由俄国物理学家薛定谔于1925年创立，一直是量子力学理论的基础，被称为“量子力学的常律”，也是现代量子物理学理论最重要的基础方程之一。
薛定谔方程是一个展示量子物质的发展过程的有效的数学描述式。
它是对微观客观世界的细节描述，描述客观世界的力学原理以及微观系统的运行机制，它包括了量子力学重要的基本原理，如不确定性原理，相互作用原理和简并原理等，它也是物理学家理解量子物质及其运动的基础。
薛定谔方程的最多的格式有能量与动量的关系式，二阶偏微分方程，它可以用来描述量子系统的行为，如量子对的结构以及相互作用的结果。
因此，薛定谔方程在量子物理学的研究中起着非常重要的作用。
薛定谔方程以简洁的数学模型描述了量子物质的发展历程，主要由五个特征组成：首先，量子物质属于自身不可观测的状态，即量子力学中描述的状态称为量子态；其次，量子物质在空间中的分布的发展是随机的，因此，它的行为是概率的；第三，量子物质的发展过程受到它本身和外部环境的交互影响；第四，量子物质在空间中受物理场（如实验室电场、磁场、重力场等）的影响；第五，量子物质的发展过程由多个因素构成，其结果是态对态的转化，这也是薛定谔方程最重要的特点之一。
薛定谔方程由两个重要的部分组成：等号左边是波函数，它描述了物体的状态，而等号右边代表了物体的能量，以及外部环境对物体的影响。
由此可见，薛定谔方程展示了复杂的量子系统和它们之间的相互作用，有助于我们对量子物质的本质有更深入的理解。
薛定谔方程的建立不仅为物理学研究奠定了重要的理论基础，而且在应用领域也起着至关重要的作用。
目前，薛定谔方程已经广泛应用于电子显微镜量子计算、量子通信、量子计算机等领域，其结果也可以用于激光和太赫兹技术、核聚变、太空探测等。
总之，薛定谔方程是量子物理学和量子技术研究领域中最重要的基础方程之一。
它描述了不可观测的量子物质及其相互作用的动态发展，并为我们揭示了复杂的量子系统及其相互作用的本质。
薛定谔方程课件.ppt
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t 的方程 i d f E d t
f 可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿 过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x,t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
薛定谔方程μ
薛定谔方程μ1. 薛定谔方程的基本原理薛定谔方程描述的是微观粒子的波函数随时间和空间的演化规律。
在经典力学中，描述粒子运动的是牛顿第二定律，即F=ma，其中F是力，m是质量，a是加速度。
而在量子力学中，由于粒子具有波粒二象性，其运动的描述需要借助波函数。
波函数Ψ(x,t)是一个复数函数，描述了粒子在空间的分布和运动状态。
薛定谔方程的基本原理可以用量子力学的双缝实验来解释。
在双缝实验中，一束光通过两个狭缝后形成干涉条纹，表现出波动性。
而当实验重复，只有一个光子通过时，同样会出现干涉条纹，说明光子也具有波动性。
波函数Ψ描述了粒子的波动性质，根据薛定谔方程，波函数的演化规律可以用来描述粒子的运动和行为。
2. 薛定谔方程的数学形式薛定谔方程的数学形式是一个偏微分方程，可以写成如下形式：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约简形式，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。
哈密顿算符是描述系统总能量的算符，在不同的系统中可以具有不同的形式。
薛定谔方程的解可以用来确定波函数Ψ随时间和空间的变化。
在实际应用中，可以通过解薛定谔方程来研究原子、分子、凝聚态物质等微观粒子的性质和行为。
薛定谔方程的数学形式提供了量子力学描述微观世界的基本工具，是理解量子力学的重要途径。
3. 薛定谔方程的物理意义薛定谔方程描述了微观粒子的波函数随时间和空间的演化规律，具有深刻的物理意义。
在量子力学的框架下，粒子的位置、动量等物理量都可以用波函数Ψ来描述，通过解薛定谔方程可以确定这些物理量的演化规律。
薛定谔方程的物理意义在于揭示了微观粒子的波粒二象性和量子统计规律。
根据薛定谔方程，波函数Ψ在时间演化过程中会发生干涉和叠加，波函数的模长的平方|Ψ|²表示了粒子出现在不同位置的概率分布。
这种概率性描述不仅解释了微观粒子的行为特性，还为量子力学的统计解释提供了基础。
4. 薛定谔方程的应用薛定谔方程在物理学中有着广泛的应用，可以用来解释原子、分子、凝聚态物质等微观粒子的性质和行为。
薛定谔方程
第二章dinger oSchr 方程 §2.1dinger oSchr 方程dinger oSchr 方程是非相对论量子力学的基本方程、是公设，正确性只能由它导出结论和实验是否符合来检验。
下面只是去理解它。
已知无外场自由粒子波函数为()(),i p r Et r t Ceψ⋅-=由于22p E m=，这个(),r t ψ 表达式显然满足下面形式的波动方程()()2ˆ,,2r t p i r t t m ψψ∂=∂这就是自由微观粒子的dinger oSchr 方程。
用一种简明的公设性程式——“一次量子化”方法直接“得到”这个方程：将非相对论经典物理学关于自由粒子能量等式22p E m=，按以下对应关系替换为量子算符（2.1a ） 将得到的算符方程作用到系统状态波函数(),r t ψ上即可。
若有外场()V r ，系统总能量为()22p E V r m=+。
采用“一次量子化”程式：（2.1b ） 将所得算符方程作用到波函数(),r t ψ上，就得到对应的量子系统的非相对论动力学方程━dinger oSchr 方程：(2.2)这里()()()()ˆˆ,,V r r t V r r t ψψ= ，通常记()()22ˆ22p V r V r H m m+=-∆+= ，称为此量子系统的哈密顿量算符。
这里指出四点：第一，全面写开，非相对论性量子系统的dinger oSchr 方程为(2.3) 其中()(),0r f r ψ=为给定的初始条件，根据需要再配以适当边界条件，组成一个完整的非相对论量子力学问题。
第二，“一次量子化”程式只是一种理解，不能当作严肃的逻辑论证。
虽然在理解方程中用到了第一、第二公设，实质上方程仍然是个独立的公设1，共同代表着由经典力学向量子力学的逻辑飞跃。
第三，对复杂经典系统，比如势V 中还含有动量p的情况，一次量子化过程中，一个经典力学量表达式可能对应几个量子算符表达式。
它们之间差别仅在于其中ˆr和ˆp 的排列顺序不同。
薛定谔方程
h 粒子的动量 pn n 2a n
2a n n
n 1, 2, 3, . . .
h
2 a
o
a
p h 2 能量 En n 2m 8ma2
2 n
2
1 2a
12
三. 求解定态薛定谔方程 选择坐标如图 Ⅱ区： U ( x ) 0
U→∞
2
U(x)
U→∞
d ˆ H 2 2m d x ˆ E H
d f (t ) 1 1 ˆ i H ( r ) dt f (t ) (r )
∵对任意函数 f (t) 和 (r ) 成立，
∴方程两端必为相同常量，设为E。
7
写作
d f (t ) 1 1 ˆ i H ( r ) E (常量) dt f (t ) (r ) d f 对应两个 i Ef ① dt 方程：
波动型解
ik1 x
1 ( x) A1e
Ⅱ 区方程
ik1 x
A2e
2
k1
2mE
d 2m( E U0 ) 2 2 d x
Ⅱ区解与 E 的相对大小有关 讨论 E < U0 情况,
k
2 2
k2 ——虚数
令
1 k2 2m( E U 0 ) ir
22
1 r 2m(U 0 E ) ——实数 方程的普遍解：
3. 薛定谔方程关于时间是一阶的。 （解方程只需一个初始条件）
6
三. 定态薛定谔方程 若 U U ( r ) 与 t 无关， 可将 (r , t )分离变量写成
空间波函数
(r , t ) (r ) f (t ) ，
薛定谔方程的基本概念
薛定谔方程的基本概念薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一，它的提出是量子力学的重要里程碑。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，包括方程的起源、数学形式以及其在量子力学中的应用。
1. 薛定谔方程的起源量子力学是研究微观世界的物理学分支，旨在解释微观粒子的行为和性质。
20世纪初，量子力学的奠基人之一薛定谔（ErwinSchrödinger）提出了薛定谔方程，以描述微观粒子的运动和状态演化。
2. 薛定谔方程的数学形式薛定谔方程是一个偏微分方程，它用于描述微观粒子的波函数随时间和空间的演化。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∇²ψ + Vψ其中，ψ是微观粒子的波函数，t代表时间，m代表粒子的质量，V代表势能。
方程右边第一项描述了粒子的动能，第二项描述了势能对波函数的影响。
3. 波函数和可观测量波函数是薛定谔方程的解，它包含了微观粒子的全部信息。
通过波函数，我们可以计算得到粒子的各种可观测量，如位置、动量、能量等。
这些可观测量是通过对波函数进行数学操作得到的。
4. 薛定谔方程的解和物理意义薛定谔方程的解即波函数可以用于描述微观粒子的各种性质和行为。
波函数的平方的模的绝对值的平方表示了粒子在不同位置出现的概率密度。
因此，薛定谔方程不仅提供了描述微观世界的工具，也提供了一种概率解释。
5. 应用举例：粒子在势阱中的行为薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。
一个典型的例子是研究粒子在势阱中的行为。
势阱是一个具有一定势能的区域，它可以代表原子、分子等微观体系。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱中的能级、波函数的形状等信息。
结语：薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观世界提供了重要的工具。
它的提出使得我们能够描述和预测微观粒子的行为，并且在研究原子、分子等微观体系时有着广泛的应用。
通过深入研究薛定谔方程，我们可以更好地理解和探索量子世界的奥秘。
（注：本文参考了量子力学和薛定谔方程的基本概念，并根据题目要求进行了适当的调整和结构化。
薛定谔方程
3
Hˆ E (r ) E E (r ),
所以它也就是能量本征方程，而波函数 E (r ) 也就是能量值为 E 的能量本征函数。
可以证明：在定态（也就是波函数具有 (r ,t) ei Et / (r ) 的形式）时，体系的各种力学性质都
不随时间而改变，这是“定态”这个名词的本来含义。
2.2.5 非定态 Schrödinger 方程的一般解 必须注意，定态波函数只是含时间的 Schrödinger 方程的特解，而 Schrödinger 方程的一般解是定态 波函数的线性组合，即
.
G(r , t; r, t) 称为自由粒子的传播子(propagator)，因为在 r, t 点的波函数借助于 G(r , t; r, t) 对 r , t 点
的波函数做出贡献。不难发现， G(r , t; r, t) 满足对于变量 (r , t) 的自由粒子 Schrödinger 方程
以及初始条件
*2.2.3 初值问题 自由粒子的传播子
对于时间变量而言，Schrödinger 方程是一阶微分方程，所以只要给定初始时刻( t 0 )的波函数，以
计算物理学(郭立新)章 (7)
第13章 定态薛定谔方程的数值解
定理13.1 若A为实对称阵(方阵)，则存在正交矩阵R，使 得
goto 100 10 if(alog(-D1/C1)/(2*r2).gt.W) N=N+1
goto 5 100 continue
end
第13章 定态薛定谔方程的数值解
根据以上计算程序可得表13.1，该表给出了节点数随能
量的变化情况。从表中可知
E0
(15.6) (15.2) 2
15.4，
为基态能级，可以再取Emax=-15.2，Emin=-15.6，M=51，可得
D1
r12 2r1r2
r22 er2W
C0
sin(Wr1)
(13.14(b))
第13章 定态薛定谔方程的数值解
式(13.14)中的r1、r2 可以分别通过 r1 E V0 V0 E , r2 E E 来确定。要确定本征值E可以通过式
(13.14(a))中的C1=0确定，这就要求对E取值有限制，必须取 确定值。但这种方法一般不予采用，而通常采用计算节点法 来实现。我们知道对势阱而言，一般有Emax=0(否则势阱不起 作用，变为自由粒子)，Emin=V0
)
D1
1 2
er2W
(W
)
(W r2
)
(13.13)
第13章 定态薛定谔方程的数值解
故由C0、ψ(W)、ψ′(W)可确定C1、D1。结合方程 (13.12(a))~(13.12(d))，可得
C1
2C0
cos(Wr1)
(r2 r1
2er2W
r1 r2
)C0
sin(Wr1)
(13.14(a))
第13章 定态薛定谔方程的数值解
原子物理学——薛定谔方程
§3.4 薛定谔方程一、薛定谔方程的建立 1．自由粒子的薛定谔方程 自由粒子的波函数:)(0)(0Et zp yp xp iEt p r i z y x ee-++-⋅==ψψψ (1)对x 、y 、z 分别求二次偏导：ψψx p ix =∂∂ ψψψ2222 x xp x p i x -=∂∂=∂∂ ψψy p iy=∂∂ ψψψ2222 y yp y p i y -=∂∂=∂∂ ψψz p iz =∂∂ ψψψ2222z zp x p i z -=∂∂=∂∂ 三者相加：ψψψψψ222222222222)(1p p p p z y x z y x -=++-=∂∂+∂∂+∂∂ 拉普拉斯算符：2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇ψψ222p -=∇ (2)对t 求一次偏导：ψψE i t -=∂∂ ψψE ti =∂∂ (3)自由粒子，m p m E 22122==υ ψψm p E 22=(4) 由(3)(4)式: ψψmp t i 22=∂∂ (5) (2)式代入(5)得:ψψ222∇-=∂∂mt i ――自由粒子的薛定谔方程。
(6) 2．一般粒子的薛定谔方程一般粒子常受到力场的约束，用),(t r V表示力场，则粒子在力场中受到的力为：),(t r V F -∇=，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为),t r（ψ，假设),t r（ψ仍满足方程：ψψE t i =∂∂ ψψ222p -=∇ 但此时 V mp E +=22 (7)即一个质量为m 动量为p ,在势场V 中运动的非相对论粒子的能量:动能(mp 22)+势能(V ). 则有：ψψψV mt i +∇-=∂∂222 (8)――处在以势能V 表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程。
如果已知V 和微观粒子的初始条件0ψ，原则上，可以求出粒子在任何时刻t 的状态ψ。
可见，薛定谔方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。
普通物理PPT课件13-3 波函数 薛定鄂方程
2 y2
z22(x,
y,z)
2m 2 E40
e2 x2 y2
z2
(x,
y,z)0
En8m 02h24ne2 n1,2,3,
13.3.5 例题分析
已知一维运动的粒子的波函数为
(x) AxBeX x0
0
x0
式中B 为正的常数，试求：
（1）归一化常数A和归一化波函数；
（2）该粒子位置坐标的概率分布函数（即 概率密度）；
13.3 波函数 薛定谔方程
13.3.1 波函数 13.3.2 薛定谔方程 13.3.3 一维无限深方势阱中的粒子 13.3.4 氢原子的薛定谔方程 13.3.5 例题分析
13.3.1 波函数
微观粒子具有波动性，与微观粒子相联系 的波称之为物质波，波函数就是物质波的数 学表达式.
假设有一个动量为P 、能量为E 的自由粒
子，按德布罗意假设，它相当于一列沿它的
运动方向传播的单色平面波，其波长和频率
分别为
h P
E h
若取平面波传播的方向为x 轴的正方向， 则由波动理论可知，平面波的波动方程为
yAco2stx
yAei2tx
(x,t)
ei2tx
0
(x,t)0e iEtPx
若自由粒子的物质波沿空间任意方向传播，
则其波函数的表达式为
13.3.2 薛定谔方程
薛定谔推广了德布罗意物质波的概念，于 1926年提出了波动力学，并建立了一个量子 体系的物质波运动方程。因此而获1933年诺 贝尔奖。
薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子光 谱等一系列重大问题。
波动力学与矩阵力学是完全等价的，是 同一种力学规律的两种不同表述，而且它们 都属于非相对论性的量子力学。