华师大版数学九年级上册(同步练习)《23.3相似三角形—2.相似三角形的判定》
华师大版数学九年级上册23.3《相似三角形》同步练习
相似三角形●随堂练习1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似三角形是相似多边形的一种. △ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ；假设EFBCDF AC DE AB ===k ,那么k 叫做这两个相似三角形的 . 2、如图，△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，那么对应角为________，对应边为________.3、如图，DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，那么ABAD=________=________.4、如果△ABC ∽△'''A B C ，BC =3，''B C ，那么△'''A B C 与△ABC 的相似比为( ) A .5∶3B .3∶2C .2∶3D .3∶55、如图,△ABC ∽△ADE ，AE =50 cm,EC =30 cm, BC =70 cm,∠BAC =45°,∠ACB =40°，求:〔1〕∠AED 和∠ADE 的度数；〔2〕DE 的长.BA ED C●拓展提高1、△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，那么△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________.2、五边形ABCDE∽五边形'''''A B的长分别为50A B C D E，假设对应边AB与''厘米和40厘米，那么五边形'''''A B C D E与五边形ABCDE的相似比是( )A.5:4B.4:5C.5:25D.25:53、△ABC中，AB=15 cm，BC=20 cm，AC=30 cm，另一个与它相似的△'''A B C 的最长边为40 cm，求△'''A B C的其余两边的长.4、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值.5、如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是cm，求该草坪其他两边的实际长度.6、如图，，∠ACD=∠ECD，∠A+∠ACD=900 ,且2,证明:CD DE DB△ADC∽△CDB参考答案随堂练习1、∽△DEF ，相似比2、∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与AB ，AE 与AC ，DE 与BC3、AC AE ,BCDE4、解：因为△ABC ∽△'''A B C ，所以△'''A B C 与△ABC 的相似比为'' 1.83.35B C BC == 所以选D5、解：〔1〕因为△ABC ∽△ADE .所以由相似三角形对应角相等，得∠AED =∠ACB =40°. 在△ADE 中，∠AED +∠ADE +∠A =180°即40°+∠ADE +45°=180°,所以∠ADE =180°－40°－45°=95°. 〔2〕因为△ABC ∽△ADE ，所以由相似三角形对应边成比例，得BC DE AC AE =,即70305050DE =+，所以DE =30507050+⨯〔cm 〕. 点评：利用相似三角形的性质可以计算边的长度，还可以求角的度数以及线段成比例等. 拓展提高：1、解：因为△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，所以11112222255(1),(2),(1)(2).346A B AB AB A B A B A B ==⨯=得 所以△ABC ∽△A 2B 2C 2相似比为652、注意相似比的顺序选B .3、解：因为两个三角形相似，所以对应边成比例，每个三角形中的最长边和最长边是对应边设另外两条边是xcm 、ycm ， 可得30201580,,20.403x cm y cm x y ==∴== 4、〔1〕33223020==48x ,所以x =32.〔2〕n =55，m =80,y a a 1023=，得y=320.5、 草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是2000∶5=400∶1.设其他两边的实际长度都是x cm ，那么14005.3=x .x =3.5×400=1400〔cm 〕=14〔m 〕，所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m . 6、证明：∠A+∠ACD=900∴∠ADC=900=∠EDC ∠ACD=∠ECD, DC=CD∴△ADC ≌△EDC (ASA) ∴AD=DE 又2CD DE DB =2CD AD DB ∴= CD DBAD CD∴= ∴△ADC ∽△CDB。
华师大版数学九年级数学上册3.3.2：相似三角形的判定教学设计
-学生在小组讨论中通过拼图、测量等实际操作，探索相似三角形的性质和判定方法。
2.利用数形结合的思想，培养学生的逻辑推理和几何直观。
-学生在解决问题的过程中，学习将几何图形与数学计算相结合，通过推理得出结论。
-教师引导学生通过画图、标注等手段，增强对几何图形的直观理解。
-学生在探索相似三角形的奇妙性质中，体验数学学习的乐趣。
2.培养学生的耐心和毅力，引导学生形成正确的学习态度。
-在面对判定相似三角形的难题时，教师鼓励学生保持耐心，勇于尝试，坚持不懈。
-通过学习过程中的成功体验，帮助学生建立自信，形成积极向上的学习态度。
3.培养学生的批判性思维和创新意识，鼓励学生对知识进行深入思考。
2.教学目标：
-帮助学生巩固本节课所学知识，形成系统化的认识。
-培养学生自我反思和总结的能力，为后续学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形判定方法的理解和应用，以及检验他们在课堂中所学知识的掌握程度，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
-完成课本第3.3.2节后的练习题1-5，重点在于相似三角形的判定方法及性质的应用。
-所有作业均要求书写规范，图形绘制清晰，逻辑表达清楚。
-实践应用和拓展思考题需要学生结合实际，发挥创造力，鼓励创新性思维。
-小组合作项目要体现团队精神，每个成员的贡献要明确标识。
2.教学目标：
-检验学生对相似三角形判定方法的理解程度，及时发现并纠正错误。
-培养学生独立思考、解决问题的能力。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
-教师引导学生回顾本节课所学内容，总结相似三角形的定义、判定方法及其应用。
23.3.2 相似三角形的判定——利用角的关系 华师大版数学九年级上册课件
（来自教材）
知1－导
2、常见的相似三角形类型： (1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC. (2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
我们在判断两个三角 形全等时，使用了哪 些方法？判定三角形 相似是否有类似的方
法？
知1－导
让我们先从最常见的三角尺开始. 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样 从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实 是这样吗？
知1－导
知识点 1 用两角对应相等判定两三角形相似
回顾
你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就
边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角
一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要
的判定三角形全等的方法. 那么，对于相似三角形的判定，是否
也存在类似的分 类与判定方法呢？
知识点 2 判定两直角三角形相似
知2－讲
【例2】 如图23.3.8，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中， ∠C
与 ∠C ′都是直角， ∠ A = ∠ A ′ .
求证： △ABC ∽ △A ′ B ′ C ′.
证明：∵ ∠C= ∠C ′=90°. ∠A=∠A′，
∴△ABC ∽ △A ′ B ′ C ′ （两角分别相等的两个三角
∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可 得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可 得△ABF∽△CAF.
华师大版-数学-九上-23.3.3 相似三角形的性质 教案
23.3.3相似三角形的性质教学目标：知识和技能目标：1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题.2.探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想. 过程和方法目标：经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比”、“面积比等于相似比的平方”的过程.情感、态度、价值观：在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性.教学重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方. 教学难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方. 教学过程：新课引入：1．回顾相似三角形的概念及判定方法.2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质. 提出问题：一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线.如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高之间的关系.同学画出上述的两个三角形，作对应边AB 和A ′B ′边上的高，用刻度尺量一量CD 与C ′D ′的长，CD C ′D ′等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比.我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 探究：1.如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论） ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k ⇒111111AB BC CAk A B B C C A === ⇒AB =kA 1B 1,BC =kB 1C 1,CA =kC 1A 1⇒111111111111111111AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比2.如图1（1），∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k 1，它们的面积比是多少？ABCD（1）【答案】如图（1），分别作出∆ABC 和∆A 1B 1C 1的高AD 和A 1D 1. ∠ADB =∠A 1D 1B 1=900又∠B =∠B 1⇒∆ABD ∽∆A 1B 1D 1 ⇒11111AD ABk A D A B == ⇒111ABC A B C S S=111111*********1221122BC AD K B C K A D B C A D B C A D ==k 12进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方3.如图（2），四边形ABCD 相似于四边形A 1B 1C 1D 1，相似比为k 2，它们的面积比是多少？A 1BC 1D 1（2）【答案】111ABC A B C SS=111ACD A C D S S=k 22⇒1111ABCD A B C D S S =四边形四边形111111ABC ACD A B C A C D ++S SS S=k 22⇒相似多边形面积比等于相似比的平方应用新知：例：如图，在∆ABC 和∆DEF 中，AB =2DE ，AC =2DF ，∠A =∠D ，∆ABC 的周长是24，面积是48，求∆DEF 的周长和面积.ABD【答案】∆ABC 和∆DEF 中，AB =2DE ，AC =2DF⇒12DE DF AB AC ==又∠A =∠D ⇒∆ABC ∽∆DEF ，相似比为12⇒∆DEF 的周长=12⨯24=12，面积=1()22⨯48=12.课堂小结：说说你在本节课的收获.BDE FAC。
华师大版-数学-九年级上册--24.3.2 相似三角形的判定(2) 基础+拓展+创新
24.3.2 相似三角形的判定(2)【学习目标】掌握两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三条边对应成比例的两个三角形相似．【基础知识演练】1. 实验操作：（1）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，B A AB ''=C A AC ''=k （k 任意正数）.（2）测量∠B 与∠B ′的大小（或∠C 与∠C ′的大小），从而判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似.（3）实验结论：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，若∠A =∠A ′，B A AB ''=C A AC ''，则△ABC 与△A ′B ′C ′ .（4）结论的推广：两边对应成比例且 相等的两个三角形 .2. 实验操作：（1）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''=C B BC ''=A C CA ''=k （k 任意正数）.（2）测量∠A 与∠A ′的大小、∠B 与∠B ′的大小、∠C 与∠C ′的大小. 从而判断△ABC与△A ′B ′C ′是否相似.（3）实验结论：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，若B A AB ''=C B BC ''=A C CA ''，则△ABC 与△A ′B ′C ′ .（4）结论的推广：三边对应成比例的两个三角形 .3. 下面每组的两个三角形是否相似？为什么？（2）4. 依据下列各组条件，判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么.（1）∠A =120°,AB =7 cm,AC =14 cm,∠A ′=120°,A ′B ′=3 cm,A ′C ′=6 cm,（2）AB =4 cm,BC =6 cm,AC =8 cm,A ′B ′=12 cm,B ′C ′=18 cm,A ′C ′=24 cm.【思维技能整合】5. 如图，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A.AB AC AD AE =B.∠B =∠ADEC.BCDE AC AE = D.∠C =∠AED(第5题) (第7题) (第8题)6. △ABC 和△A′B′C′符合下列条件，其中使△ABC 和△A′B′C′不相似的是（ ）A.∠A =∠A ′=45°，∠B =26°，∠B ′=109°B.AB =1，AC =1.5，BC =2，A′B ′=4，A′C′=2，B′C′=3C.∠A =∠B′，AB =2，AC =2.4， A′B′=3.6，B′C′=3D.AB=3，AC=5，BC=7，A′B′=3，A′C′=5，B′C′=77. 如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若BC=3 cm,则DE=________cm.8. 如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MN C相似.9. 如图，网格的每一个小正方形的边长都为1，用3中方法证明△ABC∽△A′B′C′.【发散创新尝试】10. 已知Rt△ABC中，∠C=90º.（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）①作∠BAC的平分线AD交BC于D；②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；③连接ED.（2）在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形：△________∽△________；△________≌△________.并各选择其中一对加以证明.【回顾体会联想】11.一般相似三角形的判定方法有哪几种？如何灵活选用？请你填一填，补充完成这份小结。
华师版九年级上册数学练习23.3.2相似三角形的判定(1)
华师版九年级数学上册相似三角形的判定练习
1．如图1，（1）若OA
OB
=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．
（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．
（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．
2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．
(1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=•∠BAO，•则点C•的坐标为________，•AC=_______．
4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）．
A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）．
A．45° B．60° C．75° D．90°
(4) (5) (6)
7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．
8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．。
九年级数学上册23.3相似三角形你会判定两个三角形相似吗素材新版华东师大版20220908270
你会判定两个三角形相似吗相似三角形的判定方法可由全等三角形的判定方法类推，但比判定全等三角形更灵活，图形的变换也更复杂，为了帮助同学们更好地学好三角形相似的判定方法，现归纳如下.三角形相似的判定方法一：两角对应相等的两个三角形相似.说明：这种方法在运用时只需求出两个角对应相等，就可判定这两个三角形相似，推理时，关键是寻找对应角.一般地，在判定过程中要特别注意“公共角”、“对顶角”、“同角（或等角）、同角（或等角）的余角（或补角）”都是相等的.例1 下列各组图形可能不相似的是（）A.各有一个角是45°的等腰三角形B.各有一个角是60°的等腰三角形C.有一个锐角相等的两个直角三角形D.各有一个角是95°的两个等腰三角形分析：两个三角形是否相似，关键是看是否有两个角对应相等.A中的45°角可能为顶角，也可能为底角，故A中的两个等腰三角形可能不相似；B中是有一个角为60°的等腰三角形，则该三角形为等边三角形，显然等边三角形都是相似三角形；C中有一个锐角相等，则这样的直角三角形中的三个角就都相等，故C中的两个三角形相似；D中的95°只能为顶角，故这样的两个等腰三角形显然相似.解：应选A.点评：有两个角相等，那么这两个三角形相似，这是判定两个三角形相似最常用的方法.事实上，依据三角形的内角和是180°，第三个角也相等，故此判定条件是三个角对应相等，从而与相似三角形的定义衔接起来.三角形相似的判定方法二：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SAS”，要特别注意“夹角”的含义.例2 如图1，已知△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC 的是（）A.AB ·CD=BD ·BCB.AC ·CB=CA ·CDC.BC 2=AC ·DCD.BD 2=CD ·DA分析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C 是△ABC 与△BDC 的公共角，关键是找出角∠C 的两边对应成比例，即ACCB CB CD =. 点评：此判定中的角必须是成比例两边的夹角，否则两个三角形不一定相似.如图2，易判定△ABC ∽△A 1B 1C 1，而在△ABC 和△A 2B 2C 2中，虽然有2222C B BC B A AC =，∠C=∠C 2=90°，但是△ABC 和△A 2B 2C 2并不相似.三角形相似的判定方法三：三边对应成比例的两个三角形相似.说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SSS ”定理.例3 已知△ABC 的三边长分别为1，2，5，△DEF 的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC 是否与△DEF 相似.分析：因为已知两个三角形的三边长，所以可考虑根据三边间的关系来判定是否相似. 解：因为1052221==，所以△ABC ∽△DEF. 点评：已知两个三角形的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边；所以在判定两个三角形A CB 8 6 4 3 43 A 1B 1C 1A 2B 2C 2 图2的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.小结：判定三角形相似，通常按下列思路分析：（1）若有一组角相等，可再找一组角相等或再找这组角的邻边对应成比例.（2）若已有两组边对应成比例，可再找其夹角相等或第三组边对应成比例.但要注意找准对应关系.。
华师大版初中数学九年级上册《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是；最小值是．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm2．求y关于x的函数关系式．14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE ∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O 于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．16．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．17．腰长为6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一动点（不与BC重合），过点D作AB，AC的垂线，垂足为E，F．（1）证明：△BDE∽△CDF；（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y最大？y的最大值是多少？18．已知：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1，延长CD交AE于K（1）求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比：如图2所示，将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？请直接写出线段AE，CD间的数量关系和位置关系．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=PD；（2）若⊙O的半径为5，AF=7，求的值．20．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；（3）求CM长度．21．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．（1）求证：△ABD∽△AHG．（2）若4AB=5AC，且点H是AC的中点，求的值．22．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5，（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；（2）如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若=，求PC的长．23．如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．（1）设MN=x，用x表示PN的长度；（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？24．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．25．如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．26．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AB中点，连接EC，AD，且AD与EC交于点F，延长AD至点G使GD=AD，连结CG．（1）请在图中找出一对全等三角形，并证明．（2）若AB=x，EB：DF=3：2，试用含x的代数式表示线段AG的长．27．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若，且BC=4a．（1）求四边形ABEC的面积；（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．28．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC 于点D．求证：PA•CD=PC•BD．29．如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：DH2=HE•HC．30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？31．如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求∠ACD的大小；（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD﹣kAD（如本题图②所示），试求的值（用含k 的代数式表示）．32．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．33．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；（2）求∠C的度数．34．如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB 边上，AD=60cm，BC=40cm，四边形PQMN是矩形．（1）求证：△APN∽△ABC；（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的长和宽．35．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC 的边上，已知：AC=8，BC=6．（1）当四边形DEFG为正方形时，求EF的长；（2）△BEF与△FCG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由；（3）△BEF与△ADG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由．36．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；请回答：AF与BE的数量关系是．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，请参考明明思考问题的方法，求的值．37．如图所示，D是以AB为直径的半圆O上的一点，C是弧AD的中点，点M 在AB上，AD与CM交于点N，CN=AN．（1）求证：CM⊥AB；（2）若AC=；，BD=2，求半圆的直径．38．在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC 于E，PF∥AC交AB于F．用x表示；（1）设BP=x，将S△PEF（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．39．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．40．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9cm，BC=2cm，点M，N分别从A，B 同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求△MBN的面积的最大值．41．如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，DC=4，点M在线段AC上运动，ME⊥AD于点E，连结BE并延长交AC于点F，连结BM．设=m （0＜m＜1），△BEM的面积为S．（1）当m=时，求的值．（2）求S关于m（0＜m＜1）的函数解析式并求出S的最大值．（3）设=k，猜想k与m的数量关系并证明．42．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t 之间的函数表达式．44．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在线段AB上，CD⊥AB于G，连接DE 交⊙O于F，连接CF交AB延长线于P．求证：OF2=OE•OP．45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F，G；（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．47．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF ∥AD交BC于点F，且BF2=BD•BC，联结FG．（1）求证：FG∥CE；（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形．48．在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF．（1）求证：MA=MF；（2）连接AF，分别交DE、CD于M、N，若∠B=∠AME，求证：ND•ME=AD•MN．49．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG∥AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当AD2=CA•CF时，求证：AB•AD=AG•AC．50．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，【分析】得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴==，∴BD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出即，即可得出答案；②由（1）证得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根据平行线的性质，得到∠G=∠ABP，（Ⅰ）若DG=PG根据△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；（Ⅱ）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tan∠DAB= =．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP=∠BAP，在△APB和△APD中，，∴△APB≌△APD，∴PB=PD；（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFP∽△CBP，∴，∵，∴，∴，由（1）知PB=PD，∴，∴PF=PD．②由（1）证得△APB≌△APD，∴∠ABP=∠ADP，∵GC∥AB，∴∠G=∠ABP，∴∠ADP=∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG．（Ⅰ），若DG=PG，∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB=EB，由（2）知，设PF=2a，则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由△DGP∽△EBP，得DG=a，∴AB=AD=2DG=9a，∴AF=6a，如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，解得x=a，∴FH=，∴tan∠DAB=；（Ⅱ）若DG=DP，如图2，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，解得x=m，∴FH=，∴tan∠DAB==．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD 为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，【分析】由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．【分析】利用勾股定理求出BC，过B向MC作垂线，利用三角形相似求BE．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，BC==3，作BE⊥MC，垂足是E，∵∠ACB=∠BEC=90°，∴△ACB∽△BCE，∴，∴，∴BE=，∴点B到直线MC的距离．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可证出△CDE∽△CAB；（2）由等腰三角形的性质得出∠C=∠CBA，证出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD=BD，即可得出DE=BD；（3）由割线定理求出CE，由圆周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理即可求出BE的长．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠CED=∠CBA，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB；（2）证明：∵AB=AC，∴∠C=∠CBA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD，∴DE=BD；（3）解：由割线定理得：CE•AC=CD•BC，∵CD=BD=BC=3，AC=AB=5，∴CE===，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∴BE===．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、割线定理、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要运用圆周角定理、割线定理和勾股定理才能得出结果．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）【分析】（1）根据矩形的性质易证，OA=OC，AB∥CD，根据AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，满足ASA可证；（2）①先证△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，计算MC，即可求出BM；②若△BMO是等腰三角形，则可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）①解：如图1，∵MO⊥AC，∴∠MOC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠MOC=∠ABC，又∵∠MCO=∠MCO，∴△MOC∽△ACB，∴MC：AC=OC：BC，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∴OC=2.5，∴MC：5=2.5：4，∴MC=，∴BM=；②如图2，△BMO是等腰三角形时，有三种情况：（Ⅰ）OB=OM，此时M与C重合，BM=4；（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=BD=2.5；（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，∴BN=B0=；∵△BMN∽△BDC∴，∴BM===，∴BM=2.5或4或．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，第3小题考查学生思维的全面性，恰当分类讨论是解决问题的关键．9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是4；最小值是．【分析】（1）连接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，，证得AD⊥BC由于点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AD，EF=AD，于是得到MF∥AD，MF=AD，在Rt△EFM中，=；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4．【解答】解：（1）不变；=，如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，∵∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠OAD=∠CBO，，∵∠APO=∠BPQ，∴∠BQP=∠AOB=90°，∴AD⊥BC，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，EF=AD，∴MF∥BC，MF=BC，在Rt△EFM中，=；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=，AB=，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，∴线段PN长度的最小值为，最大值为4．故答案为：4，．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．【分析】（1）如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，由∠ABC+∠ADE=180°，得到BC∥DE，得到∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，证出△CBN ≌△EFN，得到BN=FN，EF=CB=AD，于是得到DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，证得△DEF∽△DAB，得到．由sin∠BAC=，得到tan∠BAC=，即DF=BD，得到MN=DF=BD即可得到结论．【解答】解：（1）MN⊥BD，MN=BD；如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴BC∥DE，∴∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，∵CN=EN，在△CBN与△EFN中，，∴△CBN≌△EFN，∴BN=FN，EF=CB=AD，∴DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，又∵BM=MD，∴MN=DF=BD，MN∥DF，∴∠BMN=∠BDE=90°，∴MN⊥BD；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，∴EF=CB=DE，∠BCE=∠CEF，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴∠BAD+∠BCE+∠CED=540°﹣180°=360°，∵∠DEF+∠CEF+∠CED=360°，∴∠BAD=∠DEF，∵，∴△DEF∽△DAB，∴．∵sin∠BAC=，∴tan∠BAC=，即DF=BD，∴MN=DF=BD．即．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm ，BC=9cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP=x cm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为y cm 2．求y 关于x 的函数关系式．【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC ，则可判断Rt △DFA ∽Rt △ACB ，根据相似三角形的性质得AB•AF=BC•AD ，然后利用AD=CD 代换即可得到结论；（2）连结PC ，如图，先在Rt △ACB 中利用勾股定理计算出AC=12，再利用等腰三角形的性质AF=FC=AC=6，接着证明DE ∥BC ，则P 点到BC 的距离等于CF ，然后根据三角形面积公式和y=S △CPD +S △BCP 即可得到y 与x 的函数解析式．【解答】（1）证明：∵∠DAB=∠ACB=90°，∴∠DAC +∠BAC=90°，∠BAC +∠B=90°，∴∠B=∠DAC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴Rt △DFA ∽Rt △ACB ，∴=，即AB•AF=BC•AD ，而AD=CD ，∴AB•AF=CB•CD ；（2）解：连结PC ，如图，在Rt △ACB 中，∵AB=15，BC=9，∴AC==12，∵DF ⊥AC ，DA=DC ，∴AF=FC=AC=6，∵∠DFC=∠ACB=90°，∴DE ∥BC ，∴P 点到BC 的距离等于CF ，∴y=S △CPD +S △BCP=•x•6+•9•6=3x +27（x ＞0）．【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质：在判定两个三角形相似时，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面积公式列函数关系式．把四边形的面积化为两三角形面积的和是求函数关系式的关键．14．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD=∠DAC ，由于∠E=∠BAD ，等量代换得到∠E=∠DAC ，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE ∥AD ，得到∠EBD=∠ADC ，由于∠E=∠DAC ，得到△EBD ∽△ADC ，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠E=∠BAD ，。
华师大版-数学-九上-23.3.2 相似三角形的判定2 教案
23.3.2相似三角形的判定2教学目标：（一）教学知识点1．掌握三角形相似的判定方法2.3．2．会用相似三角形的判定方法2.3来判断、证明及计算．（二）能力训练要求1．通过自己动手并总结推出相似三角形的判定方法2.3，培养学生的动手操作能力，总结概括能力．2．利用相似三角形的判定方法进行判断，训练学生的灵活运用能力．（三）情感与价值观要求1．通过探索相似三角形的判定方法，体现数学活动充满着探索性和创造性．2．通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力，领会分类思想．教学重点：相似三角形判定方法2.3的推导过程，掌握判定方法2.3并能灵活运用．教学难点：判定方法的推导及运用教学方法：探索——总结——运用法Ⅰ．创设问题情境，引入新课师：现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是预备定理，除此之外，是否还有其他的办法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．Ⅱ．讲授新课师：下面我们只从边的方面去考虑．我们在学习全等三角形的判定方法中，也有只用边来进行判断的，即SSS公理．大家能不能用类比的方法，猜想只用边来判定三角形相似的方法呢？生：三边对应成比例的两个三角形相似．师：下面我们就来验证一下．1．相似三角形的判定方法2．师：前面两种判定方法我们都是只从角或只从边的方面去考虑的，下面我们要从两方面来考虑．还是要类比全等三角形的判定方法，在全等的判定方法中有ASA，SAS，AAS，其中ASA.AAS我们就不用考虑了，因为我们已经有判定方法2，下面来验证SAS，大家还是先猜想，然后再验证．生：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．师：好，下面我们还是由大家自己推导吧．请看投影片师：请大家按照上面的步骤进行，同时还要采取不同的组取不同的k值法．生：按照要求作出的△ABC与△A′B′C′中，有∠B=∠B′，∠C=∠C′，因此根据判定方法1可知，△ABC∽△A′B′C′．师：大家同意吗？生：同意．师：好，我们又探索出一个相似三角形的判定方法，即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．相似三角形的判定方法3：三边对应成比例的两个三角形相似．投影片师：大家可以按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，请大家一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值，好吗？生：好．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′△ABC∽△A′B′C′,理由是：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′B A AB ''=C B BC ''=A C CA '' 根据相似三角形的定义可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′．师：其他组的同学的结论相同吗？生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法，即三边对应成比例的两个三角形相似．3．想一想师：下面验证SSA ，即两边对应成比例，其中一边的对角对应相等，这两个三角形相似吗？在全等三角形的判定中SSA 就不成立．大家还可以仿照上面的验证过程来进行推导，下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形，由此你能得到什么结论？生：从上面的图中可以得出结论：有两边对应成比例，其中一边的对角相等的三角形不相似．4．做一做师：在这两节课中我们已经学完了一般相似三角形的判定方法，下面请大家总结一下有几种方法．5．议一议如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？你有哪些判断方法？生：【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′．判断方法有．1．两角对应相等的两个三角形相似．2．两边对应成比例且夹角相等．3．定义法．Ⅲ．课堂练习依据下列各组条件，判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么．（1）∠A =120°,AB =7 cm,AC =14 cm,∠A ′=120°,A ′B ′=3 cm,A ′C ′=6 cm,（2）AB =4 cm,BC =6 cm,AC =8 cm,A ′B ′=12 cm,B ′C ′=18 cm,A ′C ′=24 cm ．【答案】（1）∵C A AC B A AB ''='',37=37614= ∴C A AC B A AB ''='' 又∵∠A =∠A ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似）（2）∵B A AB ''=124=31，C B BC ''=186=31,C A AC ''=248=31 ∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（三边对应成比例，两三角形相似）Ⅳ．课时小结本节课主要探讨了相似三角形的两种判定方法，即三边对应成比例与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．培养了大家的探索精神，同时让学生懂得了数学活动充满着探索与创新，学习的目的是能运用学过的知识去解决问题，在这里就是能利用判定方法进行有关证明．。
23.3 第2课时 相似三角形的判定(数学华师大版九年级上册)
A
D
O EG
B
F
C
感谢观看
AD
FC
AB BC
DE=FC
DE//BC，DF//AC
四边形DFCE是□
平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
已知DE∥BC，并分别交AB、AC延长线于点D、E. 试问：△ADE和△ABC相似吗？
A
D
E
D
E
A
F
G
B
C
B
C
平行于三角形一边的直线，和其他两边的延 长线相交所构成的三角形与原三角形相似。
A
ED
A
D
O
B
C
O
B
C
E
A
F
D
O
B
C
1.如图，AB//CD//EF，请你找出图中的相似三角形。
F
经
B
典
D
习
AC
E
题
例 2 在△ABC中，点D是AB的三等分点，DE∥BC，DE=5.
（1）求BC的长；
（2）连结DC、BE交于点O，求OE:OB的值。
A
A
D
E
D
E
O
F
G
B
C
B
C
拓展：如图，D、F是AB的三等分点，DE//FG//BC.
平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的 延长线）相交所构成的三角形和原三角形相似。
A DE
DE
∵ DE//BC
A
∴ △ADE∽△ABC
B “A”型C
B “X”型C
这是我们以后经常研究的两种基本图形。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
（二）讲授新知
1.性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-通过几何画板动态展示相似三角形的性质一，让学生直观感知。
-设想一：设计具有启发性的问题，如“相似三角形的对应角有什么关系？”“对应边长是否成比例？”等，引导学生进行探究。
-设想二：组织学生分组讨论，鼓励他们提出自己的猜想，并运用已有知识进行验证。
3.创设互动式课堂，让学生在合作交流中掌握知识，提高解决问题的能力。
-设想一：开展小组合作学习，让学生在讨论、分享中加深对相似三角形性质的理解。
-提高题：结合其他知识点，综合运用相似三角形的性质解决问题。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结相似三角形的性质。
-性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-性质二：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2.教师点评，强调重点，解答学生的疑问。
2.实践应用题：设计一道实际生活中的相似三角形问题，要求学生运用所学性质进行分析和解答。
-例如，测量学校旗杆的高度，通过测量旗杆影子的长度和角度，利用相似三角形的性质求解。
-学生需要将问题解决过程详细记录，包括思路分析、步骤实施和结果验证。
3.拓展思考题：提供一道综合性的相似三角形问题，鼓励学有余力的学生挑战。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的基本性质，理解并运用这些性质解决实际问题。
九年级数学上册23.3相似三角形同步练习华东师大版
相似三角形班级座号姓名成绩一、填空与选择〔每题4分，共40分〕．1．相似三角形的定义：三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．2．相似用符号_________表示；两个相似三角形对应边的比称为_______.3．相似比是有序次的．假设△ABC与△A＇B＇C＇的相似比为k，那么△A＇Ｂ＇Ｃ＇与△ABC的相似比为________；当相似比k=1时，这两个三角形_______. 4．以下判断正确的选项是()．A．所有的等腰三角形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似5．若是三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角〔〕．A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍C．都扩大为原来的25倍D．都与原来相等6．以以下图，给出以下条件：①B ACD；②ADC ACB；③AC AB；④AC2ADAB．CD BC其中单独能够判断△ABC∽△ACD的个数为〔〕A．1B．2C．3D．47．△ABC∽△DEF，AB＝5，DE＝10，那么△ABC与△DEF的相似比为________．8.△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，那么△ABC的面积与△DEF的面积之比为________．9．假设△ADE∽△ABC，且AD：AB=1：2，那么△ADE与△ABC的周长之比是________．/ / ///10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，假设Rt△ABC∽Rt△A BC，AB＝10，那么这两个三角形的周长比为________，面积比为________．二、计算与解答〔60分〕．11．〔8分〕如图，△ABC∽△DBA，∠BAC=∠ADB，写出其余的对应角和对应边的比率式．-1-12．〔12分〕如图，D 点是ABC的边上的一点，过D点画线段，使点E在ABC的AC DE边上，并且点、点和ABC 的一个极点组成的小三角形与ABC相似．请用相似DE符号写出以下各图中的相似三角形.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕13．〔12分〕如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，DE∶EB＝2∶3，EF=9，求BC．D CEA F B14．〔提升与拓展〕〔14分〕如图,△ABC与△ADB相似,AD=4,CD=6,求这两个三角形的相似比.ADBC15．〔提升与拓展〕〔14分〕如图，AD=3cm，AC=6cm，BC=9cm，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC．〔1〕求AB的长；〔2〕求∠BAD的大小．-2-相似三角形的判断〔1〕班级座号姓名成绩一、填空与选择〔每题4分，共40分〕．1．若是一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应_______，那么这两个三角形相似。
华师大版九年级数学上精品同步作业：24.3.2相似三角形的判定(第二课时)
●拓展提高
1、如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若BC=3 cm,则DE=________cm.
(第7题) (第8题)
2、如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MNC相似.
3、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足为D、E试说明DE= BC成立的理由．
3题图4题图
4、如图，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是( )
A． B．
C． D．
5、△ABC的三边长分别为7、6、2，△A1B1C1的两边长分别为1、3，要使△ABC∽△A1B1C1，则△A1B1C1的第三边长应为（）
A. B.2 C. D.
◆典例分析
6、依据下列各组条件，判定△ABC与△A′B′C′是不是相似，并说明为什么.
拓展提高：
1、解： ∽
4、0．8秒或2秒
提示：设x秒钟△PBQ与△ABC相似， AP=2x，BQ=4x， BP=8—2x．有两种情况：① 时，△PBQ∽△CBA， ，x=0.8②当 ，△PBQ∽△ABC， ，x=2．
5、判断方法有：（1）三边对应成比例的两个三角形相似；（2）两角对应相等的两个三角形相似；（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
6、下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
（2）
●体验中考
1、（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：① ；② ；③ ；④ ．其中单独能够判定
的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
2、（2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是（）
华师大版-数学-九年级上册-23.3相似三角形的判定
相似三角形的判定二，教学重点和难点1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个三角形相似.2.难点：找相似三角形的对应边.三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)如果两个三角形的三组对应边的 相等，那么这两个三角形相似. (2)如果两个三角形的两组对应边的 相等，并且相应的 相等，那么这两个三角形相似.(3)如果两个三角形的两个 对应相等，那么这两个三角形相似.2.判断图中的两个三角形是否相似：(1) △ABC 与△DEF ；(2) △OAB 与△ODC ；(3) △ABC 与△ADE .F E D C B A 2.52547 3.636305445O A B CD110︒40︒30︒EA B C（二）创设情境，导入新课（出示下面的板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例已知：如图，AB∥DC.求证：(1)△AOB∽△COD；(2)OA·OD=OB·OC.（先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D.∴△AOB∽△COD.∴OA OB OC OD.∴OA·OD=OB·OC.（列OA OBOC OD时，要让学生自己找OA，OB的对应边，并告诉找对应边的方法）（四）试探练习，回授调节3.已知：如图，DE∥BC，求证：(1)△ABC∽△ADE；(2)AB·AE=AC·AD.4.完成下面的证明过程：已知：如图，∠B=∠ACD.求证：AC2=AB·AD.证明：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△∽△ . A BC DOEAB CDADB C∴ABAC ()(). ∴AC 2=AB ·AD.5.选做题：已知：如图，AD=2DB ，AE=2EC.求证：(1)DE2BC 3； (2)DE ∥BC.（五）归纳小结师：本节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，通过做这几个题目，你有什么体会？ 生：……（让几名学生说）（六）布置作业：1.课本习题2.作业本E A B C D。
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《相似三角形的判定》同步练习
一、 基础过关
1.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）
A.△ABC 中，∠A ＝42 o ，∠B ＝118 o ，△A`B`C`中，∠A`＝118 o ，∠B`＝15
o B.△ABC 中，AB=8，AC=4, ∠A ＝105 o ，△A`B`C`中，A`B`＝16，B`C`＝8，∠A`＝
100o
C.△ABC 中，AB=18，BC ＝20，CA ＝35，△A`B`C`中，A`B`＝36，B`C`＝40，C`A`＝70
D.△ABC 和△A`B`C`中，有`
```C B BC B A AB ，∠C ＝∠C`。
2.△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中使△ABC 和△DEF 不相似的是（ ） A ．∠A ＝∠D ＝45 o
38`，∠C ＝26 o 22`，∠E ＝108 o B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16
C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c
D ．AB ＝AC ，D
E ＝D
F ，∠A ＝∠D ＝40 o
，
3.如图，△ABC 中∠ACB ＝90o ，CD ⊥AB 于D 。
则图中能够相似的三角形共有（ ）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
4.△ABC 中，D 是AB 上一固定点。
E 是AC 上的一个动点，若使△ABC 和△ADE 相似，则这样的点E 有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．很多
5．下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60 o
的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A ．②④
B ．①③
C ．①②④
D ．②③④
6．如图，若点D 为△ABC 中AB 边上的一点，且∠ABC ＝∠ACD ，AD ＝3cm ，AB ＝4cm ，则
AC 的长为（ ）
A ．12cm
B ．32cm
C ． 3cm
D ．2cm
二、综合训练
7.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o
C ）的黄金比值时,人体感到最舒适。
这个气温约为_______ o C (精确到1 o C)。
8.如图，BD 平分∠ABC ，且AB ＝4，BC ＝6则当BD ＝_________时，△A BC ∽△DBC 。
9．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，AE ＝3，BE ＝4，则AD ·AC ＝_______.
10．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF ＝
4
1BC ，那么图中与△ADE 相似的三角形有___________.
11．如图，（1）若 AB
AE ___________,则△ABC ∽△AEF ；（2）若∠E ＝_________，则。