七年级下学期数学知识梳理 (2)
北师大版七年级(下册)数学知识点总结
北师大版数学七年级下册知识点总结第一章 整式的乘除1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+•+5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷8、零指数和负指数；10=a ，（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。
p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
9、科学记数法：如：0.00000721=6-1021.7⨯（第一个非零数字前零的个数）10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
北京市七年级数学下学期期末(2020-2022)试题知识点分类汇编-02平行线的性质(选择题基础题)
北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题知识点分类汇编-02平行线的性质（选择题基础题）1.（2020春•东城区期末）如图，直线a∥b，将三角板的直角顶点放在直线b上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．45°D．50°2.（2019秋•怀柔区期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕．若∠DBA＝70°，则∠ABC等于（）A．45°B．55°C．70°D．110°3.（2020春•海淀区校级期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1＝45°，∠2＝122°时，∠3和∠4的度数分别是（）A．58°，122°B．45°，68°C．45°，58°D．45°，45°4.（2020春•通州区期末）如图，已知AF是∠BAC的平分线，点D在AB上，过点D作DG∥AC交AF于点E．如果∠DEA＝28°，那么∠BDG的度数为（）A．28°B．56°C．58°D．84°5.（2020春•海淀区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（）A．x+y+z＝180°B．x+y﹣z＝180°C．y﹣x﹣z＝0°D．y﹣x﹣2z＝0°6.（2020春•海淀区期末）如图，将含30°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°7.（2020春•大兴区期末）如图，点D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线且AE∥BC，若∠B＝30°，则∠C的大小为（）A．30°B．60°C．80°D．120°8.（2020春•东城区校级期末）如图，点D在BA的延长线上，AE∥BC，若∠DAC＝100°，∠B＝65°，则∠EAC的度数为（）A．65°B．35°C．30°D．40°9.（2020春•海淀区校级期末）将直尺和直角三角板按如图所示方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．65°10.（2021春•东城区校级期末）如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32°B．68°C．58°D．34°11.（2021春•延庆区期末）如图，点F是∠ACE内一点，FD∥AC，FB∥EC，点D在射线CE上，点B在射线CA上．下列结论正确的是（）①∠1＝∠F；②∠2＝∠C；③∠FBC＝∠FDC；④∠FBC+∠2＝180°．A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④12.（2021春•顺义区期末）如图，AB∥CD，AD⊥CE于点A，∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．45°D．60°13.（2021春•东城区期末）如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1＝35°，则∠2等于（）A．35°B．50°C．55°D．65°14.（2021春•丰台区校级期末）在同一平面内，下列说法中，错误的是（）A．过两点有且只有一条直线B．过一点有无数条直线与已知直线平行C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直15.（2021春•海淀区校级期末）下列命题中是真命题的是（）A．同位角相等B．有两边及一角分别相等的两个三角形全等C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是平行四边形16.（2021春•丰台区校级期末）含有30°角的三角板如图放置在平面内，若三角板的最长边与直线m平行，则∠α的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°17.（2022春•北京期末）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为（）A．135°B．120°C．105°D．75°18.（2022春•平谷区期末）如图，AB∥CD，∠D＝46°，∠E＝29°，则∠B的度数是（）A．17°B．27°C．29°D．46°19.（2022春•门头沟区期末）将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°20.（2022春•昌平区期末）如图．直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB、CD交于点E、F，∠1＝50°．则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．45°D．55°21.（2022春•房山区期末）如图，直线DE过点A，且DE∥BC，∠B＝60°，∠EAC＝50°，则∠BAC的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．120°22.（2022春•东城区期末）如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°23.（2022春•西城区期末）如图，AB∥CD，点E在AB上，过点E作AB的垂线交CD于点F．若∠ECD＝40°，则∠CEF的大小为（）A．40°B．50°C．60°D．70°24.（2022春•大兴区期末）如图，已知直线a∥b，∠1＝100°，则∠2等于（）A．60°B．70°C．80°D．100°25.（2022春•丰台区期末）如图，直线DE过点A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°26.（2022春•通州区期末）如图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°参考答案与试题解析1.【解析】解：∵直线a∥b，∴∠1＝∠3，∵∠1＝40°，∴∠3＝40°，∵三角板的直角顶点放在直线b上，∴∠3+∠2＝90°，∴∠2＝50°，【答案】D．2.【解析】解：根据题意，得：2∠ABC+∠DBA＝180°，则∠ABC＝（180°﹣70°）÷2＝55°．【答案】B．3.【解析】解：∵EG∥FH，∠1＝45°，∴∠3＝∠1＝45°．∵AB∥CD，∠2＝122°，∴∠ECD＝180°﹣122°＝58°．∵CE∥DF，∴∠4＝∠ECD＝58°．【答案】C．4.【解析】解：∵DG∥AC，∴∠EAC＝∠DEA＝28°．∵AF是∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠EAC＝28°．∴∠BDG＝∠DAE+∠DEA＝28°+28°＝56°．【答案】B．5.【解析】解：∵CD∥EF，∴∠C+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝180°﹣y，∵AB∥CD，∴x＝z+∠CEF，∴x＝z+180°﹣y，∴x+y﹣z＝180°，【答案】B．6.【解析】解：如图，∵∠CAE＝90°，∠1＝35°，∴∠BAC＝90°﹣35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BAC＝55°，【答案】A．7.【解析】解：∵AE∥BC，∠B＝30°，∴∠DAE＝30°，∵AE是∠DAC的平分线，∴∠CAE＝30°，∴∠C＝30°．【答案】A．8.【解析】解：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE＝65°，又∵∠DAC＝100°，∴∠EAC＝∠DAC﹣∠DAE＝100°﹣65°＝35°，【答案】B．9.【解析】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠1＝30°，∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∵MN∥EF，∴∠2＝∠ACE＝60°．【答案】C．10.【解析】解：∵直线a∥b，∴∠2+∠BAC+∠1＝180°，∵AC⊥BA，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣32°＝58°，【答案】C．11.【解析】解：①：∵FD∥AC，∴∠1＝∠F．故①正确．②：∵FD∥AC，∴∠2＝∠C．故②正确．③：∵FD∥AC，FB∥EC，∴四边形CDFB是平行四边形．∴∠FBC＝∠FDC．故③正确．④：由③知：∠FBC＝∠FDC．∵∠2+∠FDC＝180°，∴∠FBC+∠2＝180°．故④正确．综上：①②③④均正确．【答案】D．12.【解析】解：∵AD⊥CE于点A，∴∠CAD＝90°，∵∠1＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠ACD＝30°．【答案】A．13.【解析】解：∵a∥b，∠1＝35°，∴∠BAC＝∠1＝35°．∵AB⊥BC，∴∠2＝∠BCA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．【答案】C．14.【解析】解：A、过两点有且只有一条直线，正确，不符合题意；B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题错误，符合题意；C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不符合题意；D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意．【答案】B．15.【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、有两边及夹角分别相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，【答案】C．16.【解析】解：∵图中是含有30°角的三角板，∴∠β＝60°，∵三角板的最长边与直线m平行，∴∠α＝∠β＝60°．17.【解析】解：如图：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝30°，∵∠ABE＝45°，∴∠1＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝105°，【答案】C．18.【解析】解：∵AB∥CD，∴∠D＝∠AFE＝46°，∴∠BFE＝180°﹣∠AFE＝134°，∵∠E＝29°，∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BFE＝17°，【答案】A．19.【解析】解：标出字母，如图：∵∠3＝∠2＝40°，∠ACB＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝50°，∵DE∥FG，∴∠1＝∠4＝50°．20.【解析】解：∵∠BEF＝∠1＝50°，AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝50°．【答案】B．21.【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∵∠EAC＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAB﹣∠EAC＝70°，【答案】C．22.【解析】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠AEB′＝80°，∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，由折叠得：∠2＝∠FEB′＝∠BEB′＝50°，【答案】A．23.【解析】解：∵过点E作AB的垂线交CD于点F，∴∠AEF＝90°，∵AB∥CD，∠ECD＝40°，∴∠AEC＝∠ECD＝40°，∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝50°．【答案】B．24.【解析】解：∵a∥b，∠1＝100°，∴∠3＝100°，∴∠2＝80°，【答案】C．25.【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠2＝180°﹣∠DAB﹣∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°．【答案】C．26.【解析】解：如图，∵∠1＝70°，∴∠2＝∠1＝70°，∵CD∥BE，∴∠B＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．【答案】C．。
专题 图形的全等(知识讲解)数学七年级下册基础(北师大版)
专题4.7 图形的全等（知识讲解）【学习目标】1、从图形重合中理解图形全等的对应边、对应角的关系；2．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素；3．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.特别说明：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.特别说明：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.特别说明：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、图形的全等➽➼全等图形的识别1．下列各组图形中不是全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，∴是全等图形，B选项中两个图形不可能完全重合，∴不是全等形．故选：B．【点拨】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．举一反三：【变式1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据全等图形的概念判断即可．解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；B、两个图形能够完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；D、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．【变式2】下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据全等图形的概念分析即可．解：A 、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；B 、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；C 、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；D 、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．类型二、全等三角形概念➽➼全等图形的识别 2．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，=BD CD ．完成下面说明B C ∠=∠的理由的过程．解：AD BC ⊥（已知），ADB ∴∠=___________Rt =∠（垂直的定义）． 当把图形沿AD 对折时，射线DB 与DC ___________．BD CD =（___________）∴点B 与点___________重合，ABD ∴与ACD ___________，ABD ∴___________ACD （全等三角形的定义）， B C ∴∠=∠（___________）． 【答案】ADC ∠；重合；已知；C ；重合；≅；全等三角形的性质【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案．解：AD BC ⊥（已知），ADB ∴∠=ADC ∠Rt =∠（垂直的定义）． 当把图形沿AD 对折时，射线DB 与DC 重合．BD CD =（已知）∴点B 与点C 重合，ABD ∴与ACD 重合，ABD ∴≌ACD （全等三角形的定义）， B C ∴∠=∠（全等三角形的性质）．故答案为：ADC ∠；重合；已知；C ；重合；≅；全等三角形的性质．【点拨】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，是关键．举一反三：【变式1】如下图，AOC 与BOD 全等．用符号“≌”表示这两个三角形全等．已知A ∠与B ∠是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．【答案】AOC BOD △△≌．对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠； 对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案．解： AOC BOD △△≌． 因为A ∠与B ∠是对应角，所以其余的对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠；对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键．【变式2】如图，若ADE BCE ≌△△，1∠与2∠是对应角，AD 与BC 是对应边，写出其他的对应边及对应角．【答案】AE 与BE 是对应边，DE 与CE 是对应边，D ∠与C ∠是对应角，AED ∠与BEC ∠是对应角．【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断．解：因为ADE BCE ≌△△，所以AE 与BE 是对应边，DE 与CE 是对应边，D ∠与C ∠是对应角，AED ∠与BEC ∠是对应角．【点拨】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对应边和对应角的定义是解题关键．类型三、全等三角形的性质➽➼求边✮✮求角✮✮周长✮✮面积3．如图，ABC DEC ≌△△，点A 和点D 是对应点，点B 和点E 是对应点，过点A 作AF CD ⊥，垂足为点F ．(1) BAC ∠=______，B ∠=______，AB =______；(2) 若65BCE ∠=︒，完善求CAF ∠度数的解题过程．∴ABC DEC ≌△△， ∴ACB =∠______，∴BCE ACE ACD ACE ，∴______．∴65BCE ∠=︒，∴65ACF ∠=︒．又∴______，∴90AFC ∠=︒，∴CAF ∠=______︒． 【答案】(1) D ∠，E ∠，DE (2) DCE ∠，BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，25【分析】（1）由ABC DEC ≌△△，即可得到对应角和对应边相等（2）由ABC DEC ≌△△，得到BCE ACD ∠=∠，且AF CD ⊥，即可求得25CAF ∠=︒ （1）解：∴ABC DEC ≌△△，∴BAC D ∠=∠，B E ∠=∠，AB DE =；故答案为：D ∠，E ∠，DE（2）∴ABC DEC ≌△△，∴ACB DCE ∠=∠，∴BCE ACE ACD ACE ，∴BCE ACD ∠=∠．∴65BCE ∠=︒，∴65ACF ∠=︒．又∴AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∴25CAF ∠=︒．故答案为：DCE ∠，BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，25【点拨】本题考查了全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键举一反三：【变式1】如图，AB 与CD 相交于点E ，连接AD AC BC 、、，若,28ABC ADE BAC ∠=︒△≌△，求B ∠的度数．【答案】48︒ 是ADE 的一个外角，AEC DAE -∠48=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，以上知识是解题的关键．】如图，已知ABC △(1) 若6DE =，4BC =，求线段AE 的长；(2) 已知35D ∠=︒，60C ∠=︒，求AFD ∠的度数．【答案】(1) 2AE = (2) 130AFD ∠=︒【分析】（1）根据全等三角形的性质得到6AB DE ==，4BE BC ==，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到60DBE C ∠=∠=︒，35A D ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理求出ABC ∠，计算即可．（1）解：∴ABC DEB △△≌，6DE =，4BC =， ∴6AB DE ==，4BE BC ==， ∴642AE AB BE =-=-=；（2）∴ABC DEB △△≌，35D ∠=︒，60C ∠=︒， ∴60DBE C ∠=∠=︒，35A D ∠=∠=︒，ABC DEB ∠=∠，∴18085ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒，∴85DEB ∠=︒，∴95AED ∠=︒，∴3595130AFD A AED ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．4．如图，已知ABC DEB ≌，点E 在AB 上，AC 与BD 交于点F ，8AB =，5BC =，65C =︒∠，20D ∠=︒．(1) 求AE 的长度；(2) 求AED ∠的度数.【答案】(1) 3AE = (2) 85AED ∠=︒【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可． 解：（1）∴ABC DEB ≅，∴3BE BC ==，∴633AE AB BE =-=-=，（2）∴ABC DEB ≅，∴25A D ∠=∠=︒，55DBE C ∠=∠=︒，∴255580AED DBE D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点拨】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等即可．举一反三：【变式1】如图，已知△ABC ∴∴DEF ，AF ＝5cm ．（1）求CD 的长．（2）AB 与DE 平行吗？为什么？解：（1）∴∴ABC ∴∴DEF （已知），∴AC ＝DF （ ），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质） 即 ＝∴AF ＝5cm∴ ＝5cm（2）∴∴ABC ∴∴DEF （已知）∴∴A ＝ （ ）∴AB （ ）【答案】（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∴D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据△ABC ∴∴DEF ，AF =5cm,可以得到CD =AF ，从而可以得到CD 的长；（2）根据△ABC ∴∴DEF ，可以得到∴A =∴D ，从而可以得到AB 与DE 平行． 解：（1）∴∴ABC ∴∴DEF （已知），∴AC ＝DF （全等三角形对应边相等），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质）即AF ＝CD ，∴AF ＝5cm∴CD ＝5cm ；（2）∴∴ABC ∴∴DEF （已知）∴∴A ＝∴D （全等三角形对应角相等）∴AB DE （内错角相等，两直线平行）．故答案为：（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∴D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2】如图，B ，C ，D 三点在同一条直线上，90,,5B D ABC CDE AB ︒∠=∠=∆≅∆=，12,13BC CE ==．(1) 求ABC 的周长．(2) 求ACE △的面积．，然后计算ABC 的周长；，再证明ACE ∠=）ABC ∆≅13AC CE ==ABC 的周长）ABC CDE ∆≅∆13,AC CE ∴==90D ∠=︒，CED ∴∠+∠ACB ∴∠+∠ACE ∴∠=ACE ∴的面积【点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．熟练掌握知识点是解题的关键．类型四、全等图形➽➼应用5．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．【分析】根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可．解：如图所示（任意两种方法，正确即可）：【点拨】本题考查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．举一反三：【变式1】试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【答案】见分析（第一个图答案不唯一）【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．解：第一个图形分割有如下几种：第二个图形的分割如下：【点拨】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点．【变式2】沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【答案】见分析【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．解：共有3412⨯=个小正方形，∴被分成四个全等的图形后每个图形有1243÷=，∴如图所示：，【点拨】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．s。
湘教版七年级数学下册第二章--整式的乘法知识点
湘教版七年级数学下册第二章--整式的乘法知识点(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除七年级下册第二章整式的乘法1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a n a m=a m+n(m,n是正整数)例：2.幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a n)m=a mn(m,n是正整数)例：3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n=a n b n(m,n是正整数)例：4.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。
例：5.单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
a（m+n）=am+an6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn例：7.平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
（a+b）（a-b）=a2-b2 (公式右边：符号相同项的平方-符号相反项的平方) 例：8.完全平方公式口诀：头平方和尾平方，头尾两倍在中央，中间符号是一样。
（a+b）2=a2+2ab+b2 =a2+b2+2ab （a-b）2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab例：9.公式的灵活变形：（a+b）2+（a-b）2=（a2+2ab+b2）+（a2-2ab+b2）=2a2+2b2，（a+b）2-（a-b）2=（a2+2ab+b2）-（a2-2ab+b2）=2ab+2ab=4ab，a2+b2=（a+b）2-2ab，④a2+b2= （a-b）2+2ab，⑤（a+b）2=（a-b）2+4ab,⑥（a-b）2=（a+b）2-4ab01各个击破命题点1幂的运算【例1】若a m＋n·a m＋1＝a6，且m＋2n＝4，求m，n的值．【思路点拨】已知m＋2n＝4，只要再找到一个关于m，n的二元一次方程即可组成方程组求解．可根据同底数幂的乘法法则，由等式左右两边a的指数相等即可得到．【解答】【方法归纳】对于乘方结果相等的两个数，如果底数相等，那么指数也相等．1．(徐州中考)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．若2x＝3，4y＝2，则2x＋2y的值为________．命题点2多项式的乘法【例2】化简：2(x－1)(x＋2)－3(3x－2)(2x－3)．【解答】【方法归纳】在计算多项式乘法时，要注意不漏项，不重项．多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．3．(佛山中考)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( )A．1 B．－2C．－1 D．24．下列各式中，正确的是( )A．(－x＋y)(－x－y)＝－x2－y2B．(x2－1)(x－2y2)＝x3－2x2y2－x＋2y2C．(x＋3)(x－7)＝x2－4x－4D．(x－3y)(x＋3y)＝x2－6xy－9y2命题点3适用乘法公式运算的式子的特点【例3】下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是( )A．(2a＋b)(2a－3b) B．(x＋1)(1＋x)C．(x－2y)(x＋2y) D．(－x－y)(x＋y)【方法归纳】能用平方差公式进行计算的两个多项式，其中一定有完全相同的项，剩下的是互为相反数的项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．5．下列多项式相乘，不能用平方差公式的是( )A．(－2y－x)(x＋2y)B．(x－2y)(－x－2y)C．(x－2y)(2y＋x)D．(2y－x)(－x－2y)6．下列各式：①(3a－b)2；②(－3a－b)2；③(－3a＋b)2；④(3a＋b)2，适用两数和的完全平方公式计算的有________(填序号)．命题点4利用乘法公式计算【例4】先化简，再求值：(2a－b)(b＋2a)－(a－2b)2＋5b2.其中a＝－1，b＝2.【思路点拨】把式子的前两部分分别运用平方差公式和完全平方公式化简．【解答】【方法归纳】运用平方差公式时，要看清两个因式中的相同项和相反数项，其结果是相同项的平方减去相反数项的平方．7．下列等式成立的是( )A．(－a－b)2＋(a－b)2＝－4abB．(－a－b)2＋(a－b)2＝a2＋b2C．(－a－b)(a－b)＝(a－b)2D．(－a－b)(a－b)＝b2－a28．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝15，那么a2＋b2的值是________．9．计算：(1)(a＋b)2－(a－b)2－4ab；(2)[(x＋2)(x－2)]2；(3)(a＋3)(a－3)(a2－9)．命题点5乘法公式的几何背景【例5】(1)如图，请用两种不同的方式表示图中的大正方形的面积；(2)你根据上述结果可以得到一个什么公式？(3)利用这个公式计算：1022.【思路点拨】根据图形可以得到：图形的面积有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中两个长方形面积与两个正方形的面积的和，即可得到公式；然后利用公式计算即可．【解答】【方法归纳】根据同一个图形的面积的两种表示，所得到的代数式的值相等，由此可得到对应的代数恒等式．10．将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为( )图 1 图2A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2D．a(a－b)＝a2－ab11．(枣庄中考)图1是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )A．2ab B．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b202整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．(钦州中考)计算(a3)2的结果是( )A．a9B．a6C．a5D．a2．(巴彦淖尔中考)下列运算正确的是( )A．x3·x2＝x5B．(x3)2＝x5C．(x＋1)2＝x2＋1 D．(2x)2＝2x23．如果a2n－1·a n＋5＝a16，那么n的值为( )A．3 B．4C ．5D ．64．下列各式中，与(1－a)(－a －1)相等的是( )A ．a 2－1B ．a 2－2a ＋1C ．a 2－2a －1D ．a 2＋15．如果(x －2)(x ＋3)＝x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值为( )A ．p ＝5，q ＝6B ．p ＝－1，q ＝6C ．p ＝1，q ＝－6D ．p ＝5，q ＝－66．(－x ＋y)( )＝x 2－y 2，其中括号内的是( )A ．－x －yB ．－x ＋yC ．x －yD ．x ＋y7．一个长方体的长、宽、高分别是3a －4、2a 、a ，它的体积等于( )A ．3a 3－4a 2B ．a 2C ．6a 3－8aD ．6a 3－8a 28．已知a ＝814，b ＝275，c ＝97，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a 二、填空题(每小题4分，共16分)9．若a x ＝2，a y ＝3，则a 2x ＋y＝________．10．计算：3m 2·(－2mn 2)2＝________．11．(福州中考)已知有理数a ，b 满足a ＋b ＝2，a －b ＝5，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是________．12．多项式4x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，请写出所有可能的单项式为________． 三、解答题(共60分) 13．(12分)计算：(1)(－2a 2b)3＋8(a 2)2·(－a)2·(－b)3； (2)a(a ＋4b)－(a ＋2b)(a －2b)－4ab ； (3)(2x －3y ＋1)(2x ＋3y －1)．14．(8分)已知a ＋b ＝1，ab ＝－6，求下列各式的值．(1)a 2＋b 2；(2)a 2－ab ＋b 2.15．(10分)先化简，再求值：(1)(常州中考)(x ＋1)2－x(2－x)，其中x ＝2； (2)(南宁中考)(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12.16．(10分)四个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，这个记号就叫做2阶行列式. 例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝1×4－2×3＝－2 . 若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 x ＋1＝10，求x 的值．17．(10分)如图，某校有一块长为(3a ＋b)米，宽为(2a ＋b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含a 、b 的代数式表示绿化面积并化简； (2)求出当a ＝5米，b ＝2米时的绿化面积．18．(10分)小华和小明同时计算一道整式乘法题(2x ＋a)(3x ＋b)．小华把第一个多项式中的“a”抄成了－a ，得到结果为6x 2＋11x －10；小明把第二个多项式中的3x 抄成了x ，得到结果为2x 2－9x ＋10.(1)你知道式子中a ，b 的值各是多少吗？(2)请你计算出这道题的正确结果．参考答案各个击破【例1】 由已知得a 2m ＋n ＋1＝a 6，所以2m ＋n ＋1＝6，即2m ＋n ＝5.又因为m ＋2n ＝4，所以m ＝2，n ＝1.【例2】 原式＝2(x 2＋2x －x －2)－3(6x 2－9x －4x ＋6)＝－16x 2＋41x －22. 【例3】 C【例4】 原式＝(4a 2－b 2)－(a 2－4ab ＋4b 2)＋5b 2＝3a 2＋4ab.当a ＝－1，b ＝2时，原式＝3×(－1)2＋4×(－1)×2＝－5.【例5】 (1)方法一：(a ＋b)2.方法二：a 2＋2ab ＋b 2.(2)(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2.(3)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 404. 题组训练1．C 2.6 3.C 4.B 5.A 6.②④ 7.D 8.49.(1)原式＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2－4ab ＝0.(2)原式＝(x 2－4)2＝x 4－8x 2＋16.(3)原式＝(a 2－9)(a 2－9)＝a 4－18a 2＋81. 10.C 11.C 整合集训1．B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.12 10.12m 4n 411.1 000 12.±4x 或4x 413.(1)原式＝－8a 6b 3－8a 6b 3＝－16a 6b 3.(2)原式＝a 2＋4ab －(a 2－4b 2)－4ab ＝a 2＋4ab －a 2＋4b 2－4ab ＝4b 2.(3)原式＝[2x －(3y －1)][2x ＋(3y －1)]＝4x 2－(3y －1)2＝4x 2－(9y 2－6y ＋1)＝4x 2－9y 2＋6y －1.14.(1)原式＝(a ＋b)2－2ab ＝1＋12＝13.(2)原式＝(a ＋b)2－3ab ＝12－3×(－6)＝1＋18＝19.15.(1)原式＝x 2＋2x ＋1－2x ＋x 2＝2x 2＋1.当x ＝2时，原式＝8＋1＝9. (2)原式＝1－x 2＋x 2＋2x －1＝2x.当x ＝12时，原式＝2×12＝1.16.(x ＋1)2－(x －2)(x ＋2)＝2x ＋5＝10，解得x ＝2.5. 17.(1)S 阴影＝(3a ＋b)(2a ＋b)－(a ＋b)2＝6a 2＋3ab ＋2ab ＋b 2－a 2－2ab －b 2＝5a 2＋3ab(平方米)．(2)当a ＝5，b ＝2时，5a 2＋3ab ＝5×25＋3×5×2＝125＋30＝155(平方米)．18.(1)根据题意，得(2x －a)(3x ＋b)＝6x 2＋(2b －3a)x －ab ＝6x 2＋11x －10；(2x ＋a)(x ＋b)＝2x 2＋(a ＋2b)x ＋ab ＝2x 2－9x ＋10，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b －3a ＝11，a ＋2b ＝－9. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－2.(2)正确的算式为：(2x －5)(3x －2)＝6x 2－19x ＋10.。
七年级数学下重点概念整理(实数)
一、无理数
1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.判断方法 （1）根据定义判断 （2）整数和分数统称为有理数，整数可以看作是分母为 1 的分数，有理数都可以写成分 数的形工，而无理数则不能写成分数的形式。
3.无理数都是无限小数，但无限小数不定是无理数。 4.判断一个数是不是无理数时，不要把分数化成小数再判断。 二、实数
1.定义：有理数和无理数统称为实数。 2.分类： （1）根据定义分: 实数 有理数 整数 正整数：1，2，3------
0 负整数：-1，-2，-3-----分数 正整数
有限小数或无限不循环小数
负整数
无理数 正无理数 无限不循环小数
负无理数
（2）根据正负之分： 实数 正实数 正有理数
正无理数
0 负实数 负有理数
每一个点都表示一个实数。
2.实数的大小比较 （1）数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 （2）正实数大于 0，负实数小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值 大的反而小。
四、实数的有关概念及运算
6.1 实数
1.相反数 如果 a 表示任何一个实数，那么-a 就是 a 的相反数，a 与-a 互为相反数； 0 的相反数是 0. 2.绝对值 一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0.
系 任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应，但是，数轴上的点并不是
都表示有理数，无理数也可以用数轴上的点表示。由此可见，数轴上表示有理数的点并
不是连续的，只有将有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上
的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的
七年级数学下册两条直线的位置关系(基础)知识讲解
两条直线的位置关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，在正方体中：（1）与线段AB平行的线段_________；（2）与线段AB相交的线段______；（3）与线段AB既不平行也不相交的线段______．【答案】（1）CD、A1B1、C1D1；（2）BC、B B1、A1A、AD；（2）A1D1、D1D、B1C1、CC1．【解析】（1）与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．（2）与线段AB相交的线段的种类为：①交于B点的线段，②交于A点的线段．（3）用排除法，在正方体中除了线段AB外还有11条棱，在这11条棱中排除（1）（2）中的线段，便得到与线段AB既不平行也不相交的线段．【总结升华】考查平行线与相交线的定义．类型二、对顶角、补角、余角2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数．【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系．【答案与解析】解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠3＝∠1＝65°，同理，∠4＝∠2＝115°．综上得，∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．举一反三：【变式】如图所示，两直线相交，已知∠l与∠2的度数之比为3:2，求∠1与∠2的度数．【答案】解：设∠1与∠2的度数分别为3x和2x．根据题意，得3x+2x＝180°．解这个方程得x＝36°，所以3x＝108°，2x＝72°．答：这两个角的度数分别是108°，72°．类型三、垂线3．下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条．②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．③两直线相交，则交点叫垂足．④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C4. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠COE＝55°．则∠BOD的度数为().A．40°B．45°C．30°D．35°【答案】D【解析】要求∠BOD，只要求出其对顶角∠AOC的度数即可．为此要寻找∠AOC与∠COE 的数量关系．因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°，所以∠BOD＝AOC＝35°．【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．5.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
初一下数学知识点
初一下学期的数学知识点主要包括以下几个方面：
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数和分数。
学生需要掌握有理数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
2. 整式的加减：整式是由常数、变量、加、减、乘等运算符号组成的代数式。
学生需要学会整式的合并同类项和去括号等基本运算。
3. 一元一次方程：一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。
学生需要掌握一元一次方程的解法，包括移项、合并同类项、系数化为1等步骤。
4. 图形初步认识：学生需要初步认识线段、角、相交线、平行线等基本图形，了解它们的基本性质和判定方法。
5. 数据的收集与整理：学生需要学会如何收集、整理和描述数据，包括数据的分类、频数、频率、直方图等基本概念和方法。
以上是初一下学期数学的主要知识点，通过学习这些知识点，学生可以打下坚实的数学基础，为后续的数学学习做好准备。
苏教版七年级下册数学[二元一次方程组的相关概念(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习二元一次方程（组）的相关概念（提高）知识讲解【学习目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：2,5.x y =⎧⎨=⎩(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如⎩⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x a y b=⎧⎨=⎩的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526x y x y +=⎧⎨+=⎩无解，而方程组1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．已知方程（m ﹣2）x n ﹣1+2y |m ﹣1|=m 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值．【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答．【答案与解析】解：∵（m ﹣2）x n ﹣1+2y |m ﹣1|=m 是关于x 、y 的二元一次方程，∴n ﹣1=1，|m ﹣1|=1，解得：n=2，m=0或2，若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，则m=0，n=2．【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件．举一反三：【二元一次方程组的概念409142 例1（2）】【变式1】已知方程3241252m n xy +--=是二元一次方程，则m= ，n= . 【答案】-2，14【变式2】方程(1)(1)0a x a y ++-=，当______a a ≠=时，它是二元一次方程，当时，它是一元一次方程．【答案】1±；11-或类型二、二元一次方程的解2.（2016春•新华区期中）已知是方程2x ﹣6my+8=0的一组解，求m 的值．【思路点拨】把方程的解代入方程可得到关于m 的方程，可求得m 的值．【答案与解析】 解：∵是方程2x ﹣6my+8=0的一组解，∴2×2﹣6m ×（﹣1）+8=0，解得m=﹣2．【总结升华】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．【二元一次方程组的概念409142 例2（3）】举一反三：【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是11x m y m =-⎧⎨=+⎩，求m 的值. 【答案】 解：将11x m y m =-⎧⎨=+⎩代入方程2x-y+m-3=0得2(1)(1)30m m m --++-=，解得3m =. 答：m 的值为3.3.写出二元一次方程204=+y x 的所有正整数解.【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏.【答案与解析】解：由原方程得x y 420-=，因为y x 、都是正整数，所以当4321， ， ， =x 时，481216， ， ， =y . 所以方程204=+y x 的所有正整数解为：⎩⎨⎧==161y x ， ⎩⎨⎧==122y x ， ⎩⎨⎧==83y x ， ⎩⎨⎧==44y x .【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解.举一反三：【变式1】（2015春•孟津县期中）已知是关于x 、y 的二元一次方程ax ﹣（2a ﹣3）y=7的解，求a 的值．【答案】 解：把代入方程ax ﹣（2a ﹣3）y=7，可得： 2a+3（2a ﹣3）=7，解得：a=2．【变式2】在方程0243=-+y x 中，若y 分别取2、41、0、－1、－4，求相应的x 的值. 【答案】将0243=-+y x 变形得342y x -=. 把已知y 值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：类型三、二元一次方程组及解4.甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①② 由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩．乙看错了方程②中的b ．得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩．试计算：20112010110a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值． 【思路点拨】把x 、y 的值代入正确的方程，就可以求出字母的值．【答案与解析】解：把31x y =-⎧⎨=-⎩代入②，得-12+b ＝-2，所以b ＝10． 把54x y =⎧⎨=⎩代入①，得5a+20＝15，所以a ＝-1，所以201120112010201011(1)101(1)01010a b ⎛⎫⎛⎫+-=-+-⨯=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它．举一反三：【变式】已知关于,x y 的二元一次方程组41323x ay x by x y +==⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩的解是 ，求的值a b +． 【答案】解：将13x y =⎧⎨=-⎩代入原方程组得：134332a b -=⎧⎨-+=⎩ ，解得113a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以23a b +=-．。
七年级数学重要知识点总结
七年级数学重要知识点总结失败乃胜利之母，重复是学习之母。
学习，需要不断的重复重复，重复学过的学问，加深印象，其实任何科目的〔学习〔方法〕〕都是不断重复学习。
下面是我给大家整理的一些〔七年级数学〕的学问点，希望对大家有所关怀。
初一下册数学学问点〔总结〕北师大版1.1正数与负数在以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫负数(negativenumber)。
与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数(positivenumber)(根据需要，有时在正数前面也加上“+”)。
1.2有理数正整数、0、负整数统称整数(integer)，正分数和负分数统称分数(fraction)。
整数和分数统称有理数(rationalnumber)。
通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴(numberaxis)。
数轴三要素:原点、正方向、单位长度。
在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。
只有符号不同的两个数叫做互为相反数(oppositenumber)。
(例:2的相反数是-2;0的相反数是0)数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的确定值(absolutevalue),记作|a|。
一个正数的确定值是它本身;一个负数的确定值是它的相反数;0的确定值是0。
两个负数，确定值大的反而小。
1.3有理数的加减法有理数加法法则:1.同号两数相加，取相同的符号，并把确定值相加。
2.确定值不相等的异号两数相加，取确定值较大的加数的符号，并用较大的确定值减去较小的确定值。
互为相反数的两个数相加得0。
3.一个数同0相加，仍得这个数。
有理数减法法则:减去一个数，等于加这个数的相反数。
1.4有理数的乘除法有理数乘法法则:两数相乘，同号得正，异号得负，并把确定值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
乘积是1的两个数互为倒数。
有理数除法法则:除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
两数相除，同号得正，异号得负，并把确定值相除。
七年级第二学期数学期中考试知识点总结
七年级第二学期数学期中考试知识点总结七年级第二学期数学期中考试知识点总结总结是事后对某一阶段的学习、工作或其完成情况加以回顾和分析的一种书面材料，它可以使我们更有效率，因此十分有必须要写一份总结哦。
总结怎么写才是正确的呢？下面是小编为大家整理的七年级第二学期数学期中考试知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
七年级第二学期数学期中考试知识点总结1第一章实数考点一、实数的概念及分类（3分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7,32等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根（310分）1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“。
a”π+8等；2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
人教版七年级下数学三角形知识点归纳、典型例题及考点分析
BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。
A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
七年级数学(下)期末复习知识点整理
期末复习二：第五章相交线与平行线知识点概括 一、相交线1、如图1若a 、b 相交，∠1与∠2互为 ，∠1与∠3互为 ， 与∠3互为补角的有 。
2、如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α ∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β 对顶角。
3、如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β= °；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β一定互为 ，∠α与∠β （是、不一定是、不是）邻补角。
二、垂直 ？1、如图2，若AB 与CD 相交于点O ，且∠ = °，则AB 与CD 垂直，记作AB CD ，垂足为 。
2、垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)3、垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
如图3，线段PA 、PB 、PC 最短的是 。
（4、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
如图3点P 到直线a 的距离是 。
5、垂线的画法。
三、三线八角1、两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线b a ,被直线l 所截同位角：内错角：同旁内角：三线八角也可以成模型中看出。
同位角是 型；内错角是 型；同旁内角是 型。
2、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。
—例如：a b】l12 3 45 6 7 \ 8) D 23 4 如图，判断下列各对角的位置关系： ⑴∠1与∠2；（ ）⑵∠1与∠7；（ ）A BC D O —PABC图3a % 12 图1a b-四、平行线的判定与性质1、平行线的概念：在，的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作。
2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过，有且只有与这条直线平行`4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行几何语言：#5、两直线平行的判定方法：判定1：相等，两直线平行判定2：相等，两直线平行判定3：，两直线平行几何符号语言：∵∠3＝∠2∴（）∵∠1＝∠2∴（）∵∠4＋∠2＝180°∴（）<判定4：垂直于同一直线的两直线平行。
苏科版七年级下册数学第7章平面图形的认识(二)知识点总复习及强化练习
平面图形的认识（二）知识点总复习及强化练习【知识梳理】1.平行线的认识（1）认识三线八角：如图，两条直线被第三条直线所截，分成了八个角。
（2）平行的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
（3）平行的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
2.三角形的认识（1）三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（2）三角形的内角和：三角形的内角和是180°（3）三角形内外角关系：一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，等于和它不相邻的两个内角和。
（4）三角形的分类：直角三角形；锐角三角形；钝角三角形。
（5）三角形的三线：角平分线；中线；高线。
3.多边形的外角和与内角和公式。
【例题精讲】题型一：平行的判定与性质例1.如图所示，AB∥CD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．计算(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________.例2.如图，AB∥CD，∠A=120°，∠1=72°，则∠D的度数为__________．题型二：折叠问题例1.如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，ED′的延长线与BC交于点G．若∠EFG=55°，则∠1=__________．与AD交于点G，例2.如图，把矩形ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在A′、B′处．A′B′若∠1 =50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°题型三：多边形的内角和与外角和例1.一多边形内角和为2340°，若每一个内角都相等，求每个外角的度数．．．．．．．。
例2.一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠ABD和∠ACD，应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．例3.如图，已知∠DAB+∠D=180°，AC平分∠A，且∠CAD=25°，∠B=95°（1）求∠DCA的度数；（2）求∠ACE的度数．题型四：拓展延伸例1.如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③.（1）若∠DEF=200，则图③中∠CFE度数是多少？（2）若∠DEF=α，把图③中∠CFE用α表示.例2.如图，△ABC中，BE，CD为角平分线且交点为点O，当∠A=600时，（1）求∠BOC的度数；（2）当∠A=1000时，求∠BOC的度数；（3）若∠A=α时，求∠BOC的度数。
初中数学知识点整理
初中数学知识点整理新学期起先了，在新的学期里面很多七年级的学生进入初中学习，都会因为数学而感到有压力，因此今日我为大家整理了经典的初一数学学问点，盼望对大家有所协助!欢送阅读，仅供参考。
初中数学学问点整理:第一章有理数一、有理数的分类(1)按正负分，分为正有理数、零、负有理数;(2)按整数和分数分，分为整数和分数;二、有关概念(1)相反数：代数意义和几何意义相结合，(2)肯定值：(3)倒数(4)数轴三、有理数大小的比拟主要分为利用数轴比拟和利用肯定值比拟四、有理数的运算(1)运算法那么①加法法那么②减法法那么③乘法法那么④除法法那么⑤乘方法那么(2)运算律① 交换律：a、加法交换律a+b=b+ab、乘法交换律a×b=b×a② 结合律：a、加法结合律a+b+c=(a+b)+cb、乘法结合律a×c+b×c=(a+b)×c ③安排律：(a+b)×c=a×c+b×c五、科学记数法的概念六、近似数的概念例如：例1 某食品包装袋上标有“净含量386克4克”，那么这包食品的合格净含量范围是( )克——390克。
依据正数、负数的意义可知，这包食品的合格净含量范围是(386-4)克——(386+4)克，即382克——390克。
382例2 (1)假如a与-2互为相反数，那么a等于( )A、-2B、2C、-D、依据相反数的特点，即“肯定值相等，符号相反”，可知-2的相反数为2.故正确答案为B。
(2)-5的肯定值是( )A、5B、-5C、D、-有肯定值的概念可知，表示-5的点到原点的距离为5，故-5的肯定值为5。
(3)-的倒数是( )A、B、C、- D、-依据倒数的定义知-的倒数为1÷(- )=-例3 比拟大小：-与-这是两个负数比拟大小，应先比拟它们的肯定值的大小。
= = ，= = 。
例4 计算：有理数加减乘除混合运算依次：先乘除，后加减，有括号应先算括号里的。
北师大版七年级下册数学[三角形及其性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C ＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB 于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系4. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是()【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能构成三角形，不大于则不能构成三角形． 举一反三：【变式】判（2015•泉州）已知△ABC 中，AB=6，BC=4，那么边AC 的长可能是下列哪个值（ ） A ．11 B ．5 C ．2 D ．1 【答案】B ．解：根据三角形的三边关系， 6﹣4＜AC ＜6+4， 即2＜AC ＜10， 符合条件的只有5， 故选：B ．5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对． 类型四、三角形中重要线段6. （2016春•江苏月考）在△ABC 中，画出边AC 上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ；【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部． 举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD -(AC+CD+AD )＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1。
gcrmpc七级下学期数学知识框架
、|!_一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..七年级下学期数学知识梳理第五章相交线与平行线一、知识结构图相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线平行线及其判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理平移二、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
1 / 202 / 20平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
三、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
3 / 20EDCBA性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
四、经典例题例 1 如图，直线AB,CD,EF 相交于点O ，∠AOE=54°，∠EOD=90°，求∠EOB ，∠COB 的度数。
苏教版七年级下册数学[平行线的性质及平移(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平行线的性质及平移（提高）知识讲解【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、图形的平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，各组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．【典型例题】类型一、平行线的性质1.如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.【答案与解析】解：作PM∥AB，交AC于点M，如图：∵AB∥CD∴∠CAB+∠ACD=180°∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD∴∠1+∠4=90°∵AB∥PM∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2+∠3=90°∴∠APC=90°【总结升华】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来体现，在求角度的过程中，如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷．举一反三：【变式】（2016•重庆模拟）如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O，若∠1=42°，则∠2等于（）A．130°B．138°C．140°D．142°【答案】B解：如图：∵AB⊥GH，CD⊥GH，∴∠GMB=∠GOD=90°，∴AB∥CD，∴∠BPF=∠1=42°，∴∠2=180°﹣∠BPF=180°﹣42°=138°，故选B．类型二、两平行线间的距离2.下面两条平行线之间的三个图形，图的面积最大，图的面积最小．【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.【答案】图3，图2【解析】解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.举一反三：【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.【答案】35类型三、图形的平移3.如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?【答案与解析】解：图①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形．图②符合平移的特征，三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO．所以，图②中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到．【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变换．举一反三：【变式】下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是(填写序号)．（1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）摇动的大绳；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．【答案】（2）（6）．解：（1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移；（2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移；（3）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移；（4）摇动的大绳，方向发生改变，不属于平移；（5）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移；（6）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移．∴可以看成平移的是（2）（6）．4.（2015春•天津期末）某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为．【思路点拨】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案．【答案】200m．【解析】解：∵荷塘中小桥的总长为100米，∴荷塘周长为：2×100=200（m）故答案为：200m．【总结升华】此题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键．举一反三：【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2【答案】B类型四、平行的性质与判定综合应用5.(湖南模拟)如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．【答案与解析】解：三个论断分别可以组成①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可．以①②⇒③为例，说明如下已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF．理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确．【平行线的性质及命题403103 平行线的性质练习1】举一反三：【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .【答案】115°6.如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N 与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的结论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的结论.【答案与解析】解：（1）75°；（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.又∵AB∥CD，∴∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.∴∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.举一反三：【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是()A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D。
七年级数学知识点总结归纳大全
七年级数学知识点总结归纳大全经过一年的学习，你掌握了哪些知识点呢，一起来查漏补缺吧!下面是由编辑为大家整理的“七年级数学知识点总结归纳大全”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
七年级数学知识点总结归纳大全七年级数学知识点总结11.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;π不是有理数;(2)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性;2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2)绝对值可表示为：绝对值的问题经常分类讨论;(3)a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|?|b|=|a?b|,5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数<0.七年级数学知识点总结2二元一次方程组1.二元一次方程:含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.注意:一般说二元一次方程有无数个解.2.二元一次方程组:两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.注意:一般说二元一次方程组只有解(即公共解).4.二元一次方程组的解法:(1)代入消元法;(2)加减消元法;(3)注意:判断如何解简单是关键.※5.一次方程组的应用:(1)对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则难列易解(2)对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值;(3)对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系.一元一次不等式(组)1.不等式:用不等号，把两个代数式连接起来的式子叫不等式.2.不等式的基本性质:不等式的基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变;不等式的基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;不等式的基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变.3.不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解;不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集.4.一元一次不等式:只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式;它的标准形式是ax+b0或ax+b0，(a0).5.一元一次不等式的解法:一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应用;注意:在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点.七年级数学知识点总结3整式的加减一、代数式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
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七年级下学期数学知识梳理第五章相交线与平行线一、知识结构图相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线平行线及其判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理二、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
三、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
EDCBA垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
四、经典例题例1 如图，直线AB,CD,EF 相交于点O ，∠AOE=54°，∠EOD=90°，求∠EOB ，∠COB 的度数。
例2 如图AD 平分∠CAE ，∠B = 350，∠DAE=600，那么∠ACB 等于多少？例3 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不 相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数为( )。
A ．450、450、900 B ．300、600、900C ．250、250、1300D ．360、720、720ED CBA21例4 已知如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数。
例5 如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB 、CD 交于G 、H ，MN ⊥AB 于G ，∠CHG=1240，则∠EGM 等于多少度？第六章 平面直角坐标系一、知识结构图有序数对 平面直角坐标系平面直角坐标系用坐标表示地理位置 坐标方法的简单应用用坐标表示平移 二、知识定义有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记做（a,b ）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x 轴或横轴；竖直的数轴称为y 轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
坐标：对于平面内任一点P ，过P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别在x 轴，y 轴上，对应的数a,b 分别叫点P 的横坐标和纵坐标。
象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
FEDCBAN MH GFE DCBA三、经典例题例1 一个机器人从O 点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5•点，如果A1求坐标为（3，0），求点 A5•的坐标。
例2 如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可表示为( ) A 、(0，3) B 、(2，3) C 、(3，2) D 、(3，0)例3 如图2，根据坐标平面内点的位置，写出以下各点的坐标：A( )，B( )，C( )。
例4 如图，面积为12cm2的△ABC 向x 轴正方向平移至△DEF 的位置，相应的坐标如图所示（a ，b 为常数）， （1）、求点D 、E 的坐标 （2）、求四边形ACED 的面积。
例5 过两点A （3，4）,B （-2，4）作直线AB ，则直线AB( )A BC例2A、经过原点B、平行于y轴C、平行于x轴D、以上说法都不对第七章三角形一、知识结构图边与三角形有关的线段高中线角平分线三角形的内角和多边形的内角和三角形的外角和多边形的外角和二、知识定义三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
三、公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）〃180°多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
（2）n边形共有23)-n(n条对角线。
四、经典例题例1 如图，已知△ABC中，AQ=PQ、PR=PS、PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，有以下三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，其中( )．(A)全部正确 (B)仅①正确 (C)仅①、②正确 (D)仅①、③正确例2 如图，结合图形作出了如下判断或推理：①如图甲，CD⊥AB，D为垂足，那么点C到AB的距离等于C、D两点间的距离；②如图乙，如果AB∥CD，那么∠B=∠D；③如图丙，如果∠ACD=∠CAB，那么AD∥BC；④如图丁，如果∠1=∠2，∠D=120°，那么∠BCD=60°．其中正确的个数是( )个．(A)1 (B)2 (C)3 (D)4例3在如图所示的方格纸中，画出，△DEF和△DEG(F、G不能重合)，使得△ABC≌△DEF≌DEG．你能说明它们为什么全等吗?例4 测量小玻璃管口径的量具CDE上，CD=l0mm，DE=80mm．如果小管口径AB正对着量具上的50mm刻度，那么小管口径AB的长是多少?例5 在直角坐标系中，已知A(-4，0)、B(1，0)、C(0，-2)三点．请按以下要求设计两种方案：作一条与轴不重合，与△ABC的两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC 面积的．分别在下面的两个坐标中系画出设计图形，并写出截得的三角形三个顶点的坐标。
第八章二元一次方程组二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是 ax+by=c(a ≠0,b≠0)。
二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
三、经典例题例1用加减消元法解方程组，由①×2—②得。
例2 如果是同类项，则、的值是（）A、＝－3，＝2B、＝2，＝－3C、＝－2，＝3D、＝3，＝－2例3 计算：例4 王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。
其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。
问王大伯一共获纯利多少元？例5 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
第九章不等式与不等式组一、知识结构图二、知识定义不等式：一般地，用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
三、定理与性质不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变四、经典例题例1 当x 时，代数代2-3x的值是正数。
例 2 一元一次不等式组的解集是（）A．-2＜x＜3 B．-3＜x＜2 C．x＜-3D．x＜2例3已知方程组的解为负数，求k的取值范围。
例4 某种植物适宜生长在温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0。
5℃，现在测出山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山的哪一部分为宜？（假设山脚海拔为0米）例5 某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。