2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(宁夏.海南.理)含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式： 样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ）Ａ．23-Ｂ．13-Ｃ．13Ｄ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）Ａ．2450 Ｂ．2500Ｃ．2550Ｄ．26526．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上， 且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·7．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．4yx11-2π-3π- O 6ππyx11-2π-3π- O 6ππ y x11-2π-3πO 6π-πyxπ 2π-6π-1O1-3π Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．开始1k = 0S =50?k ≤是2S S k =+1k k =+否输出S 结束8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 9．若c o s22π2s i n 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则c o s s i n αα+的值为（ ） Ａ．72-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．7210．曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．231s s s >>12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ） Ａ．3:1:1Ｂ．3:2:2Ｃ．3:2:2Ｄ．3:2:3甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 55乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 46丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 642020正视图20侧视图10 1020俯视图第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数(1)()()x x a f x x ++=为奇函数，则a = ．15．i 是虚数单位，51034ii-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，） 16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值． 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．OSBAC20．（本小题满分12分） 如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值EX ；（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．附表：1000010000()0.250.75ktt t t P k C-==⨯⨯∑k2424 2425 2574 2575 ()P k0.04030.04230.95700.959021．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2． 22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（Ⅰ）证明AP O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．22．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲D C BAMAP OM CB设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案（宁夏）一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ二、填空题 13．3 14．1- 15．12i +16．240三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．证明： （Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC△为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且22SO SA =，从而222OA SO SA +-． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ． （Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结A M O M ，，由（Ⅰ）知S O O C S A A ==，，得O M S C A M S⊥⊥，． OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．OSBACM由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又32AM SA =， 故26sin 33AO AMO AM ∠===． 所以二面角A SC B --的余弦值为33． 解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 00MO SC MA SC ==，∴··．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SCB --的平面角．3cos 3MO MA MO MA MO MA<>==，··， 所以二面角A SC B --的余弦值为33． 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=． 整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭， OSBA CMx zy解得22k <-或22k >．即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，， 由方程①，1224212kx x k+=-+． ② 又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(21)A B AB =-，，，，，． 所以OP OQ +与AB 共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得22k =． 由（Ⅰ）知22k <-或22k >，故没有符合题意的常数k ．20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =． 依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）11000025004EX =⨯=． （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75tt t t C-==⨯⨯∑2574242510000100001100001000024260.250.750.250.75tt ttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑0.95700.04230.9147=-=．21．解：（Ⅰ）1()2f x x x a'=++， 依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<； 当12x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+． 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-． （ⅰ）若0∆<，即22a -<<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0∆=，则2a -或2a =-．若2a =，(2)x ∈-+，∞，2(21)()2x f x x -'=+．当22x =-时，()0f x '=，当22222x ⎛⎫⎛⎫∈---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．若2a =-，(2)x ∈+，∞，2(21)()02x f x x -'=>-，()f x 也无极值．（ⅲ）若0∆>，即2a >或2a <-，则22210x a x ++=有两个不同的实根2122a a x ---=，2222a a x -+-=．当2a <-时，12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值． 当2a >时，1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为(2)+，∞． ()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln22ef x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．22．Ａ（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．于是180OPA OMA ∠+∠=°． 由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°． 22．Ｂ解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=． 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．APOM CB。