(7)分数应用题之工程问题
分数应用题之工程问题
第五讲：分数应用题之工程问题①工程问题的解题关键是把“一项工程”看成一个整体，即单位“1”，抓住基本数量关系：工作效率×工作时间=工作总量②在多人参与工作的工程问题中，数量关系为：工作总量=各部分的工作量之和③一些稍复杂的分数应用题、流水、行程问题，实质也可以用工程问题的思路解决，要善于抓住问题的本质特征，把它看作工程问题来解决。
例1：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独20天完成，丙单独做15天完成。
（1）甲、乙两队合作同时开工，需要多少天完成这项工程？（2）乙、丙两队合作同时开工，需要多少天完成这项工程？（3）甲、乙、丙三队合作同时开工，需要多少天完成这项工程？（4）甲队单独做5天后，剩下工作的由乙队接替，还要多少天才能完成？（5）甲、乙两队先合作4天，乙队应故离开，剩下的工作甲队独做还要多少天？（6）乙、丙两队先合作5天后，丙队也加入一起工作，还要多少天才能完工？（7）甲、乙两队先合作3天，之后甲队离开，丙队加入，还要多少天才能完成？（8）甲、乙、丙三队先合作1天后，甲队因故离开，又做了2天后，丙队也因故离开，剩下的工作乙队还要做多少天才能完工？练习1：一份稿件，A打字员单独打完要5小时，B打字员单独打完要4小时，C打字员单独打完要8小时。
（1）A、B两个打字员合作打完要几小时？（2）A、B、C三个打字员合作打完需要几小时？（3）B打字员先打2小时，剩下的由A、C两个打字员合作打完还需要多少小时？（4）B、C两打字员合作2小时后，B打字员因故离开，打完剩下的还要多长时间（5）A、B两个打字员先合作1小时后，C打字员也加入工作，打完这篇稿件一共要多长时间？（6）A、C两个打字员先合作2小时，之后A打字员有事离开，B打字员加入工作，还要多久完成这篇稿件？例2：一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。
甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。
乙请假多少天?练习2：（1）搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。
分数问题(工程应用题)
分数应用题（工程问题）教学内容：本内容是人教版六年级（上）第三单元分数应用题教材分析工程问题是用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
它的解题思路与整数应用题基本相同，仍然是工作总量除以工作效率等于工作时间，只是题中没有给出具体的工作总量，解答时要把工作总量作为单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一来表示工作效率。
这样，由于计算的不是具体的数量，有的学生往往感到抽象、不易理解。
为此，教材先通过复习题，让学生熟悉怎样用单位“1”来表示工作总量，以及用完成工作总量的几分之一来表示工作效率等条件。
然后，通过例9先以整数应用题引入，给出一段公路的具体长度（即工作总量），和两队单独修的工作时间，求合修要用多少天。
再把这段公路的具体长度去掉，启发学生想，还能不能解答。
由此引导学生用分数来解答。
教学设计教学内容：教材79页例9及做一做练习二十第1、2、3、4题教学目标：（一）知识目标：认识工程问题的结构特点，理解并掌握工程问题的解题方法。
（二）能力目标：1、会正确解答一般的工程问题。
2、培养学生、解答应用题的能力。
（三）情感价值观目标：培养学生具体问题具体分析的良好习惯。
教学过程：一、铺垫孕伏1、说出下面每道题里的数量关系（1）一台织布机每小时织布20米，3小时织布多少米？（2）一台织布机3小时织布60米，每小时织布多少米？（3）一台织布机每小时织布20米，织布60米要几小时？教师按顺序出示各题，学生回答后教师板书数量关系式，并读一读。
板书：工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作时间＝工作效率工作总量÷工作效率＝工作时间2、投影出示79页复习题（1）指名读题后教师问：这道题工作总量是多少？“1/5”是把谁看作单位“1”？表示什么？3、投影出示79页复习题（2）指名读题后教师问：这道题求的是什么？怎样列式？你能说一说是怎样想的吗？二、探究新知1、投影出示例9例9 一条公路长30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。
工程问题
1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一． 工程问题的基本概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，知识精讲 教学目标 工程问题工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲模块一、工程问题基本题型【例1】（难度等级※）一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的128，乙每天完成总量的121，两人合作每天能完成总量的111282112+=，所以两人合作的话，需要111212÷=天能够完成． 【例 2】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的130，甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111123020-=，所以乙单独做112020÷=天能完成． 【巩固】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的121，甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111122128-=，所以乙单独做28天能完成．【例 3】 （难度等级 ※※）甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了225小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?【解析】 乙单独加工，每小时加工11181224-= 甲调出后，剩下工作乙需做21184(12)58245-⨯÷=时所以乙每小时加工零件84420255÷=(个)，则225小时加工2252605⨯=(个)，所以乙一共加工零件420+60＝480(个)． 【巩固】 （难度等级 ※※）一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【解析】 共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。
工程问题
工程问题【基础知识】工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题，“工程问题”一般是把工作总量作为单位“1”。
因此工作效率就是工作时间的倒数，它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率=工作时间工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。
下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并给出详细的解答过程，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。
有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。
工程问题公式1.一般公式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间2.用假设工作总量为“1”的方法解工程问题公式：1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几。
1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
注意：用假设解工程时，可任意假定工作量为2，3，4，5……，特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。
【经典例题】例题1.加工一批零件,甲单独做要12小时,乙单独做有10小时,丙单独做要15小时.如果要求这批零件在8小时以内做完,应该怎么办?请你设计一个方案,并计算出需要几小时?【思路导航】这是一道开放题，方法有多种，如（1）若由甲、乙合作，完成时间是：1÷(112 + 110 )=6011(时) （2）若由甲、乙、丙合作，完成时间是：1÷(112 + 110 + 115)= 4(时) （3）若由甲先做2小时，再由乙、丙合作，完成时间是：（1- 112 ×2）÷（110 + 115）+2=7(时) 练习11. 修一条水渠,甲工程队单独修20天完成,乙工程队单独修15天完成,丙工程队单独修30天完成。
分数应用题必考点——小升初压轴题之工程问题
分数应用题必考点——小升初压轴题之工程问题工程问题是小学数学应用题教学中的重点，也是难点，是分数应用题中的必考知识点，通过解答工程类应用题不仅可以提高学生的抽象逻辑思维能力，而且还可以提高学生对代数的运算。
下面我们就来看看工程类应用题的题型有哪些。
在进行解题之前，我们要清楚的知道工程问题中涉及的相关公式及其所表示的意义：（1）工作效率×工作时间=工作总量 （2）一般假设工程总量为单位"1" 题型一：甲乙共同完成一项工程例：一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共用了16天，问乙队休息了多少天？分析：①，由题意可知：甲的工作效率=201，乙的工作效率=301 ②，假设甲乙中途不休息，一直干活，那么这项工程完成的天数为：1÷（201+301）=12天 ③，由于甲乙中途休息导致这项工程多做了4天才完成，那么这4天甲乙所完成的工作量就是甲乙休息时所耽误的工作量，则4天工作总量为：4×（201+301）=31，已知甲休息了3天，则乙休息的天数为：（31－3×201）÷301=215（天） 题型二：甲乙分别完成两项工程例：A 、B 两项工程分别由甲、乙两个队来完成。
在晴天，甲队完成A 工程需要12天，乙队完成B 工程需要15天，在雨天，甲队的工作效率要下降40%，乙队的工作效率要下降10%，现在，两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？分析：①，由题意可算出如图的相关效率：甲雨天施工效率=121×（1－40%）=201；乙雨天施工效率=151×（1－10%）=503②，设雨天共有x 天，（1－201x ）÷121=（1－503x ）÷151 解之得x =10 （天）题型三：甲乙共同完成两项工程的最少时间例：有A 、B 两项工作，王师傅独做A 工作要9天完成，独做B 工作要12天完成；李师傅独做A 工作要3天完成，独做B 工作要15天完成。
工程问题分数应用题部分
1. 一项工程，甲单独要12天完成，乙单独要15天完成，两队合作要多少天完成2. 一项工程，甲单独要12天完成，乙单独要15天完成，两队合作要多少天完成这项工程的32%3. 一项工程，甲乙两队队合作要12天完成，先由甲单独做5天，接着乙又单独做了6天，还有这项工程的2011没做，甲乙单独完成这项工程各需多少天4. 一项工程，甲乙两队队合作要12天完成，先由甲单独做5天，然后两人合作3天，接着乙又单独做了7天，还有这项工程的154没做，甲乙单独完成这项工程各需多少天5. 一项工程，甲单独要20天完成，乙单独要12天完成。
如果甲先做几天，然后乙做完，共用了14天。
甲乙各做了多少天6.7. 一项工程，甲单独要10天完成，乙单独要12天完成，丙单独要15天完成。
现在三人合作，中途甲休息1天，乙休息2天。
三人完成这项工程一共要多少天8. 一个水池，装满水后单开甲管，15小时可以把水放完，单开乙管12小时可以把一空水池注满水，那么两管同时开启，多少时间可以把一个空水池注满水，9. 一个水池，单开甲管 和乙管要把这个空水池注满分别需要12和15分钟。
单开丙管10分钟可以把一满水池的水放完，问三管同时开启，多少小时可以把一个空水池注满10. 把一些苹果分给本班男生，每人可以分得12个，分给本班女生，每人可以分4个，分给全班学生每人分多少个，11. 甲、乙两个打字员打印一本书稿，如果合打8天完成，甲单独打12天完成，实际上是乙打了若干天后，再由甲继续完成。
全部共用了15天。
甲、乙两个打字员各工作多少天12. !13. 加工一批零件，甲、乙两人合做24天可以完成，现在由甲先做16天，然后由乙单独做12天，还剩下这批零件的2/5没有完成。
已知甲每天比乙多加工3个零件。
这批零件共有多少个14. 有甲、乙两根水管，分别同时给A 、B 两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5 .经过2 31小时，A 、B 两池中注入的水之和恰好是一池 .这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A 池时，乙管再经过多少小时注满B 池—15. 甲乙两台抽水机排出井内积水，在工作过程中，每小时向井内流入现在井水的，如果不向井内流水，排净井内积水需要的时间是，甲机独抽需10小时，乙机独抽需15小时，如果两机同时开始工作，需几小时将井内水和流入的水全部抽干16. %17. 修一条公路，甲单独要8天，乙单独要5天，现在按照甲·乙·甲·乙。
分数除法工程问题(含答案)
分数除法应用题----工程问题适用学科小学数学适用年级小学六年级适用区域全国通用课时时长（分钟）120分钟知识点工程问题基本关系式教学目标理解工程问题三个基本关系式教学重点应用工程问题基本关系式解决工程问题教学难点应用工程问题基本关系式解决工程问题教学过程课堂导入同学们，我们无论做什么都要讲究效率，高效率可以使我们出色节省时间的去完成一项任务，那么生活中，各种各样的因为工作效率而导致工作结果的事情特别多，今天我们就来一起研究一下这个问题------工程问题。
知识讲解工作总量=工作效率×工作时间工作时间=工作总量÷工作效率工作效率=工作总量÷工作时间例题精析一本书，湉湉利用8天时间看完，她每天看这本书的几分之几？小明单独打印一份文件需要5小时，要打印这份文件的2/3需要多少小时？修一条水渠，甲工程队单独修10天完成，乙工程队单独修15天完成，两队合修，多少天完成？课堂运用4.方芳12天看完3本书，她每天看这些书的几分之几？5.一条路9天可以修完，这个工程队多少天可以修这条路的2/3？【巩固】1.修一条水渠，甲工程队单独修12天完成，乙工程队单独修20天完成，两队合修，多少天完成？2.一批零件，师傅单独做需要4小时完成，徒弟单独做需要8小时完成，师徒两人合作，需要几小时完成？【拔高】1.一个水池有甲、乙两个水管，单开甲管两小时可以把水注满，单开乙管3小时可以把满池水放完。
如果同时打开甲、乙两管，几小时后水池可以注满？课堂小结工程问题，把握住几个关键公式，所有问题只要分析清楚，都是不难的。
课后作业【基础】1.正方形边长90米，周长多少米？【巩固】.长方形周长980米，宽比长短50米，长和宽各是多少？【拔高】下图是由16个同样大小的正方形组成的一个“5”字形，已知它的面积是400cm2，求它的周长。
分数工程问题应用题解答技巧
分数工程问题应用题解答技巧
解答分数工程问题的应用题需要掌握一些技巧，下面我将从多个角度进行详细介绍。
首先，解答分数工程问题的应用题时，我们需要对分数的基本概念有清晰的理解。
分数是指一个整体被分成若干等份，每一份的大小。
在解答应用题时，要能准确理解分数的意义，比如一半、四分之三等概念，并能够将其转化为数学运算。
其次，解答分数工程问题的应用题需要善于转化问题。
有时候问题本身可能并不直接涉及分数，但我们需要将问题转化为分数的形式进行计算。
比如将一段距离按照比例划分，或者将某个量按照比例分配等情况，都需要我们善于将问题转化为分数运算。
另外，解答分数工程问题的应用题需要善于运用分数的加减乘除规则。
在实际问题中，我们可能需要对分数进行加减乘除运算，因此需要熟练掌握分数的加减乘除规则，并能够灵活运用到具体的问题中去。
此外，解答分数工程问题的应用题时，需要善于理解问题的实
际意义。
有些问题可能涉及到实际的长度、面积、容积等概念，我
们需要能够准确地理解这些概念，并将其转化为分数运算进行求解。
最后，解答分数工程问题的应用题需要多加练习。
只有通过大
量的练习，我们才能够熟练掌握分数的运算规则，并能够灵活运用
到实际问题中去。
总的来说，解答分数工程问题的应用题需要我们对分数的概念
有清晰的理解，善于转化问题，熟练掌握分数的加减乘除规则，并
能够理解问题的实际意义，多加练习。
希望以上的介绍能够帮助你
更好地解答分数工程问题的应用题。
六年级上册数学教案--《工程问题》人教版
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了工程问题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对工程问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
六年级上册数学教案--《工程问题》人教版
一、教学内容
《工程问题》选自六年级上册数学教材，是人教版第七单元《分数除法应用题》中的重点内容。本章节主要涉及以下知识点：
1.理解工程问题的概念，掌握工程问题的解题步骤。
2.学会运用工作量、工作效率、工作时间的关系进行工程问题的计算。
3.能够解决简单的工程问题，例如：并联工程、串联工程、分数工程等。
4.设计不同难度的工程问题，逐步提高学生的解题能力，鼓励学生分享解题思路，相互学习，共同进步。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《工程问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过几个人合作完成一项任务的情况？”（如家庭大扫除、学校运动会准备等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索工程问题的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调工程问题的解题步骤和分数除法的应用这两个重点。对于难点部分，如并联工程与串联工程的区分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与工程问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如模拟甲乙两人合作完成工程，观察并记录结果。
工程问题
例题5：
师徒二人合作10天可以完成一批零件。现在师傅先做1天后离开，徒弟接着做5天，这时还剩下这批零件的23/30。已知土地一共比师傅多加工96个。求这批零件有多少个？
分析：把这批零件看成单位1,师徒二人的工作效率的和为1/10。现在“师傅先做1天后离开，徒弟再接着做5天”可以转化为“师徒二人合作1天后，徒弟再接着单独做4天”完成了这批零件的1-23/30=7/30 师徒二人合作1天完成了1/10 可见徒弟单独做4天一共完成了这批零件的7/30-1/10=2/15 徒弟每天完成2/15÷4=1/30 师傅的工作效率为1/10-1/30=1/15 徒弟一共做了5天，一共完成了1/30×5=1/6 师傅1天1共完成了1/15×1=1/15 所以徒弟比师傅一共多完成了这批零件的1/6-1/15=1/10…….徒弟比师傅多完成的分率对应 徒弟比师傅多完成的量96个零件。
4、再根据公式 工作总量÷工作效率=工作时间 来解题。
分数应用题里面有一个非常重要的公式
对应量÷对应分率=单位1
举个例子：
现在有一条公路要修，甲工程队5天可以修完。又知道甲工程队星期一修了600米，请问这条公路全长多少米？
分析：首先把这条公路全长看成单位1。5天修完，那么每天就修1/5，这个1/5是每天修的，是用分率表示的工作效率，而题目中还告诉我们甲工程队每天（星期一就是一天的时间）可以修600米，这个600米的工作效率是一个具体的数量，其实1/5和600米都是讲的甲工作队的工作效率，是甲工程队的工作效率的两种不同表示方法，一个是分率一个是量。两者是对应的关系。
利用 对应量÷对应分率=单位1
96÷1/10=960（个）…...单位1即这批零件的个数总数。
例题6：
分数除法应用题例7工程问题
②“1.5＋1”求的是什么？ （两队合修1天的长度。）
18km
18km
18km
1.5km
1km
（1.5＋1）km
18÷12＝1.5（km） 18÷18＝1（km） 18÷（1.5＋1）＝ （天）
5
36
①“30÷12＝ ”求的是什么？ （一队1天修的长度。） “30÷18＝ ”求的又是什么？ （二队1天修的长度）
20
1
30
1
2．某水库遭遇暴雨，水位已经超过警戒线，急需泄洪。这个水库有两个泄洪口。只打开A口，8小时可以完成任务，只打开B口，6小时可以完成任务。如果两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？
1．甲车从A城市到B城市要行驶2小时，乙车从B城市到A城市要行驶3小时。两车同时分别从A城市和 B城市出发，几小时后相遇？
2
5
3
5
分析与解答
问题：
预设2：
30km
30km
30km
km
km
( ) km
30÷12＝ （km） 30÷18＝ （km） 30÷（ ＋ ）＝ （天）
2
5
3
5
2
5
3
5
5
36
②“ ＋ ”求的是什么？ （两队合修1天的长度。）
2
5
3
5
分析与解答
问题：
18
1
12
1
36
5
5
36
求的是什么？ 呢？
（一队1天修完这条路的几分之几； 二队1天修完这条路的几分之几。）
12
1
18
1
③“ ＋ ”求的是什么？
12
1
181ຫໍສະໝຸດ 分析与解答问题：② 为什么我们假设这条路的长度不同，但最终的结果是相同的呢？
小升初专题：工程问题
小升初专题：工程问题工程问题是小学数学应用题教学中的重点。
它是分数应用题的引申与补充，也是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，因此具有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
其中，工作总量一般抽象成单位“1”，工作效率指单位时间内完成的工作量。
解决工程问题有三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。
基础的工程问题包括例1、例2和例3.这些问题都是关于完成一项工程所需时间的计算。
例如，例1中，甲单独做需要12天，乙单独做需要15天，那么两人合作需要多少天完成？这类问题可以用工作总量公式解决。
休息请假型的工程问题包括例4和例5.这些问题需要考虑到中途休息和请假的情况。
例如，例4中，甲单独做了40天完成，乙单独做了60天完成。
现在两人合作，中间甲因病休息若干天，所以经过了27天才完成。
问甲休息了几天？这类问题需要用到工作时间公式。
为了更好地解决工程问题，学生需要掌握正确的概念和基本公式，同时多做练，熟练掌握不同类型的问题解决方法。
题目中的数值有明显错误，请勿使用。
题型三：多人工程问题例7：一件工程，甲乙两人合作8天可以完成，乙丙两人合作6天可以完成，丙丁两人合作12天可以完成。
那么，甲丁两人合作多少天可以完成？改写：一项工程，甲乙两人合作8天可完成，乙丙两人合作6天可完成，丙丁两人合作12天可完成。
问甲丁两人合作需要多少天才能完成？练：完成一项工作，已知甲和乙一起需要2小时，乙和丙一起需要5小时，丙和甲一起需要4小时，甲乙丙一起需要多少小时？改写：完成一项工作，已知甲乙合作2小时，乙丙合作5小时，丙甲合作4小时，甲乙丙一起需要多少小时才能完成？例8：修筑一条高速公路，若甲乙丙合作，90天可以完成；若甲乙丁合作，120天可以完成；若丙丁合作，180天可以完成；若甲乙合作36天后，剩下的工程由甲乙丙丁合作，还需要多少天可以完工？改写：修建一条高速公路，甲乙丙合作需要90天，甲乙丁合作需要120天，丙丁合作需要180天。
7.分数应用题：工程问题(典型例题)
工程问题：典型应用题1. 甲、乙两队合做一项工程24天完成。
若甲队先做6天，然后乙队接着做4天，则只能完成这项工程的51，求甲、乙两队单独完成这项工程各要多少天？ （小升初试题 一中）2. 一项工程，甲、乙两人合做36天完成，乙、丙两人合做45天完成。
现在甲、乙、丙三人合做15天后，余下的工程再由乙独做30天完成，求乙独做这项工程多少天可以完成？3. 一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成这项工程的一半。
已知甲、乙的工作效率之比为2：3，若由乙单独完成这项工程要多少天？4. 客车从甲地开往乙地要用8小时，货车从乙地开往甲地要用12小时。
现在两车同时从甲、乙两地相向而行，6小时后两车相距56千米，求甲、乙两地相距多少千米？练习：从甲地到乙地，快车要6小时，慢车要8小时。
若两车同时从两地相向开出，在距两地中点30千米处相遇，求甲、乙两地相距多少千米？1. 一项工程，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。
现在甲、丙先合做2小时后，余下的由乙独做用了6小时，求乙独做这项工程共要用多少小时？ （长青竟赛试题）2. 一项工程，甲独做12小时完成，乙独做15小时完成，丙独做18小时完成。
若先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由丙接替乙工作1小时。
再由甲接替丙工作1小时……，三人这样交替工作，则完成这项工程一共要多少小时？3. 甲、乙、丙三个工程队合做一项工程，甲、乙两队合做6天完成这项工程的31，乙、丙两队合做2天完成余下工程的41，剩下的工程三个队又合做5天才完成。
已知整个工程的报酬为54000元，按每个队完成的工作量的多少来合理分配，求三个工程队各得多少元？4. 甲、乙两个工程队合做一项工程要20天完成。
若甲队先独做8天，乙队再独做12天，则还剩下全工程的158没完成。
求甲、乙两队单独做各要多少天完成？5. 一项工程单独做，甲队12天完成，乙队20天完成，丙队15天完成。
现在甲、乙两队合做4天后，余下的再由乙、丙两队合做完成。
小升初小学数学分数问题应用题专题练习《工程问题》答案详解
分数问题—专题练习《工程问题》一．选择题1．（2019•株洲模拟）王师傅计划加工一批零件，如果实际工作时效率比计划提高20%，那么可提前1小时完成任务；如果王师傅要想比计划提前2小时完成任务，那么王师傅的工作效率就要比计划提高( ) A ．40%B ．50%C ．60%D ．70%【分析】从开始提高20%，那么工作效率是原来的6120%5+=，工作时间与工作效率成反比例，工作时间是原来的56，工作时间提前了16，它对应的时间是1小时，由此求出原来用的时间；如果王师傅要想比计划提前2小时完成任务，可以求出现在的工作时间和工作效率，对比计划的效率即可求出现在比计划提高了多少．【解答】解：6120%5+=因为工作总量一定，工作效率与工作时间成反比，所以工作时间变为原来的56计划用的时间：51(1)66÷-=（小时）现在的时间：624-=（小时） 现在的工作效率：1144÷= 计划的工作效率：1166÷=111()100%50%466-÷⨯= 所以工作效率比计划提高了50%． 故选：B ．2．（2019•防城港模拟）一件工作，甲独做12小时可以完成，现在甲、乙合做3小时后，甲因事外出，剩下的工作乙又用了154小时完成，如果这件工作全部由乙做，需要( )小时可完成．A ．10B ．11C ．8D ．9【分析】甲单独做需要12小时完成，则甲每小时完成总工作量的112，甲乙合作3小时，则甲完成了全部的1312⨯，乙完成了全部的11312-⨯，又这一过程中乙始终在工作，工作了1354+小时，所以乙单独完成需11(35)(13)412+÷-⨯小时．【解答】解：11 (35)(13)412 +÷-⨯18.25(1)4=÷-38.254=÷11=（小时）答：如果这件工作全部由乙做，需要11小时．故选：B．3．（2019•株洲模拟）在一次学校义务劳动中，安排20人挖土，28人抬土．据观察发现1人挖出的土，需2人才能及时抬走，那么应从挖土人员中抽调()人到抬土队伍中来．A．2人B．4人C．6人D．8人【分析】设x人去挖土，则有(48)x-人运土，正好能使挖出的土及时运走可列方程求解．【解答】解：设x人去挖土，248x x=-248x x+=16x=20164-=（人)答：应从挖土人员中抽调4人到抬土队伍中来．故选：B．4．（2018•溧阳市）甲、乙两个工程队修一段120米的公路，如果甲工程队单独修，18天可以完成；乙工程队单独修，15天可以完成．甲、乙两个工程队合修，每天一共完成这项工程的()A．111815+B．1201201815+C．5665+【分析】把这项工程的工作量看成单位“1”，甲工程队单独修，18天可以完成，那么甲每天可以完成这项工程的118，乙工程队单独修，15天可以完成，乙每天完成这项工程的115，把它们相加即可求出两队合修每天一共完成这项工程的几分之几．【解答】解：1111 181590 +=答：每天一共完成这项工程的11 90．故选：A．5．（2018•成都）加工一批零件，前一半时间加工的零件个数和后一半时间加工的个数之比是3:2，则加工前一半零件所需的时间是加工后一半零件所需时间的( ) A ．57B ．23 C ．112D ．无法确定【分析】运用赋值法，令零件总数是10个，共用时间是2分钟，那么第一分钟加工了6个，第二分钟加工了4个；前6个零件用1分钟，那么一共零件就用16分钟，由此求出前5个零件用的时间，用2分钟减去前5个零件用的时间就是后5个零件用的时间；然后用前5个零件用的时间除以后5个零件用的时间即可． 【解答】解：令零件总数是10个，共用时间是2分钟； 325+=；第1分钟加工零件数：31065⨯=（个)，每个零件用时16分钟； 15566⨯=（分钟）； 55(2)66÷-， 5766=÷， 57=；答：加工前一半零件所需的时间是加工后一半零件所需时间的57．故选：A ． 二．填空题6．（2019•上街区）加工西服要三道工序，专做第一、二、三工序的工人毎小时分别能完成西服30套、24套、20套，现有90名工人，要使每天三道工序完成的套数相同，每道工序人数分别是 24名 、 、 名．【分析】要使每天三道工序完成的套数相同，30235=⨯⨯，242223=⨯⨯⨯，20225=⨯⨯，那么30、24和20的最小公倍数是22235120⨯⨯⨯⨯=，然后用这个最小公倍数分别除以30、24、20，求出每道工序的人数比，然后再根据按比分配的方法进行解答．【解答】解：30235=⨯⨯，242223=⨯⨯⨯，20225=⨯⨯； 那么30、24和20的最小公倍数是22235120⨯⨯⨯⨯=； 120304÷= 120245÷=120206÷=要使每天三道工序完成的套数相同，那么第一、二、三工序的人数比是4:5:6；第一道工序的人数是：49024456⨯=++（名) 第二道工序的人数是：59030456⨯=++（名) 第三道工序的人数是：69036456⨯=++（名)答：第一、二、三道工序人数分别是24名、30名、36名． 故答案为：24名、30名、36．7．（2019•湖南模拟）一项工程，甲乙合作每小时完成全工程的16，如果甲先做4小时，乙再做3小时，还剩工程的25没完成．那么如果甲单独做，几小时能完成任务？ 【分析】由题意，甲先做4小时，乙再做3小时，可以看作是甲乙合作3小时后甲又做了1小时，完成了工程的2(1)5-，由此用21(1)356--⨯可求得甲的工作效率，由要求甲单独做几小时能完成任务，根据“工作量÷工作效率=工作时间”列式解答即可． 【解答】解：211[(1)3]56÷--⨯ 311[(]52=÷- 1110=÷10=（小时）答：如果甲单独做，10小时能完成任务．8．（2019•宁波）粗蜡烛和细蜡烛长短一样．粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时．同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍．问这两支蜡烛点了103时间？ 【分析】本题的等量关系为：剩余的粗蜡烛长度2=⨯剩余的细蜡烛长度，由此可列出方程． 【解答】解：设这两支蜡烛已点燃了x 小时，由题意得： 1112(1)54x x -=⨯-， 1111125222x x x x -+=-+，31210x +=，3112110x +-=-，3110x =，103x =． 答：这两支蜡烛已点燃了103小时． 故答案为：103．9．（2019•郑州）一项工程，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成，那么丙一个人来做，完成这项工作需要 48 天．【分析】要求丙一个人来做完成这项工作需要的天数，就要求出丙的工作效率，根据题意，丙的工作效率的2倍为111()9188+-，则丙的工作效率为1111()2918848+-÷=；则丙一个人来做，完成这项工作需要1148÷，计算解决问题．【解答】解：111()29188+-÷ 1224=÷148= 114848÷=（天)答：丙一个人来做，完成这项工作需要48天． 故答案为：48．10．（2018•东莞市模拟）一项工程，甲队单独做10天完成，已知甲队2天的工作量等于乙队3天的工作量，那么两队合作 6 天能完成．【分析】把这项工程看作单位“1”，甲队单独做要10天，甲1天的工作量为110，已知甲队2天的工作量等于乙队3天的工作量，所以乙1天的工作量为12310⨯÷，再用单位“1”除以两队的工作效率和，即可得两队合作几时小天可以完成这项工程． 【解答】解：111(23)1010÷⨯÷+ 116=÷6=（天)答：两队合作 6天能完成．故答案为：6．11．（2017•长沙）一个蓄水池有两根进水管和一根放水管，单开一根进水管20分钟能放满一池水，单开一根放水管15分钟能放完一池水，现在满满一池水，先开一根进水管和放水管，当水池还剩下水13时，然后再打开另外一根进水管，15分钟后关闭放水管，直到水池重新放满水，则这个过程中共用时 2363分钟．【分析】将满满一池水看作单位“1”，一根进水管的工作效率是120，一根排水管的工作效率是115，根据题意，先开一根进水管和放水管，计算“当水池还剩下水13时”的时间，“然后再打开另外一根进水管，15分钟后关闭放水管”计算出注入水池的水量，再计算“直到水池重新放满水”用的时间，则可以求出这个过程中共用时的时间． 【解答】解：111()31520÷- 11360=÷ 20=（分钟）111(1)(2)1532015--⨯-⨯ 2132=- 16=则15分钟后池内还差16才能注满， 11(2)620÷⨯ 11610=÷ 53=（分钟） 520153++2363=（分钟）答则这个过程中共用时2363分钟．答案为：236312．（2019•长沙）在A 地植树1000棵，B 地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵，甲在A 地，乙在B 地，丙在A 与B 两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A 地植树 300 棵． 【分析】先求出甲、乙、丙三人每天植树多少棵（三人每天的工作效率和），再求出A 、B 两块地一共植树多少棵（工作量），根据工作时间（三人合作的时间）=工作量÷工作效率和，求出一共需要多少天完成，然后用A 地植树的棵数减去甲25天植树的棵数就是丙在A 地植树的棵数，据此列式解答． 【解答】解：28323090++=（棵)， (10001250)90+÷ 225090=÷ 25=（天)， 10002825-⨯ 100700=- 300=（棵)，答：丙在A 地植树300棵． 故答案为：300．13．（2019春•海淀区月考）长度相等，粗细不同的两枝蜡烛，其中的一枝可燃3小时，另一枝可燃4小时．将这两枝蜡烛同时点燃，当余下的长度中，一枝是另一枝的3倍时，蜡烛点燃了83小时． 【分析】根据题意，两枝蜡烛燃烧的时间和燃烧的长度成正比例关系，所以设蜡烛点燃了x 小时，比例为：11(1):(1)1:334x x --=，解得：83x =． 【解答】解：设时间为x 小时，则有 11(1):(1)1:334x x --=1314x x-=- 324x =83x =答：蜡烛点燃了83小时． 故答案为：83．14．（2019•江西模拟）一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成；如果甲、乙合做，那么 1133天可以完成．【分析】两种情况下得到甲做15天与乙做12天的工作量一样多，用除法计算出甲做1天相当于乙做的分率，这样把第一种情况下甲做的5天代换成乙需要做的天数，再加上20就是乙独做完成的天数，然后计算出甲独做完成的天数，用工作总量除以工作效率和即可求出合做的工作时间．【解答】解：20515-=（天)，20812-=（天)，甲做15天与乙做12天做的一样多， 412155÷=，甲做1天相当于乙45天做的一样多，乙一个人做需要：4520245÷+=（天)， 甲独做需要424305÷=（天)合做： 111()2430÷+3140=÷1133=（天)故答案为：1133．15．（2018•东莞市）一项工程如由甲、乙合作需要8天完成，现由甲先做3天，乙再做5天，才完成工程的716，那么由乙单独做需 32 天完成． 【分析】把这项工程看成单位“1”，甲乙合作的工作效率是18，由甲先做3天，乙再做5天，可以看成甲乙合作了3天，乙再做2天，所以先用合作的工作效率乘3，求出合作3天的工作量，再用716减去合作3天的工作量，即可求出乙2天的工作量，再除以2即可求出乙的工作效率，进而求出乙独做需要的时间． 【解答】解：713168-⨯ 73168=- 116=11(2)16÷÷ 1132=÷32=（天)答：由乙单独做需 32天完成． 故答案为：32．16．（2018•广州）一艘轮船从长江三峡大坝到上海要4个昼夜，而从上海到三峡大坝逆流而上需要6个昼夜．如果从三峡大坝放一个漂流瓶顺水漂到上海要 24 昼夜．【分析】从题中可知从长江三峡大坝到上海是顺流，从上海到三峡大坝是逆流，从而可以得出水的流速，从而得出答案．【解答】解：设轮船的速度为x ，水流为y ，三峡大坝到上海的距离为m ， 因为4mx y =+，6m x y =-，所以4()6()x y x y +=-， 可得5x y =， 又4mx y =+， 所以24my =．答：从三峡大坝放一个漂流瓶顺水漂到上海要24昼夜．17．（2017•长沙）一项工程，甲单独做要12小时，乙单独做要15小时，如果按照甲、乙、甲、乙的顺序每小时轮换一次地轮流工作，完成这项工作一共需要 1134小时．【分析】由题意知，把某项工作的工作总量看作单位“1”，乙的工效是115，甲的工效是112，“按照甲，乙，甲，乙，⋯的顺序轮流工作，每次1时”，那么甲乙各做1小时，即2个小时，则完成113151220+=，3216203÷=（小时）后，即6个循环后（即12个小时），则完成3962010⨯=，还剩下9111010-=，由甲、乙来完成，求得甲、乙再做的时间，再加上12小时即是完成这项工作共需要的时间． 【解答】解：113151220+=3216203÷=（小时）3962010⨯=9111010-=111()101215-÷ 116015=÷ 14=116211344⨯++=（小时）答：完成这项工作要1134小时．故答案为：1134． 三．应用题18．（2019秋•嘉陵区期末）某绿化工程，有3个工程队施工．单独完成，甲队要10天，乙队要12天，丙队要15天．若让甲、乙两队先合作2天，余下的由丙队单独做，丙队还要几天才能完工？【分析】由题意可知，用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 单独完成，甲队要10天，乙队要12天，丙队要15天则他们的工作效率分别是110、112、115，甲、乙两队先合作2天完成总工程的1111()2101230+⨯=，所以余下111913030-=，余下的由丙队单独做根据工作总量÷工效=工时可知1911930152÷=． 【解答】解：1111()2101230+⨯=， 111913030-=，1911930152÷=（天) 答：丙队还要192天才能完工．19．（2019秋•永州期末）一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要12天．现在乙队先工作几天，剩下的由甲队单独完成．工作中各自的工作效率不变，全工程前后一共用了14天，共得劳务费2万元．如果按各自的工作量计算，甲、乙各获得多少万元？【分析】将这项工程当做单位“1”，则甲队每天完成这项工程的120，乙队每天完成这项工程的112，设甲队做了x 天，则乙队做了(14)x -天，由此可得方程：11(14)12012x x +-=，解此方程求出甲、乙各工作的天数，进一步求出甲、乙的工作量，进一步即可求解．【解答】解：设甲队做了x 天，则乙队做了(14)x -天，依题意有： 11(14)12012x x +-=35(14)60x x +-= 370560x x +-= 537060x x -=- 210x = 5x = 111520204x =⨯= 11242⨯=（万元） 112122-=（万元）答：甲获得12万元，乙获得112万元．20．（2019•郑州）甲乙两个打字员打印一批文件，如果单独打印，甲打字员需20小时，乙打字员需30小时，二人合打完成任务的34时，甲比乙多打了72页，求二人各打多少页？ 【分析】把这份文件的工作量看成单位“1”，甲的工作效率就是120，乙的工作效率就是130，它们的和就是合作的工作效率，用合作的工作量34除以合作的工作效率，求出两人的工作时间，再用甲乙的工作效率分别乘工作时间，求出甲乙各打了总页数的几分之几，再求出甲比乙多打了总页数的几分之几，它对应的数量是72页，再根据分数除法的意义求出总页数，最后用总页数分别乘两人打字占总人数的分率，即可求出二人各打多少页． 【解答】解：311()42030÷+ 31412=÷9=（小时）1992020⨯= 1393010⨯= 9372()2010÷-37220=÷480=（页)948021620⨯=（页) 348014410⨯=（页)答：甲打了216页，乙打了144页．21．（2019春•湘潭月考）甲、乙、丙三人合修一条麻石路，甲、乙合修6天完成麻石路的13，乙、丙合修2天修好余下部分的14，剩下的部分三人又合修了5天才完成，共得到劳务费1800元．若按各人完成工作量的多少来分配劳务费，甲、乙、丙三人各应得劳务费多、少元？【分析】把总工作量看作单位“1”．根据“工作效率=工作量÷工作时间”，甲、乙合修6天完成麻石路的13，则甲、乙的工作效率之和为163÷；乙、丙合修2天修好余下部分的14，则乙、丙的工作效率之和为11(1)234-⨯÷．甲、乙、丙三人的工作效率之和为11(1)(1)534-⨯-÷．由此得出甲、乙、丙的工作效率，根据分数乘法的意义，用总劳务费分别乘甲、乙、丙的工作效率就是甲、乙、丙应得的劳务费． 【解答】解：甲、乙工作效率之和为： 116318÷=乙、丙的工作效率之和为： 11(1)234-⨯÷ 21234=⨯÷ 112=甲、乙、丙的工作效率之和为： 11(1)(1)534-⨯-÷ 23534=⨯÷ 110=甲的劳务费为： 111800()(65)1012⨯-⨯+118001160=⨯⨯330=（元)丙的劳务费为： 111800()(25)1018⨯-⨯+ 21800745=⨯⨯ 560=（元)乙的劳务费为：1800330560910--=（元)答：甲得劳务费330元，乙得劳务费560元，丙得劳务费910元．22．（2019春•武汉月考）修一段地铁，如果单独完成，甲工程队要10天，乙工程队要15天，丙工程队要30天．现在三个工程队共同工作，甲中途调走，结果比三个工程队合作多用了1天完成．甲工作了几天？ 【分析】把总工作量看作单位“1”，三个工程队共同工作需要1111()5101530÷++=（天)；根据“甲中途调走，结果比三个工程队合作多用了1天完成”可知完成这项工程实际用了6天．因此甲完成的工作量是1121()615305-+⨯=；最后根据工作时间=工作量÷工作效率，求出修这条路甲队工作了几天即可． 【解答】解：1111()5101530÷++=（天) 516+=（天)111[1()6]153010-+⨯÷31[1]510=-÷21510=÷4=（天)答：甲工作了4天．23．（2019秋•东莞市期末）一批货物由甲、乙两个人搬运，需8天完成，现在甲先搬8天，然后乙再搬4天，这时还剩13没有搬．乙单独搬运需要几天？【分析】甲先搬8天，然后乙再搬4天，可以看成甲乙合作了4天后，甲又干了4天；把这批货物的总量看成单位“1”，合作的工作效率就是18，用18乘4求出合作的工作量，再用一个完成了12133-=，用23减去合作完成的工作量就是甲4天的工作量，再除以4，即可求出甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再用1除以乙的工作效率即可求出乙单独搬运需要几天．【解答】解：11(14)(84)38--⨯÷-21()432=-÷146=÷124=111()824÷-1112=÷12=（天)答：乙单独搬运需要12天．24．（2019春•济南月考）某工厂加工一批零件，甲、乙、丙三人合作加工需要15天完成．由于机械故障，丙停止加工1天，乙就要多做3天，或者由甲、乙合作1天．问：加工这批零件由甲单独完成需要多少天？【分析】丙1天的工作量，相当乙3天的工作量，则丙的工作效率是乙的工作效率的3（倍)，甲、乙合作1天，与乙做3天一样，也就是甲做1天，相当于乙做2天，甲的工作效率是乙的工作效率的2倍．则甲的工作效率是三人效率的12(321)3÷++=，他们共同做15天的工作量，由甲单独完成，甲需要15345⨯=（天)【解答】解：丙的工作效率是乙的工作效率的3倍，甲的工作效率是乙的工作效率的312-=倍，则甲的工作效率是三人效率的12(321)3÷++=，由甲单独完成，甲需要115453÷=（天)．答：这项工程由甲独做，需要45天．25．（2019春•成都月考）一部书稿，甲单独打字需60天完成，乙单独打字需50天完成．已知甲每周日休息，乙每周六、周日休息．如果两人合作，从2018年4月23日（周一）开始打字，那么几月几日可以完成这部书稿？【分析】把书稿的字数看作单位“1”，乙每周六、周日休息，那么两人合作时，一星期就合作5天，先求出两人合作5天完成书稿字数占总字数的分率，再求出甲1天完成书稿字数占总字数的分率，进而求出两人一周完成工作量，然后依据工作时间=工作总量÷工作效率，求出完成任务需要的时间，最后用现在的日期加需要的时间（注意需要减去开始的一天以及最后一天）即可解答． 【解答】解：111111()5560506030060+⨯+=⨯+1116060=+ 15=，117115÷⨯-- 5711=⨯-- 3511=-- 341=- 33=（天)2018年4月23日33+天2018=年5月26日 答：5月26日可以完成这部书稿．26．（2019•辽宁模拟）一份稿件，甲独自打字需要6小时，乙单独打字需要10小时．现在甲单独打字若干小时后，因有事离开，由乙接着打完．从一开始打字到打完这份稿件共用了7小时，甲打字用了多少小时？ 【分析】将工作总量看作单位“1”，可以求出甲、乙的工作效率，假设全是乙打的，求出对应的工作总量，再与总的工作量作比较，得到与实际相差的工作总量，再除以甲乙两人的工作效率差就可求出甲的工作时间． 【解答】解：1166÷=111010÷=1771010⨯= 7311010-=11161015-= 314.51015÷=（小时）答：甲打字用了4.5小时．27．（2019•海淀区模拟）一项工作，甲、乙合干12天完成．如果让甲先干8天，余下的由乙单独干要18天完成．这项工程由乙单独干需要几天完成？【分析】把这项工作看作单位“1”，甲、乙合干12天完成，甲、乙每天的工作效率和是112，如果让甲先干8天，余下的由乙单独干要18天完成．可以看作甲、乙合作8天，乙单独干(188)-天完成，由此可以求出乙每天的工作效率，然后根据工作时间=工作量÷工作效率，据此列式解答． 【解答】解：1(18)(188)12-⨯÷-2(1)103=-÷ 1103=÷11310=⨯ 130=； 113030÷=（天)；答：这项工程由乙单独干需要30天完成． 四．解答题28．（2019•宁波模拟）容积为250升的水箱上装有两根进水管甲、乙和一根排水管丙．如图所示，先由甲管单独向水箱内注水，再由甲、乙两根进水管同时向水箱内注水，注满后，关闭甲、乙两根水管，最后由丙管将水箱内的水排完． （1）水箱内原有水 50 升． （2）乙管每分钟向水箱内注水 升．（3）如果注满水后，只关闭乙管．甲管和丙管同时打开，几分钟可以把水箱中的水全部排完？【分析】（1）根据折线统计图，时间为0分时，水箱内的水为50升，说明水箱内原有水50升；（2）先由甲管单独向水箱内注水，从0分到10分，这10分钟的时间，水箱内的水由50升上升的100升，说明10分钟的时间，甲管向水箱内注入50升的水，求甲的速度为：50105÷=（升/分）；从10分到25分，再由甲、乙两根进水管同时向水箱内注水，直至注满250升，共注水250100150-=（升)，用时：251015-=（分)，所以，甲乙速度的和为：1501510÷=（升/分）．所以乙的速度为：1055-=（升/分）； （3）根据丙放水所用时间为30255-=（分钟），求丙的速度为：250550÷=（升/分）．注满水，甲、丙同开，排完水所用时间为：50250(505)9÷-=（分钟）． 【解答】解：（1）由图可知水箱内原有50升水．（2）甲的速度：50105÷=（升/分） 甲乙注水量：250100150-=（升) 甲乙所注水时间：251015-=（分) 甲乙速度和：1501510÷=（升/分） 乙的速度：1055-=（升/分） 答：乙管每分钟向水箱内注水 5升．（3）丙放水时间：30255-=（分钟） 丙的速度：250550÷=（升/分）注满水，甲、丙同开，排完水所用时间为： 250(505)÷- 25045=÷509=（分钟）答：若只有乙管注水，509分钟注满水箱． 故答案为：50；5；509．29．（2019春•北京月考）我们规定两人轮流做一个工程是指，第一个人先做一个小时，第二个人做一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【分析】依题意可知，两次做每人所花时间为：甲乙轮流做一个工程，甲工作了5小时，乙工作了4.8小时；乙甲轮流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时．由此可知甲工作0.4小时相当于乙工作 0.2小时，推出甲工作5小时相当于乙工作2.5小时，故求出乙单独做此工程需要的时间，解决问题．【解答】解：甲乙轮流做一个工程，甲工作了5小时，乙工作了4.8小时；乙甲轮流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时．所以甲做0.4小时完成的工程等于乙做0.2小时，乙的效率是甲的0.40.22÷=（倍)， 甲做5小时完成的任务乙只要2.5小时就能完成． 所以乙单独完成这个工程要：2.5 4.87.3+=（小时）． 答：乙单独做这个工程需要7.3小时．30．（2019•上街区）甲、乙、丙三人共同完成一项工作，5天完成了全部工作的13，然后甲休息了3天，乙休息了2天，丙没有休息．如果甲一天的工作量是丙一天工作量的3倍，乙一天的工作量是丙一天的工作量的2倍，那么从这项工作开始算起一共用了多少天完成？【分析】由于甲一天的工作量是丙一天工作量的3倍，乙一天的工作量是丙一天工作量的2倍，所以可以把丙一天工作量看作1份，那么甲一天的工作量是3份，乙一天的工作量是2份．甲、乙、丙三人一天的工作量是1326++=份． 甲、乙、丙三人5天的工作量是6530⨯=份，完成了全部工程的13，全部工程是130903÷=份． 已知甲、乙、丙的工作量及总工作量，由此根据他们每人所干的天数解答即可．【解答】解：将丙一天工作量看作1份，那么甲一天的工作量是3份，乙一天的工作量是2份． 三人一天干的工作量为：1326++=（份)， 则总作工量为：165903⨯÷=（份)；甲乙丙如果全程合作的话需要：90615÷=（天)完成． 甲休息了3天，乙休息了2天，在这5天中，甲乙少干了： 332213⨯+⨯=（份)，这13份甲、乙、丙三人合作得干113626÷=（天)．所以这项工作从开始算起需要111521766+=（天)完成． 答：那么从这项工作开始算起一共用了1176天完成．31．（2018•长沙）一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？【分析】根据两种轮流交替做的情况可得出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时，用的时间就多．据此可得第一种情况甲乙的工作顺序是：甲，乙，甲，乙⋯甲（最后一天是甲做的，若是乙做的，则第二种情况不会出现多做半天的时间）；而第二种情况甲乙的工作顺序就是：乙，甲，乙，甲⋯乙，甲，12乙，把两种情况对照可得：甲一天的工作效率=乙一天的工作效率+甲半天工作效率，即甲半天工作效率=乙一天工作效率，也就是说甲的工作效率是乙工作效率的2倍，把这项工程的量看作单位“1”，先表示出乙的工作效率，再求出甲的工作效率，最后根据工作时间=工作总量÷工作效率即可解答．【解答】解：依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的2倍11(2)20÷⨯1110=÷10=（天)答：这项工程由甲单独做需要10天可以完成．32．（2018•东莞市模拟）单独完成某项工程，甲需要9小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙⋯的顺序轮流工作，每次工作1小时，那么完成这项工作需要多少小时？【分析】把某项工作的工作总量看作单位“1”，甲的工效是19，乙的工作效率是112，“按照甲，乙，甲，乙，⋯的顺序轮流工作，每次1时”，那么甲乙各做1小时，即2个小时，则完成11791236+=，5个循环后（即10个小时），则完成73553636⨯=，还剩，35113636-=，由甲来完成，求得甲再做的时间，再加上10小时即是完成这项工作共需要的时间．【解答】解：111 [1()5]9129 -+⨯÷71[15]369=-⨯÷351(1)369=-÷11369=÷0.25=（小时）甲、乙轮流做共需要：100.2510.25+=（小时）答：完成这项工作需要10.25小时．33．（2018•东莞市）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成，在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%，结果两队同时开工同时完成这项工程，那么，在施工的日子里，雨天有多少天？。
分数问题—专题07《工程问题》2020年通用版小升初数学冲A提高集训(原卷版)
2020年通用版小升初数学冲A提高集训分数问题—专题07《工程问题》一．选择题1．（2019•株洲模拟）王师傅计划加工一批零件，如果实际工作时效率比计划提高20%，那么可提前1小时完成任务；如果王师傅要想比计划提前2小时完成任务，那么王师傅的工作效率就要比计划提高() A．40%B．50%C．60%D．70%2．（2019•防城港模拟）一件工作，甲独做12小时可以完成，现在甲、乙合做3小时后，甲因事外出，剩下的工作乙又用了154小时完成，如果这件工作全部由乙做，需要()小时可完成．A．10 B．11 C．8 D．93．（2019•株洲模拟）在一次学校义务劳动中，安排20人挖土，28人抬土．据观察发现1人挖出的土，需2人才能及时抬走，那么应从挖土人员中抽调()人到抬土队伍中来．A．2人B．4人C．6人D．8人4．（2018•溧阳市）甲、乙两个工程队修一段120米的公路，如果甲工程队单独修，18天可以完成；乙工程队单独修，15天可以完成．甲、乙两个工程队合修，每天一共完成这项工程的()A．111815+B．1201201815+C．5665+5．（2018•成都）加工一批零件，前一半时间加工的零件个数和后一半时间加工的个数之比是3:2，则加工前一半零件所需的时间是加工后一半零件所需时间的()A．57B．23C．112D．无法确定二．填空题6．（2019•上街区）加工西服要三道工序，专做第一、二、三工序的工人毎小时分别能完成西服30套、24套、20套，现有90名工人，要使每天三道工序完成的套数相同，每道工序人数分别是、、名．7．（2019•湖南模拟）一项工程，甲乙合作每小时完成全工程的16，如果甲先做4小时，乙再做3小时，还剩工程的25没完成．那么如果甲单独做，几小时能完成任务？8．（2019•宁波）粗蜡烛和细蜡烛长短一样．粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时．同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍．问这两支蜡烛点了时间？9．（2019•郑州）一项工程，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成，那么丙一个人来做，完成这项工作需要天．10．（2018•东莞市模拟）一项工程，甲队单独做10天完成，已知甲队2天的工作量等于乙队3天的工作量，那么两队合作天能完成．11．（2017•长沙）一个蓄水池有两根进水管和一根放水管，单开一根进水管20分钟能放满一池水，单开一根放水管15分钟能放完一池水，现在满满一池水，先开一根进水管和放水管，当水池还剩下水13时，然后再打开另外一根进水管，15分钟后关闭放水管，直到水池重新放满水，则这个过程中共用时分钟．12．（2019•长沙）在A地植树1000棵，B地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵，甲在A地，乙在B地，丙在A与B两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A地植树棵．13．（2019春•海淀区月考）长度相等，粗细不同的两枝蜡烛，其中的一枝可燃3小时，另一枝可燃4小时．将这两枝蜡烛同时点燃，当余下的长度中，一枝是另一枝的3倍时，蜡烛点燃了小时．14．（2019•江西模拟）一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成；如果甲、乙合做，那么天可以完成．15．（2018•东莞市）一项工程如由甲、乙合作需要8天完成，现由甲先做3天，乙再做5天，才完成工程的716，那么由乙单独做需天完成．16．（2018•广州）一艘轮船从长江三峡大坝到上海要4个昼夜，而从上海到三峡大坝逆流而上需要6个昼夜．如果从三峡大坝放一个漂流瓶顺水漂到上海要昼夜．17．（2017•长沙）一项工程，甲单独做要12小时，乙单独做要15小时，如果按照甲、乙、甲、乙的顺序每小时轮换一次地轮流工作，完成这项工作一共需要小时．三．应用题18．（2019秋•嘉陵区期末）某绿化工程，有3个工程队施工．单独完成，甲队要10天，乙队要12天，丙队要15天．若让甲、乙两队先合作2天，余下的由丙队单独做，丙队还要几天才能完工？19．（2019秋•永州期末）一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要12天．现在乙队先工作几天，剩下的由甲队单独完成．工作中各自的工作效率不变，全工程前后一共用了14天，共得劳务费2万元．如果按各自的工作量计算，甲、乙各获得多少万元？20．（2019•郑州）甲乙两个打字员打印一批文件，如果单独打印，甲打字员需20小时，乙打字员需30小时，二人合打完成任务的34时，甲比乙多打了72页，求二人各打多少页？21．（2019春•湘潭月考）甲、乙、丙三人合修一条麻石路，甲、乙合修6天完成麻石路的13，乙、丙合修2天修好余下部分的14，剩下的部分三人又合修了5天才完成，共得到劳务费1800元．若按各人完成工作量的多少来分配劳务费，甲、乙、丙三人各应得劳务费多、少元？22．（2019春•武汉月考）修一段地铁，如果单独完成，甲工程队要10天，乙工程队要15天，丙工程队要30天．现在三个工程队共同工作，甲中途调走，结果比三个工程队合作多用了1天完成．甲工作了几天？23．（2019秋•东莞市期末）一批货物由甲、乙两个人搬运，需8天完成，现在甲先搬8天，然后乙再搬4天，这时还剩13没有搬．乙单独搬运需要几天？24．（2019春•济南月考）某工厂加工一批零件，甲、乙、丙三人合作加工需要15天完成．由于机械故障，丙停止加工1天，乙就要多做3天，或者由甲、乙合作1天．问：加工这批零件由甲单独完成需要多少天？25．（2019春•成都月考）一部书稿，甲单独打字需60天完成，乙单独打字需50天完成．已知甲每周日休息，乙每周六、周日休息．如果两人合作，从2018年4月23日（周一）开始打字，那么几月几日可以完成这部书稿？26．（2019•辽宁模拟）一份稿件，甲独自打字需要6小时，乙单独打字需要10小时．现在甲单独打字若干小时后，因有事离开，由乙接着打完．从一开始打字到打完这份稿件共用了7小时，甲打字用了多少小时？27．（2019•海淀区模拟）一项工作，甲、乙合干12天完成．如果让甲先干8天，余下的由乙单独干要18天完成．这项工程由乙单独干需要几天完成？四．解答题28．（2019•宁波模拟）容积为250升的水箱上装有两根进水管甲、乙和一根排水管丙．如图所示，先由甲管单独向水箱内注水，再由甲、乙两根进水管同时向水箱内注水，注满后，关闭甲、乙两根水管，最后由丙管将水箱内的水排完．（1）水箱内原有水升．（2）乙管每分钟向水箱内注水升．（3）如果注满水后，只关闭乙管．甲管和丙管同时打开，几分钟可以把水箱中的水全部排完？29．（2019春•北京月考）我们规定两人轮流做一个工程是指，第一个人先做一个小时，第二个人做一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？30．（2019•上街区）甲、乙、丙三人共同完成一项工作，5天完成了全部工作的13，然后甲休息了3天，乙休息了2天，丙没有休息．如果甲一天的工作量是丙一天工作量的3倍，乙一天的工作量是丙一天的工作量的2倍，那么从这项工作开始算起一共用了多少天完成？31．（2018•长沙）一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？32．（2018•东莞市模拟）单独完成某项工程，甲需要9小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙 的顺序轮流工作，每次工作1小时，那么完成这项工作需要多少小时？33．（2018•东莞市）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成，在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%，结果两队同时开工同时完成这项工程，那么，在施工的日子里，雨天有多少天？34．（2018•郑州）四川地震形成的一个堰塞湖经过测量20天后水位将达到坝的顶端，为了延长时间转移下游群众，开辟了一个泄洪渠道向外排水，这样可使水位到达坝顶推迟到30天，那么每天泄出水量是流入湖中水量的几分之几？（写出解答过程）35．（2019•广东模拟）甲、乙合做6小时可完成一项工作，现由甲先做2小时，再由乙做4小时，刚好完成这项工作的50%，若乙单独完成这项工作需要多少小时？36．（2019•广东模拟）一项工程，甲队独做需要20天完成，乙队独做需要30天完成．现在由甲队施工一天，然后由乙队接替甲队施工一天，第三天再由甲队接替乙队施工一天 ，如此交替，最后乙队结束工作，多少天完成任务？37．（2019•集美区校级模拟）甲、乙两个修路队共同修一条长120km的路，甲队每天修3km，甲队先修1天后，由甲、乙两队共同修，一共经过13天完成了任务．乙队每天修多少千米？38．（2019•广州模拟）A、B两个工程队修一段路，如果A队修7天，然后由B队修3天可以完成；如果A 队修4天，然后由B队修12天可以完成．现在由A、B两个工程队合修，多少天可以完成？39．（2019•郑州）一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水量是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管12小时可将水池排空．如果打开A、B两管，4小时可将水池排空，那么打开B、C两管，将水池排空需要多少小时？。
小学六年级工程问题
工程问题工程问题属于分数应用题;分数工程问题和整数工作问题基本一样,都是反映工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系;在具体解工程问题时要注意如下几点; 1．工作总量通常以“l ”表示,而工作效率用工作总量的几分之几表示,但也有些问题中这个单位“1”是可以求出具体值来的;2．两人合作的工程问题,一般都应设法确定各自的工作效率; 3．蓄水池中进水管、出水管问题是工程问题的一种特殊情况; 4．解答方法要根据题目具体特点,灵活选用;例1 一段布,可做30;件上衣,也可做48条裤子,如果先做20件上衣后,还可以做多少条裤子分析解答一 把“一段布”看作“一项工程”,“做30件上衣”可理解成甲独做30天完成,“做48条裤子可理解成乙独做48天完成”,“先做上衣20件”可理解成甲先工作20天,这样此题就可变为一道基本工程问题;11120163048⎛⎫-⨯÷= ⎪⎝⎭条 答：还可以做16条裤子;分析解答二 同一段布,可做30件上衣,也可做48条裤子,则做一件上衣的布可换成做裤子48÷30=1．6条即一件上衣的布是一条裤子用布的1．6倍,那么做20件上衣的布可换成做裤子1．6 ×20=32条,还可以做裤子48—32=16条 48—48÷32×20=16条分析解答三 用比例方法解答; 解：设还可以做x 条裤子,则：例2 一项工程,甲乙合做6小时可以完成,同时开工,中途甲停工了2．5小时,因此,经过7．5小时完工,如果这项工程由甲单独完成需要多少小时分析解答一 甲停工2．5小时所做的工作量,甲乙两人合做7．5—6=1．5小时可以完成;这项工程甲乙合做6小时完成,是两人合做1．5小时工作量的6÷1．5=4倍,也是甲2．5小时工作量的4倍,这项工程甲单独做要2．5×4=10小时才能完成;2．5 ×6÷7．5—6=10小时答：这项工程由甲单独完成需要10小时;分析解答二假设合做小时能完成工程的16×7．5=54超过“1”的54一l=14,14就是甲2．5小时所做的工作,因此甲独做需要的时间为2．5÷14=l0小时2．5÷16×7．5一1=l0小时分析解答三 根据题意可知甲、乙两人实际合做了5小时,乙又独做了2．5小时,乙的工作效率为1一16×5÷2．5=115,则甲的工作效率为16一115=110甲独做该工程需1÷110=lO 小时 7．5—2．5=5小时11115 2.51066⎡⎤⎛⎫÷--⨯÷= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦小时例3 师徒二人合做一批零件,12天可以完成;师傅先做了3天,因事外出,由徒弟接着做l 天,共完成任务的320;如果让师傅单独做多少天可以完成分析解答一用“分干合想”的思路,将条件中“师傅先做了3天,徒弟接着做1天”转化为“师徒合做一天,师傅又做2天”可以求出师傅2天做了这批零件的311201215-=;再把完成这批零件的总时间比作单位“1”,2天就占其中的115;那么,师傅单独做所用的天数是2÷115=30天3—1÷312012-=30天答：师傅单独做30天可以完成;分析解答二 同样先求出师傅2天做了这批零件的311201215-=,再求出师傅的工作效率115÷2=130,最后求出所求天数;L 312012-÷3—1=30天例4一项工程,甲、乙合做8天完成,如果先让甲独做6天,然后乙再独做,完成任务时发现比甲多用3天,乙独做这项工程要多少天完成分析解答一 用“分干合想”的思路,根据题意可知甲、乙合做了6天,然后乙再独做3天完成;乙3天的工作量是l 一18×6=14,则乙独做这项工程的时间是3÷14=12天3÷1一18×6=12天答：乙独做这项工程要12天完成;分析解答二 根据解答一的分析,乙独做3大的工作总量为l-18×6=14,乙的工作效率为14÷3=112,乙独做该工程需1÷112=12天 1÷1一18×6÷3=12天分析解答三假设甲、乙合做9天,工作量是18×9=118,超过总工程1 18-l=18,18就是甲3天所做的,那么,甲的工作效率是18÷3=124,乙完成全工程用的时间l÷18—124=12天1÷18-18×9一1÷3=12天例5 一件工作,甲单独做2小时完成,现在甲、乙合做4小时后,乙又用6小时才完成;乙单独做这件212作多少小时完成分析解答一可用“合干分想”的思路,将条件“甲乙合做4小时后,乙又用6小时才完成”转化成“甲先做4小时,再由乙做4+6=l0小时;那么,可以知道甲4小时独做工作的412,乙10小时做的工作量为l一412=812,最后求出乙单独做这件工作所用的时间10÷812=15小时4+6÷1-412=15小时答：乙单独做这件工作15小时完成;分析解答二根据解答一的分析,先求出乙的工效,再求出他独做的时间;1÷1一412÷4+6=15小时例6 一项工程,甲、乙两人合做12天可以完成,中途甲因事停工5天,因此用了15天才完成;甲单独做这项工程要用多少天分析解答一用假设法进行思考;假设甲中途没有停工,甲乙合做15天可以完成的工作是112×15=114,超过这项工程的l14-1=14,14就是甲5天能做的工作,甲单独完成工程需用天数是5÷14=20天5÷112×15一1=20天答：甲单独做这项工程要用20天;分析解答二根据条件可知甲5天的工作量等于甲乙合做15-12=3天的工作量,甲乙合做12天的工作让甲单独做需用的天数是5×12÷3=20天5 ×12÷15—12=20天分析解答三甲停工5天,也就是乙独做了5天,然后甲乙合做15—5=10天完成这项工程,乙单独做5天的工作是1一112×15—5=16,乙队的工作效率是16÷5=130则甲单独做这项工程需用时间是1÷112-130=20天1一112×15—5÷5=1301÷112一130=20天例7 一批零件,甲独做8天完成,乙独做10天完成,现在由两人合做这批零件,中途甲因事请假一天,完成这批零件共用多少天分析解答一假设中途甲没有请假．照常工作．那么完成的总工作量应为l+18=118,两人完成这批零件共用118÷18+110=5天1+18÷18+110=5天答：完成这批零件共用5天;分析解答二根据条件“中途甲因事请假一天”可知在T作过程中乙单独做了1天,完成110,两人同时合做的工作量为l—110=910;那么,合做的时间为910÷18+110=4天,完成任务共用时间为4+1=5天1一110÷18+110+1=5天分析解答三设完成这批零件共用x天1 8×x一1+110x=1x=5例8 放满一个水池的水,若同时打开1,2,3号阀门,则20分钟可以完成,若同时打开2,3,4号阀门,则21分钟可以完成；若同时打开1,3,4号阀门,则28分钟可以完成；若同时打开1,2,4号阀门,则30分钟可以完成;问：如果同时打开1,2,3,4号阀门,那么多少分钟可以完成分析解答同时打开1,2,3号阀门1分钟,再同时打开2,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,2,4号阀门1分钟,这样,1,2,3,4号阀门各打开了3分钟,放水量等于一池水的111120212830+++;所以同时打开1,2,3,4号阀门,放满一池水需1÷111120212830+++÷3=18分例9 某工程由一、二、三,队合干,需要8天完成,由二、三、四小队合干,需要10天完成；由一、四小队合干,需15天完成;如果按一、二、三、四、一、二、三、四……的顺序,每个小队干一天,再轮流干,那么工程由哪个队最后完成分析解答与例8类似,可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是111 81015 ++÷2=748,四个小队各干了6天即24天后,还剩下工程量的1一748×6=18;又因为一、二、三小队合干需8天,即一、二、三小队各干1天完成工程量的18,所以工程由三小队最后完成;例10 师徒两人加工相同数量的零件,师傅每小时加工自己任务的110,徒弟每小时加工自己任务的115;现在同时开始加工自己的零件,师傅完成任务后立即去帮助徒弟加工,等两人都完成任务时,一共用多少小时分析解答一假设工作时师徒均没有休息,如果把每个人的任务都看作“1”,就相当于两个人共同完成“2”,则所用时间是：2÷110+115=12时分析解答二改变一下工作的顺序,师徒先共同做完师傅的任务,再共同做徒弟的任务,则所用时间是：1÷110+115×2=12小时分析解答三如果把师徒两人的任务合起来看作“1”,那么师傅单独完成就需10×2小时,徒弟单独完成就需15×2小时,他们共同工作．则所用时间是：1÷1102⨯+1152⨯=12时分析解答四当师傅完成任务时,师徒都干了10小时,师傅去帮助徒弟,同徒弟合干剩下部分,则完成任务所用时间是：10+1一115×10÷110+115=12小时例11 甲、乙两人加工同样多的零件,甲需要12小时完成,乙需要15小时完成;现在甲乙两人同时加工,当甲完成任务时,又帮乙做;又过了几小时,甲乙将所有的任务完成分析解答一甲完成任务时用了12小时,这时乙也做了12小时,乙完成了工作量的1215,乙还剩下l一1215=15,甲乙合做15还需用1 5÷112+115=l13小时1一1215÷112+115=l13小时答：又过了l 13小时,甲乙将所有的任务完成;分析解答二把甲、乙两人共同加工的任务看作“2”,两人合做要用的时间是2÷112+115=1313小时,已经用了12小时,则又用的时间是1313—12=113小时2÷112+115一12=l13小时例12 维修一条下水道,甲、乙两队合修10天可以完成;两队合修4天后,余下的由乙队单独修还需12天,由乙队单独维修这条下水道需要多天分析解答一根据“甲、乙两队合修10天完成”把10天的工作量平均分成10份,两队合修4份后余下6份乙需用12天,则完成l份要126=2天．完成总任务乙需用2×10=20天12÷10—4×10=20天答：由乙队单独维修这条下水道需要20天;分析解答二两队合修4天后还余下1一410=610,乙用12天完成余下任务,则乙队单独做全部工作所用时间12÷6=20天12÷1一110×4=20天分析解答三根据解答二的分析,可以先求出乙队的工效,再求出乙队独修的天数;1÷1一110×4÷12=20天例13 某修路队24天修完一条路的78;照这样计算剩下的又修了3天4小时,这个修路队每天工作多少小时分析解答一修完这条公路所用总天数看作8份,24天修了其中的7份,每份所用时问为24÷7=337天,剩下的工作正好是18,即一份所用时间为3天4小时,337—3=37天就是4时占每天工作时间的37,每天工作的时间为4÷37=913小时;4÷24÷7—3=9 13小时答：这个修路队每天工作9了1小时;．分析解答二修完这条路所用总天数为24÷78=2737天,剩下所用天数是2737—24=337天,4小时占每天工作时间的337—3=37天,则每天工作时间是4÷37=913小时4÷24÷78—24—3=913小时例14 一项工程,甲单独完成所用的时间是乙的34,现在甲先做1天,然后甲、乙合做2天完成了任务;如果由乙单独完成这项工程需要多少天分析解答一根据条件“甲先做1天,然后甲乙合做2天完成了任务”,可知完成这项工程实际甲用了1+2=3天,乙用了2天;甲3天的工作量乙要做3÷34=4天,这项工程乙独做的天数需4+2=6天;1+2÷34+2=6天答：乙单独完成这项工程需要6天;分析解答二先算出甲独做共用时间,再算出乙共用的时间;完成这项工程甲共需用1+2+2×÷=4．5天,乙则需4．5÷34=6天,2×34+1+2÷34=6天例15 一项工程,甲队单独做要用8天,乙队要用12天完成;现在由两队合做2天后,余下的由乙队独做;完成任务时,乙队共做了多少天分析解答一根据题意可知：在完成这项工程过程中,甲队用了2天,完成的工作是18×2=14;那么乙队做的工作量则是l一1 4=34,34里包含几个112就是乙所用的天数,34÷112=9天;1一18×2÷112=9天答：完成任务时,乙一共做了9天;分析解答二先求出两队合做2天后余下的工作量,再求出乙队独做的天数;1一18+112×2÷112+2=9天例16 一项工程甲乙合做5天完成,甲队独做12天完成;现在两队合做,中途乙因故休息了3天;在完成这项工程中,甲乙合做了多少天分析解答一这题跟上题解法类似;因为工作过程中乙因故休息3天,实际是甲单独做了3天,其他的任务是合做的;甲3天的工作量是112×3=14,甲乙合做的是l一1 4=34,34里包含几个112就得到合做的天数,34÷112=334天1一112×3÷112=334天答：甲乙合做了334天;分析解答二用方程解答;设甲乙合做x天;例17 甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序,每人一天轮流去做,恰好整天做完,并且结束工作的是乙;若按乙、丙、甲的顺序轮流去做,则比计划多用1 2天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做,则比原计划多用13天;已知甲单独做完这件工作需要9天,那么甲、乙、丙三人一起做这件工作,要用多少天才能完成分析解答把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮;在一轮中,无论谁先谁后,完成的总工作量都相同;所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同见下面虚线左边,相差的就是最后一轮见下图虚线右边;由最后一轮完成的工作量相同,得到甲+乙=乙+丙+12甲, ①乙+丙+12甲=丙+甲+13乙②由①式得到：丙=12甲；由②式得到：乙=13甲;甲、乙、丙三人合做一天等于甲做l+34+12=94天,推知三人合做需用9÷94=4天例18 完成一项工程,甲队独做正好可以按计划天数完成,乙队独做要超过计划312天才能完成;如果甲乙两队先合做225天后,再由乙队独做,也可以按计划天数完成;完成这项工程计划用多少天分析解答一由题意可知,甲做225天的工作乙需要用312天才能完成,完成同一项工程乙的天数是甲的312÷225=11124倍;又因为完成这项工程乙比甲多用312天,则甲完成工程所用天数是312÷11124—1=7711天,也就是完成工程计划所用的天数.312÷312÷225一1=7711天答：完成这项工程计划用7青天;分析解答二根据甲25天完成的工作乙需用312天,可得到甲乙完成相同工作量所用时间比225：312=24：35,又可以列式：312÷35—24×24=7711天例19 甲、乙、丙三人每天工作量的比是3：2：1,现有一件工作3人合作5天完成了全部工作的13;然后,甲休息4天后继续工作,乙休息3天后继续工作,丙没休息;完成这件工作共经过多少天分析解答解：设丙单独做需x天,则1 x ×3+2+1=13解得x=90;甲、乙、丙合做一天能完成工作的1 90×3+2+1=115丙比甲多干4天,乙比甲多干1天,甲干了1一190×4—290×1÷115=14天丙干的天数,即完成这件工作共经过14+4=18天例20 某项工程,由甲乙两队承包,225天可以完成,需支付1800元；由乙、丙两队承包,334天可以完成,需支付1500元；由甲、丙两队承包,2要天可以完成,需支付1600元;在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少分析解答从两方面考虑：如果不管“钱数”,只看“天数”,就可以求得甲、乙、丙单独干分别需要4,6,10天;如果不管“天数”,只看“钱数”,可求得甲、乙、丙队的工资每天分别为455,295．105元;所以,单独承包这项工程,甲队需4天,应付1820元；乙队需6天,应付1770元；丙队需10天,后付1050元;可以看出：选择乙队单独承包费用最少;例21 修一条路,甲、乙两队合作需12天完成,现在由甲队先工作8天,然后由乙队工作6天,还剩下这条路的25未完成;剩下的路由甲队修还需多少天分析解答题目条件可变为“两队合作6天,甲队又修2天,完成35;”甲队的工作效率为25一112×6÷2=120,剩下的25甲队还需25÷120=8天例22 制作一批零件,甲车间要10天完成,甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成,乙车间与丙车间一起做需8天才能完成;现在3个车间一起做,完工时发现甲车间比乙车间多做1000个零件;这批零件共有多少个分析解答甲的工作效率是110,乙的工作效率是16-110=115;3个车间一起做,完成这批零件的制作需 1÷18+110=409天这批零件共有l0000÷110一115×409=13500个例23 师傅与徒弟共同加工750个零件;师傅先做6天,再由徒弟做3天可以完成任务；如果徒弟先做5天,则师傅再做5天可以完成任务;那么徒弟每天加工多少个零件分析解答一根据题意可知,师傅1天的工作量徒弟要2天完成;故而进行代换：将师傅6天完成的工作量由徒弟来做则要12天完成,那么师傅6天和徒弟3天共同加工750个零件,可视为徒弟15天可加工750个零件;因此,徒弟每天加工750÷15=50个750÷6×2+3=50个分析解答二由“徒弟先做5天后,师傅接着做5天完成加工任务”可知师徒工作效率之和为15,又因为“师傅先做6天后,徒弟再做3天完成加工任务”可视为师、徒合做3天,师傅再做3天完成任务;故合做3天完成这批零件的15×3=35,余下的1一35=25由师傅3天完成;则师傅工作效率为25÷3=215,徒弟工作效率为15一215=115;即徒弟每天做750×115=50个750×15一1一15×3÷3=50个例24 甲、乙两队同时各抢修一段同样长的铁路;开工12天后两队完成的工作量正好等于甲队的总工作量,开工20天后乙队完成了任务,甲队还需再修400米才能完成任务;两段抢修的铁路共长多少米分析解答把一段铁路的长作为单位“1”,两队一天完成112,乙队一天完成120,所以甲队一天完成112一120=130,所求列式为：400÷1一130×20×2=2400米例25 甲、乙二人各加工一批零件,乙完成任务比甲少用2小时,如果甲先做200个,乙再开始生产,当甲完成时,乙还剩90个;乙的工作效率是甲的34,甲每小时做多少个分析解答因为乙的工作效率是甲的34,所以乙做90个零件的时间甲能做90÷34=120个,也就是如果甲先做200—120=80个,乙再开始生产,二人能够同时完成;甲做80个所用时间是2小时,因而每小时能做80÷2=40个200—90÷34÷2=40个答：甲每小时做40个;例26 完成某项工作,甲、乙合做需5小时,乙、丙合做或甲、丁合做都需4小时;问：丙、丁合做这项工作需多少小时分析解答l÷310=103小时=313小时例27 一批零件平均分给甲、乙两人加工,当甲完成任务的34时,乙完成了任务的45;这时甲比乙少做60个;这批零件一共有多少个分析解答一把两人各自加工的任务看作单位“1”,当甲完成任务的34时,乙比甲多做了45一34=120,根据甲比乙少做60个,就可以求出各自的任务数60÷120=1200个,则这批零件一共的个数是1200×2=2400个60÷45一34×2=2400个答：这批零件一共2400个;分析解答二把这批零件看作单位“1”,两人同时加工各完成了这批零件的4 5×12=25和34×12=38,这批零件的总个数是60÷25一38=2400个60÷45×12一34×12=2400个分析解答三设甲和乙的各自任务为x个’4 5x一34x=60x=12001200×2=2400个例28 一批零件,单独加工甲要20小时完成,乙要30小时;现在甲、乙共同加工,完成任务时,甲比乙多加工180个零件;这批零件共有多少个分析解答一甲、乙两人的工作效率比为120：130=3：2,同一时间内,两人加工的工作量的比是3：2,则这批零件共有的个数是：180×3232+-=900个答：这批零件共有900个;分析解答二先求出同时加工完成任务所用时间1120+130=12小时,甲比乙多加工这批零件的120-130×12=15,那么这批零件总数为180÷15=900个1÷120+130=12小时180÷120-130×12=900个分析解答三根据解答二的分析,甲比乙每小时多加工180÷1÷120+130=15个;180÷1÷120+130÷120-130=900个例29 一批零件,甲、乙两组合做15小时完成,完成时,甲组比乙组少做零件450个;已知甲组每小时做零件105个,这批零件共有多少个分析解答一假设乙每小时也做105个,则甲乙两组15小时共做105×15×2=3150个,但实际完成时乙组比甲组多做450个,用3150+450=3600个,就是零件总数;105×15×2+450=3600个答：这批零件共有3600个;分析解答二由条件可知,甲组15小时可做的零件是105×15=1575个,那么乙做的个数是1575+450=2025个,这批零件总数是105×15+450+105×15=3600个分析解答三“完成任务时,甲组比乙组少做零件450个”,得出甲组每小时比乙组少做450÷15=30个,乙组的工作效率是105+30=135个,这批零件总数135+105×15=3600个450÷15+105+105× 15=3600个例30 师徒二人加工同一种机器零件,徒弟工作4小时,师傅工作7小时,师傅每小时比徒弟多做10个,徒弟做的零件是师傅的1021;师傅加工了多少个零件分析解答一如果徒弟每小时多做10个就变为师徒二人的工作效率相等,这时徒弟做的零件就正好是师傅的47,徒弟做的总数比原来4小时的个数要多出40个,可见,40个对应着师傅所做零件个数的47一1021=221;解：10×4÷47一1021=420个答：师傅加工了420个零件;分析解答二设师傅每小时加工x个;x×7×1021=x－10×4x=6060×7=420个例31 一项工程,甲、乙、丙3人合做需13天完成,如果丙休息2天,那么乙就要多傲4天,或者甲、乙合作再多做1天;这项工程由甲单独去做需要多少天分析解答丙做2天等于甲做4天,丙的工作效率是乙的2倍；由乙做4天等于甲、乙合做1天,推知甲的工作效率是乙的3倍;甲、乙、丙合做13天,等于乙做13×3+13+13×2=13×3+1+2=78天所以甲独做需78÷3=26天例32 有一个工作小组,当每个工人在各自的工作岗位上工作时,7小时可生产一批零件;如果交换工人甲、乙的岗位,其他人不变,那么可提前1小时完成这批零件；如果交换工人丙、丁的岗位,其他人不变,也可提前1小时完成这批零件;问：如果同时交换甲与乙,丙与丁的岗位,其他人不变,那么完成这批零件需多长时间分析解答原来每小时可完成17,交换甲、乙后,每小时可完成16,每小时多完成16一17=142;同时交换甲与乙,丙与丁,每小时多完成142×2=121,一小时完成17+121=421,所以需211544小时=5时15分例33 师徒二人各自完成自己零件加工任务,师傅每小时加工50个,徒弟每小时加工40个,二人同时开始生产,恰好能同时完成任务；如果徒弟比师傅提前1小时生产,师傅每小时加工60个,也能同时完成任务;徒弟一共要加工多少个零件分析解答根据条件可知,师傅每小时做60个完成自己的任务比每小时做50个完成任务少用1小时,从而可以求出师傅的任务数l 115060-=300个,而师徒工作效率比为50：40,即同一时间完成的工作数量比也是50：40,那么徒弟完成的任务数是300×4050=240个l÷115060-×4050=240个答：徒弟一共要加工240个零件;例34 一组割草人要把两块草地的草割掉,大的一块草地比小的大一倍;全体组员用半天时间割大的一块草地,下午他们便对半分开,一半仍留在大草地上,到傍晚时把草割完了;另一半就到小草地割草,到傍晚时还剩下一块;剩下的一块由一个割草人又用一天的时间才割完;这组割草人共有多少人分析解答一设大块草地的面积为l,则小块草地的面积为12;由于全组人半天与半组人半天才割完大块草地,因此半组人半天可割去大块草地面积的13如图;故得1人1天的工作量图中阴影部分相当于大块草地面积的12一13=16,所以这组割草人的人数为：1+13÷12一13=8人答：这组割草人共有8人;分析解答二设全组割草人一天的工作量为1;由题意可知,大块草地的工作量为12+14=34,小块草地的工作量为14,再加上1人1天的工作量;又由于大块草地面积是小块草地面积的2倍,用小块草地的工作量乘以2,得到大块草地的工作量相当于12再加上2人1天的工作量;所以这组割草人的人数为：2÷34一12=8人分析解答三设大块草地的面积为3份,则小块草地的面积为1．5份;由全组人半天与半组人半天可割完大块草地,推知半组人半的工作量天的工作量为1份;又由于半组人半天与1人1天可割完小块草地,故得1人1天为1．5—1=0．5份;又因为全组人1天的工作量是3+1=4份,所以这组割草人的人数为：3+1÷0．5=8人分析解答四设全组人数为x人;若1天割完大块草地,则需人数为12x+12×12x；若l天割完小块草地,则需人数为12×12x+1,故得：1 2x+12×12x=12×12x+1×2x=8练习六1．筑路队计划修筑一条长2400米的公路,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成,如果两队同时开工共同修筑,多少天可以完成2．小东从家到校步行要45分,如果骑自行车只要15分,小东从家出发,骑车9分后,再步行,还要多少分可以到校3．一项工程,甲乙合做4天后,余下的甲独做6天才完成,已知甲5天的工作量等于乙4天的工作量,甲独做这项工程要多少天完成4．抄写一份稿件,小张和小王合抄6天可以完成;现在两人同时抄写,中途小张因外出开会停了8天,结果这份稿件12天抄完;这份稿件由小张独抄需要多少天完成5．一项工程,甲独做75天完成,乙独做50天完成,在合做的过程中,甲中途因事离开了几天,结果整个工程40天才完工;甲中途离开几天6．甲、乙二人同时开始加工一批零件,每人加工零件总数的一半;甲完成任务的1 3时乙加工了45个零件,甲完成23时乙完成了一半;问：这批零件共有多少个7．加工一批零件,张师傅独做需36小时完成,李师傅独做需45小时完成;如果开工时两人合做,中途张师傅退出转做新的工作,那么李师傅又做了18小时才完成;张师傅做了多少小时8．一项工程,如果甲先做5天,那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天,那么乙接着做8天可完成;如果甲、乙合做多少天可以完成9．一项工程,甲、乙两人合做4天后,再由乙单独做5天完成;已知甲比乙每天多完成这项工程的130;甲单独做这项工程需要多少天完成lO．王明与陈玲抄一份稿件,先由王明抄12小时,然后两人合抄还要9小时可以完成；如果先由陈玲抄12小时,然后二人合抄还要7小时可以完成,现在由两人同时合抄这份稿件,需要几小时完成11．甲、乙、丙三人合修一围墙,甲、乙合修5天修好围墙的13,乙、丙合修2天修好余下的14,剩下的甲、丙又合修了5天才完成;问：甲、乙、丙单独修各需几天。
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七、分数应用题之工程问题
例1、一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天，如果由乙单独做需要30天完成，求如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？
例2、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。
甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。
乙请假多少天?
【拓展】一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？
例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。
有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。
丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
【拓展】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加1
4
，如果让甲、乙、
丙三队单独做，完成A工程所需时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？
一、代换法
例4、一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。
现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时。
乙单独开几小时可以灌满？
【巩固】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。
两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？
例5、一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完。
现在甲先抄2小时，剩下的甲乙合作，还需要几小时才能完成？
※例6、一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。
如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？
【拓展】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？。