2020-2021学年新教材鲁科版选择性必修第一册 2.3 单摆 作业

单摆
(25分钟·70分)
一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)
1.在研究单摆的运动规律过程中,首先确定单摆的振动周期公式T=2π的科学家是()
A.伽利略
B.牛顿
C.开普勒
D.惠更斯
【解析】选D。

意大利科学家伽利略最早发现了摆的等时性原理,后来惠更斯得出了单摆的周期公式,故D正确。

2.下述哪种情况,单摆的周期会增大( )
A.增大摆球的质量
B.减小单摆的振幅
C.缩短摆长
D.将单摆由山下移到山顶
【解析】选D。

根据单摆的周期公式T=2π,要增大单摆的周期,可以增加摆长或减小重力加速度;与摆球的质量和振幅无关;将单摆由山下移至山顶,重力加速度变小,故选项D正确,A、B、C错误。

3.做简谐运动的单摆摆长不变,若摆球质量减小为原来的,摆球经过平衡位置时速度增大为原来的2倍,则单摆振动的( )
A.频率、振幅都不变
B.频率、振幅都改变
C.频率不变,振幅改变
D.频率改变,振幅不变
【解析】选C。

由单摆的周期公式T=2π,可知,单摆摆长不变,则周期不变,频率不变;振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量,据动能公式可知,摆球经过平衡位置时的动能不变,据机械能守恒mgh=mv2可知,质量减小,所以高度增加,因此振幅改变。

所以选C。

4.一个单摆做简谐运动,周期为T,振幅为A,振动机械能为E(以摆球通过最低点位置为重力势能参考平面)。

若保持摆长不变,将摆球质量变为原来的4倍,而通过平衡位置的速度变为原来的一半,那么关于该单摆做简谐运动的周期、振幅、振动机械能,下列判断正确的是( )
A.周期小于T,振幅仍为A,振动机械能仍为E
B.周期小于T,振幅小于A,振动机械能小于E
C.周期仍为T,振幅仍为A,振动机械能小于E
D.周期仍为T,振幅小于A,振动机械能仍为E
【解析】选D。

由单摆的周期公式T=2π可知,单摆摆长不变,则周期不变,即周期仍为T;由E k=mv2可知,当摆球质量变为原来的4倍,
通过平衡位置的速度变为原来的一半时经过最低点的动能不变,则振动机械能仍为E,在振动过程中机械能守恒,则有:mgh=mv2,解得:h=,由此可知速度变小,高度减小,所以偏离平衡位置的最大距离变小,即振幅减小,所以振幅小于A,D正确。

5.一个单摆的摆球偏离到最大位置时,正好遇到空中竖直下落的雨滴,雨滴均匀附着在摆球的表面,下列说法正确的是 ( )
A.摆球经过平衡位置时速度要增大,周期减小,振幅要增大
B.摆球经过平衡位置时速度没有变化,周期减小,振幅也减小
C.摆球经过平衡位置时速度没有变化,周期也不变,振幅要增大
D.摆球经过平衡位置时速度要增大,周期不变,振幅要增大
【解析】选D。

根据单摆的振动周期公式:T=2π,周期与摆长和重力加速度有关,而这两个量均不变,故周期不变,单摆经过最大位移处,与竖直下落的雨滴相遇,使得单摆在最大位移处有了初速度,根据机械能守恒定律知,上摆的最大高度变大,即振幅增大,到达最低点(平衡位置)的速度变大,故D正确。

6.一摆长为L的单摆在悬点正下方0.75L处有一钉子P,单摆从A点静止释放,已知摆角很小,下列说法中正确的是( )
A.单摆在最高点A时,绳子的拉力提供回复力
B.单摆在最低点B时,合外力为零
C.从碰钉到第一次摆回B点的时间为π
D.从碰钉到第一次摆回B点的时间为π
【解题指南】解答本题时应理解以下两点:
(1)摆线碰到障碍物摆长发生变化,导致单摆周期发生变化。

(2)摆球的线速度不变,摆长的变化导致角速度、向心力发生变化。

【解析】选C。

在最高点A时,重力沿半径方向的分力与绳子的拉力平衡,重力沿圆弧切线的分力提供回复力,即绳子的拉力和摆球重力的合力提供回复力,故选项A错误;在最低点由绳子的拉力和重力合力提供向心力,合外力不为零,故选项B错误;单摆运动的周期为T=2π,碰钉后绳长变短为,周期变长为T1=
2π=π,从碰钉到第一次摆回B点的时间为t==π,故选项C正确,D错误。

二、计算题(本题共2小题,共34分。

要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
7.(16分)如图是单摆振动时摆球位移随时间变化的图像(取重力加速
度g=
π2 m/s2)。

(1)求单摆的摆长l。

(2)估算单摆偏离竖直方向的最大角度(单位用弧度表示)。

【解析】(1)根据周期公式有T=2π,由图像可知单摆周期T=2 s 解得l=1 m。

(2)单摆振动时偏离竖直方向的最大角度θ≈解得θ≈0.05 rad。

答案:(1)1 m (2)0.05 rad
8.(18分)一个摆长为2 m的单摆,在地球上某地摆动时,测得完成50次全振动所用的时间为142 s。

(1)求当地的重力加速度g;
(2)若把该单摆拿到月球上去,已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2,则该单摆振动周期是多少?
【解析】(1)完成50次全振动所用的时间为142 s,则周期:T==
s=2.84 s根据公式T=2π得:g=≈9.78 m/s2;(2)把该单摆拿到月球上去,已知月球上的重力加速度是 1.60 m/s2,则该单摆振动周
期:T′=2π≈7.02 s。

答案:(1)9.78 m/s2(2)7.02 s
(15分钟·30分)
9.(6分)(多选)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像,则下列说法中正确的是( )
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t=2 s时,甲摆的重力势能最小,乙摆的动能为零
C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等
【解析】选A、B。

由图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm,故选项A正确;t=2 s时,甲摆在平衡位置处重力势能最小,乙摆在振动的最大位移处,动能为零,故选项B正确;甲、乙两摆的周期之比为1∶2,由单摆的周期公式T=2π,得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4,故选项C错误;由题目的条件不能比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小,故选项D错误;故选A、B。

【补偿训练】
(多选)如图甲所示,一单摆做小角度摆动,从某次摆球由左向右
通过平衡位置开始计时,相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。

不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。

对于这个单摆的振动过程,下列说法正确的是
( )
A.单摆的摆长约为1.0 m
B.单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin(πt) cm
C.从t=0.5 s到t=1.0 s的过程中,摆球的重力势能逐渐增大
D.从t=1.0 s到t=1.5 s的过程中,摆球所受回复力逐渐减小
【解析】选A、B。

由题图乙可知单摆的周期T=2 s,振幅A=8 cm。

由单摆的周期公式T=2π,代入数据可得l=1 m,选项A正确;由ω=
可得ω=π rad/s,则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=Asin ωt=8sin(πt) cm,选项B正确;从t=0.5 s到t=1.0 s的过程中,摆球从最高点运动到最低点,重力势能减小,选项C错误;从t=1.0 s到t=1.5 s的过程中,摆球的位移增大,回复力增大,选项D错误。

10.(6分)如图所示,曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面,圆弧与水平面相切于O点,AO弧长为10 cm,现将一小球先后从曲面的顶端A 和AO弧的中点B由静止释放,到达底端的速度分别为v1和v2,经历的时间分别为t1和t2,那么
( )
A.v1<v2,t1<t2
B.v1>v2,t1=t2
C.v1=v2,t1=t2
D.以上三项都有可能
【解析】选B。

因为AO弧长远小于半径,所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度单摆的摆动,即做简谐运动,等效摆长为 2 m,单摆的周期与振幅无关,故有t1=t2,因摆动只有重力做功,有:mgh=mv2,所以v=,故v1>v2。

所以选B。

11.(6分)如图所示的几个摆长相同单摆在不同条件下,关于它们的周期关系,其中判断正确的是 ( )
A.T1>T2>T3>T4
B.T1<T2<T3<T4
C.T1<T2=T3<T4
D.T1>T2=T3>T4
【解析】选D。

据周期公式T=2π单摆的周期与振幅和摆球质量无关,与摆长和重力加速度有关;(1)中沿斜面的加速度为a=g sin θ,
所以周期为T1=
2π;(2)中加速度为a=g,所以周期为T2=2π;(3)中的周期为T3=
2π ;(4)中的加速度为a′=g+a,所以周期为T4=2π;故T1>T2=T3>T4,故选D。

12.(12分)有一单摆,其摆长l=1.02 m,已知单摆做简谐运动,单摆振动30次用的时间t=60.8 s,试求:
(1)当地的重力加速度是多大?
(2)如果将这个单摆改为秒摆,摆长应怎样改变?改变多少?
【解析】(1)当单摆做简谐运动时,其周期公式T=2π,由此可知g=,只要求出T值代入即可。

因为T== s=2.027 s
所以g== m/s2=9.79 m/s2。

(2)秒摆的周期是2 s,设其摆长为l0,由于在同一地点重力加速度是不变的,根据单摆的振动规律有:=故有:l0== m=0.993 m,所以其摆长要缩短:Δl=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m。

答案:(1)9.79 m/s2(2)缩短0.027 m
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