2006年高考文科数学试题及答案(福建卷)

2006年高考文科数学试题（福建卷）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）"tan 1"α=是""4πα=的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不而充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7-（5）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（6）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是 （A ）(1)1x y x x =≠+方 （B ）(1)1x y x x =≠- （C ）1(0)x y x x -=≠ （D ）1(0)xy x x-=≠ （7）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ） （B （C ）3 （D （8）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种 （9）已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+=则b 等于 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1 （10）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（11）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（12）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡的相应位置。

（13）251()x x-展开式中4x 的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。

（14）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = （15）已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2x y +的最大值是＿＿＿＿。

（16）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿＿＿。

三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？（18）（本小题满分12分） 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。

（19）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。

（20）（本小题满分12分） 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。

（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的中点在直线0x y +=上，求直线AB 的方程。

（21）（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在实数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈BE（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),nn b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。

2006年高考(福建卷)数学文试题答案一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。

每小题5分，满分60分。

（1）D （2）B （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）C （11）C （12）D 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题4分满分16分。

（13）10 （14）14 （15）4 （16）32三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。

满分12分。

解：（I）1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=++132cos 22223sin(2).62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（II ）方法一：先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象。

方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=-平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象。

（18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。

满分12分。

解：（I ）设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则655().666P A ⨯==⨯答：抛掷2次，向上的数不同的概率为5.6（II ）设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。

向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1) 5种，55().6636P B ∴==⨯答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为5.36（III ）设C 表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次， 3325511105()(3)()().223216P C P C ∴====答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为5.16（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

满分12分。

方法一： （I ）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC =222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中，111,222EM AB OE DC ====OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=ABMDEOC∴异面直线AB 与CD所成角的大小为arccos4（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h,11 (33)E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=在ACD ∆中，2,CA CD AD ==12ACD S ∆∴==而211,22CDE AO S ∆===1.CDEACDAO S h S ∆∆∴===∴点E 到平面ACD方法二：（I ）同方法一。

（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),((1,0,1),(1,2C A E BA CD =-=-.2cos ,BACD BA CD BA CD∴<>== ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为arccos4（III ）解：设平面ACD的法向量为(,,),n x y z =则.(,,).(1,0,1)0,.(,,1)0,n AD x y z n AC x y z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩0,0.x zz+=⎧⎪∴-=令1,y=得(3,1n=-是平面ACD的一个法向量。

又1(2EC=-∴点E 到平面ACD的距离.377EC nhn===（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

满分12分。

解：（I）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x==∴=-=-圆过点O、F，∴圆心M在直线12x=-上。

设1(,),2M t-则圆半径13()(2).22r=---=由,OM r=3,2=解得t=∴所求圆的方程为2219()(.24x y++±=（II）设直线AB的方程为(1)(0),y k x k=+≠代入221,2xy+=整理得2222(12)4220.k x k x k+++-=直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根，记1122(,),(,),A x yB x y AB中点00(,),N x y则21224,21kx xk+=-+2012002212(),(1),22121k k x x x y k x k k =+=-=+=++线段AB 的中点N 在直线0x y +=上，∴2002220,2121k kx y k k +=-+=++ 0k ∴=，或1.2k =当直线AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点F 不在直线0x y +=上。