学海导航高三数学人教B版文科第一轮总复习课件8.44直接证明与间接证明

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学海导航高三数学人教B版文科第一轮总复习课件1.1集合的概念及运算

解析：因为A∩B＝B，所以B⊆A，因为{1,2}⊆A，所以选A.
5．已知全集U，集合M，N关系的韦恩(Venn)图如图所示，则∁U(M∩N)＝( D )
A．{1,8,9} C．{3,4,5}
B．{1,2,8,9} D．{1,2,6,7,8,9}
解析：因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M∩N＝{3,4,5}，所以∁U(M∩N)＝{1,2,6,7,8,9}，故选D.
(2)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝ {0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( B ) A．{5,8} C．{0,1,3} B．{7,9} D．{2,4,6}
(3)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x ＋(a2－5)＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解析：(1)因为N＝{0,1}，M＝{－1,0,1}，所以M∩N＝ {0,1}． (2)(方法一)因为全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝ {0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，所以∁UA＝{2,4,6,7,9}，∁UB＝{0,1,3,7,9}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{7,9}，故选B. (方法二)集合(∁UA)∩(∁UB)即为在全集U中去掉集合A和集合 B中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B.
＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( A．{1,2,4} C．{0,2,4}
) B．{2,3,4} D．{0,2,3,4}
(2)已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3) ＞0}，则A∩B＝( A．(－∞，－1) 2 C．(－3，3) ) 2 B．(－1，－3) D．(3，＋∞)

学海导航人教版高三第一轮复习课件文科数学第65讲随机事件的概率

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评：对互斥事件要把握住不能同时发生，而对立事件除不能同时发生外，其并事件应是必然事件．这些可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
【变式探究】
1．在上题条件下，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)B与C; (2)C与E.
)
①每个试验结果出现的频数之和等于试验次数； ②每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ③概率就是频率； ④频率和概率都可以用来度量随机事件发生的可能性大小． A．① C．①④
解：只有①④正确，选C.
答案：C
B．①②④ D．③④
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
4．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的必要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
复习目标课前预习高频考点课时小结
m 2．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为 n ，若试验次数n很大时，则P(A)满足( m A．P(A)≈ n m C．P(A)> n ) m B．P(A)< n m D．P(A)＝ n
答案：A
复பைடு நூலகம்目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．下列说法中正确的是(
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
考点二· 随机事件的频率与概率
答案：Ｄ
复习目标

【学海导航】高三数学第一轮总复习 1

所以 pr,qr,r s,sq ，从而 r
q，pq,p s,rs,所以①②④正确.
故选B.
题型1 充分条件、必要条件、充要条件的判定
1. 判断下列各组条件中，p是q的什么条件:
(1)p:|x|=x;q:x2+x≥0; (2)p:x1+x2=-5;q:x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根; (3)p:x＞0且y＜0；q:x＞y且 1 1 ;
下列命题:
①r是q的充要条件;
②p是q的充分而不必要条件;
③r是q的必要而不充分条件;
④ p是 s的必要而不充分条件;
⑤r是s的充分而不必要条件.
则正确的命题序号是( )
A. ①④⑤
B. ①②④
C. ②③⑤
D. ②④⑤
解：因为p是r的充分而不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q 是s的必要条件，
既非充分也非必要条件.
三、充分条件与必要条件的关系
若p是q的充分条件，则q是p的⑨_必__要__ 条件；若p是q的必要条件，则q是p的⑩ _充__分__条件.
盘点指南：①pq;②qp;③p q且q
p;④p / q且q / p;⑤AB;⑥A B;⑦A B 且B A;⑧A B，且B A;⑨必要；⑩充
分
4. 确定条件为不充分或不必要条件时，常用构造反例的方法来说明.
5. 若判断或证明命题“pq”较为困
难，可转化为研究其逆否命题“q p”，
往往能使问题得以简化.
所故以所故因所求为以aaa≤ 的pxp是≤实是a1 q12+数的1q.a1的充的, 必分解取要而得值而不0范≤不必围a≤充要是分条［.12 条件0，件，12，］.
参考题
题型充要条件的证明设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|的充要条件是xy≥0. 证明：充分性即证：xy≥0 |x+y|=|x|+|y|，必要性即证：|x+y|=|x|+|y| xy≥0. (1)充分性：若xy=0，则有x=0或y=0，或x=0且y=0. 此时显然|x+y|=|x|+|y|.

高考数学(人教B版文科)总复习课件：12-2直接证明与间接证明

失误与防范 1 ．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”即“证……”只“需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论． 2 ．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.
【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√或”“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )
(3)用反证法证明结论“a> b ”时，应假设“a< b ”．(
)
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．
(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去.
方法与技巧 1 ．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知． 2 ．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知． 3 ．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
B的坐标设出点A 的坐标，代入椭圆方程求得点A 的坐标，后求AC 的长；
(2)将直线方程代入椭圆方程求出AC 的中点坐标(即 OB 的中点坐标)，判断直线AC 与OB 是否垂直．
【温馨提醒】 (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．
【解析】 a2 －ab ＝a(a－b )， ∵a0 ， ∴a2 > ab .① 又ab －b 2 ＝b (a－b )>0 得a2 > ab > b 2 .

学海导航新课标高中总复习第1轮B文科数学周周练参考答案

学海导航·新课标高中总复习(第1轮)B·文科数学参考答案周周练周周练(一)1．D 因为M ∩N ＝2，所以2∈M,2∈N . 所以a ＋1＝2，即a ＝1.又因为M ＝{a ，b }，所以b ＝2.所以M ∪N ＝{1,2,3}．2．D 因为A ＝{－1,1}，B ⊆A ，所以当B ＝∅时，a ＝0；当B ≠∅时，a ＝±1.3．A 当a ＝0时，函数y ＝ln|x |为偶函数；当函数y ＝ln|x －a |为偶函数时，有ln|－x －a |＝ln|x －a |，所以a ＝0.4．D 由条件知，p 是假命题；又由三角函数可知q 是真命题，故綈p 为真，所以(綈p )∧q 为真．5．C 由题知x 0＝－b2a为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．6．[1,2) M ＝{x |0<x <2}，N ＝{y |y ≥1}，所以M ∩N ＝[1,2)．7．3 A ＝{x |－1＜x ＜3}，A ∩Z ＝{0,1,2}，A ∩Z 中所有元素之和等于3.8．1 因为a ＋b ＝1⇒1＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2≥4ab ⇒ab ≤14.所以原命题为真，从而逆否命题为真；若ab ≤14，显然得不出a ＋b ＝1，故逆命题为假，因而否命题为假．9.13 l 1⊥l 2⇔2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13. 10．p ∨q ，綈p 依题意p 假，q 真，所以p ∨q ，綈p 为真． 11．解析：(1)A ∪B ＝{x |4≤x <8}∪{x |2<x <10}＝{x |2<x <10}； ∁R A ＝{x |x <4或x ≥8}，(∁R A )∩B ＝{x |2<x <4或8≤x ＜10}． (2)若A ∩C ≠∅，则a >4.12．解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0，当a ＝1时，解得1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 且p ⇒/ q ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A B ，又B ＝(2,3]，当a >0时，A ＝(a,3a )； a <0时，A ＝(3a ，a )．所以当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23<3a )，解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是1<a ≤2.周周练(二)1．C a ＝1，b ＝0，所以a ＋b ＝1.2．D 在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝1，则f (2)＝f (1)＋f (1)＝4，所以f (1)＝2. 3．B 据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥a 0，即13≤a <1. 4．C 因为在(0，＋∞)上函数递减，且f (12)·f (－3)<0，又f (x )是偶函数，所以f (12)·f (3)<0.所以f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．又因为f (x )是偶函数，则它在(－∞，0)上也有唯一的零点，故方程f (x )＝0的根有2个． 5．C 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 所以f (4)＝f (2－2)＝f (0)＝0.6．0 由题意，f (x )是4为周期的奇函数，所以f (4)＝f (4＋0)＝f (0)＝0， f (8)＝f (4＋4)＝f (4)＝0.7．11 因为f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2，所以f (x )＝x 2＋2，所以f (3)＝32＋2＝11.8．f (x )＝－1x ＋2因为f (x )的图象关于x ＝－1对称，有f (－2－x )＝f (x )．设x ∈(－∞，－2)时，－2－x ∈(0，＋∞)，所以f (－2－x )＝1－2－x ＝f (x )，即f (x )＝－1x ＋2.9．x ＝12因为f (x ＋1)是偶函数，其图象的对称轴为y 轴，所以f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1，故f (2x )的图象的对称轴为直线x ＝12.10．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 因为f (x )是奇函数，所以f (1)＝－f (－1)<1，所以f (－1)>－1. 又因为f (x )的周期为3，所以f (－1)＝f (2)＝2a －1a ＋1>－1.即3a a ＋1>0，解得a >0或a <－1. 11．解析：(1)证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，因为f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，又x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1. 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，即f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )是R 上的增函数．(2)令a ＝b ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝2f (2)－1，所以f (2)＝3，而f (3m 2－m －2)<3，所以f (3m 2－m －2)<f (2)．又f (x )在R 上是单调递增函数，所以3m 2－m －2<2，所以3m 2－m －4<0，解得－1<m 43.故原不等式的解集为(－1，43)．12．解析：(1)因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．所以f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2.又f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2，所以f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，所以f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8. (3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0，f (2012)＋f (2013)＋f (2014)＝1.所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＝1.周周练(三)1．D 对A ，定义域、值域均为[0，＋∞)；对B ，定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；对C ，定义域、值域均为R ；对D ，定义域为R ，值域为[0，＋∞)．2．D 因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以f (0)＝c <0，只能选D.3．D 由y ＝－3－x 得－y ＝3－x ，(x ，y )可知关于原点中心对称．4．A 因为不等式x 2－log a x <0在(0，12)内恒成立，所以0<a <1，且14<log a 12.所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 14>12，所以116<a <1.5．C 令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )图象与x 轴在[1,5]上有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (5)≥0，所以－235≤a ≤1.6．3 因为a 23＝49，所以log 23a 23＝log 2349＝2，所以23log 23a ＝2，所以log 23a ＝3.7．(－∞，－2] 函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12)x －1＋m ，因为函数的图象不经过第一象限，所以(12)0－1＋m ≤0，即m ≤－2.8．c 532＝2>log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，所以f (0.2－0.6)<f (log 123)<f (log 47)，即c <b <a .9.23 如图所示为f (x )＝|log 3x |的图象，当f (x )＝0时，x ＝1，当f (x )＝1时，x ＝3或13，故要使值域为[0,1]，则定义域为[13，3]或[13，1]或[1,3]，所以b －a 的最小值为23.10．(0,2) 因为f (x )＝|2－x 2|的图象关于y 轴对称，0<a 0，得x >3或x <1，所以M ＝{x |x >3或x <1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋2512.因为x >3或x <1，所以2x >8或0<2x<2，所以当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．12．解析：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6＝ab 24＝b ·a 3，结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3，所以f (x )＝3·2x .(2)要使(12)x ＋(13)x ≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56.所以只需m ≤56即可．所以m 的取值范围为(－∞，56]．周周练(四)1．C 画出偶函数y ＝|x |，y ＝cos x 的图象，易知只有两个根．2．A 当x ≥4时，f (x )＝x 2－4x －5；当x <4时，f (x )＝－x 2＋4x －5.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x －5 (x ≥4)－x 2＋4x －5 (x <4)，函数f (x )的图象如图所示．由图象易知，要满足方程f (x )＝a 有三根，a 的取值范围是－5<a <－1.3．D 因为f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ∈[－1，0]x 2＋1 x ∈(0，1] 其图象如图，验证知f (x －1)，f (－x )，f (|x |)的图象均正确，只有|f (x )|的图象错误．4．D 由题意，知f (x )在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，所以f (－1)·f (1)符号不定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x .5．D 设铁丝分成的两段长分别为x ，y (x ＞0，y ＞0)，x ＋y ＝2.面积之和为S ＝(x 4)2＋π(y 2π)2＝116x 2＋(2－x )24π＝π＋416πx 2－1πx ＋1π，当S 取得最小值时，x ＝8π＋4.6．{x |－1<x <2} |f (x ＋1)|<1⇔－1<f (x ＋1)<1 ⇔f (0)<f (x ＋1)<f (3)，又y ＝f (x )是R 上的增函数，所以0<x ＋1<3. 所以－1<x <2.7．[1，＋∞) y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x ＝log 2(x ＋1x)≥log 22＝1(x >0)．8．(0,1) 画出图象，令g (x )＝f (x )－m ＝0，所以f (x )与y ＝m 的图象的交点有3个，所以0<m <1.9．(－∞，1) x ≤0时，f (x )＝2－x －1；0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1. 故x >0时，f (x )是周期函数，如图．欲使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，则a 的取值范围是(－∞，1)． 10．(－∞，－4] 函数值域为R ，则y ＝2x ＋22－x ＋m 取尽所有正数，而y ＝2x ＋42x ＋m ≥22x ·42x ＋m ＝4＋m ，所以4＋m ≤0，故m ≤－4，故m 的取值范围是(－∞，－4]．11．解析：因为f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3＝(x －8)2＋q －61，所以f (x )在区间[－1,1]上是减函数．若f (x )在区间[－1,1]上存在零点，所以f (－1)·f (1)≤0，即(1＋16＋q ＋3)·(1－16＋q ＋3)≤0，解得－20≤q ≤12.所以实数q 的取值范围是[－20,12]．12．(1)每吨平均成本为yx(万元)．则y x ＝x 5＋8000x －48≥2x 5·8000x－48＝32，当且仅当x 5＝8000x，即x ＝200时取等号．所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y＝40x －x 25＋48x －8000＝－x25＋88x －8000＝－15(x －220)2＋1680(0≤x ≤210)．因为R (x )在[0,210]上是增函数，所以x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660(万元)．所以年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．周周练(五)1．A 因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1＋ex>0.故f (x )的递增区间为(0，＋∞)．2．B 由导数的几何意义可知，f ′(2)、f ′(3)分别表示曲线在x ＝2，x ＝3处的切线的斜率，而f (3)－f (2)表示直线AB 的斜率，即k AB ＝f (3)－f (2)．由图形可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．3．A f ′(x )＝e x(sin x ＋cos x )．因为x ∈[0，π2]，所以f ′(x )>0.所以f (x )在[0，π2]上为增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f (π2)＝e π2.4．D 函数的导数为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零， 12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝(62)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．5．B 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x，由f ′(x )＝0，得x ＝12.据题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1k －1≥0，解得1≤k ＜32.6．－4 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. 所以f ′(x )＝2x －4，所以f ′(0)＝－4.7．(110，10) 因为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数，又f (x )是偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上是单调增函数，所以由f (lg x )>f (1)得|lg x |<1，解得－1<lg x <1，所以x ∈(110，10)．8.3－1 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，令f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意．所以f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.9.2 设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0.由2x 0－1x 0＝1，得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．所以P 点坐标(1,1)．所以P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.10．30 23000 设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)Q＝(p －20)(8300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000(p ≥20)，所以y ′＝－3p 2－300p ＋11700.令y ′＝0，得p 2＋100p －3900＝0，所以p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y所以当p ＝30又y ＝－p 3－150p 2＋11700p －166000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元．11．解析：(1)因为y ′＝(－ln x )′＝－1x(0＜x ≤1)，所以在点M (e －t，t )处的切线l 的斜率为－e t ，故切线l 的方程为y －t ＝－e t (x －e －t )，即e t x ＋y －1－t ＝0.(2)令x ＝0，得y ＝t ＋1；再令y ＝0，得x ＝t ＋1et .所以S (t )＝12(t ＋1)t ＋1e t ＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．从而S ′(t )＝12e －t (1－t )(1＋t )．因为当t ∈[0,1)时，S ′(t )>0；当t ∈(1，＋∞)时，S ′(t )<0，所以S (t )的最大值为S (1)＝2e.12．解析：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ＞－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a 2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163.得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.周周练(六)1．C 165°是第二象限角，因此sin 165°>0正确；280°是第四象限角，因此cos 280°>0正确；170°是第二象限角，因此tan 170°<0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan 310°<0正确．2．C cos (π3＋α)＝sin[π2－(π3＋α)]＝sin(π6－α)＝13.3．B 因为cos 2θ＝23，所以sin 22θ＝79.所以sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12(sin 2θ)2＝1118.4．C 因为α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β. 所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.5．D r ＝sin 23π4＋cos 23π4＝1，由三角函数的定义，tan θ＝yx ＝cos3π4sin 3π4＝－1.又因为sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以P 在第四象限，所以θ＝7π4.6.34 sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B ＝2sin B cos B 2cos 2B＝tan B ＝－3.所以tan 2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34. 7．2 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，则面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，所以当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.8．0 sin αcos α－2sin 2α＝sin αcos α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α－2tan 2αtan 2α＋1，而tan α＝12，则sin αcos α－2sin 2α＝0.9.5665 由题意知，cos β＝－513，sin(α＋β)＝35，又因为α，β∈(0，π)，所以sin β＝1213，cos(α＋β)＝－45.所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45×(－513)＋1213×35＝2065＋3665＝5665. 10.5π3 因为⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝m sin θ·cos θ＝2m －14Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0，代入(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，得m ＝1±32，又3π2<θ<2π，所以sin θ·cos θ＝2m －14<0，即m ＝1－32. 所以sin θ＋cos θ＝m ＝1－32，sin θ·cos θ＝－34.又因为3π2<θ<2π，所以sin θ＝－32，cos θ＝12.所以θ＝5π3.11．解析：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10°＝2sin (10°＋30°)2cos 20°sin 10°cos 10° ＝2sin 40°sin 20°cos 20° ＝2sin 40°12sin 40°＝4. 12．解析：因为4tan α2＝1－tan 2α2，且1－tan 2α2≠0.所以tan α＝2tanα21－tan 2α2＝12.又因为3sin β＝sin(2α＋β)，所以3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，所以2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，所以sin(α＋β)≠0，cos α≠0.所以cos(α＋β)sin α≠0，所以2sin (α＋β)cos αcos (α＋β)sin α＝4，即tan (α＋β)tan α＝2，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1.①又因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，②由①和②知α＋β＝π4.周周练(七)1．A 由已知条件知y ＝f (x )的最小正周期为π，故ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)＝cos[π2－(2x ＋π3)]＝cos(2x －π6)，所以把y ＝cos 2x 的图象向右平移π12个单位可得到y ＝f (x )的图象．2．A |MN |＝|sin α－cos α|＝|2sin(α－π4)|，所以|MN |max ＝ 2.3．A 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]．4．C 函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以函数周期T ＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又因为函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数的一条对称轴．5．A 由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°. 6.62 由图象可得A ＝2，周期为4×(7π12－π3)＝π，所以ω＝2，将(7π12，－2)代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62.7.π6 由题意知，2×4π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . 解得φ＝k π－13π6，k ∈Z .当k ＝2时，|φ|min ＝π6.8．2 由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，|x 1－x 2|的最小值为半个周期．9．120° 因为在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，所以a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，设a ＝b ＝k ，c ＝3k (k >0)，最大边为c ，其所对的角C 为最大角，则cos C ＝k 2＋k 2－(3k )22×k ×k＝－12，所以C ＝120°.10.π4 由4S ＝a 2＋b 2－c 2，得2S ＝a 2＋b 2－c 22. 所以ab sin C ＝a 2＋b 2－c 22，sin C ＝cos C ，所以tan C ＝1.C ＝π4.11．解析：f (x )＝a·b ＋|b|2 ＝53cos x ·sin x ＋cos x ·2cos x ＋sin 2x ＋4cos 2x ＝53sin x cos x ＋sin 2x ＋6cos 2x＝532sin 2x ＋1－cos 2x 2＋3(1＋cos 2x )＝532sin 2x ＋52cos 2x ＋72＝5sin(2x ＋π6)＋72(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(3)因为π6≤x ≤π2，所以π2≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1.所以1≤f (x )≤172，即f (x )的值域为[1，172]．12．解析：(1)由正弦定理得，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin (B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解之得a 2＝1，即a ＝1(负值去掉)．所以c ＝2.由cos B ＝14，得sin B ＝154，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.周周练(八)1．B 由题意得，x i －1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝－1，即x ＋y i ＝2－i.2．A 因为M 为边BC 上任意一点，所以可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．又因为N 为AM 的中点，所以AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.3．B 因为a ∥b ，所以(1－cos θ)(1＋cos θ)＝12.即sin 2θ＝12，又因为θ为锐角，所以sin θ＝22，θ＝45°.4．D 由题意，a·b ＝|a|·|b|cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b|＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝4＋4＋4＝23，所以cos 〈a ，a ＋2b 〉＝a·(a ＋2b )|a|·|a ＋2b|＝a 2＋2a·b 2×23＝4＋243＝32，又〈a ，a ＋2b 〉∈[0，π]，故夹角为30°.5．B 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a·b＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －c|2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，所以有|a ＋b －c|2＝3－2(a·c ＋b·c )≤1，故|a ＋b －c|≤1.6．1＋3i 因为(1＋z )·z ＝z ＋z 2＝1＋i ＋(1＋i)2＝1＋i ＋2i ＝1＋3i. 7．±4 因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0k －2λ＝0，解得k ＝±4. 8.5 因为a·b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b|＝ 5.9．3 由题意OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，所以OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤10≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识知当x ＝0，y ＝1时有最大值3.10．直角三角形因为OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →.所以|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，以AB →、AC →为邻边的平行四边形为矩形，∠BAC ＝90°.11．解析：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c|＝25可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4，所以c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a·b －2b 2＝0.所以2|a|2＋3a·b －2|b|2＝0.所以2×5＋3a·b －2×54＝0，所以a·b ＝－52.所以cos θ＝a·b|a||b|＝－525·52＝－1.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.12．解析：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有4t 2＜0,2t 1＋4t 2≠0. 故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．因为AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，所以不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．(3)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又因为AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，所以4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，所以t 2＝－14a 2.所以OM →＝(－a 2，a 2)．又因为|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝||－a 2－a 2＋22＝2|a 2－1|.因为S △ABM ＝12，所以12|AB →|·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.周周练(九)1．B 因为a 1＋a 3＋a 5＝105，即3a 3＝105，所以a 3＝35，同理可得a 4＝33，所以公差d ＝a 4－a 3＝－2，所以a 20＝a 4＋(20－4)×d ＝1.2．A 由题意得a 2＝2a 1，a 3＝4a 1，a 4＝8a 1.所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14.3．C 因为{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝15－a 5，所以3a 5＝15，即a 5＝5.所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝45.4．A a·b ＝0，则na n ＋1＋(n ＋1)a n ＝0， a n ＋1a n ＝－n ＋1n ， a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝－21×32×43×…×10099＝－100，所以a 100＝－100.5．A 本题考查数列中a n 与S n 的关系以及数列的单调性．由S n ＝kn 2得a n ＝k (2n －1)，因为a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增的，因此k ＞0. 6．10 ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)…(a 10a 11)]＝ln e 10＝10.7．－4 a n ＝23＋(n －1)d ，由题意知，⎩⎨⎧a 6>0a 7<0，即⎩⎪⎨⎪⎧23＋5d >023＋6d <0，解得－235＜d ＜－236，又d 为整数，所以d ＝－4.8．3 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.9．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝1)2n －1 (n ≥2) 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝1)2n －1 (n ≥2).10．－4或1 若删去a 1或a 4，知数列既为等差也为等比时，公差d ＝0，由条件知不成立．若删去a 2，则(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，若删去a 3，则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1d＝－4或1.11．解析：(1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝147a 1＋21d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7a 1＋3d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝3..所以a n ＝3n －2. (2)S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n －1≥23n ·48n －1＝23.当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.12．解析：(1)由2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2，得2S n ＋1＝S n －(12)n ＋2，两式相减得2a n ＋1＝a n ＋(12)n ，上式两边同乘以2n，得2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即b n ＋1＝b n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝1，故数列{b n }是等差数列，且公差为1，又因为b 1＝2a 1＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，因此2n a n ＝n ，从而a n ＝n ·(12)n .(2)由于2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2，所以2S n －S n －1＝2－(12)n －1，即S n ＋a n ＝2－(12)n －1，S n ＝2－(12)n －1－a n ，而a n ＝n ·(12)n ，所以S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n ＝2－(n ＋2)·(12)n .所以S n ＋1＝2－(n ＋3)·(12)n ＋1，且S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋1＞0，所以S n ≥S 1＝12，又因为在S n ＝2－(n ＋2)·(12)n 中，(n ＋2)·(12)n ＞0，故S n ＜2，即S n 的取值范围是[12，2)．周周练(十)1．C a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝2－1＋3－2＋4－3＋…＋10－9＋…＋n ＋1－n ＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.2．C 第一次循环：k ＝1＋1＝2，S ＝2×0＋2＝2；第二次循环：k ＝2＋1＝3，S ＝2×2＋3＝7 第三次循环：k ＝3＋1＝4，S ＝2×7＋4＝18 第四次循环：k ＝4＋1＝5，S ＝2×18＋5＝41第五次循环：k ＝5＋1＝6，S ＝2×41＋6＝88，满足条件则输出S 的值，而此时k ＝6，故判断框内应填入的条件应是k >5.3．B 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104＋(5＋n ＋4910)n2n ＝3.2×104n ＋n20＋4.95，当且仅当3.2×104n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.4．D 由程序框图可知输出的函数为奇函数，具有零点．故只有f (x )＝sin x 满足，选D.5．A 设a 1·a 2·a 3·…·a n ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg (n ＋2)lg (n ＋1)＝lg (n ＋2)lg 2＝log 2(n ＋2)＝k ，则n ＝2k －2(k ∈Z )．令1＜2k －2＜2002，得k ＝2,3,4， (10)所以所有劣数的和为4(1－29)1－2－18＝211－22＝2026.6．990 程序反映出的算法过程为 i ＝11⇒S ＝11×1，i ＝10； i ＝10⇒S ＝11×10，i ＝9； i ＝9⇒S ＝11×10×9，i ＝8；i ＝8<9退出循环，执行PRINT S. 故S ＝990. 7.20142015因为f ′(x )＝2x ＋b ，所以f ′(1)＝2＋b ＝3，所以b ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S 2014＝1－12＋12－13＋…＋12014－12015＝1－12015＝20142015.8．2n ＋1－n －2 由题意得a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋ (2))－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－n －2.9．100 由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.10．64 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.11．解析：(1)因为函数f (x )＝a x 的图象过点(1，12)，所以a ＝12，f (x )＝(12)x .又点(n －1，a n n 2)(n ∈N *)在函数f (x )＝a x的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)由b n ＝(n ＋1)22n －n 22n ＝2n ＋12n ，得S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ，则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得：12S n ＝32＋2(122＋123＋…＋12n )－2n ＋12n ＋1，所以S n ＝5－2n ＋52n ，所以S n <5.12．解析：(1)设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10a 1q 2＋a 1q 4＝40，所以a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n ，所以b n ＝n .(2)因为c 1＝1＜3，c n ＋1－c n ＝n2n ，当n ≥2时，c n ＝(c n －c n －1)＋(c n －1－c n －2)＋…＋(c 2－c 1)＋c 1＝1＋12＋222＋…＋n －12n －1，所以12c n ＝12＋122＋223＋…＋n －12n .相减整理得：c n ＝1＋1＋12＋…＋12n －2－n －12n －1＝3－n ＋12n －1＜3，故c n ＜3.(3)令f (n )＝1b n ＋1＋1b n ＋2＋…＋1b n ＋n＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .因为f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0，所以f (n ＋1)＞f (n )，所以数列{f (n )}单调递增，所以f (n )min ＝f (1)＝12.由不等式恒成立得：k 10＜12，所以k ＜5.故存在正整数k ，使不等式恒成立，k 的最大值为4.周周练(十一)1．A 因为x －y ＝a 2＋3a －6a －18－a 2＋7a －4a ＋28＝10>0，所以x >y .2．C 因为a >0，b >0，a 1b，由不等式的性质a －1a 0，b >0，所以a －b <0，所以a <b ，故由a －1a <b －1b可推出a <b .所以“a <b ”是“a －1a <b －1b ”成立的充要条件．3．D 因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，所以2x ＋3y ＝z ，不等式|x |＋|y |≤1可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1(x ≥0，y ≥0)x －y ≤1(x ≥0，y <0)－x ＋y ≤1(x <0，y ≥0)－x －y ≤1(x <0，y <0)，由图可得其对应的可行域为边长为2，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x ＋3y ＝z 过点(0，－1)时z 有最小值－3，当过点(0,1)时z 有最大值3.所以z 的取值范围为[－3,3]．4．D 因为a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋9b＝1⇒(a ＋b )＝(1a ＋9b )(a ＋b )＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9ab ＝16，当且仅当b a ＝9ab即b ＝3a 时等号成立，此时a ＝4，b ＝12，所以a ＋b ≥16.即要使a ＋b ≥c 恒成立，0<c ≤16. 5．C 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立． (1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意． (2)当a 2＋4a －5≠0时，应有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>016(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0，解得1<a <19. 综上可知，a 的取值范围是1≤a <19.6．(－1,2] 因为x －2x ＋1≤0等价于(x －2)(x ＋1)≤0，(x ≠－1)，所以－1<x ≤2.7.23作出实数x 、y 满足的可行域，易知在点(2,3)处，z 取得最大值．所以z max ＝3－12＋1＝23. 8．(－1，2－1) 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)>f (2x )分两种情况： ①⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0x ≥01－x 2>2x⇒0≤x <2－1.②⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0x <0⇒－1<x <0. 综上可知：－1<x <2－1.9．(0，＋∞) 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域，其中直线x －ay －1＝0经过定点(1,0)且斜率为1a ，结合图形可知，只有当1a>0，即a >0时，目标函数z ＝x ＋3y 才能在点(1,0)处取得最大值(如图甲)；若1a<0，则可行域变为开放的区域，目标函数z ＝x ＋3y 不存在最大值(如图乙)．所以实数a 的取值范围是a >0.10．10 由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有4ac －14a ＝0，从而c ＝14a>0，所以c ＋2a ＋a ＋2c ＝(2a ＋8a )＋(14a2＋4a 2)≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎨⎧2a ＝8a 14a2＝4a 2，即a ＝12时取等号．故所求的最小值为10.11．解析：由f (1－x )＝f (1＋x )，知f (x )的对称轴为x ＝a2＝1，故a ＝2.又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数， f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )>0对x ∈[－1,1]恒成立，即f (x )min ＝b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.12．解析：设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积为S ＝xy .由题意，知40x ＋2×45y ＋20xy ＝3200，由基本不等式，得 3200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100.(1)所以S 的最大允许值是100平方米．(2)S 取得最大值100的条件是40x ＝90y ，且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．周周练(十二)1．B 由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提．2．D 观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )．3．B 因为函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，所以x ＝2是f (x )的对称轴，且在(2,4)上为减函数，由图象知f (2.5)>f (1)>f (3.5)．4．D 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B1C 2＝π2－C1.那么A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．5．A 在图乙中，前k 行共有1＋2＋3＋…＋k ＝k (k ＋1)2个数，若a 2014位于第k 行，则k (k －1)2<2013≤k (k ＋1)2，而63×642＝2016，62×632＝1953，所以a 2014位于第63行从右起的第3个数．又观察图乙可知，第k 行的最后1个数为k 2，所以a 2013＝632－4＝3965.6．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1 经过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.7．cos x －sin x f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ； f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ； f 4(x )＝f ′3(x )＝－cos x ＋sin x ； f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ，则其周期为4，即f n (x )＝f n ＋4(x )． f 2014(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x .8．∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥129.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V ＝V O -ABC ＋V O -SAB ＋V O -SAC ＋V O -SBC ，即V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，可得r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.10．(－1)n ＋1n 2＋n 2注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n 2.11．解析：猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos (α＋30°)＋sin α]＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)(32cos α＋12sin α)＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．12．解析：类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标分别为(m ，n )、(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2. 同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a2(定值)．周周练(十三)1．C 圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为43π·1＝43π，设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝43π，得r ＝23，于是圆锥的高h ＝1－(23)2＝53，故圆锥的体积V ＝4581π.2．D 如图，在正五棱柱ABCDE -A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1、AD 1，同理从B 、C 、D 、E 点出发的对角线也有两条，共2×5＝10条．3．B 由三视图可知，该几何体的上、下底面半径分别为1,2，圆台的母线长为4，所以该几何体的侧面积为π(1＋2)×4＝12π.4．B 根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB ＝42，OA ＝2，所以AB ＝6，所以周长为16.5．D 由43πR 3＝323π，所以R ＝2.所以正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，所以a ＝4 3.所以V ＝34×(43)2×4＝48 3.6．20 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，且底面是一个边长为20的正方形，所以V ＝13×20×20×h ＝80003，所以h ＝20.7．13 依题意可知这个几何体最多可由9＋2＋2＝13个这样的小正方体组成．8．②④ ①③中，GM ∥HN ，所以G 、M 、N 、H 四点共面，从而GH 与MN 共面；②④中，根据异面直线的判定定理，易知GH 与MN 异面．9．①② 在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与平面α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，所以①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错；在④中，由题设知，a 和α相交，设a ∩α＝P ，如图，在α内过点P 的直线l 与a 共面，所以④错． 10.④ 根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)可知，几何体Ω不是棱台．11．解析：(1)侧视图同正视图，如图所示．(2)该安全标识墩的体积为V ＝V P -EFGH ＋V ABCD -EFGH＝13×402×60＋402×20 ＝32000＋32000＝64000(cm 3)． 12．解析：(1)连接A 1B 、CD 1.因为E 是AB 的中点，F 是A 1A 的中点，则EF ∥A 1B . 又在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1B ∥D 1C ，所以EF ∥D 1C .故E 、C 、D 1、F 四点共面．(2)由(1)知，EF ∥D 1C 且EF ＝12D 1C ，故四边形ECD 1F 是梯形，两腰CE 、D 1F 相交，设其交点为P ，则P ∈CE ，P ∈D 1F . 又CE ⊂平面ABCD ，所以P ∈平面ABCD . 同理，P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝AD ，所以P ∈AD ，所以CE 、D 1F 、DA 三线共点．周周练(十四)1．B 根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面可知B 正确．2．D l ∥α时，直线l 上任意点到α的距离都相等，l ⊂α时，直线l 上所有的点到α的距离都是0，l ⊥α时，直线l 上有两个点到α距离相等，l 与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．3．C ①中由已知可得平面A ′FG ⊥平面ABC ，所以点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上． ②BC ∥DE ，所以BC ∥平面A ′DE .③当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′-FED 的体积达到最大．4．C 若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C.。

学海导航高三数学人教B版文科第一轮总复习训练8.44直接证明与间接证明(含答案详析)

第44讲直接证明与间接证明1.用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”，假设内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a <3b C.3a ＝3b 且3a <3b D.3a ＝3b 或3a <3b2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|3.已知a ，b ，c 都是正数，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24.已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z }，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z }．若存在实数a ，b 使得A ∩B ≠∅成立，称点(a ，b )为“￡”点，则“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个5.在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．例如：在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时应分：假设________________和__________两类．6.设S 是至少含有两个元素的集合．在S 上定义了一个运算“*”(即对任意的a ，b ∈S ，对于有序元素对(a ，b )，在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应)．若对任意的a ，b ∈S ，有a *(b *a )＝b ，则对任意的a ，b ∈S ，下列恒成立的等式的序号是________．①(a *b )*a ＝a②[a *(b *a )]*(a *b )＝a③b *(b *b )＝b④(a *b )*[b *(a *b )]＝b7.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号)8.叙述并证明余弦定理．9.若正整数N ＝a 1＋a 2＋…＋a n (a k ∈N *，k ＝1,2，…，n )，则称a 1×a 2×…×a n 为N 的一个“分解积”．(1)当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；(2)当正整数N (N ≥2)的分解积最大时，证明：a k (k ∈N *)中2的个数不超过2；(3)对任意给定的正整数N(N≥2)，求出a k(k＝1,2，…，n)，使得N的分解积最大．第44讲直接证明与间接证明1．D 2.C3．D 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c≥2＋2＋2＝6，矛盾，所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 4．A 要使A ∩B ≠∅成立，首先函数y ＝ax ＋b 的图象与函数y ＝3x 2＋12的图象必须有公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2＋12y ＝ax ＋b ，可得3x 2－ax －b ＋12＝0，①，因为Δ＝a 2－12(－b ＋12)≥0，所以a 2＋12b ≥144.若点(a ，b )在区域C 内，则必有a 2＋b 2≤108，所以a 2≤108－b 2，所以144≤a 2＋12b ≤108－b 2＋12b ，所以b 2－12b ＋36≤0，所以(b －6)2≤0，所以b ＝6.所以a 2≤108－b 2＝72，a 2＋12b ≥144，所以a 2≥72，所以a 2＝72，所以a ＝±62，代入①可得方程无整数解，故满足条件的点不存在，选A.5．∠BAP ＝∠CAP ∠BAP >∠CAP6．②③7．③ 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.8．解析：叙述：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(证法一)如图，a 2＝BC →2＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b2－2bc cos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C，(证法二)已知△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴建立直角坐标系，则C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，所以a2＝|BC|2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos 2A－2bc cos A＋c2＋b2sin 2A＝b2＋c2－2bc cos A，即a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.9．解析：(1)6＝3＋3，分解积的最大值为3×3＝9；7＝3＋2＋2＝3＋4，分解积的最大值为3×2×2＝3×4＝12；8＝3＋3＋2，分解积的最大值为3×3×2＝18.(2)证明：由(1)可知，a k(k＝1,2，…，n)中可以有2个2.当a k(k＝1,2，…，n)有3个或3个以上的2时，因为2＋2＋2＝3＋3，且2×2×2<3×3，所以，此时分解积不是最大的．因此，a k(k∈N*)中至多有2个2.(3)①当a k(k＝1,2，…，n)中有1时，因为1＋a i＝(a i＋1)，且1×a i<a i＋1，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大．②由(2)可知，a k(k＝1,2，…，n)中至多有2个2.③当a k(k＝1,2，…，n)中有4时，若将4分解为1＋3，由①可知分解积不会最大；若将4分解为2＋2，则分解积相同；若有两个4，因为4＋4＝3＋3＋2，且4×4<3×3×2，所以将4＋4改写为3＋3＋2，使得分解积更大．因此，a k(k＝1,2，…，n)中至多有1个4，而且可以写成2＋2.④当a k(k＝1,2，…，n)中有大于4的数时，不妨设a i>4，因为a i<2(a i－2)，所以将a i分解为2＋(a i－2)会使得分解积更大．综上所述，a k(k＝1,2，…，n)中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当N＝3m(m∈N*)时，N＝3＋3＋…＋3m个使得分解积最大；当N＝3m＋1(m∈N*)时，N＝3＋3＋…＋3(m－1)个＋4使得分解积最大；(m－1)个＋2＋2＝3＋3＋…＋3当N＝3m＋2(m∈N*)时，N＝3＋3＋…＋3m个＋2使得分解积最大．。

人教版高三数学一轮复习精品课件4：13.2 直接证明与间接证明

(2)采用反证法思想，假设存在 am，ap，an(m，p，n∈N*) 成等差数列，借助于数列{an}为递增数列推得矛盾，从而说明假设错误，原命题得证．
【解答】(1)由 an＝6an＋1－12×4n，可得 an－4n＝6(an－1－4n－1)．又 a1＝10，a1－4＝6≠0，所以数列{an－4n}是以 6 为首项，公比为 6 的等比数列，所以 an－4n＝6·6n－1，即 an＝6n＋4n；
b2＝a2
＋c2－ac.进而利用余弦定理求得 cosB 的值，进而求得 B，
进而根据三角形内角和可知 A＋C＝2B 判断出 A、B、C 成
等差数列．
【解答】A，B，C 成等差数列，下面用综合法给出证明．因为a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，所以a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，所以a＋c b＋b＋a c＝1，所以 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，所以 b2＝a2＋c2－ac.
A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析：依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根的反面是方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根．
反证法在证明中的应用应用反证法的原则：正难则反，即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法．在利用反证法证明命题要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2) 必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)文数(湖南专版)第44讲直接证明与间接证明

4．应用在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若由P 可以推出Q成立，就可以证明结论成立．在证明一个问题时，如果不容易从条件到结论证明时，可采取分析的方法或者是间接证明的方法 — 反证法．有时证明一道题需多法并用．
二用分析法证明
【例 2】已知 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac< 3a.
【分析】本例可从结果入手，执果索因，逐步推证出恒成立的条件．
【证明】要证 b2－ac< 3a，只需证 b2－ac<3a2，只需证 b2＋a(a＋b)<3a2，只需证 2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0. 因为 a>b>c，所以 a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，显然成立，故原不等式成立．
＋
1 b＋c
＝
3 a＋b＋c
，
所
以
a＋b＋c a＋b
＋
a＋b＋b＋c c＝3，
所以a＋c b＋b＋a c＝1，
所以 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
所以 b2＝a2＋c2－ac. 在△ABC 中，由余弦定理，得 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝2aacc＝21. 因为 0°<B<180°，所以 B＝60°，所以 A＋C＝2B＝120°，所以 A、B、C 成等差数列．
素材1
已知 a，b，c 为正实数，a＋b＋c＝1.求证： a2＋b2＋c2≥13.
【证明】方法 1： a2＋b2＋c2－13＝31(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝31[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝31(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－ 2bc) ＝31[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. 所以 a2＋b2＋c2≥13.Fra bibliotek素材3

学海导航高三数学人教B版文科第一轮总复习课件4.25解三角形的实际应用

【拓展演练 1】某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值，算出了 tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出 H 的值．
H h 解析：由 AB＝，BD＝， tan α tan β H H h H AD＝及 AB＋BD＝AD，得＋＝， tan β tan α tan β tan β 4×1.24 htan α 解得 H＝＝＝124. tan α－tan β 1.24－1.20 因此，电视塔的高度 H 是 124 m.
解析：如图，OP＝h. ∠OAP＝30° ，∠OBP＝45° ， ∠AOB＝60° ，AB＝200 m，在△AOP 中，因为∠AOP＝90° ， OP 所以 AO＝tan 30° ＝ 3h，同理在△BOP 中得 OB＝h，
在△OAB 中，由余弦定理得， AB2＝OA2＋OB2－2OA· OB· cos ∠AOB，所以 2002＝3h2＋h2－2 3h2· cos 60° ， 200 解得 h＝ ≈132.8 m. 4－ 3
解析：在△ABD 中，设 BD＝x，则 BA2＝BD2＋AD2－2BD· AD· cos∠BDA，即 142＝x2＋102－2· 10x· cos60° ，整理得：x2－10x－96＝0，解之得，x1＝16，x2＝－6(舍去)， BC BD 由正弦定理得，＝， sin ∠CDB sin ∠BCD 16 所以 BC＝ · sin 30° ＝8 2≈11.3(km)． sin 135° 答：两景点 B 与 C 的距离约为 11.3 km.
2．在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45° ，再向塔底方向前进 100 m，又测得塔尖的仰角为 60° ，则此电视塔塔高约为( A ) A．237 m C．247 m B．227 m D．257 m

人教版高三数学一轮复习优质课件1：13.2 直接证明与间接证明

第十三章推理与证明、算法、复数
13.2 直接证明与间接证明
1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是 __综__合__法____ 和 __分__析__法____． (1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：__由___因__导__果__法______ (顺推证法)．
法二：由均值不等式知，当 x>1 时，2 x<x＋1，故 x<x2＋12.① 令 k(x)＝ln x－x＋1，则 k(1)＝0， k′(x)＝1x－1<0，故 k(x)<0，即 ln x<x－1.②
由①②得，当 x>1 时，f(x)<32(x－1)．
[规律方法] (1)综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2 ⇒…⇒Bn⇒B(A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”； (2)利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的．因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。天生我材必有用，千金散尽还复来。烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。与君歌一曲，请君为我倾耳听。钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。主人何为言少钱，径须沽取对君酌。五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁

学海导航1高三数学文第一轮总复习课件第44讲直接证明与间接证明

＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)
＝32－12(cos
2α－12cos
2α－
3 2 sin
2α－12cos
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文数
【拓展演练3】设集合W是满足下列两个条件的无穷数列
{an}的集合：①
an＋an＋2 2
≤an＋1，②an≤M，其中n∈N*，M是
与n无关的常数．设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}∈
W，证明：cn≤cn＋1.
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证明：假设存在正整数 k，使得 ck>ck＋1 成立，由数列{cn}的各项均为正整数，可得 ck≥ck＋1＋1，即 ck＋1≤ck－1，因为ck＋2ck＋2≤ck＋1，所以 ck＋2≤2ck＋1－ck≤2(ck－1)－ck＝ck－2，由 ck＋2≤2ck＋1－ck 及 ck>ck＋1，得 ck＋2<2ck＋1－ck＋1＝ck＋1，故 ck＋2≤ck＋1－1.
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文数
5．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数x，y，z
中恰有一个奇数”正确的反设为( B )
A．x，y，z中至少有两个奇数 B．x，y，z中至少有两个奇数或都是偶数 C．x，y，z都是偶数 D．x，y，z都是奇数
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文数
解析：共有三个自然数，因此“恰有一个”的反面是“至少有两个奇数或没有奇数”，因此本题正确的假设是“x，y， z 中至少有两个奇数或都是偶数”，故选 B.

【学海导航】高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第8单元《推理与证明》

第八单元推理与证明第41讲合情推理与演绎推理1.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”．其中类比得到的结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.(2013·衡水调研卷)已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111D ．(13)1123.(2013·福建福州模拟)“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以y ＝(13)x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错4.设M 为平面内一些向量组成的集合，若对任意正实数λ和向量a ∈M ，都有λa ∈M ，则称M 为“点射域”，则下列平面向量的集合为“点射域”的是( )A ．{(x ，y )|y ≥x 2}B ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤0}C ．{(x ，y )|x 2＋y 2－2y ≥0}D ．{(x ，y )|3x 2＋2y 2－12<0} 5.(2013·韶关一调)在平面△ABC 中的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中，平面DEC 平分二面角A -CD -B且与AB 交于E ，则类比的结论为________________________________．6.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t ＝6a t(a ，t 均为正实数)．类比以上等式可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.7.记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝An 6＋12n 5＋512n 4＋Bn 2，可以推测，A －B ＝__________. 8.在△ABC 中，∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．9.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式．第42讲直接证明与间接证明1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3 (x ≤0)2x (x >0)，则f [f (－1)]＝( )A.12B ．2C ．1D ．－12.(2013·天津南开模拟)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p ，q 的大小为( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p >q D ．不确定3.已知a ，b ，c 都是正数，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24.已知a ，b 是非零实数，且a >b ，则下列不等式中成立的是( ) A.ba<1 B ．a 2>b 2 C ．|a ＋b |>|a －b | D.1ab 2>1a 2b5.若x >1，则x 与ln x 的大小关系为__________．6.若a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是 .7.已知函数f (x )＝12x 2－ln x ，则f (x )的零点有个．8.若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx<2中至少有一个成立．9.(2013·北京市门头沟区一模)数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1＝a 2na 2n －a n ＋1(n ＝1,2，…)．(1)求a 2，a 3；(2)求证：a 1＋a 2＋…＋a n ＝12－a n ＋11－a n ＋1.第43讲数学归纳法1.用数学归纳法证明不等式2n >n 2(其中n ∈N *，n ≥n 0)时，初始值n 0＝( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．62.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左边应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)23.用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2中，首先当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立；假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立；当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)(1＋2k ＋1)2＝(k ＋1)2，命题成立，得到n ∈N *命题成立，则以下说法正确的是( )A ．验证n ＝1错误B ．假设错误C ．从n ＝k 到n ＝k ＋1推理错误D ．以上都不对4.某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝4时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝5时，该命题不成立B ．当n ＝5时，该命题成立C ．当n ＝3时，该命题成立D ．当n ＝3时，该命题不成立5.观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 6.用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________________________________________．7.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则f (n )中共有__________项，且当n ＝2时，f (2)＝______________.8.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ca n ＋c n ＋1(2n ＋1)(n ∈N *)，其中实数c ≠0.求{a n }的通项公式．9.(2013·江苏省苏州市调研)设f(n)＝n n＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N*.(1)当n＝1,2,3,4时，比较f(n)与g(n)的大小；(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．第八单元推理与证明第41讲合情推理与演绎推理1．C 因为虚数不能比较大小，所以③错误，故选C.2．D 该三角形数阵每行所对应元素的个数为1,3,5…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112，故选D.3．A y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错，故选A.4．B 由题知不可能是曲边界的区域，如果边界为曲边区域，当向量a ∈M ，对任意正实数λ所得的向量λa 不能再通过平移到原区域内，所以排除A 、C 、D ，易知B 正确．5.V A -CDEV B -CDE ＝S △ACD S △BDC此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由S △AEC S △BEC ＝AC BC ，类比得V A -CDEV B -CDE＝S △ACD S △BDC . 6．41 由推理可得a ＝6，t 2＝62－1，故a ＋t ＝41. 7.14 观察知A ＝16，对于S 5，可令n ＝1得S 5＝1，即有16＋12＋512＋B ＝1，所以B ＝－112，所以A －B ＝14.8．解析：如图，由平面类比到空间，有下列猜想：“在三棱锥P -ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”证明：设P 在平面ABC 上的射影为O ，记PO ＝h ，PC ⊥P A 且PC ⊥PB ⇒PC ⊥PM (M 为CO 与AB 的交点)，且∠PMC ＝α，cos α＝sin ∠PCO ＝hPC，同理cos β＝h P A ，cos γ＝hPB，又16P A ·PB ·PC ＝13(12P A ·PB cos α＋12PB ·PC cos β＋12PC ·P A cos γ)·h ，即(cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB)h ＝1，即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 9．解析：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，所以f (n ＋1)－f (n )＝4n .由f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒ f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝……＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4(n －n ＋2)＋4 ＝2n 2－2n ＋1.第42讲直接证明与间接证明1．B f [f (－1)]＝f (1)＝2，故选B.2．B q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd≥ab ＋2abcd ＋cd＝ab ＋cd ＝p . 故选B.3．D 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，矛盾，所以a ＋1b ，b ＋1c ，c＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 4．D5．x >ln x 画出图形，易知x >ln x .6．a ≥0，b ≥0，且a ≠b 由已知，a a －a b ＋b b －b a >0，则a (a －b )＋b (b －a )>0，即(a －b )(a －b )>0，即(a －b )2(a ＋b )>0，故a ≥0，b ≥0，且a ≠b .7．0 因为f (x )＝12x 2－ln x ，x >0，所以f ′(x )＝x －1x，由f ′(x )＝0，得x ＝1，于是可得f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值f (1)＝12>0，所以f (x )的零点有0个．8．证明：假设1＋x y <2和1＋yx<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．9．解析：(1)由a 1＝13，a n ＋1＝a 2na 2n －a n ＋1(n ＝1,2，…)，得a 2＝17，a 3＝143.(2)证明：由a n ＋1＝a 2na 2n －a n ＋1，知1a n ＋1＝1a 2n －1a n ＋1，1a n ＋1－1＝1a n (1a n －1)，所以a n ＋11－a n ＋1＝a 2n 1－a n ＝a n1－a n －a n，即a n ＝a n1－a n －a n ＋11－a n ＋1，从而a 1＋a 2＋…＋a n＝a 11－a 1－a 21－a 2＋a 21－a 2－a 31－a 3＋…＋a n1－a n －a n ＋11－a n ＋1＝a 11－a 1－a n ＋11－a n ＋1＝12－a n ＋11－a n ＋1. 第43讲数学归纳法1．C 易知n ＝1,2,3,4时，不等式均不成立，但当n ＝5时成立，因此初值n 0＝5.2．D 当n ＝k 时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，所以当n ＝k ＋1时，左边应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2，故选D.3．C 由数学归纳法第二步中没有用到归纳假设，推理错误．4．D 由题意可知，P (n )对n ＝3不成立(否则n ＝4也成立)，同理可推得P (n )对n ＝3，n ＝2，n ＝1也不成立，故选D.5．1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N *)解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1,31＝25－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2.6．(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6 由数学归纳法的两个步骤和配凑法得知．7．n 2－n ＋1 12＋13＋14解析：f (n )的表达式的分母是由n 开始，一直到n 2结束，因此f (n )的项数有n 2－n ＋1项，且当n ＝2时，其分母就是由2开始，4结束，即f (2)＝12＋13＋14.8．解析：由a 1＝1，a 2＝ca 1＋c 2·3＝3c 2＋c ＝(22－1)c 2＋c ， a 3＝ca 2＋c 3·5＝8c 3＋c 2＝(32－1)c 3＋c 2， a 4＝ca 3＋c 4·7＝15c 4＋c 3＝(42－1)c 4＋c 3，猜测a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1，n ∈N *.下面用数学归纳法证明：当n ＝1时，等式成立；假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即a k ＝(k 2－1)c k ＋c k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ca k ＋c k ＋1(2k ＋1)＝c [(k 2－1)c k ＋c k －1]＋c k ＋1(2k ＋1)＝(k 2＋2k )c k ＋1＋c k＝[(k ＋1)2－1]c k ＋1＋c k .综上，a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1对任何n ∈N *都成立．9．解析：(1)f (1)＜g (1)，f (2)＜g (2)，f (3)＞g (3)，f (4)＞g (4)．(2)猜想：当n ≥3，n ∈N *时，有n n ＋1＞(n ＋1)n ，证明：①当n ＝3，猜想成立，②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时猜想成立，即k k ＋1＞(k ＋1)k，k k ＋1(k ＋1)k>1，因为(k ＋1)2＞k (k ＋2)，k ＋1k ＋2>kk ＋1，所以(k ＋1)k ＋2(k ＋2)k ＋1＝(k ＋1k ＋2)k ·(k ＋1)2k ＋2>(k k ＋1)k·k ＝k k ＋1(k ＋1)k>1，由①②知，对一切n ≥3，n ∈N *时，n n ＋1＞(n ＋1)n 都成立．。

高考文科数学第一轮总复习课件直接证明与间接证明

▪ ▪ ▪
只要证
即证
－ c2－ab a－c
也就是证| a(－a－c |c)2c<2－c2a－b,ab,
c 2－ab ,
▪ 只要证a2－2ac<－ab,
▪ 即证:a2+ab<2ac,因为a>0,也就是证a+b<2c.
显然成立.
▪故
▪ “要用证c－分”c析、2－法“ab证只明要a 问证 c题”时、c,“2一－即a定b证要. ”恰、当“运也用即
▪ ①设f是平面M上的线性变换,a、b∈V,则
f(a+b)=f(a)+f(b);
▪ ②若e是平面M上的单位向量,对a∈V,设 f(a)=a+e,则f是平面M上的线性变换;
▪ ③对a∈V,设f(a)=－a,则f是平面M上的线性变换;
▪ ④设f是平面M上的线性变换,a∈V,则对任意实数k,均有f(ka)=kf(a).
ba
▪ 又 1－1所以1,a－b－ab>0,则1+a－b－
ba
ab>1,即(1+a)(1－b)>1.
▪ 由a>0,1－b>0,故 1 a 1－b 1, ▪ 即 1a 1 .
1－b
▪
对于复杂的不等式,直接运用综
合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索
证题途径.然后用综合法加以证明,所以分析
法和综合法经常是结合在一起使用的.分析
④
▪ 由③④3 得a2+b2+c2≥ (1a+b+c)2≥ab+bc+ca.
3
▪ 重点突破：分析法的应用
▪ ▪
求证例设:2 a>0,b>0,2c>a+b.

学海导航1高三数学文第一轮总复习课件第8讲平面向量的应用

若B→Q·C→P＝－2，则 λ＝( B )
1
2
A. 3
B. 3
4 C. 3
D．2
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解析：如图，设A→B＝b，A→C＝c，则|b|＝1，|c|＝2，b·c＝0，又B→Q＝B→A＋A→Q＝－b＋(1－λ)c， C→P＝C→A＋A→P＝－c＋λb. 由B→Q·C→P＝－2，得 [－b＋(1－λ)c]·(－c＋λb) ＝(λ－1)|c|2－λ|b|2＝4(λ－1)－λ＝－2，即 3λ＝2，λ＝23，选 B.
文数
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文数
9
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文数
一用向量解决平面几何问题
【例1】已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q
满足A→P＝λA→B，A→Q＝(1－λ)A→C，λ∈R，若B→Q·C→P＝－23，则λ ＝( )
1
1± 2
A.2
B. 2
C.1±2 10
－1±2 2 D. 2
(2)在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝
20
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文数
(2)(方法一)由已知可得 b＋c＝(cos β－1，sin β)，
所以 a·(b＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α
＝cos(α－β)－cos α.
因为 a⊥(b＋c)，所以 a·(b＋c)＝0，
即 cos(α－β)＝cos α. 由 α＝π4，得 cos(π4－β)＝cosπ4，即 β－π4＝2kπ±π4(k∈Z)．所以 β＝2kπ＋π2或 β＝2kπ(k∈Z)，
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(2)f(x)＝cos 2x－2cos x ＝2cos2x－2cos x－1 ＝2(cos x－12)2－32. 因为 x∈[－π3，π4]，所以12≤cos x≤1，所以当 cos x＝12时，f(x)取得最小值－32；当 cos x＝1 时，f(x)取得最大值－1.

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2．证明不等式 n＋2－ n＋1< n－ n－1(n∈N*)所用的最适合的方法是( B A．综合法 C．反证法 ) B．分析法 D．图象法
解析：根据不等式的特点，可将不等式等价变形，寻求其成立的充分条件，因此宜选分析法，故选 B.
3．要证 a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( D ) A．2ab－1－a2b2≤0 a＋b2 C. －1－a2b2≤0 2
一
用综合法证明
【例1】已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不
相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与 2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
解析: f(a)＋f(c)>2f(b)．证明如下：因为 a，b，c 是不相等的正数，所以 a＋c>2 ac. 因为 b2＝ac，所以 ac＋2(a＋c)>b2＋4b. 即 ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4. 从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. 因为 y＝log2x 是增函数，所以 log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2. 即 log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．故 f(a)＋f(c)>2f(b)．
3 【拓展演练1】已知：sin 30° ＋sin 90° ＋sin 150° ＝2；
2 2 2
3 sin 5° ＋sin 65° ＋sin 125° ＝2.通过观察上述两等式的规律，
2 2 2
请你写出一般性的命题：，并给出(*)式的证明．
证明： 1－cos 2α 1－cos2α＋120° 1－cos2α＋240° 左边＝＋＋ 2 2 2 3 1 ＝－ [cos 2α＋cos(2α＋120° )＋cos(2α＋240° )] 2 2 3 1 ＝－ (cos 2α＋cos 2αcos 120° －sin 2αsin 120° ＋cos 2αcos 2 2 240° －sin 2αsin 240° ) 3 1 1 3 1 3 ＝－ (cos 2α－ cos 2α－ sin 2α－ cos 2α＋ sin 2α) 2 2 2 2 2 2 3 ＝＝右边 2
5．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数x，y，z 中恰有一个奇数”正确的反设为( B A．x，y，z中至少有两个奇数 B．x，y，z中至少有两个奇数或都是偶数 C．x，y，z都是偶数 D．x，y，z都是奇数 )
解析：共有三个自然数，因此“恰有一个”的反面是“至少有两个奇数或没有奇数”，因此本题正确的假设是“x，y， z 中至少有两个奇数或都是偶数”，故选 B.
【拓展演练 2】若 a、b、c 是不全相等的正数，请用分析法证明： a ＋b b ＋c c＋a lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c. 2 2 2
a＋b b＋c c＋a 证明：要证 lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c 成立． 2 2 2 a＋b b＋c c＋a 即证 lg( · · )>lg(abc)成立， 2 2 2 a＋b b＋c c＋a 只需证明 · · >abc 成立． 2 2 2 a＋b b＋c c＋a 因为 ≥ ab>0， ≥ bc>0， ≥ ca>0， 2 2 2 a＋b b＋c c＋a 所以 · · ≥abc>0(*)成立． 2 2 2 又因为 a、 b、 c 是不全相等的正数．所以(*)式等号不成立，所以原不等式成立．
三
用反证法证明
【例 3】已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象与 x
轴有两个不同的交点，若 f(c)＝0，且 0＜x＜c 时，f(x)＞0.证明： 1 (1)x＝是 f(x)＝0 的一个根； a 1 (2) >c. a
证明：(1)因为 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点，所以 f(x)＝0 有两个不同实根 x1，x2. 因为 f(c)＝0，所以 x1＝c 是 f(x)＝0 的一个根． c 11 又 x1x2＝，所以 x2＝ ( ≠c)． a aa 1 所以是 f(x)＝0 的一个根． a 1 1 (2)假设 <c，又 >0， a a 由 0<x<c 时，f(x)>0. 1 1 1 知 f( )>0，这与 f( )＝0 矛盾，所以 ≥c. a a a 1 1 又因为 ≠c，所以 >c. a a
4 4 a ＋ b B．a2＋b2－1－ ≤0 2
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因为 a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
1 1 n 4．若a>b>c，n∈N ，且＋ ≥ 恒成立， a－b b－c a－c
*
则n的最大值是
.
解析：因为 a>b>c，n∈N*， a－c a－c 1 1 n 所以＋ ≥ 同解于＋ ≥n . a－b b－c a－c a－b b－c a－c a－c a－b＋b－c a－b＋b－c 又＋＝＋ a－b b－c a－b b－c b－c a－b ＝2＋＋ ≥4， a－b b－c 所以 n≤4.
3 (将一般形式写成 sin (α－60° )＋sin α＋sin (α＋60° )＝， 2 3 2 2 2 sin (α－240° )＋sin (α－120° )＋sin α＝等均正确．) 2
2 2 2
二
用分析法证明
【例 2】已知 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac< 3a.
分析：本例可从结果入手，执果索因，逐步推证出恒成立的条件．证明：要证 b2－ac< 3a，只需证 b2－ac<3a2，只需证 b2＋a(a＋b)<3a2，只需证 2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0. 因为 a>b>c，所以 a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，显然成立，故原不等式成立．
第44讲直接ຫໍສະໝຸດ 明与间接证明1．若 b>a>0，则下列不等式中一定成立的是( C ) a＋b A．a> > ab>b 2 a ＋b C．b> > ab>a 2 a＋b B．b> ab> >a 2 a＋b D．b>a> > ab 2
b b b＋a 解析：因为 b>a，所以 b＝＋ > . 2 2 2 a＋b 又 b>a>0，所以 > ab> a2＝a， 2 a＋b 所以 b> > ab>a. 2