应用举例

x312

x322
xijk 0（i 1, 2, 3; j 1, 2;k 1, 2, 3）
§2.6 应用举例
Page 21
5. 连续投资问题
某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： • 项目A，从第1年到第4年每年年初需要投资，并于次年末回
收本利115%； • 项目B，第3年初需要投资，到第5年末能回收本利125%，但
Page 23
(2) 投资额应等于手中拥有的资金额
由于项目D每年都可以投资，且当年末即能回收本息。所以该 部门每年应把资金全部投出去，不应当有剩余的资金。因此 第1年：该部门年初拥有100000元，所以有
x1A x1D 10000
第2年：因第1年项目A的投资要到第2年末才能回收。所以该
部门在第2年初拥有资金仅为项目D在第1年回收的本息 1.06 x1D
运筹学
( Operations Research )
Chapter2 线性规划与单纯形法
本章主要内容：
§2.1 线性规划问题及其数学模型 §2.2 线性规划问题的几何意义 §2.3 单纯形法 §2.4 单纯形法的计算步骤 §2.5 单纯形法的进一步讨论 §2.6 应用举例
Page 3
§2.6 应用举例
于是第2年的投资分配是
x2 A x2C x2D 1.06 x1D
§2.6 应用举例
Page 24
第3年：第3年初的资金额是从项目A第1年投资及项目D第2
年投资中回收的本利总和 1.15 x1A 1.06 x2D
于是第3年的资金分配为
x3 A x3B x3D 1.15 x1A 1.06 x2D
0.3 0.8
§2.6 应用举例
Page 6
设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ下料的原材料根数分别为xj (j=1,2,3,4,5)，可列出下面的数学模型：
min z 0x1 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5
x1 2x2 x4 100
3 x1
Page 11
目标函数目的是使利润最大，即产品价格减去原材料的价格为最 大。
产品价格为：
50( x1 x2 x3 ) 产品A 35( x4 x5 x6 ) 产品B 25( x7 x8 x9 ) 产品D
原材料价格为：65( x1 x4 x7 ) 原材料C
§2.6 应用举例
Page 17
设备
产品
Ⅰ
Ⅱ
A1
5
10
A2
7
9
B1
6
8
B2
4
B3
7
原料费（每件） 0.25 0.35
售价（每件） 1.25 2.00
设备有效 设备加工费
Ⅲ
台时 （单位小时）
6000
300
12 10 000
321
4000
250
11
7000
783
4000
200
0.5
2.8
§2.6 应用举例
x1 AC , x4 BC , x7 DC , x2 AP , x5 BP , x8 DP , x3 AH , x6 BH , x9 DH .
§2.6 应用举例
Page 10
约束条件可表示为

1 2
x1

1 2
x2

1 2
x3
0

1 4
x1

3 4
7 x123
4000(设备B3)
x111 x112 x121 x122 x123 (I在A，B上加工的数量相等）
x211 x212 x221(II在A，B上加工的数量相等)
x312 x322 (III在A，B上加工的数量相等)
xijk （0 i 1, 2, 3; j 1, 2;k 1, 2, 3)
规定最大投资额不超过4万元； • 项目C，第2年初需要投资，到第5年末能回收本利140%，但
规定最大投资额不超过3万元； • 项目D，5年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利
息6%。 • 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的
投资额，使到第5年末拥有的资金的本利总额为最大?
§2.6 应用举例
x2

1 2
x3
0

1 4
x1

3 4
x2

1 4
x3
0

311
4 x4 4 x5 4 x6
0

111

2 x4 2 x5 2 x6
0
x1

x2
x4 x5
x7 x8
100 100

x3
x1 , , x9 0
§2.6 应用举例
Page 19
目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：
3
利润＝[(销售单价－原料单价) 该产品件数]－ i 1 5 (每台时的设备费用 该设备实际使用台时) i 1
代入数据整理得到：
max z 0.75 x111 0.775 x112 1.15 x211 1.36x212 1.915 x312 0.375 x121 0.5 x221 0.448 x122 1.23 x322 0.35 x123
§2.6 应用举例
Page 4
一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以 下条件时，才能建立线性规划模型。
要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数； 存在着多种方案； 要求达到的目标是在可以量化的，并要有足够数 据的一定约束条件下实现的，这些约束可用线性 等式或不等式描述；
§2.6 应用举例
因此该规划问题的模型为：
§2.6 应用举例
Page 20
max 0.75 x111 0.775 x112 1.15 x211 1.36 x212 1.915 x312
0.375 x121 0.5 x221 0.448 x122 1.23 x322 0.35 x123
x2

1 4
x3
0

311
4 x4 4 x5 4 x6
0

111

2 x4 2 x5 2 x6
0
x1
x4
x7
100

x2
x5
x8 100

x3
x1 , , x9 0
x6
x9 60
§2.6 应用举例
1 4 1 4
AH BH

0 0

1 2
BC
Hale Waihona Puke Baidu

1 4
BP

1 2
BH

0
§2.6 应用举例
Page 9
约束条件：
AC BC DC 100, AP BP DP 100, AH BH DH 60.
在约束条件中共有9个变量，为方便分别用x1 ,…, x9 表示：
25( x2 x5 x8 ) 原材料P 35( x3 x6 x9 ) 原材料H
故得到数学模型：
max z 15x1 25x2 15 x3 30 x4 10 x5 40 x7 10 x9
§2.6 应用举例
Page 12

1 2
x1

1 2
Page 18
解：设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量，则：
5 x111 10 x211
6000 (设备A1)
7 x112 9 x212 12 x312 10000 (设备A2)
6 x121 8 x 221
4000(设备B1)
4 x122 11x322
7000(设备B2)

x2
2x3 2x3
2x4 x5 3x5
100 100
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
§2.6 应用举例
Page 7
2. 配料问题
某原工材厂料要名用称三种每原天材最料多C、供P应、量H（混k合g调）配出单三价种(不元同/kg规) 格 的产品CA、B、D。已知产品10的0 规格要求，产品单6价5 ，每天
能供应P的原材料数量及原材10料0 单价，见下表。该2厂5 应如何
安排生H产，使利润收入为最6大0 ?
35
产品名称
规格要求
单价(元/kg)
原材料C不少于50%
50
A
原材料P不超过25%
原材料C不少于25%
35
B
原材料P不超过50%
C
不限
25
§2.6 应用举例
Page 8
解：设AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P的成分，
max z 1.15 x4A 1.25 x2B 1.4 x2C 1.06 x5D
§2.6 应用举例
Page 22
解:(1) 确定决策变量 设xiA ,xiB , xiC , xiD(i=1,2,…，5)分别表示第i 年年初给
项目A、B、C、D的投资额，它们都是待定的未知变量。
项目 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
A
x1A
x2A
x3A
x4A
B
x3B
C
x2C
D
x1D
x2D
x3D
x4D
x5D
§2.6 应用举例
5
x111

10 x211

6000
7 x112 9 x212 12 x312 10000
6
x121

8x
221
4000
4 x122 11x322 7000 s.t 7 x123 4000

x111

x112

x121

x122

x123
x211 x212 x221
依次类推。
AC

1 2
A,
AP

1 4
A,
BC

1 4
B,
BP

1 2
B
(2 39)
AC AP AH A, BC BP BH B (2 40)

1 2
AC

1 2
AP

1 2
AH

0


1 4 3 4
AC BC

3 4 1 4
AP BP

x1 x6 60

x1

x2

70
x2 x3 60
s.t

x3

x4

50

x4

x5

20
x5 x6 30

x1
,
, x6 0
此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。
Page 5
1. 套裁下料问题
现有一批某种型号的圆钢长7.4米，需截取长2.9米、2.1米和1.5 米的毛坯各100根。问如何才能既满足需要又使用料最少？
解：
下料根数
长度(m) 2.9 2.1 1.5 合计 料头
方
案
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
1
2
0
1
0
0
0
2
2
1
3
1
2
0
3
7.4 7.3
7.2
7.1 6.6
0
0.1
0.2
第4年：与以上分析相同，可得
x4 A x4D 1.15 x2 A 1.06 x3D
第5年： x5D 1.15 x3A 1.06 x4D
由于对项目B、C的投资有限额的规定，即：
x3B 40000, x2C 30000
§2.6 应用举例
Page 25
(3) 目标函数
问题是要求在第五年末该部门手中拥有的资 金额达到最大，与五年末资金有关的变量是： x4A,x3B,x2C,x5D;因此这个目标函数可表示为
§2.6 应用举例
4. 生产计划问题
Page 16
某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A、B两道工序 加工。设A工序可分别在设备A1和A2上完成，有B1、B2、B3 三种设备可用于完成B工序。已知产品Ⅰ可在A、B任何一种
设备上加工；产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B 工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上 加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表， 试安排最优生产计划，使该厂获利最大。
5
22:00——2:00
20
6
2:00——6:00
30
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作
8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满 足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少?
§2.6 应用举例
Page 15
解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。 min z x1 x2 x3 x4 x5 x6
从最终计算表中得到，总利润是z=500元/天。
§2.6 应用举例
Page 14
3. 人力资源问题
某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员
人数如下表所示：
班次
时间
所需人员
1
6:00——10:00
60
2
10:00——14:00
70
3
14:00——18:00
60
4
18:00——22:00
50
x6
x9 60
§2.6 应用举例
Page 13
用单纯形法计算，经过四次迭代，得最优解为： x1=100, x2=50, x3=50；
这表示需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg，构 成产品A。即每天只生产产品A为200kg，需要用原料C 为100kg；P为50kg;H为50kg。