最新12-3导数应用举例

(2)由(1)得 y′＝8π(c－2)r－16r02 π ＝8πcr－2 2(r3－c－202)，0＜r＜2. 由于 c>3，所以 c－2>0.
当 r3－c－202＝0 时，r＝ 3
20 c－2.
3 令
c－202＝m，则 m＞0，
所以 y′＝8πcr－2 2(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当 0＜m＜2 即 c>92时， 当 r＝m 时，y′＝0； 当 r∈(0，m)时，y′＜0； 当 r∈(m,2)时，y′>0. 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点．
12-3导数应用举例
知识梳理
1．在闭区间[a，b]上的连续函数 y＝f(x)，在[a，b]上必有 最大值与最小值．
(1)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤 是：①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数 y＝f(x) 的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值．
(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r.
【解析】(1)设容器的容积为 V， 由题意知 V＝πr2l＋34πr3，又 V＝803π， 故 l＝V－πr432πr3＝38r02－43r＝43(2r02 －r)． 由于 l≥2r，因此 0＜r≤2. 所以建造费用 y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(2r02 －r)×3＋4πr2c， 因此 y＝4π(c－2)r2＋16r0π，0＜r≤2.
当 θ∈0，π6时，y′<0，y 是 θ 的减函数；
第14讲 │ 备用例题
当θ∈π6，π4时，y′>0，y是θ的增函数， 所以当θ＝π6时，ymin＝10＋10 3. 这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边
10 3
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
km处．
三 利润最高或成本最低问题
【例 3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长 度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半 球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且 l≥2r.假 设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每 平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y 千元．
第14讲 │ 备用例题
②若OP＝x(km)，则OQ＝10－x， 所以OA＝OB＝ －x2＋102＝ x2－20x＋200， 所求函数关系式为y＝x＋2 x2－20x＋200(0<x<10)．
第14讲 │ 备用例题
(2)选择函数模型①， y′＝－10cosθ·cosθ－co2s02－θ 10sinθ－sinθ ＝102csoins2θθ－1. 令 y′＝0 得 sinθ＝12，因为 0<θ<π4，所以 θ＝π6.
②当 m≥2 即 3＜c≤29时， 当 r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减， 所以 r＝2 是函数 y 的最小值点． 综上所述，当 3＜c≤92时，建造费用最小时 r＝2；
当 c>29时，建造费用最小时 r＝ 3 c－202.