导数应用举例
高数课件3-6导数在经济上的应用举例
边际收益：增 加一单位产量 所增加的收益
边际利润：边 际收益减去边
际成本
边际分析在经 济决策中的应 用：通过比较 边际成本和边 际收益，确定 最优产量和价
格
弹性分析
需求弹性：衡量消费者对价格变化的敏感程度 供给弹性：衡量生产者对价格变化的敏感程度 交叉弹性：衡量两种商品之间的替代关系 收入弹性：衡量消费者收入变化对消费需求的影响
公司
导数在经济上的应 用举例
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01
导数在经济分析中的应用
02
导数在金融领域的应用
03
导数在市场分析中的应用
04
导数在生产决策中的应用
05
导数在资源分配中的应用
06
01
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01
导数在经济分析中的应用
边际分析
边际成本：增 加一单位产量 所增加的成本
导数在风险评估中的局限性：导数只能预测短期趋势，不能预测长期趋势，因此需要结合其他方 法进行风险评估。
风险评估的实际应用：在金融领域，风险评估被广泛应用于股票、债券、期货等投资产品的风险 评估。
投资组合优化
导数在投资组合优化中的应 用：通过计算导数，找到最 优的投资组合
投资组合：将资金分散到不 同的资产中，以降低风险
资源利用和环境保护的平衡
导数在经济学中的应用：通过导数分析资源分配的优化问题
资源利用和环境保护的关系：资源利用过度会导致环境破坏，而保护环境 需要限制资源利用 导数在资源分配中的应用：通过导数分析，找到资源利用和环境保护的平 衡点
案例分析：某地区如何通过导数分析，实现资源利用和环境保护的平衡
资源分配的效率和公平性
利用导数求参数范围举例
利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 解：(1)2,21-=-=b a 2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来求解各种实际问题，在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。
下面将介绍变上限定积分导数的应用，并举例说明。
1. 面积和体积的计算：变上限定积分导数可以用来计算曲线围成的面积和曲线绕轴旋转所形成的体积。
当需要计算函数f(x)在区间[a,b]上的面积时，可以使用定积分∫[a,b]f(x)dx。
而如果需要计算区间[a,b]上由曲线y=f(x)绕x轴旋转所形成的体积时，则可以使用定积分∫[a,b]πf(x)^2dx。
上限定积分导数可以帮助我们求解这些问题。
2. 平均值的计算：利用上限定积分导数，我们可以计算一个函数在某个区间上的平均值。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的平均值，可以使用定积分∫[a,b]f(x)d x除以区间长度(b-a)来计算。
上限定积分导数可以帮助我们确定这个平均值。
3. 物理中的速度、加速度和位移：在物理学中，速度v是位移x对时间t的导数，加速度a是速度v对时间t的导数。
如果我们知道加速度函数a(t)在某个时间区间内的变化情况，可以通过上限定积分导数求解速度和位移函数。
速度函数v(t)可以通过定积分∫[t1,t2]a(t)dt求解，位移函数x(t)可以通过定积分∫[t1,t2]v(t)dt求解。
4. 经济学中的边际效应：在经济学中，边际效应是指某个变量增加一个单位所引起的效应变化。
边际效应可以通过上限定积分导数求解。
假设某个企业的生产函数为y=f(x)，其中y表示产出，x表示投入。
那么边际产出的变化可以通过上限定积分导数dy/dx求解，即求生产函数f(x)的导数。
5. 优化问题的求解：变上限定积分导数在求解优化问题中也有重要应用。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，可以通过上限定积分导数求得。
最大值可以通过上限定积分导数f'(x)在[a,b]上为零的点求得，最小值可以通过上限定积分导数f'(x)在[a,b]上不存在的点求得。
导数在社会学中的应用举例
导数在社会学中的应用举例1. 迁移率的研究迁移率是指人口在地理空间上的流动性，它在社会学中被广泛研究。
使用导数的概念，我们可以计算某一地区的人口迁入率和迁出率。
例如，研究人口迁入某城市的趋势时，我们可以通过计算该城市的人口变化率来得到迁入率的信息。
如果人口变化率为正值，那么说明该城市的人口正在增加，迁入率则较高。
反之，如果人口变化率为负值，说明该城市的人口正在减少，迁入率较低。
通过研究不同地区的迁入率和迁出率，我们可以了解人口在不同地理空间上的流动情况，进而分析人口迁移对社会结构和经济发展的影响。
2. 教育和职业发展的分析导数还可以应用于研究教育和职业发展领域。
我们可以利用导数来分析学生的研究成绩和职业发展的趋势。
以研究成绩为例，我们可以计算学生每次考试的成绩变化率。
如果学生的成绩变化率为正值，说明他们的研究成绩在增长，反之则说明成绩在下降。
通过比较不同学生的成绩变化率，我们可以找出研究成绩优秀的学生和需要改进的学生，进而提出有针对性的教育措施。
在职业发展方面，我们可以通过计算某个行业从业人员的就业率变化率来研究职业发展的趋势。
如果就业率变化率为正值，说明该行业就业机会增加，职业发展前景较好。
反之，如果就业率变化率为负值，说明该行业就业机会减少，职业发展前景较差。
通过利用导数分析学生的研究成绩和职业发展的趋势，我们可以为教育和职业培训提供更科学的指导和决策。
3. 社会运动的分析社会运动是社会学中一个重要的研究领域，导数可以帮助我们分析社会运动的趋势和发展。
例如，我们可以利用导数来计算某个社会运动参与人数的变化率。
如果参与人数的变化率为正值，说明该社会运动的参与人数在增加，运动的影响力可能在扩大。
反之，如果参与人数的变化率为负值，说明该社会运动的参与人数在减少，运动的影响力可能在减弱。
通过分析社会运动的变化率，我们可以了解社会运动的兴起和衰退，从而对社会变革和社会发展提供深入的理解和引导。
结论导数在社会学中的应用非常广泛，可以帮助我们研究人口迁移、教育和职业发展以及社会运动等社会学问题。
导数的应用举例
求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; (3)y=( x+1)( 1 -1). x
解: (1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3 =18x2-8x+9. 法2 y=(6x3-4x2+9x-6) =18x2-8x+9. (2)y=(x2sinx)+(2cosx) =(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx) =2xsinx+x2cosx-2sinx.
典型例题 5
典型例题 6
1-ax 已知 a>0, 函数 f(x)= x , x(0, +∞), 设 0<x1< 2 . 记曲线 a y=f(x) 在点 M(x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 1 1 1 轴的交点为 (x2, 0), 证明: ① 0<x2≤ a ; ②若 x1< a , 则 x1<x2< a . 1 1 (1)解: f(x)=( x -a)=(x-1) =-x-2=- x2 . 1 (x-x )+ 1-ax1 . ∴切线 l 的方程为 y=- x 2 1 x
∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-a)
令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a).
导数在物理学中的应用举例
导数在物理学中的应用举例
导数是微积分的一个重要概念，它在物理学中具有广泛的应用。
下面是一些导数在物理学中的应用举例：
1.速度和加速度计算：导数在描述物体的速度和加速度方面发
挥着关键作用。
在物理学中，我们可以通过对位移函数进行求导来
计算速度和加速度。
例如，一个物体在时间t的位移函数s(t)可以
通过对s(t)关于t的导数来得到物体的速度v(t)，进一步对v(t)关于t 求导，可以得到物体的加速度a(t)。
2.斜率和曲线的切线：导数可以用来计算曲线在特定点的斜率。
在物理学中，我们经常需要计算曲线在某一点的斜率，以便确定物
体在该点的运动特性。
导数也可以用来计算曲线在特定点的切线方程，帮助我们更好地理解曲线的形状和特征。
3.极值和拐点：导数是寻找函数的极值点和拐点的有力工具。
在物理学中，我们经常需要确定物体在某一时刻的极值点，例如物
体的最大高度或最大速度等。
通过对物体的位移、速度或加速度函
数进行求导，我们可以找到这些极值点的位置和数值。
4.动力学方程：导数在描述物体的运动和力学方程中起着重要
作用。
通过对运动方程进行求导，我们可以得到物体的速度和加速
度之间的关系。
物理学中的很多重要方程都是基于导数的运算得到的，例如牛顿第二定律F=ma，其中a是加速度，m是质量，F是力。
综上所述，导数在物理学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于
计算速度、加速度和斜率等物理量，还可以用于寻找极值点和描述
物体的运动特性。
了解导数的概念和应用对于理解和研究物理学中
的各种现象和问题非常重要。
导数在实际生活中的应用举例
导数在实际生活中的应用举例
1. 工程设计中：当设计一个桥梁时，需要考虑桥梁的结构，桥梁的载重量，以及桥梁的弯曲变形，而对于桥梁的弯曲变形，需要使用导数求解，以此来确定桥梁的设计参数。
2. 地质勘探中：当地质勘探时，需要知道地质结构的变化，以及地质变化的趋势，而这些变化的趋势，都可以使用导数来求解。
3. 气象预报中：当气象预报时，需要知道气象要素的变化趋势，以及气象要素的变化速度，这些变化的速度，都可以使用导数来求解。
导数及其应用生活中的优化问题举例
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准 确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化 问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以 降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析 ，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函 数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物 流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运 输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举 例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料 等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的 应力、应变分布，进一步优化结构设计。
高中数学“导数应用问题”题型举例
高中数学“导数应用问题”题型举例发表时间：2020-12-15T15:20:04.923Z 来源：《基础教育课程》2020年9月作者：杨德盛[导读] 在高中数学教学中有一个特殊的存在，即为导数，其能够使初等数学紧密衔接高等数学，学生在掌握后能够快速找到解题突破口，导数能够在很多章节中应用，可有效解答数学问题。
浙江省平阳中学杨德盛摘要：在高中数学教学中有一个特殊的存在，即为导数，其能够使初等数学紧密衔接高等数学，学生在掌握后能够快速找到解题突破口，导数能够在很多章节中应用，可有效解答数学问题实际上在高等教育时才会接触导数，在纳入高中教材后，使用导数可解决许多数学问题，能够将复杂推理简化，在处理函数单调性、求方程的根、处理不等式相关问题上能够发挥重要作用。
目前高中数学教师都比较重视导数的教学，本文主要通过导数应用问题举例的方式进行探讨，以供参考。
关键词：高中数学；导数应用问题；题型导数是高中数学中的重要组成，其具有工具性质，能够有效解决一些数学问题，并且在最近几年高考中，以方程与不等式、函数与导数为载体的导数知识是重难点，甚至多次作为压轴大题。
但是由于这一知识比较抽象，学生学起来比较难，并且解答很多数学问题都需要使用导数，这将增加学生的心理压力。
针对这一情况，教师应该采取合理的方法加以解决，制定合理的教学策略，使学生更容易接受和掌握导数知识，并有效应用。
一、导数应用问题”题型举例（一）应用导数解答函数问题在研究函数问题时，主要是对函数的图像、函数亮点、函数最值、函数极值以及单调性进行考虑，在一段定义域内如果一个函数为减函数，那么的导函数小于0，如果在一段定义域内一个函数为增函数，那么的导函数大于0。
利用导函数图像既能对图像是否是原函数进行判断，比如：在定义域内函数可导，下图为导函数图像，那么函数图像可能是（）在解答这类题型时，需要对原函数图像和导函数图像之间的关系进行正确分析，在导函数小于零时，对应原函数处于递减区间，由此可知，原函数图像趋势为递减、递增、递减、递增，从而B为正确答案。
导数在医学中的应用举例
导数在医学中的应用举例
1. 医学图像处理
导数在医学图像处理中有广泛的应用。
医学图像通常是通过不同的成像技术（如X射线、CT扫描、MRI等）获得的。
导数可以帮助准确地测量和分析这些图像。
例如，可以使用导数来检测和描述医学图像中的边缘和轮廓。
导数的计算可以提供关于图像中不同结构的信息，从而帮助医生进行诊断和治疗。
2. 疾病模型
导数在疾病模型中也有重要的应用。
疾病模型是通过数学和计算机模拟来研究疾病的传播和发展。
导数可以用来描述和预测疾病的扩散速度和传播路径。
例如，使用导数可以建立数学模型来描述传染病在人群中的传播方式，从而帮助卫生部门采取相应的预防和控制措施。
3. 生物医学工程
导数在生物医学工程领域的应用很多。
生物医学工程是将工程学原理应用于医学领域的学科。
导数可以用于分析和设计医疗设备和医疗工艺流程。
例如，通过计算器的导数，可以评估和优化医疗设备的性能，改进药物输送系统的效率，从而提高医疗治疗的效果和安全性。
4. 基因组学研究
导数在基因组学研究中发挥重要作用。
基因组学是研究基因组结构和功能的科学。
导数可以用来分析和解释基因组数据。
例如，通过计算导数，可以识别基因组中的重要特征和模式，从而帮助研究人员理解基因的功能和调控机制，有助于疾病的研究和治疗。
在医学中，导数的应用举例还有很多，以上只是一些常见的例子。
导数的应用帮助医学界在数据分析、疾病研究和医疗设备设计等方面取得了重要的进展。
随着科学技术的不断发展，导数在医学中的应用前景将更加广阔。
导数应用举例
§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。
在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。
一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dtdst s t v ='=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dtsd t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。
例1某物体的运动方程为()22310212秒米取g gt t s -=，求2=t 秒时的速度和加速度。
解： 根据导数的力学意义，得()()()()()()()().141024242,420242242,12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v（二）导数的电学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dtdqt q t I ='= 例2设通过某导体截面的电量()ϕω+=t A q sin （库仑），其中ϕω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I解： 因为()ϕω+=t A q sin ，所以()()()[]()ϕωωϕω+='+='=t A t A t q t I cos sin （安培）。
导数在研究切线问题中的应用举例
设 ＿ ｚ）的两 个极 值点 为 ａ （ ｐ ， 』 厂 （ ， ａ＜ ） 则 ９ 一
ａ 一
￣口 一 ４ 且 ０＜ 一 ａ≤ ４ ／ ｂ， ．
特别 若，ｚ 为 地， （） 二次函 则 ＝ 丢 ； 数， ＝ ＝ 旦
即 ０ ￣ ６≤ ４ 即 ０ ａ 一４ ≤ １． ＜ ／ 一４ Ⅱ ， ＜ 。 ｂ ６
线 问题 中的应用 ．
１ 切 线 的定 义
Ｙ一 一 ２ Ｉ （ ２ （ — ｚ２ ｚ ２— ） ｚ ）一 （ — ２ ｚ２ ）
一 一
高 中数 学教 材 把 曲线 Ｙ— ｆ ｘ）在 点 Ｐ（ 。 （ －， ｚ
ｆ ｘ ） 处 的切 线 ， 义 为割线 Ｐ 在动 点 Ｑ 趋近 （ 。） 定 Ｑ
又因为 。 １所以 一一÷． ≠ ， 。 代人 ① 即得
厶
ｎ １
求 导可得
厂（ ） ３ 。 ｘｚ＋ 一 ３ｘ—ｚ ）ｚ～ ￣ ） ｚ 一 ｘ 一４ ｏ （ 。（ ｏ． Ｔ
（ ） ｚ ＞ ０ 则 － ｚ 在 （ 。 单 调增 ， １若 。 ， 厂 ） 一。 ，５） （ ［ １ ０ 在 （ ， 。 单调 减 ， （ 。 ＋。 ） 调 增 ， ｆ ｘ） 兰 ｚ） 在 ｚ ， 。单 故 （ 在 —ｚ 处有 极小 值． 是 ｆ ｘ ） 。 但 （ 。 一Ｏ≠一４ 不符 ， 合题 意 ． （） ２ 若 。 ０ 则 ｆ ｘ 在 （ ×， 。 单 调增 ， ＜ ， （ ） 一ｃ ｚ ） ３ 在 （。 ） ｚ ， 单调 减 ， （ ， 。 单 调增 ， ， ｚ 在 ＋。 ） 故 （）
ｆ（ ） ｘ 运动 ， 经过 点 Ａ时 ， ｚ 从 的一 侧进 入另 一侧 ） ， 求 函数 ｆ（ ）的表 达式 ． ２ Ｏ ｘ （ Ｏ ７年 湖南 高考试题 ）
导数的应用举例
2 a
)
上单调递增,
在 (-∞, 0) 上单调递减,
在
(-
2 a
,
+∞)
上也单调递减.
导数的应用举例 6
已知函数 f(x)=x2eax, 其中 a≤0, e 为自然对数的底数. (1)讨论 函数 f(x) 的单调性; (2)求函数 f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值.
解: (2)由(1)知当 a=0 时, f(x) 在区间 [0, 1] 上为增函数;
即 3x2-2ax-3≥0 在 [1, +∞) 上恒成立.
由于 f(0)=-3<0,
则必有
a 3
≤1
且
f(1)=-2a≥0.
解得 a≤0.
故实数 a 的取值范围是 (-∞, 0].
(2)由题设 f(-
1 3
)=0,
即
1 3
+
2 3
a-3=0.
解得 a=4.
∴f(x)=3x2-8x-3.
令
f(x)=0
设函数 f(x)=- 13x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的单调
区间、极值; (2)若当 x[a+1, a+2] 时, 恒有 |f(x)|≤a, 试确定 a
的取值范围. 解: (2)∵0<a<1, ∴2a<a+1.
∴f(x)=-x2+4ax-3a2 在 [a+1, a+2] 上为减函数. ∴f(x)max=f(a+1)=2a-1, f(x)min=f(a+2)=4a-4. ∵当 x[a+1, a+2] 时, 恒有 |f(x)|≤a, 即
导数在生活中的应用举例
刚
学 术 论 坛
导 数 在 生 活 中 的应 用举 例
江 霞 平 Biblioteka （ 连 云港市 工贸高等职 业技 术学校 江苏 连云港 ２ ２ ２ ０ ０ ０ ）
摘 要： 在 日常生 活 ． 生 产和科研 中经 常遇 到求利润最 大 ． 费用最省 ， 效率最 高等 问题 ， 这些 问题通 常称 为优化 问题 ， 我 们可以通过 利用 导 数 的 应 用来 解 决 这 奏 问题 。 关键 词 ： 导数 生活 应用 中 图分 类 号 ： ０Ｉ ７ ２ 文献标识码 ： Ａ 文 章编号 ： １ ６ ７ ２ －３ ７ ９ １ （ ２ ０ １ ３ ） ｏ ５ （ ｃ ） 一ｏ ２ ０ ８ 一ｏ １ 对 于 一个 实 际 问题 ， 我 们 可 以建 立 数 学 模 型 ， 就 是列 出变 量 之 售量为口 （ １ 一 ） 件， 则月 平均利润Ｙ ＝ ｄ （ １ 一 ） ． 『 ２ ０ （ １ ＋ ｘ ） 一 １ ５ ］ （ 元） 。 间的 数 学 关 系 式 （ 函数 解 析式 ） ， 求 出 函 数 的 最 大 值 或 最小 值 ， 从 而 Ｙ与 的函数关系式为Ｙ ＝ ５ 口 （ １ ＋ ４ ｘ — 一 ４ ） （ ０ ＜ ＜１ ） 达到 解决最优化问题 。 １ ２ 我 们 知 道 在 闭 区 间上 连 续 的 函 数 一 定 有 最 大 值 和 最 小 值 ， 这 （ ２ ） 由Ｙ ＝ ５ ａ ｆ ４ — ２ ｘ 一 １ ２ ｘ １ ＝ ０ 得Ｘ Ｉ ＝ ， ＝ 一 （ 舍） 、 ， ｊ 在 理 论 上 肯 定 了最 值 的存 在 性 ， 但 是 怎 么 求 出 函 数的 最 值 呢 ？ 首 先 １ １ ． 假 设 函数 的 最大 （ 小） 值在开区间（ ａ ， ６ ） 内取 得 ， 那 么最 大 （ 小） 值 也一 当 ０ ＜ ｚ ＜ ÷时 Ｙ ＞ ０｝ ‘ ＜ 时 Ｙ ＜ ０ ，． ’ ．函 数 定是 函数 的 极大 （ 小） 值， 使 函 数取 得 极 值 的 点一 定 是 函数 的驻 点或 １ 导数不存在的点。 另外 函数 的最 值也 可 能 在 区 间端 点上 取 得 。 因此 Ｙ ＝ ５ ａ （ １ ＋ ４ ｘ — 一 ４ ｘ ） （ ０ ＜ ＜ １ ） 在 取得最大值。 故改进工 我们 只需 把 函数 的 驻 点 、 导 数 不 存 在 的 点 及 区 间端 点的 函数 值 一 ｒ ． １ 、 算出， 并加 以 比较 ， 便 可求 得 函数 的 最 值 。 产品的销售价为２ ｕ Ｊ Ｉ ＝ ３ ０ 元时， 旅游部门销售该纪念 例Ｉ 有一 个铁 路线 上 ＡＢ段的距 离 为 １ ０ ０ ｋ ｍ， 某工厂 Ｃ距 Ａ 艺后， 点 为２ ０ ｋ ｍ， Ｃ上 Ｂ， 要在 Ａ Ｂ线 上 选 定 一点 Ｄ 向工厂 Ｃ修 筑 一 品 的 月 平 均 利 润 最 大 。 条公路。 已知 铁路 线 上 每 千 米 货运 的 运 费 与公 路 上 每千 米 货 运 的 答： 该 商 品 售 价 定为 每 件 ３ ０ 元时 ， 所 获 利 润 最 大 为２ ３ ０ ０ ０ 元。 运费之比为３ ： ５ ， 为 了使 货物 从供 应 站 Ｂ运 到 工 厂 Ｃ的 运 费 最 省 ， 点 评 导 数的 引入 ， 大大 拓 宽 了高职 数学 知 识 在 实际 优化 问 问 Ｄ 点应选在何处？ 题中的应用空 间。 分 析 这 是一 道 实际 生 活中 的优 化 问题 ， 建 立数 学模 型 ， 运用 例３ 设 某 物 体 一 天 中 的 温 度Ｔ 是 时 间 ｔ 的 函数 ， 已 知 导 数 知 识 求 函数 的 最 值 非 常 简 单 。 Ｔ （ ｔ ） ＝ａ ｔ ＋ ｂ ｔ ＋ｃ ｔ ＋ ｄ （ ａ≠０ １ ， 其中温度的单位是 ℃， 时间的单 解 析 设 Ｄ 点选在 距离 Ａ 点 ｘ ｋ ｍ处 ， 则： 位是 小 时 ． 中午 ｌ ２ ： Ｏ ０ 相应的ｔ ＝０， 中午 ｌ ２ ： ０ ０ 以 后 相应 的 ｔ 取 正数 ， Ｄ Ｂ ： １ ０ ０ ｃ Ｄ ： 厮 ： 中午 １ ２ ： Ｏ ０ 以前 相 应 的取 负数 （ 如早上８ ： ｏ ｏ Ｎ应的ｔ ＝一 ４， 下午 １ ６ ： 设 铁 路 上 每 千米 货 运 的运 费为 ３ ， 则 公路 上 每 千米 的 运 费 为 ｏ ｏ ， １ ￣ 应的 ｔ ＝ ４ ｏ 若测 得该 物体 在 早 上８ ： Ｏ ０ 的温 度 为８ ℃， 中午 ｌ ２ ： ０ ０ ０ ℃， 下午１ ３ ： ０ ０ 的温度为５ ８ ℃， 且 已知 该 物 体 的 温 度 早 ５ （ｋ 为 常 数 ） 。设 从 Ｂ 点 到 Ｃ 需 要 的 总 运 费 为 ｙ ， 则 的 温 度 为６ 上８ ： ０ ０ 与下午ｌ ６ ： Ｏ ０ 有相 同的 变 化 率 。 （ １ ） 求 该 物体 的 温 度Ｔ关于 时 ｙ ＝ ５ ｋ Ｃ Ｄ ＋ ３ ｋ Ｄ Ｂ， 即ｖ ： ５ ｋ ￣ ／ ４ ０ ０ ＋ ｘ ＋ ３ ｋ （ １ Ｏ ０ 一 曲 ． ｆ ０ ≤ ｌ Ｏ Ｏ ） 。 间ｆ 的 函数 关系 式 ； （ ２ ） 该物 体 在上 午 ｌ ０ ： Ｏ Ｏ Ｎ 下午 ｌ ４ ： Ｏ ０ 这段 时 间中 下面求 ｘ 在区间ｌ ０ ， １ Ｏ ０ ｌ 上的值 ， 使函数 Ｙ 的值最小。 （ 包括 端 点 ） 何时 温 度 最 高 ？ 最 高 温 度 是 多少 ？ 分 析 求 闭 区间上 连 续 函数 的 最 值 、 极值时， 通过 研 究导 函 （ ５ 一 ３ √ ） 数的符号， 列 表 求得 该 函数 的 单 调 区 间 、 极值 点 （ 极值） 、 端 点值 ， 从 上式两边求导数， 得 — ］ ４ Ｏ Ｏ — ＋ ｘ ２ 一 ＿ ｘ 而 求得 最 大 值 。 也 可 以不 讨论 导 数 为 零 的 点是 否 为 极值 点 ， 而直 接 令 ＝ ０ ， 得５ ＝ ： ３ √ ４ ｏ ０ ＋ ， ２ ： ９ （ ４ ０ ｏ ＋ ） ， 故 ＝ ２ ２ ５ ， ＝ ＋ １ ５ 。 将 导 数 为 零 的 点 与端 点处 的 函数 值 进 行 比较 即 可 。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数的应用举例
导数的应用举例导数做为教材新增内容，既为原有知识的学习开拓了视野，又为以后高等数学的学习奠定了基础，因此它已经成为了高考的主要考查内容，这一点已经为大家所共视。
那么导数在解题中有哪些具体用途怎样用于解题之中这自然就是同学们学习当中应当慎重思考、严格把握的问题。
一、 利用导数求即时速度、加速度例1、 某汽车启动阶段的路程函数为2352)(t t t s -=，求t=2秒时汽车的加速度。
解：由导数知识可知：,1012)(')(,106)(')(2-==-==t t v t a t t t s t v所以当t=2时,at=14二、 利用导数求曲线的切线斜率、方程例2、求过曲线y=cos 上点)21,3(π,sin ',cos x y x y -=∴= )21,3(π,233sin '3-=-=ππy 32.0233232)3(3221=+--⇒-=-ππy x x y x x x f ln 23)(2-=).,0(+∞xx x f 26)('-=。
舍负)(0)('33±=⇒=∴x x f .0)('),33(;0)(')33,0(>+∞∈<∈x f x x f x 时时)33,0(),33(+∞])1,0[(1122∈-++-=x x x x x y 222)1()21(2)'121('x x x x x y -+--=-++-=210'=⇒=x y .1)1(,53)21(,1)0(===f f f ])1,0[(1122∈-++-=∴x x x x x y .53)1(1)1(2ln >+->x x x x .)1()1()1(41)('),1(1)1(2ln )(222+-=+-=∴>+--=x x x x x x f x x x x x f .0)(',1>∴>x f x )1(1)1(2ln >+->x x x x 或f≤m，从而证得不等式。
导数在经济分析中的应用举例
边际价格反映了商品价格的微小变化对 供给或需求的影响程度，是确定市场均 衡的关键因素之一。
利用导数分析供需关系可以帮助我们更好地 理解市场均衡的形成机制以及市场失衡的原 因，为经济学分析提供了有力的工具。
在实际经济分析中，导数的应用非 常广泛，例如在劳动力市场分析、 货币供应和需求分析、国际贸易分 析等领域都可以利用导数进行深入 的研究。
03 边际成本与总成本的关系反映在生产过程中增加 一个单位产量的成本变化情况。
导数在成本函数中的应用实例
01 假设某企业的生产函数为：C(x)=x^2+2x+1,其 中C(x)表示总成本，x表示产量。
02 通过求导数，可以得出边际成本函数为： MC(x)=2x+2。
03 根据边际成本与总成本的关系，当MC(x)=C(x)时 ，企业达到最优产量。
导数在供需关系中的应用实例
实例1
假设某种商品的市场需求函数为D(p)=1000(p+1)，市场供给函数为S(p)=2000e^(−p)。利用导数可以求解该商 品的均衡价格。根据市场均衡条件D(p)=S(p)，可以求得均衡价格p=1.5。此时，该商品的均衡数量为 D(1.5)=S(1.5)=500。
总收入
表示在一定时间内，销售或生产一定数量的产品所获得的全部收入。
关系
边际收入与总收入之间存在一定的关系。当销售量或产量增加时，边际收入逐渐上升，但 当销售量或产量达到一定水平后，边际收入会逐渐下降。这是因为随着销售量或产量的增 加，单位产品的收益逐渐降低，导致边际收益下降。
导数在收入函数中的应用实例
利用导数可以推导出Black-Scholes定价公式， 为期权定价提供理论依据。
导数在投资决策中的经济学意义
导数及其应用讲导数在不等式中的应用课件pptx
方法总结
总结利用导数求解函数极 值点的常用方法，如求导 、判断导数为零的点等。
案例分析
通过典型案例演示如何利 用导数求解极值点。
04
导数的实际应用举例
利用导数求解利润最大化问题
利润函数
首先明确利润函数，即销售收入减去成本和税金 ，通常表示为x的函数。
举例
以y=x^4为例，求该函数的凹凸性和 拐点。该函数的导数为y'=4x^3，在 区间(-oo,0)上，y'<0；在区间(0,)上 ，y'>0。因此，函数在区间(-oo,0)上 单调递减，在区间(0,)上单调递增， 故函数在x=0处存在极值点，且该极 值点不是函数的极值点，故函数在 x=0处有拐点
利用导数求解函数的单调性和区间
利用导数求不等式的解
利用导数可以求出一些不等式的解。例如，利 用导数可以求出一些函数的极值点和转折点等 。
利用导数解决一些实际问题
利用导数可以解决一些实际问题，例如，利用 导数可以求出一些最优化的方案，以及利用导 数解决一些经济和金融问题等。
02
导数的定义和性质
导数的定义
函数f在点x0处可导
指当自变量x在点x0处有增量△x时，相应的函数值f(x0+△x)和f(x0)之差 △y=f(x0+△x)-f(x0)可表示为△y=A△x+o(△x)，其中A是与△x无关的常数
利用导数求解函数的极值和最值
总结词
导数的值为0的点可能是函数的极值点或最值点。
详细描述
利用导数求解函数的极值和最值
06
总结与回顾
本章主要内容总结
了解了导数的定义和计算方法 学习了不等式的性质和证明方法
导数在运动科学中的应用举例
导数在运动科学中的应用举例
导数是微积分中的重要概念，它在运动科学领域中有着广泛的应用。
以下是一些导数在运动科学中的应用举例：
1. 速度和加速度的计算
在运动学中，导数可以用来计算物体的速度和加速度。
速度是位置关于时间的导数，而加速度是速度关于时间的导数。
通过对位置-时间函数进行求导操作，我们可以得到关于时间的速度和加速度函数，从而帮助研究者更深入地理解和分析运动的特性和变化。
2. 运动轨迹的研究
通过对位置-时间函数的导数，我们可以得到物体在不同时间点的速度和加速度。
这些速度和加速度的信息可以帮助我们研究物体的运动轨迹。
例如，通过分析速度和加速度的变化情况，我们可以了解物体是匀速运动还是加速运动，并进一步预测物体未来的位置和运动状态。
3. 力的计算和分析
在牛顿力学中，力是物体的质量乘以加速度。
通过导数的计算，我们可以得到物体的加速度函数，进而计算出物体所受的力。
这种
力的计算和分析在运动科学中具有重要意义，可以帮助研究者理解
物体所受的作用力以及力对物体运动的影响。
4. 运动过程的优化
在运动科学中，导数可以用来优化运动过程。
例如，在运动训
练中，研究者可以通过对某种运动动作的速度函数进行导数运算，
找到最大速度点或最大加速度点，从而优化动作的执行方式。
这种
运动过程的优化可以帮助运动员提高训练效果和竞技成绩。
导数是运动科学中不可或缺的工具，它能够提供关于位置、速度、加速度和力等运动参数的重要信息。
通过运用导数的概念和计
算方法，我们可以更加深入地理解运动的本质，并在运动训练和竞
技分析中取得更好的结果。
导数在研究不等式中的应用举例
导数在研究不等式中的应用举例陕西张磊导数问题和不等式问题相互交织构成了高考试题中的一道亮丽的风景线,常见的题型有四种.基本方法:构造函数,利用导数研究函数的单调性来解或证不等式或求最值研究恒成立问题.1 比较两个函数值大小(尤其比较两抽象函数)(1) 设函数f(x) , g(x)在(a ,b)上可导,且f′(x)>g′(x) ,则当a<x<b 时有( )(A) f(x)> g(x) (B) f(x)+ g(a)> g(x)+ f(a)(C) f(x)< g(x) (D) f(x)+ g(b)> g(x)+ f(b)解构造函数F(x)= f(x) − g(x) ,则F′(x)=f′(x) −g′(x)>0 ,故函数F(x)在区间[a ,b]上递增 ,又a<x<b ,故F(a)< F(x)< F(b) ,即f(a)−g(a)<f(x)−g(x)<f(b)−f(b) 变形得选B(2) 若函数y= f(x)在(0 ,+∞)上可导,且不等式x f′(x)> f(x)恒成立,又常数a ,b满足a>b>0 ,则下列不等式一定成立的是( )(A) bf(a)>af(b) (B) bf(a)<af(b) (A) af(a)>bf(b) (A) af(a)<bf(b)解构造函数F(x)=f(x)x ,则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2>0 , 故函数F(x)=f(x)x在区间(0 ,+∞)上递增,又a>b>0 ,从而f(a)a >f(b)b,即选A2 求解不等式(3) 设f(x) , g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 ,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )(A) (−3 ,0)∪(3 ,+∞) (B) (−3 ,0)∪(0 ,3)(C) (−∞ ,−3)∪(3 ,+∞) (D) (−∞ ,−3)∪(0 ,3)解构造函数F(x)= f(x)g(x),则F(x)= f(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 , 故函数F(x)在R上递增,又f(x) , g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数且g(-3)=0结合题意提供的信息作出大致图像如图示,不难得到不等式解集为D3 含参不等式恒成立问题解不等式恒成立问题的基本思想是把问题转化为求函数的最值或函数的值域的端点问题.利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求得参数的取值范围;也可分离变量构造函数,直接把问题转化为函数最值问题.(4)已知函数f(x)=axlnx的图像在点(e ,f(e))处的切线与直线y=2x平行(其中e为自然对数的底数),g(x)=x2−bx−2①求函数f(x)的解析式②对一切x∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,求实数b取值范围.解: ①依题, 函数f(x)=axlnx的图像在点(e ,f(e))处的切线的斜率k=2,即f ′(e)=2又f ′(x)=a(lnx+1),令a(lne+1)=2,得a=1,∴f(x)= xlnx②对一切x ∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,∴ 3 xlnx ≥x 2−bx −2在x ∈(0 ,e]上恒成立.即b ≥x −3lnx − 2x 在x ∈(0 ,e]上恒成立, (分离变量法)令h(x)= x −3lnx − 2x x ∈(0 ,e]则h ′(x)=(x−1)(x−2)x 2 由h ′(x)=0 得x=1或x=2 ∴x ∈(0 ,1)时h ′(x)>0 h(x)单调递增;x ∈(1 ,2)时h ′(x)<0 ,h(x) 单调递减 x ∈(2 ,e)时, h ′(x)>0 , h(x)单调递增∴h(x)极大值=h(1)=-1,而h(e)=e −3−2e −1<-1∴h(x)max=h(1)=-1∴b ≥h(x)max=-1故实数b 的取值范围为[-1 ,+∞)(5) 已知函数f(x)=ax+b x +2−2a (a>0)的图像在点(1 ,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行.① 求a ,b 满足的关系式② 若f(x)≥2lnx 在[1 ,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 解 ① f ′(x)=a −bx ,根据题意f ′(1)=a −b=2 ,即b=a −2 ② 由①知, f(x)=ax+a−2x +2−2a令g(x)= f(x)−2lnx= ax+a−2x +2−2a −2lnx ,x ∈[1 ,+∞), 则g(1)=0 ,g ′(x)=a − a−2x − 2 x =a (x−1)(x−2−a a )x , 当0<a<1时 , 2−a a >1 若1<x<2−a a,则g′(x)<0 , g(x)在[1 ,2−aa) 上为减函数所以g(x)< g(1)=0 , f(x)≥2lnx在[1 ,2−aa)上恒不成立当a≥1时,2−aa≤1 ,当x>1时, g′(x)>0 , g(x)在[1 ,+∞)上为增函数,又g(1)=0 ,所以f(x)≥2lnx综上所述,所求a的取值范围是[1 ,+∞)4 利用导数证明不等式对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数,然后利用函数的单调性和极值解决.(6) 设函数f(x)=x+a x2+blnx ,曲线y=f(x)过 P(1 ,0),且在点P处的切线斜率为2(i) 求a ,b的值 (ii) 证明f(x)≤2x−2解 (i)f′(x)=1+2ax+bx 由已知条件得{f(1)=0f′(1)=2即{1+a=01+2a+b=2解得 a=-1 b=3(ii)由(i)知f(x)=x−x2+3lnx 设g(x)= f(x)−(2x−2)=2−x−x2+3lnx 则g′(x)=-1−2x+3x =−(x−1)(2x+3)x当0<x<1时g′(x)>0 ;当x>1时g′(x)<0所以g(x)在(0 ,1)上单调递增,在(1 ,+∞)内单调递减 ,,而g(1)=0故当x>0时 , g(x)≤0 ,即f(x)≤2x−2解题心得:利用导数证明不等式成立,重点是构造适当的函数,利用导数的方法研究函数的单调性,通过单调性证明不等式.(7) 已知f(x)=12x2+lnx ,求证:在[1 ,+∞)上,f(x)的图像总在g(x)=23x3的图像的下方.解析: 本题等价于证明:当x≥1时,不等式12x2+lnx<23x3恒成立构造函数F(x)=12x2+lnx−23x3 ,则F′(x)=x+1x−2x2=(1−x)(1+x+2x2)x因为x≥1 所以F′(x)≤0 故F(x)在区间[1 ,+∞)上是减函数,从而F(x)≤ F(1)=-16<0 ,即12x2+lnx<23x3故在[1 ,+∞)上f(x)的图像总在g(x)=23x3的图像的下方.通过以上几例可以看出,构造辅助函数是用导数方法求解或求证不等式问题的关键,只要函数构造的恰当,求解及推证的过程就会特别的简单、明快.。
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§2—6导数应用举例我们知道，函数y = f (X )的导数f '(X 的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率, 因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。
在 意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。
一、导数在物理上的应用举例(一) 导数的力学意义 设物体作变速运动的方程为 S =s (t )，则物体运动的速度 v (t )是位移S = s (t )对时间t的ds变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数v (t )=s '(t )=—;此时，若速度v 仍是时间t 的函数dtd 2sv (t ),我们可以求速度v 对时间t 的导数v '(t )，用a 表示，就是a = v (t )= s ^t )=—.在力dtv (t )=s '(t )=6t 2 - gt, a (t )=s "(t )=12t -g,v (2 )= 24 - 2g = 24 - 20 = 4(米/秒 J a (2)=24-g =24-10 = 14(米/ 秒.导数的电学意义 q 是q=q(t )，则通过该导体的电流 l (t 是电量q = q (t )对时间t 的变化率(单位时间内通过的电量)，即电量的一阶导数I (t )=q '(t )=四dt设通过某导体截面的电量 q =Asin ®t +W )(库仑)，其中A,◎严为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流I (t)y = f (x )具有不同的实际学中, a 称为物体的加速度, 也就是说，物体运动的加速度 a 是位移s 对时间t 的二阶导数。
某物体的运动方程为S =2t '- 討2(9取10米/秒2)，求t = 2秒时的速度和加速解:度。
根据导数的力学意义,设通过某导体截面的电量 解:因为 q = Asin (o t )，所以I (t )=q'(t )=〔Asin(豹t+W )】=A coS豹t + W )(安培)。
二、导数在经济工作中的应用举例边际的概念经济学上把“某某”经济函数y = f(X 的导数f '(X)，称为函数f(X )在X处的“边际某某”，即称f '(X )为函数f(x )的边际函数，称f'(x0)为函数f(x)在点x = x0处的边际函数值。
它反映了函数f(X )在点X = x0处的变化速度。
般地，“某某”经济函数y = f(X )，则“边际某某”就记作My = f "(x )= ^^,dxX孑f U0 )= ?MydxX改变一个单位时，f(x)近似地改变它表示经济函数y=f(x在点x0处，当经济量f \x0i)个单位。
I设成本C是产量X的函数C =C(x》则边际成本MC =C'(x)=——dxdP 设产量P是某种投入资源X的函数P=P(x),则边际产量MP = P'(x)=——；dxdR 设总收入R是产量X的函数R = R(x )，则边际收入MR = R'(x)=——；dx设总利润L是产量X的函数L=L(x )，则边际利润ML^LTxX^dx例3 某种产品的总成本C (万元)是产量X (万件)的函数(称为总成本函数)C(x )=100 +6x -0.4X2 +0.02X3(万元)，试问当生产水平为x=10 (万件)时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当?解：当生产水平为x=10 (万件)时，总成本C(10 ) = 100+ 6X10-0.4X102 +0.02X10' =140 (万元)，这时每个单位产品的平均成本为 辔）=曙=14（元/件）,C (x ) = 6-0.8x+0.06x 2,所以生产水平x=10 （万件）时的边际成本为MC =C (10 )=6 -0.8X10 +0.06X 102 = 4(元/件)由于边际成本是生产水平为X=10 （万件）时成本的瞬时变化率，可以近似地看作在这个水平上再增加一个单位产品， 总成本增加的数量，它低于平均成本14（元/■件），所以从 降低单位成本的角度看，还应该继续提高产量。
例4某公司总利润L （元）与每天产量X （吨）的关系为L = L （x ）= 250x-5x2,试确定每天生产 20吨、25吨和35吨时的边际利润，并予以经济解释。
解： 因为 ML =L '(x )=250 -10x,xz =L '(x ) = 250-250 = 0, x 笠=L'(35 )=250-350 =-100.上述结果表明， 25吨时，再多生产产品，则利润不再增加，且开始减少；当日产量为 吨，则利润约减少 100元。
（二） 弹性的概念例如，甲商品每单位价格 5元，涨价1元；乙商品每单位价格 200元，也涨价1元，两 种商品价格的绝对改变量都是 相比就能获得问题的解答。
甲商品涨价百分比为 品的涨价幅度比乙商品的涨价幅度更大 率.—=3^ =56.25%,即当X =8增加到X =10时，x 增加了 y 64 △x A y25%, y 相应增加了 56.25%,我们分别称 ——和」为自变量与函数的相对改变量.如ML xm=L'(20 )=250-200 = 50,MLML 当日产量为 20吨时，再多生产1吨，总利润约增加 50元；当日产量为35吨时，再多生产 11元，哪个商品的涨价幅度更大呢？我们只要用它们与其原价 20%,乙商品涨价百分比为 0.5%,显然甲商.为此,我们有必要研究函数的相对改变量与相对变化设函数y2 =x，当x 从8增加到 10时,相应的y 从64增加到100,即自变量x 的绝对△x = 2,函数 y 绝对改变量 ^y = 36. 又△x 2=一 =25%, 8x y 果在本例中，再引入下式则该式表示在(8,10)内，从X=8到x=10时函数y=x 2的平均相对变化率.因此我们有如下 定义: 定义 设函数y = f (X 在 X 处可导，函数的相对改变量y少,而当产品的价格下降时，需求量就会增加.根据函数弹性的定义可得，需求量Q 对价格P 的y 56-25^2.25, A x25%迥f (x 7x )- f (x )与自变量称为f (x )从x 到x +i x 两点间的弹性.当也X T 0时,x 处的弹性，记作,即旦=limEx Ex 3由于 岂也为x 的函数,故也称它为Ex女反映了随着x 的变化，函数y = f (X )变化幅度的大小Exf(x )的弹性函数.，也就是函数 y = f(x )对自变量X 的变化反映的灵敏度，即旦表示在点X 处，当X 产生1%的改变时，函数Exy = f (X )近似地改变Ey Ex求幕函数 y =x 00为常数)的弹性函数.Ex可见，幕函数的弹性恒为常数 ，等于幕指数a ,即在任意点处的弹性不变设某产品的需求量为价格P 的函数Q = f (P )，通常当产品的价格上涨时 ,需求量就会减的相对改变量—的极限称为在x仪心X xEQ P弹性一=2亍需求量Q对价格P的弹性的经济意义是：当价格为P时，若价格上涨（或下P=10时若涨价（或降价）1%,则需求量将减少（或增加）1%;当价格P=15时,若涨价（或降价）1%,则需求量将减少（或增加）3%.练习2—61.下列说法是否正确？2（1） 一汽车在刹车后t 秒所行的距离s （t ）=30t-6t （米）,则刹车开始时的速度为v=30米/秒，当t=5秒时的加速度为a =12米/秒2.⑵生产某种产品x 个单位成本函数为 C （x ）=200 +0.05X 2,则生产90个单位产品时，再多生产一个单位产品，成本将增加9个单位. ⑶设某种商品的总收益R 是商品价格P 和销售量Q 乘积，如果销售量Q 是价格P 的函数PQ=Q （P ）=12一2,则当价格P=6元时，价格每上涨似,总收益将随之增加询％.2.已知一物体的运动规律为 s （t ）=丄上° +2t 2-2（米），求t =1秒时速度和加速度.43.某企业利润函数 L （x ）=250x-5x （单位汗元）,x 为日产量（单位：吨），求每日生产20吨25吨、35吨时的边际利润.1 一 P14.某种产品的销售量Q 与价格P 之间的关系为Q 二〒，求销售价格P =-时的弹性系数.降）1%,需求量Q 将减少（或增加）EQ EP设某商品的需求函数为 其含义.Q=60-3P,求P=10,P=15时需求量Q 对价格P 的弹性，并解释解:岸七-20'当P=10时, 当P=15时,EQI PEQI P「-1,10-20-亠一3,15-20这表明，当价格习题2 —61.设质点作直线运动，其运动规律给定如下，求质点在指定时刻的速度与加速度兀t⑵ S = Acos 二(A 为常数),t = 1.32.设通过某导体截面的电量为 q = Acos ®t +9 )(库仑),其中 g®为常数，时间t 的单位为秒,求通过该截面的电流l (t )23.某产品生产x 个单位的总成本 C 为x 的函数C =C(x )=1000 +0.012X (元).求生产1000件产品时的边际成本，并说明其经济意义.4.某企业产品的成本函数和收入函数分别为1 2 C (x )=3000 +200X +-x 2,51 2R (x )=350x + ——x ,20其中x 为产品的产量，求边际成本、边际收入和边际利润.(提示利润函数L (x )= R (x )-C (x ))5.设某商品需求量Q 对价格P 的函数关系是Q = f (卩)=1600卩〕，试求需求量Q 对价格P 14丿的弹性.6.生产函数y=-x B,其中y 是产出量,x 是投入量.4(1)证明B 就是生产函数的弹性 EyEx(2)当B=-,^16个单位时的平均产量和边际产量各是多少43(1)s =t -3t +2, t =2;。