人教版选修【1-2】第三章《数系的扩充与复数的引入》章末检测及答案
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》评估训练 新人教A版选修1-2
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标 限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析 把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案 －26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高 限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案 －211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。
第三章 复数章末复习
(5)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或_|_a_＋__b_i|_， 即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi←―一――一―对――应―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ←―一――一―对――应―→平面向量O→Z.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
解答
反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应 的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或 者用向量相等直接给出结论.
跟踪训练3
在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数
2 z
＋z2对应的
点位于
√A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 ∵2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2 ＝1＋2 i＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，
解 z＋1 ＝
2＋i
＝2＋i＝1－i，
∴z2－z＋3z1＋6的模为 2.
解答
z 跟踪训练 2 (1)已知1＋i＝2＋i，则复数 z 等于
A.－1＋3i C.3＋i
√B.1－3i
D.3－i
解析 ∵1＋z i＝2＋i，∴ z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
高中数学选修1-2(人教B版)第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学选修1-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的引入一、学习任务了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件．了解复数的几何意义．二、知识清单复数的概念 复数的几何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进一步扩充，人们引入了一个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中 叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常用字母表示，即（，），这一表示形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有 ，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数 （，）可以分类如下： i =−1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d i a=c b =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )⎧⎩⎨⎪⎪实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)非纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的几何意义根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定．因为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．设复平面内的点 表示复数，连结，显然向量 由点唯一确定；反过下列命题中，正确的个数是（ ）①若 ，则 的充要条件是 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ，．A． B． C． D．解：A①由于 ，所以 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能比较大小，所以②不正确；③当 ， 时， 成立，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知 ，，若 ，则______．解：根据复数相等的充要条件，得 整理得 ，所以 ，将其代入，得 ，所以 ，所以 ．=−3−4i z 1=(−3m −1)+(−m −6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{−3m −1=−3,n 2−m −6=−4,n 22m =4m =2−3m −1=−3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数 为何值时，复数 分别是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数 可整理为 ．（1）当 时，，即 或 ．（2）当 时， 是虚数，即 且 ．（3）当 时， 是纯虚数，解得 ．（4）当 时，，解得 ．k (1+i)−(3+5i)k −2(2+3i)k 2z z =(−3k −4)+(−5k −6)i k 2k 2−5k −6=0k 2z ∈R k =6k =−1−5k −6≠0k 2z k ≠6k ≠−1{−3k −4=0,k 2−5k −6≠0,k 2z k =4{−3k −4=0,k 2−5k −6=0,k 2z =0k =−1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ −→− Z −→−OZ说成向量 ，并且规定，相等的向量表示同一个复数．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
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第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
高中数学人教A版选修1-2练习：第3章 数系的扩充与复数的引入
第三章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．全集I ＝{复数}，集合M ＝{有理数}，N ＝{虚数}，则(∁I M )∩(∁I N )＝( D ) A ．{复数} B ．{实数} C ．{有理数}D ．{无理数}[解析] ∁I M ＝{无理数、虚数}，∁I N ＝{实数}，∴(∁I M )∩(∁I N )＝{无理数}． 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B ．23C ．－23D ．2[解析] 由题意得2＋(－b )＝0，∴b ＝2.3．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2i B ．2＋i C ．－5＋5iD ．5＋5i [解析] 复数2i －5的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝－2＋5i ，∴其实部为－2，故选A ． 4．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( D ) A ．0或－1 B ．0 C ．1D ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0m ≠0，∴m ＝－1，故选D ．5．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( A ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A ．6．复数z ＝a 2＋b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( D ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0， 故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝ 14 ，y ＝__1__.[解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3xy ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝1.8．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是 2＋3，0.618，i 2 . [解析] 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 三、解答题9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析] 按复数a ＋b i(a 、b ∈R )是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解． [解析] (1)当z 为实数时，则有a 2－5a －6＝0① 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义②解①得a ＝－1且a ＝6， 解②得a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0③ 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义④解③得a ≠－1且a ≠6， 解④得a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，此方程组无解，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．B 级 素养提升一、选择题1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( C ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i[解析] (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ， 所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.2．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( B ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4D ．不存在[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4. 3．若a 、b ∈R, 且a >b ，那么( D ) A ．a i>b i B ．a ＋i>b ＋i C ．a i 2>b i 2D ．b i 2>a i 2[解析] ∵i 2＝－1，a >b ，∴a i 2<b i 2，故选D ． 4．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( C ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2－a 2＝4a ，解得a ＝－4.二、填空题5．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于__－3__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1<0，∴m ＝－3.6．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝__－1__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.三、解答题7．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值. [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．C 级 能力提高1．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为__2__.[解析] (1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以ab ＝2.2．设z ＝log 12(m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值．[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解． (1)若z 是虚数，则其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1>05－m >05－m ≠1，解得1<m <5，且m ≠4.(2)若z 是纯虚数，则其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝15－m >05－m ≠1，解得m ＝2.第三章 3.1 3.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 复数z 在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限． 2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( C )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i. 3．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵1>0,2－sin θ>0， ∴复数对应的点在第一象限．4．复数z 与它的模相等的充要条件是( D ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数 [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( A ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2 [解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A ． 6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( B ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2 α＝2＋2cos α＝4cos 2 α2＝2|cos α2|.∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2|cos α2|＝－2cos α2，故选B ．二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z ＝1＋2i ，则|z |[解析] |z |＝12＋22＝ 5.8．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是__(1,2)__.[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1<x <2. 三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32，即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( A ) A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10， ∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2.2．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( C ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数[解析] ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴D 不正确，∴C 正确．3．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( D ) A ．1 B ．2 C ． 5D ．3[解析] |z |＝2，复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.4．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)位于第四象限．二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是__5__.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i. 由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5. 6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为 12 .[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.7．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝__12__.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题8．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)． 消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．C 级 能力提高1．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ [解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆． 解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．2．已知复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i ，证明对一切实数m ，该复数z 所对应的点不可能位于第四象限.[解析] 设z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 对应的点Z (m 2＋m －6，m 2＋m －2)位于第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6>0，m 2＋m －2<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－3，－2<m <1.显然此不等式组无解，因此对一切实数m ， 该复数所对应的点不可能位于第四象限．第三章 3.2 3.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C ) A ．2＋i B ．4＋3i C ．2＋3iD ．3＋2i[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i －1＋i ＝2＋3i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( B ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ， 所以z 的虚部是4.3．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3D ．－2－i [解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.4．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( C ) A ．18＋10i B ．18－10i C ．－10＋18iD ．10－18i[解析] ∵z ＝11－20i ， ∴1－2i －z ＝1－2i －11＋20i ＝－10＋18i.5．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( D ) A ．10 B ．5 5 C ． 2D ．5 2 [解析] ∵z 1－z 2＝5＋5i ， ∴f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.6．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( D ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，因此有⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，故z ＝34＋i ，故选D ．二、填空题7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝__－1__.[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 8．在复平面内，O 是原点，OA →、OC →、AB →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么BC →对应的复数为__4－4i__.[解析] B C →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题9．已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点.(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD →，DB →对应的复数，先求出向量P A →、PB →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即DB →对应的复数是5.B 级 素养提升一、选择题1．复数(3m ＋m i)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是( A ) A ．m <23B ．m <1C ．23<m <1D ．m >1[解析] (3m ＋m i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2<0m －1<0，∴m <23.2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( A )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4[解析] 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →、OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( D )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i[解析] 依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →， 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ， 即CD →对应的复数为4－2i. 故选D ．4．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( C ) A ．115B ．3iC ．115＋3iD ．115＋23i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3. ∴z ＝115＋3i ，故选C ．二、填空题5．(2016·济南高二检测)设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝__4__.[解析] x 1－i ＋y 1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝(x 2＋y 5)＋(x 2＋2y5)i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__－1＋10i__. [解析] ∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝52－y ＝－6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 7．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝__3__.[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i]＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3.三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x 、y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.C 级 能力提高1．(2016·青岛高二检测)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．[解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.2．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝0. ∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210.∴sin B ＝7210.∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.第三章 3.2 3.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·重庆八中高二检测)复数z 满足z i －1＝i 则z 的共轭复数为( A ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋iD ．－1－i[解析] z ＝1＋i i ＝i (1＋i )i 2＝i －1－1＝1－i.2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i 为虚数单位，则(1＋i 1－i )2＝( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [解析] (1＋i 1－i )2＝2i－2i＝－1.3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i 为虚数单位．若复数－3i(a ＋i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则a ＝( A )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[解析] －3i(a ＋i)＝－3a i ＋3， ∴－3a ＝3，∴a ＝－1.4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 [解析] ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ， ∴a ＝4，选D ．5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) [解析] ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. 故选B ．6．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( B ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝±1，即z ＝3±i. 二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__. [解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2 ＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2 ＝1＋1＋1＋4i －4 ＝－1＋4i.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝__2＋i__. [解析] (1＋2i)·z ＝4＋3i ，z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，∴z ＝2＋i.三、解答题 9．计算：(1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)；(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i ).[解析] (1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)＝(－12＋32i)(7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i＝－20＋16i 1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )82＝－4(41＋41i )82＝－2－2i.B 级 素养提升一、选择题1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( C )A ．0B ．1C ． 2D ．2[解析] ∵1－z1＋z＝i ，∴z ＝1－i 1＋i ，∴z ＋1＝1－i 1＋i ＋1＝21＋i ＝1－i ，∴|z ＋1|＝ 2.2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 [解析] 由x i ＋y i 2＝3＋4i ，知x ＝4，y ＝－3，则x ＋y i 的模为x 2＋y 2＝5. 3．若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m 的值是( B )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2[解析] (m 2＋i)(1＋m i)＝m 2＋i ＋m 3i ＋m i 2＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i. ∵(m 2＋1)(1＋m i)为实数， ∴m 3＋1＝0， ∴m ＝－1.故选B ．4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( C ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 二、填空题5．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z [解析] 方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1故|z |＝a 2＋b 2＝ 5.方法二：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝ 5. 6．(2015·重庆理)设复数a ＋b i(a 、b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__3__. [解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3. (a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.7．(2017·浙江，12)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.[解析] (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 三、解答题 8.m1＋i＝1－n i ，(m 、n ∈R ，i 是虚数单位)，求m 、n 的值. [解析] ∵m1＋i ＝1－n i ，∴m (1－i )2＝1－n i ， ∴m －m i ＝2－2n i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2－m ＝－2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1. C 级 能力提高1．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝ 1－32i .[解析] ∵z 0＝3＋2i ， ∴z ·z 0＝3z ＋2i z ＝3z ＋z 0， ∴2i·z ＝z 0.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴2i(a ＋b i)＝3＋2i ，即－2b ＋2a i ＝3＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝3，2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32，∴z ＝1－32i.2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . [解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.。
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最新整理高二数学教案选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案第三章数系的扩充与复数的引入一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 是复数为纯虚数的（）A．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件2.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．（）A． B． C． D．4．复数z满足，那么＝（）A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i5.如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于（）A.2B.23C.2D.－236.集合｛Z︱Z＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（）A｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2 ｝D.｛0，2，－2，2 ，－2 ｝7.设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（）8、复数，则在复平面内的点位于第（）象限。
A．一 B.二 C.三 D .四9.复数不是纯虚数，则有（）10.设i为虚数单位，则的值为（）A．4 B.－4 C.4i D.－4i二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。
）11.设（为虚数单位），则z= ；|z|= .12.复数的实部为，虚部为。
13.已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =14.设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则的面积为。
三.解答题（本大题共6小题，每小题74分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）15.（本小题满分12分）已知复数z=(2+ ) ).当实数m取什么值时,复数z是:（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。
（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）设 R，若z对应的点在直线上。
求m的值。
18．（本小题满分14分）已知关于的方程组有实数，求的值。
(人教版)高中数学选修1-2检测第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.2 Word版含答案
第三章一、选择题(每小题分，共分)．向量＝(，－)对应的复数为( )．＝－．＝＋．＝＋．＝－－解析：因为相等的向量对应的复数相等，与向量＝(，－)相等的向量是＝(，－)，而向量＝(，－)对应的复数是＝－，所以向量＝(，－)对应的复数是＝－.答案：．已知＜＜，复数＝＋(是虚数单位)，则的取值范围是( )．(，) ．(，)．() ．()解析：＝.∵＜＜，∴＜＋＜，∴∈(，)．答案：．在复平面内，向量对应的复数是＋，向量对应的复数是－－，则向量对应的复数为( )．－．－＋．＋．－－解析：由题意知＝()，＝(－，－)．＝＋＝(－，－)＋(－，－)＝(－，－)，∴对应的复数为－－.答案：．复数＝(－)＋(－－)对应的点在第四象限，则实数的取值范围是( )．(－，－) ．()．(－，－)∪(－) ．(－，－)∪()解析：复数＝(－)＋(－－)对应的点的坐标为(－，－－)，据题意有(\\(－>，－－<，))解得－<<－，或<<.答案：二、填空题(每小题分，共分)．复平面内长方形的四个顶点中，点，，所对应的复数分别是＋＋，－－，则点对应的复数为．解析：由题意可知()，()，(－，－)，设(，)，则＝，即(－，－)＝(－，－)，解得(\\(＝－，＝－.))故点对应的复数为－－.答案：－－．复数＝＋，＝－＋，如果＜，则实数的取值范围是．解析：∵＝，＝，∴＜，∴－＜＜.答案：(－)三、解答题(每小题分，共分)．写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边长为)．解析：如题图所示，点的坐标为()，则点对应的复数为＋.同理可知点，，，，，对应的复数分别为：－，－＋，－，－.．已知∈，复数＝＋(＋－).则当为何值时，()∈?()是纯虚数？()对应的点位于复平面第二象限？()对应的点在直线＋＋＝上？解析：复数＝＋(，∈)，当且仅当＝时，∈；当且仅当＝且≠时，为纯虚数；当<，>时，对应的点位于复平面的第二象限；复数对应的点的坐标是直线方程的解，则这个点就在这条直线上．()由＋－＝且－≠，得＝－.故当＝－时，∈.()由(\\(((＋(－)＝，＋－≠，))解得＝，或＝－.故当＝，或＝－时，为纯虚数．()由(\\(((＋(－)<，＋－>，))解得<－.故当<－时，对应的点位于复平面的第二象限．()由＋(＋－)＋＝，。
高中数学选修2-2章末检测3：第三章 数系的扩充与复数的引入
章末检测一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S 2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是( )A ．若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22B ．|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D ．z 1－z 1是纯虚数或零4．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n i m －n i 等于( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i5．已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－26．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i7．已知2＋a i ，b ＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 的值为( ) A ．p ＝－4，q ＝5 B ．p ＝4，q ＝5 C ．p ＝4，q ＝－5D ．p ＝－4，q ＝－58．i 为虚数单位，设复数z 满足|z |＝1，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－2z ＋2z －1＋i 的最大值为( ) A.2－1B ．2－2C.2＋1D ．2＋29．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)(其中i 是虚数单位)，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．30B ．15C ．25D ．10010．设复数z 满足|z |＜1且⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝52，则|z |等于( ) A.45 B.34 C.23 D.1211．如果关于x 的方程2x 2＋3ax ＋a 2－a ＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a 的值( ) A ．不存在 B ．有一个 C ．有三个 D ．有四个12．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个二、填空题13．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．14.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 15．已知|z 1|＝2，|z 2|＝3，|z 1＋z 2|＝4，则z 1z 2＝__________.16．复数|z |＝1，若存在负数a 使得z 2－2az ＋a 2－a ＝0，则a ＝________. 三、解答题17．计算：(1)i 1＋i ÷(1＋3i)2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3.18．设z 是虚数，m ＝z ＋1z 是实数，且－1＜m ＜2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围．(2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．(3)结合(2)求m －u 2的最小值．[答案]精析1．B2．A [因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．]3．D [举例说明：若z 1＝4＋i ，z 2＝2－2i ，则z 21＝15＋8i ，z 22＝－8i ，z 21＋z 22＞0，但z 21与－z 22都是虚数，不能比较大小，故A 错；因为|z 1－z 2|2不一定等于(z 1－z 2)2，故|z 1－z 2|与(z 1＋z 2)2－4z 1z 2不一定相等，B 错；若z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则z 21＝3＋4i ，z 22＝－3－4i ，z 21＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 1＝a －b i ，故z 1－z 1＝2b i ，当b ＝0时是零，当b ≠0时，是纯虚数．故D 正确．]4．D [由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i.]5．A [a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a －1)－(a ＋1)i2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.]6．B [∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ， ∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.]7．A [由条件知2＋a i ，b ＋i 是共轭复数，则a ＝－1，b ＝2，即实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是2±i ，所以p ＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q ＝(2＋i)(2－i)＝5.]8．C [|z 2－2z ＋2z －1＋i|＝|z －(1＋i)|，故只需求x 2＋y 2＝1上的点到(1,1)的最大距离，其值为1＋ 2.]9．D [由复数相等知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ，则x 2＋y 2＝50－50sin(θ－φ)≤100(其中φ为辅助角)． ∴x 2＋y 2的最大值为100.]10．D [因为⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝|z z ＋1||z |＝52，即|z |2＋1＝52|z |，所以|z |＝12.] 11．C [(1)当根为实数时，将x ＝1代入原方程得a 2＋2a ＋2＝0，此方程无实数解；将x ＝－1代入原方程得a 2－4a ＋2＝0，解得a ＝2±2，都符合要求．(2)当根为虚数时，Δ＝a (a ＋8)＜0，∴－8＜a ＜0.此时有x 1·x 2＝|x 1|2＝|x 2|2＝1＝a 2－a2，所以可得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1，或a ＝2(舍去)．故共有三个．] 12．B [f (n )有三个值0,2i ，－2i.] 13．(3,4)[解析] ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.14．1＋2i[解析] 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 15.16±156i [解析] 由题意，z 1z 1＝4，z 2z 2＝9，(z 1＋z 2)(z 1＋z 2)＝z 1z 1＋z 2z 2＋z 1z 2＋z 2z 1＝4＋9＋9z 1z 2＋4z 2z 1＝16，所以9z 1z 2＋4z 2z 1＝3，令z 1z 2＝t ，则9t ＋4t ＝3，即9t 2－3t ＋4＝0，所以t ＝16±15i 6，即z 1z 2＝16±15i 6. 16.1－52[解析] 由z 2－2az ＋a 2－a ＝0，得(z －a )2＝a . 又a 为负数，所以z －a 为纯虚数．设z －a ＝b i ，则z ＝a ＋b i ，所以(b i)2＝a ，故a ＝－b 2. 又|z |＝1，所以a 2＋b 2＝1，所以a 2－a －1＝0.故a ＝1±52.由a 为负数，所以a ＝1－52.17．解 (1)i1＋i ÷(1＋3i)2＝i (1－i )(1＋i )(1－i )÷[(1＋3i)(1＋3i)] ＝i －i 22÷(1＋3i 2＋23i)＝1＋i 2÷(－2＋23i)＝(1＋i )(－4－43i )(－4＋43i )(－4－43i ) ＝－4－43i －4i －43i 264＝4(－1＋3)－4(1＋3)i 64＝－1＋316－1＋316i.(2)方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3i ＋i ＋3i 243＝[(1－3)＋(1＋3)i]343＝ (1－3)3＋3(1－3)2(1＋3)i ＋3(1－3)(1＋3)2i 2＋(1＋3)3i 364＝16－16i 64＝1－i 4.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1＋i 1－3i 3＝(1＋i )3(1－3i )3＝1＋3i ＋3i 2＋i 31－33i －9＋33i ＝－2＋2i －8＝1－i 4.18．(1)解 ∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， ∴m ＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.∵m 是实数，且y ≠0， ∴y －yx 2＋y2＝0，∴x 2＋y 2＝1，∴|z |＝1，此时m ＝2x . ∵－1＜m ＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1.∴|z |＝1，z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明 结合(1)可知u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝－y(1＋x )i. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，y ≠0， ∴－y1＋x≠0，∴u 为纯虚数．(3)解 m －u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3.∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0，∴2(x ＋1)＋21＋x－3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x ，即x ＝0(x ＝－2舍去)时，等号成立．故m －u 2的最小值为1，此时z ＝±i.。
2019-2020学年高中人教A版数学选修1-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.2
4．已知复数 z＝1－i(i 是虚数单位)，则2z－z2 的共轭复数是
()
A．1－3i
B．1＋3i
C．－1＋3i
D．－1－3i
解析：∵2z－z2＝1－2 i－(1－i)2＝1－21i＋1＋i i－(1－2i＋i2)＝1 ＋i＋2i＝1＋3i，∴2z－z2 的共轭复数为 1－3i，故选 A.
答案：A
故所求的 z＝ 23＋12i，|z－w|的取值范围是[0,2]．
[名 师 点 拨] (1)复数问题向实数问题转化是解答复数问题的重要方法． (2)牢记共轭复数的定义，熟悉共轭复数的相关性质.
(1)(2019·全国卷Ⅱ)设 z＝－3＋2i，则在
复平面内 z 对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 复数代数形式的乘除运算
计算：
(1)(2＋3i)2；
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)；
(3)11＋ －ii6＋
2＋ 3－
3i 2i.
【思路探索】 按复数的乘除运算法则进行．
【解】 (1)(2＋3i)2＝4＋12i＋9i2＝4＋12i－9＝－5＋12i.
2．已知复数 z＝4－3i ，则|z|＝( )
A．4
B．3
C．5
D．2
解析：z＝4－3i ＝4－3i2i＝4＋3i，∴|z|＝5，故选 C.
答案：C
3．(2019·保定月考)已知 z1，z2 为复数，则下面四个选项中 正确的是( )
A．若z11为纯虚数，则 z1∈R B．若 z21∈R，则 z1∈R C．若 z1，z2 为纯虚数，则 z1＋z2 为纯虚数 D．若 z 1＝z2，则 z1＋z2∈R
2014年人教A版选修1-2课件 第三章小结(数系的扩充与复数的引入)
例4. 对任意复数 z=x+yi (x, yR), i 为虚数单位, 则下列结论正确的是 ( D ) (A) |z-z|=2y (B) z2=x2+y2 (C) |z-z|≥2x (D) |z|≤|x|+|y|
分析: | z - z | = |( x + yi ) - ( x - yi )| = |2yi|. y<0 时, A 选项不成立. y
7. 共轭复数 实部相等, 虚部互为相反数的两个复数叫 做互为共轭复数. 复数 z 的共轭复数记着 z 如: z=a+bi, z = a - bi. 一对共轭复数的积是一个实数: (a+bi)(a-bi)=a2+b2.
8. 复数的除法
复数除法的基本思想是分母实数化. 即分子分母同乘以分母的共轭复数. a + bi = (a + bi )(c - di ) c + di (c + di )(c - di ) 2 ac adi + bci bdi = c2 + d 2 (ac + bd ) + (bc - ad )i = c2 + d 2 ac + bd bc ad = 2 2 + 2 2 i. c +d c +d
例3. 已知复数 z =
3 + i , 则 |z| 等于 ( ) B 2 (1 - 3i ) 1 1 (A) (B) (C) 1 (D) 2 4 2 分析: 先计算复数, 再求模. 3+i = 3+i 3+i =z= (1 - 3i )2 1 - 2 3i - 3 2(1 + 3i ) ( 3 + i )(1 - 3i ) =2(1 + 3i )(1 - 3i ) = - 2 3 - 2i 2(1 + 3) 3 1 =+ i. 4 4 则 |z| = (- 3 )2 + ( 1 )2 = 1 . 2 4 4
人教版选修【1-2】第三章《数系的扩充与复数的引入》章末过关检测卷及答案
数学·选修1－2(人教A版)章末过关检测卷(三)第三章数系的扩充与复数的引入(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·肇庆一模)设i为虚数单位，复数z1＝a－3i，z2＝2＋b i，a其中a，b∈R，若z1＝z2，则ab＝()A．－1 B．5 C．－6 D．6答案：C2．复数z1＝－3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B3．(2013·深圳二模)i为虚数单位，则i＋1i等于()A．0 B．2i C．1＋i D．－1＋i答案：A4．对于复数z＝a＋b i有()A．|z2|>|z|2B．|z2|＝|z|2C．|z2|<|z|2D．|z2|＝z2答案：B5.1－3i (3＋i )2＝( ) A.14＋34i B ．－14－34i C.12＋32i D ．－12－32i 答案：B6．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i分析：本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力．先把z 化成标准的a ＋b i(a ，b ∈R)形式，然后由共轭复数定义得出z －＝－1－i.解析：由z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，及共轭复数定义得z －＝－1－i.答案：A7．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，选A.答案：A8．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝2，c ＝－1C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝－2，c ＝3解析：根据实系数方程的根的特点知1－2i 也是该方程的另一个根，所以1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，即b ＝－2，(1－2i)(1＋2i)＝3＝c ，故选D.答案：D9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i解析：因为z (2－i)＝11＋7i ，所以z ＝11＋7i2－i，分子分母同时乘以2＋i ，得z ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝22＋11i ＋14i ＋7i 24－i 2＝22－7＋25i 4－i 2＝22－7＋25i 4＋1＝15＋25i 5＝3＋5i.答案：A10．复数方程|||z ＋i|－|z －i|＝2对应的复平面内的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支C ．直线D ．两条射线(包括端点)答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)11．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为______．解析：(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，实部为－20.答案：－2012．若复数z 满足z ＝i(2－z )，则z ＝______.解析：由z ＝i(2－z )，得(1＋i)z ＝2i ，即z ＝2i 1＋i＝2i (1－i )2＝1＋i.答案：1＋i13．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量O A →和O B →，其中O 为坐标原点，则|A B →|＝________.解析：AB→＝OB →－OA →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB→|＝2 2. 答案：2214．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋a i(a ，b ∈R)，若|z 1|＜|z 2|，则b 的取值范围是______．解析：由题知a 2＋b 2<(－1)2＋a 2， ∴b 2<1，∴－1<b <1. 答案：(－1,1)三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(12分)计算：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i1－2i－4i ；(2)(－1＋3i )3(1＋i )6－(2＋i )24－3i .解析：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i －4i ＝2i ＋2－25＋15i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45i －4i ＝1－i. (2)(－1＋3i )3(1＋i )6－(2＋i )24－3i ＝(－1＋3i )3(2i )3－3＋4i 4－3i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3(－i)3－(4－3i )i 4－3i ＝－i －i ＝－2i.16．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，当a 取何值时，(1)z ∈R ？(2)z 是纯虚数？(3)z 是零？解析：(1)当a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1或a ＝6时，z ∈R.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，即a ＝－2时，z 是纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1时，z 是零17.(14分)设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)求ω2－4ω的取值范围．解析：(1)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，ω＝z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i a 2＋b 2＝a ＋aa 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，由－1＜ω＜2，得 ⎩⎨⎧－1＜a ＋aa 2＋b 2＜2，b －ba 2＋b 2＝0⇒⎩⎨⎧－12＜a ＜1，a 2＋b 2＝1.∴|z |是1，z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)由(1)知ω＝2a ，ω2－4ω＝4a 2－8a ＝4(a －1)2－4， ∴－4＜ω2－4ω＜5.18．(14分)方程x 2＋5x ＋m ＝0有两虚根z 1，z 2，且|z 1－z 2|＝3，求实数m 的值．解析：由方程有虚根，得Δ＝25－4m ＜0⇒m ＞254.由韦达定理，得z 1＋z 2＝－5，z 1·z 2＝m ， |z 1－z 2|2＝|(z 1－z 2)2|＝|(z 1＋z 2)2－4z 1z 2|＝|25－4m |＝9.∴m ＝4(舍去)，m ＝172.19.(14分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： ①|z －3|＝|z －3i|；②z －1＋5z －1是实数．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，由|z －3|＝|z －3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .①由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5(x －1)＋y i∈R ，y ≠0⇒(x－1)2＋y 2＝5.②联立①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.20．(14分)已知：复数z 1＝m ＋n i ，z 2＝2－2i 和z ＝x ＋y i ，若z＝z 1i －z 2，其中m ，n ，x ，y 都是实数．(1)若复数z 1所对应点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，求复数z 所对应点P (x ，y )的轨迹C 方程；(2)过原点的直线与轨迹C 有两个不同的交点，求直线的斜率k 的取值范围．解析：(1)z ＝z 1i －z 2＝(m －n i)i －(2－2i)＝(n －2)＋(2＋m )i ＝x ＋y i ，复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝n －2，y ＝2＋m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝x ＋2，m ＝y －2.∵点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，∴n ＝12(m ＋3)2＋1⇒x ＋2＝12(y －2＋3)2＋1⇒x ＝12(y ＋1)2－1.(2)设过原点的直线的方程是y ＝kx ，代入曲线C 的方程，得ky 2＋(2k －2)y －k ＝0，Δ＝(2k －2)2＋4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122＋2＞0恒成立，∴k ∈R.。
高中数学选修1-2(人教A版)第三章数系的扩充与复数的导入3.2知识点总结含同步练习及答案
3.
下面是关于复数
z=
2 −1 + i
的四个命题：
p1 : |z| = 2；
p2 : z2 = 2i；
p3 : z 的共轭复数为 1 + i；
p4 : z 的虚部为 −1．
其中的真命题为 ( )
A．p2 , p3
B．p1 , p2
答案： C
解析： 由于
C．p2 , p4
z=
2 −1 + i
=
2 (−1 − i) 2
−
√3 2
i+
1 4
=−
1 2
−
√3 2
i；
（3）原式
=
1 + 2i 3 − 4i
=
(1 + 2i)(3 + 4i) (3 − 4i)(3 + 4i)
=
−5 + 10i 25
=−
1 5
+
2 5
i．
计算
(−
1 2
+
√3 2
4
i)
的值．
解：法一：原式
=
(
1 4
−
√3 2
(人教版)高中数学选修1-2检测第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 Word版含答案
第三章一、选择题(每小题分，共分)．＝是复数＋(，∈)为纯虚数的( )．充分条件．必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：＝时，＋不一定为纯虚数，因为＝，＝时，＋＝，但当＋为纯虚数时，＝. 答案：．适合－＝(－)的实数，的值为( )．＝且＝．＝且＝－．＝且＝．＝且＝解析：由复数相等的条件可知(\\(＝，,－＝－，))解得(\\(＝，＝.))答案：．下列各数中，纯虚数的个数是( )＋，＋，(－)，．．．．解析：根据纯虚数的定义知，，(－)是纯虚数．答案：．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，∈，则＋＝＋的充要条件是＝＝；②若，∈且＞，则＋＞＋；③若＋＝，则＝＝.．．．．解析：①由于，∈，所以＋不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当＝，＝时，＋＝成立，∴③是假命题．答案：二、填空题(每小题分，共分)．若复数＝(－＋)＋(－)是实数，则实数＝.解析：复数为实数，其虚部为，则－＝，解得＝.答案：．若－＝＋(，∈)，则＋＝.解析：根据复数相等的充要条件，得(\\(＝，＝－，))∴＋＝－＋.答案：－＋三、解答题(每小题分，共分)．设∈，复数＝－－＋(－＋).试求为何值时，分别为：()实数；()虚数；()纯虚数．解析：()当为实数时，则有－＋＝，解得＝或.即为或时，为实数．()当为虚数时，则有－＋≠，解得≠且≠.即≠且≠时，为虚数．()当为纯虚数时，则有(\\(－－＝，－＋≠，))解得＝－，即＝－时，是纯虚数．．()已知(－)＋＝－(－)，其中，∈，求与.()已知－＋＝，求实数，的值．解析：()根据复数相等的充要条件得(\\(－＝，＝－(－(，))解得＝，＝. ()∵－＋＝，∴(\\(－＝，＝，))解得(\\(＝，＝))或(\\(＝－，＝－.)).(分)已知关于的方程＋(＋)＋＋＝有实根，求这个实根以及实数的值．解析：设＝是方程的实根，代入方程并整理得(＋＋)＋(＋)＝.由复数相等的条件得(\\(\()＋＋＝，＋＝，))解得(\\(＝()，＝－()))或(\\(＝－()，＝().))∴方程的实根为＝或＝－，相应的的值为＝－或＝.。
第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测(A)
第三章 数系的扩充与复数的引入(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．复数z ＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α22．下列说法正确的是( )A ．0i 是纯虚数B ．原点不是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D ．i 2是虚数3．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝46．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5B ．13C ．15D ．178．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC.5＋2i D ．5－2i9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )A ．－1 000－1 000iB ．－1 002－1 002iC ．1 003－1 002iD ．1 005－1 000i10．设复数z 满足1－z 1＋z＝i ，则|1＋z |等于( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．211．若z 1＝(2x －1)＋y i 与z 2＝3x ＋i (x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．f (n )＝i n ＋i －n (n ∈N ＋)的值域中的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无穷多个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为______．14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．15．若复数z ＝2i 1－i，则|z ＋3i|＝________. 16．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C .若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)虚数，(2)纯虚数．18．(12分)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R )，求z 和m 的值．19．(12分)复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a z <0，求纯虚数a .20．(12分)已知复数z 的模为2，求复数1＋3i ＋z 的模的最大值、最小值．21．(12分)已知z 是虚数，证明：z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1.22．(12分)复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．第三章 数系的扩充与复数的引入(A)答案1．B [|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪cos α2 ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0， ∴2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－2cos α2.] 2．C [0i ＝0∈R ，故A 错；原点为实轴和虚轴的交点，故B 错，i 2＝－1∈R ，故D 错，所以答案为C.]3．B [cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π，32π，θ－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，因此，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．]4．D [由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－5x 0＋4＝0－x 0－1＝0，该方程组无解．] 5．A [z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )iz 1－z 2＝a ＋3＋(4－b )i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋b ＝0a ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.] 6．A [∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i， ∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14.] 7．B [BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD 的长为13.]8．A [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则x ＝－5，由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4，∴y ＝±2，∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i.]9．C [1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i.周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.]10．C [由1－z 1＋z ＝i ，得z ＝1－i 1＋i＝－i ， ∴|1＋z |＝|1－i|＝ 2.]11．C [由z 1，z 2互为共轭复数，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝3x ，y ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以z 1＝(2x －1)＋y i ＝－3－i.由复数的几何意义知z 1对应的点在第三象限．]12．B [根据i 的周期性，当n ＝4k (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋i －4k ＝1＋1＝2，当n ＝4k ＋1 (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋1＋i －(4k ＋1)＝i ＋1i＝0， 当n ＝4k ＋2 (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋2＋i －(4k ＋2)＝－2，当n ＝4k ＋3 (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋3＋i －(4k ＋3)＝－i －1i＝0. 故值域中元素个数为3.]13．1解析 设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a ＋b i －i(a －b i)＝a －b ＋(b －a )i ，又a －b ＝－1，∴b －a ＝1.14．115＋3i 解析 设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )，根据题意得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝5＋3i ，所以有⎩⎨⎧ b ＝3a ＋a 2＋b 2＝5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝115b ＝3， ∴z ＝115＋3i. 15． 5 解析 ∵z ＝2i 1－i＝2i (1＋i )2＝－1＋i. ∴z ＝－1－i ，∴|z ＋3i|＝|－1＋2i|＝ 5.16．－3 －10解析 ∵OC →＝2OA →＋OB →∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a －4＝6＋b ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－10.17．解 由于m ∈R ，复数z 可表示为z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．(2)当⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0， 即m ＝－12时，z 为纯虚数． 18．解 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )．因为|z |＝5，所以a 2＋b 2＝25.因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ，又(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上， 所以3a －4b ＋4a ＋3b ＝0，得b ＝7a ，所以a ＝±22，b ＝±722，即z ＝±⎝⎛⎭⎫22＋722i ， 所以2z ＝±(1＋7i)．当2z ＝1＋7i 时，有|1＋7i －m |＝52，即(1－m )2＋72＝50，得m ＝0，或m ＝2. 当2z ＝－(1＋7i)时，同理可得m ＝0，或m ＝－2.∴z ＝±⎝⎛⎭⎫22＋722i ，m ＝0或m ＝2或m ＝－2. 19．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i (m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2 ＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0， ∴⎩⎨⎧ －m 2<0，m 2－2＝0， ∴m ＝4.∴a ＝4i.20．解 利用公式||z 1|－|z 2||≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|.∵|z |＝2，∴||z |－|1＋3i||≤|z ＋1＋3i|≤|z |＋|1＋3i|.∴0≤|z ＋1＋3i|≤2＋2，∴|z ＋1＋3i|min ＝0，|z ＋1＋3i|max ＝4.21．证明 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R 且y ≠0)，则z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2 ＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i.当|z |＝1，即x 2＋y 2＝1时，z ＋1z＝2x ∈R . 当z ＋1z ∈R ，即y －y x 2＋y 2＝0时，又y ≠0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.∴z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1. 22．解 z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i) ＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①∵复数0、z 、z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1. ② 又∵z 对应的点在第一象限，∴－2a >0，－2b >0，∴a <0，b <0. ③由①②③得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
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数学·选修1－2(人教A版)
章末检测
(测试时间：120分钟评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b，c∈R，则复数(a＋b i)(c＋d i)为实数的充要条件是() A．ad－bc＝0 B．ac－bd＝0
C．ac＋bd＝0 D．ad＋bc＝0
答案：D
2．(2013·东莞二模)复数(1＋2i)i(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：B
3．复数z＝i(1＋i)(i为虚数单位)的模等于()
A．1 B. 2 C．0 D．2
答案：B
4．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i则()
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
答案：C
5．设a、b为实数，若复数a－b i
1＋2i
＝
1
1＋i
，则()
A．a＝3
2，b＝－
1
2B．a＝
3
2，b＝
1
2
C．a＝1
2，b＝－
3
2D．a＝1，b＝－3
答案：A
6．(2013·茂名一模)计算：i(1＋i)2＝() A．－2 B．2
C．2i D．－2i
答案：A
7．已知
a
1＋i
＝1－b i(a，b是实数，i是虚数单位)，则a－b＝()
A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C
8．设i是虚数单位，复数1＋a i
2－i
为纯虚数，则实数a为()
A．2 B．－2 C．－1
2 D.
1
2
答案：A
9．(2013·茂名二模)已知x，y∈R，i是虚数单位，且x i－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y的值是()
A．2 B．－2i C．－4 D．2i
答案：D
10．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的实部记作Re(z )＝a ，则Re ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＋i ＝
( )
A.23
B.25 C ．－15 D ．－1
3
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．计算：3－i
1＋i
＝________(i 为虚数单位)．
解析：3－i 1＋i ＝(3－i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝2－4i
2＝1－2i.
答案：1－2i
12．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．
答案：1
13．设a ，b ∈R.a ＋b i ＝11－7i
1－2i
(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为
________．
解析：由a ＋b i ＝11－7i
1－2i
得
a ＋
b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝11＋15i ＋14
1＋4
＝5＋3i ，所以a ＝
5，b ＝3，a ＋b ＝8.
答案：8
14．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b 是实数，
且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③a ∈C ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④z ＝1
i
，则z 2
＋1对应的点在第一象限．其中正确的有_______________个．
答案：0
三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)如果(x ＋2y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，求实数x ，y 的值．
解析：由复数相等的充要条件，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－2. ∴x ＝2，y ＝－2.
16．(12分)已知z ＝2－i (3－4i )(1＋i )2＋(1－i)2
，求|z |.
解析：∵z ＝2－i (3－4i )(1＋i )＋(1－i)2
＝2－i (3－4i )(2i )－2i ＝2－i 8＋6i
－2i
＝(2－i )(8－6i )(8＋6i )(8－6i )
－2i ＝(2－i )(8－6i )100－2i ＝10－20i 100－2i ＝110－115i ，
∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪110－115i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1152＝48510.
17．(14分)已知m ∈R ，复数z ＝m (m －2)
m －1
＋(m 2＋2m －3)i ，当m
为何值时，(1)z ∈R ？(2)z 是纯虚数？(3)z <0?
分析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当且仅当b ＝0时，z ∈R ；当且仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；当且仅当b ＝0且a <0时，z <0.
解析：(1)由m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，得 m ＝－3，所以当m ＝－3时，z ∈R.
(2)由⎩⎪⎨
⎪⎧
m (m －2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0
解得m ＝0或m ＝2，
所以当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．
(3)当⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2＋2m －3＝0，
m (m －2)
m －1<0
时z <0；
即⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1或m ＝－3，m <0或1<m <2，
即m ＝－3时z <0. 点评：要完整理解复数为纯虚数的等价条件．分母不为0不可忽视．
18．(14分)设复数z 同时满足下列条件： ①复数z 在复平面对应的点位于第二象限；
②z ·z －＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)，求a 的取值范围．
解析：设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则x <0，y >0. z ·z －＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)⇒x 2＋y 2＋2x i －2y ＝8＋a i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋(y －1)2＝9，a ＝2x .
x 2＋(y －1)2＝9表示以(0,1)为圆心，3为半径的圆，如下图所示．
又因为x <0，y >0，故－3≤x <0，即－6≤a <0， ∴－6≤a <0.
19．(14分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，z 1·z 2是实数，求z 2.
解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴z 2＝4＋2i.
20．(14分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2， (1)求z ；
(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．
解析：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)．
由题意得z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝2， ①2xy ＝2， ②
故(x －y )2＝0，∴x ＝y ，将其代入②得2x 2＝2， ∴x ＝±1. 故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－1. 故z ＝1＋i 或z ＝－1－i.
(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ， 所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，
∴|AC | ＝2，S △ABC ＝1
2
×1×2＝1；
当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，
A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1,3)，
S△ABC＝1
2×1×4＝2.。