工程力学 第二章 汇交力系

r r r 而 FR = FRxi + FRy j
由合矢量投影定理，得合力投影定理 由合矢量投影定理，
r r r 其 F =F i +F j 中 i ix iy
r r F = ∑F R i
FRx = ∑Fix
则，合力的大小为： 合力的大小为：
FRy = ∑Fiy
FR = FRx + FRy
2 2
r r 方向为： 方向为： cos F , i = R
∑Fiy =0
−FCBsin θ + F = 0 Cy
解得 F =1.5kN Cy
§2–3 空间汇交力系 3
一、几何法
平面汇交力系合成的力多边形法则对空间汇交力 系是否适用？ 系是否适用？ 适用
对空间多个汇交力是否好用？ No！ 对空间多个汇交力是否好用？
二、解析法
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
i= 1
力多边形
FR = FRn−1 + Fn = ∑Fi = ∑ Fi
i=1
……
n
三.平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的几何条件 平衡条件 ∑F = 0 i 力多边形自行封闭
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 已知： ， 求：1.水平拉力 水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 水平拉力 时 碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 至少多大 至少多大？ 欲将碾子拉过障碍物 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？ 力 沿什么方向拉动碾子最省力 及此时力F多大 沿什么方向拉动碾子最省力， 多大？
解得： FBA 解得：
= −7.321kN
o o
∑Fiy =0 FBC − F1 cos30 − F2 cos60 = 0
解得： F = 27.32kN 解得： BC
例2-5 已知： 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重； 忽略自重； 忽略自重 对工件与地面的压力， 杆 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆 平衡时，压块 对工件与地面的压力 受力。 受力。 杆为二力杆。 解：AB、BC杆为二力杆。 杆为二力杆 取销钉B。 取销钉 。 用解析法
例4 - 2 0 已知： 已知： 物重P=10kN，CE=EB=DE；θ = 30 ， CE=EB=DE； 求：杆受力及绳拉力 解：画受力图如图， 画受力图如图， 列平衡方程
∑F = 0
x
F sin 45o − F2 sin 45o = 0 1
∑F
y
=0
o o o o o
FA sin 30 − F cos 45 cos 30 − F2 cos 45 cos 30 = 0 1
Fx = F cosϕ
间接（二次） 间接（二次）投影法
2、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（ 合矢量（力）投影定理
合力的大小 方向余弦
（4–1） 1
∑ Fz cos(FR , j) = cos(FR , k ) = FR FR
∑Fy
空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即 该力系的合力等于零， 由式（4–1） 由式（ 1
F cos 45o sin 30o + F2 cos 45o sin 30o + FA cos 30o − P = 0 1 结果： 1 结果： F = F2 = 3.54kN FA = 8.66kN
∑F = 0
z
∑Fix = 0
− FBA + F1 cos 60 − F2 cos 30 = 0
o o
F1 = F2 = P
解得： FBA 解得：
= −7.321kN
o o
∑Fiy =0 FBC − F1 cos30 − F2 cos60 = 0
解得： F = 27.32kN 解得： BC
F1 =பைடு நூலகம்F2 = P
解： 1.取碾子，画受力图。 取碾子， 取碾子 画受力图。 用几何法，按比例画封闭力四边形 用几何法，
R−h o θ = arccos = 30 R
按比例量得
FA =11.4 kN， FB =10kN
或由图中
FB sin θ = F FA + FB cosθ = F
解得
F =10kN, FA=11.34kN B
3、两者关系
在直角坐标系中
F =F i x x
r r r F = Fx + Fy
Fy = Fy j
其 i, j是 标 x， 的 位 量 中 坐 轴 y 单 矢
二.平面汇交力系合成的解析法 平面汇交力系合成的解析法
因为
r r r r r ∴FR = ∑(F i + F j ) = ∑F i + ∑F j ix iy ix iy
(
)
∑F
F R
ix
r r cos F , j = R
(
)
F R ∑F iy
作用点为力的汇交点。 作用点为力的汇交点。
三.平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系的平衡方程 r
平衡条件
r r r FR = ∑F i + ∑F j ix iy
平衡方程
FR = 0
∑Fx =0 ∑Fy =0
已知：图示平面共点力系； 例2-3 已知：图示平面共点力系； 此力系的合力。 求：此力系的合力。 解：用解析法 FRx = ∑Fix = F1 cos30o − F2 cos60o − F3 cos45o + F4 cos45o =129.3N
解得
2.碾子拉过障碍物，应有 FA = 0 碾子拉过障碍物， 碾子拉过障碍物 用几何法
F = P⋅ tanθ =11.55kN
3. 解得 Fmin = P ⋅ sin θ = 10kN
例2-2 已知： 各杆自重不计； 已知：AC=CB，P=10kN,各杆自重不计； ， 各杆自重不计 求：CD杆及铰链 的受力。 杆及铰链A的受力 杆及铰链 的受力。 为二力杆， 解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图。 为二力杆 杆 画受力图。 用几何法，画封闭力三角形。 用几何法，画封闭力三角形。 按比例量得
(4-2) (4称为空间汇交力系的平衡方程。 称为空间汇交力系的平衡方程。
空间汇交力系例题 例4 - 1 已知： n 、β 、α 已知： F 在三个坐标轴上的投影。 求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影。
Fz = −Fn sin α Fxy = Fn cosα Fx = −Fxy sin β = −Fn cosα sin β Fy = −Fxy cos β = −Fn cosα cos β
第二章 汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡 的几何法(图解法） 的几何法 图解法） 图解法
一. 两个汇交力的合成 力的平行四边形法则
F = F1 + F2 = F2 + F1
力的三角形法则
二.多个汇交力的合成 多个汇交力的合成
力多边形法则
FR1 = F + F2 1 3 FR2 = FR1 + FR3 = ∑ F i
F = 28.3kN, C FA = 22.4kN
§2-2 平面汇交力系合成与平衡 的
一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解 力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
1、力在坐标轴上的投影 、
解析法（坐标法） 解析法（坐标法）
Fx = F ⋅ cosθ
Fy = F ⋅ cosβ
2、力沿轴的分解 、
r r r F = Fx + Fy
∑Fix = 0
FBA cosθ − FBC cosθ = 0
得
FBA = FBC
∑Fiy =0
解得 选压块C 选压块
FBA sin θ + FBC sin θ − F = 0
FBA = FBC =11.35kN
∑Fix = 0 FCB cosθ − FCx = 0
F Fl 解得 F = cotθ = =11.25kN Cx 2 2h
o
o
例2-4 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： 已知： P=20kN； ； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 受力。 系统平衡时， 受力 杆为二力杆， 解：AB、BC杆为二力杆， 杆为二力杆 取滑轮B（或点B），画受力图。 ），画受力图 取滑轮 （或点 ），画受力图。 用解析法， 用解析法，建图示坐标系
FRy = ∑Fiy = F1 sin 30o + F2 sin 60o − F3 sin 45o − F4 sin 45o =112.3N
2 2 FR = FRx + FRy = 171.3N
FRx cosθ = = 0.7548 FR FRy cos β = = 0.6556 FR
θ = 40.99 , β = 49.01