第二章 平面汇交力系
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第二章--平面汇交力系
2a P
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
第二章 平面汇交力系
即
F F
x y
0 0
平衡方程
平衡的解析条件： 力系中所有各力在直角坐标轴上的投影代 数和分别等于零。
9
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 X 0 300 C
X cos(F , i)
R
FR ( X ) 2 ( Y ) 2
FR
Y cos(F , j )
R
FR
15
4、平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零。 即 F F 0
R
（2）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 （3）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零，即：
y
.
x
Q
4).列出对应的平衡方程 Y 0
5).解方程
TB sin 600 TC sin 300 0
TB cos60 TC cos30 Q 0
0 0
10
简易压榨机
11
求当等长连杆AB、AC与铅垂线成图示角时，托板给被 压物体的力。
12
列方程求解：
销钉A
X 0, Y 0, S AB sin S AC sin P 0 S AB cos S AC cos 0
S AB S AC
S AB S AC P 2 sin
托板
X Y
0, 0,
N S B sin 0 S B cos R 0 R S B cos P 2tg
02平面汇交力系
与各处摩擦，试求水平压榨力的大小。
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
第二章 平面汇交力系
§2-2 平面汇交力系合成的几何法
根据矢量平移不变性原理，平面汇交力系的合力可连 续运用力平行四边形法则或力三角形法则求得。 一、合成方法 依次平移力Fi使其首尾相连，合力R大小和方向就是使 力多边形封闭的边。
F2 F1 用平行四 边形法则 依次合成 F 3 F2 合力与 合成秩 序无关 O F1 R F4
C
B F
D A 45º B F
它处于三个力作用平衡状态。
2.画AB杆受力图。 3.画自行封闭的力三角形。 4.解三角形得：
F C
F C 2 2F 28.3kN
2 2 F A 2 1 F 22.4kN
45º
A
C
FA
B
§2-4 平面汇交力系合成的解析法
一、力在坐标轴上的投影
设α为力F与x轴正向间的夹角且逆时针为正值，顺时 针为负值。 y
【例2-4】长l=3R的等截面均匀直杆AB重W＝100N， 放在半径为R的光滑半球槽内，求平衡时杆与水平面 的倾斜角θ以及A、D点的约束反力。 【解】1)选杆为研究对象，它受三个汇交力而平衡， 在三角形AGO中： O
C θ A FD 90º -θ O 2θ θ θ G D θ
B
2)列平衡方程：
F ix F A cos 2 F D cos(90 ) 0 F iy F A sin 2 F D sin(90 ) W 0 W cos 2 75N F D cos 3)求解： F A W tan 43N
合力在任意坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴 上的投影的代数和。
设
R x F ix R y F iy 三、合成的解析法
R Fi
第2章 平面汇交力系
第二章平面汇交力系一、平面共点力系与平面汇交力系平面共点力系：作用于刚体平面上同一点的若干力，称为平面共点力系。
2F 平面汇交力系概述平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点平面汇交力系的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面汇交力系。
说明：根据力的可传性，作用于刚体的平面汇交力系一定可以转化成平面共点力系，所以二者的研究方法相同。
以下不再区分，统称为平面汇交力系。
二、工程中的平面汇交力系问题举例工程中的平面汇交力系问题举例：：OAAF四、本章的研究内容分别用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系的合成—力的多边形法则§2-1几何法几何法（（矢量法矢量法））1）三个共点力的合成设为作用在A 点的力系},,{321F F F A1F 2F 3F RF R12F 1F 2F 3F 312R R 2112R F F F F F F +=+=321R F F F F ++=1RF 2F 3F 2）多个共点力的合成},,{21n F F F ⋯设为作用在A 点的汇交力系则该力系的合力为},,{}{21R n F F F F ⋯=∑=+++=in F F F F F ⋯21R123力多边形合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为该力系的合力。
说明说明：：力系的合成与力序无关∑=+++=in F F F F F ⋯21R 矢量方程为：二、平面汇交力系的平衡平衡条件1）从方程上说：2）几何平衡条件：力的多边形自行封闭R =F 123123例2-1压路碾子，自重P=20kN ，半径R =0.6m ，障碍物高h =0.08m 。
碾子中心O 处作用一水平拉力F 。
试求：（1）当水平拉力F =5 kN 时，碾子对地面及障碍物的压力；（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；（3）力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F 为多大。
解：（1）取碾子为研究对（2）根据力系平衡的几何条件根据力系平衡的几何条件，，作封闭的力多边形作封闭的力多边形。
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系的工程实例： 平面汇交力系的工程实例：
平面汇交力系： 平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点 的力系。 的力系。 共点力系：如所有的力都作用在同一点，该力系称为共点力 共点力系：如所有的力都作用在同一点， 刚体 系。
汇交力系
等价
共点力系
理由： 理由：力的可传性原理
§2-2 平面汇交力系合成的几何法
∑F = 0
D
F5 FR
F1
F3
F2
F3
平衡几何条件： 力多边形自行封闭 平衡几何条件：
F3 F3
F2 F2
F4
F3
F2
F2 F2 B
C
F4 F F1 4 F4 F4各力的汇交点
F1 A F1 F1
§2-4
y
平面汇交力系合成的解析法
一、力在坐标轴上的投影
B
Fx = F ⋅ cosα
投影: 投影:
A
力的投影和力的分量是两个不同的概念。 力的投影和力的分量是两个不同的概念。 是两个不同的概念
投影是代数量
而分力是矢量
投影无所谓作用点 分力作用点必须作用 在原力的作用点上 另外：仅在直角坐标系中, 另外：仅在直角坐标系中, 力在坐标上的 投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。 投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。
力多边形的封闭边
各力的汇交点
合力为力多边形的封闭边
力多边形法则：把各力向量首尾相接后得到开口多边形， 力多边形法则：把各力向量首尾相接后得到开口多边形，然后由 第一个力的起点指向最后一个力的终点所构成的向量即为各力的 合力。这种求合力的方法为力多边形法则 合力。这种求合力的方法为力多边形法则 合成的结果：是一个合力， 合成的结果：是一个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边来 表示，其作用线通过各力的汇交点。 表示，其作用线通过各力的汇交点。即合力等于各分力的向量和 或几何和）。 （或几何和）。
工程力学—第二章平面汇交力系
A C B
60º 30º 30º
a
a
30º
60º
解： (1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 (4) 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
(a)
(b)
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系是指作用于物体上的各力的作用线位于
同一平面内且汇交于一点的力系。 汇交力系也称为共点力系 据力的可传性原理，将作用于 刚体上的各汇交力沿其作用线移至 汇交点，即可形成平面共点力系， 并不影响其对刚体的作用效果。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系
A F4
FR1 F R2
F1 F3
F1
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则）
任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件F1 OFra bibliotekF2 F3
F1 O
F2 F3
Fn
FR
Fn
FR
求合力,只需依次平移各力,使其首尾相接,最后画出封闭边即可.
解得
FBA
B
F B FBC
F
FBC FBA
F 2 sin
FBC
M
C
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
解得
FCB
C
F FM FCB cos cot 2
FNC FM
FCB
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
60º 30º 30º
a
a
30º
60º
解： (1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 (4) 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
(a)
(b)
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系是指作用于物体上的各力的作用线位于
同一平面内且汇交于一点的力系。 汇交力系也称为共点力系 据力的可传性原理，将作用于 刚体上的各汇交力沿其作用线移至 汇交点，即可形成平面共点力系， 并不影响其对刚体的作用效果。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系
A F4
FR1 F R2
F1 F3
F1
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则）
任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件F1 OFra bibliotekF2 F3
F1 O
F2 F3
Fn
FR
Fn
FR
求合力,只需依次平移各力,使其首尾相接,最后画出封闭边即可.
解得
FBA
B
F B FBC
F
FBC FBA
F 2 sin
FBC
M
C
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
解得
FCB
C
F FM FCB cos cot 2
FNC FM
FCB
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
建筑力学 第二章 平面汇交力系
FA 22.4 kN FC 28.3 kN
一、平面汇交力系的合成
桁架： 由若干直杆彼此在两端铰接而成的一种结构。
桁架中各杆的铰接点称为节点。
一、平面汇交力系的合成
工程实例：
一、平面汇交力系的合成
一、力在坐标轴上的投影 力 投影
X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin=F cos 投影 力 注：力在坐标 2 2 F Fx Fy 轴上的投影为 代数量，即标 X Fx cos Y F y 量，其值可正、 cos F F F F 可负、可为零。
一、平面交汇力系的合成
步骤）：1、据力在刚体上的可传性
原来的平面汇交力系就转 化为平面共点力系；2、据平行四边形法则求合力R。
F1 O
F2
F1 F2 O F3
F3 Fn
合力为各力的矢量和，即
Fn
R Fi
R
一、平面交汇力系的合成
F1
平面汇交 力系的合成：力的多边形法则
F2
A
F3
F3
合力：
FR
夹角：
2 2 FRx FRy 171.3N F arctan Rx 40.99o FRy
§1.2 平面汇交力系的平衡
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件 是该力系的合力为零。
Rx X 0 Ry Y 0
R 0 Rx Ry 0
45
D
所受的力。
§1.2 平面汇交力系的平衡
例题
解：
取AB为研究对象，其受力图为：
F E FA A
A
C
FC
C
F
45
45
B
B D
一、平面汇交力系的合成
桁架： 由若干直杆彼此在两端铰接而成的一种结构。
桁架中各杆的铰接点称为节点。
一、平面汇交力系的合成
工程实例：
一、平面汇交力系的合成
一、力在坐标轴上的投影 力 投影
X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin=F cos 投影 力 注：力在坐标 2 2 F Fx Fy 轴上的投影为 代数量，即标 X Fx cos Y F y 量，其值可正、 cos F F F F 可负、可为零。
一、平面交汇力系的合成
步骤）：1、据力在刚体上的可传性
原来的平面汇交力系就转 化为平面共点力系；2、据平行四边形法则求合力R。
F1 O
F2
F1 F2 O F3
F3 Fn
合力为各力的矢量和，即
Fn
R Fi
R
一、平面交汇力系的合成
F1
平面汇交 力系的合成：力的多边形法则
F2
A
F3
F3
合力：
FR
夹角：
2 2 FRx FRy 171.3N F arctan Rx 40.99o FRy
§1.2 平面汇交力系的平衡
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件 是该力系的合力为零。
Rx X 0 Ry Y 0
R 0 Rx Ry 0
45
D
所受的力。
§1.2 平面汇交力系的平衡
例题
解：
取AB为研究对象，其受力图为：
F E FA A
A
C
FC
C
F
45
45
B
B D
第二章 平面汇交力系
FB
h
FA FB FA F P
解得
R−h θ = arccos = 30o R
另由图中
FB sin θ = F FA + FB cos θ = P
FA =11.3 kN , FB=10kN
§2-3 平面汇交力系合成的几何条件 （3） 欲将碾子拉过障碍物，求水平拉力F
FB
碾子拉过障碍物时，FA=0 用几何法
第二章 平面汇交力系
§2-3 平面汇交力系平衡的几何条件
§2-3 平面汇交力系合成的几何条件
一、平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：物体在平 面汇交力系作用下，合力等于零.即力多边形自行封闭 . （各力首尾连接）. r Fi = 0 用矢量表示 物体上受有4个力
∑
§2-3 平面汇交力系合成的几何条件 例2-1 钢梁重量P=6kN，θ=30°,试求平衡时钢丝绳 的约束反力. 解： （1）选钢梁为研究对象
第二章 平面汇交力系
§2-1 工程中的平面汇交力系问题
§2-1 工程中的平面汇交力系问题 汇交力系 作用在物体上各力的作用线相交于一点时，则称这些 力组成的力系为汇交力系 汇交力系. 汇交力系 各力的作用线都在同一平面内，且汇交于一点时，则 称为平面汇交力系 平面汇交力系. 平面汇交力系 工程实例
FR = FRx2 + FRy2
方向
y
FRx
r r cos FR , i =
∑ Fix ( ) F R r r ∑ Fiy cos ( FR , j ) =
FR
FRy
F3 y
F2 y
A
FR
D F3
C
F2
F1 y
F1 B
第二章、平面汇交力系
60o
试求该平面汇交力系的合力。
45o
解：（1）计算合力的投影
F3
由合力投影定理，得合力的投影
FR
F1
30o
45o
x
F4
FRx F1 cos 30o F2 cos 60o F3 cos 45o F4 cos 45o 129.3N
FRy F1 sin 30o F2 sin 60o F3 sin 45o F4 sin 45o 112.3N
理 平面汇交力系—平衡
论
力 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该利息的合力FR等于零，
学
则有
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
亦即 Fx 0 Fy 0
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是： 力系中所有力在作用面内两个任选的坐标轴上的投影代数和 分别等于零。称为平面汇交力系的平衡方程。
4、求解平衡问题的主要步骤是：
（1）选取研究对象；
（2）进行受力分析，画出受力图；
（3）应用平衡条件（列平衡方程）求解；
（4）进行校核，必要时应分析和讨论计算结果。
应用举例
第二章 平面汇交力系
应用举例
理 例题 2-1
论
y
力 学
已知 F1=200N F2=300N F3=100N F2
F4=250N 各力的方向如图所示，
学
合力为零
即: FR FR2x FR2y ( Fx )2 ( Fy )2 0
平面汇交力系的平衡方程:
Fx 0 Fy 0
平面汇交力系平衡的必要且充分的解析条件为： 力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
平面汇交力系有两个独立平衡方程，可求解两个未知数。
第二章 平面汇交力系-2010
第三章 平面一般力系 §3－2 力矩及其计算
二、合力矩定理： 合力对点O的矩，等于各分力对点O 合力对点O的矩，等于各分力对点O的矩的代数和。
mO(R )=mO(F1)+mO(F2)+…+mO(Fn)=∑mO(Fi) )+…
第三章 平面一般力系 §3－2 力矩及其计算
三、力矩的计算 力矩可用定义式计算，也可用合力矩定理计算力矩。 方法是先把力分解成两个合适的分量，分别求分量 对某点矩，按3 对某点矩，按3-2求合力的矩。
二、力偶矩
力偶矩是两个力对某一点的转动效应的衡量： m=±Fd 力偶的单位与力矩相同
三、力偶的性质 力偶无合力：是一个基本的力学量， 力偶无合力：是一个基本的力学量，不能与一个力平 衡，力偶只能与力偶平衡。 力偶只能与力偶平衡。 力偶可以在其作用平面内任意移动而不改变它对刚体 的作用。因这个移动不改变其力偶矩。 的作用。因这个移动不改变其力偶矩。 只要保持力偶矩不变， 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中的力的大 小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效果。 小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效果。 平面力偶系的合成
x y O
Fx- FBsin30º=0
即：
Fy+ FBcos30º-2F=0 -Fa-2Fa+ 3aFBcos30º=0
求得：FB =2.3KN Fx = 1.15KN Fy =2KN
例2.固定端约束 2.固定端约束
例3 如下图所示 三个半径为a的光滑圆 三个半径为 的光滑圆 柱体放在宽为4.4a的槽 柱体放在宽为 的槽 中，已经圆柱体的重量 均为G。 均为 。 求： （1）上面的圆柱体对下面 ） 的圆柱体的压力 （2）下面的圆柱体对侧面 ） 和底面的压力。 和底面的压力。
第二章 平面汇交力系
（一）几何法 F1 F2 O = O R F1
F2
F4 C B F12 A F123
F3
F4
F3
D
E
利用力的可移性原理，我们可以将 各个力都移至汇交点O，我们可以 连续用平行四边形法则或三角形法 则来把它合成如左图，则矢量AE就 表示这个平面汇交力系合力的大小 和方位。
实际上，在我们合成的时候，完全可以不画出这些中间矢量， 而将这所有的力首尾相接，最后画出一个开口的力的多边形， 然后，我们从起始点向终止点画出一条有向线段，就表示合 力的大小和方向，这种以力多边形求合力的作图规则，称为 力多边形法则，这种求合力的方法，称为几何法。 合力是各分力的向量和（几何和）
y
A
30° 30°
B
SAB P SBC
30°
B
30°
x
C
Q
P
a
b
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
3. 列出平衡方程：
Fx 0 Fy 0
y
S BC con 30 S AB Q sin 30 0
S BC cos 60 P Q cos 30 0
C 节点 B E a D P a P SAD
SAB
A SDE D
SBD
SAD
（1） A SBC B
（2） SAB SBD （3）
SBE
注意到，各杆都为二力杆，各杆所受的力都是沿杆的轴线方 向，所以其施加在各个销钉（节点）的力也是沿杆的轴线。 要求各个杆件所受的力，应选节点为研究对象，而且各节点 所受的力系为平面汇交力系，而平面汇交力系一次只能求解 两个未知量，所以应该从只有两个未知量的节点开始分析。 也就是说，分析物体系统的力学问题，选取研究对象有一个 先后次序问题。有一个局部和整体的问题。
F2
F4 C B F12 A F123
F3
F4
F3
D
E
利用力的可移性原理，我们可以将 各个力都移至汇交点O，我们可以 连续用平行四边形法则或三角形法 则来把它合成如左图，则矢量AE就 表示这个平面汇交力系合力的大小 和方位。
实际上，在我们合成的时候，完全可以不画出这些中间矢量， 而将这所有的力首尾相接，最后画出一个开口的力的多边形， 然后，我们从起始点向终止点画出一条有向线段，就表示合 力的大小和方向，这种以力多边形求合力的作图规则，称为 力多边形法则，这种求合力的方法，称为几何法。 合力是各分力的向量和（几何和）
y
A
30° 30°
B
SAB P SBC
30°
B
30°
x
C
Q
P
a
b
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
3. 列出平衡方程：
Fx 0 Fy 0
y
S BC con 30 S AB Q sin 30 0
S BC cos 60 P Q cos 30 0
C 节点 B E a D P a P SAD
SAB
A SDE D
SBD
SAD
（1） A SBC B
（2） SAB SBD （3）
SBE
注意到，各杆都为二力杆，各杆所受的力都是沿杆的轴线方 向，所以其施加在各个销钉（节点）的力也是沿杆的轴线。 要求各个杆件所受的力，应选节点为研究对象，而且各节点 所受的力系为平面汇交力系，而平面汇交力系一次只能求解 两个未知量，所以应该从只有两个未知量的节点开始分析。 也就是说，分析物体系统的力学问题，选取研究对象有一个 先后次序问题。有一个局部和整体的问题。
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
离d称为该力偶的力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。
力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并 取以正负号，称为该力偶的力偶矩。
表示为： m
m Fd 2S ABC
31
§2.3 平面力偶系
2.力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。 组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数 和恒等于该力偶的力偶矩。
D
6cm
DE=6 cm点E在铅直线DA上
，又B ，C ，D都是光滑铰
(a)
链，机构的自重不计。
7
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-1
解： 几何法
AF
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
2.作出相应的力多边形。
3. 由图b几何关系得：
15
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
✓力向坐标轴的投影是代数量 ✓力沿坐标轴方向的分量是矢量
16
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
2.合成的解析法 合力投影定理:
平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等 于各分力在同一轴上投影的代数和。
y
F4 F1
FA=0， 得封闭力三角形abc。
a
FB G
F G tan 11.5 kN
FB
G
cos
23.09
kN
建筑力学 第二章 平面汇交力系
11
图示三角支架，求两杆所受的力。 例 1 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象， 节点为研究对象， 画受力图 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
− FNBC sin 30 0 − F = 0
解得： 解得：
FNBA FNBC
FNBC = −2 F = −60 KN
5
力投影的要点： 力投影的要点：
①力平移，力在坐标轴上投影不变； 力平移，力在坐标轴上投影不变； 力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； ②力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； 力平行于某轴， ③力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对 值为力的大小。 值为力的大小。
平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。 等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：
合力投影定理： 合力投影定理：
FRX = FX 1 + FX 2 + ⋅⋅⋅ + FXn = ∑ FXi FRY = FY 1 + FY 2 + ⋅⋅⋅ + FYn = ∑ FYi
6
平面平行力系：各力作用线平行的力系。 平面平行力系：各力作用线平行的力系。
平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面平行力系之外的平面力系。 平面平行力系之外的平面力系。
解： 轴销作为研究对象，画出其受力图。 1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
13
2、列出平衡方程： 列出平衡方程： 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
解得： 解得： 建立平衡方程： 由 ∑FX = 0 ，建立平衡方程： 解得： 解得： 为负值， 反力FNBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定 实际上受拉力。 指向相反。即杆AB 实际上受拉力。 指向相反。
图示三角支架，求两杆所受的力。 例 1 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象， 节点为研究对象， 画受力图 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
− FNBC sin 30 0 − F = 0
解得： 解得：
FNBA FNBC
FNBC = −2 F = −60 KN
5
力投影的要点： 力投影的要点：
①力平移，力在坐标轴上投影不变； 力平移，力在坐标轴上投影不变； 力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； ②力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； 力平行于某轴， ③力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对 值为力的大小。 值为力的大小。
平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。 等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：
合力投影定理： 合力投影定理：
FRX = FX 1 + FX 2 + ⋅⋅⋅ + FXn = ∑ FXi FRY = FY 1 + FY 2 + ⋅⋅⋅ + FYn = ∑ FYi
6
平面平行力系：各力作用线平行的力系。 平面平行力系：各力作用线平行的力系。
平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面平行力系之外的平面力系。 平面平行力系之外的平面力系。
解： 轴销作为研究对象，画出其受力图。 1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
13
2、列出平衡方程： 列出平衡方程： 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
解得： 解得： 建立平衡方程： 由 ∑FX = 0 ，建立平衡方程： 解得： 解得： 为负值， 反力FNBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定 实际上受拉力。 指向相反。即杆AB 实际上受拉力。 指向相反。
工程力学 第2章 平面汇交力系
FR
y
Fi
r r r r F R = F Rx i + F Ry j + F Rz k r r r r F i = F ix i + F iy j + F iz k r r r r F R = ∑ ( F ix i + F iy j + F iz k )
x
13
FRx = ∑ Fx
FRy = ∑ Fy
FR = F + F
2 Rx 2 Ry
= 44.4 KN
θ = arctan
F Ry = 21.80 F Rx
17
( 几何法 ):
10KN
1cm
R
θ
y
F3
600
FR
θ
x
F2
300
o
F3 F2
F1
F1
测量合力 R 的大小和方向 的大小和方向. R=4.4 10=44KN θ = 220
18
三，平衡 平面力系的平衡方程： 平面力系的平衡方程：
F1 F2
F3 F4
求合力 FR
3
F1 F2
F3 F2
F3 F4 F12 F123 FR
F4
F1 F3 F2
F4
FR
F1
4
n 个力的合力: 个力的合力
Fn F3 F1 F2 Fi
FR o
5
结论
汇交力系可以合成为一个合力， 汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 即：合力矢等于各分力矢的矢量和。 合力矢等于各分力矢的矢量和。
26
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
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例题 2
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，
F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
解：
F2
y
根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
Fx F1 cos 30o F2 cos 60o F3 cos 45o F4 cos 45o 129.3 N
15
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例题 3
A
D
60o
解：1.取滑轮B为研究对象(轮的大小不计)
2.画受力图 FT G 20kN
B
3.选取坐标系Bxy
4.列平衡方程
Fx 0, FBA FT sin 60o G sin 30o 0
30o
y
Fy 0, FBC FT cos 60o G cos 30o 0
18
F
A
C
45o
B
D
5
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例题1
解：
1. 取AB梁为研究对象；
2. 画AB梁的受力图：
E
FA
A
F
45o B
C
FC
F
A
C
45o
B
D
二力杆
6
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例题 1
图解法
按比例画力F ，作出封闭力三角形。
量取FA , FC 得
FA
d
a
F
45o
b
FC
FA =22.4kN FC =28.3kN
封闭力三角形也 可如下图所示。
a
F
FC
b
FA
d
E
FA
A
F
45o B
C
FC
7
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
几何法解题步骤：1. 取研究对象；2. 画受力图； 3. 作力多边形；4. 选比例尺； 5. 解出未知数。
几何法解题不足： 1. 精度不够，误差大； 2. 作图要求精度高； 3. 不能表达各个量之间的函数关系。
轴上投影的代数和。 10
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 三、平面汇交力系合成的解析法
合力的大小： F Fx2 Fy2 ( Fx )2 ( FY )2
方向： tan Fy
Fx
tan1 Fy tan1 Fy
Fx
Fx
作用点： 为该力系的汇交点
11
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在 x 轴
F4y FFy
F3y
F2y F1y
Fx F4x
F1x
F2x
和在 y 轴投影的和分别为：
Fx F1x F2x F3x F4x Fx
Fy F1 y F2 y F3 y F4 y Fy
Fx Fx
Fy Fy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
F F 0 平面汇交力系平衡的必要与充 分的几何条件是：
力多边形自行封闭
4
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例题1
支架的横梁AB与斜杆DC彼此
以铰链C连接，并各以铰链A、
D连接于铅直墙上，如图所示。 已知杆AC=CB；杆DC与水平线 成 45o 角 ； 铅 直 载 荷 F=10kN ， 作用于B处。设梁和杆的重量忽 略不计，求铰链A的约束力和杆 DC所受的力。
Fx Fx 0 Fy Fy 0
上式为平衡的充要条件，也叫平衡方程。可求解两个 未知量。
14
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例题 3
A
D
60o
B
30o
G C
如图所示，重物G =20 kN，用 钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝 绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与 BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。 如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩 擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC所受的力。
F1
60o O
30o
45o
45o
x
Fy F1 cos 60o F2 cos 30o F3 cos 45o F4 cos 45o F3
F4
112.3 N
12
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例题 2
合力的大小：
F Fx2 Fy2 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cos Fx 0.754
F
cos Fy 0.656
F
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
40.99o
49.01o
F2
yห้องสมุดไป่ตู้
F
F1
60o O
30o
45o
45o
x
F3 F4
13
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
四、平面汇交力系平衡的解析条件
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件 是该力系的合力为零。
即： F Fx2 Fy2 ( Fx )2 ( Fy )2 0
第二章 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1. 两个共点力的合成
由力的平行四边形法则作，也 可用力的三角形来作。
合力大小： 合力方向：
F F12 F22 2F1F2 cos
F1
F
sin sin( 180 )
R F1 F2
2
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个平面汇交力的合成
结论：F F1 F2 F3 F4 即： F F 为力多边形
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过各力的汇交点。
3
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
G
C
FBA
B
FT 60o G 30o
5.解方程 FBA 0.366G 7.321 kN(压)
x FBC 1.366G 27.32 kN (压)
FBC
16
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特
殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：
解析法
8
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影
Fy F sin F cos
Fy F cos F sin
Fy
F Fx2 Fy2
Fx
tan Fy
Fx
cos Fx
F
cos Fy
F
9
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
17
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的指向可以任意设，如果求 出负值，说明力的指向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。